北京市西城区2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题 Word版缺答案

北京市海淀区20中2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.1. 直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B所以直线的倾斜角等于，故选．2. 如果两直线，且平面，则与的位置关系是（）A. 相交B.C.D. 或【答案】D【解析】试题分析：直线与平面的位置关系有三种：线在面内、线面平行、线面相交；其中能符合题目要求的有线面平行与线在面内；考点：直线与平面的位置关系；3. 若三点、、共线，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵三点，，在一条直线上，∴，∴，计算得出，故选A．4. 圆与圆的位置关系是（）A. 相交B. 外离C. 内切D. 外切【答案】A【解析】由圆与圆可得，，，，，所以，，所以两圆的位置关系是相交，故选A．5. 若两直线与平行，则它们之间的距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】可化为，由两平行线之间的距离公式可得，故选．6. 已知圆，直线，，若，被圆所截得的弦的长度之比为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圆的圆心为，半径为，圆心到线的距离为，被圆所截得的弦的长度为，圆心到的距离为，被圆所截得的弦的长度为，结合，被圆所截得的弦的长度之比为，可得，求得，故选．7. 如图，已知三棱锥的底面是等腰直角三角形，且，侧面底面，，则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸，，分别是（）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，【答案】A【解析】由三棱锥及其三视图可知，为等边的高，所以，又因为为的长，所以，可得为点到的距离，由此，故选．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.8. 如图，已知平面平面，，、是直线上的两点，、是平面内的两点，且，，，，，是平面上的一动点，且有，则四棱锥体积的最大值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题知：，是直角三角形，又，所以．因为，，所以．作于，则．令，则，可得，所以即为四棱锥的高，又底面为直角梯形，．所以，故选．【方法点睛】本题主要考查面面垂直的性质，棱锥的体积公式以及求最值问题，属于难题. 求最值的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图像法，本题首先根据线面关系将体积最值转化为函数求最值问题，然后应用方法①解答的.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知两点，，则线段的长为__________．【答案】【解析】因为，，，所以由两点间距离公式可得线段的长为，故答案为.10. 底面直径是，高是的圆柱的侧面积为__________．【答案】【解析】因为圆柱的底面直径是，所以底面半径为，又因为圆柱的高是，所以由圆柱的侧面积公式可得圆柱的侧面积为，故答案为.11. 已知直线与直线垂直，则的值为__________．【答案】【解析】由直线与直线垂直，可得，计算得出，故答案是．12. 从点引圆的切线，则切线长是__________．【答案】【解析】因为圆的方程为，所以圆心，半径，所以，所以切线长，故答案为．13. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长是__________．【答案】则该三棱锥的最长棱的长是，，故答案为．14. 若动点在直线上，动点在直线上，设线段的中点为，且，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由直线方程可知两直线斜率相等，所以，由平行线线的几何性质知的轨迹为平行于的直线，直线方程为，又点在圆的内部，故的轨迹是如图所示的线段．即原点和距离的平方．由图可知，，，，故答案为．【方法点晴】本题主要考查轨迹方程及解析几何求最值，属于难题.解决曲线轨迹中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将曲线轨迹中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法.本题是先将转化为直线上的点与原点距离的平方，然后利用几何方法解答的.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出相应文字说明，演算步骤或证明过程．15. 求满足下列条件的曲线方程：（1）过点，两点的直线方程；（2）过点且圆心在的圆的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由，求出直线的斜率，设出直线方程，将点代入求出参数，即可得结果；（2）设圆为，将代入，得，从而可得圆的方程.试题解析：（1）∵过点，，∴，∴设直线为，将代入得：，即，∴．（2）∵圆心为，∴设圆为，将代入，得：，∴．∴．16. 如图，在直三棱柱中，，，为中点，与交于点．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的表面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）证明：连结，可得为的中位线，可得，根据线面平行的判定定理可得平面；（2）在直三棱柱中，可证平面，从而可得，又，，即可证明平面；（3），分别利用三角形面积公式求出各三角形面积，求和即可得结果.试题解析：（1）证明：连结，∵直三棱柱，，∴四边形为正方形，∴为中点，∵为中点，∴，∵平面，平面，∴平面．（2）证明：方法1，∵直三棱柱，∴，又∵，，∴平面，∵平面，∴，∵正方形，∴，又∵，∴平面．方法2：∵直三棱柱，∴平面平面，∵平面平面，，∵平面，∵平面，∴，∵正方形，∴，又∵，∴平面．（3）．【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.17. 已知的三个顶点，，．（1）设，边上的中点分别为，，求所在直线方程；（2）求边上的高线所在直线方程；（3）求的面积．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）由中点坐标公式可得的中点坐标，从而可得直线的斜率，再根据点斜式可得方程；（2）由两点可得的斜率，由垂直关系可得高线的斜率，点斜式可得方程；（3）可得的方程，可求到直线的距离即三角形的高，再由距离公式求得边上的高，代入面积公式可得结果.试题解析：（1）∵，，，∴，，∴，∴所在直线方程：，即．（2）∵，为，中点，∴，∴所求直线斜率，代入，得，即．（3），到距离．∵，为，中点，∴．18. 已知圆．（1）直线的方程为，直线交圆于、两点，求弦长的值；（2）从圆外一点引圆的切线，求此切线方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】试题分析：（1）由圆方程可得圆心，，先求出圆心到直线距离，根据勾股定理可得；（2）当直线为时，与圆相切，符合题意．当斜率存在时，设斜率为，可设直线，利用圆心到切线的距离等于半径列方程，即可解得的值，从而可得结果..试题解析：（1）∵圆，∴圆心，，圆心到直线距离，∴．（2）①当直线为时，与圆相切，符合题意．②当斜率存在时，设斜率为，∴直线，即，圆心到直线距离，∵直线与圆相切，∴即，∴，∴直线：，∴综上可知，切线方程为或．19. 如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，为中点．（1）求证：平面平面；（2）若，，的交点记为，求证平面；（3）在（2）的条件下求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质可得，根据菱形的性质可得，由线面垂直的判定定理可得面，根据面面垂直的判定定理可得结果；（2）由，为中点，可得，由（1）知，利用线面垂直的判定定理可得结论；（3）先证明面，则，利用棱锥的体积公式可得结果.试题解析：（1）设，连结，∴，为中点，∴，又∵底面为菱形，∴，∵，∴面，又∵面，∴面面．（2）∵，为中点，∴，又∵，，∴面．（3）过作于，∴，又∵面，面，∴．【方法点晴】本题主要考线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理以及利用等积变换求棱锥体积，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20. 已知圆和定点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且满足．（1）求实数，满足的等量关系；（2）求线段长的最小值；（3）若以为圆心所作的圆与圆有公共点，试求半径取最小值时圆的方程．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）连接，则为直角三角形，利用，即可求得实数，满足的等量关系；（2）表示出利用配方法即可求出的最小值；（3）由⊙与⊙有公共点，可得，只需求出的最小值以及取得最小值时的的值，即可求出半径最小值的圆的方程.试题解析：（1）连接，∵为切点，∴，∴，∵，∴，∴．（2）∵，∴，∴．∴当时，线段长的最小值为．（3）设半径为，∵⊙与⊙有公共点，⊙半径为，∴，即且，∴，∴当时，，此时，，∴当半径取最小值时，圆方程为：．。

2018-2019学年上期期末联考高二数学（理科）一.选择题：（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地）1.命题：地否定是 ( )A. B.C. D.【结果】A【思路】【思路】由全称命题地否定直接改写即可.【详解】因为全称命题地否定为特称命题,所以命题：地否定是：.【点睛】本题主要考查含有一个量词地命题地否定,一般只需要改量词和结论即可,属于基础题型.2.已知,则下面不等式成立地是 ( )A. B. C. D.【结果】B【思路】【思路】利用不等式地基本性质即可得出结果.【详解】因为,所以,所以,故选B【点睛】本题主要考查不等式地基本性质,属于基础题型.3.在单调递增地等差数列中,若,则 ( )A. －1B.C. 0D.【结果】C【思路】【思路】先设等差数列地公差为,由题中款件列出方程组,求解即可.【详解】设等差数列地公差为,因为,所以有：,解方程组得：。

故选C【点睛】本题主要考查等差数列地性质,由题意列方程组求公差和首项即可,属于基础题型.4.△ABC地内角A,B,C地对边分别为a,b,c.已知,,,则 ( )A. B. 3 C. 2 D.【结果】B【思路】【思路】由余弦定理,列出方程,直接求解即可.【详解】因为,,,由余弦定理可得：,解得或,故,选B【点睛】本题主要考查余弦定理,熟记公式即可,属于基础题型.5.设,则“”是“”地 ( )A. 充分而不必要款件B. 既不充分也不必要款件C. 充要款件D. 必要而不充分款件【结果】D【思路】【思路】先解不等式和不等式,然后结合充要款件地定义判断即可.【详解】由得。

由得,所以由能推出。

由不能推出,故“”是“”地必要不充分款件.故选D【点睛】本题主要考查充分款件和必要款件,结合概念直接判断即可,属于基础题型.6.曲线在点（1,1）处切线地斜率等于（）.A. B. C. 2 D. 1【结果】C【思路】试题思路：由,得,故,故切线地斜率为,故选C.考点：导数地集合意义.7.已知向量且互相垂直,则地值是 ( )A. B. 2 C. D. 1【结果】A【思路】【思路】由向量垂直,可得对应向量数量积为0,从而可求出结果.【详解】因为,所以,,又互相垂直,所以,即,即,所以;故选A【点睛】本题主要考查向量地数量积地坐标运算,属于基础题型.8.若实数x,y满足约束款件则地最大值是( )A. 2B. 0C. 1D. －4【结果】C【思路】【思路】先由约束款件作出可行域,化目标函数为直线方程地斜截式,由截距地取值范围确定目标函数地最值即可.【详解】由约束款件作出可行域如图所示,目标函数可化为,所以直线在y轴截距越小,则目标函数地值越大,由图像易知,当直线过点A时,截距最小,所以目标函数最大为.故选C【点睛】本题主要考查简单地线性规划,只需依据约束款件作出可行域,化目标函数为直线地斜截式,求在y轴截距,即可求解,属于基础题型.9.已知AB是抛物线地一款焦点弦,,则AB中点C地横坐标是 ( )A. 2B.C.D.【结果】B【思路】【思路】先设两点地坐标,由抛物线地定义表示出弦长,再由题意,即可求出中点地横坐标.【详解】设,C地横坐标为,则,因为是抛物线地一款焦点弦,所以,所以,故.故选B【点睛】本题主要考查抛物线地定义和抛物线地简单性质,只需熟记抛物线地焦点弦公式即可求解,属于基础题型.10.若不等式地解集为,那么不等式地解集为 ( )A. B.C. D.【结果】D【思路】【思路】依据题中所给地二次不等式地解集,结合三个二次地关系得到,由根与系数地关系求出地关系,再代入不等式,求解即可.【详解】因为不等式地解集为,所以和是方程地两根,且,所以,即,代入不等式整理得,因为,所以,所以,故选D【点睛】本题主要考查含参数地一圆二次不等式地解法,已知一圆二次不等式地解求参数,通常用到韦达定理来处理,难度不大.11.已知双曲线地左.右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线上,且满足,则地面积为 ( )A. 1B.C.D.【结果】A【思路】【思路】由双曲线地定义可得,联立可求出地长,进而可求三角形地面积.【详解】由双曲线地定义可得,又,两式联立得：,,又,所以,即为直角三角形,所以.故选A【点睛】本题主要考查双曲线地简单性质,双曲线地焦点三角形问题,一般需要借助抛物线地性质,结合题中款件来处理,难度不大.12.若函数有两个零点,则实数a地取值范围为 ( )A. B. C. D.【结果】C【思路】【思路】先求出函数地导函数,利用导函数求出函数地最小值,再依据函数地零点和最值之间地关系即可求出参数地范围.【详解】因为函数地导函数为,令,得,所以当时,,函数单调递减。

北京市西城区2015-2016学年高二上学期期末考试文数试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合要求的.1．命题“若1a >，则0a >”的逆命题是（ ）（A ）若0a >，则1a ≤（B ）若0a >，则1a >（C ）若0a ≤，则1a >（D ）若0a ≤，则1a ≤2．复数12i z =+的虚部是（ ）（A ）2i -（B ）2i （C ）2-（D ）23．在空间中，给出下列四个命题：① 平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③ 平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的序号是（ ）（A ）①（B ）②（C ）③（D ）④4．抛物线22x y =的焦点到其准线的距离是（ ）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）45．两条直线1110A x B y C ++=，2220A x B y C ++=互相垂直的充分必要条件是（ ）（A ）12121-=B B A A （B ）12121A A B B =（C ）12120A A B B +=（D ）12120A A B B -=6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，AB BC =，则下列结论中正确的是( )（A ）1BD ∥1B C （B ）11A D ∥平面1AB C （C ）1BD AC ⊥（D ）1BD ⊥平面1AB C7．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，12||2(0)F F c c =>．若点 P 在椭圆上，且1290F PF ∠=︒，则点P 到x 轴的距离为（ ）（A ）2b a （B ）2b c （C ）2c a （D ）2c b8. 在长方体1111ABCD A B C D -中，6AB =，4BC =，12AA =，P ，Q 分别为棱1AA ，11C D 的中点. 则从点P 出发，沿长方体表面到达点Q 的最短路径的长度为（ ）（A）B）CD）第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. 命题“x ∀∈R ，210x ->”的否定是_______.10. 已知球O 的大圆面积为1S ，表面积为2S ，则12:S S =_______.11. 如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则12z z =_______.12. 已知双曲线2221(0)y x b b -=>的一个焦点是(2,0)，则b =_______；双曲线渐近线的方程 _______.13. 已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是_______.14. 已知曲线C 的方程是421x y +=.关于曲线C 的几何性质，给出下列三个结论：① 曲线C 关于原点对称；② 曲线C 关于直线y x =对称；③ 曲线C 所围成的区域的面积大于π.其中，所有正确结论的序号是_______.三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且PD AB ==2.（Ⅰ）求PB 的长；（Ⅱ）求四棱锥P ABCD -的表面积.16.（本小题满分13分）如图，已知圆心为(43)C ，的圆经过原点O ．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）设直线340x y m -+=与圆C 交于A ，B 两点．若||8AB =，求m 的值．17.（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 所在的平面与正方形ADPQ 所在的平面相互垂直，E 是QD 的中点．（Ⅰ）求证：QB ∥平面AEC ；（Ⅱ）求证：平面QDC ⊥平面AEC ；（Ⅲ）若1AB =，2AD =，求多面体ABCEQ 的体积．18.（本小题满分13分）已知抛物线22(0)y px p =>的准线方程是12x =-. （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线(2)(0)y k x k =-≠与抛物线相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，证明：OM ON ⊥.19.（本小题满分13分）如图1，在△ABC 中，90ABC ∠=︒，D 为AC 中点，AE BD ⊥于E ，延长AE 交BC 于F .将△ABD 沿BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，如图2所示.（Ⅰ）若M 是1AC 的中点，求证：DM ∥平面1A EF ；（Ⅱ）若平面1A BD ⊥平面BCD ，试判断直线1A B 与直线CD 能否垂直？并说明理由.20.（本小题满分14分）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，一个顶点是(0,1)B ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P ，Q 是椭圆C 上异于点B 的任意两点，且BP BQ ⊥．试问：直线PQ 是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．：。

北京市西城区2014 —2015学年度第一学期期末试卷高二数学2015.1（文科）试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 11. 抛物线24y x =的准线方程为_______________.12. 命题“2,20x x x ∃∈-<R ”的否定是_____________________. 13. 右图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的 体积为_______.14. 圆心在直线y x =上，且与x 轴相切于点(2,0) 的圆的方程为____________________.15. 已知F 为双曲线22:14y C x -=的一个焦点， 则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为__________. 16. “降水量”是指从天空降落到地面上的液态或固态（经融 化后）降水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的 深度.降水量以m m 为单位.为了测量一次降雨的降水量，一个同学使用了如图所 示的简易装置：倒置的圆锥. 雨后，用倒置的圆锥接到的 雨水的数据如图所示，则这一场雨的降水量为 m m .三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分13分）如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，90AEB ∠=o，F 为CE 上的点. （Ⅰ）求证：//AD 平面BCE ； （Ⅱ）求证：AE ⊥BF ．正（主）视图 侧（左）视图俯视图AEBCD F18.（本小题满分13分）已知△ABC 三个顶点的坐标分别为(0,0)A ，(4,0)B ，(3,1)C . （Ⅰ）求△ABC 中AC 边上的高线所在直线的方程； （Ⅱ）求△ABC 外接圆的方程.19.（本小题满分14分）如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC =，E 为AC 中点. （Ⅰ）求证：1//AB 平面1BC E ； （Ⅱ）求证：平面1BC E ⊥平面11ACC A .20.（本小题满分13分）如图，,A B 是椭圆22:13x W y +=的两个顶点，过点A 的直线与椭圆W 交于另一点C .（Ⅰ）当AC 的斜率为31时，求线段AC 的长； （Ⅱ）设D 是AC 的中点，且以AB 为直径的圆恰过点D . 求直线AC 的斜率.AB CEA 1B 1C 121.（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，且3PD PC BC ===，CD =E 为PB 中点.（Ⅰ）求三棱锥P BCD -的体积； （Ⅱ）求证：CE ⊥平面PBD ；（Ⅲ）设M 是线段CD 上一点，且满足2DM MC =，试在线段PB 上确定一点N ，使得//MN 平面PAD ，并求出BN 的长.22.（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线24y x =上的不同两点，弦AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴交于点P .（Ⅰ）若直线AB 经过抛物线24y x =的焦点，求,A B 两点的纵坐标之积；（Ⅱ）若点P 的坐标为(4,0)，弦AB 的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由.PABCDE M·北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷高二数学（文科）参考答案及评分标准2015.1一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.B2.B3.D4. C5. D6.D7.A8. A9.C 10. C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11. 1x =- 12. 2,20x x x ∀∈-≥R 13.8314. 22(2)(2)4x y -+-= 15. 2 16. 1三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17. （本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 为矩形，所以//AD BC . ………………2分 又因为BC ⊂平面BCE ，AD ⊄平面BCE ， ………………4分所以//AD 平面BCE . ………………5分 （Ⅱ）证明：因为AD ⊥平面ABE ，BC AD //，所以BC ⊥平面ABE ，则BC AE ⊥ . ………………7分 又因为90AEB ∠=o，所以AE BE ⊥. ………………9分 所以AE ⊥平面BCE . ………………11分 又BF ⊂平面BCE ， ………………12分 所以AE BF ⊥. ………………13分18. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为(0,0)A ，(3,1)C ，所以直线AC 的斜率为13k =， ………………2分 又AC 边上的高所在的直线经过点(4,0)B ，且与AC 垂直，所以所求直线斜率为3-， ………………4分 所求方程为03(4)y x -=--，即 3120x y +-=. ………………5分（Ⅱ）设△ABC 外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=, ………………6分AEBCDF因为点(0,0)A ，(4,0)B ，(3,1)C 在圆M 上，则2220,440,3130.F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩………………9分解得4D =-，2E =，0F =. ………………12分所以△ABC ∆外接圆的方程为22420x y x y +-+=. ………………13分19. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结1CB ，与1BC 交于点F ，连结EF . ………………1分因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱， 所以四边形11BCC B 是矩形，点F 是1B C 中点. ………………3分又E 为AC 中点，所以1//EF AB . …………5分 因为EF ⊂平面1BC E ，1AB ⊄平面1BC E ，所以1//AB 平面1BC E . ………………7分 （Ⅱ）证明：因为AB BC =，E 为AC 中点，所以BE AC ⊥. ………………9分 又因为三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以1CC ⊥底面ABC ，从而1CC BE ⊥. ………………11分 所以BE ⊥平面11ACC A . ………………12分 因为BE ⊂平面1BC E ， ………………13分 所以平面1BC E ⊥平面11ACC A . ………………14分20. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知(0,1)A -，直线AC 的方程为13y x 1=-. ………………1分 由221,313y x x y 1⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得2230x x -=， ………………2分 解得32x =或0x =（舍）， ………………3分所以点C 的坐标为31(,)22-， ………………4分所以2AC ==. ………………5分ABCEA 1B 1C 1F（Ⅱ）依题意，设直线AC 的方程为1y kx =-，0k ≠.由221,13y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得22(31)60k x kx +-=， ………………7分 解得2631kx k =+或0x =（舍）， ………………8分所以点C 的横坐标为2631kk +，设点D 的坐标为00(,)x y ，则02331kx k =+， ………………9分0021131y kx k -=-=+， ………………10分因为以AB 为直径的圆恰过点D ，所以1OD =，即222231()()13131k k k -+=++. ………………11分 整理得23k 1=， ………………12分所以k =. ………………13分21. （本小题满分13分）（Ⅰ）解：由已知3PD PC ==，CD =△PCD 是等腰直角三角形，90CPD ∠=o. ………………1分因为平面PCD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，BC CD ⊥，所以BC ⊥平面PCD . ………………2分 三棱锥P BCD -的体积1119()3322PCD V S BC PC PD BC ∆=⨯=⨯⨯⨯=. ………………4分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，BC ⊥平面PCD ， 所以BC ⊥PD .因为90CPD ∠=o，即PD PC ⊥，所以PD ⊥平面PBC . ………………5分 因为CE ⊂平面PBC ，所以PD CE ⊥. ………………6分 因为PC BC =，E 为PB 中点，所以CE PB ⊥， ………………7分 因为PD PB P =I ，所以CE ⊥平面PBD . ………………8分（Ⅲ）解：在面PCD 上，过M 作//MF PD 交PC 于F .在面PBC 上，过F 作//FN BC 交PB 于N ，连结MN . ………………9分 因为//MF PD ，MF ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，PABCDE M· FN所以//MF 平面PAD .因为////FN BC AD ，FN ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以//FN 平面PAD .所以平面//MNF 平面PAD . ………………10分 从而，//MN 平面PAD . ………………11分由所作可知，△CMF 为等腰直角三角形，CM =所以1CF =，2PF =. ………………12分△PNF ,△PBC 均为等腰直角三角形，所以PN =PB =所以N 为线段PB 上靠近点B 的三等分点，且BN =. ………………13分22. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ， ………………1分依题意，设直线AB 方程为(1)y k x =-，其中0k ≠. ………………2分将24y x =代入直线方程，得2(1)4y y k =-， 整理得2440ky y k --=， ………………4分 所以4A B y y =-，即,A B 两点的纵坐标之积为4-. ………………5分 （Ⅱ）设:(0)AB y kx b k =+≠，11(,)A x y ，22(,)B x y .由24,y x y kx b⎧=⎨=+⎩ 得222(24)0k x kb x b +-+=. ………………6分 由222241616416160k b kb k b kb ∆=+--=->，得1kb <. ………………7分所以12242kb x x k -+=，2122b x x k=. ………………8分设AB 中点坐标为00(,)x y ，则120222x x kb x k +-==， 002y kx b k=+=， ………………9分 所以弦AB 的垂直平分线方程为2212()kby x k k k--=--， 令0y =，得222kbx k -=+. ………………10分由已知2224kb k-+=，即222k kb =-. ………………11分AB ======……………12分当2112k =，即k =AB 的最大值为6. ………………13分当k =b =；当k =b =均符合题意.所以弦AB 的长度存在最大值，其最大值为6. ………………14分。

北京市西城区2024-2025学年高二生物上学期期末考试试题本试卷共10页，共100分。

考试时长90分钟。

考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分（选择题共30分）每小题只有一个选项．．．．．．符合题意（每小题2分，共30分）。

1. 下列不属于．．．激素特点的是A. 含量极少，作用高效B. 具有特异性，只作用于其靶细胞C. 种类多样，不同激素有不同的调整作用D. 具有专一性，一种生命活动只由一种激素调整2. 将在暗处生长的燕麦胚芽鞘尖端与琼脂块一起放置，几小时后，再将琼脂块放在去除尖端的胚芽鞘一侧，一段时间后视察胚芽鞘生长状况（如下图）。

下列叙述错误．．的是A. 重力的作用导致琼脂块甲中的生长素浓度低于乙B. 胚芽鞘放置琼脂块乙的一侧细胞伸长生长比另一侧快C. 琼脂块甲中的生长素浓度高，对胚芽鞘的生长有抑制作用D. 将琼脂块放在去除尖端的胚芽鞘顶端后，有无光照对结果无影响3. 在膝跳反射过程中，不会．．发生A. 兴奋在反射弧上进行双向传导B. 神经递质通过胞吐释放到突触间隙C. 既有电信号传导，也有化学信号传递D. 神经细胞膜的通透性变更形成动作电位4. 为探讨钙离子在兴奋传递中的作用，科学家在突触前神经元加入钙离子阻断剂，刺激突触前膜后，分别检测突触前膜和突触后膜的电位变更，试验结果如下图。

据此结果可得出的推论是 A. 试验组突触前膜电位变更是由 突触前钙离子流淌引起的 B. 比照组突触后膜电位变更是钠离子主动转运进入细胞所致 C. 突触前神经元释放神经递质需 要钙离子D. 钙离子阻断剂阻断了神经递质与突触后膜上受体的结合5. 在2024年女排世界杯上，中国女排以十一连胜的优异成果，卫冕了世界冠军。

在竞赛过程中，运动员机体不会．．发生的反应是 A. 肝糖原分解速度加快，维持血糖平衡 B. 垂体释放抗利尿激素增加，形成尿液削减 C. 下丘脑体温调整中枢兴奋，汗液分泌增加 D. 产生大量乳酸，使内环境pH 显著降低6. 下表是两位甲状腺功能减退患者血液化验单的部分结果。

2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．直线3x﹣4y+1＝0不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．抛物线x2＝6y的焦点到准线的距离为（）A．12B．1C．2D．33．在空间直角坐标系O﹣xyz中，点A（4，﹣2，8）到平面xOz的距离与其到平面yOz的距离的比值等于（）A．14B．12C．2D．44．在(2x+1x)3的展开式中，x的系数为（）A．3B．6C．9D．12 5．正四面体ABCD中，AB与平面BCD所成角的正弦值为（）A．√63B．√36C．√24D．√336．已知直线a，b和平面α，其中a⊄α，b⊂α，则“a∥b”是“a∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．设A，B为双曲线E：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，M为双曲线E上一点，且△AMB为等腰三角形，顶角为120°，则双曲线E的一条渐近线方程是（）A．y＝x B．y＝2x C．y=√2x D．y=√3x8．在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（）A．12种B．24种C．32种D．36种9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝CC1＝4，E为棱B1C1的中点，P为四边形BCC1B1内（含边界）的一个动点．且DP⊥BE，则动点P的轨迹长度为（）A．5B．2√5C．4√2D．√1310．在直角坐标系xOy 内，圆C ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝1，若直线l ：x +y +m ＝0绕原点O 顺时针旋转90°后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[−√2，√2]B ．[−4−√2，−4+√2]C ．[−2−√2，−2+√2]D ．[−2+√2，2+√2]二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．过点A （2，﹣3）且与直线x +y +3＝0平行的直线方程为 ． 12．在（2x +1）4的展开式中，所有项的系数和等于 ．（用数字作答）13．两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于 ．14．若方程x 2m+2+y 24−m =1表示的曲线为双曲线，则实数m 的取值范围是 ；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是 ．15．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，E 为棱BB 1的中点，F 为棱CC 1（含端点）上的一个动点．给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得B 1F ∥平面A 1ED ； ②不存在符合条件的点F ，使得BF ⊥DE ； ③异面直线A 1D 与EC 1所成角的余弦值为√55； ④三棱锥F ﹣A 1DE 的体积的取值范围是[23，2]．其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16．（10分）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动．（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济、文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BA⊥BC，BC＝3，AB＝AA1＝4．（1）证明：直线AB1⊥平面A1BC；（2）求二面角B﹣CA1﹣A的余弦值．18．（15分）已知⊙C经过点A（1，3）和B（5，1），且圆心C在直线x﹣y+1＝0上．（1）求⊙C的方程；（2）设动直线l与⊙C相切于点M，点N（8，0）．若点P在直线l上，且|PM|＝|PN|，求动点P的轨迹方程．19．（15分）已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的一个焦点为(√5，0)，四个顶点构成的四边形面积等于12．设圆（x﹣1）2+y2＝25的圆心为M，P为此圆上一点．（1）求椭圆C的离心率；（2）记线段MP与椭圆C的交点为Q，求|PQ|的取值范围．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面P AB，AB∥DC，E为棱PB的中点，平面DCE与棱P A相交于点F，且P A＝AB＝AD＝2CD＝2，再从下列两个条件中选择一个作为已知．条件①：PB＝BD；条件②：P A⊥BC．（1）求证：AB∥EF；（2）求点P到平面DCEF的距离；（3）已知点M在棱PC上，直线BM与平面DCEF所成角的正弦值为23，求PMPC的值．21．（15分）设椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆C相交于A，B两点．已知椭圆C的离心率为12，△ABF2的周长为8．（1）求椭圆C的方程；（2）判断x轴上是否存在一点M，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，使得MF1为△AMB的一条内角平分线？若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由．2023-2024学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

北京市西城区2017 - 2018学年度第二学期期末考试高一数学试卷北京市西城区2017-2018学年度第二学期期末试卷高一数学2018.7 A卷 [立体几何初步与解析几何初步] 本卷满分：100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.已知点 M(-1,2)，N(3,0)，则点 M 到点 N 的距离为（）。

A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 2√52.直线 x-y-3=0 的倾斜角为（）。

A) 45 (B) 60 (C) 120 (D) 1353.直线 y=2x-2 与直线 l 关于 y 轴对称，则直线 l 的方程为（）。

A) y=-2x+2 (B) y=-2x-2 (C) y=2x+2 (D) y=1/x-14.已知圆 M: x^2+y^2=1 与圆 N: (x-2)^2+y^2=9，则两圆的位置关系是（）。

A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切5.设m,n 为两条不重合的直线，α,β 为两个不重合的平面，m,n 既不在α 内，也不在β 内。

则下列结论正确的是（）。

A) 若m//α，n//α，则 m//n。

B) 若 m//n，n//α，则m//α。

C) 若 m⊥α，n⊥α，则 m⊥n。

D) 若 m⊥α，m⊥β，则α⊥β。

6.若方程 x^2+y^2-4x+2y+5k=0 表示圆，则实数 k 的取值范围是（）。

A) (-∞,1) (B) (-∞,1] (C) [1,+∞) (D) R7.圆柱的侧面展开图是一个边长为 2 的正方形，那么这个圆柱的体积是（）。

A) π (B) π/2 (C) 2π (D) π/28.方程 x=1-y^2 表示的图形是（）。

A) 两个半圆 (B) 两个圆 (C) 圆 (D) 半圆9.如图，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是梯形，XXX。

若平面 PAD 平面 PBC∥l，则（）。

2022-2023学年北京市西城区高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．直线的倾斜角等于（ ） 0x y +=A ． B ． C ． D ．45 90 120 135 【答案】D【分析】由得.0x y +==-+y x【详解】由得，则倾斜角为. 0x y +==-+y x 1-135 故选：D2．抛物线的准线方程为（ ） 24x y =A ． B ． C ． D ．1x ==1x -1y =1y =-【答案】D【分析】根据抛物线方程求出，进而可得焦点坐标以及准线方程. 2p =【详解】由可得，所以焦点坐标为，准线方程为：， 24x y =2p =()0,11y =-故选：D.3．在空间直角坐标系中，点，则（ ） O xyz -()()1,3,0,0,3,1A B -A ．直线坐标平面 B ．直线坐标平面 AB xOy AB ⊥xOy C ．直线坐标平面 D ．直线坐标平面AB xOz AB ⊥xOz 【答案】C【分析】求出及三个坐标平面的法向量，根据与法向量的关系判断．ABAB【详解】，坐标平面的一个法向量是，坐标平面的一个法向量是(1,0,1)AB =--xOy (0,0,1)xOz ，坐标平面的一个法向量是，这三个法向量与都不平行，(0,1,0)yOz (1,0,0)AB但，点均不在坐标平面上，因此与坐标平面平行，(0,1,0)0AB ⋅=,A B xOz AB xOz 故选：C ．4．在的展开式中，的系数为（ ） 4(21)x +2x A ．6 B ．12C ．24D ．36【答案】C【分析】先求二项式展开式的通项公式，然后根据通项公式计算求解即可.【详解】展开式的通项公式， 4(21)x +444144C (2)12C k kk k k kk T x x---+=⋅=令，得，42k -=2k =所以在的展开式中，的系数为，4(21)x +2x 42242C 4624-=⨯=故选：C5．在长方体中，，则二面角的余弦值为（ ） 1111ABCD A B C D -13,2,1AB BC AA ===1D BC D --ABCD【答案】D【分析】画出长方体，为二面角所成的平面角，求出1111ABCD A B C D -1D CD ∠1D BC D --的值即可得出答案.1cosD CD ∠【详解】长方体中，，，1111ABCD A B C D -13,2,1AB BC AA ===1CD ∴=，平面,平面,,BC CD ∴⊥BC ⊥ 11DCC D 1CD ⊂11DCC D 1BC CD ∴⊥又平面平面，1D BCBCD BC =为二面角所成的平面角，∴1D CD ∠1D BC D --11cos CD D CD CD ∠===所以二面角1D BC D --故选：D.6．若直线与圆相离，则实数的取值范围是（ ） 340x y m ++=22(1)1x y ++=m A ． B ． ()(),82,∞∞--⋃+()(),28,∞∞--⋃+C ． D ．()(),22,∞∞--⋃+()(),88,∞∞--⋃+【答案】B【分析】根据直线与圆相离则圆心到直线的距离大于圆的半径即可求解.【详解】因为直线与圆相离，所以圆心到直线的距离，(1,0)-340x y m ++=1d r =解得或， 2m <-8m >故选:B.7．2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有（ ） A ．种 B ．种C ．种D ．种33A 332A 5353A A -35A 【答案】B【分析】先排好教师再排学生即可.【详解】2名教师排在两边有种排法，3名学生排在中间有 种排法，22A 2=33A 所以共有 种排法； 332A 故选：B.8．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） a R ∈1a =1:20l ax y +=()2140+++=：l x a y A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】计算直线平行等价于或，根据范围大小关系得到答案.1a =2a =-【详解】直线与直线平行，则，或， 1:20l ax y +=()2140+++=：l x a y ()12a a +=1a =2a =-验证均不重合，满足.故“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 1a =1:20l ax y +=()2140+++=：l x a y 故选：A.【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.9．如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭l 圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（ ）2m 6m 1mA ．BC ．D 【答案】A【分析】根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，求直线被椭圆所截22194x y +=1y =得的弦长，代入椭圆方程即可求解.【详解】以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标x y 系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，22194x y +=当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长. 1m 1y =1y =把代入椭圆方程可得： 1y =x =所以当水位上升时，水面的宽度为， 1m 故选：.A 10．设点，，直线，于点，则的最大值为（ ） ()1,0A ()2,3N -:210l x ay a ++-=AM l ⊥M MNA B ．6C ．4D ．1【答案】B【分析】依题意可得直线的方程，再联立直线的方程，消后可得到的轨迹方程为AM l a M ，则所求的最大值为圆心到点的距离加上半径，由此即可求解．()()22111x y -++=MN ()2,3N -【详解】依题意可得直线的方程为，AM ()1y a x =-联立，消整理得，()2101x ay a y a x ++-=⎧⎨=-⎩a ()()22111x y -++=所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， M ()1,1-故的最大值为，MN 16=故选：B ．二、填空题11．设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为__________. ()()3,2,1,4A B --AB AB 【答案】2310x y --=【分析】求出线段的中点坐标和斜率，利用点斜式写出直线方程.AB【详解】因为，所以线段的中点，且.()()3,2,1,4A B --AB ()1,1C --()423132AB k --==---所以与垂直的直线的斜率为， AB 112332ABk k =-=-=-所以过线段的中点，与垂直的直线方程为，即. AB AB ()2113y x +=+2310x y --=故答案为：2310x y --=12．在的展开式中，常数项为_____．61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】20【分析】根据展开式的通项公式求解即可.【详解】在的展开式的通项公式为，61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6621661kk k k k k T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭所以令，解得，620k -=3k =所以常数项为3620C =故答案为：．2013．设为抛物线的焦点，点在抛物线上，点，且，则F 2:4C y x =A C ()3,0B AF BF =AB =__________.【答案】【分析】由题意可设，且满足，因为，由两点间的距离公式代入可求(),A x y 24y x ==2AF BF =出，即可求出.()1,2A ±AB 【详解】由题意可得，，，设， ()1,0F 2BF =(),A x y 且满足，此时， 24y x =0x >则，2AF ===解得：，此时，所以， 1x =2y =±()1,2A ±故AB ==故答案为：14．记双曲线的离心率为e ，写出满足条件“直线与C 无公共点”的e 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>2y x =的一个值______________．【答案】2（满足1e <≤【分析】根据题干信息，只需双曲线渐近线中即可求得满足要求的e 值. by x a =±02b a<≤【详解】解：，所以C 的渐近线方程为,2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>b y x a=±结合渐近线的特点，只需，即，02b a <≤224b a ≤可满足条件“直线与C 无公共点”2y x =所以===c e a又因为，所以， 1e >1e <≤故答案为：2（满足 1e <≤15．如图，在正方体中，为棱的中点，是正方形内部（含1111ABCD A B C D -2,AB E =1DD F 11CDD C 边界）的一个动点，且平面.给出下列四个结论：1//B F 1A BE①动点的轨迹是一段圆弧；F ②存在符合条件的点，使得； F 11B F A B ⊥③三棱锥的体积的最大值为；11B D EF -23④设直线与平面所成角为，则的取值范围是. 1B F 11CDD C θtan θ2,⎡⎣其中所有正确结论的序号是__________. 【答案】②③④【分析】对于①，利用线线平行可证得平面平面，进而知动点的轨迹； 1//A BE 1MNB F 对于②，利用垂直的性质的可判断； 对于③，利用三棱锥的体积公式可求得；对于④，利用线面角的定义结合三角形可求解；【详解】对于①，分别取和的中点，连接，，，1CC 11D C ,N M MN 1MB 1NB 由正方体性质知，，平面，平面，所以1//MN A B 11//NB EA 1,MN NB ⊂/1A BE 11,A B EA ⊂1A BE 平面,又平面，，所以平面平面，1,//MN NB 1A BE 1,MN NB ⊂1MNB 1MN NB N = 1//A BE 1MNB 当在上运动时，有平面，故动点的轨迹是线段，故①错误； F MN 1//B F 1A BE F MN 对于②，当为线段中点时，，， F MN 11MB NB = 1B F MN ∴⊥又，，故②正确；1//MN A B 11B F A B ∴⊥对于③，三棱锥的体积，11B D EF -11111233D EF D EF V S B C S =⋅=又所以三棱锥的体积的最大值为，故③正确；1max 12112D EF S =⨯⨯=23对于④，连接，则与平面所成角，则， 11,B F C F 1B F 11CDD C 11FC Bθ=∠12tan C Fθ=，所以的取值范围是，故④正确； 11C F≤tan θ2,⎡⎣故正确结论的序号是①③④， 故答案为：②③④三、解答题16．从4男3女共7名志愿者中，选出3人参加社区义务劳动. (1)共有多少种不同的选择方法？(2)若要求选中的3人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？ 【答案】(1)35 (2)30【分析】（1）7名志愿者中选出3人共有种；37C（2）选中的3人性别不能都相同，即为1男2女或2男1女，即.12214343C C C C +【详解】（1）7名志愿者中选出3人共有种； 37765C 353´´==！（2）选中的3人性别不能都相同，即为1男2女或2男1女，则有12214343C C C C 436330+=´+´=种.17．如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为线段的中P ABCD -PA ⊥ABCD ABCD E AB 点，.2PA AB ==(1)求证：；BC PE ⊥(2)求平面与平面夹角的余弦值. PAB PBD 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的性质定理可得,再根据底面是正方形可证明线面垂直，即可PA BC ⊥得；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求得平面与平面的法向量，即可BC PE ⊥PAB PBD 求得二面角的余弦值【详解】（1）由平面，根据线面垂直的性质定理可知， PA ⊥ABCD PA BC ⊥又因为底面为正方形，所以，ABCD AB BC ⊥又因为，且PA,BA 含于平面PAB,所以平面；PA BA A = BC ⊥PAB 为线段的中点，平面， E AB PE ⊂PAB 所以，BC PE ⊥（2）根据题意可知，以A 点为坐标原点，分别以AB 、AD 、AP 所在直线为轴、轴、轴建立x y z 空间直角坐标系，如下图所示：则；(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B D P 则，(2,0,2),(0,2,2)PB PD =-=-设平面的一个法向量为，PBD (,,)n x y z =得，令可得，，即；·220·220n PB x z n PD y z ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩ 1z =1,1x y ==(1,1,1)n = 易知，是平面的一个法向量， (0,2,0)AD =PAB 设平面与平面的夹角为，PAB PBD θ则cos cos ,n AD n AD n AD θ==== 所以，平面与平面PAB PBD 18．在平面直角坐标系中，，曲线是由满足直线与的斜率之积等于定值()()1,0,1,0A B -C PA PB 的点组成的集合.()λλ∈R P (1)若曲线是一个圆（或圆的一部分），求的值；C λ(2)若曲线是一个双曲线（或双曲线的一部分），且该双曲线的离心率，求的取值范围. C e ≥λ【答案】(1)1-(2) [)1+∞，【分析】（1）由题意知，的斜率存在，设代入斜率公式，再由斜率之积为定值，化,PA PB (),P x y 简满足圆的条件即可求得的值.λ（2）由题意知，的斜率存在，设代入斜率公式，再由斜率之积为定值，化简满足双,PA PB (),Px y 曲线的条件及离心率的取值范围.e ≥λ【详解】（1）设且，，由题意知，的斜率存在， (),P x y 1x ≠±()()1,0,1,0A B -,PA PB 则即， ()0011PA PBy y k k x x λ--⋅=⋅=---()()211y x x λ=-+可化为，()()2211y x x x λλλ=+-=-()1x ≠±因为曲线是一个圆（或圆的一部分），所以，C ()()2211y x x x λλλ=+-=-可化为，220x y λλ-++=所以解得.140λλ-=⎧⎨->⎩1λ=-（2）设且，，由题意知，的斜率存在， (),P x y 1x ≠±()()1,0,1,0A B -,PA PB 则即， ()0011PA PBy y k k x x λ--⋅=⋅=---()()211y x x λ=-+可化为，()()2211y x x x λλλ=+-=-()1x ≠±因为曲线是一个双曲线（或双曲线的一部分），所以，C ()()2211y x x x λλλ=+-=-可化为，()210yx λλ-=≠所以， 222221,,1a b c a b λλ===+=+因为 ce a=≥所以，22211c e a λ+==≥1λ≥所以的取值范围为. λ[)1+∞，19．已知椭圆的一个焦点为，其长轴长是短轴长的2倍.2222:1(0)x y C a b a b +=>>)F(1)求椭圆的方程；C (2)记斜率为1且过点的直线为，判断椭圆上是否存在关于直线对称的两点？若存在，F l C l ,A B 求直线的方程；若不存在，说明理由.AB 【答案】(1)2214x y +=(2)不存在【分析】（1）由及，根据，解得，写出方程.c 2a b =222a b c =+,a b（2）先假设存在，设出直线的方程，与椭圆方程联立，求得中点坐标，代入，求得，验证AB l m ，得结论不存在关于直线对称的两点.Δ0<l 【详解】（1）2222244()c a b a b a c ==∴==-24,2,1a a b ∴===椭圆的方程 C 2214x y +=（2）假设存在关于对称的两点l ,A B的方程为:l y x = AB y x m =-+直线与椭圆的方程联立得 AB C 2214y x m x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩2258440x mx m -+-=设1122(,),(,)A x y B x y 则， 12121282,()255m m x x y y x x m +=+=-++=的中点代入AB 4(,55mm y x =解得 m =此时，216800m ∆=-+<所以椭圆上不存在关于直线对称的两点.C l ,A B 20．如图，在四棱柱中，平面，1111ABCD A B C D -1AA ⊥1，，ABCD AB CD AD CD ==∥为线段的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知.12，AA AB E ==1AA 条件①：；条件②：AD BE ⊥BC =(1)求直线与所成角的余弦值；CE 11B D (2)求点到平面的距离；1C BCE (3)已知点在线段上，直线与平面的长. M 1CC EM 11BCCB CM 【答案】(3)的长为或. CM 1232【分析】选①或②，都能得到，，后如图以为原点建立空间直角坐标系.则可利用向量DA AB ⊥A 方法求线线角，点面距离，面面角解决问题.【详解】（1）若选择①，因平面ABCD ，平面ABCD ，则，1AA ⊥DA ⊂1DA AA ⊥又，平面，平面，，则AD BE ⊥1AA ⊂11ABB A EB ⊂11ABB A 1∩AA EB E =DA ⊥平面，又平面，则；11ABB A AB ⊂11ABB A DA AB ⊥若选择②，做，交AB 于F ，又，则四边形DCFA 是平行四边形，则CF AD ∥AB CD ，又，则.1CD CF AD AF ====2AB =1FB =则在中，，得，又，则.CFB 222CF FB BC +=CF AB ⊥CF AD ∥AD AB ⊥故，则如图建立以A 为原点的空间直角坐标系.11，，DA AA DA AB AA AB ⊥⊥⊥则，()()()()11110001102022,,，,,，,,，,,C E D B 得，则直线与所成角的余弦值为： ()()11111120,,，,,CE B D =--=-CE 11B D（2）因，()()()()1020110001112,,，,,，,,，,,B C E C 则. ()()()1110111002,,，,,，,,CB CE CC =-=--=设平面的法向量为，则， BCE ()111,,x n y z = 111110000x y z n CE x y n CB ⎧--+=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩ 取，则求点到平面的距离()1,1,2n = 1C BCE d （3）因点在线段上，则设，其中. M 1CC ()11,,M t []0,2t ∈又，则.又， ()0,0,1E ()111,,EM t =-()()11,1,00,0,2CB CC =-= ，设平面法向量为，则， 11BCC B ()222,,m x y z = 222100200x y m CB z m CC ⎧-+=⎧⋅=⎪⇒⎨⎨=⋅=⎪⎩⎩取，则直线与平面所成角的正弦值为： ()1,1,0m =u r EM 11BCC B或.12EM mtEM m⋅==⇒=⋅32t=得线段的长为或.CM123221．已知椭圆的焦点在轴上，且离心率为.22:116x yCt t+=+-x12(1)求实数的值；t(2)若过点可作两条互相垂直的直线，且均与椭圆相切.证明：动点组成的集合(),P m n12,l l12,l l C P是一个圆.【答案】(1)3t=(2)见解析【分析】（1）根据椭圆的离心率即可求解，（2）联立直线与椭圆的方程，根据相切得判别式为0，进而代入切线中的，化简k k,km n b¢=-+=即可求解.【详解】（1）椭圆的焦点在轴上，且离心率为，所以，解22:116x yCt t+=+-x12()216114t tet+--==+得，3t=（2）当时，椭圆方程为，3t=22143x y+=设与椭圆相切，且斜率存在的直线方程为，y k x b'=+所以，()222223484120143y k x bk x k bx bx y''=+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩'由于相切，所以，化简得—①，()()()222=84344120k b k b¢¢D-+->22430k b¢-+=设过点且斜率为的直线方程为，即，(),P m n0k'≠()y k x m n¢=-+y kx km n=-+所以将代入①得，k k,km n b¢=-+=()22430k km n--++=化简得—②，22224230k n kmn k m -+-+=将代入②得，化简得—③， 1k -22221114230n mn m k k k æöç÷-+--+=ç÷èø22224230n k kmn m k ---+=由②③相加得， ()()()2222227117k k m n m n +=++Þ+=当其中一条切线无斜率时，此时,也满足，12,l l (2P ,±227m n +=综上可知：动点组成的集合是一个圆，且圆的方程为(),P m n 227m n +=【点睛】根据直线与曲线相切，转化成判别式为0，进而得到等量关系式，可将关系式进行适当的变形，根据弦长公式，或者利用向量共线等方式，化简运算即可求解.。

2018-2019学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，，那么( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】解：∵集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x2≤5}＝{x|}，∴A∩B＝{﹣2，0，2}．故选：B．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【详解】解：解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x2+2x为二次函数，其对称轴为x＝﹣1，不是偶函数，不符合题意；对于B，y＝x3，是奇函数，不符合题意；对于C，y＝ln|x|，是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；对于D，y＝cos x为偶函数，在区间（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．3.一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最长棱的棱长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．即可得出．【详解】解：由三视图可知：该几何体如图所示，PA⊥底面ABCD，PA=2，底面是一个直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，BC=AB=1，AD=2．可知其最长棱长为PD2．故选：C．【点睛】本题考查了四棱锥的三视图的有关计算，考查空间想象能力，属于基础题．4.设x，y满足约束条件，则z=x+3y的最小值为（）A. B. C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，﹣1），化目标函数z＝x+3y为y，由图可知，当直线y过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1．故选：A．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．5.执行如图所示的程序框图，若输入的m=1，则输出数据的总个数为（）。

北京市西城区2021—2022学年度第一学期期末试卷 高三数学 第1页（共6页）AA 1E .CC 1B B 1.F北京市西城区2021—2022学年度第一学期期末试卷高三数学 2022.1本试卷共 6 页， 150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{32}A x x =-<≤，{23}B x x =-<≤，则A B =（A ）(3,3]- （B ）(3,3)- （C ）(3,2]-（D ）(2,2]-（2）在复平面内，复数(12i )i z =+对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（3）在△ABC 中，若2a =，3b =，1cos()3A B +=，则c = （A （B ）4 （C（D ）3（4）若双曲线2222:1x y C a b-=的一条渐近线方程为2y x =，则双曲线C 的离心率为 （A ）12（B ）23（C ）32（D ）2（5）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点,E F 分别是棱11,A C BC 的中点，则下列结论中不正确．．．的是 （A ）1//CC 平面11A ABB（B ）//AF 平面111A B C （C ）//EF 平面11A ABB（D ）//AE 平面11B BCC北京市西城区2021—2022学年度第一学期期末试卷 高三数学 第2页（共6页）（6）已知函数1,0,()2,0x x x f x a x ⎧<⎪=⎨⎪ -⎩≥的值域为R ，则实数a 的取值范围是（A ）0a < （B ）0a > （C ）1a ≤（D ）1a ≥（7）已知{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，若213S a =，223a a =，则4S = （A ）7（B ）8 （C ）15（D ）31（8）已知函数()f x 的图象在区间[0,2]上连续不断，则“(0)(1)(2)0f f f ++=”是“()f x 在[0,2]上存在零点”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）按照“碳达峰”、“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口. Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C （单位：Ah ），放电时间t （单位：h ）与放电电流I （单位：A ）之间关系的经验公式：n C I t =⋅，其中n 为Peukert 常数. 为了测算某蓄电池的Peukert 常数n ，在电池容量不变的条件下，当放电电流20A I =时，放电时间20h t =；当放电电流30A I =时，放电时间10h t =.则该蓄电池的Peukert 常数n 大约为（参考数据：lg 20.30,lg30.48≈≈）（A ）43（B ）53（C ）83（D ）2（10）设集合A 的最大元素为M ，最小元素为m ，记A 的特征值为A X M m =-，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知1A ，2A ，3A ， ，n A 是集合*N 的元素个数均不相同的非空真子集，且123120n A A A A X X X X ++++= ，则n 的最大值为 （A ）14（B ）15 （C ）16（D ）18北京市西城区2021—2022学年度第一学期期末试卷 高三数学 第3页（共6页）第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。