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高数极限 60 题1. 求数列极限 lim (sin n1 sin n ) 。
n2. 设 S nn k ，其中 b k (k 1)! ，求 lim S n 。
k1 b k n3. 求数列极限 lim (123 2n 1) ，其中q。
nqqnq14.求数列极限 lim [ n 24n 5 (n 1)] 。
n5. 求数列极限 lim (112 )(112 )...(112)。
n 23n6. 求极限 lim( x1)2(2x 1) 2 (3x 1)2 ... (10 x 1)2 。
x(10 x 1)(11x 1)7. 求极限 lim (4x 28x 5 2x 1) 。
x2e 3 x 3e2 x8. 讨论极限 lim3xx4e e2x。
9. 求极限 lim tan 2xtan( x) 。
x4410. 求极限 lim33x 2 2 。
x2x 211. 求极限 lim (1 2 x)5 (1 4 x) 3x。
x 012. 求极限 lim1 tan x 3 sin x 1 。
xx13. 讨论极限 lim2 2 cos x 。
x 0x14. 求数列极限 lim 2nsin2n 1。
n15.设x 1a 0，且 x n 1ax n ，证明： lim x n 存在，并求出此极限值。
n16. 设 x 12 ，且 x n 12 x n ，证明： lim x n 存在，并求出此极限值。
n17.设 x n 1 1 1 ... 1 （ n 为正整数），求证： lim x n 存在。
2 222 3 n n18. 求数列极限 lim2n。
nn!19. 求极限lim ln( 2 3e 2 x )3 x。
xln( 3 2e )20. 求极限 lim xx xx。
xx21. 无限循环小数 0.9 的值 (A) 不确定 (B) 小于 1 (C)等于 1 (D) 无限接近 1222. 求数列极限 lim (sec )n 。
nn23. 应用等价无穷小性质，求极限lim arctan(1x 01124.(1 4x)2(1 6x) 3 求极限 limx。
极限练习题及答案一. 选择题1.设F是连续函数f的一个原函数，”M?N”表示“M 的充分必要条件是N”，则必有.F是偶函数?f)是奇函数.F是奇函数?f是偶函数. F是周期函数?f是周期函数. F是单调函数?f是单调函数．设函数f?1x,则ex?1?1x?0，x x?0，x?1都是f?1都是f的第一类间断点. 的第二类间断点x?0是f的第一类间断点，x?1是f的第二类间断点. x?0是f的第二类间断点，x3．设f?x??x?1x?1是f的第一类间断点.1，则f[，x?0、，1f]?1A） 1?xB） 1?x4．下列各式正确的是 C）XD） x1+ )?exx11lim??elimC） D）?exxA） limx?0?1x?1B）limx?01x?x?xx??x??5．已知lim?9，则a?。
A.1；B.?；C.ln3；D.2ln3。
．极限：lim x??2A.1；B.?；C.e7．极限：lim； D.e。
2x??x3?2= x3A.1；B.?；C.0；D.2．8．极限：limx?0x?1?1x=A.0；B.?；C 1； D.2．29. 极限：lim=x???A.0；B.?；C.2；D. 1．2sinx10．极限: limtanx?=x?0sin2xA.0；B.?；C.二. 填空题 11．极限limxsinx??116； D.16．2xx?12= ； 12. limarctanx= ；x?0x13. 若y?f在点x0连续，则lim[f?f]= ； x?x?14. limsin5xxx?0?；15. limn?；16. 若函数y?x?1x?3x?222，则它的间断点是17. 绝对值函数?x,x?0;?f?x??0,x?0;??x,x?0.?其定义域是，值域是。
?1,x?0;?18.符号函数 f?sgnx??0,x?0;其定义域是，值域是三个点的集合。
??1,x?0.?19无穷小量是。
20. 函数y?f在点x0连续，要求函数y?f满足的三个条件是。
极限定理习题及答案极限定理习题及答案引言：极限定理是微积分中的重要概念，它描述了函数在某个点附近的行为。
通过研究极限，我们可以揭示函数的性质，解决各种数学问题。
本文将介绍一些常见的极限定理习题，并给出详细的答案。
一、极限的定义在开始解答具体习题之前，我们先来回顾一下极限的定义。
对于给定的函数f(x)，当自变量x无限接近某个常数a时，如果函数值f(x)也无限接近一个常数L，那么我们就说函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
二、习题及解答1. 求函数f(x)=2x^2-3x+1在x趋于2时的极限。
解答：根据极限定义，我们要求当x趋于2时，函数f(x)的极限。
将x代入函数f(x)，得到f(2)=2(2)^2-3(2)+1=7。
因此，当x趋于2时，函数f(x)的极限为7。
2. 求函数f(x)=sinx/x在x趋于0时的极限。
解答：根据极限定义，我们要求当x趋于0时，函数f(x)的极限。
首先，我们可以观察到当x等于0时，函数的值为0/0，这是一个未定义的情况。
但是，我们可以利用泰勒展开将函数转化为可求解的形式。
对于sinx，我们可以将其展开为x-x^3/3!+x^5/5!-...。
将展开后的形式代入函数f(x)，得到f(x)=(x-x^3/3!+x^5/5!-...)/x=1-x^2/3!+x^4/5!-...。
当x趋于0时，我们可以发现除了第一项1之外，其他各项都趋于0。
因此，当x趋于0时，函数f(x)的极限为1。
3. 求函数f(x)=ln(1+x)/x在x趋于0时的极限。
解答：根据极限定义，我们要求当x趋于0时，函数f(x)的极限。
将x代入函数f(x)，得到f(0)=ln(1+0)/0=ln(1)/0。
我们可以发现ln(1)=0，而0/0是一个未定义的情况。
为了解决这个问题，我们可以利用洛必达法则。
对函数f(x)求导，得到f'(x)=(1/(1+x)-ln(1+x))/x^2。
极限练习题及解析一、概述极限是微积分的基本概念之一，用于描述数列、函数等在某一点或无穷趋近某一点时的表现。
极限练习题在数学学习中起到了重要的训练和应用作用。
本文将介绍几个经典的极限练习题，并提供详细的解析过程。
二、经典练习题1. 问题描述：求极限$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}$。
解析：由于分子和分母的次数相同，我们可以利用最高次项的系数进行极限求解。
根据极限的性质，我们可以忽略分子和分母中低阶的项，只保留最高次项。
因此，$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\frac{1}{n}} = \frac{1}{1+0} = 1$。
2. 问题描述：求极限$\lim_{x\to2}\frac{x^3-8}{x-2}$。
解析：这是一个分式极限问题，我们可以尝试进行因式分解。
由于$x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4)$，我们可以将分子进行因式分解。
然后可以约掉公因式$(x-2)$，即得到$\lim_{x\to2}\frac{x^3-8}{x-2} =\lim_{x\to2}(x^2+2x+4)$。
将$x$代入结果得到$2^2+2\times2+4 = 12$。
3. 问题描述：求极限$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$。
解析：这是一个常见的三角函数极限问题，我们可以利用泰勒级数展开对$\sin x$进行拆解。
泰勒级数展开为$\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$。
将展开式带入极限，得到$\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} = \lim_{x\to0}\frac{x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...}{x}$。
高中数学极限试题及答案1. 极限的概念（1）若函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)的某个去心邻域内有定义，且存在常数\( A \)，使得当\( x \)在\( x_0 \)的去心邻域内且\( x \neq x_0 \)时，都有\( |f(x) - A| < \epsilon \)，则称\( A \)是函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)处的极限，记作\( \lim_{x \to x_0}f(x) = A \)。
（2）若\( \lim_{x \to x_0} f(x) = A \)，则称\( f(x) \)在\( x_0 \)处的极限存在，否则称为极限不存在。
2. 极限的运算法则（1）若\( \lim_{x \to x_0} f(x) = A \)，\( \lim_{x \to x_0} g(x) = B \)，则\( \lim_{x \to x_0} (f(x) + g(x)) = A + B \)。
（2）若\( \lim_{x \to x_0} f(x) = A \)，\( \lim_{x \to x_0} g(x) = B \)，则\( \lim_{x \to x_0} (f(x) \cdot g(x)) = A\cdot B \)。
（3）若\( \lim_{x \to x_0} f(x) = A \)，\( \lim_{x \to x_0} g(x) = B \)，则\( \lim_{x \to x_0} (f(x) / g(x)) = A / B \)（前提是\( B \neq 0 \)）。
3. 极限的计算（1）计算极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)。
答案：\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)。
（2）计算极限\( \lim_{x \to 2} (3x^2 - 4x + 2) \)。
极限基础练习题及答案极限是微积分中非常重要的一个概念，它在解决许多高阶数学和物理问题时起到了至关重要的作用。
针对极限的练习题有助于我们巩固和扩展对此概念的理解。
下面将为大家提供一些常见的极限基础练习题及答案。
1. 求极限(a) lim(x→0) sin(x)/x(b) lim(x→∞) (2x^2 + 3x)/(x^2 - 5x)解答：(a) 对于极限lim(x→0) sin(x)/x，我们可以利用泰勒展开式展开sin(x)，得到sin(x)=x-1/6x^3+O(x^5)，其中O(x^5)表示x^5阶无穷小。
将此结果代入极限式中，可以得到lim(x→0) sin(x)/x = lim(x→0) (x-1/6x^3+O(x^5))/x = lim(x→0) (1-1/6x^2+O(x^4)) = 1。
因此，该极限等于1。
(b) 对于极限lim(x→∞) (2x^2 + 3x)/(x^2 - 5x)，我们可以将分子和分母都除以x^2，并取x趋近于无穷大，得到lim(x→∞) (2 + 3/x)/(1 - 5/x) = (2 + 0)/(1 - 0) = 2/1 = 2。
因此，该极限等于2。
2. 求极限(a) lim(x→∞) (e^x + 2)/(e^x - 3)解答：对于极限lim(x→∞) (e^x + 2)/(e^x - 3)，我们可以将分子和分母同时除以e^x，并取x趋近于无穷大，得到lim(x→∞) (1 + 2/e^x)/(1 - 3/e^x)= (1 + 0)/(1 - 0) = 1。
因此，该极限等于1。
3. 求极限(a) lim(x→0) (sqrt(1 + 3x) - 1)/x(b) lim(x→∞) (3x^2 + 2x - 1)/(2x^2 - 5)解答：(a) 对于极限lim(x→0) (sqrt(1 + 3x) - 1)/x，我们可以将分子有理化，得到lim(x→0) ((sqrt(1 + 3x) - 1)(sqrt(1 + 3x) + 1))/(x(sqrt(1 + 3x) + 1))。
极限习题及答案极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
在解决极限问题时，我们通常需要掌握一些基本的极限性质和技巧。
以下是一些极限习题及相应的答案。
习题1：求极限 \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)答案：首先，我们可以尝试化简表达式：\[\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2}\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}\]当 \(x \neq 2\) 时，分子和分母中的 \(x - 2\) 可以相互抵消，得到：\[\lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4\]习题2：求极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)答案：这个极限是著名的正弦极限，其值是 1。
我们可以通过洛必达法则或者直接利用正弦函数的图形来理解这个极限。
当 \(x\) 接近 0 时，\(\frac{\sin x}{x}\) 接近 1。
求极限 \(\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x}{x^2 + 1}\)答案：当 \(x\) 趋向于无穷大时，分子和分母中 \(x^2\) 的项占主导地位，因此：\[\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x}{x^2 + 1} = \frac{3 +\frac{2}{x}}{1 + \frac{1}{x^2}} = 3\]习题4：求极限 \(\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}\)答案：这个极限是 e 的定义，即自然对数的底数。
我们可以通过取对数来解决这个问题：\[\ln(\lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}}) = \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1 + x)}{x}\]当 \(x\) 接近 0 时，\(\ln(1 + x)\) 接近 \(x\)，因此：\[\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{x \to 0} 1 = 1\]所以原极限的值为 \(e\)。
极限习题及答案极限的则运算极限习题及答案：1. 计算极限：lim(x→∞) (2x + 1)/(3x - 2)解：当 x 趋近无穷大时，分子和分母的最高次项都是 x，所以可以将 x 提取出来：lim(x→∞) (2x + 1)/(3x - 2)= lim(x→∞) (2 + 1/x)/(3 - 2/x)当 x 趋近无穷大时，1/x 趋近于 0，所以可以将其忽略：= lim(x→∞) (2 + 0)/(3 - 0)= 2/32. 计算极限：lim(x→0) (sin 3x)/(2x)解：当 x 趋近 0 时，sin 3x 趋近 0，所以可以将其忽略：lim(x→0) (sin 3x)/(2x)= lim(x→0) (3)/(2)= 3/23. 计算极限：lim(x→1) (x^2 - 1)/(x - 1)解：这个极限的形式是 0/0，我们可以尝试将其进行因式分解：(x^2 - 1)/(x - 1) = (x + 1)(x - 1)/(x - 1) = x + 1当 x 趋近 1 时，x + 1 趋近 2，所以极限为 2。
4. 计算极限：lim(x→∞) (e^x + 1)/(e^x - 1)解：当 x 趋近无穷大时，e^x 趋近无穷大，所以可以将其忽略：lim(x→∞) (e^x + 1)/(e^x - 1)= lim(x→∞) (1 + 1)/(1 - 1)= 2/0这个极限不存在。
5. 计算极限：lim(x→0) (1 - cos x)/(x^2)解：这个极限的形式是 0/0，我们可以尝试将其进行泰勒展开：1 - cos x = 1 - (1 - x^2/2 + x^4/4! - x^6/6! + .)= x^2/2 - x^4/4! + x^6/6! - 。
当 x 趋近 0 时，x^2/2 趋近 0，所以极限为 0。
这是一些常见的极限习题及答案，通过这些例子，你可以更好地理解极限的概念和运算法则。
模拟极限测试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 极限的定义是什么？A. 函数在某点的值B. 函数在某点附近的行为C. 函数在某点的导数D. 函数在某点的切线斜率答案：B2. 以下哪个选项不是求极限的方法？A. 直接代入法B. 夹逼定理C. 洛必达法则D. 微分法答案：D3. 如果函数\( f(x) \)在点\( c \)处连续，那么\( \lim_{x \to c} f(x) \)等于什么？A. \( f(c) \)B. \( f(c+1) \)C. \( f(c-1) \)D. \( f(0) \)答案：A4. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. 不存在答案：B5. 以下哪个函数在\( x \)趋向无穷大时的极限为无穷大？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( g(x) = \frac{1}{x} \)C. \( h(x) = e^x \)D. \( j(x) = \ln x \)答案：C6. 函数\( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)在\( x \)趋向1时的极限是什么？A. 0B. 1C. 2D. 无穷大答案：C7. 以下哪个函数是周期函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( g(x) = \sin x \)C. \( h(x) = e^x \)D. \( j(x) = \ln x \)答案：B8. 极限\( \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \)的值是多少？A. 0B. 1C. 无穷大D. 存在但不是A或B答案：A9. 函数\( f(x) = \frac{\sin x}{x} \)在\( x \)趋向无穷大时的极限是什么？A. 0B. 1C. 无穷大D. 不存在答案：A10. 极限\( \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} \)的值是多少？A. 0B. 1C. eD. 无穷大答案：C二、填空题（每空2分，共20分）11. 函数\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)在\( x = 2 \)处的导数是________。
极限必做150解答033002020001021111.lim ()x sin tan tan sin tan (1cos )1lim lim 2ln()ln()2ln 2.lim1121lim lim 22()()l x x x x x x x x x ax x x x x x x x a x a x a x x a x a x x x a x a x a→→→→→→→→→---===++----+-===-+-===00002201tan 6.lim(sin lim ln(1)ln(1x x )7.lim secx cosxl x ax ax a x x x x x x mxm nx mx m nx n x x →→→→→→→→→+=+==-==+++-+-=、n 为正整数)=2224222002020ln (1)im lim 1sec (1cos )1..8.lim ln()1111121lim ....2x x x x nxx x x nx x x x x x x x xe e e x n e e e n n x nn n n n n →→→→⎡⎤+-+⎣⎦==-+++⎛⎫---+=+++=+++= ⎪⎝⎭)22(1)22(1)6(1)lim2312li 9.limsinlim(1))lim(1)03210.lim 346lim 1312111.lim 212lim 121n n nnn n n n n n n n n n n nn nn n n n ee n n n e n π→∞→∞→∞→∞+→∞+-+-+→∞→∞→∞=--=-=⎛⎫- ⎪+⎝⎭⎛⎫=-== ⎪+⎝⎭+⎛⎫ ⎪-⎝⎭⎛⎫=+= ⎪-⎝⎭2m 21ln ln lim lim ()2211(2)(2)22(2)(2)2(2)(2)(2)(2200012.lim 13.lim 212lim lim lim 2n n n n n nn a ba bn n n nn nn t t t t t t t t t e ee en e e e t ne e e e e e e t t →∞→∞→∞-→∞++⎝⎭+-→∞+-+-+-→→→=⎝⎭====⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=+--+===令)21lim 1lim 1214.lim 1 (a ln lim ln 15.lim 1n n n n n n nn n n e n a a n a nn eeee →∞→∞→∞→∞→∞⎫⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=⎛ ⎪+⎝⎭====为整数)=[]211lim21116.lim ln()ln()2ln 1,n17.lim lim (1)lim 1118.lim (1)19.lim ln(1)ln 1lim ln lim n n a bn n n abnn n n nn n n n n n n a a a n n t n e e n e n e a b e n ne n e e nn n n n n n →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤++--⎢⎥⎣⎦=⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+-=+-+⎛⎫== ⎪⎝⎭令同第二题[]211120201ln(1)1120.limln (1)(1)(1)(1)limlim 2ln()(1)21.lim ln(1)ln(1)122lim ln()lim ln(1)lim 2111ln cos 22.limln(1cosx 1)lim li x x x x x x x x x n n x x x x x x x x x x xx xx x x x x xx x →∞→-→-→-→+∞→+∞→+∞→+∞→→+=-+-+-===--++--+==+==---+-==[]2022cos 11m 223.lim (2)ln(2)2(1)ln(1)ln 2lim ln(2)ln(1)ln ln(1)2ln()121lim ln ln 2lim ln(1)221111(1)x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→+∞→+∞→+∞→+∞-=-++-++++⎡⎤=+-++-++⎢⎥+⎣⎦+⎡⎤=++=-+=-=⎢⎥+++⎣⎦)00010110112lim 2cot 0sin()cos()44limcos()tan cos()sin()244424.lim26.lim tan()427.lim sin x x x x xx xx x xxx x x x x x x x xe ee eex e e x ππππππ→→→→→→→--→---------→+=====⎡⎤-⎢⎥⎣⎦===()22222221sin cos 1cos 1limlim1tan2sin 1cos limlim12cos cos 2222122lim 1lim 2121cos 28.lim(sin )2129.lim 21x x x x x x xx x x xxxx x x x xxx x x x x x x x x x x eeex e eex x x x eeπππ→→→→→∞→∞+--+→---→∞⎛⎫-+-+⎛⎫- ⎪ ⎪ +-+-⎝⎭⎝⎭+======⎛⎫-+ ⎪+-⎝⎭==132lim 3621122130.lim 212lim(1)2131.lim(12)x xx x x x xx e x x e e x x e →∞⎪-→∞⎛⎫⎪+⎝⎭→∞-→=+⎛⎫⎪-⎝⎭=+=+-=22lim cos1lim()221cos cos sinlim limtancos()cos0002232.lim coscos33.limcosln()ln()2ln134.lim35.limx xx a x axxx xxx ax ax a xaa x a axxe e exae e ex x x x xx xππ→+∞→+∞→→→+∞⎡⎤⎫-⎢⎪⎥-⎭⎣⎦-→----→→+===⎛⎫⎪⎝⎭===++--+同第二题-[]00011211121ln(1)ln(1)ln(1)lim ln(1)lim lim1ln(sec tan)36.limsinln(1sin)cos ln(1sin)ln coslim lim lim137.lim()lim(axax axaxaxx x xxx x xx xxxxbexb b e abee abx x ex xxx x x xx x xx a ax a a∞→+∞→+∞→+∞→→→→+→+∞+→+∞+++=+===++++==+=-=22122111(ln ln) 0005111)lim()ln lim ln ln1(1)138.lim111lim explim explim1(1)139.lim5x xx xx xxxx x x x x xxa bx xx x xxxxx a a ax x x xxaxbxa xb a b a b aexb x xb x x bex-+→+∞→+∞→-→→→→-=-==++⎛⎫+⎪+⎝⎭⎛⎫----===-== ⎪++⎝⎭-=20000tan 30tan 300300240.lim 1111lim lim lim 12222241.lim sin 11lim lim 132142.lim 3ln lim 3ln 43.lim()lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x a x a a x a x a x e e x e e e e x x x e e x e e x x a x x a a xa a x a a a x a -→--→→→→→→→→→-→→+----==-=+=---=-=-=--==--==-0000100101000()ln ln ln ln 144.lim145.lim11(1)1lim lim 46.lim 2112x 47.lim()11explim explim a a a x x n x n t t xxxx bx x x bx bx a bx x a x a a a a x a x x x x x x x x tt nt n t t a b t ax e ax e e a e x x→→→→→→+→→-=--=----=+-===⎛⎫+ ⎪⎝⎭=++--==+=令令，如题31148.ln 1 n ()ln(1)1()10,[0,)11()[0,)()(0),[0,)11ln(1)0ln(1)ln(1)()32,()(x 1),()n n nf x x xxf x x x xf x f x f x x x x x n nx x x x c c x αβα⎛⎫+< ⎪⎝⎭=+--'=-=≤∈+∞+++∞<∈+∞+-<⇒+<⇒+<=-+=-→证明不等式：其中为正整数解：令当所以在递减 所以即证毕49.设确定及n,使当x 1时，3211111211~()()3233lim 1lim 1lim 1()(1)(1)3(1)(x 1)3(1)lim1lim 1(1)(1)612,c 350.()(),A ()~()l n n x x x n n x x kx x x x x x c x cn x x x cn x cn x n cn Af xg x f x g x x βαβ-→→→--→→-+-=⇒=⇒=--+-+⇒=⇒=--=⇒====→∞解：所以n-2=0,设确定K 及，使当x +,解：1212()im1lim1()~()lim1lim 1()lim11111,,1,224k x x k x x kx f x g x Ax x f x g x Axk A A-→+∞→+∞-→+∞→+∞-=⇒==-=→∞=⇒=⇒===--==-所以k+4。
