离散性随机变量的分布列 习题课

. 课题：离散型随机变量及其分布列考纲要求：①理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；②理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用. 教材复习1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量3.连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出5.离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为1x 、2x 、…、i x 、… ξ为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列6.离散型随机变量分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:0≤()P A ≤1，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：()1i p ≥0，1,2,i =…；()212p p ++…1=对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和.即(P ξ≥1)()()k k k x P x P x ξξ+==+=+⋅⋅⋅7.两点分布：若随机变量服从两点分布，即其分布列： 其中P =(1)P X =称为成功概率(表中01p <<). 8.几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时，所作试验的次数ξ也是一个正整数的离散型随机变量．“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生.如果把k 次试验时事件A 发生记为k A 、事件A 不发生记为k A ，()k p A p =， ()(1)k p A q q p ==-，那么112311231()()()()()()()k k k k k P k P A A A A A P A P A P A P A P A q p ξ---====(0,1,2,k =…， p q -=1)于是得到随机变量ξ的概率分布如下：.称这样的随机变量ξ服从几何分布，记作(,)g k p 1k qp -=，其中0,1,2,k =…，p q -=1 9.超几何分布：一般地，设有N 件产品，其中有M （M ≤N ）件次品，从中任取n （n ≤N ）件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么()P X k == （其中k 为非负整数）.如果一个随机变量的分布列由上式确定，那么称X 服从参数10.求离散型随机变量分布列的步骤：1要确定随机变量ξ的可能取值有哪些.明确取每个值所表示的意义；()2分清概率类型，计算ξ取得每一个值时的概率（取球、抽取产品等问题还要注意是放回抽样还是不放回抽样；()3列表对应，给出分布列，并用分布列的性质验证.11.几种常见的分布列的求法：()1取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布，关键是概率的计算.所用方法主要有化归法、数形结合法、对应法等，对于取球、抽取产品等问题，还要注意是放回抽样还是不放回抽样.()2射击问题：若是一人连续射击，且限制在n 次射击中发生k 次，则往往与二项分布联系起来；若是首次命中所需射击的次数，则它服从几何分布，若是多人射击问题，一般利用相互独立事件同时发生的概率进行计算.()3对于有些问题，它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚，此时要仔细审题，明确题中的含义，恰当地选取随机变量，构造模型，进行求解.典例分析：考点一 由古典概型求离散型随机变量的分布列 问题1．（2013天津）一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张, 编号分别为2,3,4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张 卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率. (Ⅱ) 在取 出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.考点二由统计数据求离散型随机变量的分布列问题2．（2010广东）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(]510,515，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.495,500，…，(]490,495，(]()1根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量.()2在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列.()3从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率...考点二 两点分布问题3．一个盒子中装有5个白色玻璃球和6红色玻璃球，从中摸出两球.当两球全为红色玻璃球时，记0X =；当两球不全为红色玻璃球时，记为1X =.试求X 的分布列.考点三 超几何分布 问题4．（2012浙江）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出3球所得分数之和．()1求X 的分布列；()2求X 的数学期望EX ．.走向高考：1.（2012江苏）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=． ()1求概率(0)P ξ=； ()2求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．2.（2013浙江）设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一 个红球得1分，取出一个黄球2分，取出蓝球得3分.()1当1,2,3===c b a 时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，.求ξ分布列；()2略3.（2011江西）某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令X表示此人选对A饮料的杯数.假设次人对A和B两种饮料没有鉴别能力.()1求B的分布列；()2求此员工月工资的期望..4.（2011广东）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素,x y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：(1已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；()2当产品中的微量元素,x y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；()3从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）..5.（2013重庆）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋奖级摸出红、蓝球个数获奖金额一等奖3红1蓝200元二等奖3红0蓝50元三等奖2红1蓝10元其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.()1求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；()2求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望()E X..。

第七章随机变量及其分布7.2 离散型随机变量及其分布列第2课时 课后篇巩固提升基础达标练1.设离散型随机变量X 的分布列为若随机变量Y=X-2,则P (Y=2)等于( )A.0.3B.0.4C.0.6D.0.70.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得m=0.3,故P (Y=2)=P (X=4)=0.3.2.(2020浙江高三专题练习)已知离散型随机变量X 的分布列如下表,则实数c 为( )X 0 1 P9c 2-c 3-8cA.13 B.23 C.1或23D.14,9c 2-c ≥0,3-8c ≥0,9c 2-c+3-8c=1,解得c=13.故选A.3.若随机变量X 的分布列为则当P (X<a )=0.8时,实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,2] B.[1,2] C.(1,2] D.(1,2)X 的分布列知P (X<1)=0.5,P (X<2)=0.8,故当P (X<a )=0.8时,实数a 的取值范围是(1,2].4.(2020潍坊高三月考)若随机变量X 的分布列如下表所示,则a 2+b 2的最小值为( )X 0 1 2 3P 14a14bA.124B.116C.18D.14a+b=12,故a2+b2≥(a+b)22=18,当且仅当a=b=14时,等号成立.故选C.5.已知离散型随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=an (n+1)(n=1,2,3,4),其中a 是常数,则P12<X<52的值为()A.23B.34C.45D.56P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),∴a2+a6+a12+a20=1,∴a=54,∴P12<X<52=P(X=1)+P(X=2)=54×12+54×16=56.6.已知随机变量X的分布列如下表.则X为奇数的概率为.7.有一种密码,明文由三个字母组成,密码由明文的这三个字母对应的五个数字组成.编码规则如下表.明文由表中每一排取一个字母组成,且第一排取的字母放在第一位,第二排取的字母放在第二位,第三排取的字母放在第三位,对应的密码由明文所取的这三个字母对应的数字按相同的次序排成一组组成.如明文取的三个字母为AFP,则与它对应的五个数字(密码)就为11223.(1)假设明文是BGN,求这个明文对应的密码;(2)设随机变量ξ表示密码中所含不同数字的个数.①求P (ξ=2);②求随机变量ξ的分布列.这个明文对应的密码是12232.(2)①∵表格的第一、二列均由数字1,2组成,∴当ξ=2时,明文只能取表格第一、第二列中的字母. ∴P (ξ=2)=2333=827.②由题意可知,ξ的取值为2,3. ∴P (ξ=3)=1-P (ξ=2)=1-827=1927. ∴ξ的分布列为8.某市举行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定:初赛成绩大于90分的具有复赛资格.某校有800名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间(30,150]内,其频率分布直方图如图.(1)求获得复赛资格的人数.(2)从初赛得分在区间(110,150]的参赛者中,利用分层随机抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流,那么从得分在区间(110,130]与(130,150]中各抽取多少人?(3)从(2)抽取的7人中,选出3人参加全市座谈交流,设X 表示得分在区间(130,150]中参加全市座谈交流的人数,求X 的分布列.由题意知在区间(90,110]的频率为1-20×(0.0025+0.005+0.0075×2+0.0125)=0.3,0.3+(0.0125+0.005)×20=0.65,故获得复赛资格的人数为800×0.65=520. (2)0.0125∶0.005=5∶2,在区间(110,150]的参赛者中,利用分层随机抽样的方法随机抽取7人, 则在区间(110,130]与(130,150]中各抽取5人,2人. (3)X 的可能取值为0,1,2,则 P (X=0)=C 53C 20C 73=27, P (X=1)=C 52C 21C 73=47,P (X=2)=C 51C 22C 73=17.故X 的分布列为能力提升练1.(多选)下列随机变量服从两点分布的是( ) A.抛掷一枚质地均匀的骰子,所得点数为随机变量X B.某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量XC.从装有5个红球,3个白球的袋中取1个球,令随机变量X={1,取出白球,0,取出红球D.某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量X2.已知抛掷2枚骰子,所得点数之和X 是一个随机变量,则P (X ≤4)等于( ) A.1B.13C.12D.23,P (X=2)=136,P (X=3)=236=118,P (X=4)=336=112,故P (X ≤4)=136+118+112=16.3.已知随机变量ξ只能取三个值x 1,x 2,x 3,其概率依次成等差数列,则该等差数列的公差的取值范围是( ) A.0,13B.-13,13C.-3,3D.0,1ξ取x 1,x 2,x 3的概率分别为a-d ,a ,a+d (0≤a-d ≤1,0≤a+d ≤1),则由分布列的性质,得(a-d )+a+(a+d )=1,故a=13.由{13-d ≥0,13+d ≥0,解得-13≤d ≤13.4.由于电脑故障,使得随机变量X 的分布列中部分数据丢失(以“x ,y ”代替),其分布列如下.则x ,y 的值依次为 .0.20+0.10+(0.1x+0.05)+0.10+(0.1+0.01y )+0.20=1,得10x+y=25.又因为x ,y ∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},故x=2,y=5. 5.袋中有4个红球、3个黑球,从袋中任取4个球,取到1个红球得1分,取到1个黑球得3分,记得分为随机变量ξ,则P (ξ≤6)= .4个球中红球的个数可能为4,3,2,1,相应的黑球的个数为0,1,2,3,其得分ξ=4,6,8,10,则P(ξ≤6)=P (ξ=4)+P (ξ=6)=C 44×C 3C 74+C 43×C 31C 74=1335.6.已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X 的分布列.记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ,则P (A )=A 21A 31A 52=310.(2)X 的可能取值为200,300,400, 则P (X=200)=A 22A 52=110,P (X=300)=A 33+C 21C 31A 22A 53=310,P (X=400)=1-P (X=200)-P (X=300) =1-110−310=35.故X 的分布列为素养培优练受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计数据如下:将频率视为概率,解答下列问题:(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率;(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列.设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则P(A)=2+350=110.(2)依题意得,X1的分布列为X2的分布列为。

概率与统计专题01 离散型随机变量分布列常见考点考点一 离散型随机变量分布列典例1．某校组织“百年党史”知识比赛，每组有两名同学进行比赛，有2道抢答题目．已知甲、乙两位同学进行同一组比赛，每人抢到每道题的机会相等．抢到题目且回答正确者得100分，没回答者得0分；抢到题目且回答错误者得0分，没抢到者得50分，2道题目抢答完毕后得分多者获胜．已知甲答对每道题目的概率为45．乙答对每道题目的概率为35，且两人各道题目是否回答正确相互独立．(1)求乙同学得100分的概率；(2)记X 为甲同学的累计得分，求X 的分布列和数学期望． 【答案】(1)37100； (2)分布列见解析，()100E X =. 【解析】 【分析】（1）应用独立事件乘法公式及互斥事件的概率求法，求乙同学得100分的概率；（2）由题意知X 可能值为{0,50,100,150,200}，分别求出对应概率，写出分布列，进而求期望. (1)由题意，乙同学得100分的基本事件有{乙抢到两题且一道正确一道错误}、{甲乙各抢到一题都回答正确}、{甲抢到两题且回答错误}，所以乙同学得100分的概率为1312141311113722252525252525100⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. (2)由题意，甲同学的累计得分X 可能值为{0,50,100,150,200}，1111111313134(0)225252525252525P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=；121112134(50)222525252525P X ==⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=；1212111414139(100)2225252525252525P X ==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=；14124(150)2252525P X ==⨯⨯⨯⨯=；14144 (200)252525P X==⨯⨯⨯=；分布列如下：所以期望44944()050100150200100 2525252525E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.变式1-1．第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目．某运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪．比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛．已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为34；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为45和58；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是p和32p-，其中34p<<．(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；(2)若甲、乙、丙三人中恰有两人进人决赛的概率为2972，求p的值；(3)在（2）的条件下，设进入决赛的人数为ξ，求ξ的分布列．【答案】(1)甲进入决赛可能性最大(2)23 p=(3)分布列见解析【解析】【分析】（1）分别求出甲、乙、丙三人初赛的两轮均获胜的概率，然后比较即可；（2）利用相互独立事件的概率的求法分别求出甲和乙进入决赛的概率、乙和丙进入决赛的概率、甲和丙进入决赛的概率，即可通过甲、乙、丙三人中恰有两人进人决赛的概率为2972，列方程求解；（3）先确定进入决赛的人数为ξ的取值，依次求出每一个ξ值所对应的概率，列表即可.(1)甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：13394416P =⨯= 乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：2451582P =⨯=丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：233322P P P P P ⎛⎫=⋅-=-+ ⎪⎝⎭∵3043012p p ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，∵1324p <<，∵2339941616P P ⎛⎫=--+< ⎪⎝⎭ ∵甲进入决赛可能性最大． (2)()()()123132231111P P P PP P P P P P =⨯++⨯---222913931139111162216222216p p p p p p ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯--+⨯-⨯-+⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2972=整理得21827100p p -+=，解得23p =或56p =，又∵1324p <<，∵23p =； (3)由（2）得，丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：345199P =-=， 进入决赛的人数为ξ可能取值为0，1 ，2，3，71417(0)162972P ξ==⨯⨯=， 71591471411(1)16291629162932P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 91495171529(2)16291692162972P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 9155(3)162932P ξ==⨯⨯=， ∵ξ的分布列为变式1-2．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14．(1)若有一辆车独立地从甲地到乙地，求这一辆车未遇到红灯的概率；(2)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 【答案】(1)14(2)分布列见解析，1312【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.（2）结合相互独立事件概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望. (1)设“一辆车未遇到红灯”为事件A ， 则()11111112344P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(2)随机变量X 的所以可能的取值为0,1,2,3， 则(0)P X ==1111(1)(1)(1)2344-⋅-⋅-=(1)P X ==1111111111111111123423423424⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-⋅-+-⋅⋅-+-⋅-⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2)P X ==11111111111112342342344⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-+⋅-⋅+-⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (3)P X ==111123424⋅⋅=. 随机变量X 的分布列：随机变量X 的数学期望：1111113()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 变式1-3．对飞机进行射击，按照受损伤影响的不同，飞机的机身可分为∵，∵，∵三个部分.要击落飞机，必须在∵部分命中一次，或在∵部分命中两次，或在∵部分命中三次.设炮弹击落飞机时，命中∵部分的概率是16，命中∵部分的概率是13，命中∵部分的概率是12，射击进行到击落飞机为止.假设每次射击均击中飞机，且每次射击相互独立. (1)求恰好在第二次射击后击落飞机的概率； (2)求击落飞机的命中次数X 的分布列和数学期望. 【答案】(1)14； (2)分布列见解析，83. 【解析】 【分析】(1)把恰好在第二次射击后击落飞机的事件拆成两个互斥事件的和，再利用独立事件概率公式计算作答.(2)求出X 的可能值，并求出每个取值的概率，列出分布列并求出期望作答. (1)设恰好第二次射击后击落飞机为事件A 是第一次未击中∵部分，在第二次击中∵部分的事件与两次都击中∵部分的事件的和，它们互斥，所以25111()()6634P A =⨯+=.(2)依题意，X 的可能取值为1，2，3，4，1X =的事件是射击一次击中∵部分的事件，1(1)6P X ==，由(1)知，1(2)4P X ==， 3X =的事件是前两次射击击中∵部分、∵部分各一次，第三次射击击中∵部分或∵部分的事件，与前两次射击击中∵部分，第三次射击击中∵部分或∵部分的事件的和，它们互斥，12211111111(3)C ()()()32632623P X ==⨯⨯⨯++⨯+=， 4X =的事件是前三次射击击中∵部分一次，∵部分两次，第四次射击的事件，123111(4)C ()1324P X ==⨯⨯⨯=，所以X的分布列为：X的数学期望()11118 123464343E X=⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.典例2．高三学生甲、乙为缓解紧张的学习压力，相约本星期日进行“某竞技体育项目”比赛．比赛采用三局二胜制，先胜二局者获胜．商定每局比赛(决胜局第三局除外)胜者得3分，败者得1分，决胜局胜者得2分，败者得0分．已知每局比赛甲获胜的概率为23，各局比赛相互独立．(1)求比赛结束，乙得4分的概率；(2)设比赛结束，甲得X分，求X的概率分布与数学期望．【答案】(1)827；(2)分布列见解析，()14227E X=.【解析】【分析】（1）根据题意，求得得4分的事件，即可求得其概率；（2）根据题意，求得X的取值，再求概率从而求得分布列，再根据分布列求得数学期望即可.(1)若比赛结束，乙得4分，则比赛结果是甲以2:1获胜，故前两局比赛，甲胜1场，败1场，最后一局比赛，甲胜.则比赛结束，乙得4分的概率为122128 33327C⨯⨯⨯=.(2)若甲连胜2局结束比赛，甲得6分，其概率为224 39⎛⎫=⎪⎝⎭；若甲连败2局结束比赛，甲得2分，其概率为21139⎛⎫= ⎪⎝⎭；若甲以2:1结束比赛，甲得6分，其概率为12212833327C ⨯⨯⨯=； 若乙以2:1结束比赛，甲得4分，其概率为12211433327C ⨯⨯⨯=； 故X 的分布列如下所示：故()14201422469272727E X =⨯+⨯+⨯=. 变式2-1．现有甲、乙、丙三道多选题，某同学独立做这三道题，根据以往成绩，该同学多选题的得分只有2分和0分两种情况．已知该同学做甲题得2分的概率为34，分别做乙、丙两题得2分的概率均为23．假设该同学做完了以上三道题目，且做每题的结果相互独立． (1)求该同学做完了以上三题恰好得2分的概率； (2)求该同学的总得分X 的分布列和数学期望()E X ． 【答案】(1)736(2)分布列见解析，数学期望()256E X = 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式进行求解即可；（2）写出随机变量X 的所有可能取值，求出对应概率，从而可求出分布列，再根据期望公式即可求出期望. (1)解：记“该同学做完了以上三题恰好得2分”为事件A ，“该同学做甲题得2分”为事件B ，“该同学做乙题得2分”为事件C ．“该同学做丙题得2分”为事件D ，由题意知32(),()()43P B P C P D ===， 因为A BCD BCD BCD =++，所以()()P A P BCD BCD BCD =++()()()P BCD P BCD P BCD =++()()()()()P B P C P D P B P C =+⋅()()()()P D P B P C P D +322322322711111143343343336⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (2)解：根据题意，X 的可能取值为0，2，4，6， 所以3221(0)11143336P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由（1）知7(2)36P X ==， 322121(6)433363P X ==⨯⨯==4(4)1(0)(2)(6)9P X P X P X P X ==-=-=-==， 故X 的分布列为所以174125()024********E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 变式2-2．某运动会中，新增加的“趣味乒乓球单打”是这届运动会的热门项目，比赛规则如下：两人对垒，开局前抽签决定由谁先发球（机会均等），此后均由每个球的赢球者发下一个球，对于每一个球，若发球者贏此球，发球者得1分，对手得0分；若对手赢得此球，发球者得0分，对手得2分.当有一人累计得分超过5分时，比赛就结束，得分高者获胜.已知在选手甲和乙的对垒中，发球一方赢得此球的概率都是0.6，各球结果相互独立.(1)假设开局前抽签结果是甲发第一个球，求比赛出现比分2:2的概率；(2)已知现在比分3:3，接下来由甲发球，两人又打了X 个球后比赛结束，求X 的分布列及数学期望.【答案】(1)0.304；(2)分布列见解析，() 2.904E X =. 【解析】 【分析】(1)把比赛出现比分2:2的事件拆成两个互斥的和，再分别求出每个事件的概率即可得解. (2)求出X 的所有可能值，再分析计算求出各个值的概率，列出分布列，求出期望作答.(1)比赛出现比分2:2的事件A 是甲发三球，前两球甲赢，第三球乙赢的事件1A 与甲发球乙赢、乙发球甲赢的事件2A 的和，事件1A 与2A 互斥，1()0.60.60.40.144P A =⨯⨯=，2()0.40.40.16P A =⨯=， 因此，12()()0.1440.160.304P A P A A =+=+=， 所以比赛出现比分2:2的概率为0.304. (2)X 的所有可能值为：2，3，4，因比分已是3:3，接下来由甲发球，且有一人累计得分超过5分时，比赛就结束，2X =的事件是甲发球乙赢，乙发球乙赢比赛结束的事件，(2)0.40.60.24P X ==⨯=，3X =的事件是以下3个互斥事件的和：甲发三球甲赢，比赛结束的事件；甲发第一球甲赢，发第二球乙赢，乙发球比赛结束的事件；甲发第一球乙赢，乙发第二球甲赢，甲发球比赛结束的事件，3(3)0.60.60.410.40.410.616P X ==+⨯⨯+⨯⨯=，4X =的事件是甲发前两球甲赢，发第三球乙赢，乙再发球比赛结束的事件，2(4)0.60.410.144P X ==⨯⨯=，所以X 的分布列为：X 的数学期望：()20.2430.61640.144 2.904E X =⨯+⨯+⨯=.变式2-3．为进一步加强未成年人心理健康教育，如皋市教育局决定在全市深入开展“东皋大讲堂”进校园心理健康教育宣讲活动，为了缓解高三学生压力，高三年级某班级学生在开展“东皋大讲堂”过程中，同座两个学生之间进行了一个游戏，甲盒子中装有2个黑球1个白球，乙盒子中装有3个白球，现同座的两个学生相互配合，从甲、乙两个盒子中各取一个球，交换后放入另一个盒子中，重复进行n 次这样的操作，记甲盒子中黑球的个数为n X ，恰好有2个黑球的概率为n a ，恰好有1个黑球的概率为n b .(1)求第二次操作后，甲盒子中没有黑球的概率； (2)求3X 的概率分布和数学期望()3E X .【答案】(1)427； (2)答案见解析，()32827E X = 【解析】 【分析】（1）由题意得1112,33a b ==，然后分析第二次操作后，甲盒子中没有黑球的情况，从而求解出对应概率；（2）先计算22,a b ，判断3X 的取值为0,1,2，分别计算对应的概率，列出分布列，利用期望公式求解()3E X . (1)由题意知，1112,33a b ==，两次后甲盒子没有黑球时，必须第一次甲盒子中取出一个黑球，第二次甲盒子（黑1白2）再取出一个黑球，乙盒子中（黑1白2）取出一个白球，则11243327P b =⨯⨯= (2)211121733327b a a =⨯+⨯⨯=，21121122163333327b a b ⎛⎫=⨯+⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，由题意，3X 的取值为0,1,2，则32124144(0)33273243P X b ==⨯⨯+⨯=，3222112242146(1)33333273243P X a b ⎛⎫==⨯+⨯+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，32212153(2)333243P X a b ==⨯+⨯⨯=所以3X 的分布列为所以()314653281224324327E X =⨯+⨯= 【点睛】求解分布列的问题时，一般需要先判断变量的可能取值，然后分析题目中的情况计算每个取值对应的概率，从而列出分布列，代入期望公式求解期望.巩固练习练习一 离散型随机变量分布列1．暑假里大学二年级的H 同学去他家附近的某个大型水果超市打工．他发现该超市每天以10元/千克的价格从中心仓库购进若干A 水果，然后以15元/千克的价格出售；若有剩余，则将剩余的水果以8元/千克的价格退回中心仓库．H 同学记录了打工期间A 水果最近50天的日需求量（单位：千克），整理得下表：以上表中各日需求量的频率作为各日需求量的概率，解答下面的两个问题．(1)若超市明天购进A 水果150千克，求超市明天获得利润X （单位：元）的分布列及期望； (2)若超市明天可以购进A 水果150千克或160千克，以超市明天获得利润的期望为决策依据，在150千克与160千克之中应当选择哪一个？若受市场影响，剩余的水果只能以7元/千克的价格退回水果基地，又该选哪一个？请说明理由． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为743元 (2)超市应购进160千克，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）求出X 的可能取值及相应的概率，进而得到分布列及数学期望；（2）设该超市一天购进水果160千克，当天利润为Y 元，求出Y 的可能取值及相应的概率，求出数学期望，与第一问求出的期望值相比，得到结论. (1)若A 水果日需求量为140千克，则()()()1401510150140108680X =⨯---⨯-=，且()56800.150P X ===， 若A 水果日需求量不少于150千克，则()1501510750X =⨯-=，且()75010.10.9P X ==-=，故X 的分布列为：()6800.17500.9743E X =⨯+⨯=元(2)设该超市一天购进水果160千克，当天利润为Y 元，则Y 的可能取值为140×5-20×2，150×5-10×2,160×5，即660,730,800 且()56600.150P Y ===，()107300.250P Y ===，()358000.750P Y ===，则()6600.17300.28000.7772E Y =⨯+⨯+⨯=，因为772>743，所以超市应购进160千克.2．某工厂生产一种产品，由第一､第二两道工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果只有A ，B 两个等级.两道工序的加工结果直接决定该产品的等级：两道工序的加工结果均为A 级时，产品为一等品；两道工序恰有一道.工序加工结果为B 级时，产品为二等品；其余均为三等品.每一道工序加工结果为A 级的概率如表一所示，一件产品的利润（单位：万元）如表二所示： 表一表二(1)用η（万元）表示一件产品的利润，求η的分布列和均值；(2)工厂对于原来的生产线进行技术升级，计划通过增加检测成本对第二工序进行改良，假如在改良过程中，每件产品检测成本增加()04x x ≤≤万元（即每件产品利润相应减少x 万元）时，第二工序加工结果为A 级的概率增加0.1x ，问该改良方案对一件产品的利润的均值是否会产生影响？并说明理由.【答案】(1)分布列答案见解析，()33.6E η=(2)该改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响，理由见解析【解析】 【分析】（1）由题意η的可能取值为50，20，10，分别求出其概率得分布列，再由期望公式计算出期望； （2）设改良后一件产品的利润为ξ，同（1）求出ξ的各可能取值的概率，计算出期望，由期望函数()E ξ与()E η比较可得结论． (1)由题意可知，η的可能取值为50，20，10， 产品为一等品的概率为0.8×0.6=0.48， 产品为二等品的概率为0.8×0.4+0.2×0.6=0.44， 产品为三等品的概率为1-0.48-0.44=0.08， 所以η的分布列为()500.48200.44100.0833.6E η=⨯+⨯+⨯=.(2)改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响，理由如下：由题意可知，改良过程中，每件产品检测成本增加()04x x ≤≤万元时，第二工序加工结果为A 级的概率增加0.1x ，设改良后一件产品的利润为ξ，则ξ可能的取值为50x -，20x -，10x -， 所以一等品的概率为()0.80.10.60.480.08x x ⨯+=+，二等品的概率为()()()0.810.60.110.80.60.10.440.06x x x ⨯-++-⨯+=-⎡⎤⎣⎦， 三等品的概率为()()10.480.080.440.060.080.02x x x -+--=-， 所以()()()()()()()0.480.08500.440.06200.080.0210 1.633.6E x x x x x x x ξ=+⨯-+-⨯-+-⨯-=+，因为()E ξ在[]0,4上单调递增，故当4x =时，()E ξ取到最大值为40， 又因为()()E E ξη≥，所以该改良方案对一件产品的利润的均值会产生影响.3．2022年北京冬奥会有包括中国队在内的12支男子冰球队参加比赛，12支参赛队分为三组，每组四队，2月9号至13号将进行小组赛，小组赛采取单循环赛制，即每个小组的四支参赛队在比赛中均能相遇一次，最后按各队在比赛中的得分多少来排列名次．小组赛结果的确定规则如下： ∵在常规时间里，获得最多进球的队为获胜者，获胜者得3分；∵在常规时间里，如果双方进球相等，每队各得1分．比赛继续进行，以突然死亡法（即在规定的时间内有一方进球）加时赛决出胜负，突然死亡法加时赛中获胜的队将额外获得1分；∵在突然死亡法加时赛中，如果双方都没有得分，那么进行点球赛，直至决出胜负，在点球赛中获胜的队将额外获得1分．若在小组赛中，甲队与乙队相遇，在常规时间里甲队获胜的概率为12，进球数相同的概率为14；在突然死亡法加时赛中，甲队获胜的概率为23，双方都没有得分的概率为16；在点球赛中，甲队获胜的概率为23，假设各比赛结果相互独立．(1)在甲队与乙队的比赛中，求甲队得2分获胜的概率；(2)在甲队与乙队的比赛中，求甲队得分X 的分布列及数学期望． 【答案】(1)736； (2)分布列见解析；3518. 【解析】 【分析】（1）由题可得甲队得2分获胜有两种情况，甲在加时赛中获胜或甲在点球赛中获胜，分别计算概率即得；（2）由题可得X 可取0,1,2,3，分别计算概率即得分布列，然后利用期望计算公式即得. (1)设甲在加时赛中获胜为事件A ，甲在点球赛中获胜为事件B ， 则()(),121112143646336P A P B =⨯==⨯⨯=， ∵甲队得2分获胜的概率为()()11763636P P A P B =+=+=. (2)甲队得分X 可取0,1,2,3，()11101244P X ==--=，()121112111143646318P X ⎛⎫⎛⎫==⨯--+⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()7236P X ==， ()132P X ==， ∵X 的分布列为∵甲队得分X 的数学期望为()117135012341836218E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 4．为进一步完善公共出行方式，倡导“绿色出行”和“低碳生活”，某市建立了公共自行车服务系统，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时希望市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每次的租用时间进行缴费，具体缴费标准如下：∵租用时间不超过1小时，免费；∵超出一小时后每小时1元（不足一小时按一小时计算），一天24小时最高收费10元.某日甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.5，0.4；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.2，0.4. (1)求甲比乙付费多的概率；(2)设甲、乙两人付费之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望. 【答案】(1)0.32 (2)分布列见解析，1.6 【解析】 【分析】（1）用合适的字母表达每个事件，并按照题意搞清楚事件之间的关系以及每个事件的概率即可; (2)求分布列和数学期望就是要搞清楚随机变量的可能取值范围，以及每个值都是由那些事件构成的. (1)根据题意，记“甲付费为0元、1元、2元、”为事件1A ，2A ，3A它们彼此互斥，且()10.5p A =，()20.2p A =，()()()31210.3p A P A P A =-+=⎡⎤⎣⎦， 同理，记“乙付费为0元、1元、2元”为事件1B ，2B ，3B它们彼此互斥，且()10.4p B =，()20.4p B =，()()()31110.2p B P B P B =-+=⎡⎤⎣⎦， 由题知，事件1A ，2A ，3A 与事件1B ，2B ，3B相互独立记，甲比乙付费多为事件M ，则有：213132M A B A B A B =++可得：()()()()()()()2131320.20.40.30.40.30.40.32P M P A P B P A P B P A P B =++=⨯+⨯+⨯= 故：甲比乙付费多的概率为：0.32； (2)由题知，ξ的可能取值为：0，1，2，3，4 则有：()()()1100.50.40.2P P A P B ξ===⨯=，()()()()()122110.50.40.20.40.28P P A P B P A P B ξ==+=⨯+⨯=，()()()()()()()13312220.50.20.30.40.20.40.3P P A P B P A P B P A P B ξ==++=⨯+⨯+⨯=， ()()()()()233230.20.20.30.40.16P P A P B P A P B ξ==+=⨯+⨯=， ()()()3340.30.20.06P P A P B ξ===⨯=；所以ξ的分布列为：ξ的数学期望：()00.210.2820.330.1640.06 1.6E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故答案为：0.32，1.6.5．随着2022年北京冬季奥运会的如火如茶的进行.2022年北京冬季奥运会吉祥物“冰墩墩”受到人们的青睐，现某特许商品专卖店每天均进货一次，卖一个吉祥物“冰墩墩”可获利50元，若供大于求，则每天剩余的吉祥物“冰墩墩”需交保管费10元/个；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时调剂的每一个吉祥物“冰墩墩”该店仅获利20元．该店调查上届冬季奥运会吉祥物每天(共计20天)的需求量(单位：个)，统计数据得到下表：以上述20天吉祥物的需求量的频率作为各需求量发生的概率．记X表示每天吉祥物“冰墩墩”的需求量．(1)求X的分布列；(2)若该店某一天购进164个吉祥物“冰墩墩”，则当天的平均利润为多少元．【答案】(1)(2)8187（元）【解析】【分析】（1）X可取162，163，164，165，166，求出对应概率，然后再写出分布列即可；（2）设Y表示每天的利润，求出所有Y的取值，再根据期望公式即可得解.(1)解：X可取162，163，164，165，166，()21P X===，1622010()41P X===，163205()63P X===，1642010()51P X===，165204()3P X==，16620所以分布列为：(2)设Y 表示每天的利润，当162X =时，162502108080Y =⨯-⨯=， 当163X =时，16350108140Y =⨯-=， 当164X =时，164508200Y =⨯=， 当165X =时，16450208220Y =⨯+=， 当166X =时，164502208240Y =⨯+⨯=， 所以平均利润为1131380808140820082208240818710510420⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）. 6．在中国共产党的正确领导下，我国顺利实现了第一个百年奋斗目标——全面建成小康社会.某地为了巩固扶贫成果，决定继续对甲、乙两家乡镇企业进行指导.指导方式有两种，一种是精准指导，一种是综合指导.已知对甲企业采用精准指导时，投资50万元，增加100万元收入的概率为0.2，增加200万元收入的概率为0.8，采用综合指导时，投资100万元，增加200万元收入的概率为0.6，增加400万收入的概率为0.4；对乙企业采用精准指导时，投资50万元，增加100万元收入的概率为0.3，增加200万元收入的概率为0.7，采用综合指导时，投资100万元，增加200万元收入的概率为0.7，增加400万元收入的概率为0.3.指导结果在两家企业之间互不影响.(1)若决策部门对甲企业进行精准指导、对乙企业进行综合指导，设两家企业增加的总收入为X 万元，求X 的分布列；(2)若有150万元无息贷款可供甲、乙两家企业使用，对两家企业应分别进行哪种指导总收入最高？请说明理由.【答案】(1)分布列见解析；(2)对甲企业进行综合指导、对乙企业进行精准指导总收入最高，理由见解析. 【解析】 【分析】(1)根据题意确定随机变量X 的所有可能取值，再求出每个取值对应事件的概率并列出分布列即可； (2)由条件知指导方案共有三种：对两家企业均进行精准指导；对甲企业精准指导、对乙企业综合指导；对甲企业综合指导、对乙企业精准指导，然后求出每种方案增加的总收入的数学期望，比较它们大小即可.(1)由题意知X 可能取值为300，400，500，600，则()3000.20.70.14P X ==⨯=，()4000.80.70.56P X ==⨯=，()5000.20.30.06P X ==⨯=，()6000.80.30.24P X ==⨯=，∵当决策部门对甲企业进行精准指导、对乙企业进行综合指导时，两家企业增加的总收入X 的分布列为(2)指导方案1：对甲、乙两家企业均进行精准指导.设两家企业增加的总收入为Y 万元，则Y 可能取值为200，300，400，且()2000.20.30.06P Y ==⨯=，()3000.20.70.80.30.38P Y ==⨯+⨯=，()4000.80.70.56P Y ==⨯=，()2000.063000.384000.56350E Y =⨯+⨯+⨯=(万元)；指导方案2：对甲企业进行精准指导、对乙企业进行综合指导. 由(1)得()3000.144000.565000.066000.24440E X =⨯+⨯+⨯+⨯=(万元)； 指导方案3：对甲企业进行综合指导、对乙企业进行精准指导.设两家企业增加的总收入为Z ，则Z 的可能取值为300，400，500，600， 且()3000.60.30.18P Z ==⨯=，()4000.70.60.42P Z ==⨯=，()5000.40.30.12P Z ==⨯=，()6000.40.70.28P Z ==⨯=， ()3000.184000.425000.126000.28450E Z =⨯+⨯+⨯+⨯=(万元).∵350440450<<，∵指导方案3：对甲企业进行综合指导、对乙企业进行精准指导总收入最高.7．2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚、王亚平、叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代．为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有3个红球，2个白球，这些球除颜色外完全相同．参与者每一轮从口袋中一次性取出3个球，将其中的红球个数记为该轮得分X ，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中．当参与完成第n 轮游戏，且其前n 轮的累计得分恰好为2n 时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏．若第3轮后仍未过关，则游戏也结束．每位参与者只能参加一次游戏． (1)求随机变量X 的分布列及数学期望；(2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为1.8 (2)0.696 【解析】 【分析】（1）先得出随机变量X 可取的，并求出相应概率，列出分布列，计算数学期望；（2）分别求出甲取球1次后、取球2次后、取球3次后可领取纪念的概率，再相加得出甲能够领到纪念品的概率． (1)由题意得，随机变量X 可取的值为1，2，3，易知()10.3P X ==，()20.6P X ==，所以()30.1P X ==， 则随机变量X 的分布列如下：所以()10.320.630.1 1.8E X =⨯+⨯+⨯= (2)由（1）可知，参与者每轮得1分，2分，3分的概率依次为0.3，0.6，0.1， 记参与者第i 轮的得分为i X ，则其前n 轮的累计得分为12n Y X X X =+++，若参与者取球1次后可领取纪念品，即参与者得2分，则()20.6P Y ==；若参与者取球2次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为4分，有“13+”、“31+”的情形， 则()420.30.10.06P Y ==⨯⨯=；若参与者取球3次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为6分， 有“123++”、“321++”的情形，则()620.30.10.60.036P Y ==⨯⨯⨯=；记“参与者能够领取纪念品”为事件A ，则()()()()2460.60.060.0360.696P A P Y P Y P Y ==+=+==++=．8．为庆祝中国共产党建党100周年，某单位举办了以“听党召唤，使命在肩”为主题的知识竞赛活动，经过初赛､复赛，小张和小李进入决赛，决赛试题由3道小题组成，每道小题选手答对得1分，答错得0分，假设小张答对第一､第二､第三道小题的概率依次是45，34，12，小李答对每道小题的概率都是34.且他们每道小题解答正确与否相互之间没有影响，用X 表示小张在决赛中的得分，用Y 表示小李在决赛中的得分.(1)求随机变量X 的分布列和数学期望E （X ），并从概率与统计的角度分析小张和小李在决赛中谁的得分能力更强一些；(2)求在事件“4X Y +=”发生的条件下，事件“X Y >”的概率.【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：2.05，小李的得分能力更强一些 (2)431 【解析】【分析】（1）结合相互独立事件、独立重复试验的知识计算出X 的分布列以及()(),E X E Y ，由此作出判断. （2）利用条件概型概率计算公式，计算出事件“X Y >”的概率.(1)由题设知X 的可能取值为0，1，2，3所以()4311011154240P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ()431431431111111115425425425P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()43143143119211154254254240P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()4313354210P X ==⨯⨯=， 所以随机变量X 的分布列为。

概率论分布列期望方差习题及答案The following text is amended on 12 November 2020.圆梦教育 离散型随机变量的分布列、期望、方差专题姓名：__________班级：__________学号：__________1．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为,,，假设各盘比赛结果相互独立。

（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ.2．已知某种从太空带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为13，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的． (1) 第一小组做了三次实验，求实验成功的平均次数；(2) 第二小组连续进行实验，求实验首次成功时所需的实验次数的期望； (3)两个小组分别进行2次试验，求至少有2次实验成功的概率．3．一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p ，出现“×”的概率为q .若第k 次出现“○”，则a k =1；出现“×”，则a k =1-.令S n =a 1+a 2+…+a n ()n N *∈.(1)当12p q ==时，求S 6≠2的概率；(2)当p =31，q =32时，求S 8=2且S i ≥0(i =1,2,3,4)的概率.4．在一个有奖问答的电视节目中，参赛选手顺序回答123A A A 、、三个问题，答对各个问题所获奖金（单位：元）对应如下表：当一个问题回答正确后，选手可选择继续回答下一个问题，也可选择放弃．若选择放弃，选手将获得答对问题的累计奖金，答题结束；若有任何一个问题回答错误，则全部奖金归零，答题结束．设一名选手能正确回答123A A A 、、的概率分别为421534、、，正确回答一个问题后，选择继续回答下一个问题的概率均为12，且各个问题回答正确与否互不影响．（Ⅰ）按照答题规则，求该选手1A 回答正确但所得奖金为零的概率；（Ⅱ）设该选手所获奖金总数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．5．某装置由两套系统M,N 组成，只要有一套系统工作正常，该装置就可以正常工作。

离散型变量强化1．每次试验的成功率为(01)p p <<，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为（ ）()A 33710(1)C p p - ()B 33310(1)C p p - ()C 37(1)p p - ()D 73(1)p p - 2．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试，已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）3．甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（ ）()A 23332()55C ⋅ ()B 22332()()53C ()C 33432()()55C ()D 33421()()33C 4．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是154，刮三级以上风的概率为152，既刮风又下雨的概率为101，则在下雨天里，刮风的概率为（ ）A.2258 B.21 C.83 D.43 5．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( )．6．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了ξ次球，则==)12(ξP （ ） A.2101012)85()83(⋅C B.83)85()83(29911⨯C C.29911)83()85(⋅C D. 29911)85()83(⋅C 7．袋中有5个球，3个白球，2个黑球，现每次取一个，无放回地抽取两次，第二次抽到白球的概率为（ ） A.53 B.43 C.21 D. 1038．6位同学参加百米短跑初赛，赛场有6条跑道，已知甲同学排在第一跑道，则乙同学排在第二跑道的概率（ ） A 52 B.51 C.92 D. 73 9．一个袋中有9张标有1,2,3，…，9的票，从中依次取两张，则在第一张是奇数的条件下第二张也是奇数的概率（ ） A.52 B.51 C.21 D. 7310.位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上向右的概率都是21，质点P 移动5次后位于点（2,3）的概率是（ ）A.3)21( B.525)21(C C.335)21(C D.53525)21(C C 11.若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（ ）（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）3212.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则)0(=ξP 等于（ ） B. 21 C. 31 D.32 解答题13．种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求：⑴全部成活的概率； ⑵全部死亡的概率；⑶恰好成活3棵的概率； ⑷至少成活4棵的概率14．某高中共派出足球、排球、篮球三个球队参加市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η的分布列．15.实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）． 试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率；（2）求按比赛规则甲获胜的概率．16.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列.。

离散型随机变量及其分布列一、离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X 、Y 、ξ、η…表示．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．二、离散型随机变量的分布列一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n)的概率P(X ＝x i )＝p i ，则表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．有时为了表达简单，也用等式P(X ＝x i )＝pi ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列．X x 1x 2…x i …x nPp 1P 2…p i …p n三、离散型随机变量分布列的性质：1.i P ≥0，i ＝1,2，…，n ；211ni i p ==∑.四、常见离散型随机变量的分布列1．两点分布X 01P 1－p p如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布，而称p ＝P(X ＝1)为成功概率．2．超几何分布列一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k}发生的概率为(),0,1,2,k n k M N MnNC C P X k k m C --=== .其中m ＝min{M ，n}，且n≤N ，M≤N ，n ，M ，N ∈N*.称分布列X 01…mP00n M N Mn NC C C --11n M N Mn NC C C --…m n m M N Mn NC C C --为超几何分布列．如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布．例1：设随机变量X 的分布列如下：则p 为()X 1234P 161316pA.16B.13C.23D.12解：由16＋13＋16＋p ＝1，∴p ＝13.2．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X ，那么X ＝4表示的随机试验结果是()A ．2颗都是4点B ．1颗是1点，另一颗是3点C ．2颗都是2点D ．1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点解：X ＝4表示的随机试验结果是1颗1点，另1颗3点或者两颗都是2点．例3：若随机变量X 的分布列P (x ＝i )＝i2a(i ＝1、2、3)，则P (x ＝2)＝()A.19B.16C.13D.14解：由12a ＋22a ＋32a ＝62a ＝1，得a ＝3.∴P (x ＝2)＝22×3＝13.＝0.3，那么n ＝________.解：1n×3＝0.3，∴n ＝10.例5：从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布为X 012P解：P (X ＝0)＝1C 25＝110，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝35，P (X ＝2)＝C 23C 25＝310.1．对随机变量的理解(1)随机变量具有如下特点：其一，在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性；其二，在大量重复试验中能按一定统计规律取实数值的变量，即存在统计规律性．(2)由离散型随机变量分布列的概念可知，离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．因此，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．2．分布列正误的检验方法对于离散型随机变量的分布列，要注意利用它的两条性质检验所列分布列是否正确，如果求出的离散型随机变量的分布列不满足这两条性质，就说明计算过程中存在错误；反之，也不能说明所得分布列一定是正确的．但要掌握利用这两条性质判断计算过程是否存在错误的方法．例6：设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：X －101P 121－2q q 2则q 等于()A ．1B ．1±22C ．1－22D ．1＋22解：由分布列的性质知1－2q ≥0，q 2≥0，12＋1－2q ＋q 2＝1，∴q ＝1－22.ξ123…nP k n k n k n …k n则k 的值为()A.12B ．1C ．2D ．3解：由k n ＋k n ＋…＋kn＝1，∴k ＝1.ξ－2－10123P112312412112212112若P (ξ2<x )＝1112，则实数x 的取值范围是__________．解：由P (ξ2<x )＝1112且结合分布列得4<x ≤9.i i ＝1,2….2．P 1＋P 2＋…＋P n ＝1.其主要作用是用来判断离散型随机变量的分布列的正确性，或者用来计算随机变量取某些值的概率.例9：某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．求X 的分布列．解：X 的所有可能取值为：0,1,2,3,4，P (X ＝i )＝C i 4C 4－i4C 48(i ＝0,1,2,3,4)，即X 01234P170167036701670170例10：袋中有3个白球，3个红球和5个黑球．从中抽取3个球，若取得1个白球得1分，取得1个红球解：得分ξ的取值为－3，－2，－1,0,1,2,3.ξ＝－3时表示取得3个球均为红球，∴P (ξ＝－3)＝C 33C 311＝1165.ξ＝－2时表示取得2个红球和1个黑球，∴P (ξ＝－2)＝C 23C 15C 311＝111.ξ＝－1时表示取得2个红球和1个白球，或1个红球和2个黑球．∴P (ξ＝－1)＝C 23C 13＋C 13C 25C 311＝1355.ξ＝0时表示取得3个黑球或1红、1黑、1白，∴P (ξ＝0)＝C 35＋C 13C 13C 15C 311＝13.ξ＝1时表示取得1个白球和2个黑球或2个白球和1个红球，∴P (ξ＝1)＝C 13C 25＋C 23C 13C 311＝1355.ξ＝2时表示取得2个白球和1个黑球，∴P (ξ＝2)＝C 23C 15C 311＝111.ξ＝3时表示取得3个白球，∴P (ξ＝3)＝C 33C 311＝1165.∴所求概率分布列为：ξ－3－2－10123P116511113551313551111165例11：在学校组织的足球比赛中，某班要与其他4个班级各赛一场，在这4场比赛的任意一场中，此班级每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场．(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和；(2)若胜场次数为X ，求X 的分布列．解：(1)若胜一场，则其余为平，共有C 14＝4种情况；若胜两场，则其余两场为一负一平或两平，共有C 24C 12＋C 24＝18种情况；若胜三场，则其余一场为负或平，共有C 34×2＝8种情况；若胜四场，则只有一种情况．综上，共有31种情况．(2)X 的可能取值为1,2,3,4，P (X ＝1)＝431，P (X ＝2)＝1831，P (X ＝3)＝831，P (X ＝4)＝131，所以X 的分布列为X 1234P4311831831131解：(1)所选3人中恰有一名男生的概率P ＝C 25C 14C 39＝1021.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 35C 39＝542，P (ξ＝1)＝C 25C 14C 39＝1021，P (ξ＝2)＝C 15C 24C 39＝514，P (ξ＝3)＝C 34C 39＝121.∴ξ的分布列为ξ0123P5421021514121解：由题意知η可取3,2,1,0即当η＝3时，ξ＝0.η＝2时，ξ＝1.η＝1时，ξ＝2.η＝0时，ξ＝3.∴η的分布列为η3210P5421021514121例13：第:31届奥林匹克夏季运动会于2016年8月5日至21日在里约热内卢举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如下茎如图(单位：cm)：若身高在175cm 以上(包括175cm)定义为“高个子”，身高在175cm 以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪解：(1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16，所以抽中的“高个子”有12×16＝2人，“非高个子”有18×16＝3人．用事件A 表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A 表示“没有1名‘高个子’被选中”，则P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 25＝1－310＝710.因此，至少有1人是“高个子”的概率是710.(2)依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝C 38C 312＝1455，P (ξ＝1)＝C 14C 28C 312＝2855，P (ξ＝2)＝C 24C 18C 312＝1255，P (ξ＝3)＝C 34C 312＝155.因此，ξ的分布列为ξ0123P145528551255155胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．解：(1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D 、E 、F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知F 、E 、D 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此p (ξ＝0)＝P (DEF )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P (ξ＝1)＝P (DE F )＋P (DEF )＋P (D EF )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式得P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为：ξ0123P0.10.350.40.15因此E (ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.离散型随机变量及其分布列训练题1一、选择题1．下列4个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是()A. B.C.D.2．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球”事件的是()A ．ξ＝4B ．ξ＝5C ．ξ＝6D ．ξ≤53．离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P (12＜X ＜52)的值为()A.23B.34C.45D.564．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P (X )，则P (X ＝4)的值为()A.1220 B.2755 C.27220 D.21255．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了ξ个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n的是()A ．P (ξ＝3)B ．P (ξ≥2)C ．P (ξ≤3)D ．P (ξ＝2)二、填空题6．随机变量X 的分布列如下：X －101P a b c 其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝______.7．设随机变量X 只能取5、6、7、…、16这12个值，且取每个值的概率相同，则P (X ＞8)＝________，P (6＜X ≤14)＝________.三、解答题8．口袋中有n (n ∈N *)个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X .若P (X ＝2)＝730，求：(1)n 的值；(2)X 的分布列．X 012P0.30.40.5X 012P0.3－0.10.8X1234P0.20.50.3X 012P1727379．一项试验有两套方案，每套方案试验成功的概率都是23，试验不成功的概率都是13.甲随机地从两套方案中选取一套进行这项试验，共试验了3次，且每次试验相互独立．(1)求3次试验都选择了同一套方案且都试验成功的概率；(2)记3次试验中，都选择了第一套方案并试验成功的次数为X ，求X 的分布列．10．在某射击比赛中，比赛规则如下：每位选手最多射击3次，射击过程中若击中目标，方可进行下一次射击，否则停止射击；同时规定第i (i ＝1,2,3)次射击时击中目标得4－i 分，否则该次射击得0分．已知选手甲每次射击击中目标的概率为0.8，且其各次射击结果互不影响．(1)求甲恰好射击两次的概率；(2)设选手甲停止射击时的得分总数为ξ，求随机变量ξ的分布列．1.C2.C3.解析：由(11×2＋12×3＋13×4＋14×5)×a ＝1.知45a ＝1∴a ＝54.故P (12＜X ＜52)＝P (1)＋P (2)＝12×54＋16×54＝56.答案：D4.解析：由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.答案：C5.解析：由超几何分布知P (ξ＝2)＝n －m A 2mA 3n答案：D6.解析：∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c .又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.答案：237.解析：P (X ＞8)＝23，P (6＜X ≤14)＝23.答案：23238.解：(1)由P (X ＝2)＝730知C 13C 1n ＋3×C 1n C 1n ＋2＝730，∴90n ＝7(n ＋2)(n ＋3)．∴n ＝7.(2)X ＝1,2,3,4且P (X ＝1)＝710，P (X ＝2)＝730，P (X ＝3)＝7120，P (X ＝4)＝1120.∴X 的分布列为X 1234P710730712011209.解：(1)记事件“一次试验中，选择第i 套方案并试验成功”为A i ，i ＝1,2，则P (A i )＝1C 12×23＝13.3次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率P ＝P (A 1·A 1·A 1＋A 2·A 2·A 2)＝313⎛⎫ ⎪⎝⎭＋313⎛⎫ ⎪⎝⎭＝227.(2)由题意知X 的可能取值为0,1,2,3，则X ～B (3，23)，P (X ＝k )＝C k 3313k-⎛⎫ ⎪⎝⎭23k⎛⎫⎪⎝⎭，k ＝0,1,2,3.X 的分布列为X 0123P127294982710.解：(1)记“选手甲第i 次击中目标的事件”为A i (i ＝1,2,3)，则P (A i )＝0.8，P (A i )＝0.2，依题意可知：A i 与A j (i ，j ＝1,2,3，i ≠j )相互独立，所求的概率为P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝0.8×0.2＝0.16.(2)ξ的可能取值为0,3,5,6.P (ξ＝0)＝0.2，P (ξ＝3)＝0.8×0.2＝0.16，P (ξ＝5)＝0.82×0.2＝0.128，P (ξ＝6)＝0.83＝0.512.所以ξ的分布列为：ξ0356P 0.20.160.1280.512【参考答案】离散型随机变量及其分布列训练题2一．选择题（共15小题）1．设随机变量ξ的分布列由，则a 的值为（）A ．1B ．C ．D ．2．设随机变量X 等可能取值1，2，3，…，n ，如果P （X ＜4）=0.3，那么（）A ．n=3B ．n=4C ．n=10D ．n=93．下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是（）A ．B ．C ．D ．4．已知8件产品中有2件次品，从中任取3件，取到次品的件数为随机变量，用ξ表示，那么ξ的取值（）A ．0，1B ．1，2C ．0，1，2D ．0，1，2，35．设离散型随机变量X 的概率分布如表：则随机变量X 的数学期望为（）A ．B ．C ．D ．6．设随机变量X 的概率分布列为X 1234P m则P （|X ﹣3|=1）=（）A ．B ．C ．D ．7．设随机变量X 的概率分布如右下，则P （X≥0）=（）X ﹣101P p A ．B ．C ．D ．8．随机变量ξ的分布列为P （ξ=k ）=，k=1，2，3，其中c 为常数，则P （ξ≥2）等于（）A ．B ．C ．D ．9．两名学生参加考试，随机变量x 代表通过的学生数，其分布列为x 012p那么这两人通过考试的概率最小值为（）A ．B ．C ．D ．10．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，其分布列为P （X ），则P （X=4）的值为（）A ．B ．C ．D ．ζ﹣101P 0.30.40.4ζ123P 0.40.7﹣0.1ζ﹣101P0.30.40.3ζ123P0.30.40.4X123P ip11．6件产品中有2件次品与4件正品，从中任取2件，则下列可作为随机变量的是（）A．取到产品的件数B．取到正品的件数C．取到正品的概率D．取到次品的概率12．已知随机变量ξ～B（9，）则使P（ξ=k）取得最大值的k值为（）A．2B．3C．4D．513．设随机变量的ξ的分布列为P（ξ=k）=（k=1，2，3，4，5，6），则P（1.5＜ξ＜3.5）=（）A．B．C．D．14．已知随机变量X的分布列为：P（X=k）=，k=1，2，…，则P（2＜X≤4）等于（）A．B．C．D．15．袋中共放有6个仅颜色不同的小球，其中3个红球，3个白球，每次随机任取1个球，共取2次，则下列不可作为随机变量的是（）A．取到红球的次数B．取到白球的次数C．2次取到的红球总数D．取球的总次数二．填空题（共5小题）16．设ξ是一个离散型随机变量，其概率分布列如下：ξ﹣101P0.5q2则q=．17．设随机变量X的分布列为P（X=i）=，i=1，2，3，则P（X=2）=．18．随机变量X的分布列为X x1x2x3P p1p2p3若p1，p2，p3成等差数列，则公差d的取值范围是．19．设随机变量X的概率分布为P（X=2k）=ak（a为常数，k=1，2，3，4，5），则P（X＞6）=．20．（2014•嘉定区校级模拟）己知A、B两盒中都有红球、白球，且球的形状、大小都相同，盒子A中有m 个红球与10﹣m个白球，盒子B中有10﹣m个红球与m个白球（0＜m＜10）．分别从A、B中各取一个球，ξ表示红球的个数，表中表示的是随机变量ξ的分布列则当m为时，D（ξ）取到最小值．ξ012P？三．解答题（共8小题）21．M公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作；180分以下者到“乙部门”工作．另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“甲部分”人选和“乙部分”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出X的分布列，并求出X的数学期望．22．某校参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩分成六段[40，50）、[50，60）、…、[90，100]后得到如图部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）若从60名学生中随抽取2人，抽到的学生成绩在[40，60）记0分，在[60，80）记1分，在[80，100]记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望．23．2013年2月20日，针对房价过高，国务院常务会议确定五条措施（简称“国五条”）．为此，记者对某城市的工薪阶层关于“国五条”态度进行了调查，随机抽取了60人，作出了他们的月收入的频率分布直方图（如图），同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表（如表）：（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计这60人的平均月收入；（Ⅱ）若从月收入（单位：百元）在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取3人进行追踪调查，记选中的6人中不赞成“国五条”的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．24．在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目．已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙，情况如下表：现从第一小组、第二小组中各任选2人分析选课情况．（1）求选出的4人均选科目乙的概率；（2）设ξ为选出的4个人中选科目甲的人数，求ξ的分布列和数学期望．月收入（百元）赞成人数[15，25）8[25，35）7[35，45）10[45，55）6[55，65）2[65，75）1科目甲科目乙总计第一小组156第二小组246总计391225．某游乐场有A、B两种闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B．已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为．（1）求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；（2）记游戏A、B被闯关总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．26．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．（Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（Ⅱ）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．一．选择题（共15小题）1．D；2．C；3．C；4．C；5．C；6．B；7．C；8．C；9．B；10．C；11．B；12．A；13．A；14．A；15．D；二．填空题（共5小题）16．；17．；18．[-，]；19．；20．1或9；三．解答题（共8小题）21.解：（I）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为=，根据茎叶图，有“甲部门”人选10人，“乙部门”人选10人，所以选中的“甲部门”人选有10×=4人，“乙部门”人选有10×=4人，用事件A表示“至少有一名甲部门人被选中”，则它的对立事件表示“没有一名甲部门人被选中”，则P（A）=1﹣P（）=1﹣=1﹣=．因此，至少有一人是“甲部门”人选的概率是；（Ⅱ）依据题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．因此，X的分布列如下：所以X的数学期望EX=0×+1×+2×+3×=．22.解：（1）设分数在[70，80）内的频率为x，根据频率分布直方图，有（0.01+0.015×2+0.025+0.005）×10+x=1，可得x=0.3，所以频率分布直方图如图所示（2）平均分为=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71（3）学生成绩在[40，60）的有0.25×60=15人，在[60，80）的有0.45×60=27人，在[80，100）的有0.3×60=18人，ξ的可能取值是0，1，2，3，4则，，，，所以ξ的分布列为：∴23.解：（Ⅰ）这60人的月平均收入为（20×0.015+30×0.015+40×0.025+0.02×50+60×0.015+70×0.01）×10=43.5（百元）（Ⅱ）根据频率分布直方图可知[15，25）的人数为0.015×10×60=9人，其中不赞成的只有1人；[25，35）的人数为0.015×10×60=9人，其中不赞成的有2人．则X的所有取值可能为0，1，2，3.，，P （X=2）=+，．∴随机变量X 的分布列为∴E （X ）==1．24.解：（1）设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件A ，“从第二小组选出的2人选科目乙”为事件B ，由于事件A 、B 相互独立，且P （A ）=，P （B ）=，所以选出的4人均选科目乙的概率为：P （A •B ）=P （A ）•P （B ）=；（2）ξ可能的取值为0，1，2，3，则P （ξ=0）=，P （ξ=1）=+=，P （ξ=3）==，P （ξ=2）=1﹣P （ξ=0）﹣P （ξ=1）﹣P （ξ=3）=，ξ的分布列为：所以ξ的数学期望为：0×+1×+2×+3×=1．25.解：（1）．（2）ξ可取0，1，2，3，4，P （ξ=0）=（1﹣）2（1﹣）2=；P （ξ=1）=（）（1﹣）（）2+（1﹣）2=；P （ξ=2）=++=；P （ξ=3）==；P （ξ=4）==．∴ξ的分布列为：ξ01234PE ξ=0×+1×+2×+3×+4×=．26.（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，则共有基本事件：1+++=16个，则A 事件包含基本事件的个数为=6个，则P （A ）==，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为，（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0，5，10，15，20．，，，，．所以，随机变量X 的分布列为：X 0123P （X ）X 05101520P。

4.2 随机变量4.2.1 随机变量及其与事件的联系4.2.2 离散型随机变量的分布列必备知识基础练1.下列问题中的随机变量不服从两点分布的是( )A.抛掷一枚骰子,所得点数为随机变量XB.某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量XC.从装有5个红球,3个白球的袋中取1个球,令随机变量X={1,取出白球;0,取出红球}D.某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量X2.袋中装有大小和颜色相同的5个乒乓球,分别标有数字1,2,3,4,5,现从中任意抽取2个,设两个球上的数字之积为X,则X所有可能取值的个数是( )A.6B.7C.10D.253.设随机变量ξ等可能取值1,2,3,…,n,如果P(ξ<4)=0.3,那么( )A.n=3B.n=4C.n=10D.n=94.(山东潍坊检测)随机变量X的概率分布规律为P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),其中a为常数,则P12<X<52的值为( )A.23B.34C.45D.565.一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字,只记得最后四位数字两两不同,且都大于5,于是他随机拨最后四位数字(两两不同),设他拨到所要号码时总共拨的次数为ξ,则随机变量ξ的所有可能取值的种数为.6.一批产品分为四级,其中一级产品是二级产品的两倍,三级产品是二级产品的一半,四级产品与三级产品相等,从这批产品中随机抽取一个检验质量,设其级别为随机变量ξ,则P(ξ>1)=.关键能力提升练7.(多选题)(湖南常德校级月考)设随机变量ξ的概率分布满足Pξ=k5 =ak(k=1,2,3,4,5),则( )A.15a=1B.P(0.5<ξ<0.8)=0.2C.P(0.1<ξ<0.5)=0.2D.P(ξ=1)=0.38.离散型随机变量X的分布列中的部分数据丢失,丢失数据以x,y(x,y为0~9间的自然数)表示,分布列如下:X=i 1 2 3 4 5 6P(X=i)0.20 0.100.1x+0.050.100.1+0.01y0.20则P32<X<113等于( ) A.0.25 B.0.35 C.0.45D.0.559.若P(ξ≤n)=1-a,P(ξ≥m)=1-b,其中m<n,则P(m≤ξ≤n)等于 .10.随机变量η的分布列如下:则x= ,P(η≤3)= .学科素养创新练11.已知随机变量ξ的分布列为分别求出随机变量η1=12ξ,η2=ξ2的分布列.参考答案4.2 随机变量4.2.1 随机变量及其与事件的联系4.2.2 离散型随机变量的分布列1.A 两点分布所有的试验结果有两个,B,C,D满足定义,而A,抛掷一枚骰子,所得点数为随机变量X,则X的所有可能的结果有6种,不是两点分布.故选A.2.C X的所有可能取值有1×2=2,1×3=3,1×4=4,1×5=5,2×3=6,2×4=8,2×5=10,3×4=12,3×5= 15,4×5=20,共10个.3.C 由ξ<4知ξ=1,2,3,所以P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.3=3n,解得n=10.故选C.4.D 根据题意,由于P(X=n)=an(n+1),那么可知,当n=1,2,3,4时,概率和为1,即a2+a6+a12+a20=1,解得a=54.∴P12<X<52=P(X=1)+P(X=2)=54×12+5 4×16=56.故选D.5.24 由于后四位数字两两不同,且都大于5,因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列,故有A44=24(种).6.12依题意,P(ξ=1)=2P(ξ=2),P(ξ=3)=12P(ξ=2),P(ξ=3)=P(ξ=4),由分布列性质得P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=1,则4P(ξ=2)=1,即P(ξ=2)=14,P(ξ=3)=P(ξ=4)=18.所以P(ξ>1)=P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)=12.7.ABC 由题意可得a+2a+3a+4a+5a=1,即15a=1,故A 正确; P(0.5<ξ<0.8)=P(ξ=0.6)=3a=315=0.2,故B 正确;P(0.1<ξ<0.5)=P(ξ=0.2)+P(ξ=0.4)=115×1+115×2=315=0.2,故C 正确;P(ξ=1)=115×5=13,故D 不正确.故选ABC.8.B 根据分布列的性质知,随机变量的所有取值的概率和为1,因此0.1x+0.05+0.1+0.01y=0.4,即10x+y=25,由x,y 是0~9间的自然数可解得x=2,y=5,故P 32<X<113=P()=1-[1-(1-a)]-[1-(1-b)]=1-a-b.10.0.1 0.55 由0.2+x+0.25+0.1+0.15+0.2=1,得x=0.1. P(η≤3)=P(η=1)+P(η=2)+P(η=3)=0.2+0.1+0.25=0.55.11.解由η1=12ξ知,对于ξ取不同的值-2,-1,0,1,2,3时,η1的值分别为-1,-12,0,12,1,32.所以η1的分布列为由η2=ξ2知,对于ξ的不同取值-2,2与-1,1,η2分别取相同的值4与1,则P(η2=4)=P(ξ=-2)+P(ξ=2)=14,P(η2=1)=P(ξ=-1)+P(ξ=1)=13.所以η2的分布列为。