① ⑤②③ ④ ⑥ 数学奥赛辅导 第九讲 组合恒等式、组合不等式知识、方法、技能Ⅰ．组合恒等式竞赛数学中的组合恒等式是以高中排列组合、二项式定理为基础，加以推广、补充而形成的一类组合问题.组合恒等式的证明要借助于高中常见的基础组合等式.例如0)1(2321021011111=-++-+-=++++⋅==+==----+++-n n n n n n n nnn n n n mr mn m n m n r n r n r n r n r nr n rn nr n C C C C C C C C C C C C C C r n C C C C C C组合恒等式的证明方法有： ①恒等变形，变换求和指标； ②建立递推关系； ③数学归纳法； ④考虑组合意义； ⑤母函数. Ⅱ．组合不等式组事不等式以前我们见的不多，在其他一些书籍中组合不等式的著述也很少，但是近年来组合不等式的证明却出现在国内、国际大赛上.例如1993年中国高中数学联赛二试第二大题为：设A 是一个有n 个元素的集合，A 的m 个子集A 1，A 2…，A m 两两互不包含，试证： （1）∑=≤mi A nI C1||;11（2）∑=≥mi A nm CI 12||其中|A i |表示A i 所含元素的个数，||I A n C 表示n 个不同元素取|A i |的组合数. 再如1998年第39届国际数学奥林匹克竞赛中第二大试题为：在某一次竞赛中，共有a 个参赛选手与b 个裁判，其中b ≥3，且为奇数.每个裁判对每个选手的评分中只有“通过”或“不及格”两个等级，设k 是满足条件的整数；任何两个裁判至多可对k 个选手有完全相同的评分. 证明：.21bb a k -≥ 因此我们有必要研究组合不等式的证明方法.组合不等式的证明方法有： 1．在集合间建立单射，利用集合阶的不等关系定理，设X 和Y 都是有限集，f 为从X 到Y 的一个映射， （1）若f 为单射，则|X|≤|Y|； （2）若f 为满射，则|X|≥|Y|. 2．利用容斥原理例如：设元素a 属于集族{A 1，A 2，…，A n }的k 个不同集合k i i i A A A ,,,21 ，则在∑=ni iA1||中a 被计算了k 次，当k ≥2时，集合k i i i A A A ,,,21 两两的交集共有2k C 个.由于||,12)1(12j nj i i k A A a k k k C ∑≤≤≤-≥-=在故中至少少被计算了k －1次，这样我们得到下面的不等式：||||||111j nj i ii ni i ni A AA A ∑∑≤≤≤==-≥组合不等式（*）可由容斥公式：||)1(||||||1)1(111i ni n j nj i ii ni i ni A A AA A =-≤≤≤==-++-=∑∑ 删去右边第三个和式起的所有和式得到.采用这种办法，我们可以从容斥公式得到另外一些组合不等式，只是要注意这些不等式的方向的变化.3．利用抽屉原则由于抽世原则的结论本身就是组合不等式关系，所以我们利用抽屉原则，巧妙构造抽屉的方法证明组合不等式.4．利用组合分析在复杂的组合计数问题、离散极值问题等问题中，会出现一些组合不等式，这时可运用组合分析方法证明之.赛题精讲例1 证明：∑=-⋅+=nk n k n n n n C 0122!!2)!2(2【分析】 把∑∑∑∑+=+===-nn k k nnn k k nnk k nnk k nCC CC21221220202,而对于变形为，变换求和指标.【证明】k n j CCCCCnn k k nnn k k nnnn k k nnk k nnk k n-=-=-=∑∑∑∑∑+=+=+===2,,2212212221220202令对于和式，则.20202212212nn nk k n nj n nj nn j j nnn k k nC C CCCC-=-==∑∑∑∑==-=+= 所以.2202202nn nk k n nnk knC C C+-=∑∑== 即 nn n nk kn C C220222+=∑=，从而有∑=-⋅+=nk n k n n n n C 0122!!2)!2(2.例2 求证：.,)1(111)1(312111210N n C n m C n m C m C m C m nnm nn nnn n ∈++=++-+-+++-++其中 证明 设nnn n n n n C n m C m C m C m a 11)1(312111210++-+-+++-+=，则由基本恒等式r n r nr n r n r n C nr C C C C =+=----1111及得 .1)1()()1()(31)(211111122111112101110------------++-+++-+-+++++-+=n n n n n n n n n n n n n n C n m C C n m C C m C C m C m a.)1(1)1)(2())(1(!,)1)(2(12111,)3())(1(!))(1()1(1.1,1112111nn m n n n n n n n n n n C n m m m n m n m n a m m m m a a m n m n m n a n m n m n n a n m n a a a n m a a n m a a +----++=+++++=++=+-+=++++==+++-=++==+++-=从而有而所以即故 【说明】注意到a n 中各项的系数均与n 无关，且符号正负相同，由此想到a n 与a n －1之间必定存在着某些联系，且是递推关系.例3 求证：∑=+--+=⋅-nk kk n k n kn C 01222.12)1(【分析】考虑到恒等式12212---+-+=k k n k k n k k n C C C ，仿例2解决.【证明】令∑=+--⋅⋅-=nk kk n k n kn C a 01222,2)1(因为，12212---+-+=k k n k k n k k n C C C ，.2)1(2)1(2)1(,1.2)1(2)1()(2)1(22)1(211)1(2102)1(21)1(212)1(21121221212202221212222112222-+---=--+---=--+--=---=-=----=--=+---=--=⋅-=⋅--=⋅-+⋅-=+⋅-+=⋅-+=∑∑∑∑∑∑∑n r r n n r r n r rr n n r r n r k kn nk kn kk k n nk k n k nk kkn kn kk k n nk k k n k n k nnk kk n k n k nn a C C Ck r C C C C C a 则令所以令∑=---+==⋅-nk n n n n kk n k n ka ab b C 01222,2)1(则 ①.42)1(4)1()(2)1(2)1(2)1(21110)1(22)1(211121112222112222---=---------=----=---=⋅--=-++⋅-+=-+⋅-+=∑∑∑n n n j j jn j n j n n k k n n k k k n k n k nn k n k k n k n k nn b a C a C C C b 又于是由①式得1221112112,4,---------=+--=++=n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a b 即从而推知. 这说明{a n }为等差数列，而a 0=1,a 1=2，故公差d=1，且a n =n+1 .【说明】此题运用变换求和指标的方法，找出了a n ，a n －1，a n －2之间的线性关系式，再由 初始条件求得a n .这种利用递推关系求组合数的方法，在解决较复杂的计算或证明组事恒等式时经常用到.例11：设},,,{},,,,{212211n n B B B D A A A D ==是集合M 的两个划分，又对任何两个不变的子集),1(,n j i B A j i ≤≤有,||n B A j i ≥⋃求证：221||n M ≥并说明等号能否成立？【证明】令},1|,||,min{|n j i B A k j i ≤≤=，不妨设,||k A i =因n B B B ,,,21 两两不交，故n B B B ,,,21 中至多有k 个,j B 使=⋂j B A 1 .设≠⋂j B A 1 .,,,2,1,k n m j ≤=由k 的选取知),,2,1(||m j k B j =≥从而.||1mk Bmj j≥=又因 =⋂j B A 1 .,,1,n m i +=故 ,||||||11n B A B A i i ≥⋃=+ 即 .||k n B i -≥ 所以 ))((||||||||111k n m n mk BB B M nm j jmj jnj j --+≥+==+===).2()(k n m k n n ---= 若,2nk <因,k m ≤故.2)2(2)2(2)2()()2()(||222n k n n k n k k n n k n m k n n M ≥-+=---≥---≥若,2n k ≥则),,,2,1(2||n i n A i =≥ 从而 .2||||||211n A A M n i i n i i ≥==∑==下面说明2||2n M =是可以取到的.显然这时n 为偶数，取,4=n 则8||=M ，令},8,7,6,5,4,3,2,1{=M 易验证M 的两个划分.D 1={{1,2}{3,4}{5,6}{7,8}}, D 2={{1,2}{3,5}{4,6}{7,8}}, 满足题目条件.例12：设n 是正整数，我们说集合{1，2，…，2n }的一个排列（n x x x 221,, ）具有性质P ，是指在{1，2，…，2n －1}当中至少有一个i ，使得.||1n x x i i =-+求证，对于任何n ，具有性质P 的排列比不具有性质P 的排列的个数多.（1989，第30届IMO 试题6）【证明】设A 为不具有性质P 的排列的集合，B 为具有性质P 的排列的集合，显然)!.2(||||n B A =+为了证明||||B A <，只要得到)!2(21||n B >就够了.使作容斥原理. 设(n x x x 221,,, )中,k 与n k +相邻的排列的集合为.,,2,1,n k A k =则,)!12(2||-=n x A k ,1,)!22(2||2n j k n x A A j k ≤<≤-=⋂由容斥原理得)!22(4)!12(2||||||211-⋅⋅--⋅⋅=⋂-=∑∑≤<≤=n C n n A AA B n nj k j knk k=)!22(2)!22()1(2)!2(-⋅⋅=-⋅--n n n n n n n )!2(21)!22(2122n n n n =-⋅-⋅> 例13：平面上给定n 个点，其中任何三点不共线，任意地用线段连接某些点（这些线段称为边），则确保图形中出现以给定点为顶点的)(n m m <阶完全图的条件是图形中的边的条数.1)1(222--+-≥m n m m n C C C x【证明】构造抽屉：每个抽屉里有m 个相异点，共可得m n C 个抽屉，又由于同一条边会在22--m n C 个抽屉里出现，根据抽屉原则知，当1)1(222+-≥⋅--m m n m n C C C x 时，才能确保有一个抽屉里有2mC 条边，而这2m C 条边恰好与其中不共线的相异m 点构成一个m 阶完全图. 这就是说，确保图形中出现m 阶完全图的条件是其中边的条数.1)1(222--+-≥m n m m n C C C x 【评述】“完全图”，是图论中的基本概念.（此处从略）例14：设n x x x ,,,21 为实数，满足,12232221=++++n x x x x 求证：对于每一整数2≥k ，存在不全为零的整数,,,,21n a a a 使得),,,3,2,1(1||n i k a i =-≤并且（1987年第28届IMO 试题3）.1)1(||2211--≤+++nn n k nk x a x a x a 【证】由柯西不等式得).)(111(|)||||(|2232221222221n n x x x x x x x +++++++≤+++即.||||||21n x x x n ≤+++所以，当10-≤≤k a i 时，有.)1(|)||||)(|1(||||||212211n k x x x k x a x a x a n n n -≤+++-≤+++把区间[0，n k )1(-]等分成1-nk 个小区间，每个小区间的长度1)1(2--k nk ，由于每个i a 能取k 个整数，因此||||||2211n n x a x a x a +++共有nk 个正数，由抽屉原则知必有二数会落在同一小区间内，设它们分别是∑='ni ii xa 1||与,||1∑=''ni i i x a 因此有.1)1(||)(21--≤''-'∑=k nk x a a ni i i i ① 很明显，我们有 .,,2,1,1||n i k a a i i =-≤''-' 现在取⎩⎨⎧<'-''≥''-'=.0,,0,i i i i i i x a a x a a a 如果如果这里,,,2,1n i =于是①可表示为.1)1(||1--≤∑=n ni i i k nk x a 这里i a 为整数，适合.,,2,1,1||n i k a i =-≤例15：设A 是一个有n 个元素的集合，A 的m 个子集m A A A ,,,21 两两互不包含，试证：（1）;111||≤∑=mi A n i C （2）.21||m C m i A n i ≥∑= 其中||i A 表示i A 所含元素的个数，||i A n C 表示n 个不同元素取||i A 个的组合数.（1993年，全国高中数学联赛二试第二大题） 【分析】若（1）式已证，由柯西不等式立即可得（2）式，因此，关键是证（1）式，又据组合公式知，（1）式等价于!.|)!|(|!|1n A n Ai ni i≤-∑= ① 所以我们用组合的方法来证明不等式①.【证明】（1）对于A 的子集},,,,{||21i A i x x x A =我们取补集},,,,{||21i A n i y y y A -= 并取i A 的元素在前，i A 元素在后，作排列||21,,,i A x x x ，||21,,,i A n y y y - . ② 这样的排列共有|)!|(||i i A n A -个.显然,②中每一个排列,也是A 中的一个排列,若i j ≠时，j A 对应的排列与i A 对庆的排列互不相同，则m A A A ,,,21 所对应的排列总数便不会超过A 中排列的总数,!n 现假设j A 中对应的某一排列'''||21,,,j A x x x ，'''-||21,,,j A n y y y . ③与i A （i j ≠）中对应的某一排列②相同（指出现的元素及元素位置都相同），则当||||i j A A ≤时，i j A A ⊆；当||||i j A A >时，i j A A ⊇，这都与m A A A ,,,21 两两互不包含，矛盾.由于m A A A ,,,21 对应的排列对②互不相同，而A 中n 个元素的全排列有n ！个，故得!.|)!|(|!|1n A n A i n i i ≤-∑= 即.111||≤∑=ni A ni C （2）由上证及柯西不等式，有.)1()1)((2112||1||1||m C CCmi mi A n mi A nmi A nii i ∑∑∑∑=====≥≥【评述】本题取自著名的Sperner 定理：设Z 为n 元素，m A A A ,,,21 为Z 的子集，互不包含，则m 的最大值为]2[nn C.例16：设S ={0，1，2，…，N 2－1}，A 是S 的一个N 元子集.证明存在S 的一个N 元子集B ,使得集合A +B={},|B b A a b a ∈∈+中的元素模N 2的余数的数目不少于S 中元素的一半. （第40届IMO 预选题）【证明】设|X |为子集S X ⊂中元素的个数；又为X S -，是X 的补集；i C 是i a +对k 个参赛选手有相同的判决，证明.21bb a k -≥ （1998年第39届IMO 试题二）【解】设裁判),,2,1(b i B i =对参赛选手),,2,1(b j A j =的判决为ij d ，其中⎩⎨⎧=".",1,"",0不通过若通过若ij d则（a i i i d d d ,,,21 ）中i B 对a 个参赛选手判决的记录),,2,1(b i =，它是一个长度为a 的（0—1）序列.我们来考虑这b 个序列中每两个序列的相同的项的总数M . 一方面,由已知条件每两个序列的相同的项不超过k 个,故 .)1(212k b b k C M b -=⋅≤ ①另一方面，设j A 得到0b 个0（通过），1b 个1（不通过），即（a i i i d d d ,,,21 ）的第i 个分量中0b 个0，1b 个1，则0b +1b =.b 由这个分量产生的序列的相同的项有)1(21)1(2111002210-+-=+b b b b C C b b ])[(21)]()[(212120102120b b b b b b b -+=+-+= ).2(21)]2)[(2110210210b b b b b b b b b --=--+=但b b b =+10且b 为奇数)3(≥b ，因此).1()1(4110-⋅+≤b b b b 故)]1)(1(21)1([212210-+--≥+b b b b C C b b=.)1(41)1(21)1(212-=-⋅-b b b从而.)1(412-⋅≥b a M ③综合①、②得,)1(21)1(412k b b b a -≤-⋅ 即.21b b a k -≥。
