2014电磁感应中的“杆+导轨”模型

“单杆＋导轨”模型1. 单杆水平式（导轨光滑) 物理模型动态分析 设运动过程中某时刻棒的速度为v ，加速度为a ＝F m －错误!，a 、v 同向，随v 的增加,a 减小，当a ＝0时，v 最大，I ＝错误!恒定收尾状态 运动形式 匀速直线运动力学特征 a ＝0，v 最大，v m ＝错误! (根据F=F 安推出，因为匀速运动，受力平衡）电学特征I 恒定注：加速度a 的推导，a=F 合/m （牛顿第二定律），F 合=F —F 安,F 安=BIL ，I=E/R整合一下即可得到答案。

v 变大之后,根据 上面得到的a 的表达式，就能推出a 变小这里要注意，虽然加速度变小，但是只要和v 同向,就是加速运动，是a 减小的加速运动（也就是速度增加的越来越慢，比如1s 末速度是1，2s 末是5，3s 末是6，4s 末是6。

1 ，每秒钟速度的增加量都是在变小的)2。

单杆倾斜式(导轨光滑）物理模型动态分析 棒释放后下滑，此时a ＝g sin α，速度v ↑E＝BLv↑I＝错误!↑错误!F＝BIL↑错误!a↓，当安培力F＝mg sin α时，a＝0，v最大注：棒刚释放时,速度为0，所以只受到重力和支持力,合力为mgsin α收尾状态运动形式匀速直线运动力学特征a＝0，v最大，v m＝错误!（根据F=F安推出）电学特征I恒定【典例1】如图所示,足够长的金属导轨固定在水平面上，金属导轨宽度L＝1.0 m，导轨上放有垂直导轨的金属杆P，金属杆质量为m＝0。

1 kg，空间存在磁感应强度B＝0。

5 T、竖直向下的匀强磁场。

连接在导轨左端的电阻R＝3.0 Ω，金属杆的电阻r＝1。

0 Ω，其余部分电阻不计。

某时刻给金属杆一个水平向右的恒力F,金属杆P由静止开始运动，图乙是金属杆P运动过程的v－t图象，导轨与金属杆间的动摩擦因数μ＝0.5。

在金属杆P运动的过程中，第一个2 s内通过金属杆P的电荷量与第二个2 s内通过P的电荷量之比为3∶5。

电磁感应中的“杆＋导轨”类问题(3大模型)电磁感应“杆＋导轨”模型的实质是不同形式的能量的转化过程，处理这类问题要从功和能的观点入手，弄清导体棒切割磁感线过程中的能量转化关系，现从力学、图像、能量三种观点出发，分角度讨论如下：模型一 单杆＋电阻＋导轨模型[初建模型][母题] 如图所示，相距为L 的两条足够长的光滑平行金属导轨MN 、PQ 与水平面的夹角为θ，N 、Q 两点间接有阻值为R 的电阻。

整个装置处于磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。

将质量为m 、阻值也为R 的金属杆cd 垂直放在导轨上，杆cd 由静止释放，下滑距离x 时达到最大速度。

重力加速度为g ，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。

求：(1)杆cd 下滑的最大加速度和最大速度； (2)上述过程中，杆上产生的热量。

[解析] (1)设杆cd 下滑到某位置时速度为v ，则杆产生的感应电动势E ＝BL v ，回路中的感应电流I ＝ER ＋R杆所受的安培力F ＝BIL 根据牛顿第二定律有mg sin θ－B 2L 2v2R＝ma当速度v ＝0时，杆的加速度最大，最大加速度a ＝g sin θ，方向沿导轨平面向下当杆的加速度a ＝0时，速度最大，最大速度v m ＝2mgR sin θB 2L 2，方向沿导轨平面向下。

(2)杆cd 从开始运动到达到最大速度过程中，根据能量守恒定律得mgx sin θ＝Q 总＋12m v m 2又Q 杆＝12Q 总，所以Q 杆＝12mgx sin θ－m 3g 2R 2sin 2θB 4L 4。

[答案] (1)g sin θ，方向沿导轨平面向下 2mgR sin θB 2L 2，方向沿导轨平面向下 (2)12mgx sin θ－m 3g 2R 2sin 2θB 4L 4[内化模型]单杆＋电阻＋导轨四种题型剖析开始时a ＝g sin α，B L[变式] 此题若已知金属杆与导轨之间的动摩擦因数为μ。

现用沿导轨平面向上的恒定外力F 作用在金属杆cd 上，使cd 由静止开始沿导轨向上运动，求cd 的最大加速度和最大速度。

热点专题系列(六) 电磁感应中的“杆和导轨”模型热点概述：电磁感应中的“杆－轨”运动模型，是导体切割磁感线运动过程中动力学与电磁学知识的综合应用，此类问题是高考命题的重点。

[热点透析]单杆模型初态v0≠0v0＝0示意图质量为m、电阻不计的单杆ab以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间距为L轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定续表初态v0≠0v0＝0运动分析导体杆做加速度越来越小的减速运动，最终杆静止当E感＝E时，v最大，且v m＝EBL，最后以v m匀速运动当a＝0时，v最大，v m＝FRB2L2，杆开始匀速运动Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝CBLΔv电流I＝ΔqΔt＝CBLΔvΔt＝CBLa安培力F安＝BLI＝CB2L2a F－F安＝ma，a ＝Fm＋B2L2C，所以杆以恒定的加速度匀加速运动能量分析动能转化为内能，12m v2＝Q电能转化为动能和内能，E电＝12m v2m＋Q外力做功转化为动能和内能，W F＝12m v2m＋Q外力做功转化为电能和动能，W F＝E电＋12m v2注：若光滑导轨倾斜放置，要考虑导体杆受到重力沿导轨斜面向下的分力作用，分析方法与表格中受外力F时的情况类似，这里就不再赘述。

(2020·山东省聊城市一模)(多选)如图所示，宽为L的水平光滑金属轨道上放置一根质量为m的导体棒MN，轨道左端通过一个单刀双掷开关与一个电容器和一个阻值为R的电阻连接，匀强磁场的方向垂直于轨道平面向里，磁感应强度大小为B，电容器的电容为C，金属轨道和导体棒的电阻不计。

现将开关拨向“1”，导体棒MN在水平向右的恒力F作用下由静止开始运动，经时间t0后，将开关S拨向“2”，再经时间t，导体棒MN恰好开始匀速向右运动。

电磁感应现象中的“杆+导轨”模型问题解决电磁感应电路问题的关键就是借鉴或利用相似原型来启发理解和变换物理模型，即把电磁感应的问题等效转换成稳恒直流电路，把产生感应电动势的那部分导体等效为内电路.感应电动势的大小相当于电源电动势.其余部分相当于外电路，并画出等效电路图.此时，处理问题的方法与闭合电路求解基本一致，惟一要注意的是电磁感应现象中，有时导体两端有电压，但没有电流流过，这类似电源两端有电势差但没有接入电路时，电流为零。

变换物理模型，是将陌生的物理模型与熟悉的物理模型相比较，分析异同并从中挖掘其内在联系，从而建立起熟悉模型与未知现象之间相互关系的一种特殊解题方法.巧妙地运用“类同”变换，“类似”变换，“类异”变换，可使复杂、陌生、抽象的问题变成简单、熟悉、具体的题型，从而使问题大为简化.电磁感应现象部分的知识历来是高考的重点、热点，出题时可将力学、电磁学等知识溶于一体，能很好地考查学生的理解、推理、分析综合及应用数学处理物理问题的能力．通过近年高考题的研究，此部分每年都有“杆+导轨”模型的高考题出现。

一、命题演变“杆+导轨”模型类试题命题的“基本道具”：导轨、金属棒、磁场，其变化点有： 1．导轨（1）导轨的形状：常见导轨的形状为U 形，还可以为圆形、三角形、三角函数图形等； （2）导轨的闭合性：导轨本身可以不闭合，也可闭合； （3）导轨电阻：不计、均匀分布或部分有电阻、串上外电阻； （4）导轨的放置：水平、竖直、倾斜放置等等．[例1]（2003·上海·22）如图1所示，OACO 为置于水平面内的光滑闭合金属导轨，O 、C 处分别接有短电阻丝（图中粗线表法），R 1= 4Ω、R 2=8Ω（导轨其它部分电阻不计）．导轨OAC 的形状满足方程y =2sin （3x ）（单位：m ）．磁感强度B=0.2T 的匀强磁场方向垂直于导轨平面．一足够长的金属棒在水平外力F 作用下，以恒定的速率v=5.0m/s 水平向右在导轨上从O 点滑动到C 点，棒与导轨接触良好且始终保持与OC 导轨垂直，不计棒的电阻．求：（1）外力F 的最大值；（2）金属棒在导轨上运动时电阻丝R 1上消耗的最大功率； （3）在滑动过程中通过金属棒的电流I 与时间t 的关系．解析：本题难点在于导轨呈三角函数图形形状，金属棒的有效长度随时间而变化，但第（1）（2）问均求的是某一状态所对应的物理量，降低了一定的难度．解第（3）问时可根据条件推导出外力F 的表达式及电流I 与时间t 的关系式，由三角函数和其他条件求出需要的量即可．（1）金属棒匀速运动F 外=F 安 ，当安培力为最大值时，外力有最大值． 又∵E=BLv总R EI =∴F 安=BIL=总R vL B 22即当L 取最大值时，安培力有最大值 ∵L max =22sinπ =2（m ）38R 2121=+=R R R R 总（Ω）∴总R v L B F 2max 2max = 代入数据得F max =0.3（N ）（2）R 1、R 2相并联，由电阻丝R 1上的功率121R E P =，可知当max L L =时P 1有最大功率，即140.522.0 222122max 212max max =⨯⨯===R v L B R E P （W ） （3）金属棒与导轨接触点间的长度随时间变化 L =2sin （3πx ）（m ）且x=vt ，E=BLv ∴ I=总总R BLv R E == 43sin （35πt ）（A ） 2．金属棒图1（1）金属棒的受力情况：受安培力以外的拉力、阻力或仅受安培力； （2）金属棒的初始状态：静止或运动；（3）金属棒的运动状态：匀速、匀变速、非匀变速直线运动，转动； （4）金属棒割磁感线状况：整体切割磁感线或部分切割磁感线；（5）金属棒与导轨的连接：金属棒可整体或部分接入电路，即金属棒的有效长度问题． 3．磁场（1）磁场的状态：磁场可以是稳定不变的，也可以均匀变化或非均匀变化． （2）磁场的分布：有界或无界． 二、模型转换电磁感应现象考查的知识重点是法拉第电磁感应定律，根据法拉第电磁感应定律的表达式tBS nt nE ∆∆=∆∆Φ=)(，有下列四个模型转换： 1．B 变化，S 不变 （1）B 均匀变化 ①B 随时间均匀变化如果B 随时间均匀变化，则可以写出B 关于时间t 的表达式，再用法拉第电磁感应定律解题，如例2第（1）问．②B 随位置均匀变化B 随位置均匀变化的解题方法类似于B 随时间均匀变化的情形． （2）B 非均匀变化B 非均匀变化的情况在高中并不多见，如例2第（3）问．如果题目给出了B 非均匀变化的表达式，也可用后面给出的求导法求解．[例2]（2000·上海·23）如图2所示，固定于水平桌面上的金属框架cdef ，处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab 搁在框架上，可无摩擦滑动．此时abed 构成一个边长为l 的正方形，棒的电阻为r ，其余部分电阻不计．开始磁感强度为B 0．（1）若从t =0时刻起，磁感强度均匀增加，每秒增量为k ，同时棒保持静止．求棒中的感应电流．在图上标出感应电流的方向；（2）在上述（1）情况中，始终保持棒静止，当t =t 1末时需加的垂直于棒的水平拉力为多大？（3）若t =0时刻起，磁感强度逐渐减小，当棒以恒定速度v 向右做匀速运动时，可使棒中不产生感应电流，则磁感强度应怎样随时间变化（写出B 与t 的关系式）？解析：将加速度的定义式和电磁感应定律的表达式类比，弄清k 的物理意义，写出可与at v v t +=0相对照的B 的表达式kt B B +=0；第（3）问中B 、S 均在变化，要能抓住产生感应电流的条件（①回路闭合；②回路中有磁通量的变化）解题．（1）磁感强度均匀增加，每秒增量为k ，得k tB=∆∆ ∵感应电动势2S kl tBt E =∆∆=∆∆Φ=∴感应电流rkl r E I 2==由楞次定律可判定感应电流方向为逆时针，棒ab 上的电流方向为b →a ． （2）t=t 1时，B=B 0+kt 1 又∵F=BIl∴rkl kt B F 310)(+=（3）∵棒中不产生感应电流 ∴回路中总磁通量不变 ∴Bl （l+vt ）=B 0l 2 得vtl lB B +=02．B 不变，S 变化（1）金属棒运动导致S 变化金属棒在匀强磁场中做切割磁感线的运动时，其感应电动势的常用计算公式为d图2BLv E =，此类题型较常见，如例3．[例3]（2002·上海·22）如图3所示，两条互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，距离为l =0.2m ，在导轨的一端接有阻值为R =0.5Ω的电阻，在x ≥0处有一与水平面垂直的均匀磁场，磁感强度B =0.5T ．一质量为m =0.1kg 的金属直杆垂直放置在导轨上，并以v 0=2m/s 的初速度进入磁场，在安培力和一垂直于杆的水平外力F 的共同作用下做匀变速直线运动，加速度大小为a =2m/s 2、方向与初速度方向相反．设导轨和金属杆的电阻都可以忽略，且接触良好．求：（1）电流为零时金属杆所处的位置；（2）电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力F 的大小和方向；（3）保持其他条件不变，而初速度v 0取不同值，求开始时F 的方向与初速度v 0取值的关系．解析：杆在水平外力F 和安培力的共同作用下做匀变速直线运动，加速度a 方向向左．杆的运动过程：向右匀减速运动→速度为零→向左匀加速运动；外力F 方向的判断方法：先假设，再根据结果的正负号判断．（1）感应电动势E=Blv ，感应电流I=RBlvR E =∴I=0时v=0∴x =av 2 2=1（m ）（2）当杆的速度取最大速度v 0时，杆上有最大电流I m =RBlv 0RBlv I I m 22'0==安培力F 安=BI ’l=Rv l B 2022=0.02（N ）向右运动时F+F 安=ma ，得F=ma- F 安=0.18（N ），方向与x 轴相反 向左运动时F- F 安=ma ，得F=ma+F 安=0.22（N ），方向与x 轴相反（3）开始时v=v 0，F 安=BI m l=Rv l B 022F+F 安=ma ，F=ma- F 安=ma- Rv l B 022∴当v 0<22l B maR=10m/s 时，F >0，方向与x 轴相反 当v 0> 22lB maR=10m/s 时，F <0，方向与x 轴相同（2）导轨变形导致S 变化常常根据法拉第电磁感应定律解题，如例4.[例4] （2001·上海·22）如图4所示，半径为a 的圆形区域内有均匀磁场，磁感强度为B ＝0.2T ，磁场方向垂直纸面向里，半径为b 的金属圆环与磁场同心地放置，磁场与环面垂直，其中a ＝0.4m ，b ＝0.6m ，金属环上分别接有灯L 1、L 2，两灯的电阻均为R 0＝2Ω，一金属棒MN 与金属环接触良好，棒与环的电阻均忽略不计（1）若棒以v 0＝5m/s 的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径OO ’的瞬时（如图所示），MN 中的电动势和流过灯L 1的电流．（2）撤去中间的金属棒MN 将右面的半圆环OL 2O ’以OO ’为轴向上翻转90º，若此时磁场随时间均匀变化，其变化率为π4=∆∆t B （T/s ），求L 1的功率． 解析：（1）当棒滑过圆环直径OO ’的瞬时，棒的有效长度为2a ，灯L 1、L 2是并联的． E 1＝B 2av ＝0.2×0.8×5 ＝0.8（V ）4.028.011===R E I （A ） （2）将右面的半圆环OL 2O ’以OO ’为轴向上翻转90º后，圆环的有效面积为半圆．其中B 随时间是均匀变化的，注意此时灯L 1、L 2是串联的．32.0222=⨯∆∆=∆∆Φ=a t B t E π （V ）RE P 221)2(=＝1.28×102（W ） 图4另外还可在S 不规则变化上做文章，如金属棒旋转、导轨呈三角形等等． 3. “双杆+导轨”模型[例5]足够长的光滑金属导轨E F ，P Q 水平放置，质量为m 电阻为R 的相同金属棒ab ，cd 与导轨垂直且接触良好，磁感强度为B 的匀强磁场垂直导轨平面向里如图5所示。

微讲座(九)——电磁感应中的“双杆模型”一、“单杆切割”类常见情况是一杆静止、另一杆做切割磁感线运动，其实质是单杆问题．解决该问题的思路是：对静止的杆用平衡条件列方程，对运动杆用E ＝Bl v 求感应电动势，进而求电流、安培力等．(2014·高考天津卷)如图所示，两根足够长的平行金属导轨固定在倾角θ＝30°的斜面上，导轨电阻不计，间距L ＝0.4 m ．导轨所在空间被分成区域Ⅰ和Ⅱ，两区域的边界与斜面的交线为MN ，Ⅰ中的匀强磁场方向垂直斜面向下，Ⅱ中的匀强磁场方向垂直斜面向上，两磁场的磁感应强度大小均为B ＝0.5 T ．在区域Ⅰ中，将质量m 1＝0.1 kg ，电阻R 1＝0.1 Ω的金属条ab 放在导轨上，ab 刚好不下滑．然后，在区域Ⅱ中将质量m 2＝0.4 kg ，电阻R 2＝0.1 Ω的光滑导体棒cd 置于导轨上，由静止开始下滑．cd 在滑动过程中始终处于区域Ⅱ的磁场中，ab 、cd 始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触，取g ＝10 m/s 2.问：(1)cd 下滑的过程中，ab 中的电流方向； (2)ab 刚要向上滑动时，cd 的速度v 多大；(3)从cd 开始下滑到ab 刚要向上滑动的过程中，cd 滑动的距离x ＝3.8 m ，此过程中ab 上产生的热量Q 是多少．[审题突破] (1)ab 刚好不下滑，隐含F fm ＝mg sin θ，方向沿斜面向上，ab 刚要向上滑动时，隐含F 安＝F fm ＋mg sin θ，摩擦力方向沿斜面向下．(2)由于ab 中的电流变化，产生的热量要用功能关系(能量守恒)结合电路知识求解． [解析] (1)由右手定则可知cd 中的电流方向由d 到c ，故ab 中的电流由a 流向b . (2)开始放置ab 刚好不下滑时，ab 所受摩擦力为最大静摩擦力，设其为F fm ，有F fm ＝m 1g sin θ①设ab 刚要上滑时，cd 棒的感应电动势为E ，由法拉第电磁感应定律有E ＝BL v ② 设电路中的感应电流为I ，由闭合电路欧姆定律有I ＝E R 1＋R 2③ 设ab 所受安培力为F 安，有F 安＝BIL ④此时ab 受到的最大静摩擦力方向沿斜面向下，由平衡条件有F 安＝m 1g sin θ＋F fm 综合①②③④式，代入数据解得v ＝5 m/s.(3)设cd 棒运动过程中在电路中产生的总热量为Q 总，由能量守恒定律有m 2gx sin θ＝Q总＋12m 2v 2 又Q ＝R 1R 1＋R 2Q 总解得Q ＝1.3 J.[答案](1)由a流向b(2)5 m/s(3)1.3 J二、“双杆切割”类1．初速度不为零，不受其他水平外力的作用光滑的平行导轨光滑不等距导轨装置图运动规律杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，以相等的速度匀速运动杆MN做变减速运动，杆PQ做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，两杆以不同的速度做匀速运动2.初速度为零，一杆受到恒定水平外力的作用光滑的平行导轨不光滑平行导轨装置图运动规律开始时，两杆做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动开始时，若f QP<F≤f QP＋f MN，则PQ杆先做变加速运动后做匀速运动；MN杆静止．若F>f QP＋F MN，PQ杆先做变加速运动后做匀加速运动，MN杆先静止后做变加速运动最后和PQ杆同时做匀加速运动，且加速度相同如图，ab和cd是两条竖直放置的光滑金属导轨，MN和M′N′是两根用细线连接的金属杆，其质量分别为m和2m.竖直向上的外力F作用在杆MN上，使两杆水平静止，两杆的总电阻为R，导轨间距为l.整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向与两导轨所在平面垂直．导轨电阻可忽略，重力加速度为g.在t＝0时刻将细线烧断，保持F不变，金属杆和导轨始终接触良好，且两金属杆始终水平．求：(1)细线烧断后，任意时刻两杆运动的速度之比；(2)两杆分别达到的最大速度．[解析](1)设某时刻MN和M′N′速度分别为v1、v2细线烧断前，对整体有F＝3mg细线烧断后，对MN有F－mg－F安＝ma1对M′N′有2mg－F安＝2ma2得a 1a 2＝2，又v ＝a Δt 得v 1∶v 2＝2∶1.①(2)当MN 和M ′N ′的加速度为零时，速度最大 对M ′N ′受力平衡：BIl ＝2mg ② 又I ＝E R ③E ＝Bl v 1＋Bl v 2④由①②③④得v 1＝4mgR 3B 2l 2，v 2＝2mgR3B 2l 2.[答案] (1)2∶1 (2)4mgR 3B 2l 2 2mgR3B 2l 2两杆同时做切割磁感线运动时，产生两个感应电动势，回路中的电流是由这两个电动势共同决定．因此弄清回路中的总电动势是等于两电势之和，还是等于两电动势之差，是解决问题的关键.1．(多选)(2016·唐山模拟)如图所示，水平传送带带动两金属杆a 、b 匀速向右运动，传送带右侧与两光滑平行金属导轨平滑连接，导轨与水平面间夹角为30°，两虚线EF 、GH 之间有垂直导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度为B ，磁场宽度为L ，两金属杆的长度和两导轨的间距均为d ，两金属杆质量均为m ，两杆与导轨接触良好．当金属杆a 进入磁场后恰好做匀速直线运动，当金属杆a 离开磁场时，金属杆b 恰好进入磁场，则( )A ．金属杆b 进入磁场后做加速运动B ．金属杆b 进入磁场后做匀速运动C ．两杆在穿过磁场的过程中，回路中产生的总热量为mgLD ．两杆在穿过磁场的过程中，回路中产生的总热量为mgL2解析：选BC.两杆从导轨顶端进入磁场过程中，均只有重力做功，故进入磁场时速度大小相等，金属杆a 进入磁场后做匀速运动，b 进入磁场后，a 离开磁场，金属杆b 受力与金属杆a 受力情况相同，故也做匀速运动，A 项错误、B 项正确；两杆匀速穿过磁场，减少的重力势能转化为回路的电热，即Q ＝2mgL sin 30°＝mgL ，C 项正确、D 项错误．2．(多选)如图所示，两足够长平行金属导轨固定在水平面上，匀强磁场方向垂直导轨平面向下，金属棒ab 、cd 与导轨构成闭合回路且都可沿导轨无摩擦滑动，两金属棒ab 、cd 的质量之比为2∶1.用一沿导轨方向的恒力F 水平向右拉金属棒cd ，经过足够长时间以后( )A ．金属棒ab 、cd 都做匀速运动B ．金属棒ab 上的电流方向是由b 向aC ．金属棒cd 所受安培力的大小等于2F3D ．两金属棒间距离保持不变解析：选BC.对两金属棒ab 、cd 进行受力分析和运动分析可知，两金属棒最终将做加速度相同的匀加速直线运动，且金属棒ab 速度小于金属棒cd 速度，所以两金属棒间距离是变大的，由楞次定律判断金属棒ab 上的电流方向由b 到a ，A 、D 错误，B 正确；以两金属棒整体为研究对象有：F ＝3ma ，隔离金属棒cd 分析其受力，则有：F －F 安＝ma ，可求得金属棒cd 所受安培力的大小F 安＝23F ，C 正确．3.(2016·泸州模拟)如图所示，两条足够长的平行金属导轨相距L ，与水平面的夹角为θ，整个空间存在垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度大小均为B ，虚线上方轨道光滑且磁场方向向上，虚线下方轨道粗糙且磁场方向向下．在导体棒EF 以初速度v 0沿导轨上滑至最大高度的过程中，导体棒MN 一直静止在导轨上．若两导体棒质量均为m 、电阻均为R ，导轨电阻不计，重力加速度为g ，在此过程中导体棒EF 上产生的焦耳热为Q ，求：(1)导体棒MN 受到的最大摩擦力； (2)导体棒EF 上升的最大高度．解析：(1)EF 获得向上的初速度v 0时，感应电动势 E ＝BL v 0电路中电流为I ，由闭合电路欧姆定律得I ＝E 2R此时对导体棒MN 进行受力分析，由平衡条件得 F A ＋mg sin θ＝F f F A ＝BIL解得F f ＝B 2L 2v 02R＋mg sin θ.(2)导体棒EF 上升过程中MN 一直静止，对系统，由能的转化和守恒定律，有 12m v 2＝mgh ＋2Q ， 解得h ＝m v 20－4Q2mg.答案：(1)B 2L 2v 02R ＋mg sin θ (2)m v 20－4Q2mg4．(2016·德阳市二诊)如图所示，质量均为m 的物体A 、B 之间用劲度系数为k 的轻弹簧连接，静止于倾角为θ的光滑斜面上，物体A 与挡板接触而不粘连．物体B 用平行于斜面的轻质细线绕过光滑的滑轮与水平导轨上的金属杆ab 连接．金属杆ab 、cd 的质量都为m 0，电阻都为R .金属杆长度及导轨的宽度均为d ，金属杆与导轨的接触良好，水平导轨足够长且光滑，电阻不计，导轨间有垂直于导轨平面向上的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度为B .开始时整个系统处于静止状态，与杆连接的细线水平，细线刚好拉直而无作用力．现用恒定的水平力作用于cd 杆的中点，使杆cd 由静止开始向右运动，当杆cd 开始匀速运动时，物体A 恰好与挡板间无弹力．求：(1)从杆cd 开始运动到匀速运动过程中物体B 运动的距离L ； (2)cd 杆匀速运动的速度大小v ；(3)从cd 杆开始运动到匀速运动过程中，cd 杆产生的焦耳热为Q ，水平恒力做的功W 为多大？解析：(1)弹簧开始压缩量x 1＝mg sin θk挡板对物体A 恰无弹力时弹簧伸长量x 2＝mg sin θkB 移动距离L ＝x 1＋x 2＝2mg sin θk .(2)cd 杆匀速运动时有F ＝F A ＝2mg sin θ F A ＝BIL I ＝BL v2R得v ＝4mgR sin θB 2L 2.(3)由功能关系得W ＝12m 0v 2＋mgL sin θ＋Q 热Q 热＝2QW ＝8m 0m 2g 2R 2sin 2 θB 4L 4＋2m 2g 2sin 2θk ＋2Q .答案：(1)2mg sin θk (2)4mgR sin θB 2L 2(3)8m 0m 2g 2R 2sin 2 θB 4L 4＋2m 2g 2sin 2θk＋2Q5．如图甲，电阻不计的轨道MON 与PRQ 平行放置，ON 及RQ 与水平面的倾角θ＝53°，MO 及PR 部分的匀强磁场竖直向下，ON 及RQ 部分的磁场平行轨道向下，磁场的磁感应强度大小相同，两根相同的导体棒ab 和cd 分别放置在导轨上，与导轨垂直并始终接触良好．棒的质量m ＝1.0 kg ，R ＝1.0 Ω，长度L ＝1.0 m 与导轨间距相同，棒与导轨间动摩擦因数μ＝0.5，现对ab 棒施加一个方向水平向右，按图乙规律变化的力F ，同时由静止释放cd 棒，则ab 棒做初速度为零的匀加速直线运动，g 取10 m/s 2.(1)求ab 棒的加速度大小； (2)求磁感应强度B 的大小；(3)若已知在前2 s 内F 做功W ＝30 J ，求前2 s 内电路产生的焦耳热； (4)求cd 棒达到最大速度所需的时间． 解析：(1)对ab 棒：F f ＝μmg v ＝atF －BIL －F f ＝ma F ＝m (μg ＋a )＋B 2L 2at2R由题图信息，代入数据解得：a ＝1 m/s 2. (2)当t 1＝2 s 时，F ＝10 N ，由(1)知 B 2L 2at2R＝F －m (μg ＋a )，得B ＝2 T. (3)0～2 s 过程中，对ab 棒，x ＝12at 21＝2 mv 2＝at 1＝2 m/s由动能定理知：W －μmgx －Q ＝12m v 22代入数据解得Q ＝18 J.(4)设当时间为t ′时，cd 棒达到最大速度， F N ′＝BIL ＋mg cos 53° F f ′＝μF N ′mg sin 53°＝F f ′mg sin 53°＝μ⎝⎛⎭⎫B 2L 2at ′2R ＋mg cos 53° 解得t ′＝5 s.答案：(1)1 m/s 2 (2)2 T (3)18 J (4)5 s 6．(2016·安徽蚌埠三县联谊校联考)如图所示，两根足够长且平行的光滑金属导轨所在平面与水平面成α＝53°角，导轨间接一阻值为3 Ω的电阻R ，导轨电阻忽略不计．在两平行虚线间有一与导轨所在平面垂直的匀强磁场，磁场区域的宽度为d ＝0.5 m ．导体棒a 的质量为m 1＝0.1 kg 、电阻为R 1＝6 Ω；导体棒b 的质量为m 2＝0.2 kg 、电阻为R 2＝3 Ω，它们分别垂直导轨放置并始终与导轨接触良好．现从图中的M 、N 处同时将a 、b 由静止释放，运动过程中它们都能匀速穿过磁场区域，且当a 刚出磁场时b 正好进入磁场．(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g 取10 m/s 2，a 、b 电流间的相互作用不计)，求：(1)在b 穿越磁场的过程中a 、b 两导体棒上产生的热量之比；(2)在a 、b 两导体棒穿过磁场区域的整个过程中，装置上产生的热量； (3)M 、N 两点之间的距离．解析：(1)在b 穿越磁场的过程中，b 相当于电源，a 与R 是外电路，则有I b ＝I a ＋I R . a 与R 是并联关系，则有I a R 1＝I R R ，a 产生的热量为Q a ＝I 2a R 1t ，b 产生的热量为Q b ＝I 2b R 2t . 则Q a ∶Q b ＝I 2a R 1∶I 2b R 2，代入数据可解得Q a ∶Q b ＝2∶9. (2)a 、b 穿过磁场区域的整个过程中，由能量守恒可得， Q ＝m 1g sin α·d ＋m 2g sin α·d ，代入数据解得Q ＝1.2 J. (3)设a 进入磁场的速度大小为v 1，此时电路中的总电阻R 总1＝R 1＋RR 2R ＋R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋3×33＋3 Ω＝7.5 Ω设b 进入磁场的速度大小为v 2，此时电路中的总电阻R 总2＝R 2＋R 1R R 1＋R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋6×36＋3 Ω＝5 Ω由m 1g sin α＝B 2L 2v 1R 总1和m 2g sin α＝B 2L 2v 2R 总2，可得v 1v 2＝m 1R 总1m 2R 总2＝34.设a 匀速运动时，m 2g sin α＝m 2a 0，v 2＝v 1＋a 0d v 1，联立并代入数据解得v 21＝12 m 2/s 2，则v 22＝169v 21. M 、N 两点之间的距离Δs ＝v 222a 0－v 212a 0＝712 m.答案：(1)2∶9 (2)1.2 J (3)712 m。

电磁感应中的“杆+导轨”模型电磁感应中的“杆+导轨”模型一、单棒模型阻尼式：在单棒模型中，导体棒相当于电源，根据洛伦兹力的公式，可以得到安培力的特点为阻力，并随速度减小而减小，加速度随速度减小而减小，最终状态为静止。

根据能量关系、动量关系和瞬时加速度，可以得到公式B2l2v R rF和q mv/Bl，其中q表示流过导体棒的电荷量。

需要注意的是，当有摩擦或者磁场方向不沿竖直方向时，模型的变化会受到影响。

举例来说，如果在电阻不计的光滑平行金属导轨固定在水平面上，间距为L、导轨左端连接一阻值为R的电阻，整个导轨平面处于竖直向下的磁感应强度大小为B的匀强磁场中，一质量为m的导体棒垂直于导轨放置，a、b之间的导体棒阻值为2R，零时刻沿导轨方向给导体棒一个初速度v，一段时间后导体棒静止，则零时刻导体棒的加速度为0，零时刻导体棒ab两端的电压为BLv，全过程中流过电阻R的电荷量为mv/Bl，全过程中导体棒上产生的焦耳热为0.二、发电式在发电式中，导体棒同样相当于电源，当速度为v时，电动势E＝Blv。

根据安培力的特点，可以得到公式22Blv/l＝Blv/(R＋r)。

加速度随速度增大而减小，最终特征为匀速运动。

在稳定后的能量转化规律中，F-BIl-μmg=m*a，根据公式可以得到a=-(F-μmg)/m、v=0时，有最大加速度，a=0时，有最大速度。

需要注意的是，当电路中产生的焦耳热为mgh时，电阻R中产生的焦耳热也为mgh。

1.如图所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ与水平面的夹角为θ，N、Q两点间接有阻值为R的电阻。

整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。

将质量为m、阻值也为R的金属杆cd垂直放在导轨上，杆cd由静止释放，下滑距离x时达到最大速度。

重力加速度为g，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。

求：1)杆cd下滑的最大加速度和最大速度；2)上述过程中，杆上产生的热量。

电磁感应现象中的杆4导轨模型一、单棒问题、含容式单棒问题三、无外力双棒问题竇力愣况分析动力学观点 *动量现点 运动情况伽能冒观点 牛輛定律 平衡羞件动能定理〕 幡■守恒无外力等距式1¥杆1做a渐小的加速运动杆2做a渐小的减速运动V1=V2I = 0无外力不等距式» 1杆1做a渐小的减速运动杆2做a渐小的加速运动a= 0I = 0L1V1 = L2V2四、有外力双棒问题题型一阻尼式单棒模型如图。

1 •电路特点：导体棒相当于电源。

4.运动特点：速度如图所示。

a减小的减速运动基本模型运动特点有外力等距式i厂F12杆1做a渐大的加速运动杆2做a渐小的加速运动有外力不等距式杆1做a渐小的加速运动杆2做a渐大的加速运动最终特征a i=a2, A v 恒定I恒定a i M a2, a i、a2恒定I恒定2•安培力的特点：安培力为阻力，并随速度减小而减小。

F B=BII= B+r3.加速度特点：加速度随速度减小而减小,a==5 •最终状态：静止 6.三个规律（1）能量关系：「'• ■ , -0 = Q ,=【典例1】如图所示，在光滑的水平面上，有一垂直向下的匀强磁场分布在宽为 L 的区域内,那么（【答案】B由上述二式可得' ,- •，即B 选项正确。

【典例2】如图所示，AB 杆受一冲量作用后以初速度 V 0=4m/s 沿水平面内的固定轨道运动，经一段时间后而停止. AB 的质量为m=5g 导轨宽为L=0.4m ，电阻为R=2Q ，其余的电阻不计，磁 感强度B=0.5T ,棒和导轨间的动摩擦因数为卩=0.4 ,测得杆从运动到停止的过程中通过导线的（2）动量关系:BII t 0 mv 0（3）瞬时加速度: a ==-有一个边长为a （ a<L ）的正方形闭合线圈以初速V 0垂直磁场边界滑过磁场后速度变为V （ V<V 0）A. 完全进入磁场中时线圈的速度大于（ v o +v ) /2B. 安全进入磁场中时线圈的速度等于（ V o +V ) /2C. 完全进入磁场中时线圈的速度小于（V o +V ) /2D. 以上情况A B 均有可能，而C 是不可能的【解析】设线圈完全进入磁场中时的速度为对于线圈进入磁场的过程，据动量定理可得:对于线圈穿出磁场的过程，据动量定理可得:V x 。