小学奥数 小升初应用题重点考查内容—牛吃草问题

“牛吃草问题就是追及问题，牛吃草问题就是工程问题。

”英国大数学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。

这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？解题关键：牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。

解题环节主要有四步：1、求出每天长草量；2、求出牧场原有草量；3、求出每天实际消耗原有草量4、最后求出可吃天数想：这片草地天天以同样的速度生长是分析问题的难点。

把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22-16×10=60，是60头牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。

求出了这个条件，把25头牛分成两部分来研究，用5头吃掉新长出的草，用20头吃掉原有的草，即可求出25头牛吃的天数。

解：新长出的草供几头牛吃1天：（10×22-16×1O）÷(22-1O）=（220-160）÷12=60÷12=5（头）这片草供25头牛吃的天数：（10-5）×22÷（25-5）=5×22÷20=5.5（天）答：供25头牛可以吃5.5天。

----------------------------------------------------------------“一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可供6头牛吃几天？”这道题太简单了，一下就可求出：3×10÷6＝5（天）。

如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。

这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是牛吃草问题。

例1 牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。

这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。

小升初----牛吃草问题英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据：① 草的每天生长量不变；② 每头牛每天的食草量不变；③ 草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值④ 新生的草量=每天生长量⨯天数．同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数)；⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)；⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．例题精讲：板块一：一块地的“牛吃草问题”【例 1】 一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。

若是21头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在生长）【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，27头牛吃6周共吃了276162⨯=份；23头牛吃9周共吃了239207⨯=份．第二种吃法比第一种吃法多吃了20716245-=份草，这45份草是牧场的草963-=周生长出来的，所以每周生长的草量为45315÷=，那么原有草量为：16261572-⨯=．供21头牛吃，若有15头牛去吃每周生长的草，剩下6头牛需要72612÷=(周)可将原有牧草吃完，即它可供21头牛吃12周．【巩固】 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天？【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，10头牛吃20天共吃了1020200⨯=份；15头牛吃10天共吃了1510150⨯=份．第一种吃法比第二种吃法多吃了20015050-=份草，这50份草是牧场的草201010-=天生长出来的，所以每天生长的草量为50105÷=，那么原有草量为：200520100-⨯=．供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要100205÷=(天)可将原有牧草吃完，即它可供25头牛吃5天．【例 2】 牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？【解析】 设1头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为(239276)(96)15⨯-⨯÷-=，原有草量为(2715)672-⨯=，可供72181519÷+=（头）牛吃18周【巩固】牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则 头牛96天可以把草吃完．【例 3】 有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可以吃完．现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完．问：原来有多少头牛吃草(草均匀生长)？【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为()()1730192430249⨯-⨯÷-=，原有草量为：()17930240-⨯=．现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完，如果不卖掉这4头牛，那么原有草量需增加428⨯=才能恰好供这些牛吃8天，所以这些牛的头数为()24088940+÷+=(头)．【巩固】 一片草地，可供5头牛吃30天，也可供4头牛吃40天，如果4头牛吃30天，又增加了2头牛一起吃，还可以再吃几天？【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为()()44053040301⨯-⨯÷-=，原有草量为：()5130120-⨯=．如果4头牛吃30天，那么将会吃去30天的新生长草量以及90原有草量，此时原有草量还剩1209030-=，而牛的头数变为6，现在就相当于：“原有草量30，每天生长草量1，那么6头牛吃几天可将它吃完？”易得答案为：()30616÷-=(天)．模块二：“牛吃草问题”的变形【例 4】 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水，8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？【解析】 设1人1小时淘出的水量是“1”，淘水速度是(58103)(83)2⨯-⨯÷-=，原有水量(102)324-⨯=，要求2小时淘完，要安排242214÷+=人淘水练习 一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完？【例 5】 画展8:30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点就不再有人排队；如果开5个入场口，8点45分就没有人排队。

小升初数学牛吃草问题
1．一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完？
【分析】这是典型的牛吃草问题，要先求出变化的量（船每分钟涌进的水量）和不变的量（船里原有的水量）；由于每人的工作效率是一定的，所以可以用3人淘水和6人淘水的工作总量之差÷时间差（40﹣16）即为船每分钟涌进的水量，然后用三人40分钟的工作总量﹣40分钟涌进的水量就是船里原有的水量，进而可以求出5人，多少时间可以把水淘完．
【解答】解：设每人每分钟的淘水量为1份，
船每分钟涌进的水量为：（3×40﹣6×16）÷（40﹣16）
＝24÷24
＝1（份）
船里原有水量为：
3×40﹣40×1＝80（份）或6×16﹣16×1＝80（份）；
船每分钟涌进的水即1份，要用1人去淘，剩下5﹣1＝4人就要去淘原有的水：
80÷（5﹣1）
＝80÷4
＝20（分钟）
答：5人淘水20分钟可以把水淘完．
【点评】本题关键是先求出：船每分钟涌进的水量和船里原有的水量，这是牛吃草问题应用题解答的突破口．
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小升初数学牛吃草问题
1．一堆草，可供3头牛和5只羊吃15天，或供5头牛和6只羊吃10天，那么这堆草可以供8牛头和11只羊吃多少天？
【分析】由题意知：（3头牛+5只羊）吃15天的量＝（5头牛+6只羊）吃10天的量，这样可算出“一头牛每天的吃草量＝3只羊一天的吃草量”；所以8头牛和11只羊可以吃的天数我们可以等式（3×3+5）×15÷（8×3+11）算出（即用草的总量÷每天消耗的量＝天数）．
【解答】解：5×10﹣3×15＝5
6×10﹣15×3＝15
5：15＝1：3（1头牛相当于3只羊的消耗）
（3×3+5）×15÷（8×3+11）＝6（天）
答：这堆草可以供8头牛和11只羊吃6天．
【点评】解此题的关键是想到算出牛与羊消耗量之间的关系，这样便于解答．
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小升初数学牛吃草问题
1．牧场上一片青草，每天生长速度相同，可供27头牛吃6天，或供69只羊吃9天，如果1头牛的吃草量等于3只羊的吃草量，那么这片青草可供11头牛和30只羊吃几天？
【分析】假设每头牛每天吃青草1份，69只羊相当于69÷3＝23头牛，先求出青草的生长速度：（23×9﹣27×6）÷（9﹣6）＝15（份）；然后求出草地原有的草的份数27×6﹣15×6＝72（份）；30只羊相当于30÷3＝10头牛，再让11+10＝21头牛中的15头吃生长的草，剩下的6头牛吃草地原有的72份草，可吃：72÷6＝12（天）．
【解答】解：假设每头牛每天吃青草1份，
69÷3＝23（头）
30÷3＝10（头）
青草的生长速度：
（23×9﹣27×6）÷（9﹣6）
＝45÷3
＝15（份）
草地原有的草的份数：
27×6﹣15×6
＝162﹣90
＝72（份）
11+10＝21（头）
每天生长的15份草可供15头牛去吃，那么剩下的21﹣15＝6头牛吃72份草：
72÷（21﹣15）
＝72÷6
＝12（天）
答：这片青草可供11头牛和30只羊吃12天．
【点评】此题属于典型的牛吃草的最基本类型的题目，只要设出每头牛每天吃“1”份草，求出牧场每天的长草量和牧场原有的草量，问题即可解决．
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牛吃草问题【小升初前沿】牛吃草问题是牛顿问题，因牛顿提出而得名的。

“一堆草可供10 头牛吃 3 天，供6头牛吃几天？”这题很简单，用3X10弋=5 （天）。

如果把“一堆草” 换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了。

因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。

这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是“牛吃草”问题。

解答这类题的关键是要想办法从变化中找到不变的量。

牧场上原有的草是不变的，新长出来的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以每天新长出的草是不变的。

正确计算草地上原有的草及每天长出的新草，问题就容易解决了。

【考点攻略】生长模型：（1）设定一头牛一天吃草量为“ 1”（2）草的生长速度=（对应的牛头数＞吃的较多天数-对应的牛头数X吃的较少的天数）十（吃的较多的天数-吃的较少的天数）（3）原有草量=牛头数X吃的天数-草的生长速度X吃的天数求：（4）吃的天数=原有草量十（牛头数-草的生长速度）或（5）牛头数=原有草量却吃的天数+草的生长速度。

枯萎模型：（1）设定一头牛一天吃草量为“ 1”（2）草的生长速度=（对应的牛头数X乞的较少天数-对应的牛头数X吃的较多的天数）十（吃的较多的天数-吃的较少的天数）（3）原有草量=牛头数X吃的天数+草的生长速度X吃的天数求：（4）吃的天数=原有草量十（牛头数+草的生长速度）或（5）牛头数=原有草量却吃的天数-草的生长速度。

牢记两类模型，理解模型的计算方法和原理，并且能够正确的分析题目，理解题目，就可以轻而易举的解决“牛吃草问题”。

【真题试炼】【例1】一片青草地，每天都匀速长出青草，这片青草可供27 头牛吃 6 周或者23 头牛吃9 周。

那么这片草地可供21 头牛吃几周？【练1】牧场上一片草地，每天牧草都匀速生长。

这片牧草可供10 头牛吃20天，或者可供15 头牛吃10 天。

问可供25 头牛吃几天？【练2】一片草地，每天都匀速长出青草。

如果可供24 头牛吃 6 天，20 头牛吃10 天吃完。

秋季班六年级奥数
小升初应用题重点考查内容——
牛吃草问题
(★★)
有一块匀速生长的草场，27头牛6周可以吃完，或者23头牛9周可以吃完。

若是21头牛，要几周才可以吃完？
(★★★)
有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天。

那么它可供几头牛吃20天？
(★★★)
有一片草场，草每天的生长速度相同。

若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完(4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量)。

那么，17头牛和20只羊多少天可将草吃完？
(★★★★)
有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷。

草地上的草一样厚，而且长得一样快。

第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天。

问：第三块草地可供多少头牛吃80天？
(★★★★)
画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队。

求第一个观众到达的时间。

(★★★★★)
小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米，_____分钟可以追上小明？。

小升初数学牛吃草问题
1．一片草地，每天都匀速长出青草，这些青草可供8头牛吃30天或供15头牛吃15天，那么这片草地可供16头牛吃几天？
【分析】因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出来的草．新长出来的草虽然在变，但应注意到是匀速生长的．因而这片草地每天新张的草的数量也是不变的．假设1头牛一天吃的草的数量为1份，那么8头牛30天需要吃30×8＝240份草，此时新草与原有的草也均被吃完；15头牛15天需吃15×15＝225份草，此时新草与原有的草也都被吃完．而240份草是原有的草的数量与30天新长出的草的数量的总和．225份是原来的
（240﹣225）草的数量与15天新长出的草的数量的总和，因此每天新长出来的草的份数为：
÷（30﹣15）＝1（份）．原有草的数量为：240﹣30×1＝210（份）．这片草地可供16头牛吃：210÷（16﹣1）＝14（天）．
【解答】解：设每1头牛1天吃的草为1份，那么牧场每天长新草：
（30×8﹣15×15）÷（30﹣15）
＝15÷15
＝1（份）
原来的牧场有草：240﹣30×1＝210（份）
吃旧草的牛有：16﹣1＝15 （头）
吃完草的时间：210÷15＝14 （天）
答：这片草地可供16头牛吃14天．
【点评】这片草地上草的数量每天都在变化，解题的关键应找到不变的量（即原来的草的数量）．
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小升初数学牛吃草问题
1．一片草地，每天都匀速长出青草，这些青草可供21头牛吃5周或供18头牛吃8周，那么这片草地可供15头牛吃几周？
【分析】假设每头牛每周吃青草1份，21头牛5周吃21×5份，18头牛8周吃18×8份，先求出青草的生长速度：（18×8﹣21×5）÷（8﹣5）＝13（份）；然后求出草地原有的草的份数（21﹣13）×5＝40（份）；再让15头牛中的13头吃生长的草，剩下的2头牛吃草地原有的40份草，可吃：40÷2＝20（周）．
【解答】解：假设每头牛每周吃青草1份，
青草的生长速度：
（18×8﹣21×5）÷（8﹣5）
＝39÷3
＝13（份）
草地原有的草的份数：
（21﹣13）×5
＝8×5
＝40（份）
15头牛吃：
40÷（15﹣13）
＝40÷2
＝20（周）
答：这片草地可供15头牛吃20周．
【点评】牛吃草的问题关键的是求出青草的生长速度和草地原有的草的份数．
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