排列组合专题期末复习资料(可编辑修改word版)

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一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1。

公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2。

规定：0!1=(1）!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3）111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++三．组合:从n 个不同元素中任取m(m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n mn m mm==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 nn nn n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②;③；④11112111212211r r r r r r r r r r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

路漫漫其修远兮.吾将上下而求索・百度文库复习巩固1•分类计数原理（加法原理）完成一件事，有”类办法，在第1类办法中有创种不同的方法，在第2类办法中有宀种不同的方法，…,在第〃类办法中有叫种不同的方法，那么完成这件事共有：N = m x + ni2+ …+ m n种不同的方法.2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成〃个步骤，做第1步有厲种不同的方法，做第2步有® 种不同的方法，…，做第“步有心种不同的方法，那么完成这件事共有：N =加］x m2 x •…x m n种不同的方法.3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件.解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行, 确定分多少步及多少类。

3.确定每一步或每一类是排列问题（有疗;）还是组合（无疗：）问题，元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交义，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0, 1, 2, 3, 4, 5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.四•定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队，其中屮乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法?过手训练:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？五•重排问题求幕策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法过手训练:1.某班新年联欢会原定的5个节LI已排成节LI单，开演询乂增加了两个新节如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为________________ o 2.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人，他们到各自的一层下电梯，下电梯的方法六•环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐，共有多少种坐法?一般地・n个不同元素作圆形排列，共有(ml)!种排法•如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有丄比：练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成儿种钻石圈_______________ o七.多排问题直排策略例7. 8人排成前后两排，每排4人,其中屮乙在前排，丙在后排,共有多少排法过手训练^有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是_O八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少不同的装法.路漫浸其修远兮.吾将上下而求索-百度文库解决排列组合混合问题，先选后排是最基本的指导思想•此法与相邻元素捆绑策略相似吗？过手训练:一个班有6名战士，其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务，每人完成一种任务，且正副班长有且只有1人参加，则不同的选法有种。

完整)高中数学排列组合专题复习本文介绍了解决排列组合问题的方法和策略。

首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

文章提供了分类计数原理和分步计数原理两种常用的解题方法，并指出了它们的区别。

在解决排列组合综合性问题时，需要确定分多少步及多少类，以及每一步或每一类是排列问题还是组合问题，元素总数是多少及取出多少个元素。

文章还介绍了一些常用的解题策略，如特殊元素和特殊位置优先策略。

最后，文章以一个例子展示了如何使用分步计数原理解决一个排列组合问题。

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法。

如果以元素分析为主，需要先安排特殊元素，再处理其他元素；如果以位置分析为主，需要先满足特殊位置的要求，再处理其他位置。

如果有多个约束条件，往往需要同时考虑这些条件。

练题：有7种不同的花种要排成一列的花盆里，要求两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里。

问有多少种不同的排法？相邻元素捆绑策略是解决要求某几个元素必须排在一起的问题的方法。

可以将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其他元素一起进行排列，同时要注意合并元素内部也必须排列。

练题：某人射击8枪，命中4枪，其中有恰好3枪连在一起的情况有20种不同的排列方式。

不相邻问题插空策略是先把没有位置要求的元素进行排队，再把不相邻元素插入中间和两侧的方法。

练题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，后来又增加了两个新节目。

如果将这两个新节目插入原节目单中，且这两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30.定序问题倍缩空位插入策略是对于某几个元素顺序一定的排列问题，先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。

另一种方法是设想有空位，让其他元素先坐下，再让这几个元素坐下。

练题：7个人排队，其中甲乙丙三人的顺序一定，共有多少不同的排法？可以使用倍缩法、空位法或插入法来解决。

排列组合 二项式定理1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情） 分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法 2，排列出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同3，组合组合定义 从n 个不同元素中，任取m （m≤n）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合组合数 从n 个不同元素中，任取m （m≤n）个元素的所有组合个数 mn Cmn C =!!()!n m n m -性质 mn C =n m n C - 11m m m n n n C C C -+=+排列组合题型总结 一． 直接法1 .特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 （1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。

分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A ，其余2位有四个可供选择24A ，由乘法原理：25A 24A =2402．特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有35A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有14A 种，余下的有24A ，共有14A 14A 24A =192所以总共有192+60=252二 间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。

如上例中（2）可用间接法2435462A A A +-=252Eg 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ⨯⨯个，其中0在百位的有2242⨯C ⨯22A 个，这是不合题意的。

故共可组成不同的三位数333352A C ⨯⨯-2242⨯C ⨯22A =432Eg 三个女生和五个男生排成一排（1） 女生必须全排在一起 有多少种排法（ 捆绑法） （2） 女生必须全分开 （插空法 须排的元素必须相邻） （3） 两端不能排女生 （4） 两端不能全排女生（5） 如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法二． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。

一、排列组合知识1.两个原理 （分类记数原理和分步记数原理）2.两个概念（排列和组合的概念）学习中注意突出几点：(1)如何确定元素和位置的关系，•元素及其所占的位置，这是排列组合问题中的两个基本要素。

以元素为主，分析各种可能性，称为“元素分析法”；以位置为主，分析各种可能性，称为“位置分析法”。

例1（2007全国2文10）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）A 、10种B 、20种C 、25种D 、32种（2）两个概念有何差异（组成的元素相同，但与顺序关系不同），初步形成两者的关系或关系式。

例2（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？（2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？3.两类基本公式排列数公式： 规定：0！=1组合数公式： 10==n n n C C 特别地：4.两类基本性质.组合性质1:组合性质2:例3求和：C22+C32+C42+……+C1002.二、排列组合典型题解答策略排列组合应用问题，大致可分为三类：（1）简单的排列或组合题，可以根据公式直接求结果（不带限制条件）（2）带有限制条件的排列或组合题，有两种计算方法直接法：把符合限制条件的排列或组合数直接计算出来。

间接法：先暂时不考虑限制条件的排列或组合种数，然后从中减去所有不符合条件的排列或组合种数。

（3）排列组合综合问题，采取先选后排的原则，要作到合理分类。

1.特殊元素和特殊位置优先法位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。

若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数题目中规定相邻的几个元素并为一个组（当作一个元素）参与排列，要注意相邻元素内部间也存在排列。

n n nn 解排列组合应用题的解法·技巧引言：1、本资料对排列、组合应用题归纳为 8 种解法、13 种技巧2、解排列组合问题的“16 字方针”：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。

弄清要完成什么样的事件是前提，解决这类问题通常有三种途径(1) 以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2) 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则.(3) 先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数 前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接(剔除)解法 注：数量不大时可以逐一排出结果。

3、解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且 每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果， 任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列， 无序组合．（一）排列组合应用题的解法排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。

下面通过一些例题来说明几种常见的解法。

一. 运用两个基本原理二. 特殊元素（位置）优先 三. 捆绑法 四. 插入法 五. 排除法 六. 机会均等法 七. 转化法 八. 隔板法一. 运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。

例 1：n 个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法 1：用分类记数的原理，没有人通过，有 C 0 种结果；1 个人通过，有 C 1 种结 n n果，……；n 个人通过，有C n 种结果。

所以一共有C 0 + C 1 + +C n = 2n 种可能的结果。

排列组合复习题型总结一、特殊对象问题：优先进行处理1.有5人排成一列，其中甲不在第一的位置，有多少种排法？2.有5人排成一列，其中甲不能在第一，乙不能在最后，有多少种排法？二、名额分配问题：名额插挡板法3.有10个三好学生的名额分给3个班，要求每班至少有一个名额，怎么分？4.有7个三好学生的名额，分给3个班，怎么分？三、分组分配问题：分配等于先分组，再把组分配出去5.有6本不同的书，平均分给甲乙丙三人，有多少种分法？6.有6本不同的书，平均分为三组，有多少种分法？7.有6本不同的书，分甲1本，乙2本，丙3本，有多少种分法？8.有6本不同的书，分三组，一组1本，一组2本，一组3本，有多少分法？9.有6本不同的书，分给三个人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种分法？10.有9本不同分成三组，一组5本，另外两组各2本，有多少种分法？11.有9本不同的书，分给甲乙均2本，丙5本，有多少种分法？12.有9本不同的书，分给两人各2本，另一人5本，有多少种分法？四、相邻问题：捆绑法13.8人排成一列，甲乙丙三人必须相邻，有多少种排法？14.8人排成一列，甲乙两人必须相邻，且都不和丙相邻，有多少种排法？15.一排8个座位，3人坐，5个空座位相邻，有多少种坐法？16.一排8个座位，3人坐，其中恰有4个空座位相邻，有多少种坐法？五、不相邻问题：插空法17.某人射击训练，8枪命中3枪，恰好没有任何2枪连续命中，有多少情况？18.8人排成一列，甲乙丙三人不可相邻，有多少种排法？19.8盏灯关掉3盏，不许关掉相邻的，也不许关掉两端，多少种方法？20.某人射击训练，8枪命中3枪，恰好2枪连续命中，有多少种情况？六、成双成对问题：先按双取出，再从各双分别取出一只，自然不成双21.从6双不同鞋子中取出4只，要求都不许成双，有多少种方法？22.从6双不同鞋子中取出4只，要求恰好有一双，有多少种方法？七、可（不可）重复使用的对象：问题中有两组对象，解决问题时要以不可重复使用的对象作为分步的标准（住店、投信、映射、冠亚军等）23.5人住3家店，有多少种住法？24.若有4项冠军在3个人中产生，没有并列冠军，问有多少种不同的夺冠可能性。

经典题库-排列组合练习题注：排列数公式亦可记为。

mn P mnA 一、选择题1．从0，1，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（ ）A 、24个 B 、36个 C 、48个 D 、54个2．某学生制定了数学问题解决方案: 星期一和星期日分别解决4个数学问题, 且从星期二开始, 每天所解决问题的个数与前一天相比, 要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”.在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（ ）A.50种B.51种C.140种D.141种3．有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定。

技术人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束测试的方法种数是（ ）A ．16B ．24C ．32D ．484．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个球，以X 表示取出球的最大号码. 则X 所有可能取值的个数是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．35．在1,2,3,4,5,6这六个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有( )A ．60个 B ．36个 C ．24个 D ．18个6．将A ，B ，C ，D ，E 排成一列，要求A ，B ，C 在排列中顺序为“A ，B ，C”或“C ，B ，A”(可以不相邻)，这样的排列数有( )A ．12种 B ．20种 C ．40种 D ．60种7．将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放2支，则不同的放法有( )A ．56种 B ．84种 C ．112种 D ．28种8．两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为( )A ．48种 B ．36种 C ．24种 D ．12种【答案】C【解析】爸爸排法为种，两个小孩排在一起故看成一体有种排法．妈妈和孩子共有种排法，∴排法种数共有22A 22P 33P 22A 22A ＝24种．故选C ．33A 9．运动会举行．某运动队有男运动员6名，女运动员4名，选派5人参加比赛，则至少有1名女运动员的选派方法有( )A ．128种B ．196种C ．246种D ．720种【答案】C【解析】“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．从10人中任选5人，有种选法，其中全是男运动员的选法有510C 种．所以“至少有1名女运动员”的选法有－＝246种．56C 510C 56C 10．三张卡片的正反面分别写有1和2,3和4,5和6，若将三张卡片并列，可得到不同的三位数(6不能作9用)的个数为( )A ．8 B ．6 C ．14 D ．48【答案】D【解析】先排首位6种可能，十位数从剩下2张卡中任取一数有4种可能，个位数1张卡片有2种可能，∴一共有6×4×2＝48(种)．11．某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有( )A ．8种B ．10种C ．12种D ．32种【答案】B【解析】从A 到B 若路程最短，需要走三段横线段和两段竖线段，可转化为三个a 和两个b 的不同排法，第一步：先排a 有种35C 排法，第二步：再排b 有1种排法，共有10种排法，选B 项．12．某校要求每位学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方案有（ ）A ．35种 B ．16种 C ．20种 D ．25种【答案】D 【解析】试题分析：学生从7门课程中选修4门，其中甲、乙两门课程不能都选，有三种方法，一是不选甲乙共有种方法，二是选甲，45C 共有种方法，三是选乙，共有种方法，把这3个数相加可得结果为2535C 35C 考点：排列组合公式13．用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A ．324 B ．648 C ．328 D ．360 【答案】C 【解析】试题分析：首先应考虑“0”是特殊元素,当0排在个位时,有=9×8=72（个）,当0不排在个位时,有=4×8×8=256（个）,于是由分类加法计数原理,得符合题意的偶数共有72+256=328（个）． 考点：排列组合知识14．学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，每节至少有一科，且数A ．288种B ．264种C ．240种D ．168种【答案】B【解析】先分步再排列先涂点E ，有4种涂法，再涂点B ，有两种可能：(1)B 与E 相同时，依次涂点F ，C ，D ，A ，涂法分别有3，2，2，2种；(2)B 与E 不相同时有3种涂法，再依次涂F 、C 、D 、A 点，涂F 有2种涂法，涂C 点时又有两种可能：（2.1）C 与E 相同，有1种涂法，再涂点D ，有两种可能：①D 与B 相同，有1种涂法，最后涂A 有2种涂法；②D 与B 不相同，有2种涂法，最后涂A 有1种涂法．（2.2）C 与E 不相同，有1种涂法，再涂点D ，有两种可能：①D 与B 相同，有1种涂法，最后涂A 有2种涂法；②D 与B 不相同，有2种涂法，最后涂A 有1种涂法．所以不同的涂色方法有4×{3×2×2×2+3×2×[1×(1×2+1×2)+1×(1×2+1×1)]}=4×(24+42)=264．18．将6名男生、4名女生分成两组，每组5人，参加两项不同的活动，每组3名男生和2名女生，则不同的分配方法有（ ）A ．240种 B ．120种 C ．60种 D ．180种 【答案】B 【解析】试题分析：从6名男生中选3人，从4名女生中选2人组成一组，剩下的组成一组，则.3264120C C =19．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙、丙不会开车但能从事其他三项工作，丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）A ．240 B ．126 C ．78 D ．72【答案】C试题分析：根据题意，分情况讨论，①甲、乙、丙三人中有两人在一起参加除了开车的三项工作之一，有2112332236C C C A ⨯=种；②甲、乙、丙三人各自1人参加除了开车的三项工作之一即丁、戌两人一起参加开车工作时，有种；③甲、乙、丙三336A =人中有一1人与丁、戌中的一人一起参加除开车的三项工作之一，有种，由分类计数原理，可得共有11123232136C C C A ⨯=种，故选C.3663678++=20．六名大四学生(其中4名男生、2名女生)被安排到A ，B ，C 三所学校实习，每所学校2人，且2名女生不能到同一学校，也不能到C 学校，男生甲不能到A 学校，则不同的安排方法为( )A ．24 B ．36 C ．16 D ．18【答案】D【答案】60试题分析：①若第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，方法有种．11323336C C A ⋅⋅=②若第一个出场的是女生（不是女生甲），则将剩余的个女生排列好，个男生插空，方法有22种．12222324C A A ⋅⋅=故所有的出场顺序的排法种数为.6032．用0,1,2,3,4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数有________．【答案】28【解析】若0夹在1、3之间，有A 22×3×A 22＝12(个)，若2或4夹在1、3中间，考虑两奇夹一偶的位置，有(2×2＋2×2)×2＝16(个)，所以共有12＋16＝28(个)．33．从5位男生4位女生中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生，分别到四个不同的工厂调查，则不同的分派方法有________种．【答案】2 400【解析】“从5位男生4位女生中选4位代表，其中至少有2位男生，且至少有1位女生”的情况为：2男2女、3男1女，则有种；“分别到四个不同的工厂调查”，再在选出的代表中进行排列，则有(C 52·C 42＋C 53·C 41)A 44＝2400(种)．()22315454CC C C ⋅+⋅34．某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为________．【答案】180【解析】设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加“围棋苑”，有下列两种情况：(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”，有C 41种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有C 42A 33种方法，这时共有C 41C 42A 33种参加方法；(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”，有C 42种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有A 33种方法，这时共有C 42A 33种参加方法；综合(1)(2)，共有C 41C 42A 33＋C 42A 33＝180(种)参加方法．35．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是________．【答案】288【解析】先保证3位女生中有且只有两位女生相邻，则有C 32·A 22·A 33·A 42种排法，再从中排除甲站两端的排法，∴所求排法种数为A 22·C 32·(A 33A 42－2A 22·A 32)＝6×(6×12－24)＝288.36．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是________．【答案】126【解析】依题意得，这四项工作中必有一项工作有2人参加．因为甲、乙不会开车，所以只能先安排司机，分两类：(1)从丙、丁、戊三人中任选一人开车；再从其余四人中任选两人作为一个元素同其余两人从事其他三项工作，共有C 31C 42A 33种方案；(2)先从丙、丁、戊三人中任选两人开车，其余三人从事其他三项工作，共有C 32A 33种方案，所以不同安排方案的种数是C 31C 42A 33＋C 32A 33＝126.37．用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有________个(用数字作答)．【答案】324【解析】分两大类：(1)四位数中如果有0，这时0一定排在个、十、百位的任一位上，如排在个位，这时，十、百位上数字又有两种情况：①可以全是偶数；②可以全是奇数．故此时共有C 32A 33C 41＋C 32A 33C 41＝144(种)．(2)四位数中如果没0，这时后三位可以全是偶数，或两奇一偶．此时共有A 33C 31＋C 32C 31A 33C 31＝180(种)．故符合题意的四位数共有144＋180＝324(种)．38．某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？【答案】108试题分析：（1）排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关，如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同，才是不同的组合；（2）排列、组合的综合问题关键是看准是排列还是组合，复杂的问题往往是先选后排，有时是排中带选，选中带排；（3）对于排列组合的综合题，常采用先组合（选出元素），再排列（将选出的这些元素按要求进行排序）试题解析：用1、2、3、4、5、6表示广告的播放顺序，则完成这件事有三类方法．第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2、4、6．分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、4、6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、3、6，同样分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有36＋36＋36＝108种．39．用0,1,3,5,7五个数字，可以组成多少个没有重复数字且5不在十位上的五位数？【答案】78个【解析】本题可分为两类：第一类：0在十位位置上，这时，5不在十位位置上，所以五位数的个数为＝24个．44A 第二类：0不在十位位置上，这时，由于5不能排在十位位置上，所以，十位位置上只能排1,3,7之一，有种方法；13A 又由于0不能排在万位位置上，所以万位位置上只能排5或1,3,7被选作十位上的数字后余下的两个数字之一，有种方法；十13A 位、万位上的数字选定后，其余三个数字全排列即可，有种方法．33A 根据分步计数原理，第二类中所求五位数的个数为··＝54个．13A 13A 33A、3不同色，2有1种种法，∴有张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有种，故选答案：C17. 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A.10 B.11 C.12 D.1518. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。

344 4 3 4A C 5 2 2 5 排列组合解题技巧归纳总结教学内容1. 分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第 1 类办法中有m 1 种不同的方法，在第 2 类办法中有m 2 种不同的方法，…，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2. 分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成 n 个步骤，做第 1 步有 m 1 种不同的方法，做第 2 步有 m 2 种不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3. 分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1. 认真审题弄清要做什么事2. 怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3. 确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有C 1 然后排首位共有C 1 最后排其它位置共有 A 3由分步计数原理得C 1C 1A 3 = 288443练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里， 问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略例 2. 7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

（完整word版）排列组合1.专题⼆⼗三排列组合知识概要P-Probability 排列 C-Combination 组合排列公式m n P 是指，从n 个元素取m 个进⾏排列(即有次序排序)。

组合公式mn C 是指，从n 个元素取m 个，不进⾏排列（即⽆次序分别，不排序）。

C —组合数； P —排列数； n —元素的总个数；m —参与选择的元素个数；!—阶乘，如5！=5×4×3×2×1=120 ;3!=3×2×1=6。

m n P =n ×(n-1)×(n-2)×…×(n －m ＋1)m n C =mn P ÷m!排列组合知识，⼴泛应⽤于实际，掌握好排列组合知识，能帮助我们在⽣产⽣活中，解决许多实际应⽤问题。

同时排列组合问题历来就是⼀个⽼⼤难的问题。

因此有必要对排列组合问题的解题规律和解题⽅法作⼀点归纳和总结，以期充分掌握排列组合知识。

排列组合解题策略排列组合问题的⼀般解题规律: 1）使⽤“分类计数原理”还是“分步计数原理”。

要根据我们完成某件事时采取的⽅式⽽定，可以分类来完成这件事时⽤“分类计数原理”（加法原理），需要分步来完成这件事时就⽤“分步计数原理”（乘法原理）；那么，怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何⼀类均可独⽴完成所给的事件，⽽“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成⼀件事情的⼏类办法互不⼲扰，相互独⽴，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺⼀不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步⽤什么⽅法不影响后⾯的步骤采⽤的⽅法。

2）排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。

3）复杂的排列问题常常通过试验、画 “树图 ”、“框图”等⼿段使问题直观化，从⽽寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，因此常常需要⽤不同的⽅法求解来获得检验。