2020年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学试题(解析版)

好记星书签 第1页 共5页 机密★启封前2020年湖北省普通高中学业水平合格性考试(真题)数 学本试卷共5页25题，全卷满分100分，考试用时90分钟．注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、涂匀、涂实，未涂、错涂、多涂或填涂不规范均不得分．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．非选择题的作答：用黑色签字笔将答案写在答题卡上对应的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效．在试卷、草稿纸上答题无效．4．考试结束后，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并上交．一、选择题(本题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设复数z 满足z +i =2−i ，则z 的共轭复数z =A ．2−2iB ．−2−2iC ．−2+2iD ．2+2i2．设集合A = 1，3，5，7 ，B = 1，2，3，5，8 ，则A ∩B =A ． 1，3B ． 3，5C ． 1，3，5D ． 1，2，3，5，7，83．若D 为△ABC 的边AB 的中点，则CD= A ．CA +CB B ．12 CA +CB C ．CA −CB D ．12 CA−CB 4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在我省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中有一道求“困盖”体积的题：困下周六丈，高二丈，求积．即已知圆锥的底面周长为6丈，高为2丈，求圆锥的体积．《算数书》中将圆周率π近似取为3，，则该盖的体积（单位：立方丈）约为A ．2B ．3C ．4D ．6。

湖北高中数学合格考试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A ∩ B =（）A. {1, 2, 3, 4}B. {2, 3}C. {1}D. {4}解析：两个集合的交集是指由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合，所以A ∩ B={2, 3}，答案为B。

2. 函数y = sin(x+π/2)的图象是由函数y = sinx的图象（）A. 向左平移π/2个单位得到B. 向右平移π/2个单位得到C. 向上平移π/2个单位得到D. 向下平移π/2个单位得到解析：对于函数y = f(x + a)，当a>0时，图象是由y = f(x)向左平移a个单位得到的，这里y = sin(x+π/2)是由y = sinx向左平移π/2个单位得到的，答案为A。

3. 若等差数列{an}中，a1 = 1，d = 2，则a5 =（）A. 1B. 9C. 11D. 13解析：根据等差数列通项公式an=a1+(n - 1)d，a5 = 1+(5 - 1)×2 = 1 + 8 = 9，答案为B。

4. 在△ABC中，已知a = 3，b = 4，C = 60°，则c2=（）A. 25 - 12B. 25+12C. 25 - 12√3D. 25+12√3解析：根据余弦定理c2=a2 + b2 - 2abcosC，代入数值可得c2 = 32+42 - 2×3×4×cos60°=25 - 12 = 13，答案为A。

5. 若直线y = kx+1与圆x2 + y2 = 1相切，则k =（）A. 0B. ±1C. 1D. - 1解析：由直线与圆相切的性质可知，圆心到直线的距离等于半径。

圆x2 + y2 = 1的圆心为(0,0)，半径为1，根据点到直线距离公式d =Ax0+By0 + C /√(A2 + B2)，这里A = k，B = - 1，C = 1，x0 = 0，y0 = 0，d = 1，可得1 /√(k2+1)=1，解得k = 0，答案为A。

2021年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学试题一、单选题1．设集合{}1,2,3,4,5A =，{}2,4,6,8B =，则A B =（ ） A ．∅ B ．{}2C ．{}2,4D ．{}2,4,8【答案】C【分析】利用集合的交集运算求解.【详解】因为集合{}1,2,3,4,5A =，{}2,4,6,8B =， 所以A B ={}2,4， 故选：C2．复数34i z =+所对应的点位于复平面的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】找出复数34i z =+所对应的点即可求解. 【详解】复数34i z =+所对应的点的坐标为()3,4， 所以位于第一象限， 故选：A.3．已知向量()1,2a =-，()1,1b =，则3a b +=（ ） A ．()2,7 B ．()2,7-C ．()2,5--D ．()2,5-【答案】B【分析】根据平面向量的坐标运算，即可求解.【详解】由向量()1,2a =-，()1,1b =，可得3(1,2)(1,31)(2,7)a b ⨯=-+=-+. 故选：B.4．中国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”．如4＝2＋2，6＝3＋3，8＝3＋5，…，现从3，5，7，11，13这5个素数中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（ ） A ．110 B ．15C ．310 D ．25【答案】B【分析】先求出3，5，7，11，13这5个素数中随机选取两个不同的数的所有可能结果，然后再求出其和等于16的结果，根据等可能事件的概率公式可求．【详解】解：从3，5，7，11，13这5个素数中，随机选取两个不同的数共有2510C =钟可能，其和等于16的结果（3，13），（5，11）2种等可能的结果， 所以概率21105P ==. 故选：B.5．已知3sin 5θ=-，且θ为第四象限角，则tan θ=（ ）A ．43 B ．43-C ．34 D ．34-【答案】D【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得；【详解】解：因为3sin 5θ=-，22sin cos 1θθ+=，所以4cos 5θ=±，因为θ为第四象限角，所以4cos 5θ=，所以sin 3tan cos 4θθθ==- 故选：D6．如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中②对应的幂函数是（ ）A ．3y x =B ．2y xC ．y x =D ．y x =【答案】C【分析】根据常见幂函数的图像即可得出答案.【详解】解：由图知：①表示y x =②表示y x =，③表示2y x ，④表示3y x =.故选：C.7．已知0a b >>，0c d <<，下列不等式中成立的是（ ）A ．a c b d +>+B ．a c b d ->-C ．ac bd >D ．a b c d> 【答案】B【分析】利用不等式的基本性质判断.【详解】A. 若2,1a b ==，1c d =-=-2,，则a c b d +=+，故错误；B.因为0c d <<，所以0c d ->->，又因为0a b >>，所以0a c b d ->->，故正确；C.若2,1a b ==，1c d =-=-2,，则ac bd <，故错误；D.若2,1a b ==，1c d =-=-2,，则a bc d=，故错误； 故选：B8．已知:02p x <<，:13q x -<<，则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分不必要条件【答案】A【分析】根据充分和必要条件的定义即可求解. 【详解】由:02p x <<，可得出:13q x -<<， 由:13q x -<<，得不出:02p x <<， 所以p 是q 的充分而不必要条件， 故选：A.9．现对某类文物进行某种物性指标检测，从1000件中随机抽取了200件，测得了它的物性指标值，得到如下频率分布直方图，据此估计这1000件文物中物性指标值不小于95的件数为（ ）A ．34B ．67C ．340D ．670【答案】D【分析】由频率分布直方图得文物中物性指标值不小于95的频率即可. 【详解】由频率分布直方图得文物中物性指标值不小于95的频率为：()0.0330.0240.0080.002100.67+++⨯=，所以这1000件文物中物性指标值不小于95的件数为10000.67670⨯=. 故选：D10．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ） A ．2yxB ．3y x =C ．2x y =D ．lg y x =【答案】B【分析】逐一分析四个选项的奇偶性和单调性即可得出答案. 【详解】A 选项，因为2yx 是偶函数，且在(),0-∞上递减，故A 错误；B 选项，因为3y x =是奇函数，在R 上是增函数，故B 正确；C 选项，因为2x y =是非奇非偶函数，故C 错误；D 选项，因为函数lg y x =的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，所以函数lg y x =不具有奇偶性，故D 错误. 故选：B.11．已知函数()()sin 2f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，为了得到函数sin y x =的图象，只要把()y f x =的图象上所有的点（ ）A ．向左平行移动6π个单位长度 B ．向右平行移动6π个单位长度C ．向左平行移动3π个单位长度 D ．向右平行移动3π个单位长度【答案】D【分析】由()max 6f x f π⎛⎫= ⎪⎝⎭结合ϕ的取值范围可求得ϕ的值，利用三角函数图象变换可得出结论.【详解】由图可知，()max sin 66f x f ππϕ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，()262k k Z ππϕπ+=+∈，故()23k k Z πϕπ=+∈，2πϕ<，故3πϕ=，所以，()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以，为了得到函数sin y x =的图象，只要把()y f x =的图象上所有的点向右平移3π个单位长度. 故选：D.12．犇犇同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（ ） A ．三次都中靶 B ．只有两次中靶 C ．只有一次中靶 D ．三次均未中靶【答案】D【分析】利用互斥事件的定义判断.【详解】因为连续射击三次的结果有四种：三次都中靶，只有两次中靶，只有一次中靶，三次均未中靶，而打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”是三次都中靶，只有两次中靶或只有一次中靶，所以打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是三次均未中靶， 故选：D13．已知两个单位向量a ，b 满足12a b ⋅=，则a b +=（ ）A B C D【答案】A【分析】根据()2a b a b+=+，利用向量的数量积的运算律即可得出答案.【详解】解：()222211a b a b a a b b +=+=+⋅+=+故选：A.14．在高铁建设中需要确定隧道的长度和隧道两端的施工方向，为解决这个问题，某校综合实践活动小组提供了如下方案：先测量出隧道 两端的两点A ，B 到某一点C 的距离，再测出ACB ∠的大小．现已测得AC 约为2km ，BC 约为3km ，且60ACB ∠=︒（如图所示），则A ，B 两点之间的距离约为（ ）A ．1.414kmB ．1.732kmC ．2.646kmD ．3.162km【答案】C【分析】结合余弦定理计算即可. 【详解】在ABC 中，由余弦定理，得2222cos 7AB AC BC AC BC C =+-⨯=， 所以7 2.646AB km ≈， 故答案为：C15．已知函数()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+⎩＜，则不等式()()1f x f ＞的解集是（ ）A ．()()3,13,-+∞B ．()(),12,3-∞-C ．()()1,13,-+∞D ．()(),31,3-∞-【答案】A【分析】利用分段函数，将不等式化为具体不等式，即可得出结论． 【详解】解：()11463f =-+=，当0x 时，2463x x -+>，所以01x ≤<或3x >； 当0x <时，63x +>，所以30x -<<，所以不等式()(1)f x f >的解集是(3-，)(13⋃，)+∞， 故选：A ．二、多选题16．已知向量()1,3a =，(1,3b =--，则（ ） A ．a b ＞B ．a b <C ．a b =D ．//a b【答案】CD【分析】求出a 与b 即可判断A ，B ，C 正误，根据向量共线的坐标表示即可判断D 的对错.【详解】解：132a =+=，132b =+=，所以a b =，因为(()110⨯-=，所以//a b . 故选：CD.17．已知l ，m 是平面α外的两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//l α，//m α，则//l m B ．若l α⊥，//m α，则l m ⊥ C ．若l α⊥，l m ⊥，则//m α D ．若l m ⊥，//m α，则l α⊥【答案】BC【分析】利用线线、线面的平行关系，以及线线、线面的垂直关系，即可求解. 【详解】解：对于A ，直线l 和m 可以相交或者异面，故A 错，对于B, //m α，假设//m n ，n ⊂α，又l α⊥，故l n ⊥，则l m ⊥，故B 对, 对于C, 因为l α⊥，l m ⊥，又m α⊄，则//m α，故C 对, 对于D, 直线l 可以与平面α平行，故D 错. 故选：BC .18．下列函数中最大值为1的是（ ） A ．sin y x = B ．cos y x =C ．tan y x =D ．sin y x =【答案】ABD【分析】根据基本初等函数的性质判断可得；【详解】解：对于A ：函数sin y x =值域为[]1,1-，故A 正确； 对于B ：函数cos y x =的值域为[]1,1-，故B 正确； 对于C ：函数tan y x =的值域为R ，故C 错误； 对于D ：函数sin y x =的值域为[]0,1，故D 正确； 故选：ABD三、填空题19．已知两个非零向量a ，b 满足0a b ⋅=，则a 与b 的夹角为_______. 【答案】2π 【分析】根据向量的数量积即可求得a 与b 的夹角.【详解】解：因为cos ,0a b a b a b ⋅==， 所以cos ,0a b =，即a 与b 的夹角为2π. 故答案为：2π. 20．如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则球的体积为_______.【答案】36π【分析】根据图形可以得出球的半径；代入球的体积公式即可得到结论． 【详解】解：设球半径为r ， 根据题意可得：3r =，所以球的体积34363V r ππ==.故答案为：36π.四、双空题21．某校足球俱乐部有男运动员60人，女运动员40人，为了了解运动员的身体素质，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为30的样本，则应抽取的（1）男运动员人数为_______；（2）女运动员人数为_______. 【答案】18 12【分析】先由已知计算出抽样比，进而可得答案．【详解】解：足球俱乐部有男运动员60人，女运动员40人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为30的样本，则抽样比为303604010=+， 故抽取的男运动员人数3601810⨯=人，抽取的女运动员人数3401210⨯=人，故答案为：18；1222．设a ，b 为正整数，若81b a =，则（1）a 的一个可能的值为_______；（2）与（1）中a 的值相对应的b 的值为_______. 【答案】3(或9) 4(或2)【分析】根据指数幂，即可求解.【详解】因为a ，b 为正整数，又81b a =，当3a =时，4b =，当9a =时，2b =， 故答案为：3(或9)，4(或2)五、解答题23．已知函数()cos 23sin 21f x x x m =+++． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若()f x 的最小值为0，求常数m 的值． 【答案】（1）π； （2）1m =.【分析】（1）化简函数为()2cos(2)13f x x m π=-++，结合最小正周期的公式，即可求解；（2）由（1）得到当cos(2)13x π-=-时取得最小值，列出方程，即可求解.【详解】（1）由函数()cos23sin 212cos(2)13f x x x m x m π=+++=-++，所以函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. （2）由（1）知函数()2cos(2)13f x x m π=-++，因为()f x 的最小值为0，可得当cos(2)13x π-=-时，取得最小值，即2(1)10m ⨯-++=，解得1m =.24．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 的中点．求证：（1）1//BD 平面ACE ；（2）求三棱锥B ACE -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）23.【分析】（1）连接BD 与AC 交于点O ，连接OE ，易得1//BD OE ，再利用线面平行的判定定理证明；（2）利用等体积法由B ACE E ABC V V --=求解. 【详解】（1）如图所示：，连接BD 与AC 交于点O ，连接OE ， 因为E ，O 为中点， 所以1//BD OE ，又1BD ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ， 所以1//BD 平面ACE ； （2）13B ACE E ABC ABCV V SED --==⨯⨯，1132AB BC ED =⨯⨯⨯⨯， 112221323=⨯⨯⨯⨯=. 25．关于函数()()ln 1f x x x =+有以下三个结论: （1）()f x 是偶函数；（2）()f x 在[)0,+∞上是增函数；（3）()f x 有两个零点．试分别判断这三个结论是否正确，并说明理由． 【答案】（1）错误；（2）正确；（3）错误；理由解析. 【分析】（1）由函数的奇偶性定义判断； （2）利用导数法判断；（3）令()()ln 10f x x x =+=求解判断. 【详解】（1）由10x +>，解得1x >-，所以函数的定义域为{}|1x x >-，不关于原点对称， 所以()f x 不是偶函数；第 11 页 共 11 页 （2）因为()()ln 101x f x x x'=++≥+，在[)0,+∞上成立， 所以()f x 在[)0,+∞上是增函数，故正确；（3）令()()ln 10f x x x =+=，则0x =或()ln 10x +=，解得0x =， 所以()f x 有一个零点，故错误．。

2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知抛物线22(0)y px p =>上的点M 到其焦点F 的距离比点M 到y 轴的距离大12，则抛物线的标准方程为（ ） A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．28y x =2．已知函数()32cos f x x x =+，若a f =，(2)b f =，2(log 7)c f =,则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<3．设双曲线221x y a b+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）A ．225514x y -= B ．225514y x -= C ．225514y x -= D ．225514x y -= 4．若1tan 2α=，则cos2=α( )A ．45- B ．35C ．45D ．355．已知函数()5sin 12f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要得到函数()cos g x x =的图象，只需将()y f x =的图象( ) A ．向左平移12π个单位长度B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移512π个单位长度 D ．向右平移512π个单位长度 6．已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A ．12B ．32-C ．12-D ．327．已知3sin 2cos 1,(,)2παααπ-=∈，则1tan21tan 2αα-=+（ ） A ．12-B ．2-C ．12D ．28．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设22DF AF ==，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是（ ）A ．413B ．213C ．926D ．3139．当0a >时，函数()()2xf x x ax e =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数2(0x y a a -=>且1a ≠的图象恒过定点P ，则函数1mx y x n+=+图象以点P 为对称中心的充要条件是( ) A ．1,2m n ==- B ．1,2m n =-= C ．1,2m n ==D ．1,2m n =-=-11．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A ．多1斤B ．少1斤C ．多13斤 D ．少13斤 12．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（设点A 位于第一象限），过点A ，B 分别作抛物线C 的准线的垂线，垂足分别为点1A ，1B ，抛物线C 的准线交x 轴于点K ，若11||2||A KB K =，则直线l 的斜率为 A ．1B 2C ．22D 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

湖北省武汉市2020年高二第二学期数学期末学业质量监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数32()log f x x x =-的一个零点所在的区间是( ) A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C【解析】【分析】根据函数零点的判定定理进行判断即可【详解】 32()log f x x x =-是连续的减函数，又()()3221log 20;3103f f =->=-< 可得f （2）f （3）＜0，∴函数f （x ）的其中一个零点所在的区间是(2,3)故选C【点睛】本题考查了函数零点的判定定理，若函数单调，只需端点的函数值异号即可判断零点所在区间，是一道基础题．2．若()22z i i -=-（i 是虚数单位），则复数z 的模为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【答案】D【解析】【分析】利用复数的乘法、除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的求模公式计算出复数z 的模.【详解】因为()22z i i -=-，所以()()()()2234434434343425252i i i i i z i i i i i i i -+---=====--+--+-，所以15z ==，故选D. 【点睛】本题考查复数的乘法、除法法则以及复数模的计算，对于复数相关问题，常利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式进行求解，考查计算能力，属于基础题.3．已知点O 是ABC ∆的外接圆圆心, 3,4AB AC ==.若存在非零实数,x y 使得AO x AB y AC =+且21x y +=,则cos BAC ∠的值为 （ ）A ．13 B．3 C．3 D ．23【答案】D【解析】【分析】根据AO x AB y AC =+且21x y +=判断出,O B 与线段AC 中点三点共线，由此判断出三角形ABC 的形状，进而求得cos BAC ∠的值.【详解】 由于22AC AO xAB y AC xAB y =+=+，由于21x y +=，所以,O B 与线段AC 中点三点共线，根据圆的几何性质可知直线OB 垂直平分AC ，于是ABC ∆是以AC 为底边的等腰三角形，于是22cos 3ACBAC AB ∠==，故选D. 【点睛】本小题主要考查平面向量中三点共线的向量表示，考查圆的几何性质、等腰三角形的几何性质，属于中档题.4．在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（ ） A ．180种B ．150种C ．96种D ．114种【答案】D【解析】分析：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，先算出总共的安排方法，再减去甲和乙在同一个路口的情况即可.详解：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，分两种情况：①三个路口人数情况3，1，1，共有335360C A =种情况； ②三个路口人数情况2，2，1，共有2235332290C C A A ⋅=种情况. 若甲乙在同一路口，则把甲乙看作一个整体，则相当于将4名特警分配到三个不同的路口，则有234336C A =种，故甲和乙不能安排在同一个路口，不同的安排方法有609036114+-=种.故选：D.点睛：本题考查排列、组合的实际应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题.5．已知各棱长均相等的正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥的侧面与底面所成角的大小分别为αβγ，，，则（ ）A ．αβγ==B ．αβγ<<C ．αβγ>>D ．前三个答案都不对 【答案】C【解析】【分析】通过作出图形，分别找出正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥的侧面与底面所成角，通过计算余弦值比较大小即可知道角度大小关系.【详解】如图，正三棱锥P ABC -，正四棱锥P ABCD -，正五棱锥P ABCDE -，设各棱长都为2，在正三棱锥中，取AC 中点D ，连接PD,BD ，可知PDB ∠即为侧面与底面所成角，可知，==3PD BD ，由余弦定理得1cos 3α=；同理3cos β=，11cos 12γ=，于是cos cos cos αβγ<<，而由于αβγ，，为锐角，所以αβγ>>，故选C.【点睛】本题主要考查面面角的相关计算，意在考查学生的转化能力，空间想象能力，计算能力，难度中等. 6．中国古代数学著作《算法统宗》巾有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难 日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”问此人第4天和第5天共走了A ．60里B ．48里C ．36里D ．24里【答案】C【解析】【分析】每天行走的里程数{}n a 是公比为12的等比数列，且前6和为378，故可求出数列的通项n a 后可得45a a +. 【详解】设每天行走的里程数为{}n a ，则{}n a 是公比为12的等比数列， 所以16126112378112a a a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++==-，故1192a =（里），所以4534111921923622a a +=⨯+⨯=（里），选C.【点睛】本题为数学文化题，注意根据题设把实际问题合理地转化为数学模型，这类问题往往是基础题. 7．己知命题P ：单位向量的方向均相同，命题q ：实数a 的平方为负数。

提高练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若偶函数()f x ()x R ∈满足()()2f x f x +=且[]0,1x ∈时,(),f x x =则方程()3log f x x =的根的个数是( ) A ．2个B ．4个C ．3个D ．多于4个2．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点坐标为(4,0)，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为( )A ．22188x y -=B ．2211616x y -=C ．22188y x -=D ．22188x y -=或22188y x -=3．已知为坐标原点，点、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，且，与轴交于点，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．4．52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是（ ）A ．30B ．40C ．-10D ．-205．已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为A ．1B ．2C ．-1D ．-26．已知a ，b 是两个向量，则“0a b ⋅=”是“0a =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知1z ，2z ∈C ．“120z z ==”是“1||z 220z +=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论错误的是A ．平面11D A P ⊥平面1A APB ．1APD ∠的取值范围是（0，2π] C ．11B D PC -三棱锥的体积为定值 D ．11DC D P ⊥9．已知x ，()0,y ∈+∞，1x y +=，则xy 的最大值为（ ）A ．1B ．12 C ．13D ．1410．已知复数z 满足方程2iz ai =+，复数z 的实部与虚部和为1，则实数a =（ ）A ．0B ．1C ．2D ．311．使得()3nx n N x x +⎛∈ ⎝的展开式中含有常数项的最小的n 为( )A ．4B ．5C ．6D ．712．将曲线πsin 34y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭按照伸缩变换3,12x x y y =⎧⎪⎨=''⎪⎩后得到的曲线方程为（ ）A ．π2sin 4y x ⎛⎫''=-⎪⎝⎭B ．1πsin 24y x ⎛⎫''=- ⎪⎝⎭ C ．1πsin 924y x ⎛⎫''=- ⎪⎝⎭ D ．π2sin 94y x ⎛⎫''=-⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题13．设()3f x x x =-，过下列点()()()()3230,0,0,2,2,1,,2,0A B C D E --⎝⎭分别作曲线()f x 的切线，其中存在三条直线与曲线()y f x =相切的点是__________． 14．若复数z 满足2z =，则33z z ++-的取值范围是______．15．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中φ为实数，若()()6f x f π≤对x ∈R 恒成立，且()f ()2f ππ>，则()f x 的单调递增区间是______.16．已知'()f x是函数f(x)的导函数，()()22ln1(0)xf x x f'=++⋅,则(1)f'=________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（湖北卷，解析版）1.D 【解析】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R{}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4=<<∈=N B x x x .因为⊆⊆A C B ，所以根据子集的定义，集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个.故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2.B 【解析】由频率分布表可知：样本数据落在区间[10,40)内的頻数为2+3+4=9，样本总数为23454220+++++=，故样本数据落在区间[10,40)内频率为90.4520=.故选B. 【点评】本题考查频率分布表的应用，频率的计算.对于頻数、频率等统计问题只需要弄清楚样本总数与各区间上样本的个数即可，用区间上样本的个数除以样本总数就可得到相应区间上的样本频率.来年需注意频率分布直方图与频率分布表的结合考查.3.D 【解析】由()cos 20==f x x x ，得0=x 或cos 20=x ；其中，由cos 20=x ，得()22x k k ππ=+∈Z ，故()24k x k ππ=+∈Z .又因为[]0,2x ∈π，所以π3π5π7π,,,4444x =.所以零点的个数为145+=个.故选D.【点评】本题考查函数的零点，分类讨论的数学思想.判断函数的零点一般有直接法与图象法两种方法.对于三角函数的零点问题，一般需要规定自变量的取值范围；否则，如果定义域是R ,则零点将会有无数个；来年需注意数形结合法求解函数的零点个数，所在的区间等问题.4.B 【解析】根据特称命题的否定，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数,它的平方不是有理数”.故选B.【点评】本题考查特称命题的否定.求解特称命题或全称命题的否定，千万别忽视了改变量词；另外，要注意一些量词的否定的书写方法，如：“都是”的否定为“不都是”，别弄成“都不是.5.A 【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P 的圆的弦长达到最小，所以需该直线与直线OP 垂直即可.又已知点(1,1)P ，则1OP k =,故所求直线的斜率为-1.又所求直线过点(1,1)P ，故由点斜式得，所求直线的方程为()11y x -=--，即20+-=x y .故选A.【点评】本题考查直线、线性规划与圆的综合运用，数形结合思想.本题的解题关键是通过观察图形发现当面积之差最大时，所求直线应与直线OP 垂直，利用这一条件求出斜率，进而求得该直线的方程.来年需注意直线与圆相切的相关问题.6.B 【解析】特殊值法：当2x =时，()()()22200y f x f f =--=--=-=，故可排除D 项；当1x =时，()()()22111y f x f f =--=--=-=-，故可排除A,C 项；所以由排除法知选B.【点评】本题考查函数的图象的识别.有些函数图象题，从完整的性质并不好去判断，作为徐总你则提，可以利用特殊值法（特殊点），特性法（奇偶性，单调性，最值）结合排除法求解，既可以节约考试时间，又事半功倍.来年需注意含有xe 的指数型函数或含有ln x 的对数型函数的图象的识别. 7.C 同理7【解析】设数列{}n a 的公比为q .对于①，22112()()n n n nf a a q f a a ++==,是常数，故①符合条件;对于②，111()22()2n n nn a a a n a n f a f a ++-+==，不是常数，故②不符合条件;对于③，1()()n n f a f a +===是常数，故③符合条件;对于④, 11()ln ||()ln ||n n n n f a a f a a ++=，不是常数，故④不符合条件.由“保等比数列函数”的定义知应选C.【点评】本题考查等比数列的新应用，函数的概念.对于创新性问题，首先要读懂题意，然后再去利用定义求解，抓住实质是关键.来年需要注意数列的通项，等比中项的性质等.8.D 【解析】因为,,a b c 为连续的三个正整数，且>>A B C ，可得a b c >>，所以2,1=+=+a c b c ①；又因为已知320cos =b a A ，所以3cos 20bA a =②.由余弦定理可得222cos 2+-=b c a A bc ③，则由②③可得2223202b b c a a bc +-=④，联立①④，得2713600--=c c ，解得4=c 或157=-c （舍去），则6=a ，5=b .故由正弦定理可得，sin :sin :sin ::6:5:4==A B C a b c .故应选D.【点评】本题考查正、余弦定理以及三角形中大角对大边的应用.本题最终需求解三个角的正弦的比值，明显是要利用正弦定理转化为边长的比值，因此必须求出三边长.来年需注意正余弦定理与和差角公式的结合应用.9.A 【解析】当1abc ==+= 而()()()()2a b c a b b c c a ++=+++++≥a b c ==，且1abc =，即a b c ==时等号成立）a b c +=≤++；但当取2a b c ===,显然有a b c a b c ++≤++,但1abc ≠,即由a b c a b c++≤++不可以推得1abc =；综上，1abc =是a b c a b c++≤++的充分不必要条件.应选A. 【点评】本题考查充要条件的判断，不等式的证明.判断充要条件，其常规方法是首先需判断条件能否推得结论，然后需判断结论能否推得条件；来年需注意充要条件与其他知识（如向量，函数）等的结合考查. 10.C 同理8【解析】如图，不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S 1,S 2,两块阴影部分的面积分别为S 3,S 4，形OAB=221(2)4a a ππ=①,则S 1+S 2+S 3+S 4=S扇而S 1+S 3 与S 2+S 3的和恰好为一个半径为a 的圆，即S 1+S 3+S 2+S 32a π=②.①-②得S 3=S 4,由图可知S 3=221()2OEDC EOD S S S a a π+-=-正方形扇形扇形COD ,所以. 222S a a π=-阴影. 由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率 P=222221OABS a a S a πππ-==-阴影扇形. 【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积，即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用. 11. 6【解析】设抽取的女运动员的人数为a ，则根据分层抽样的特性，有84256a =，解得6a =.故抽取的女运动员为6人.【点评】本题考查分层抽样的应用.本题实际是承接2020奥运会为题材，充分展示数学知识在生活中的应用.分层抽样时，各样本抽取的比例应该是一样的，即为抽样比. 来年需注意系统抽样的考查或分层抽样在解答题中作为渗透考查. 12. 3【解析】因为31bia bi i+=+-，所以()()()31bi a bi i a b b a i +=+-=++-.又因为,a b 都为实数，故由复数的相等的充要条件得3,,a b b a b +=⎧⎨-=⎩解得0,3,a b =⎧⎨=⎩所以3a b +=.【点评】本题考查复数的相等即相关运算.本题若首先对左边的分母进行复数有理化，也可以求解，但较繁琐一些.来年需注意复数的几何意义，基本概念（共轭复数），基本运算等的考查.13.（Ⅰ）31010,1010⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）25- 【解析】（Ⅰ）由()()1,0,1,1a =b =，得()23,1+a b =.设与2+a b 同向的单位向量为(),x y c =，则221,30,x y y x ⎧+=⎨-=⎩且,0x y >，解得310,1010.x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故31010,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭c =.即与2+a b 同向的单位向量的坐标为31010,1010⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由()()1,0,1,1a =b =，得()32,1--b a =.设向量3-b a 与向量a 的夹角为θ，则()32,11,025cos 3551θ--===--⨯g g b a a b a a.【点评】本题考查单位向量的概念，平面向量的坐标运算，向量的数量积等.与某向量同向的单位向量一般只有1个，但与某向量共线的单位向量一般有2个，它包含同向与反向两种.不要把两个概念弄混淆了. 来年需注意平面向量基本定理，基本概念以及创新性问题的考查.14.2 【解析】（解法一）作出不等式组1,1,33x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩所表示的可行域(如下图的ABM ∆及其内部）.可知当直线23z x y =+经过1,33x y x y +=⎧⎨-=⎩的交点()1,0M 时，23z x y =+取得最小值，且min 2z =.（解法二）作出不等式组1,1,33x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩所表示的可行域(如下图的ABM ∆及其内部）.目标函数23z x y=+在ABM ∆的三个端点()()()2,3,0,1,1,0A B M 处取的值分别为13,3,2，比较可得目标函数23z x y =+的最小值为2.【点评】本题考查线性规划求解最值的应用.运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值；在哪个端点，目标函数取得最小值. 来年需注意线性规划在生活中的实际应用.15.12π【解析】由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为2，高为1）与中间一个圆柱（底面圆半径为1，高为4）组合而成，故该几何体的体积是222121412V πππ=⨯⨯⨯+⨯⨯=. 【点评】本题考查圆柱的三视图的识别，圆柱的体积.学生们平常在生活中要多多观察身边的实物都是由什么几何形体构成的，以及它们的三视图的画法. 来年需注意以三视图为背景，考查常见组合体的表面积. 16. 同理12【解析】由程序框图可知：第一次:a=1,s=0,n=1,s=s+a=1,a=a+2=3,n=1<3满足判断条件,继续循环; 第二次:n=n+1=2,s=s+a=1+3=4,a=a+2=5,n=2<3满足判断条件，继续循环;第三次:n=n+1=3,s=s+a=4+5=9,a=a+2=11,n=3<3不满足判断条件，跳出循环，输出s 的值. 综上，输出的s 值为9.【点评】本题考查程序框图及递推数列等知识.对于循环结构的输出问题，一步一步按规律写程序结果，仔细计算，一般不会出错，属于送分题.来年需注意判断条件的填充型问题.17.（Ⅰ）5030；（Ⅱ）()5512k k -【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…,的一个通项公式为(1)2n n n a +=，写出其若干项有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,发现其中能被5整除的为10,15,45,55,105,110,故142539*********,,,,,b a b a b a b a b a b a ======. 从而由上述规律可猜想：255(51)2k k k k b a +==（k 为正整数）， 2151(51)(511)5(51)22k k k k k k b a ----+-===， 故201221006510065030b a a a ⨯⨯===,即2012b 是数列{}n a 中的第5030项.【点评】本题考查归纳推理，猜想的能力.归纳推理题型重在猜想，不一定要证明，但猜想需要有一定的经验与能力，不能凭空猜想.来年需注意类比推理以及创新性问题的考查.18.【解析】【点评】本题考查三角函数的最小正周期，三角恒等变形；考查转化与划归，运算求解的能力.二倍角公式，辅助角公式在三角恒等变形中应用广泛，它在三角恒等变形中占有重要的地位，可谓是百考不厌. 求三角函数的最小正周期，一般运用公式2T πω=来求解;求三角函数的值域，一般先根据自变量x 的范围确定函数x ωϕ+的范围.来年需注意三角函数的单调性，图象变换，解三角形等考查. 19.【解析】【点评】本题考查线面垂直，空间几何体的表面积；考查空间想象，运算求解以及转化与划归的能力.线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直是有关垂直的几何问题的常用转化方法；四棱柱与四棱台的表面积都是由简单的四边形的面积而构成，只需求解四边形的各边长即可.来年需注意线线平行，面面平行特别是线面平行，以及体积等的考查. 20. 同理18 【解析】【点评】本题考查等差数列的通项，求和，分段函数的应用等；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差数列的通项一般利用通项公式()11n a a n d =+-求解；有时需要利用等差数列的定义：1n n a a c --=（c为常数）或等比数列的定义：1'nn a c a -=（'c 为常数，'0c ≠）来判断该数列是等差数列或等比数列，然后再求解通项；有些数列本身不是等差数列或等比数列，但它含有无数项却是等差数列或等比数列，这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质.21. 同理21 【解析】【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.22.【解析】【点评】本题考查多项式函数的求导，导数的几何意义，导数判断函数的单调性，求解函数的最值以及证明不等式等的综合应用.考查转化与划归，分类讨论的数学思想以及运算求解的能力. 导数的几何意义一般用来求曲线的切线方程，导数的应用一般用来求解函数的极值，最值，证明不等式等. 来年需注意应用导数判断函数的极值以及求解极值，最值等；另外，要注意含有,ln xe x 等的函数求导的运算及其应用考查.。

湖北省鄂州市2019-2020学年数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知32,43,23a b c ===，则,,a b c 的大小关系为( ) A ．a b c << B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<【答案】A 【解析】分析：由32a =，43b =，23c =，可得34log 2,log 3a b ==，2log 3c =，则01,01,1a b c <<<，利用做差法结合基本不等式可得结果.详解：34log 2,log 3a b ==，2log 3c =，则01,01,1a b c <<<222lg 2lg 4lg 3lg 2lg3lg 2lg 4lg 320lg3lg 4lg3lg 4lg3lg 4a b +⎛⎫- ⎪⋅-⎝⎭-=-=≤=<⋅⋅， 即a b < ， 综上a b c <<，故选A.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. 2．设{}n a 是等差数列.下列结论中正确的是（ ） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a -->【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】先分析四个答案，A 举一反例1232,1,4a a a ==-=-，120a a +>而230a a +<，A 错误，B 举同样反例1232,1,4a a a ==-=-，130a a +<，而120a a +>，B 错误，D 选项，2132,,a a d a a d -=-=-22132()()0,a a a a d ∴--=-≤故D 错，下面针对C 进行研究，{}n a 是等差数列，若120a a <<，则10,a >设公差为d ，则0d >，数列各项均为正，由于22213111()(2)a a a a d a a d -=+-+22221111220a a d d a a d d =++--=>，则故选C.考点：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重 点是对知识本质的考查.3．已知函数()()()2121x f x e a x a x =---+在()1,2上单调，则实数a 的取值范围为（）A ．211,,24e e ⎛⎫--⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U B ．211,,24e e ⎡⎫--⎛⎤-∞-+∞⎪ ⎢⎥⎝⎦⎣⎭U C ．211,,24e e ⎛⎫--⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D ．211,,24e e ⎡⎫--⎛⎤-∞+∞⎪ ⎢⎥⎝⎦⎣⎭U 【答案】D 【解析】 【分析】求得导数()21xf x e ax '=--，根据()f x 在()1,2上单调，得出()0f x '≥或()0f x '≤在()1,2上恒成立，分离参数构造新函数，利用导数求得新函数的单调性与最值，即可求解。

2020年湖北省襄樊市数学高二下期末学业质量监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()e e ||--=x x f x x 的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】利用函数解析式求得()10f <,结合选项中的函数图象，利用排除法即可得结果.【详解】因为函数()e e x xf x x--=， 所以()11e e 11f --=10e e=-<，选项,,A B C 中的函数图象都不符合， 可排除选项,,A B C ，故选D.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.2．下列命题正确的是（ ）A ．若b c >，则22a b a c >B ．“1x =-”是“2340x x --=”的必要不充分条件C ．命题“p q ∨”、“p q ∧”、“p ⌝”中至少有一个为假命题D ．“若220a b +=，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则220a b +≠”【答案】C【解析】分析：根据命题条件逐一排除求解即可.详解：A. 若b c >，则22a b a c >,当a 为0时此时结论不成立，故错误；B. “1x =-”是“2340x x --=”的必要不充分条件，当x=4时2340x x --=成立，故正确结论应是充分不必要；D. “若220a b +=，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则220a b +≠”应该是若a ，b 不全为0，故错误，所以综合可得选C点睛：考查对命题的真假判定，此类题型逐一对答案进行排除即可，但注意思考的全面性不可以掉以轻心，属于易错题.3．函数()ln f x x x =-的单调递减区间为（ ）A ．(),0-∞或()1+∞， B ．()(),01-∞⋃+∞， C ．()1+∞， D ．()0,1 【答案】C【解析】【分析】 先求出函数的导函数，令导函数小于零，解不等式即可得出单调递减区间。

2020年湖北省襄樊市数学高二(下)期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知n ，*m N ∈，n m ≥，下面哪一个等式是恒成立的（ ）A ．!!mnn C m = B ．!()!A m n n n m =- C ．111m m m n n n C C C --++= D ．111m m m n n n C C C -+++=2．下面给出了四种类比推理：①由实数运算中的=⋅⋅a b b a 类比得到向量运算中的=⋅⋅a b b a ；②由实数运算中的 (⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)类比得到向量运算中的(⋅⋅⋅⋅(a b)c =a b c)；③由向量a 的性质22||=a a 类比得到复数z 的性质22||z z =； ④由向量加法的几何意义类比得到复数加法的几何意义；其中结论正确的是A ．①②B ．③④C ．②③D ．①④ 3．给出下列说法：（1）命题“0x R ∃∈，0012x x +≥”的否定形式是“x R ∀∈，12x x +>”； （2）已知()2~2,X N δ，则()205P X >=．； （3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为()4,5，则回归直线方程为$23y x =-； （4）对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大； （5）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变.其中正确说法的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．袋中有大小和形状都相同的3个白球、2个黑球，现从袋中每次取一个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率是（ ）A ．34B ．35C ．310D ．125．甲射击时命中目标的概率为0.75，乙射击时命中目标的概率为23，则甲乙两人各自射击同一目标一次，则该目标被击中的概率为（ ）A ．12B ．1C ．56D ．1112 6．函数()()ln 2f x x x =+-的单调增区间为（ ）A ．()1,+∞B ．()1,2C ．(),3-∞D ．(),1-∞7．若输入4n =，执行如图所示的程序框图，输出的s =（ ）A ．10B ．16C ．20D ．358．设,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则以下结论错误的是（ ）A ．若αβP ，m α⊂，则m βPB ．若,,m m n αβαβ⋂=P P ，则m n PC ．若,,,m n m n ααββ⊂⊂P P ，则αβPD ．若,m m αβ⊥P ，则αβ⊥9．已知随机变量X 满足(23)7,(23)16E X D X +=+=，则下列选项正确的是（ ） A ．713(),()22E X D X == B ．()2, ()4E X =D X =C ．()2, ()8E X =D X = D ．7(),()84E X D X == 10．若90件产品中有5件次品，现从中任取3件产品，则至少有一件是次品的取法种数是（ ）. A ．55128C C B ．12589C C C ．339085C C - D ．329085C C -11．设随机变量X 服从二项分布1(5,)2X B :，则函数2()4f x x x X =++存在零点的概率是（ ） A ．56 B ．45 C ．3132 D ．1212．过点()1,2P ，且与直线230x y -+=平行的直线的方程为（ ）A ．20x y -=B ．210x y -+=C ．210x y --=D ．20x y +=二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若3376S T =，则22a b =__________． 14．有4个不同的小球，全部放入4个不同的盒子内，恰好有两个盒子不放球的不同放法的总数为____________________．15．球的表面积是其大圆面积的________倍．16．命题*:0p N ∈，命题:1q Q ∈，则“p 或q ”是__________命题.(填“真”、“假”）三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为2cos sin x t y t ϕϕ=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），[0,)ϕπ∈，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 极坐标方程为4cos ρθ=.（1）若直线l 与圆C 相切，求ϕ的值；（2）已知直线l 与圆C 交于A ，B 两点，记点A 、B 相应的参数分别为1t ，2t ，当212t t =时，求AB 的长.18．已知等比数列{}n a 各项都是正数，其中3a ，23a a +，4a 成等差数列，532a =.()1求数列{}n a 的通项公式；()2记数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 19．（6分）已知函数()21f x x a x =-+-，a R ∈．()1若不等式()21f x x ≤--有解，求实数a 的取值范围； (2)当2a <时，函数()f x 的最小值为3，求实数a 的值．20．（6分）已知圆，点在抛物线上，为坐标原点，直线与圆有公共点.（1）求点横坐标的取值范围；（2）如图，当直线过圆心时，过点作抛物线的切线交轴于点，过点引直线交抛物线于两点，过点作轴的垂线分别与直线交于，求证：为中点.21．（6分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos ,1sin ,x t y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 23sin (0)ρθθρ=+>. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，若M(2,1)是AB 的中点，求直线l 的斜率. 22．（8分）我校食堂管理人员为了解学生在校月消费情况，随机抽取了 100名学生进行调查.如图是根据调査的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图.已知[350,450)，[450,550)，[550,650)金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”.（1）求m ，n 值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数.x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并判断能否有90%的把握认为“高消费群”与性别有关？高消费群 非高消费群 合计 男女10 50 合计附：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++ ()20P k k …0.10 0.05 0.010 0.005 0k K0 2.706 3.841 6.635 7.879参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．B【解析】【分析】利用排列数、组合数公式以及组合数的性质可对各选项中的等式的正误进行判断.【详解】由组合数的定义可知()!!!m n n C m n m =-，A 选项错误； 由排列数的定义可知()!!m n A n n m =-，B 选项正确； 由组合数的性质可知111r r r n n n C C C ++++=，则C 、D 选项均错误.故选B.【点睛】本题考查排列数、组合数的定义以及组合数的性质的应用，意在考查对这些公式与性质的理解应用，属于基础题.2．D【解析】【分析】根据向量数量积的定义、复数的运算法则来进行判断．【详解】①设a r 与b r 的夹角为θ，则cos a b a b θ⋅=⋅r r r r ，cos b a b a θ⋅=⋅r r r r ，则a b b a ⋅=⋅r r r r 成立；②由于向量的数量积是一个实数，设a b m ⋅=r r ，b c n ⋅=r r， 所以，()a b c mc ⋅⋅=r r r r 表示与c r 共线的向量，()a b c na ⋅⋅=r r r r 表示与a r 共线的向量， 但a r 与b r 不一定共线，()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅r r r r r r 不一定成立； ③设复数(),z x yi x y R =+∈，则222z x y =+，()()22222z x yi x y xyi =+=-+是一个复数，所以22z z =不一定成立；④由于复数在复平面内可表示的为向量，所以，由向量加法的几何意义类比可得到复数加法的几何意义，这个类比是正确的．故选D ．【点睛】本题考查数与向量、向量与复数之间的类比推理，在解这类问题时，除了考查条件的相似性之外，还要注意定义的理解，考查逻辑推理能力，属于中等题．3．B【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，直接判断（1）错；根据正态分布的特征，直接判断（2）对；根据线性回归方程的特点，判断（3）正确；根据独立性检验的基本思想，可判断（4）错；根据方差的特征，可判断(5)正确.【详解】（1）命题“0x R ∃∈，0012x x +≥”的否定形式是“x R ∀∈，12x x +<”，故（1）错； （2）因为()2~2,X N δ，即X 服从正态分布，均值为2μ=，所以()20.5P X >=；故（2）正确； （3）因为回归直线必过样本中心，又已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为()4,5，所以$5243a=-⨯=-，即所求回归直线方程为：$23y x =-；故（3）正确； （4）对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；故（4）错；（5）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差不变.故（5）错.故选：B.【点睛】本题主要考查命题真假的判定，熟记相关知识点即可，属于基础题型.4．D【解析】【分析】分别计算第一次取到白球的概率和第一次取到白球且第二次取到白球的概率，根据条件概率公式求得结果.【详解】记“第一次取到白球”为事件A ，则()35P A = 记“第一次取到白球且第二次取到白球”为事件B ，则()3235410P AB =⨯=∴在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的概率：()()()3110325P AB P B A P A === 本题正确选项：D【点睛】本题考查条件概率的求解问题，易错点是忽略抽取方式为不放回的抽取，错误的认为每次抽到白球均为等可能事件.5．D【解析】【分析】记事件:A 甲乙两人各自射击同一目标一次，该目标被击中，利用独立事件的概率乘法公式计算出事件A 的对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式可得出事件A 的概率.【详解】记事件:A 甲乙两人各自射击同一目标一次，该目标被击中， 则事件:A 甲乙两人各自射击同一目标一次，两人都未击中目标， 由独立事件的概率乘法公式得()321114312P A ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()()111111212P A P A ∴=-=-=，故选D. 【点睛】 本题考查独立事件的概率乘法公式，解题时要弄清楚各事件之间的关系，可以采用分类讨论，本题采用对立事件求解，可简化分类讨论，属于中等题.6．D【解析】【分析】先求出函数的定义域，然后求出函数的导函数，接着求当导函数大于零时，x 的取值范围，结合函数的定义域，最后写出单调增区间.【详解】函数的定义域为{}|2x x <，()()'1ln 2()2x f x x x f x x-=+-⇒=-，当'()0f x >时，函数单调递增，所以有1022x x x->⇒>-或1x <，而函数的定义域为{}|2x x <，所以当1x <时，函数单调递增，故本题选D.【点睛】本题考查了利用导数求函数单调增区间问题，解题的关系是结合定义域，正确求解导函数大于零这个不等式.7．B【解析】【分析】【详解】第一次循环，4,2s i ==，第二次循环，10,3s i ==，第三次循环，16,4s i ==，结束循环，输出16s =，故选B ．8．C【解析】试题分析：选项A 可由面面平行的性质可以得到；B 选项，可由线面平行的性质定理和判定定理，通过论证即可得到；C 选项，,,,m n m n ααββ⊂⊂P P ，缺少条件和相交，故不能证明面面平行，C 错误；D 选项，,m m αβ⊥P ，过作平面，，由线面平行的性质可得，，，.D 正确.考点：直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.9．B【解析】【分析】利用期望与方差性质求解即可．【详解】(23)2()37E X E X +=+=；(23)4()16D X D X +==．故()2E X =，()4D X =． 故选B ．【点睛】考查期望与方差的性质，考查学生的计算能力．10．C【解析】【分析】根据题意，用间接法分析：先计算从90件产品中任取3件的取法，再排除其中全部为正品的取法，分析可得答案．【详解】解：根据题意，用间接法分析：从90件产品中任取3件，有390C 种取法，其中没有次品，即全部为正品的取法有385C 种取法，则至少有一件是次品的取法有339085C C -种；故选：C ．【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题．11．C【解析】【分析】因为函数2()4f x x x X =++存在零点，所以4X ≤.5131(4)1(5)1()232P X P X ≤=-==-=. 【详解】∵函数2()4f x x x X =++存在零点，∴1640X ∆=-≥，∴4X ≤.∵X 服从1(5,)2X B :， ∴5131(4)1(5)1()232P X P X ≤=-==-=. 故选C【点睛】本题主要考查独立重复试验的概率求法以及二项分布，熟记公式是解题的关键，属于简单题.12．A【解析】【分析】求出直线230x y -+=的斜率，根据两直线平行斜率的性质，可以求出所求直线的斜率，写出点斜式方程，最后化为一般方程.【详解】因为230x y -+=的斜率为2，所以所求直线的方程的斜率也为2，因此所求直线方程为22(1)20y x x y -=-⇒-=，故本题选A.【点睛】本题考查了求过一点与已知直线平行的直线的方程.本题也可以这样求解：与直线230x y -+=平行的直线可设为20x y λ-+=，过()1,2代入方程中，0λ=，所以直线方程为20x y -=，一般来说，与直线0Ax By C ++=平行的直线可设为0Ax By λ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线可设为0Bx Ay λ-+=.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．76【解析】分析：首先根据等差数列的性质得到32323,3S a T b ==，利用分数的性质，将项的比值转化为和的比值，从而求得结果. 详解：根据题意有3222233736S a a b b T ===，所以答案是76. 点睛：该题考查的是有关等差数列的性质的问题，将两个等差数列的项的比值可以转化为其和的比值，结论为2121m m m m a S b T --=，从而求得结果. 14．84【解析】【分析】四个不同的球全部放入4个不同的盒子内，恰有两个盒子不放球的不同放法的求法，分为两步来求解，先把四个球分为两组，再取两个盒子，作全排列，由于四个球分两组有两种分法，一种是2，2，另一种是3，1，故此题分为两类来求解，再求出它们的和，即可得到答案【详解】四个球分为两组有两种分法，（2，2），（3，1） 若两组每组有两个球，不同的分法有24223C A =种，恰有两个盒子不放球的不同放法是3×A 42=36种 若两组一组为3，一组为1个球，不同分法有C 43=4种恰有两个盒子不放球的不同放法是4×A 42=48种 综上恰有两个盒子不放球的不同放法是36+48=84种即答案为84.【点睛】题考查察排列、组合的实际应用，解题的关键是理解事件“四个不同的球全部放入4个不同的盒子内，恰有两个盒子不放球”，宜先将四个球分为两组，再放入，分步求不同的放法种数15．4【解析】【分析】设球的半径为R ，可得出球的表面积和球的大圆面积，从而可得出结果.【详解】设球的半径为R ，则球的表面积为24R π，球的大圆面积为2R π，因此，球的表面积是其大圆面积的4倍，故答案为：4.【点睛】本题考查球的表面积公式的应用，考查计算能力，属于基础题. 16．真 【解析】分析：先判断p,q 真假，再判断“p 或q ”真假. 详解：因为*0N ∉，所以p 为假命题, 因为1Q ∈，所以q 为真命题, 因此“p 或q ”是真命题，点睛：若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假，需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假，再依据“或”：一真即真，“且”：一假即假，“非”：真假相反，做出判断即可. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）6π=ϕ或56π；（2．【解析】分析：（1）消元法解出直线l 的普通方程，利用直角坐标和极坐标的互化公式解出圆C 的直角坐标方程，直线l 与圆C 相切，则r d =。

2023年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学一、单选题(共45 分)1设集合A={1,2,3,4}B={1,2,3,a}且A=B则a=（）A1B2C3D4【答案】D【分析】根据集合相等直接得解【详解】因为A={1,2,3,4}B={1,2,3,a}且A=B所以a=4故选：D2设z=1−i则z2+i=（）A1B i C−i D−1【答案】C【分析】根据复数代数形式的乘法运算法则计算可得【详解】因为z=1−i所以z2+i=(1−i)2+i=12−2i+i2+i=−i故选：C3已知a⃗=(1,√3)b⃗⃗=(2,0)则向量a⃗在向量b⃗⃗上的投影向量是（）A(0,2)B(2,0)C(0,1)D(1,0)【答案】D【分析】首先求出a⃗⋅b⃗⃗|b⃗⃗|再根据投影向量的定义计算可得【详解】因为a ⃗=(1,√3)b⃗⃗=(2,0) 所以a ⃗⋅b⃗⃗=2|b ⃗⃗|=2 所以向量a ⃗在向量b ⃗⃗上的投影向量是a ⃗⃗⋅b ⃗⃗|b ⃗⃗|×b ⃗⃗|b ⃗⃗|=12b ⃗⃗=12(2,0)=(1,0) 故选：D4设abcd 都是不等于1的正数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 在同一直角坐标系中的图象如图所示则abcd 的大小关系是（ ）A a <b <c <dB b <a <d <cC c <d <a <bD d <c <b <a【答案】B【分析】 先根据指数函数的单调性确定abcd 与1的关系再由x =1时函数值的大小判断【详解】因为当底数大于1时指数函数是定义域上的增函数当底数大于0且小于1时指数函数是定义域上的减函数所以cd 大于1ab 大于0且小于1由图知：c 1>d 1 即c >d b 1<a 1即b <a所以b <a <1<d <c故选：B5已知sinα=−35且π<α<3π2则cosα=（ ） A −45B −34C 34D 45 【答案】A【分析】应用平方关系求余弦值注意角的范围确定值的符号【详解】由题设cosα=−√1−sin2α=−45故选：A6设向量a⃗=(x,2)b⃗⃗=(6,3)．若a⃗//b⃗⃗则x=（）A4B3C2D1【答案】A【分析】根据平面向量共线的坐标表示计算可得【详解】因为向量a⃗=(x,2)b⃗⃗=(6,3)且a⃗//b⃗⃗所以3x=2×6解得x=4故选：A7下列函数中定义域和值域都是R的是（）A y=x3B y=2xC y=lgxD y=tanx 【答案】A【分析】根据幂指对及正切函数的定义域、值域判断各项是否符合要求即可【详解】幂函数y=x3的定义域和值域都是R A符合；指数函数y=2x的值域为(0,+∞)B不符合；对数函数y=lgx的定义域为(0,+∞)C不符合；正切函数y=tanx的定义域为{x|x≠kπ+π2},k∈Z D不符合；故选：A8若x>y>0则下列不等式正确的是（）A|x|<|y|B x2<y2C1x <1yD x+y2<√xy【答案】C 【分析】应用不等式性质、基本不等式判断各项的正误即可【详解】由x>y>0则|x|>|y|x2>y21x <1yA、B错C对由x+y2≥√xy且x>y>0故等号取不到则x+y2>√xy D错故选：C9设x∈R则“sinx=0”是“cosx=1”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据同角三角函数平方关系结合必要不充分性的判断即可求解【详解】由sinx=0则sin2x=1−cos2x=0⇒cosx=±1故充分性不成立由cosx=1则cos2x=1−sin2x=1⇒sinx=0故必要性成立故“sinx=0”是“cosx=1”的必要不充分条件故选：B10为建设美丽中国增强民众幸福感市政府大力推进老旧小区改造工程．和谐小区计划建设一块长为10m、宽为6m的矩形花园其四周种植花卉中间种植草坪（如图所示）．如果花卉带的宽度相同且草坪的面积不超过总面积的三分之一那么花卉带的宽度可能为（）A1m B2m C3m D4m【答案】B【分析】设花卉带的宽度为x m由题设有(10−2x)(6−2x)10×6≤13且{10−2x>06−2x>0求x范围即可得答案【详解】设花卉带的宽度为x m 则(10−2x)(6−2x)10×6≤13 所以(5−x)(3−x)≤5即(x −4)2≤6可得4−√6≤x ≤4+√6又{10−2x >06−2x >0⇒x <3故4−√6≤x <3而1<4−√6<2则x 可能取值为2 故选：B11有20种不同的绿色食品每100克包含的能量（单位：kJ ）如下：110 120 120 120 123 123 140 146 150 162164 174 190 210 235 249 280 318 428 432根据以上数据估计这些食品每100克包含能量的第50百分位数是（ ）A165B164 C163 D162 【答案】C【分析】由百分位数的求法求第50百分位数【详解】由已知数据知：20×50%=10则这些食品每100克包含能量的第50百分位数是162+1642=163故选：C12“升”是我国古代发明的量粮食的一种器具升装满后沿升口刮平称为“平升”．已知某种升的形状是正四棱台上、下底面边长分别为15cm 和12cm 高为10cm （厚度不计）则该升的1平升约为（ ）（精确到0.1L,1L =1000cm 3）A 1.0LB 1.8LC 2.4LD 3.6L【答案】B【分析】 应用棱台的体积公式求1平升即可得答案【详解】由题设上底面积为S 1=225 cm 2下底面积为S 2=144 cm 2所以1平升为13×10×(225+√225×144+144)=1830 cm 3约为1.8L故选：B13如图在任意四边形ABCD 中EF 分别是ADBC 的中点且AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λEF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗则实数λ=（ ）A 32B2 C 52 D3【答案】B【分析】 先将AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗分别用AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗表示再结合题意即可得解 【详解】AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2DC⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ EF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=ED ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+CF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2EF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 又因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λEF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 所以λ=2故选：B14某对夫妇打算生育三个孩子假设生男孩、女孩是等可能的且不考虑多胞胎情形则这三个孩子中男、女孩均有的概率是（ ）A 12B 58C 34D 78 【答案】C【分析】列表法求三个孩子中男、女孩均有的概率即可【详解】三个孩子性别依次如下表：所以这三个孩子中男、女孩均有的情况有6种而一共有8种情况则这三个孩子中男、女孩均有的概率是34故选：C15为了测量一座底部不可到达的建筑物的高度复兴中学跨学科主题学习小组设计了如下测量方案：如图设AB分别为建筑物的最高点和底部．选择一条水平基线HG使得HGB三点在同一直线上在GH两点用测角仪测得A的仰角分别是α和βCD=a测角仪器的高度是h．由此可计算出建筑物的高度AB若α=75°,β=45°则此建筑物的高度是（）A√3+12a+ℎB√3+14a+ℎC√3+12a−ℎD√3+14a−ℎ【答案】A【分析】在△ACD中利用正弦定理求出AC再解Rt△ACE求出AE即可得解【详解】在△ACD中CD=a,∠ADC=45°,∠CAD=75°−45°=30°由正弦定理得ACsin∠ADC =CDsin∠CAD所以AC=a×√2212=√2asin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=√6+√24在Rt△ACE中AE=ACsin∠ACE=√2a×√6+√24=√3+12a所以AB=AE+BE=√3+12a+ℎ即此建筑物的高度是√3+12a+ℎ故选：A二、多选题(共9 分)16随着我国高水平对外开放持续提速2022年货物进出口再创新高首次突破42万亿元．根据下图判断下列说法正确的是（）A从2018年开始货物进口额逐年增大B从2018年开始货物进出口总额逐年增大C从2018年开始2020年的货物进出口总额增长率最小D从2018年开始2021年的货物进出口总额增长率最大【答案】BCD【分析】根据统计图一一分析即可【详解】由图可知2020年的货物进口额小于2019年的货物进口额故A错误；2018年货物进出口总额为14.09+16.41=30.52019年货物进出口总额为14.33+17.24=31.572020年货物进出口总额为14.29+17.93=32.222021年货物进出口总额为17.36+21.69=39.052022年货物进出口总额为18.1+23.97=42.07所以从2018年开始货物进出口总额逐年增大故B正确；其中2019年的货物进出口总额增长率为31.57−30.530.5≈0.0352020年的货物进出口总额增长率为32.22−31.5731.57≈0.0212021年的货物进出口总额增长率为39.05−32.2232.22≈0.2122022年的货物进出口总额增长率为42.07−39.0539.05≈0.077所以从2018年开始2020年的货物进出口总额增长率最小故C正确；从2018年开始2021年的货物进出口总额增长率最大故D正确；故选：BCD17十八世纪伟大的数学家欧拉引入了“倒函数”概念：若函数f(x)满足f(x)⋅f(−x)=1则称f(x)为“倒函数”．下列函数为“倒函数”的是（）A f(x)=1B f(x)=x2C f(x)=e xD f(x)=lnx【答案】AC【分析】根据所给定义一一计算可得【详解】对于A：f(x)=1则f(−x)=1所以f(x)⋅f(−x)=1故A正确；对于B：f(x)=x2则f(2)⋅f(−2)=16故B错误；对于C：f(x)=e x则f(−x)=e−x所以f(x)⋅f(−x)=e x⋅e−x=e0=1故C正确；对于D：f(x)=lnx定义域为(0,+∞)则当x∈(0,+∞)时−x∈(−∞,0)此时f(−x)无意义故D错误；故选：AC18“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现被刻在他的墓碑上当圆柱容球时圆柱的底面直径和高都等于球的直径．记球的表面积为S球体积为V球；圆柱的表面积为S圆柱体积为V圆柱则（）A S圆柱:S球=3:2B V圆柱:V球=3:2C S圆柱:V圆柱=3:2D S球:V球=3:2【答案】AB【分析】设球的半径为R根据圆柱和球的表面积公式及体积公式分别求出其表面积与体积再逐一判断即可【详解】设球的半径为R则圆柱的底面圆的半径为R高为2R则S球=4πR2,V球=43πR3S圆柱=2πR2+2πR⋅2R=6πR2,V圆柱=πR2⋅2R=2πR3所以S圆柱:S球=6πR2:4πR2=3:2故A正确；V圆柱:V球=2πR3:43πR3=3:2故B正确；S圆柱:V圆柱=6πR2:2πR3=3:R故C错误；S 球:V球=4πR2:43πR3=3:R故D错误故选：AB三、填空题(共3 分)19已知两个单位向量a⃗与b⃗⃗的夹角是60°则a⃗⋅b⃗⃗=________．【答案】12## 0.5【分析】根据数量积的定义计算可得【详解】因为两个单位向量a⃗与b⃗⃗的夹角是60°所以a⃗⋅b⃗⃗=|a⃗|⋅|b⃗⃗|cos60°=1×1×12=12故答案为：12四、双空题(共3 分)20已知mn是两条不同直线αβ是两个不同平面．给出下列四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③m⊥α；④n⊥β．以其中三个论断作为条件余下一个论断作为结论写出一个正确命题：若_________则_________．（注：用序号作答．．．．．）【答案】(1) ①③④（答案不唯一）(2) ②（答案不唯一）【分析】由m⊥nm⊥α得n//α或n⊂α分类讨论并结合n⊥β及平面的基本性质、面面垂直的判定有α⊥β可得一个正确命题【详解】由m⊥nm⊥α则n//α或n⊂α当n⊂αn⊥β则α⊥β；当n//α过n作平面交α于l则n//l而n⊥β所以l⊥β而l⊂α则α⊥β；综上m⊥nm⊥αn⊥β则α⊥β故答案为：①③④②（答案不唯一）五、填空题(共3 分)21沈括的《梦溪笔谈》是中国科技史上的杰作其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图AB⌢是以O为圆心OA为半径的圆弧C是AB的中点D在AB⌢上且CD⊥AB．记AB⌢的弧长的近似值为s“会圆术”给出了的一种计算公式：s=AB+CD 2OA．若OA=1∠AOB=90°则根据该公式计算s=_________．【答案】32## 1.5 【分析】连接OC 分别求出AB,OC,CD 再根据题中公式即可得出答案 【详解】 如图连接OC因为C 是AB 的中点 所以OC ⊥AB又CD ⊥AB 所以O,C,D 三点共线 即OD =OA =OB =1 又∠AOB =90°所以AB =√OA 2+OB 2=√2 则OC =√OA 2−AC 2=√22故CD =OD −OC =2−√22所以s =AB +CD 2OA=√2+(2−√22)2=32故答案为：32 六、双空题(共3 分)22为响应“强身健体智慧学习”倡议复兴中学开展了一次学生体质健康监测活动．已知高三（2）班有50名学生其中男生28人女生22人按男生、女生进行分层用分层随机抽样的方法从高三（2）班全体学生中抽取一个容量为25的样本．如果各层中按照比例分配样本则（1）女生应抽取的人数为_________人；（2）已知样本中男生、女生的平均体重分别为60.8kg和46.4kg．估计高三（2）班全体学生的平均体重为_________kg（精确到0.1kg）．【答案】(1) 11(2) 54.5【分析】（1）应用分层抽样等比例性质求女生应抽取的人数；（2）应用平均数的求法求样本均值即估计高三（2）班全体学生的平均体重【详解】（1）由分层抽样等比例性质知：女生应抽取的人数为25×2250=11人；（2）由（1）知：样本中男生人数为14人故样本均值为60.8×14+46.4×1125≈54.5kg故答案为：1154.5七、问答题(共6 分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)在某一个周期内的图象时列表并填入了部分数据如下表：23 将上表数据补充完整填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．并写出函数y=f(x)的解析式；24 将函数y=f(x)图象上所有点向左平行移动π6个单位长度得到函数y=g(x)的图象求使g(x)≥0成立的x的取值集合．【答案】23 数据补充见解析f(x)=2sin(x+π6)；24 {x|2kπ−π3≤x≤2kπ+2π3},k∈Z【分析】（1）根据已知数据求参数可得f(x)=2sin(x+π6)进而补充表格数据；（2）由图象平移得g(x)=2sin(x+π3)结合正弦型函数性质解不等式求解集即可【23题详解】由表格知：A=2且T2=5π3−2π3=π即T=2π故ω=2πT=1由ωπ2+φ=π2+φ=2π3⇒φ=π6则f(x)=2sin(x+π6)所以表格补充如下：【24题详解】由题设g(x)=f(x+π6)=2sin(x+π3)≥0即2kπ≤x+π3≤2kπ+π,k∈Z所以2kπ−π3≤x≤2kπ+2π3,k∈Z即{x|2kπ−π3≤x≤2kπ+2π3},k∈Z八、作图题(共6 分)如图长方体ABCD−A1B1C1D1中AB=16,BC=10,AA1=8点EF分别在A1B1C1D1上且A1E= D1F=4．25 求AF的长；26 过点EF的平面与长方体的面相交交线围成一个正方形EFGH．在答题卡对应的图中．．．．．．．．．作出点GH并说明作法及理由．【答案】25 6√526 答案见解析【分析】（1）利用勾股定理计算即可；（2）根据基本题意结合勾股定理作出这个正方形【25题详解】连接AD1因为C1D1⊥平面ADD1A1AD1⊂平面ADD1A1所以C1D1⊥AD1则AD1=√AD2+DD12=√100+64=2√41故AF=√AD12+D1F2=√164+16=6√5；【26题详解】因为A1E=D1F=4所以EF//A1D1且EF=A1D1=10过点E作EM⊥AB于M则EM=8,AM=4因为四边形EFGH为正方形所以EH=EF=10则MH=√102−82=6>4所以点H在线段MB上且AH=10在AB,DC上分别取H,G使得AH=DG=10连接EH,FG,GH 此时的四边形EFGH即为题中所要画的图形由上可知四边形EFGH为棱形因为A1D1⊥平面ABB1A1所以EF⊥平面ABB1A1又EH⊂平面ABB1A1所以EF⊥EH所以四边形EFGH为正方形九、证明题(共6 分)已知函数f(x)=pa x+qa−x(a>0,a≠1,且p,q∈R)．27 当|p|=|q|时讨论函数f(x)的奇偶性；28 从①②两组条件中选取一组作为已知条件证明：f(x)为增函数．①a>1,p>0,q<0；②0<a<1,p<0,q>0．注：如果选择两组条件分别解答按第一个解答计分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．【答案】27 答案见解析；28 所选条件及证明见解析【分析】（1）讨论p=q、p=−q≠0利用奇偶性定义证明；)再根据所选的条件判断（2）应用单调性定义令x1>x2f(x1)−f(x2)=(a x1−a x2)(p−qa x1a x2f(x1),f(x2)大小即可证【27题详解】由f(x)定义域为R当p=q则f(x)=p(a x+a−x)而f(−x)=p(a−x+a x)=f(x)即f(x)为偶函数；当p=−q则f(x)=p(a x−a−x)而f(−x)=p(a−x−a x)=−p(a x−a−x)=−f(x)即f(x)为奇函数；【28题详解】)令x1>x2则f(x1)−f(x2)=p(a x1−a x2)+q(a−x1−a−x2)=(a x1−a x2)(p−qa x1a x2>0选①a>1,p>0,q<0则a x1>a x2>0所以a x1−a x2>0p−qa x1a x2即f(x1)>f(x2)所以f(x)为增函数得证；<0选②0<a<1,p<0,q>0则a x2>a x1>0所以a x1−a x2<0p−qa x1a x2即f(x1)>f(x2)所以f(x)为增函数得证；。

湖北省武汉市2020年高二下数学期末学业质量监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．从不同号码的双鞋中任取只，其中恰好有双的取法种数为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】此题考查的是排列组合思路：先从五双鞋中选出一双，有种。

再从剩余的四双中选两只但是不能为一双，先从四双中选两双有中，再从两双中选不同的两只有4种。

答案 A点评：选的时候一定注意不要重复和遗漏。

2．已知定义在R 上的偶函数()1cos x kf x ex --=-（其中e 为自然对数的底数），记()20.3a f =，()0.32b f =，()3log 6c f k =+，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【答案】A 【解析】 【分析】先根据函数奇偶性，求出1k =-，得到()cos xf x e x =-，再由指数函数单调性，以及余弦函数单调性，得到()cos xf x e x =-在()0,π上单调递增，进而可得出结果.【详解】 因为()1cos x kf x ex --=-是定义在R 上的偶函数，所以()()1f x f -=，即2cos1cos(1)k ke e ----=--，即2k k e e +=，所以2k k =+，解得：1k =-，所以()cos xf x e x =-，当0x >时，()cos xf x e x =-，因为xy e =是单调递增函数，cos y x =在()0,π上单调递减，所以()cos xf x e x =-在()0,π上单调递增，又20.33300.30.09log 61log 212π<=<-=<<<，所以()()()3230.0.3log621f f f <-<，即a c b <<.故选：A. 【点睛】本题主要考查由函数单调比较大小，由函数奇偶性求参数，熟记函数单调性与奇偶性即可，属于常考题型. 3．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算210K =，则下列选项正确的是A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】根据附表可得2107.879K =>,所以有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响，选A4．欧拉公式cos sin ix e x i x =+(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，3i e π表示的复数的虚部为（ ）A ．12B ．12i C D ．2【答案】C 【解析】 【分析】先由题意得到3cos sin33ie i πππ=+，进而可求出结果.【详解】 由题意可得：313cossin 332πππ=+=+i e i i ，所以虚部为3. 故选C 【点睛】本题主要考查复数的应用，熟记复数的概念即可，属于常考题型. 5．已知函数()2f x x ln x =-，则函数()y f x =的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和特殊值进行排除可得结果． 【详解】由题意()()2ln f x x x f x -=--=，所以函数()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除D ； 又()211ln110f =-=>，所以排除B,C ．故选A ． 【点睛】已知函数的解析式判断图象的大体形状时，可根据函数的奇偶性，判断图象的对称性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反，这是判断图象时常用的方法之一． 6．已知随机变量X 的分布如下表所示，则()E X 等于（ ）X 1-1P0.50.2pA ．0B ．－0.2C ．－1D ．－0.3【答案】B 【解析】 【分析】先根据题目条件求出p 值，再由离散型随机变量的期望公式得到答案。

2023年湖北省普通高中学业水平合格性考试（模拟）数学一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知复数z 满足()1i 3i z -=-，则z =（）AB C ．D 2．设集合(){}2A log 12x x =+>，集合{}23100B x x x =--<，则A B ⋂=（）A ．{}23x x -<<B ．{}3x x >C ．{}25x x -<<D ．{}35x x <<3．已知平面向量()2,1a =-r ，()3,1b x x =+ ，若a b ⊥，则x 的值为（）A ．13-B ．15C ．32D ．254．某校高一（6）班有男生30人，女生20人，现采用分层随机抽样的方法从该班级抽取10人参加“楚天杯”有奖知识竞答，且这10人中要选取2人担任领队，则2名领队中至少有1名男生的概率为（）A ．715B ．45C ．1315D ．9105．下列函数的图象关于y 轴对称的是（）A ．2e e ()x xf x x -+=B ．e e ()2x xf x --=C ．()2()ln 2f x x x =+D ．1()1x f x x +=-6．已知正实数x 、y 满足22x y +=，则12x y+的取值可能为（）A ．72B ．113C ．165D ．2147．在正三棱柱111ABC A B C -中，122AA AB ==，点M 为棱1CC 的中点，则异面直线AB 与1A M所成角的余弦值为（）A B C D 8．设a 、R b ∈，记p ：0a b -<，q ：ln ln a b <，则p 是q 的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数()1f x -的定义域为[]2,1-，则函数()21f x +的定义域为（）A ．12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．[]3,0-C ．3,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]2,1-10．方程e 230x x --=的正实数根所在的区间为（）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2,311．已知tan 2θ=-，则sin 2cos 2θθ-的值为（）A ．34-B ．23C ．25D ．15-12．在矩形ABCD 中，点E 为边AD 的中点，点M 为对角线AC 上一点，且2AM MC =，记AE p = ，CD q = ，则AM =（）A ．4233p q--B ．4233p q+C ．4233p q-D ．4233p q-+13．某高校数学与应用数学专业计划招收190名本科新生，现有1000名考生达到该校最低录取分数线且均填报了该校数学与应用数学专业，该高校对这1000名考生组织了一次数学学科能力测试（满分100分），按成绩由高到低择优录取，并绘制了考试成绩的频率分布直方图，据此可以估计该校数学与应用数学专业的最低录取分数线为（）A ．86分B ．87分C ．88分D ．90分14．现有甲、乙两个不透明的盒子，里面均装有大小、质地一样的红球和白球各1个，从两个盒子各取出1个球，记事件A 为“从甲盒子中取出红球”，记事件B 为“从乙盒子中取出红球”，记事件C 为“从两个盒子中取出的球颜色相同”．下列说法正确的是（）A ．A 与B ，A 与C 均相互独立B ．A 与B 相互独立，A 与C 互斥C ．A 与B ，A 与C 均互斥D ．A 与B 互斥，A 与C 相互独立15．将函数()sin(2)2f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图像向右平移3π个单位长度后得到的函数图像关于y 轴对称，则实数ϕ的值为（）A ．3πB ．4πC ．512πD ．6π二、选择题（本题共3小题，每小题3分，共9分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得3分，部分选对得2分，有选错的得0分．）16．下列函数，在区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增的是（）A ．()()ln 1f x x =+B ．25()21x f x x -=-C ．()2xf x e =-D ．22()2xx f x --=17．设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列说法错误的是（）A ．若a b ⊥r r，b α⊂，则a α⊥B ．若αβ∥，b β⊂，则b α∥C ．若a α⊂，b β⊂，αβ⊥，则a b⊥r rD ．若a α⊥，a β∥，则αβ⊥18．已知函数122()log (2)log (4)f x x x =-+-+，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的定义域为(]4,2-B ．函数()1f x -为偶函数C ．函数()f x 的单调递增区间为(]1,2-D ．函数()f x 的图像关于直线=1x -对称二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分．）19．函数2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递减区间为________.20．在三棱锥-P ABC 中，侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，2PA =，PB =3PC =，则该三棱锥的外接球的表面积为_________．21．已知平面内两个向量()2,1a k = ，1,2b k ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若a 与b的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是_________．22．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，向上的点数依次记为m 、n ，则使得函数2()3f x x mx n =-+-在区间()2,+∞上不单调且该函数与y 轴交点的纵坐标大于1的概率为_________．四、解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分．）23．已知平面向量212cos ,sin 2a θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，),2b θ= ，记函数()f a b m θ=⋅+．(1)若14f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求m 的值；(2)求函数()f θ的对称轴方程、单调递减区间和最小值．24．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA PB =，平面PAB ⊥平面ABCD ，点M 为CD 中点．(1)证明：AB PM ⊥；(2)若2PA AD AB ==，四棱锥P ABCD -PC 与平面ABCD 所成角的余弦值．25．已知函数()12e xf x x x +=+．(1)用定义法证明：函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增；(2)判断函数()f x 在(),0∞-上的零点个数（不需要证明）．1．B 【分析】根据复数代数形式的除法法则化简复数z ，再根据复数模的计算公式计算可得；【详解】解：因为()1i 3i z -=-，所以()()()()23i 1i 3i 33i i i 2i 1i 1i 1i 2z -+-+--====+--+，所以z ==；故选：B 2．D 【分析】先解出集合A,B,再求交集即可.【详解】解：因为(){}2A log 12x x =+>，由合2log (1)2x +>，解得3x >，所以A {|3}x x =>，又因为{}2B 3100x x x =--<，由23100x x --<，解得25x -<<，所以B {|25}x x =-<<，所以A B={|3}{|-2<<5}={|3<<5}x x x x x x ⋂>⋂.故选：D.3．B 【分析】依题意可得0a b ⋅=，根据数量积的坐标表示得到方程，解得即可；【详解】解：因为()2,1a =-r ，()3,1b x x =+ 且a b ⊥，所以()()23110a b x x ⋅=-⨯+⨯+= ，解得15x =；故选：B 4．C先按照分层抽样的原理求出男生和女生的人数，再计算领队全为女生的概率，再根据对立事件求解即可.【详解】根据分层抽样原理，男生人数为3010650⨯=，女生人数为4，领队全为女生的概率24210C 2C 15P ==，“至少有1名男生”与“全为女生”是对立事件，∴至少有1名男生的概率为113115P P =-=，故选：C.5．A 【分析】根据偶函数的定义判断即可；【详解】解：对于A ：2e e ()x xf x x -+=定义域为{}|0x x ≠，所以()22e e e e ()()x x x x f x f x x x --++-===-，故2e e ()x xf x x-+=为偶函数，函数图象关于y 轴对称，故A 正确；对于B ：e e ()2x x f x --=定义域为R ，且e ()()e e 2e 2x x x xf x f x -----==-=-，故e e ()2x xf x --=为奇函数，函数图象关于原点对称，故B 错误；对于C ：()2()ln 2f x x x =+定义域为()(),20,-∞-⋃+∞，定义域不关于原点对称，故函数()2()ln 2f x x x =+是非奇非偶函数，故C 错误；对于D ：1()1x f x x +=-定义域为{}|1x x ≠，定义域不关于原点对称，故函数1()1x f x x +=-是非奇非偶函数，故D 错误；故选：A 6．D 【分析】利用基本不等式求得12x y+的最小值判断.解：因为正实数x 、y 满足22x y +=，所以()121122252122+⎛⎫⎛⎫+=+++ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭y x x y x y y y x x，95212⎛+= ⎝≥，当且仅当22y x x y =，即23x y ==时，等号成立，故选：D 7．C 【分析】作出异面直线AB 与1A M 所成角，利用余弦定理求得该角的余弦值.【详解】根据正三棱柱的性质可知11//AB A B ，所以11B A M ∠是异面直线AB 与1A M 所成角，设11B A M α∠=，在三角形11A B M中，11111,A B A M B M ==由余弦定理得cos 4α=.故选：C8．B 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：当0,0a b <<时，ln ,ln a b 无意义，故不充分；当ln ln a b <时，因为ln y x =在()0,∞+上递增，则a b <，即0a b -<，故必要，故选：B 9．A 【分析】根据抽象函数定义域计算规则计算可得；【详解】解：因为函数()1f x -的定义域为[]2,1-，即21x -≤≤，所以310x -≤-≤，令3210x -≤+≤，解得122x -≤≤-，所以函数()21f x +的定义域为12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；故选：A 10．C 【分析】根据零点存在定理判断即可.解：令()e 23(0)x f x x x =-->,(1)e 50f =-<,22(2)e 7 2.777.2970.290f =-≈-=-=>,所以函数的零点在（1,2）内,又因为323(e 602f =-=，所以函数的零点在3,22⎛⎫⎪⎝⎭内.故选：C.11．D 【分析】利用同角关系计算即可.【详解】222sin 1tan 2,sin 2cos ,sin cos 1,cos cos 5θθθθθθθθ==-∴=-+== ，()221sin 2cos 22sin cos 2cos 16cos 15θθθθθθ-=--=-+=-；故选：D.12．C 【分析】作图，根据图中的几何关系，将,AE CD作为基底即可.【详解】如图：()()22242233333AM AC AD DC AE CD p q ==+=-=- ，13．B 【分析】根据录取率为0.19，利用频率分布直方图求解.【详解】解：设该校数学与应用数学专业的最低录取分数线为x ，由题意得()900.030.01100.19x -⨯+⨯=，解得87x =，故选：B 14．A 【分析】根据相互独立事件与互斥事件的概念判断即可；【详解】解：因为事件A 为“从甲盒子中取出红球”，事件B 为“从乙盒子中取出红球”，所以事件A 与B 相互独立，且()12P A =，()12P B =，事件A 与事件B 可以同时发生，故事件A 与事件B 不互斥，又()111111122222P C ⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()111224P AC =⨯=，即()()()P AC P A P C =⋅，所以事件A 与事件C 相互独立，故选：A 15．D 【分析】根据给定条件，求出平移后的解析式，再利用正余弦函数的性质列式作答即可.【详解】依题意，平移后所得图象对应的函数解析式是：2()sin[2()]sin[2()]33f x x x ππϕϕ=-+=+-，因函数()f x 的图象关于y 轴对称，即函数()f x 是偶函数，因此，2,Z 32k k ππϕπ-=-∈，即,Z 6k k πϕπ=+∈，而2πϕ<，所以6πϕ=.故选：D.16．ABD【分析】根据基本初等函数和其复合函数的性质，逐项分析即可.【详解】对于A ，()()ln 1f x x =+，()()()ln 1,0ln 1,10x x f x x x ⎧+≥⎪∴=⎨-+-<<⎪⎩，当12x >时是增函数；对于B ，()25412121x f x x x --==+--，由反比例函数的性质可知，当12x >时是增函数；对于C ，()e 2x f x =-，由于12e 2<，当1,ln 22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2e x f x =-是减函数；对于D ，()222x x f x --=，二次函数2y x x 2=--的对称轴是12，当12x >时，2y x x 2=--是增函数，所以()f x 也是增函数；故选：ABD.17．AC【分析】根据线面、面面关系的性质定理与判定定理一一判断即可；【详解】解：对于A ：若a b ⊥r r ，b α⊂，则a α⊥或//a α或a α⊂或a 与α相交不垂直，故A 错误；对于B ：若//αβ，b β⊂，根据面面平行的性质可得b α∥，故B 正确；对于C ：若a α⊂，b β⊂，αβ⊥，则a b ⊥r r 或//a b 或a 与b 相交或a 与b 异面，故C 错误；对于D ：若a α⊥，//a β，根据面面垂直的判定定理可得αβ⊥，故D 正确；故选：AC18．BD【分析】先求出()f x 的定义域，再对()f x 化简，根据对数函数和其复合函数的性质逐项分析即可.【详解】()f x 的定义域为：2040x x -+>⎧⎨+>⎩，()4,2x ∴∈-，()()()()()12222log 2log 4log 2log 4f x x x x x =-+-+=--+-+=()22log 28x x ---+；对于A ，错误；对于B ，()()()221log 3log 3f x x x -=--+-+，()()()()221log 3log 31f x x x f x --=-+--+=-是偶函数，正确；对于C ，2x =不在定义域内，错误；对于D ，二次函数228y x x =--+的对称轴是x =-1，∴()f x 是关于x =-1对称的，正确；故选：BD.19．511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【分析】由题意利用正弦函数的单调性，求得该函数的单调减区间．【详解】对于函数2sin(2)3y x π=-，令3222232k x k πππππ+-+，Z k ∈,求得5111212k x k ππππ++，可得它的单调递减区间为5[12k ππ+，11]12k ππ+，Z k ∈，故答案为5[12k ππ+，1112k ππ+，Z k ∈．【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．20．16π【分析】将三棱锥-P ABC 补全为长方体，长方体的外接球就是所求的外接球，长方体的对角线就是外接球直径，计算出半径后可得表面积．【详解】将三棱锥-P ABC 补全为长方体，则长方体的外接球就是所求的外接球，设球半径为R ，则()22222222422316R R PA PB PC ==++=++=，所以球的表面积为24π16πS R ==．故选答案为：16π．21．()(),11,0-∞--U 【分析】当两向量的夹角是钝角时，其数量积是负数，但必须排除两向量反向（夹角为180︒）.【详解】由题意，20,02k a b k k =+<∴< ，当,a b 反向时，有21012k k =<，解得1k =-，∴k 的取值范围是()(),11,0-∞--U ；故答案为：()(),11,0-∞--U .22．19【分析】先求出满足题意的m ，n 的范围，再求出在所求范围内的数对(),m n 的概率即可.【详解】对于函数()23f x x mx n =-+-，欲使得在()2,+∞上不单调，并且与y 轴交点的纵坐标大于1，则必须3122n m ->⎧⎪⎨>⎪⎩，即4,4m n >>，由于{},1,2,3,4,5,6m n ∈，数对(),m n 共有36对，即基本事件为36，满足4,4m n >>的有()()()()5,5,5,6,6,5,6,64种，∴4,4m n >>的概率为41369=；故答案为：19.23．(1)-1(2)对称轴为()26k k Z πθπ=+∈，单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭，最小值为-2+m 【分析】（1）根据数量积坐标运算法则计算出()f θ的解析式，将4πθ=代入即可；（2）用整体代入法直接对()f θ分析即可.(1)21cos 2sin 2cos 22sin 226a b πθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()2sin 26f m πθθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，将4πθ=代入，2sin 1426f m πππ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，m =-1；(2)由于()2sin 26f m πθθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，对称轴为()2,6226k k k Z πππθπθπ+=+=+∈，当322,2622k k πππθππ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭()k Z ∈时，()f θ单调递减，∴单调递减区间为2,63k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭()k Z ∈，最小值为-2+m ；综上，m =-1，对称轴为26k πθπ=+()k Z ∈，单调递减区间为2,63k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭()k Z ∈，最小值为-2+m.24．(1)证明见解析8【分析】（1）取AB 的中点O ，连接OP 、OM ，即可得到AB PO ⊥、OM AB ⊥，从而得到AB ⊥平面POM ，即可得证；（2）令AB a =，即可求出ABCD S ，PO ，再根据面面垂直的性质得到PO ⊥平面ABCD ，连接OC ，可得PCO ∠即为直线PC 与平面ABCD 所成角，根据锥体的体积公式求出a ，即可求出cos PCO ∠，从而得解；（1）证明：取AB 的中点O ，连接OP 、OM ，因为PA PB =，所以AB PO ⊥，在矩形ABCD 中，点M 为CD 中点，所以//OM BC ，所以OM AB ⊥，又PO OM O = ，,PO OM ⊂平面POM ，所以AB ⊥平面POM ，PM ⊂平面POM ，所以AB PM ⊥；（2）解：令AB a =，则22PA AD AB a ===，所以22ABCD S a =，22152a PO PA OA =-=，因为AB PO ⊥，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂平面PAB ，所以PO ⊥平面ABCD ，所以211152333152P ABCD ABCD V O a S P a -=⋅==⨯⨯，解得1a =，所以152PO =连接OC ，因为PO ⊥平面ABCD ，所以PCO ∠即为直线PC 与平面ABCD 所成角，又OC ==PC ==在Rt POC △中，cosOC PCO PC ∠==，即直线PC 与平面ABCD 所成角的余弦值为8；25．(1)证明见解析(2)1个【分析】（1）利用定义法证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（2）依题意可得()()1e x f x x x +=+，令()1e x x x g +=+，(),0x ∈-∞，利用函数的单调性及特殊点的函数值判断即可；(1)证明：设()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x <，则()()121211211222e e x xf x f x x x x x ++--=+-()()()2121221121e e x x x x x x x x x -+-+-+=因为120x x <<，所以120x x -<，120x x +>，所以12e 1x x -<，21e e x +>，所以1211e x x x x -<，所以1212120e x x x x x x -<--<，所以()212112e e0x x x x x -+-<，()()12120x x x x -+<，所以()()()2121212121e 0e x x x x x x x x x -+-+-<+，即()()120f x f x -<，所以函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增；(2)解：因为()()121e e x x f x x x x x ++=+=+，(),0x ∈-∞，令()1e x x x g +=+，(),0x ∈-∞，因为1e x y +=与y x =在(),0∞-上单调递增，所以()1e x x x g +=+在(),0∞-上单调递增，又()0e g =，()111e 10g --=-=，所以当1x <-时()0g x <，当10x -<<时()0g x >，所以当1x <-时()0f x >，当10x -<<时()0f x <，()10f -=，所以()f x 在(),0∞-上有且仅有1个零点；。

2019-2020学年湖北省鄂州市数学高二(下)期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知()f x '是函数()f x 的导函数，且满足1(1)f e =，32351()()x x x x f x f x e '-+-+=，若2()x e f x m x -=有两个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(,0]-∞B ．(,0)-∞C ．[0,)+∞D ．(0,)+∞2．已知命题:p 椭圆2241x y +=上存在点M 到直线:2620l x y +-=的距离为1，命题:q 椭圆2222754x y +=与双曲线22916144x y -=有相同的焦点，则下列命题为真命题的是（ ） A ．()p q ∧⌝ B ．()p q ⌝∧ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．p q ∧ 3．若2()24ln f x x x x =--，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0)(2,)-+∞UC ．(1,)+∞D ．(2,)+∞4．已知函数()sin()(0,0,0)2f x A wx A πϕωϕ=+>><<的部分图象如图所示，则3()4f π=（ ）A ．2B ．12- C ．1- D 2 5．已知函数()()2ln 2f x a x x a x =+-+恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()1,0-B ．()1,-+∞C ．()2,0-D ．()2,1--6．将函数()()cos f x x ϕ=+图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵 坐标不变），再把得到的图像向左平移6π个单位长度，所得函数图像关于2x π=对称，则tan ϕ=（ ） A ．33-B ．3-C ．33± D ．37．如图所示是求135799S =+++++L 的程序流程图，其中①应为（ ）A ．97?A ≤B ．99?A <C ．99?A ≤D ．101?A ≤8．当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x xlnx =，则下列大小关系正确的是（ ）A ．()()()22f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦B ．()()()22f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦C ．()()()22f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦D ．()()()22f x f x f x ⎡⎤<<⎣⎦ 9．已知i 为虚数单位，复数z 满足11i z i +=-，则复z =（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -10．已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ且P （X ≤4）=0.88，则P （0<X <4）=（ ） A ．0.88 B ．0.76 C ．0.24 D ．0.1211．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球数的标准差为0.3，下列说法中，正确的个数为（ ） ①甲队的进球技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏.A ．1B ．2C ．3D ．412．若12i +是关于x 的实系数一元二次方程20x bx c ++=的一个根，则（ ）A ．2b =，5c =B ．2b =-，5c =C ．2b =-，5c =-D ．2b =，1c =-二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知复数2(12i)z =-,其中i 是虚数单位,则||z 的值是____________.14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3577,13,a a S ===_____；15．给出下列演绎推理：“自然数是整数， ，所以2是整数”，如果这是推理是正确的，则其中横线部分应填写___________．16．某保险公司新开设了一项保险业务.规定该份保单任一年内如果事件E 发生，则该公司要赔偿a 元，假若在一年内E 发生的概率为p ，为保证公司收益不低于a 的110，公司应要求该份保单的顾客缴纳的保险金最少为____________元. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*12N n n n a S n S =+-∈． (Ⅰ)求1S ，2S ，3S ，4S 的值；(Ⅱ)猜想数列{}n S 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．18．已知函数()3232f x x ax a =-+，0a ≥. （Ⅰ）当2a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）当[]1,1x ∈-时，讨论函数()f x 的零点个数.19．（6分）以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立的极坐标系中，直线；在平面直角坐标系中，曲线（为参数，）.（1）求直线的直角坐标方程和曲线的极坐标方程；（2）曲线的极坐标方程为，且曲线分别交，于，两点，若，求的值.20．（6分）已知函数()331x f x x =-． （1）求函数()f x 在1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭上的单调区间；（2）证明：当1x >时,()3144f x x >-． 21．（6分）已知函数()()321233f x x x x b b R =-++∈． ()1当0b =时，求()f x 在[]1,4-上的值域；()2若方程()2f x =有三个不同的解，求b 的取值范围．22．（8分）为了了解甲、乙两校学生自主招生通过情况，从甲校抽取60人，从乙校抽取50人进行分析。

同步测试一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的函数是（ ） A ．3y x =B ．21y x =-+C ．2y x =-D ．1y x =+2．通过随机询问111名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由2222()110(40302030),7.8()()()()60506050n adbc K K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯算得 附表：参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过1．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过1．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 3．圆2cos 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭的圆心为( ) A ．1,4π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．31,4π⎛⎫⎪⎝⎭C ．51,4π⎛⎫⎪⎝⎭D ．71,4π⎛⎫⎪⎝⎭A ．()()12ef f <B ．()()12ef f >C ．()()21ef f >D ．()()21ef f <5．已知函数2(),x f x e x =+且(32)(1)f a f a ->-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．13,,24⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．130,,24⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 作垂直于实轴的弦PQ ，若12PF Q π∠=，则C 的离心率e 为（ ）A ．21-B ．2C ．21+D ．22+7．已知三棱锥D ABC -外接球的表面积为12π，ABC ∆是边长为1的等边三角形，且三棱锥D ABC -的外接球的球心O 恰好是CD 的中点，则三棱锥D ABC -的体积为（ ） A ．23B ．23C ．33D ．6 8．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()f x f x '<对任意的x ∈R 恒成立，则下列不等式均成立的是（ ）A ．()()()()2ln 220,20f f f e f <<B ．()()()()2ln 220,20f f f e f >>C ．()()()()2ln 220,20f f f e f <>D ．()()()()2ln 220,20f f f e f ><9．某次运动会中，主委会将甲、乙、丙、丁四名志愿者安排到三个不同比赛项目中担任服务工作，每个项目至少1人，若甲、乙两人不能到同一个项目，则不同的安排方式有（ ） A ．24种B ．30种C ．36种D ．72种10．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A ．21种B ．315种C ．153种D ．143种 11．复数3223ii+=- A ．1B ．1-C ．iD ．i -12．已知{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3=6，S 3=12，则公差d 等于（ ） A ．1B ．C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题13．设1,,,,a b S a b c d b c ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈=⎨⎬ ⎪R ，2,,,,0a b S a b c d a d b c ⎧⎫⎛⎫⎪⎪=∈==+=⎨⎬ ⎪R .已知矩阵2468⎛⎫=+ ⎪⎝⎭A B ，其中1∈A S ，2∈B S ，那么B=________. 14．已知函数()22ln ,03,02x xx x f x x x x ->⎧⎪=⎨--≤⎪⎩，若方程()10f x kx +-=有四个不相等的实根，则实数k 的取值范围是______. 15．已知9()2ax x-的展开式中，3x 的系数为94，则常数a 的值为 ．16．复数2ii-的虚部是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

湖北省武汉市2020年高二(下)数学期末学业质量监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．己知函数()f x =若3(1og )2f a =,则a =( ) A ．13B ．14 C ．12D ．2【答案】D 【解析】分析：首先将自变量代入函数解析式，利用指对式的运算性质，得到关于参数a 的等量关系式，即可求得结果.详解：根据题意有3(log )2f a ===， 解得2a =，故选D.点睛：该题考查的是已知函数值求自变量的问题，在求解的过程中，需要对指数式和对数式的运算性质了如指掌.2．设集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{﹣4，﹣3，1}，则A∩B ＝（ ） A ．{1，﹣3} B ．{1，﹣4} C ．{3} D ．{1}【答案】D 【解析】 【分析】利用集合的交集的运算，即可求解． 【详解】由题意，集合={1,2,3,4},A {}4,3,1B =--，所以{1}A B ⋂=，故选D ． 【点睛】本题主要考查了集合交集的运算，其中解答中熟记集合的交集运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．32()32f x ax x =++,若4)1(=-'f ,则a 的值等于（）A ．319B ．316C ．313D ．310【答案】D 【解析】试题分析：()()'2'103613643f x ax x f a a =+∴-=-=∴= 考点：函数求导数4．设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，且(3)0g -=，则不等式()()0f x g x <的解集是（ ）A ．(3,0)(3,)-⋃+∞B ．(3,0)(0,3)-⋃C ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞D ．(,3)(0,3)-∞-U【答案】D 【解析】 【分析】先构造函数()()()F x f x g x =，再利用导函数研究函数的增减性，结合()f x ，()g x 的奇偶性判断函数()F x 的奇偶性，再结合已知可得(3)0F -=，(3)0F =，即可得解.【详解】解：设()()()F x f x g x =,则'''()()()()()F x f x g x f x g x =+， 由当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>， 则函数()y F x =在(),0-∞为增函数，又()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， 则()y F x =在R 上为奇函数， 则函数()y F x =在()0,∞+为增函数， 又(3)0g -=， 所以(3)0F -=， 则(3)0F =，则()0F x <的解集为(,3)(0,3)-∞-U ，即不等式()()0f x g x <的解集是(,3)(0,3)-∞-U ， 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性及单调性，重点考查了导数的应用，属中档题. 5．若0n >，则9n n+的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】 【分析】利用均值不等式求解即可． 【详解】∵96n n+≥=（当且仅当n ＝3时等号成立） 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了均值不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．6．某学习小组有3名男生和2名女生，现从该小组中先后随机抽取两名同学进行成果展示，则在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率为（ ） A ．35B ．310C ．12D ．25【答案】C 【解析】 【分析】设事件A 表示“抽到1个同学是男生”，事件B 表示“抽到的第2个同学也是男生”，则()35P A =，()3235410P AB =⨯=，由此利用条件概率计算公式能求出在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率. 【详解】设事件A 表示“抽到1个同学是男生”，事件B 表示“抽到的第2个同学也是男生”，则()35P A =，()3235410P AB =⨯=， 则在抽到第1个同学是男生的条件下，抽到第2个同学也是男生的概率()()()3110325P AB P B A P A ===.故选：C 【点睛】本题考查了条件概率的求法、解题的关键是理解题干，并能分析出问题，属于基础题. 7．设数列{}n a 是单调递减的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为28，则1a =（） A.1B.4C.7D.1或7 【答案】C 【解析】试题分析：123212331228a a a a a a a ++==⎧⎨⋅⋅=⎩，所以131387a a a a +=⎧⎨⋅=⎩，因为递减数列，所以0d <，解得1371a a =⎧⎨=⎩。