等比数列及其性质练习

考点1等比数列的通项与前n 项和题型1已知等比数列的某些项，求某项【例1】已知{}n a 为等比数列，162,262==a a ，则=10a题型2 已知前n 项和n S 及其某项，求项数.【例2】⑴已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，93=n S ，48=n a ，公比2=q ，则项数=n .⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数. 题型3 求等比数列前n 项和【例3】等比数列Λ,8,4,2,1中从第5项到第10项的和.【例4】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，13233331-+++++=n n a Λ，求n S【例5】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，n n n a 3)12(⋅-=，求n S .【新题导练】1.已知{}n a 为等比数列，6,3876321=++=++a a a a a a ，求131211a a a ++的值.2.如果将100,50,20依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为 .3.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，364,243,362===n S a a ，则=n ； 4.已知等比数列{}n a 中，21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是 .5.已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，0>n a ，80=n S ，65602=n S ，前n 项中的数值最大的项为54，求100S .考点2 证明数列是等比数列【例6】已知数列{}n a 和{}n b 满足：λ=1a ，4321-+=+n a a n n ，)213()1(+--=n a b n n n ，其中λ为实数，+∈N n . ⑴ 对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列；⑵ 试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论.【新题导练】6.已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．证明：数列1{1}n a -是等比数列；考点3 等比数列的性质【例7】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 . 【新题导练】7.已知等比数列{}n a 中，36)2(,04624=++>a a a a a n ，则=+53a a .考点4 等比数列与其它知识的综合 【例8】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()21n n n ba b S -=- ⑴证明：当2b =时，{}12n n a n --⋅是等比数列； ⑵求{}n a 的通项公式【新题导练】8.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N .⑴ 设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；⑵ 若)(1++∈≥N n a a n n ，求a 的取值范围．7.等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1(1)3n n S a n N *=-∈； ⑴求1a ，2a 的值；⑵证明数列{}n a 是等比数列，并求n S ．。

二、等比数列1.等比数列的判断方法：定义法1(n na q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠或11n n nn a a a a +-=(2)n ≥。

例1．“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为21的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b 2=ac ”；“a,b,c 三数成等差数列的充要条件是2b=a+c ”，以上四个命题中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：四个命题中只有最后一个是真命题。

命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列；命题2中可知a n+1=a n ×21，a n+1<a n 未必成立，当首项a 1<0时，a n <0，则21a n >a n ，即a n+1>a n ，此时该数列为递增数列；命题3中，若a=b=0，c ∈R ，此时有ac b =2，但数列a,b,c 不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为b=ac ，则成为不必要也不充分条件。

点评：该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论，为此我们要注意一些有关等差数列、等比数列的重要结论。

（1）一个等比数列{n a }共有21n +项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1n a +为____；（2）数列{}n a 中，n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1，若n n n a a b 21-=+ ，求证：数列｛n b ｝是等比数列。

2.等比数列的通项：11n na a q-=或n m n m a a q -=。

3.等比数列的前n 和：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，1(1)1nn a q S q-=-11n a a q q-=-。

例2．一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列。

第四章数列4.3等比数列4.3.1等比数列的概念第2课时等比数列的性质及应用课后篇巩固提升基础达标练1.在等比数列{a n}中,a2=27,q=-1,则a5=()3A.-3B.3C.-1D.1,{a n}中,a2=27,q=-13则a5=a2·q3=-1,故选C.2.已知等比数列{a n}中,a3=4,a7=9,则a5=()A.6B.-6C.6.5D.±6:奇数项的符号相同,∴a5=√a3a7=√4×9=6.3.已知公比不为1的等比数列{a n}满足a15a5+a14a6=20,若a m2=10,则m=()A.9B.10C.11D.12,数列{a n}是等比数列,且a15a5+a14a6=2a102=20,所以a102=10,所以m=10.故选B.4.已知等比数列{a n}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10=()A.12B.10C.1+log35D.2+log35{a n}是等比数列,所以a5a6=a4a7=9,于是log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2…a10)=log3(a5a6)5=log395=10.5.在等比数列{a n}中,若a7=-2,则该数列的前13项的乘积等于()A.-213B.213C.26D.-26{a n}是等比数列,所以a1a13=a2a12=a3a11=a4a10=a5a9=a6a8=a72,于是该数列的前13项的乘积为a1a2…a13=a713=(-2)13=-213.6.(多选)已知数列{a n}是等比数列,且a3+a5=18,a9+a11=144,则a6+a8的值可能为()A.-36B.36C.-36√2D.36√2{a n}的公比为q,则a9+a11=q6(a3+a5),于是q6=a9+a11a3+a5=14418=8,因此q3=±2√2,所以a6+a8=q3(a3+a5)=±36√2.故选CD.7.在正项等比数列{a n}中,a1a3=9,a5=24,则公比q=.{a n}中,a1a3=9,a5=24,可得a22=9,a2=3,得q3=a5a2=8,解得q=2.8.在《九章算术》中,“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石,甲、乙、丙按序衰分,乙分得28石,则衰分比例为.q ,则甲、乙、丙各分得28q 石,28石,28q 石,∴28q +28+28q=98,∴q=2或12.又0<q<1,∴q=12.9.等比数列{a n }同时满足下列三个条件:①a 1+a 6=11,②a 3·a 4=329,③三个数23a 2,a 32,a 4+49依次成等差数列.试求数列{a n }的通项公式.a 1a 6=a 3a 4=329,所以{a 1+a 6=11,a 1·a 6=329,解得{a 1=13,a 6=323或{a 1=323,a 6=13.当{a 1=13,a 6=323时,q=2,所以a n =13·2n-1,这时23a 2+a 4+49=329,2a 32=329,所以23a 2,a 32,a 4+49成等差数列,故a n =13·2n-1.当{a 1=323,a 6=13时,q=12,a n =13·26-n ,23a 2+a 4+49≠2a 32,不符合题意.故通项公式a n =13·2n-1. 10.设{a n }是各项均为正数的等比数列,b n =log 2a n ,b 1+b 2+b 3=3,b 1b 2b 3=-3,求a n .{a n }的首项为a 1,公比为q ,∵b 1+b 2+b 3=3,∴log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3=3, ∴log 2(a 1a 2a 3)=3,∴a 1a 2a 3=8,∴a 2=2. ∵b 1b 2b 3=-3,∴log 2a 1·log 2a 2·log 2a 3=-3, ∴log 2a 1·log 2a 3=-3,∴log 2a2q ·log 2a 2q=-3,即(log 2a 2-log 2q )·(log 2a 2+log 2q )=-3, 即(1-log 2q )·(1+log 2q )=-3, 解得log 2q=±2.当log 2q=2时,q=4,a 1=a 2q=12,所以a n =12×4n-1=22n-3;当log 2q=-2时,q=14,a 1=a 2q=8,所以a n =8×(14)n -1=25-2n .能力提升练1.已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1(n ∈N *),且a 2+a 4+a 6=9,则lo g 13(a 5+a 7+a 9)的值为( )A .-5B .-15C .5D .15log 3a n +1=log 3a n+1,∴a n+1a n=3, ∴数列{a n }是等比数列,公比q=3,∴lo g 13(a 5+a 7+a 9)=lo g 13(a 2q 3+a 4q 3+a 6q 3)=lo g 13[(a 2+a 4+a 6)q 3]=lo g 13(9×33)=-5.2.某工厂去年产值为a ,计划10年内每年比上一年产值增长10%,那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过2a ( )A.6B.7C.8D.9n 年这个工厂的产值为a n ,则a 1=1.1a ,a 2=1.12a ,…,a n =1.1n a.依题意,得1.1n a>2a ,即1.1n >2,解得n ≥8.3.在正项等比数列{a n }中,a 3=2,16a 52=a 2a 6,则数列{a n }的前n 项积T n 中最大的值是( )A.T 3B.T 4C.T 5D.T 6,数列{a n }是等比数列,所以16a 52=a 2a 6=a 42,所以q 2=116.又因为数列{a n }为正项等比数列,所以q=14,所以a n =a 3·q n-3=2·43-n =27-2n ,令a n >1,即27-2n >1,得n<72,因为n ∈N *,所以n ≤3,数列{a n }的前n 项积T n 中T 3最大,故选A .4.等比数列{a n }中,若a 12=4,a 18=8,则a 36的值为 .,a 12,a 18,a 24,a 30,a 36成等比数列,且a 18a 12=2,故a 36=4×24=64.5.在正项等比数列{a n }中,已知a 1a 2a 3=4,a 4a 5a 6=12,a n-1a n a n+1=324,则n= .{a n }的公比为q ,由a 1a 2a 3=a 23=4与a 4a 5a 6=a 53=12可得a 53a 23=(q 3)3,q 9=3.又a n-1a n a n+1=a n 3=(a 2q n-2)3=324,因此q 3n-6=81=34=q 36,所以n=14.6.在公差不为零的等差数列{a n }中,2a 3-a 72+2a 11=0,数列{b n }是等比数列,且b 7=a 7,则a 7= ,b 6b 8= .2a 3-a 72+2a 11=2(a 3+a 11)-a 72=4a 7-a 72=0,又b 7=a 7≠0,∴b 7=a 7=4.∴b 6b 8=b 72=16.167.等差数列{a n }的公差和等比数列{b n }的公比都是d (d ≠1),且a 1=b 1,a 4=b 4,a 10=b 10. (1)求实数a 1和d 的值.(2)b 16是不是{a n }中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由.设数列{a n },{b n }的通项公式分别为a n =a 1+(n-1)d ,b n =b 1q n-1=a 1d n-1.由{a 4=b 4,a 10=b 10,得{a 1+3d =a 1d 3,a 1+9d =a 1d 9. 即3d=a 1(d 3-1),9d=a 1(d 9-1). 以上两式相除,整理得d 6+d 3-2=0. 解得d 3=1或d 3=-2.∵d ≠1,∴d 3=-2. ∴d=-√23.代入原方程中,解得a 1=√23.故a 1=√23,d=-√23.(2)由(1)得,数列{a n },{b n }的通项公式分别为a n =(2-n )·√23,b n =-(-√23)n . 故b 16=-(-√23)16=-32√23. 由(2-n )√23=-32√23,解得n=34. 故b 16为a n 的第34项.素养培优练某地区发生流行性病毒感染,居住在该地区的居民必须服用一种药片预防,规定每人每天上午8时和晚上20时各服一片.现知该药片每片含药量为220毫克,若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%,该药物在人体内的残留量超过380毫克,就将产生副作用.(1)某人上午8时第一次服药,问到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留多少? (2)若人长期服用这种药,这种药会不会对人体产生副作用?说明理由.设人第n 次服药后,药在体内的残留量为a n 毫克,则a 1=220,a 2=220+a 1×(1-60%)=220×1.4=308, a 3=220+a 2×(1-60%)=343.2,即到第二天上午8时服完药后,这种药在他体内还残留343.2毫克.(2)由题意,得a n+1=220+25a n,∴a n+1-11003=25(a n-11003),∴{a n-11003}是以a1-11003=-4403为首项,25为公比的等比数列,∴a n-11003=-4403(25)n-1,∵-4403(25)n-1<0,∴a n<11003=36623,∴a n<380.故若人长期服用这种药,这种药不会对人体产生副作用.。

一、等比数列选择题1．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕=大吕=太簇．据此，可得正项等比数列{}n a 中，k a =（ ）A．n -B．n -C． D． 2．记n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若2415S S ==，，则7S =（ ）. A ．710S =B ．723S =C ．7623S =D ．71273S =3．在等比数列{}n a 中，24a =，532a =，则4a =（ ） A ．8 B ．8- C ．16 D ．16-4．已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9＝（ ） A ．4B ．5C ．8D ．155．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．26．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ） A1B1C．3-D．3+7．已知等比数列{}n a 满足12234,12a a a a +=+=，则5S 等于（ ） A ．40B ．81C ．121D ．2428．已知等比数列{a n }中a 1010＝2，若数列{b n }满足b 1＝14，且a n ＝1n nb b +，则b 2020＝（ ）A ．22017B ．22018C ．22019D ．220209．公比为(0)q q >的等比数列{}n a 中，1349,27a a a ==，则1a q +=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且5312a a a +=，则42S S =（ ） A ．76B ．32C ．2132D ．1411．已知等比数列{}n a ，7a =8，11a =32，则9a =（ ） A ．16B ．16-C ．20D ．16或16-12．正项等比数列{}n a 满足2237610216a a a a a ++=，则28a a +=（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．813．在流行病学中，基本传染数R 0是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R 0个人，为第一轮传染，这R 0个人中每人再传染R 0个人，为第二轮传染，…….R 0一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数0 3.8R =，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M ，则当M >1000时需要的天数至少为（ ）参考数据：lg38≈1.58 A ．34B ．35C ．36D ．3714．已知单调递增数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()*21n n n S a a n =+∈N，且0nS>，记数列{}2nn a ⋅的前n 项和为n T ，则使得2020n T >成立的n 的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．10D ．1115．已知数列{}n a 为等比数列，12a =，且53a a =，则10a 的值为（ ） A ．1或1-B ．1C ．2或2-D ．216．数列{a n }满足211232222n n na a a a -+++⋯+=(n ∈N *)，数列{a n }前n 和为S n ，则S 10等于（ ）A ．5512⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10112⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．9112⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．6612⎛⎫ ⎪⎝⎭17．已知等比数列的公比为2，其前n 项和为n S ，则33S a =（ ） A ．2B ．4C ．74D ．15818．已知正项等比数列{}n a 满足112a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ） A ．312或112B ．312 C ．15D ．619．设b R ∈，数列{}n a 的前n 项和3nn S b =+，则（ ） A ．{}n a 是等比数列B ．{}n a 是等差数列C ．当1b ≠-时，{}n a 是等比数列D ．当1b =-时，{}n a 是等比数列20．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =.则数列(){}111n n n a a -+-的前n 项的和为（ ）A ．()2382133n n +--B ．()23182155n n +---C ．()2382133n n ++-D ．()23182155n n +-+-二、多选题21．题目文件丢失！22．已知数列{},{}n n a b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=⋅=∈，则下列结论正确的是（ ）A ．101a <<B ．11b <<C ．22n n S T <D ．22n n S T ≥23．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，4n n b a =+，若数列{}n b 有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q 的值可以是（ ） A ．34-B ．23-C ．43-D ．32-24．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2{}n a 是等比数列 B ．若4123,27,a a ==则89a =± C ．若123,a a a <<则数列{}n a 是递增数列 D ．若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则r =-125．记单调递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-= B ．12n n aC ．21nn S =-D ．121n n S -=-26．已知数列{}n a 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ）A ．1{}na B ．22log ()n aC ．1{}n n a a ++D ．12{}n n n a a a ++++27．已知数列{a n }，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2AE EC =，当n ≥2时，恒有()()1123n n n n BD a a BA a a BC -+=-+-，则（ ） A ．数列{a n }为等差数列 B ．1233BE BA BC =+ C ．数列{a n }为等比数列D ．14nn n a a +-=28．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-=B ．12n naC ．21nn S =- D ．121n n S -=-29．在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路30．设数列{}n a 满足*12335(21)2(),n a a a n a n n ++++-=∈N 记数列{}21na n +的前n 项和为,n S 则（ ） A ．12a =B ．221n a n =- C ．21n nS n =+ D ．1n n S na +=31．设{}n a 是无穷数列，若存在正整数k ，使得对任意n +∈N ，均有n k n a a +>，则称{}n a 是间隔递增数列，k 是{}n a 的间隔数，下列说法正确的是（ ）A ．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列B ．已知4n a n n=+，则{}n a 是间隔递增数列 C ．已知()21nn a n =+-，则{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2D ．已知22020n a n tn =-+，若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则45t ≤<32．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若 1418a a +=， 2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A ．2qB ．数列{}2n S +是等比数列C ．8510S =D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列33．已知数列{}n a 的前n 项和为S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和为n T ，*n ∈N ，则下列选项正确的为（ ）A ．数列{}1n a +是等差数列B ．数列{}1n a +是等比数列C ．数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D ．1n T <34．已知等比数列{a n }的公比23q =-，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有（ ） A ．a 9•a 10＜0B ．a 9＞a 10C ．b 10＞0D ．b 9＞b 1035．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2{}n a 是等比数列B ．若32a =，732a =，则58a =±C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列D ．若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则1r =-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题 1．C 【分析】根据题意，由等比数列的通项公式，以及题中条件，即可求出结果. 【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以q =所以111111k k n n k a a a a a ---⎛⎫ ⎪⎛== ⎭⎝⎝1111n k k n n na a----==⋅ 故选：C. 2．D 【分析】利用等比数列前n 项和公式列出方程组，求出首项和公比，由此能求出这个数列的前7项和． 【详解】n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，21S =，45S =，∴21410(1)11(1)51q a q qa q q ⎧⎪>⎪⎪-⎪=⎨-⎪⎪-⎪=-⎪⎩，解得113a =，2q ，771(12)1273123S -∴==-．故选：D ． 3．C 【分析】根据条件计算出等比数列的公比，再根据等比数列通项公式的变形求解出4a 的值. 【详解】因为254,32a a ==，所以3528a q a ==，所以2q ，所以2424416a a q ==⨯=，故选：C. 4．C 【分析】由等比中项，根据a 3a 11＝4a 7求得a 7，进而求得b 7，再利用等差中项求解. 【详解】 ∵a 3a 11＝4a 7， ∴27a ＝4a 7， ∵a 7≠0， ∴a 7＝4， ∴b 7＝4， ∴b 5＋b 9＝2b 7＝8． 故选：C 5．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 6．D 【分析】 根据1a ，312a ，22a 成等差数列可得3121222a a a ⨯=+，转化为关于1a 和q 的方程，求出q 的值，将91078a a a a ++化简即可求解.【详解】因为{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列， 所以3121222a a a ⨯=+，即21112a q a a q =+，所以2210q q --=，解得：1q =+1q =(222291078787813a a a q a q q a a a a ++====+++，故选：D 7．C 【分析】根据已知条件先计算出等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前n 项和公式求解出5S 的结果.【详解】因为12234,12a a a a +=+=，所以23123a a q a a +==+，所以1134a a +=，所以11a =， 所以()5515113121113a q S q--===--， 故选：C. 8．A 【分析】根据已知条件计算12320182019a a a a a ⋅⋅⋅⋅的结果为20201b b ，再根据等比数列下标和性质求解出2020b 的结果. 【详解】 因为1n n nb a b +=，所以32019202020202412320182019123201820191b b b b b b a a a a a b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=， 因为数列{}n a 为等比数列，且10102a =， 所以()()()123201820191201922018100910111010a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅22220192019101010101010101010102a a a a a =⋅⋅⋅==所以2019202012b b =，又114b =，所以201720202b =， 故选：A. 【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=；（2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.9．D 【分析】利用已知条件求得1,a q ，由此求得1a q +. 【详解】依题意222111131912730a a q a q a a q q q ⎧⋅===⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪>⎩，所以14a q +=.故选：D 10．B 【分析】由5312a a a +=，解得q ，然后由414242212(1)111(1)11a q S q q q a q S qq---===+---求解. 【详解】在等比数列{}n a 中，5312a a a +=， 所以421112a q a q a +=，即42210q q +-=， 解得212q =所以414242212(1)1311(1)121a q S q q q a q S q q---===+=---， 故选：B 【点睛】本题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本运算，属于基础题, 11．A 【分析】根据等比数列的通项公式得出618a q =，10132a q=且10a >，再由819a a q ==.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则618a q =，10132a q=且10a >则81916a q a ====故选：A 12．C【分析】利用等比数列的性质运算求解即可. 【详解】根据题意，等比数列{}n a 满足2237610216a a a a a ++=， 则有222288216a a a a ++=，即()22816a a +=， 又由数列{}n a 为正项等比数列，故284a a +=． 故选：C ． 13．D 【分析】假设第n 轮感染人数为n a ，根据条件构造等比数列{}n a 并写出其通项公式，根据题意列出关于n 的不等式，求解出结果，从而可确定出所需要的天数. 【详解】设第n 轮感染人数为n a ，则数列{}n a 为等比数列，其中1 3.8a =，公比为0 3.8R =，所以 3.81000nn a =>，解得 3.8333log 1000 5.17lg3.8lg3810.58n >==≈≈-， 而每轮感染周期为7天，所以需要的天数至少为5.17736.19⨯=． 故选：D . 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个：（1）理解题意构造合适的等比数列；（2）对数的计算. 14．B 【分析】由数列n a 与n S 的关系转化条件可得11n n a a -=+，结合等差数列的性质可得n a n =，再由错位相减法可得()1122n n T n +=-⋅+，即可得解.【详解】由题意，()()*21n n n S a a n N=+∈，当2n ≥时，()11121n n n S a a ---=+，所以()()11122211n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+， 整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为数列{}n a 单调递增且0n S >，所以110,10n n n n a a a a --+≠--=，即11n n a a -=+， 当1n =时，()11121S a a =+，所以11a =， 所以数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列， 所以n a n =，所以1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，所以()()234111212222222212212n nn n n n T n n n +++--=++++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅--，所以()1122n n T n +=-⋅+，所以876221538T =⨯+=，987223586T =⨯+=，所以2020n T >成立的n 的最小值为8. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是数列n a 与n S 关系的应用及错位相减法的应用. 15．C 【分析】根据等比数列的通项公式，由题中条件，求出公比，进而可得出结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为12a =，且53a a =，所以21q =，解得1q =±， 所以91012a a q ==±.故选：C. 16．B 【分析】根据题意得到22123112222n n n a a a a ---++++=，（2n ≥），与条件两式作差，得到12n n a =，（2n ≥），再验证112a =满足12n n a =，得到12nna =()*n N ∈，进而可求出结果. 【详解】 因为数列{}n a 满足211232222n n n a a a a -++++=， 22123112222n n n a a a a ---++++=，（2n ≥） 则1112222--=-=n n n n a ，则12n n a =，（2n ≥）， 又112a =满足12n n a =，所以12n n a =()*n N ∈，因此1010210123101011111112211222212S a a a a ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭++=+++==- ⎪+⎝-=⎭.故选：B 17．C 【分析】利用等比数列的通项公式和前n 项和公式代入化简可得答案 【详解】解：因为等比数列的公比为2，所以31312311(12)7712244a S a a a a --===⋅， 故选：C 18．B 【分析】首先利用等比数列的性质求3a 和公比q ，再根据公式求5S . 【详解】正项等比数列{}n a 中，2432a a a =+∴，2332a a =+∴，解得32a =或31a =-（舍去） 又112a =， 2314a q a ==， 解得2q，5151(132)(1)312112a q S q --∴===--，故选：B 19．D 【分析】根据n S 与n a 的关系求出n a ，然后判断各选项． 【详解】由题意2n ≥时，111(3)(3)23n n n n n n a S S b b ---=-=+-+=⨯，13n na a +=(2)n ≥，113a S b ==+，若212333a a b⨯==+，即1b =-，则{}n a 是等比数列，否则不是等比数列，也不是等差数列， 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的定义．在由1n n n a S S -=-求通项时，2n ≥必须牢记，11a S =它与(2)n a n ≥的求法不相同，因此会影响{}n a 的性质．对等比数列来讲，不仅要求3423a a a a ==，还必须满足3212a a a a =． 20．D 【分析】根据条件列出方程组可求出等比数列的公比和首项，即可得到数列的通项公式，代入()111n n n a a -+-可知数列为等比数列，求和即可.【详解】因为公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =，所以31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得2q，12a =，所以1222n nn a -=⨯=，()()()111111222111n n n n n n n n a a ++-+--+=⋅⋅-=∴--，(){}111n n n a a -+∴-是以8为首项，4-为公比的等比数列，()23357921118[1(4)]8222222(1)1(4)155n n n n n n S -++---∴=-+--++⋅==+---， 故选：D 【点睛】关键点点睛：求出等比数列的通项公式后，代入新数列，可得数列的通项公式，由通项公式可知数列为等比数列，根据等比数列的求和公式计算即可.二、多选题 21．无22．ABC 【分析】利用数列单调性及题干条件，可求出11,a b 范围；求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案. 【详解】因为数列{}n a 为递增数列， 所以123a a a <<，所以11222a a a <+=，即11a <， 又22324a a a <+=，即2122a a =-<， 所以10a >，即101a <<，故A 正确； 因为{}n b 为递增数列， 所以123b b b <<，所以21122b b b <=，即1b <又22234b b b <=，即2122b b =<， 所以11b >，即11b <<，故B 正确；{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++= 22(121)2[13(21)]22n n n n +-++⋅⋅⋅+-==，因为12n n n b b +⋅=，则1122n n n b b +++⋅=，所以22n n b b +=，则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=1101101122(222)(222)()(21)n n nb b b b --++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=+-1)1)n n>-=-， 当n =1时，222,S T =>，所以22T S >，故D 错误； 当2n ≥时假设当n=k时，21)2k k ->21)k k ->， 则当n=k +11121)21)21)2k k k k k ++-=+-=->2221(1)k k k >++=+所以对于任意*n N ∈，都有21)2k k ->，即22n n T S >，故C 正确 故选：ABC 【点睛】本题考查数列的单调性的应用，数列前n 项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n 项和大小时，需灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.【分析】先分析得到数列{}n a 有连续四项在集合{54-，24-，18，36，81}中，再求等比数列的公比. 【详解】 4n n b a =+ 4n n a b ∴=-数列{}n b 有连续四项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中∴数列{}n a 有连续四项在集合{54-，24-，18，36，81}中又数列{}n a 是公比为q 的等比数列，∴在集合{54-，24-，18，36，81}中，数列{}n a 的连续四项只能是：24-，36，54-，81或81，54-，36，24-.∴363242q ==--或243236q -==-. 故选：BD 24．AC 【分析】根据等比数列定义判断A;根据等比数列通项公式判断B,C;根据等比数列求和公式求项判断D. 【详解】设等比数列{}n a 公比为,(0)q q ≠则222112()n n n na a q a a ++==，即数列2{}n a 是等比数列；即A 正确； 因为等比数列{}n a 中4812,,a a a 同号，而40,a > 所以80a >，即B 错误；若123,a a a <<则1211101a a a q a q q >⎧<<∴⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩，即数列{}n a 是递增数列，C 正确； 若数列{}n a 的前n 和13,n n S r -=+则111221313231,2,6a S r r a S S a S S -==+=+=-==-= 所以32211323(1),3a a q r r a a ===∴=+=-，即D 错误 故选：AC 【点睛】等比数列的判定方法(1)定义法：若1(n na q q a +=为非零常数)，则{}n a 是等比数列； (2)等比中项法：在数列{}n a 中，0n a ≠且212n n a a a a ++=，则数列{}n a 是等比数列；(3)通项公式法：若数列通项公式可写成(,nn a cq c q =均是不为0的常数)，则{}n a 是等比(4)前n 项和公式法：若数列{}n a 的前n 项和(0,1,nn S kq k q q k =-≠≠为非零常数)，则{}n a 是等比数列.25．BC 【分析】根据数列的增减性由所给等式求出1a d 、，写出数列的通项公式及前n 项和公式，即可进行判断. 【详解】数列{a n }为单调递增的等比数列，且24100a a +=>，0n a ∴>23464a a a =，2364a ∴=，解得34a =，2410a a +=，4410q q∴+=即22520q q -+=，解得2q或12， 又数列{a n }为单调递增的等比数列，取2q，312414a a q ===， 12n na ，212121n n n S -==--，()1121212n n nn n S S ++-=---=.故选：BC 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的求解、等比数列的增减性、等比数列求和公式，属于基础题. 26．AD 【分析】主要分析数列中的项是否可能为0，如果可能为0，则不能是等比数列，在不为0时，根据等比数列的定义确定． 【详解】1n a =时，22log ()0n a =，数列22{log ()}n a 不一定是等比数列， 1q =-时，10n n a a ++=，数列1{}n n a a ++不一定是等比数列，由等比数列的定义知1{}na 和12{}n n n a a a ++++都是等比数列． 故选AD ． 【点睛】本题考查等比数列的定义，掌握等比数列的定义是解题基础．特别注意只要数列中有一项为0，则数列不可能是等比数列． 27．BD 【分析】 证明1233BE BA BC =+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误；数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn n a a +-=，所以选项D 正确，易得321a =，选项C 不正确.【详解】因为2AE EC =，所以23AE AC=， 所以2()3AB BE AB BC +=+, 所以1233BE BA BC =+，所以选项B 正确；设BD tBE =（0t >），则当n ≥2时，由()()1123n n n n BD tBE a a BA a a BC -+==-+-，所以()()111123n n n n BE a a BA a a BC t t-+=-+-， 所以()11123n n a a t --=，()11233n n a a t +-=， 所以()11322n n n n a a a a +--=-， 易得()114n n n n a a a a +--=-，显然1n n a a --不是同一常数，所以选项A 错误； 因为2a -1a =4，114n nn n a a a a +--=-，所以数列{1n n a a --}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn n a a +-=，所以选项D 正确，易得321a =，显然选项C 不正确. 故选：BD 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.28．BC 【分析】先求得3a ，然后求得q ，进而求得1a ，由此求得1,,n n n n a S S S +-，进而判断出正确选项. 【详解】由23464a a a =得3334a =，则34a =．设等比数列{}n a 的公比为()0q q ≠，由2410a a +=，得4410q q+=，即22520q q -+=，解得2q或12q =．又因为数列{}n a 单调递增，所以2q，所以112810a a +=，解得11a =．所以12n na ，()1122112n n n S ⨯-==--，所以()1121212n n nn n S S ++-=---=.故选：BC 【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等比数列的性质及前n 项和，属于中档题.29．ACD 【分析】若设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列，由6378S =求得首项，然后分析4个选项可得答案.【详解】解：设此人第n 天走n a 里路，则数列{}n a 是首项为1a ，公比为12q =的等比数列， 因为6378S =，所以1661(1)2=378112a S -=-，解得1192a =，对于A ，由于21192962a =⨯=，所以此人第二天走了九十六里路，所以A 正确； 对于B ，由于 3148119248,43788a =⨯=>，所以B 不正确； 对于C ，由于378192186,1921866-=-=，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C 正确； 对于D ，由于4561111924281632a a a ⎛⎫++=⨯++= ⎪⎝⎭，所以D 正确， 故选：ACD 【点睛】此题考查等比数的性质，等比数数的前项n 的和，属于基础题. 30．ABD 【分析】由已知关系式可求1a 、n a ，进而求得{}21na n +的通项公式以及前n 项和,n S 即可知正确选项. 【详解】由已知得：12a =，令12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=， 则当2n ≥时，1(21)2n n n T T n a --=-=，即221n a n =-，而122211a ==⨯-也成立， ∴221n a n =-，*n N ∈，故数列{}21n a n +通项公式为211(21)(21)2121n n n n =-+--+，∴111111111121 (133557232121212121)n nS n n n n n n =-+-+-++-+-=-=---+++，即有1n n S na +=， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：由已知12335...(21)2n n T a a a n a n =++++-=求1a 、n a ，注意验证1a 是否符合n a 通项，并由此得到{}21na n +的通项公式，利用裂项法求前n 项和n S . 31．BCD 【分析】根据间隔递增数列的定义求解. 【详解】 A. ()1111111n k n n n k k n a a a a qq q a q +---+=-=--，因为1q >，所以当10a <时，n k n a a +<，故错误；B. ()()244441++n kn n kn a a n k n k k n k n n k n n k n +⎛⎫⎛⎫+-⎛⎫-=++-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令24t n kn =+-，t 在n *∈N 单调递增，则()1140t k =+->，解得3k >，故正确；C. ()()()()()()21212111n kn n kn k n a a n k n k ++⎡⎤-=++--+-=+---⎣⎦，当n 为奇数时，()2110kk --+>，存在1k 成立，当n 为偶数时，()2110kk +-->，存在2k ≥成立，综上：{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是2，故正确； D. 若{}n a 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则()()()2222020202020n k n a a n k t n k n tn kn k tk +-=+-++--+=+->，n *∈N 成立，则()220k t k +->，对于3k ≥成立，且()220k t k +-≤，对于k 2≤成立即()20k t +->，对于3k ≥成立，且()20k t +-≤，对于k 2≤成立 所以23t -<，且22t -≥ 解得45t ≤<，故正确. 故选：BCD 【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 32．ABC 【分析】由1418a a +=，2312a a +=，31118a a q +=，21112a q a q +=，公比q 为整数，解得1a ，q ，可得n a ，n S ，进而判断出结论.【详解】∵1418a a +=，2312a a +=且公比q 为整数，∴31118a a q +=，21112a q a q +=，∴12a =，2q或12q =（舍去）故A 正确， ()12122212n n n S +-==--，∴8510S =，故C 正确；∴122n n S ++=，故数列{}2n S +是等比数列，故B 正确；而lg lg 2lg 2nn a n ==，故数列{}lg n a 是公差为lg 2的等差数列，故D 错误．故选：ABC . 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式以及综合运用，属于中档题． 33．BCD 【分析】由数列的递推式可得1121n n n n a S S a ++=-=+，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得n a ，1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，由数列的裂项相消求和可得n T ． 【详解】解：由121n n n S S a +=++即为1121n n n n a S S a ++=-=+，可化为112(1)n n a a ++=+，由111S a ==，可得数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，则12nn a +=，即21n n a =-，又1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，可得22311111111111212*********n n n n T ++=-+-+⋯+-=-<------， 故A 错误，B ，C ，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】本题考查数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，以及数列的裂项相消法求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题． 34．AD 【分析】设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D 正确． 【详解】数列{a n }是公比q 为23-的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列， 则8912()3a a =-，91012()3a a =-， ∴a 9•a 1021712()3a =-＜0，故A 正确； ∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误； 由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1（23-）8＞12+8d ，a 1（23-）9＞12+9d ， 由于910,a a 异号，因此90a <或100a <故 90b <或100b <，且b 1＝12可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0， 即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确． 故选：AD 【点睛】本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列的单调性，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 35．AC 【分析】在A 中，数列{}2n a 是等比数列；在B 中，58a =；在C 中，若123a a a <<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；在D 中，13r =-. 【详解】由数列{}n a 是等比数列，知： 在A 中，22221n n a a q -=，22221122221n n n n a a q q a a q+-∴==是常数， ∴数列{}2n a 是等比数列，故A 正确； 在B 中，若32a =，732a =，则58a =，故B 错误； 在C 中，若1230a a a <<<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；若1230a a a <<<，则01q <<，数列{}n a 是递增数列，故C 正确；在D 中，若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则111a S r ==+， ()()221312a S S r r =-=+-+=， ()()332936a S S r r =-=+-+=， 1a ，2a ，3a 成等比数列， 2213a a a ∴=， ()461r ∴=+， 解得13r =-，故D 错误. 故选：AC .【点睛】本题考查等比数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.。

高中数学《等比数列性质》复习基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识1、定义：数列{}n a 从第二项开始，后项与前一项的比值为同一个常数()0q q ≠，则称{}n a 为等比数列，这个常数q 称为数列的公比注：非零常数列既可视为等差数列，也可视为1q =的等比数列，而常数列0,0,0,只是等差数列2、等比数列通项公式：11n n a a q−=⋅，也可以为：n mn m a a q−=⋅3、等比中项：若,,a b c 成等比数列，则b 称为,a c 的等比中项 （1）若b 为,a c 的等比中项，则有2a bb ac b c=⇒= （2）若{}n a 为等比数列，则n N *∀∈，1n a +均为2,n n a a +的等比中项 （3）若{}n a 为等比数列，则有m n p q m n p q a a a a +=+⇔= 4、等比数列前n 项和公式：设数列{}n a 的前n 项和为n S 当1q =时，则{}n a 为常数列，所以1n S na = 当1q ≠时，则()111n n a q S q−=−可变形为：()1111111n n n a q a aS q qq q −==−−−−，设11a k q =−，可得：n n S k q k =⋅−5、由等比数列生成的新等比数列（1）在等比数列{}n a 中，等间距的抽取一些项组成的新数列仍为等比数列 （2）已知等比数列{}{},n n a b ，则有 ① 数列{}n ka （k 为常数）为等比数列 ② 数列{}na λ（λ为常数）为等比数列，特别的，当1λ=−时，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列③ 数列{}n n a b 为等比数列④ 数列{}n a 为等比数列6、相邻k 项和的比值与公比q 相关： 设1212,m m m k n n n k S a a a T a a a ++++++=+++=+++，则有：()()212212k m n m m m m k mk n n n k nn a q q q S a a a a q T a a a a a q q q −++++++++++++====++++++ 特别的：若121222,,k k k k k k k a a a S a a a S S +++++=+++=−2122332,k k k k k a a a S S +++++=−，则232,,,k k k k k S S S S S −−成等比数列7、等比数列的判定：（假设{}n a 不是常数列） （1）定义法（递推公式）：()1n na q n N a *+=∈ （2）通项公式：nn a k q =⋅（指数类函数） （3）前n 项和公式：nn S kq k =−注：若()n n S kq m m k =−≠，则{}n a 是从第二项开始成等比关系 （4）等比中项：对于n N *∀∈，均有212n n n a a a ++=8、非常数等比数列{}n a 的前n 项和n S 与1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T 的关系()111n n a q S q−=−，因为1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ，公比为1q 的等比数列，所以有()1111111111111nn n nn n q a q q q T q a q q a qq−⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥−⎣⎦===−−−⋅ ()()1112111111n n n nn n a q a q q S a q T q q−−−−=⋅=−− 例1：已知等比数列{}n a 的公比为正数，且223951,2a a a a ==，则10a =________思路：因为2396a a a =，代入条件可得：22652a a =，因为0q >，所以65a =，q =所以810216a a q == 答案：16例2：已知{}n a 为等比数列，且374,16a a =−=−，则5a =（ ） A. 64 B. 64− C. 8 D. 8− 思路一：由37,a a 可求出公比：4734a q a ==，可得22q =，所以253428a a q ==−⋅=− 思路二：可联想到等比中项性质，可得253764a a a ==，则58a =±，由等比数列特征可得奇数项的符号相同，所以58a =− 答案：D小炼有话说：思路二的解法尽管简单，但是要注意双解时要验证项是否符合等比数列特征。

等比数列性质练习题
在学习等比数列的性质时，我们需要通过一些具体的练习题来巩固和应用所学知识。

下面是一些等比数列性质练习题，帮助大家更好地理解和掌握等比数列的特点和性质。

练习题1：
已知等比数列的首项为a，公比为q，前n项和为Sn。

求证等比数列的前n项和的通项公式为：
Sn = (a * (q^n - 1)) / (q - 1)
练习题2：
已知等比数列的首项为3，公比为0.5，求证等比数列的第n项为：an = 3 * (0.5)^(n-1)
练习题3：
已知等比数列的首项为2，公比为1/3，前n项和为10。

求证等比数列的第n项为：
an = 2 * (1/3)^(n-1)
练习题4：
已知等比数列的首项为2，公比为3，第n项为162。

求证等比数列的前n项和为：
Sn = (2 * (3^n - 1)) / 2
练习题5：
已知等比数列的首项为10，公比为2，前n项和大于1000。

求证等比数列的第n项为：
an = 10 * (2^n - 1)
练习题6：
已知等比数列的前三项为2，6，18，求证等比数列的第n项为：an = 2 * (3^(n-1))
以上是一些关于等比数列性质的练习题，通过这些题目的解答和证明，可以更加全面地了解等比数列的性质和规律。

在解答过程中，注意使用等比数列的定义和性质，合理运用相关公式和推导方法。

通过大量的练习，相信大家能够熟练掌握等比数列的特点和运算，提高解题能力。

4.3.1 等比数列的概念（第二课时）（同步练习）一、选择题1.在等比数列{a n}中，已知a1a38a15＝243，则a39a11的值为()A.3B.9C.27D.812.已知各项均为正数的等比数列{a n}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为()A.100B.－100C.10 000D.－10 0003.若1，a1，a2,4成等差数列，1，b1，b2，b3,4成等比数列，则a1－a2b2的值等于()A.－12 B.12 C.±12 D.144.随着市场的变化与生产成本的降低，每隔5年计算机的价格降低13，则2003年价格为8 100元的计算机到2018年时的价格应为()A.900元B.2 200元C.2 400元D.3 600元5.数列{a n}是等比数列，对任意n∈N*，都有a n＞0.若a3(a3＋a5)＋a4(a4＋a6)＝25，则a3＋a5＝()A.5B.10C.15D.206.已知{a n}为等比数列，a2，a16是方程x2＋6x＋2＝0的根，则a2a16a9的值为()A.－2＋22 B.－ 2C. 2D.－2或 27.已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若a2·a6·a10＝33，b1＋b6＋b11＝7π，则tan b2＋b101－a3·a9的值是()A.－22 B.22C. 1D.－ 38.(多选)(2022年海南期末)在各项均为正数的等比数列{a n}中，已知a1＋a5＝1a1＋1a5＝52，则下列结论正确的是()A.a2a4＝1B.a2＋a4＝32 2C.q＝2或12 D.a1＝2或12二、填空题9.若数列{a n}为等比数列，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝4，则a9＋a10＝________10.在3和一个未知数间填上一个数，使三个数成等差数列，若中间项减去6成等比数列，则此未知数是________11.在右列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则x ＋y＋z的值为________12.各项均为正数的等比数列{a n}中，a2－a1＝1.当a3取最小值时，数列{a n}的通项公式a n＝________三、解答题13.有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．14.为了治理沙尘暴，西部某地区政府经过多年努力，到2019年年底，将当地沙漠绿化了40%.从2020年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(参考数据：lg 2≈0.3)15.已知数列{a n}为等差数列，公差d≠0，由{a n}中的部分项组成的数列ab1，ab2，…，ab n，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝5，b3＝17.求数列{b n}的通项公式．16.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，公比是q，且满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝12，S2＝b2q.(1)求a n与b n；(2)设c n＝3b n－λ·na32，若数列{c n}是递增数列，求实数λ的取值范围．参考答案及解析：一、选择题1.B 解析：设数列{a n }的公比为q ，∵a 1a 38a 15＝243，a 1a 15＝a 28，∴a 8＝3，∴a 39a 11＝a 38q 3a 8q3＝a 28＝9. 2.C 解析：∵a 3a 8a 13＝a 38，∴lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝3lg a 8＝6.∴a 8＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10 000，故选C.3.A 解析：∵1，a 1，a 2,4成等差数列，∴3(a 2－a 1)＝4－1，∴a 2－a 1＝1. 又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2＞0，∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－(a 2－a 1)b 2＝－12. 4.C 解析：8 100×323（）＝2 400.故选C.5.A 解析：由等比数列的性质及a 3(a 3＋a 5)＋a 4(a 4＋a 6)＝25，得a 3(a 3＋a 5)＋a 4(a 3q ＋a 5q)＝25. ∴(a 3＋a 5)(a 3＋a 4q)＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25.∵对任意n ∈N *，都有a n ＞0，∴a 3＋a 5＞0，∴a 3＋a 5＝5.6.D 解析：由a 2，a 16是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，可得a 2＋a 16＝－6，a 2a 16＝2，显然两根同为负值，所以a 9＝± a 2a 16＝±2，所以a 2a 16a 9＝±2.7.D 解析：因为{a n }是等比数列，所以a 2·a 6·a 10＝a 36＝33，所以a 6＝ 3.因为{b n }是等差数列，所以b 1＋b 6＋b 11＝3b 6＝7π，所以b 6＝7π3.所以tan b 2＋b 101－a 3·a 9＝tan 2b 61－a 26＝tan 14π31－3＝－tan 7π3＝－ 3.故选D. 8.ABD 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1＋a 5＝1a 1＋1a 5＝52，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 5＝52，a 1a 5＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a 5＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，a 5＝2，即2×q 4＝12或12×q 4＝2，所以解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q 2＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，q 2＝2，所以选项C 错误，选项D 正确；因为等比数列{a n }的各项均为正数，所以a 2a 4＝a 1a 5＝1，选项A 正确；a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3＝322，选项B 正确．故选ABD ．二、填空题 9.答案：256解析：∵{a n }是等比数列，∴a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8，a 9＋a 10为等比数列，∴a 9＋a 10＝1×44＝256. 10.答案：3或27解析：设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝3＋b ，(a －6)2＝3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27.11.答案：2解析：∵x 2＝24，∴x ＝1.∵第一行中的数成等差数列，首项为2，公差为1，故后两格中数字分别为5,6.同理，第二行后两格中数字分别为52，3.∴y ＝5·312（），z ＝6·412（）.∴x ＋y ＋z ＝1＋5·312（）＋6·412（）＝3216＝2.12.答案：2n －1解析：设等比数列的公比为q(q>0)．由a 2－a 1＝1，得a 1(q －1)＝1，q ≠1，所以a 1＝1q －1. a 3＝a 1q 2＝q 2q －1＝1－1q 2＋1q(q>0)，而－1q 2＋1q＝－⎝⎛⎭⎫1q －122＋14≤14，当且仅当q ＝2时取等号， 所以当q ＝2时，a 3有最小值4.此时a 1＝1q －1＝12－1＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1.三、解答题13.解法一：设前三个数为a q ，a ，aq ，则a q ·a·aq ＝216，所以a 3＝216.所以a ＝6.因此前三个数为6q ，6,6q.由题意知第4个数为12q －6.所以6＋6q ＋12q －6＝12，解得q ＝23.故所求的四个数为9,6,4,2.解法二：设后三个数为4－d,4,4＋d ，则第一个数为14(4－d)2，由题意知14(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d ＝6.所以d ＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.14.解：设该地区沙漠与绿洲的总面积为1,2019年年底绿洲面积为a 1＝25，经过n 年后绿洲面积为a n ＋1，设2019年年底沙漠面积为b 1，经过n 年后沙漠面积为b n ＋1，则a 1＋b 1＝1，a n ＋b n ＝1.依题意，a n ＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲面积a n 减去被侵蚀的部分，即a n －8%·a n ；另一部分是新绿化的绿洲面积，即12%·b n . ∴a n ＋1＝a n －8%·a n ＋12%(1－a n )＝45a n ＋325，即a n ＋1－35＝45⎝⎛⎭⎫a n －35. 又a 1－35＝－15，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －35是以－15为首项，45为公比的等比数列，则a n ＋1＝35－15×n 45（） 由a n ＋1＞50%，得35－15×n 45（）＞12，∴n 45（）＜12，∴n ＞log 4512＝lg 21－3lg 2≈3. 则当n ≥4时，不等式n 45（）＜12恒成立．∴至少需要4年才能使绿洲面积超过50%.15.解：依题意a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d)2＝a 1(a 1＋16d)，所以a 1d ＝2d 2，因为d ≠0，所以a 1＝2d ，数列{ab n }的公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4d a 1＝3，所以ab n ＝a 13n －1，①又ab n ＝a 1＋(b n －1)d ＝b n ＋12a 1，②由①②得a 1·3n －1＝b n ＋12·a 1.因为a 1＝2d ≠0，所以b n ＝2×3n －1－1.16.解：(1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋3＋a 2＝12，3＋a 2＝q 2，整理得q 2＋q －12＝0，解得q ＝3或q ＝－4(舍)，从而a 2＝6， 所以a n ＝3n ，b n ＝3n －1. (2)由(1)知，c n ＝3b n －λ·n a 32＝3n －λ·2n .由题意知c n ＋1＞c n 对任意的n ∈N *恒成立，即3n ＋1－λ·2n ＋1＞3n －λ·2n 恒成立，即λ·2n ＜2·3n 恒成立，即λ＜2·n32（）恒成立．因为函数y ＝x 32（）是增函数，所以n min 3]2[2（）＝2×32＝3，故λ＜3，即实数λ的取值范围为(－∞，3)．。

等比数列的性质班级：____________ 姓名：__________________1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )A ．－24B ．0C ．12D ．242．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( )A ．a 1，a 3，a 9成等比数列B ．a 2，a 3，a 6成等比数列C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列3．在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( )A ．a 1＝1B ．a 3＝1C ．a 4＝1D ．a 5＝14．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( )A ．2B ．4C ．8D ．165．已知数列{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3成等比数列，a 1＝1，则a 2 016＝( )A ．5B ．1C ．0D ．－16．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( ) A.56B.65C.23D.327．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( ) A.13B ．3C ．±13D ．±38．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( )A ．100B ．－100C ．10 000D ．－10 0009．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．10．已知－7，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－4，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则a 2－a 1b 2＝________.11．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%，则第n 年初M 的价值a n ＝________.12．在正项等比数列{a n }中，a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36，a 2a 4＋2a 2a 6＋a 4a 6＝100，求数列{a n }的通项公式．等比数列的性质班级：____________ 姓名：__________________1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )A ．－24B ．0C ．12D ．24解析：选A 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( )A ．a 1，a 3，a 9成等比数列B ．a 2，a 3，a 6成等比数列C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 设等比数列的公比为q ，因为a 6a 3＝a 9a 6＝q 3， 即a 26＝a 3a 9，所以a 3，a 6，a 9成等比数列．故选D.3．在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( )A ．a 1＝1B ．a 3＝1C ．a 4＝1D ．a 5＝1解析：选B 由题意，可得a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝1，即(a 1·a 5)·(a 2·a 4)·a 3＝1，又a 1·a 5＝a 2·a 4＝a 23，所以a 53＝1，得a 3＝1.4．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：选C 等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.5．已知数列{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3成等比数列，a 1＝1，则a 2 016＝( )A ．5B ．1C ．0D ．－1解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 1，a 2，a 3成等比数列得(1＋d )2＝1＋2d ，解得d ＝0，所以a 2 016＝a 1＝1.6．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( ) A.56B.65C.23D.32解析：选D 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6. ∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q ＋6q ＝5. 解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝⎝⎛⎭⎫622＝32. 7．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( ) A.13B ．3C ．±13D ．±3解析：选B 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0.则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )·(a 1＋5d )， 化简得d 2＝－2a 1d ，∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1，∴q ＝a 3a 2＝3. 8．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( )A ．100B ．－100C ．10 000D ．－10 000解析：选C ∵a 3a 8a 13＝a 38，∴lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝3lg a 8＝6.∴a 8＝100.又a 1a 15＝a 28＝10 000，故选C.9．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．解析：设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝3＋b ，(a －6)2＝3b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27. 答案：3或2710．已知－7，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－4，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则a 2－a 1b 2＝________.解析：由题意，知a 2－a 1＝－1－(－7)3＝2，b 22＝(－4)×(－1)＝4.又因为b 2是等比数列中的第三项，所以b 2与第一项同号，即b 2＝－2，所以a 2－a 1b 2＝2－2＝－1. 答案：－111．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%，则第n 年初M 的价值a n ＝________.解析：当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，故a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥7时，a 6，a 7，…，a n 是首项为a 6＝70，公比为34的等比数列， 故a n ＝70×⎝⎛⎭⎫34n －6.综上可得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 130－10n ，n ≤6，70×⎝⎛⎭⎫34n －6，n ≥7. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，70×⎝⎛⎭⎫34n －6，n ≥712．在正项等比数列{a n }中，a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36，a 2a 4＋2a 2a 6＋a 4a 6＝100，求数列{a n }的通项公式．解：∵a 1a 5＝a 23，a 3a 7＝a 25，∴由题意，得a 23－2a 3a 5＋a 25＝36， 同理得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝100， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ (a 3－a 5)2＝36，(a 3＋a 5)2＝100.即⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 5＝±6，a 3＋a 5＝10. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝2，a 5＝8或⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝8，a 5＝2. 分别解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝12，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12.∴a n ＝2n －2或a n ＝26－n .。

一、等比数列选择题1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*2n n S a n n N =+∈，则3a=（ ）A ．7-B ．3-C ．3D ．72．已知正项等比数列{}n a 满足112a =，2432a a a =+，又n S 为数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ）A ．312或112B ．312 C ．15D ．63．已知{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ） A1B1C．3-D．3+4．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足11130(2),3n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中错误的是（ ） A ．1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．13nS n = C ．13(1)n a n n =--D ．{}3n S 是等比数列5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”你的计算结果是（ ） A ．80里 B ．86里 C ．90里 D ．96里 6．在3和81之间插入2个数，使这4个数成等比数列，则公比q 为（ ）A ．2±B ．2C ．3±D ．37．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它前一个单音的频率的比都等于六个单音的频率为f ，则（ ） A ．第四个单音的频率为1122f - B ．第三个单音的频率为142f - C ．第五个单音的频率为162fD ．第八个单音的频率为1122f8．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（ ） A ．24-B ．3-C ．3D ．89．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，11a >，676712a a a a +>+>，记{}n a 的前n 项积为nT，则下列选项错误的是（ ）A ．01q <<B ．61a >C ．121T >D ．131T >10．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，416a =-，314S a =+，则公比q 为（ ） A ．2- B ．2-或1C ．1D ．211．题目文件丢失！12．已知等比数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且5312a a a +=，则42S S =（ ） A ．76B ．32C ．2132D ．1413．已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，10.2b =，111233n n n a b a ++=+，11344n n n b a b +=+，则使0.01n n a b -<成立的最小正整数n 为（ ） A ．5B ．7C ．9D ．1114．已知单调递增数列{}n a 的前n 项和n S 满足()()*21n n n S a a n =+∈N，且0nS>，记数列{}2nn a ⋅的前n 项和为n T ，则使得2020n T >成立的n 的最小值为（ ）A ．7B ．8C ．10D ．1115．已知数列{}n a 为等比数列，12a =，且53a a =，则10a 的值为（ ） A ．1或1-B ．1C ．2或2-D ．216．等比数列{}n a 中，1234a a a ++=，4568a a a ++=，则789a a a ++等于（ ） A ．16B ．32C ．64D ．12817．设数列{}n a ，下列判断一定正确的是（ ）A ．若对任意正整数n ，都有24nn a =成立，则{}n a 为等比数列B ．若对任意正整数n ，都有12n n n a a a ++=⋅成立，则{}n a 为等比数列C ．若对任意正整数m ，n ，都有2m nm n a a +⋅=成立，则{}n a 为等比数列D ．若对任意正整数n ，都有31211n n n n a a a a +++=⋅⋅成立，则{}n a 为等比数列18．已知等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q ，则5S 等于（ ）A ．32B ．31C ．16D ．1519．已知{}n a 为等比数列.下面结论中正确的是（ ） A ．1322a a a +≥B ．若13a a =，则12a a =C ．2221322a a a +≥ D ．若31a a >，则42a a >20的等比中项是（ ）A ．－1B ．1C．2D．2±二、多选题21．题目文件丢失！ 22．题目文件丢失！23．在数列{}n a 中，如果对任意*n N ∈都有211n n n na a k a a +++-=-（k 为常数），则称{}n a 为等差比数列，k 称为公差比.下列说法正确的是（ ） A ．等差数列一定是等差比数列 B ．等差比数列的公差比一定不为0C ．若32nn a =-+，则数列{}n a 是等差比数列D ．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比24．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．数列|n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列B ．数列{}2na 为等比数列C ．若,()m n a n a m m n ==≠，则0m n a +=D ．若,()m n S n S m m n ==≠，则0m n S +=25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+14,()n n a S a n N *==∈，数列12(1)n n n n a +⎧⎫+⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（ ） A ．24a =B ．2nn S =C ．38n T ≥D ．12n T <26．对任意等比数列{}n a ，下列说法一定正确的是（ ） A ．1a ，3a ，5a 成等比数列 B ．2a ，3a ，6a 成等比数列 C ．2a ，4a ，8a 成等比数列D ．3a ，6a ，9a 成等比数列27．已知集合{}*21,A x x n n N==-∈，{}*2,nB x x n N ==∈将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为（ ） A ．25B ．26C ．27D ．2828．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，781a a ⋅>，87101a a -<-，则下列结论正确的是（ ）A ．01q <<B ．791a a ⋅>C ．n S 的最大值为9SD ．n T 的最大值为7T29．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图：111213212223231323331312n n n n n n nna a a a a a a a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知112a =，13611a a =+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1(31)3j ij a i -=-⨯D ．()1(31)314n S n n =+- 30．已知数列{}n a 满足11a =，()*123nn na a n N a +=∈+，则下列结论正确的有（ ） A ．13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列 B ．{}n a 的通项公式为1123n n a +=-C ．{}n a 为递增数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2234n n T n +=-- 31．数列{}n a 为等比数列（ ）. A ．{}1n n a a ++为等比数列 B ．{}1n n a a +为等比数列 C ．{}221n n a a ++为等比数列D ．{}n S 不为等比数列（n S 为数列{}n a 的前n 项）32．已知数列{}n a 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ） A ．数列2{}n a 是等比数列B ．若32a =，732a =，则58a =±C ．若123a a a <<，则数列{}n a 是递增数列D ．若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则1r =-33．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差4d =，前n 项和为n S ，则下列结论成立的有( ) A ．数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为100 B ．若1,a 3,a m a 成等比数列，则21m =C ．若111625ni i i a a =+>∑，则n 的最小值为6 D ．若210m n a a a a +=+，则116m n+的最小值为251234．对于数列{}n a ，若存在数列{}n b 满足1n n nb a a =-（*n ∈N ），则称数列{}n b 是{}n a 的“倒差数列”，下列关于“倒差数列”描述正确的是（ ） A ．若数列{}n a 是单增数列，但其“倒差数列”不一定是单增数列；B ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最大值；C ．若31n a n =-，则其“倒差数列”有最小值；D ．若112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则其“倒差数列”有最大值. 35．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+-【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题1．A 【分析】先求出1a ，再当2n ≥时，由()*2n n S a n n N=+∈得1121n n Sa n --=+-，两式相减后化简得，121n n a a -=-，则112(1)n n a a --=-，从而得数列{}1n a -为等比数列，进而求出n a ，可求得3a 的值【详解】解：当1n =时，1121S a =+，得11a =-， 当2n ≥时，由()*2n n S a n n N=+∈得1121n n Sa n --=+-，两式相减得1221n n n a a a -=-+，即121n n a a -=-，所以112(1)n n a a --=-，所以数列{}1n a -是以2-为首项，2为公比的等比数列，所以1122n n a --=-⨯，所以1221n n a -=-⨯+，所以232217a =-⨯+=-，故选：A 2．B【分析】由等比中项的性质可求出3a ，即可求出公比，代入等比数列求和公式即可求解. 【详解】正项等比数列{}n a 中，2432a a a =+，2332a a ∴=+，解得32a =或31a =-（舍去） 又112a =， 2314a q a ∴==， 解得2q，5151(132)(1)312112a q S q --∴===--，故选：B 3．D 【分析】 根据1a ，312a ，22a 成等差数列可得3121222a a a ⨯=+，转化为关于1a 和q 的方程，求出q 的值，将91078a a a a ++化简即可求解.【详解】因为{}n a 是正项等比数列且1a ，312a ，22a 成等差数列， 所以3121222a a a ⨯=+，即21112a q a a q =+，所以2210q q --=，解得：1q =+1q =(222291078787813a a a q a q q a a a a ++====+++，故选：D 4．C 【分析】由1(2)n n n a S S n -=-≥代入得出{}n S 的递推关系，得证1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，可判断A ，求出n S 后，可判断B ，由1a 的值可判断C ，求出3n S 后可判断D ． 【详解】2n ≥时，因为130n n n a S S -+=，所以1130n n n n S S S S ---+=，所以1113n n S S --=， 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，A 正确； 1113S a ==，113S =，公差3d =，所以133(1)3n n n S =+-=，所以13n S n =，B 正确； 113a =不适合13(1)n a n n =--，C 错误；1313n n S +=，数列113n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，D 正确． 故选：C ． 【点睛】易错点睛：本题考查由数列的前n 项和求数列的通项公式，考查等差数列与等比数列的判断，在公式1n n n a S S -=-中2n ≥，不包含1a ，因此由n S 求出的n a 不包含1a ，需要特别求解检验，否则易出错． 5．D 【分析】由题意得每天行走的路程成等比数列{}n a 、且公比为12，由条件和等比数列的前项和公式求出1a ，由等比数列的通项公式求出答案即可． 【详解】由题意可知此人每天走的步数构成12为公比的等比数列， 由题意和等比数列的求和公式可得611[1()]2378112a -=-， 解得1192a =，∴此人第二天走1192962⨯=里， ∴第二天走了96里，故选：D ． 6．D 【分析】根据等比数列定义知3813q =，解得答案.【详解】4个数成等比数列，则3813q =，故3q =.故选：D. 7．B 【分析】根据题意得该单音构成公比为四、五、八项即可得答案. 【详解】解：根据题意得该单音构成公比为 因为第六个单音的频率为f ，141422f f -==.661122f f -==.所以第五个单音的频率为1122f =.所以第八个单音的频率为1262f f =故选：B. 8．A 【分析】根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差d ，由此求得{}n a 的前6项的和. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由2a 、3a 、6a 成等比数列可得2326a a a =，即2(12)(1)(15)d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-， 故{}n a 前6项的和为616(61)6(61)661(2)2422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-. 故选：A 9．D 【分析】等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，676712a a a a +>+>，可得67(1)(1)0a a --<，因此61a >，71a <，01q <<．进而判断出结论． 【详解】 解：等比数列{}n a 的各项均为正数，11a >，676712a a a a +>+>，67(1)(1)0a a ∴--<，11a >，若61a <，则一定有71a <，不符合由题意得61a >，71a <，01q ∴<<，故A 、B 正确． 6712a a +>，671a a ∴>，6121231267()1T a a a a a a =⋯=>，故C 正确，131371T a =<，故D 错误，∴满足1n T >的最大正整数n 的值为12．故选：D ． 10．A 【分析】由416a =-，314S a =+列出关于首项与公比的方程组，进而可得答案. 【详解】 因为314S a =+， 所以234+=a a ，所以()2131416a q q a q ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩， 解得2q =-， 故选：A .11．无12．B 【分析】由5312a a a +=，解得q ，然后由414242212(1)111(1)11a q S q q q a q S q q---===+---求解. 【详解】在等比数列{}n a 中，5312a a a +=， 所以421112a q a q a +=，即42210q q +-=， 解得212q =所以414242212(1)1311(1)121a q S q q q a q S q q---===+=---， 故选：B 【点睛】本题主要考查等比数列通项公式和前n 项和公式的基本运算，属于基础题, 13．C 【分析】令n n n c a b =-，由111233n n n a b a ++=+，11344n n n b a b +=+可知数列{}n c 是首项为1.8，公比为12的等比数列，即11.812n n c -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯，则110.0121.8n -⎛⎫< ⎪⎝⎭⨯，解不等式可得n 的最小值. 【详解】令n n n c a b =-，则11120.2 1.8c a b =-=-=111113131344444121233343n n n n n n n n n n nn c a b a b a b b a a a b ++++⎛⎫=-=+--=+-- ⎪⎝+⎭111222n n n a b c -== 所以数列{}n c 是首项为1.8，公比为12的等比数列，所以11.812n n c -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⨯由0.01n n a b -<，即110.0121.8n -⎛⎫< ⎪⎝⎭⨯，整理得12180n ->由72128=，82256=，所以18n -=，即9n =故选：C. 【点睛】本题考查了等比数列及等比数列的通项公式，解题的关键是根据已知的数列递推关系式，利用等比数列的定义，得到数列{}n c 为等比数列，考查了学生的分析问题能力能力与运算求解能力，属于中档题. 14．B 【分析】由数列n a 与n S 的关系转化条件可得11n n a a -=+，结合等差数列的性质可得n a n =，再由错位相减法可得()1122n n T n +=-⋅+，即可得解.【详解】由题意，()()*21n n n S a a n N=+∈，当2n ≥时，()11121n n n S a a ---=+，所以()()11122211n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+-+， 整理得()()1110n n n n a a a a --+--=，因为数列{}n a 单调递增且0n S >，所以110,10n n n n a a a a --+≠--=，即11n n a a -=+， 当1n =时，()11121S a a =+，所以11a =， 所以数列{}n a 是以1为首项，公差为1的等差数列， 所以n a n =，所以1231222322n n T n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，()23412122232122n n n T n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅，所以()()234111212222222212212n nn n n n T n n n +++--=++++⋅⋅⋅+-⋅=-⋅=-⋅--，所以()1122n n T n +=-⋅+，所以876221538T =⨯+=，987223586T =⨯+=，所以2020n T >成立的n 的最小值为8. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是数列n a 与n S 关系的应用及错位相减法的应用. 15．C 【分析】根据等比数列的通项公式，由题中条件，求出公比，进而可得出结果. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为12a =，且53a a =，所以21q =，解得1q =±， 所以91012a a q ==±.故选：C. 16．A 【分析】由()4633512a a a a a a q +++=+，求得3q ，再由()37s 94s 6a a a a a a q ++=++求解.【详解】1234a a a ++=，4568a a a ++=.∴32q =，∴()378945616a a a a a a q ++=++=.故选：A 17．C 【分析】根据等比数列的定义和判定方法逐一判断. 【详解】对于A ，若24n n a =，则2nn a =±，+1+12n n a =±，则12n na a +=±，即后一项与前一项的比不一定是常数，故A 错误；对于B ，当0n a =时，满足12n n n a a a ++=⋅，但数列{}n a 不为等比数列，故B 错误； 对于C ，由2m nm n a a +⋅=可得0n a ≠，则+1+12m n m n a a +⋅=，所以1+1222n n m n m n a a +++==，故{}n a 为公比为2的等比数列，故C 正确；对于D ，由31211n n n n a a a a +++=⋅⋅可知0n a ≠，则312n n n n a a a a +++⋅=⋅，如1，2，6，12满足312n n n n a a a a +++⋅=⋅，但不是等比数列，故D 错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：证明或判断等比数列的方法， （1）定义法：对于数列{}n a ，若()10,0n n na q q a a +=≠≠，则数列{}n a 为等比数列； （2）等比中项法：对于数列{}n a ，若()2210n n n n a a a a ++=≠，则数列{}n a 为等比数列；（3）通项公式法：若n n a cq =（,c q 均是不为0的常数），则数列{}n a 为等比数列； （4）特殊值法：若是选择题、填空题可以用特殊值法判断，特别注意0n a =的判断. 18．B 【分析】先求得首项，根据等比数列的求和公式，代入首项和公比的值，即可计算出5S 的值. 【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为2,2n S a =，公比2q ，所以211a a q==，又因为1111nna q S qq，所以()551123112S -==-.故选：B. 19．C 【分析】取特殊值可排除A ，根据等比数列性质与基本不等式即可得C 正确，B ，D 错误. 【详解】解：设等比数列的公比为q ，对于A 选项，设1231,2,4a a a =-==-，不满足1322a a a +≥，故错误；对于B 选项，若13a a =，则211a a q =，则1q =±，所以12a a =或12a a =-，故错误； 对于C 选项，由均值不等式可得2221313222a a a a a +≥⋅=，故正确；对于D 选项，若31a a >，则()2110a q ->，所以()14221a a a q q -=-，其正负由q 的符号确定，故D 不确定. 故选：C. 20．D 【分析】利用等比中项定义得解.【详解】23111()()(2222-==±，12∴与12的等比中项是2± 故选:D二、多选题 21．无 22．无23．BCD 【分析】考虑常数列可以判定A 错误，利用反证法判定B 正确，代入等差比数列公式判定CD 正确. 【详解】对于数列{}n a ，考虑121,1,1n n n a a a ++===，211n n n na a a a +++--无意义，所以A 选项错误；若等差比数列的公差比为0，212110,0n n n n n na a a a a a +++++---==，则1n n a a +-与题目矛盾，所以B 选项说法正确；若32nn a =-+，2113n n n na a a a +++-=-，数列{}n a 是等差比数列，所以C 选项正确；若等比数列是等差比数列，则11,1n n q a a q -=≠，()()11211111111111n n nn n n n n n n a q q a a a q a q q a a a q a q a q q +++--+---===---，所以D 选项正确.故选：BCD 【点睛】易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意： （1）常数列作为特殊的等差数列公差为0； （2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1. 24．ABC 【分析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-=，其前n 项和为()112n n n S na d -=+，结合等差数列的定义和前n 项的和公式以及等比数列的定义对选项进行逐一判断可得答案. 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d , ()11n a a n d +-= 其前n 项和为()112n n n S na d -=+ 选项A.112n S n a d n -=+，则+1111+1222n n S S n n d a d a d n n -⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（常数） 所以数列|n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，故A 正确. 选项B. ()1122n a n d a +-=,则112222n n n na a a d a ++-==（常数），所以数列{}2n a为等比数列，故B正确.选项C. 由,m n a n a m ==，得()()1111m na a m d na a n d m ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩ ，解得11,1a m n d =+-=- 所以()()()111110m n a a n m d n m n m +=++-=+-++-⨯-=，故C 正确. 选项D. 由,m n S n S m ==，则()112n n n n S a d m -=+=，()112m m m m S a d n -=+=将以上两式相减可得：()()()2212dm n a m m n n n m ⎡⎤-+---=-⎣⎦()()()112dm n a m n m n n m -+-+-=-，又m n ≠所以()1112d a m n ++-=-，即()1112dm n a +-=-- ()()()()()()()111112m n m n m n d S m n a m n a m n a m n +++-=++=+++--=-+，所以D 不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：本题考查等差数列和等比数列的定义的应用以及等差数列的前n 项和公式的应用，解答本题的关键是利用通项公式得出()()1111m na a m d na a n d m ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩，从中解出1,a d ，从而判断选项C ，由前n 项和公式得到()112n n n n S a d m -=+=，()112m m m m S a d n -=+=，然后得出()1112dm n a +-=--，在代入m n S +中可判断D ，属于中档题. 25．ACD 【分析】在1+14,()n n a S a n N *==∈中，令1n =，则A 易判断；由32122S a a =+=，B 易判断；令12(1)n n n b n n a ++=+，138b =，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，裂项求和3182n T ≤<，则CD 可判断. 【详解】解：由1+14,()n n a S a n N *==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；32212822S a a =+==≠，故B 错误；+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，12n na a +=， 所以2n ≥时，2422n nn a -=⋅=，令12(1)n n n b n n a ++=+，12123(11)8b a +==+，2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++===-++⋅+⋅，1138T b ==，2n ≥时，()()23341131111111118223232422122122n n n n T n n n ++=+-+-++-=-<⨯⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅ 所以n *∈N 时，3182n T ≤<，故CD 正确；故选：ACD. 【点睛】方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,12n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩递推数列的通项，注意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和. 26．AD 【分析】根据等比数列的定义判断． 【详解】设{}n a 的公比是q ，则11n n a a q -=，A ．23513a a q a a ==，1a ，3a ，5a 成等比数列，正确； B ，32a q a =，363a q a =，在1q ≠时，两者不相等，错误； C ．242a q a =，484a q a =，在21q ≠时，两者不相等，错误； D ．36936a aq a a ==，3a ，6a ，9a 成等比数列，正确． 故选：AD ． 【点睛】结论点睛：本题考查等比数列的通项公式．数列{}n a 是等比数列，则由数列{}n a 根据一定的规律生成的子数列仍然是等比数列： 如奇数项1357,,,,a a a a 或偶数项246,,,a a a 仍是等比数列，实质上只要123,,,,,n k k k k 是正整数且成等差数列，则123,,,,,n k k k k a a a a 仍是等比数列． 27．CD 【分析】由题意得到数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9 ，利用列举法，结合等差数列以及等比数列的求和公式，验证即可求解. 【详解】由题意，数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9，利用列举法，可得当25n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,2,4,8,16,32，可得52520(139)2(12)40062462212S ⨯+-=+=+=-，2641a =，所以2612492a =，不满足112n n S a +>； 当26n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,2,4,8,16,32，可得52621(141)2(12)44162503212S ⨯+-=+=+=-，2743a =，所以2612526a =，不满足112n n S a +>； 当27n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,2,4,8,16,32，可得52722(143)2(12)48462546212S ⨯+-=+=+=-，2845a =，所以2712540a =，满足112n n S a +>； 当28n =时，AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,37,39,41,43,45,2,4,8,16,32，可得52823(145)2(12)52962591212S ⨯+-=+=+=-，2947a =，所以2812564a =，满足112n n S a +>，所以使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为27,28. 故选：CD. 【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式，以及“分组求和法”的应用，其中解答中正确理解题意，结合列举法求得数列的前n 项和，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 28．AD 【分析】根据题意71a >，81a <，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可. 【详解】因为11a >，781a a ⋅>，87101a a -<-， 所以71a >，81a <，所以01q <<，故A 正确.27981a a a =<⋅，故B 错误；因为11a >，01q <<，所以数列{}n a 为递减数列，所以n S 无最大值，故C 错误； 又71a >，81a <，所以n T 的最大值为7T ，故D 正确. 故选：AD 【点睛】本题考查了等比数列的性质、定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 29．ACD 【分析】根据题设中的数阵，结合等比数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由题意，该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列，且112a =，13611a a =+，可得2213112a a m m ==，6111525a a d m =+=+，所以22251m m =++，解得3m =或12m =-（舍去），所以选项A 是正确的； 又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；又由1111111(3[((1)][2(1)3]31)3j j j j ij i a ma i m m i i a ----==+-⨯⨯==-⨯+-⨯⨯，所以选项C 是正确的； 又由这2n 个数的和为S ， 则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++11121(13)(13)(13)131313n n n n a a a ---=+++---1(231)(31)22nn n +-=-⋅ 1(31)(31)4n n n =+-，所以选项D 是正确的， 故选ACD. 【点睛】本题主要考查了数表、数阵数列的求解，以及等比数列及其前n 项和公式的应用，其中解答中合理利用等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 30．ABD 【分析】由()*123nn na a n N a +=∈+两边取倒数，可求出{}n a 的通项公式，再逐一对四个选项进行判断，即可得答案. 【详解】因为112323n nn n a a a a ++==+，所以11132(3)n n a a ++=+，又11340a +=≠， 所以13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2位公比的等比数列，11342n n a -+=⨯即1123n n a +=-，故选项A 、B 正确.由{}n a 的通项公式为1123n n a +=-知，{}n a 为递减数列，选项C 不正确.因为1231n na +=-，所以 1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和23112(23)(23)(23)2(222)3n n n T n +=-+-++-=+++-22(12)2312234n n n n +-⨯-=⨯-=--.选项D 正确，故选：ABD 【点睛】本题考查由递推公式判断数列为等比数列，等比数列的通项公式及前n 项和，分组求和法，属于中档题. 31．BCD 【分析】举反例，反证，或按照等比数列的定义逐项判断即可. 【详解】解：设{}n a 的公比为q ，A. 设()1nn a =-，则10n n a a ++=，显然{}1n n a a ++不是等比数列.B.2211n n n n a a q a a +++=，所以{}1n n a a +为等比数列. C. ()()24222221222211n n n n n n a q q a a q a a a q +++++==++，所以{}221n n a a ++为等比数列. D. 当1q =时，n S np =，{}n S 显然不是等比数列； 当1q ≠时，若{}n S 为等比数列，则()222112n n n S S n S -+=≥，即()()()211111111111n n n a q a q a q q q q-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⎪⎪⎪= ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1q =，与1q ≠矛盾，综上，{}n S 不是等比数列. 故选：BCD. 【点睛】考查等比数列的辨析，基础题. 32．AC 【分析】在A 中，数列{}2n a 是等比数列；在B 中，58a =；在C 中，若123a a a <<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；在D 中，13r =-. 【详解】由数列{}n a 是等比数列，知： 在A 中，22221n n a a q -=，22221122221nn n n a a q q a a q+-∴==是常数， ∴数列{}2n a 是等比数列，故A 正确；在B 中，若32a =，732a =，则58a =，故B 错误；在C 中，若1230a a a <<<，则1q >，数列{}n a 是递增数列；若1230a a a <<<，则01q <<，数列{}n a 是递增数列，故C 正确；在D 中，若数列{}n a 的前n 和13n n S r -=+，则111a S r ==+，()()221312a S S r r =-=+-+=， ()()332936a S S r r =-=+-+=，1a ，2a ，3a 成等比数列， 2213a a a ∴=，()461r ∴=+，解得13r =-，故D 错误. 故选：AC . 【点睛】本题考查等比数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 33．AB 【分析】由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B 选项;因为 11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭,通过裂项求和可求得111ni i i a a =+∑;由等差的性质可知12m n +=利用基本不等式可验证选项D 错误. 【详解】由已知可得:43n a n =-,22n S n n =-,=21n S n n -,则数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则前10项和为()10119=1002+.所以A 正确; 1,a 3,a m a 成等比数列,则231=,m a a a ⋅81m a =,即=4381m a m =-=,解得21m =故B 正确; 因为11111=44341i i a a n n +⎛⎫- ⎪-+⎝⎭所以1111111116=1=455494132451n i ii n n n a a n =+⎛⎫-+-++-> ⎪++⎝⎭-∑,解得6n >,故n 的最小值为7,故选项C 错误;等差的性质可知12m n +=,所以()()1161116116125=116172412121212n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+++=+++≥+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当16=n m m n 时,即48=45n m =时取等号,因为*,m n ∈N ,所以48=45n m =不成立,故选项D 错误.故选:AB.【点睛】本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般. 34．ACD【分析】根据新定义进行判断．【详解】A ．若数列{}n a 是单增数列，则11111111()(1)n n n n n n n n n n b b a a a a a a a a ------=--+=-+， 虽然有1n n a a ->，但当1110n n a a -+<时，1n n b a -<，因此{}n b 不一定是单增数列，A 正确； B ．31n a n =-，则13131n b n n =---，易知{}n b 是递增数列，无最大值，B 错； C ．31n a n =-，则13131n b n n =---，易知{}n b 是递增数列，有最小值，最小值为1b ，C 正确；D ．若112nn a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则111()121()2n n n b =-----， 首先函数1y x x=-在(0,)+∞上是增函数， 当n 为偶数时，11()(0,1)2n n a =-∈，∴10n n nb a a =-<， 当n 为奇数时，11()2n n a =+1>，显然n a 是递减的，因此1n n n b a a =-也是递减的， 即135b b b >>>，∴{}n b 的奇数项中有最大值为13250236b =-=>， ∴156b =是数列{}(*)n b n N ∈中的最大值．D 正确． 故选：ACD ．【点睛】本题考查数列新定义，解题关键正确理解新定义，把问题转化为利用数列的单调性求最值．35．ACD【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a ，列式即可求出m ，从而求出通项ij a ， 再按照分组求和法，每一行求和可得S ，由此可以判断各选项的真假．【详解】∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去）， ∴a ij ＝a i 1•3j ﹣1＝[2+（i ﹣1）×m ]•3j ﹣1＝（3i ﹣1）•3j ﹣1，∴a 67＝17×36，∴S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn ) 11121131313131313n n n n a a a ---=+++---（）（）（） 12=（3n ﹣1）•2312n n +-（） 14=n （3n +1）（3n ﹣1） 故选：ACD.【点睛】本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，分组求和法，等差数列，等比数列前n 项和公式的应用，属于中档题．。

等比数列1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q 推广：n mn m n n n m n m m ma a a a q q q a a ---=⇔=⇔= 3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A ab =± 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==--11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 （3）通项公式：()0{}nn n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n mn m a a q-=。

（3）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。

等比性质练习题（打印版）### 等比数列练习题题目一：基础概念题已知数列 {a_n} 是等比数列，且 a_2 = 2，a_5 = 16，求该等比数列的首项 a_1 和公比 q。

题目二：求和公式应用数列 {b_n} 是首项为 3，公比为 2 的等比数列。

求前 8 项的和 S_8。

题目三：等比数列的通项公式已知数列 {c_n} 的前 n 项和为 S_n = 36(1 - q^n) / (1 - q)，其中q ≠ 1。

求该数列的通项公式 c_n。

题目四：等比数列的项数确定数列 {d_n} 是首项为 1，公比为 3 的等比数列。

若 a_6 = 729，求数列的项数 n。

题目五：等比数列的项数与和数列 {e_n} 是首项为 2，公比为 -2 的等比数列。

若前 n 项和 S_n= 2^(n+1) - 2，求 n 的值。

题目六：等比数列与等差数列的结合数列 {f_n} 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，数列 {g_n} 是首项为 2，公比为 2 的等比数列。

若 f_n = g_n，求 n 的值。

题目七：等比数列的项与和已知数列 {h_n} 是首项为 2，公比为 4 的等比数列。

若 a_3 + a_4= 50，求 S_5。

题目八：等比数列的项与项数数列 {i_n} 是首项为 1，公比为 2 的等比数列。

若 a_3 = 8，求 n的值。

题目九：等比数列的应用一个几何级数的首项为 10，公比为 1/2。

如果这个级数的前 10 项的和是 5，求这个级数的第 11 项。

题目十：等比数列的极限数列 {j_n} 是首项为 1，公比为 1/2 的等比数列。

求当 n 趋向无穷大时，j_n 的极限值。

解答提示：- 等比数列的通项公式为：a_n = a_1 * q^(n-1)- 等比数列的前 n 项和公式为：S_n = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中q ≠ 1- 等比数列的项数 n 可以通过 a_n = a_1 * q^(n-1) 来确定- 注意等比数列的公比 q 可以是正数、负数或 0，但q ≠ 1请根据上述提示，自行解答练习题。

考点1等比数列的通项与前n 项和题型1已知等比数列的某些项，求某项【例1】已知{}n a 为等比数列，162,262==a a ，则=10a题型2 已知前n 项和n S 及其某项，求项数.【例2】⑴已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，93=n S ，48=n a ，公比2=q ，则项数=n .⑵已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37，中间两数之和为36，求这四个数. 题型3 求等比数列前n 项和【例3】等比数列Λ,8,4,2,1中从第5项到第10项的和.【例4】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，13233331-+++++=n n a Λ，求n S【例5】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，n n n a 3)12(⋅-=，求n S .【新题导练】1.已知{}n a 为等比数列，6,3876321=++=++a a a a a a ，求131211a a a ++的值.2.如果将100,50,20依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为 .3.已知n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，364,243,362===n S a a ，则=n ； 4.已知等比数列{}n a 中，21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是 .5.已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，0>n a ，80=n S ，65602=n S ，前n 项中的数值最大的项为54，求100S .考点2 证明数列是等比数列【例6】已知数列{}n a 和{}n b 满足：λ=1a ，4321-+=+n a a n n ，)213()1(+--=n a b n n n ，其中λ为实数，+∈N n . ⑴ 对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列；⑵ 试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论.【新题导练】6.已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…．证明：数列1{1}n a -是等比数列；考点3 等比数列的性质【例7】已知n S 为等比数列{}n a 前n 项和，54=n S ，602=n S ，则=n S 3 . 【新题导练】7.已知等比数列{}n a 中，36)2(,04624=++>a a a a a n ，则=+53a a .考点4 等比数列与其它知识的综合 【例8】设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()21n n n ba b S -=- ⑴证明：当2b =时，{}12n n a n --⋅是等比数列； ⑵求{}n a 的通项公式【新题导练】8.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N .⑴ 设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；⑵ 若)(1++∈≥N n a a n n ，求a 的取值范围．7.等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ．8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1(1)3n n S a n N *=-∈； ⑴求1a ，2a 的值；⑵证明数列{}n a 是等比数列，并求n S ．。

第2课时等比数列前n 项和的性质及应用1.已知等比数列{a n }的公比为2，且其前5项和为1，那么{a n }的前10项和等于()A.31B.33C.35D.37考点等比数列前n 项和的性质题点连续m 项的和成等比数列答案B解析设{a n }的公比为q ，由题意，q ＝2，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝1，则a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝q 5(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＝q 5＝25＝32，∴S 10＝1＋32＝33.2.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝x ·3n －1－16，则x 的值为()A.13B.－13C.12D.－12考点等比数列前n 项和题点等比数列前n 项和综合问题答案C 解析方法一∵S n ＝x ·3n －1－16＝x 3·3n －16，由S n ＝A (q n －1)，得x 3＝16，∴x ＝12，故选C.方法二当n ＝1时，a 1＝S 1＝x －16；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2x ·3n －2，∵{a n }是等比数列，∴n ＝1时也应适合a n ＝2x ·3n －2，即2x ·3－1＝x －16，解得x ＝12.3.已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋bn ＋c ，等比数列{b n }的前n 项和T n ＝3n ＋d ，则向量a ＝(c ，d )的模为()A.1B.2C.3D.无法确定考点等比数列前n项和题点等比数列前n项和综合问题答案A解析由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c＝0，d＝－1，所以向量a＝(c，d)的模为1.4.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99等于()A.24B.12C.18D.22考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案B解析设a1＋a3＋…＋a99＝S，则a2＋a4＋…＋a100＝2S.∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.1.在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；若{a n}是等比数列，且a n>0，则{lg a n}构成等差数列.2.等比数列前n项和中用到的数学思想(1)分类讨论思想：①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,0<q<1时为递增数列；当a1<0，q>1或a1>0,0<q<1时为递减数列；当q<0时为摆动数列；当q＝1时为常数列.(2)函数思想：等比数列的通项a n＝a1q n－1＝a1q·q n(q>0且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和S n＝a1q－1(q n－1)(q≠1).设A＝a1q－1，则S n＝A(q n－1)与指数函数相联系.(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把q n，a11－q当成整体求解.一、选择题1.等比数列{a n}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比q等于()A.2B.12C.4D.14考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n项和性质综合答案C解析∵a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，∴a 4－a 3＝3(S 3－S 2)＝3a 3，即a 4＝4a 3，∴q ＝a 4a 3＝4，故选C.2.设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于()A.1B.0C.1或0D.－1考点等比数列前n 项和的性质题点等比数列前n 项和性质综合答案A解析∵S n －S n －1＝a n ，又{S n }是等差数列，∴a n 为定值，即数列{a n }为常数列，∴q ＝a na n －1＝1.3.在等比数列{a n }中，已知S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于()A.90B.70C.40D.30考点等比数列前n 项和的性质题点连续m 项的和成等比数列答案C解析∵S 30≠3S 10，∴q ≠1.30＝13S 10，10＋S 30＝14010＝10，30＝130，10，130，∴q 20＋q 10－12＝0，∴q 10＝3，∴S 20＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40.4.已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为()A.－2 B.2C.－3D.3考点等比数列前n 项和的性质题点连续m 项的和成等比数列答案B解析设公比为q，若q＝1，则S2mS m＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.∵S2mS m＝a1(1－q2m)1－qa1(1－q m)1－q＝q m＋1＝9，∴q m＝8.∴a2ma m＝a1q2m－1a1q m－1＝q m＝8＝5m＋1m－1，∴m＝3，∴q3＝8，∴q＝2.5.已知等比数列{a n}的公比为q，记b n＝a m(n－1)＋1＋a m(n－1)＋2＋…＋a m(n－1)＋m，c n＝a m(n－1)＋1·a m(n－1)＋2·…·a m(n－1)＋m(m，n∈N*)，则以下结论一定正确的是()A.数列{b n}为等差数列，公差为q mB.数列{b n}为等比数列，公比为q2mC.数列{c n}为等比数列，公比为qm2D.数列{c n}为等比数列，公比为qm m考点等比数列前n项和的性质题点连续m项的和成等比数列答案C解析∵{a n}是等比数列，∴a mn＋ma m(n－1)＋m＝q mn＋m－m(n－1)－m＝q m，∴c n＋1c n＝a mn＋1·a mn＋2·…·a mn＋ma m(n－1)＋1·a m(n－1)＋2·…·a m(n－1)＋m＝(q m)m＝2m q.6.设{a n}是由正数组成的等比数列，S n为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于()A.15 2B.31 4C.33 4D.17 2考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n项和性质综合答案B解析∵{a n}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，∴设{a n}的公比为q，则q>0，且a23＝1，即a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝1q2＋1q＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q 2＝4.∴S 51－12＝314.7.数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1，n ∈N *)，则a 6等于()A.3×44B.3×44＋1C.45D.45＋1考点等比数列前n 项和的性质题点等比数列前n 项和性质综合答案A解析当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1，∴该数列从第3项起每一项都是前一项的4倍，即该数列从第2项起是以4为公比的等比数列.又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ，n ＝1，×4n －2，n ≥2，n ∈N *.∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.8.记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于()A.－3B.5C.－31D.33考点等比数列前n 项和的性质题点连续m 项的和成等比数列答案D解析由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－qa 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝9，∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－qa 1(1－q 5)1－q ＝1＋q 5＝1＋25＝33.二、填空题9.等比数列{a n }共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.考点等比数列前n 项和的性质题点等比数列奇偶项和的性质答案2解析奇＋S 偶＝－240，奇－S 偶＝80，奇＝－80，偶＝－160，∴q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.10.已知首项为1的等比数列{a n }是摆动数列，S n 是{a n }的前n 项和，且S 4S 2＝5前5项和为________.考点等比数列前n 项和的性质题点等比数列前n 项和性质综合答案1116解析S 4S 2＝S 2＋q 2S 2S 2＝1＋q 2＝5，q ＝±2.∵{a n }是摆动数列，∴q ＝－2.1，公比为－12，前51＝1＋13232＝1116.三、解答题11.已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .考点错位相减法求和题点错位相减法求和解(1)设数列{a n }的公比为q ，由题意知2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，∴q 3－2q 2＋q －2＝0，即(q －2)(q 2＋1)＝0.∴q ＝2，即a n ＝2·2n －1＝2n ，n ∈N *.(2)由题意得，b n ＝n ·2n ，∴S n＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n，①2S n＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1，②①－②，得－S n＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1＝－2－(n－1)·2n＋1.∴S n＝2＋(n－1)·2n＋1，n∈N*.12.中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题.若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人.从2026年开始到2035年每年人口为上一年的99%.(1)求实施新政策后第n年的人口总数a n的表达式；(注：2016年为第一年)(2)若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施.问到2036年是否需要调整政策？考点等比数列前n项和应用题题点等比数列前n项和的应用题解(1)当n≤10时，数列{a n}是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，所以a n＝45.5＋0.5×(n－1)＝45＋0.5n.当n≥11时，数列{a n}是以0.99为公比的等比数列.又a10＝50，所以a n＝50×0.99n－10，因此新政策实施后第n年的人口总数a n(单位：万人)的表达式为a n ＋0.5n，1≤n≤10，n∈N*×0.99n－10，11≤n≤20，n∈N*.(2)设S n为数列{a n}的前n项和，则从2016年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得S20＝S10＋(a11＋a12＋…＋a20)＝477.5＋4950×(1－0.9910)≈950.8(万)，所以新政策实施后的2016年到2035年的年人口均值为S2020≈47.54万.因为S2020<49，故到2036年不需要调整政策.13.已知{a n}是以a为首项，q为公比的等比数列，S n为它的前n项和.(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；(2)当S m，S n，S l成等差数列时，求证：对任意自然数k，a m＋k，a n＋k，a l＋k也成等差数列.考点等比数列前n项和的性质题点等比数列前n 项和性质综合(1)解由已知，得a n ＝aq n －1，因此S 1＝a ，S 3＝a (1＋q ＋q 2)，S 4＝a (1＋q ＋q 2＋q 3).当S 1，S 3，S 4成等差数列时，S 4－S 3＝S 3－S 1，可得aq 3＝aq ＋aq 2，化简得q 2－q －1＝0.解得q ＝1±52.(2)证明若q ＝1，则{a n }的各项均为a ，此时a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 显然成等差数列.若q ≠1，由S m ，S n ，S l 成等差数列可得S m ＋S l ＝2S n ，即a (q m －1)q －1＋a (q l －1)q －1＝2a (q n －1)q －1，整理得q m ＋q l ＝2q n .因此a m ＋k ＋a l ＋k ＝aq k －1(q m ＋q l )＝2aq n＋k －1＝2a n ＋k ，所以a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 成等差数列.四、探究与拓展14.数列{a n }满足：a 1＝43，且a n ＋1＝4(n ＋1)a n 3a n ＋n (n ∈N *)，则1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝________.考点等比数列前n 项和的性质题点等比数列前n 项和性质综合答案201723＋13×42018解析由题意可知n ＋1a n ＋1＝34＋14·na n，即n ＋1a n ＋1－1又1a 1－1＝－14，所以n a n ＝1－14n ，所以1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋n a n ＝n －41－14＝n －13＋13·14n ，则1a1＋2a2＋3a3＋…＋2018a2018＝2018－13＋13×142018＝201723＋13×42018.15.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3(2n －1)，数列{b n }的通项公式为b n ＝5n －2.数列{a n }和{b n }的所有公共项按从小到大的顺序构成数列{c n }.若数列{c n }的第n 项恰为数列{a n }的第k n 项，则数列{k n }的前32项的和是________.考点等比数列前n 项和的性质题点等比数列前n 项和性质综合答案2016解析当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3(2n －1)－3(2n －1－1)＝3×2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，∴a n ＝3×2n －1.令a t ＝b s ，∴3×2t －1＝5s －2，则s ＝3×2t －1＋25.t ＝1，s ＝1，符合题意；t ＝2，s ＝85，不合题意；t ＝3，s ＝145，不合题意；t ＝4，s ＝265，不合题意；t ＝5，s ＝10，符合题意；…；∴{k n }是以1为首项，4为公差的等差数列，∴数列{k n }的前32项之和为32×1＋32×312×4＝2016.。

等比数列考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．知识梳理1．等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(m ，n ∈N *)．(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列(m 为偶数且q ＝－1除外)． (4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k. (5)若⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1，则等比数列{a n }递增．若⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1，则等比数列{a n }递减．常用结论1．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也是等比数列． 2．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n，这里c ≠0，q ≠0. 3．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n－A (A ≠0，q ≠1,0)． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．( × ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( × )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n1－a.( × )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × ) 教材改编题1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2D ．±12答案 D解析 设等比数列的公比为q ， ∵{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，∴a 4＝a 2q 2，∴q 2＝a 4a 2＝14，∴q ＝±12.2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，则a 6＋a 8＝______. 答案 5解析 ∵{a n }是等比数列， 且a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25， ∴a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝25. 又∵a n >0，∴a 6＋a 8＝5.3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________． 答案 1,3,9或9,3,1解析 设这三个数为a q，a ，aq ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋aq ＋aq ＝13，a ·aq ·aq ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝3，∴这三个数为1,3,9或9,3,1.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S na n等于( ) A ．2n－1 B ．2－21－nC ．2－2n －1D ．21－n－1答案 B解析 方法一 设等比数列{a n }的公比为q ， 则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2. 由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12，得a 1＝1. 所以a n ＝a 1qn －1＝2n －1，S n ＝a 11－q n 1－q ＝2n－1，所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n.方法二 设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3q 2－a 3＝12，①a 4q 2－a 4＝24，②②①得a 4a 3＝q ＝2. 将q ＝2代入①，解得a 3＝4. 所以a 1＝a 3q2＝1，下同方法一．(2)(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________.答案1213解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5， 所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 11－q 51－q＝13×1－351－3＝1213. 教师备选1．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，则a 4＝________. 答案 54或24解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·q ＝6，6a 1＋a 1·q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝3，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝3，a 4＝a 1·q 3＝2×33＝54或a 4＝3×23＝3×8＝24.2．已知数列{a n }为等比数列，其前n 项和为S n ，若a 2a 6＝－2a 7，S 3＝－6，则a 6等于( ) A ．－2或32 B ．－2或64 C ．2或－32 D ．2或－64答案 B解析 ∵数列{a n }为等比数列，a 2a 6＝－2a 7＝a 1a 7，解得a 1＝－2，设数列的公比为q ，S 3＝－6＝－2－2q －2q 2， 解得q ＝－2或q ＝1，当q ＝－2时，则a 6＝(－2)6＝64， 当q ＝1时，则a 6＝－2.思维升华 (1)等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q.跟踪训练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ， 令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴{a n }是以a 1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列， ∴a n ＝2×2n －1＝2n.又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25， ∴2k ＋11－2101－2＝215－25，即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.(2)(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. ①求{a n }的通项公式； ②求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1.解 ①设{a n }的公比为q (q >1)．由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32(舍去)．所以{a n }的通项公式为a n ＝2n，n ∈N *. ②由于(－1)n －1a n a n ＋1＝(－1)n －1×2n ×2n ＋1＝(－1)n －122n ＋1，故a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n －1·22n ＋1＝23[1－－22n]1－－22＝85－(－1)n 22n ＋35. 题型二 等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，设b n ＝a n n. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式． 解 (1)由条件可得a n ＋1＝2n ＋1na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列， 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a nn＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.教师备选已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n . (1)证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列； (2)若a 1＝12，a 2＝32，求{a n }的通项公式．(1)证明 a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ， 所以a n ＋2＋a n ＋1＝3(a n ＋1＋a n )， 因为{a n }中各项均为正数， 所以a n ＋1＋a n >0，所以a n ＋2＋a n ＋1a n ＋1＋a n＝3，所以数列{a n ＋a n ＋1}是公比为3的等比数列． (2)解 由题意知a n ＋a n ＋1＝(a 1＋a 2)3n －1＝2×3n －1，因为a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2－3a n ＋1＝－(a n ＋1－3a n )，a 2＝3a 1， 所以a 2－3a 1＝0，所以a n ＋1－3a n ＝0， 故a n ＋1＝3a n ， 所以4a n ＝2×3n －1，a n ＝12×3n －1.思维升华 等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (3)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n－k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．跟踪训练2 S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0.(1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)易知q ≠1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝9a 1q ，a 11－q31－q＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3， ∴a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n－12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列， ∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13， ∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)， 解得λ＝12，此时S n ＋12＝12×3n，则S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n＝3，故存在常数λ＝12，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列．题型三 等比数列的性质例3 (1)若等比数列{a n }中的a 5，a 2019是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2023等于( ) A.20243 B ．1011 C.20232D ．1012答案 C解析 由题意得a 5a 2019＝3， 根据等比数列性质知，a 1a 2023＝a 2a 2022＝…＝a 1011a 1013＝a 1012a 1012＝3，于是a 1012＝123，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2023 ＝log 3(a 1a 2a 3…a 2023)11011232023=l 3·og 3.2⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( )A ．40B ．60C ．32D ．50 答案 B解析 数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列， 即4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列， ∴S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 教师备选1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝__________. 答案 73解析 设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠－1，由等比数列前n 项和的性质可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3， 又由已知得S 6＝3S 3， ∴S 9－S 6＝4S 3， ∴S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 2．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________. 答案 2解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．跟踪训练3 (1)(2022·安康模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝7，则S 40等于( )A ．5B ．10C ．15D ．－20 答案 C解析 易知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…成等比数列．设{a n }的公比为q ，则S 20－S 10S 10＝q 10>0，故S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…均大于0. 故(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)，即(S 20－1)2＝1·(7－S 20)⇒S 220－S 20－6＝0. 因为S 20>0，所以S 20＝3.又(S 30－S 20)2＝(S 20－S 10)(S 40－S 30)， 所以(7－3)2＝(3－1)(S 40－7)，故S 40＝15.(2)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝4，a 1a 2·…·a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16答案 A解析 ∵a 1a 2…a 8＝16， ∴a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1a 7＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 4＋1a 5＝12(a 1＋a 8)＋12(a 2＋a 7)＋12(a 3＋a 6)＋12(a 4＋a 5) ＝12(a 1＋a 2＋…＋a 8)＝2. 课时精练1．(2022·合肥市第六中学模拟)若等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝1，a 4＋a 5＝8，则a 7等于( ) A.643B ．－643C.323 D ．－323答案 A解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 4＋a 5a 1＋a 2＝q 3＝8， 所以q ＝2，又a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝1， 所以a 1＝13，所以a 7＝a 1×q 6＝13×26＝643.2．已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( ) A ．2B ．4C.92D ．6答案 B解析 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24， ∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2. 又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4.3．(2022·开封模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( )A.13B ．－13C.19D ．－19 答案 B解析 由等比数列前n 项和的性质知，S n ＝32n －1＋r ＝13×9n ＋r ，∴r ＝－13.4．(2022·天津北辰区模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天走的路程为( ) A ．6里 B ．12里 C ．24里 D ．48里答案 C解析 由题意可知，该人所走路程形成等比数列{a n }，其中q ＝12，因为S 6＝a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，所以a 4＝a 1·q 3＝192×18＝24.5．(多选)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( ) A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列 B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列 C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q的等比数列答案 AD 解析 对于A ，由a n a n ＋1a n －1a n＝q 2(n ≥2)知数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列； 对于B ，当q ＝－1时，数列{a n ＋a n ＋1}的项中有0，不是等比数列； 对于C ，当q ＝1时，数列{a n －a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D ，1a n ＋11a n＝a n a n ＋1＝1q， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列．6．(多选)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，则有( ) A ．S n ＝3n －1B ．{S n }为等比数列C ．a n ＝2·3n －1D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2答案 ABD解析 由题意，数列{a n }的前n 项和满足a n ＋1＝2S n (n ∈N *)， 当n ≥2时，a n ＝2S n －1，两式相减，可得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ， 可得a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n＝3(n ≥2)， 又a 1＝1，则a 2＝2S 1＝2a 1＝2，所以a 2a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2.当n ≥2时，S n ＝a n ＋12＝2·3n －12＝3n －1，又S 1＝a 1＝1，适合上式， 所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n －1，又S n ＋1S n ＝3n3n －1＝3， 所以数列{S n }为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD 是正确的．7．(2022·嘉兴联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________. 答案 1解析 由于S 3＝7，S 6＝63知公比q ≠1， 又S 6＝S 3＋q 3S 3， 得63＝7＋7q 3. ∴q 3＝8，q ＝2.由S 3＝a 11－q 31－q ＝a 11－81－2＝7，得a 1＝1.8．已知{a n }是等比数列，且a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 7＝________；若公比q ＝13，则a 4＝________.答案 3 81解析 由{a n }是等比数列， 得a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243， 故a 7＝3，a 4＝a 7q3＝81.9．(2022·徐州模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *. (1)求实数p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)在等比数列{b n }中，b 3＝a 1，b 4＝a 2＋4，若{b n }的前n 项和为T n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16为等比数列． (1)解 S n ＝na 1＋n n －12d ＝na 1＋n (n －1)＝n 2＋(a 1－1)n ， 又S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *， 所以p ＝1，a 1－1＝2，即a 1＝3， 所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)证明 因为b 3＝a 1＝3，b 4＝a 2＋4＝9， 所以q ＝3， 所以b n ＝b 3·q n －3＝3n －2，所以b 1＝13，所以T n ＝131－3n1－3＝3n－16，所以T n ＋16＝3n 6，又T 1＋16＝12，所以T n ＋16T n －1＋16＝3n 63n －16＝3(n ≥2)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16是以12为首项，3为公比的等比数列．10．(2022·威海模拟)记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋1.设b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：数列{b n }为等比数列；(2)设c n ＝|b n －100|，T n 为数列{c n }的前n 项和．求T 10. (1)证明 由S n ＋1＝4a n ＋1， 得S n ＝4a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)， 两式相减得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， 所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)， 所以b n b n －1＝a n ＋1－2a na n －2a n －1＝2a n －2a n －1a n －2a n －1＝2(n ≥2)，又a 1＝1，S 2＝4a 1＋1， 故a 2＝4，a 2－2a 1＝2＝b 1≠0，所以数列{b n }为首项与公比均为2的等比数列． (2)解 由(1)可得b n ＝2·2n －1＝2n，所以c n ＝|2n－100|＝⎩⎪⎨⎪⎧100－2n，n ≤6，2n－100，n >6，所以T 10＝600－(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210－400 ＝200－21－261－2＋27＋28＋29＋210＝200＋2＋28＋29＋210＝1 994.11．(多选)(2022·滨州模拟)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n ＋1＋a n }为等比数列B ．数列{a n ＋1－2a n }为等比数列C ．a n ＝2n ＋1＋－1n3D ．S 20＝23(410－1)答案 ABD解析 因为a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)， 所以a n ＋a n －1＝2a n －1＋2a n －2＝2(a n －1＋a n －2)， 又a 1＋a 2＝2≠0，所以{a n ＋a n ＋1}是等比数列，A 正确；同理a n －2a n －1＝a n －1＋2a n －2－2a n －1＝－a n －1＋2a n －2＝－(a n －1－2a n －2)，而a 2－2a 1＝－1， 所以{a n ＋1－2a n }是等比数列，B 正确； 若a n ＝2n ＋1＋－1n3，则a 2＝23＋－123＝3，但a 2＝1≠3，C 错误；由A 知{a n ＋a n －1}是等比数列，且公比为2，因此数列a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，…仍然是等比数列，公比为4， 所以S 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＝21－4101－4＝23(410－1)，D 正确． 12．(多选)(2022·黄冈模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0.则下列结论正确的是( ) A ．0<q <1B ．a 7·a 9>1C ．S n 的最大值为S 9D ．T n 的最大值为T 7答案 AD解析 ∵a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0， ∴a 7>1,0<a 8<1， ∴0<q <1，故A 正确；a 7a 9＝a 28<1，故B 错误；∵a 1>1,0<q <1，∴数列为各项为正的递减数列， ∴S n 无最大值，故C 错误； 又a 7>1,0<a 8<1，∴T 7是数列{T n }中的最大项，故D 正确．13．(2022·衡阳八中模拟)设T n 为正项等比数列{a n }(公比q ≠1)前n 项的积，若T 2015＝T 2021，则log 3a 2019log 3a 2021＝________.答案 15解析 由题意得，T 2015＝T 2021＝T 2015·a 2016a 2017a 2018a 2019a 2020a 2021， 所以a 2016a 2017a 2018a 2019a 2020a 2021＝1， 根据等比数列的性质，可得a 2016a 2021＝a 2017a 2020＝a 2018a 2019＝1， 设等比数列的公比为q ，所以a 2016a 2021＝a 20212q 5＝1⇒a 2021＝52,qa 2018a 2019＝a 20192q＝1⇒a 2019＝12,q所以log 3a 2019log 3a 2021＝123523log 1.5log q q14.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．答案132解析 由题意，得正方形的边长构成以22为首项,22为公比的等比数列，现已知共含有1023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1023，所以n ＝10，所以最小正方形的边长为⎝⎛⎭⎪⎫2210＝132.15．(多选)在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是( ) A ．k 不可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为0 答案 AD解析 对于A ，k 不可能为0，正确；对于B ，当a n ＝1时，{a n }为等差数列，但不是“等差比数列”，错误；对于C ，当等比数列的公比q ＝1时，a n ＋1－a n ＝0，分式无意义，所以{a n }不是“等差比数列”，错误；对于D ，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确． 16．已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，数列{a n b n }的前n 项和为2n －1·3n＋12.(1)分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．解 (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列， 所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0， 所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3， 所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝2n －1·3n＋12，所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝2n －3·3n －1＋12(n ≥2)，两式相减，得a n b n ＝2n ·3n －1(n ≥2)，因为a n ＝2·3n －1，所以b n ＝n (n ≥2)，当n ＝1时，由a 1b 1＝2及a 1＝2，得b 1＝1(符合上式)，所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <34.因为∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立， 所以m ≥34，即实数m 的最小值为34.。

高中数学-等比数列的性质练习[A 基础达标]1．等比数列{a n }的公比q ＝－14，a 1＝2，则数列{a n }是( ) A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析：选D.由于公比q ＝－14<0，所以数列{a n }是摆动数列． 2．等比数列{a n }中，a 2＝4，a 7＝116，则a 3a 6＋a 4a 5的值是 ( ) A ．1B ．2 C.12 D ．14解析：选C.a 3a 6＝a 4a 5＝a 2a 7＝4×116＝14， 所以a 3a 6＋a 4a 5＝12. 3．在等比数列{a n }中，已知a 7·a 12＝5，则a 8·a 9·a 10·a 11等于( )A ．10B ．25C ．50D ．75解析：选B.法一：因为a 7·a 12＝a 8·a 11＝a 9·a 10＝5，所以a 8·a 9·a 10·a 11＝52＝25.法二：由已知得a 1q 6·a 1q 11＝a 21q 17＝5，所以a 8·a 9·a 10·a 11＝a 1q 7·a 1q 8·a 1q 9·a 1q 10＝a 41·q 34＝(a 21q 17)2＝25.4．计算机的价格不断降低，若每件计算机的价格每年降低13，现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为( )A ．300元B ．900元C ．2 400元D ．3 600元 解析：选C.降低后的价格构成以23为公比的等比数列．则现在价格为8 100元的计算机3年后的价格可降低为8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝2 400(元)． 5．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：选C.等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.6．在等比数列{a n }中，各项均为正数，且a 6a 10＋a 3a 5＝41，a 4a 8＝5，则a 4＋a 8＝________． 解析：因为a 6a 10＝a 28，a 3a 5＝a 24，所以a 28＋a 24＝41.又因为a 4a 8＝5，a n >0，所以a 4＋a 8＝（a 4＋a 8）2 ＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝51. 答案：517．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是________．解析：设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b ，（a －6）2＝3b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27. 答案：3或278．设x ，y ，z 是实数，9x ，12y ，15z 成等比数列．且1x ，1y ，1z 成等差数列，则x z ＋z x的值是________．解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧（12y ）2＝9x ×15z ，2y ＝1x ＋1z ，所以y ＝2xz x ＋z ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫24xz x ＋z 2＝135xz ，化简得15x 2＋15z 2＝34xz ，两边同时除以15xz 可得x z ＋z x ＝3415. 答案：34159．三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列这三个数，又可成为等比数列，这三个数和为6，求这三个数．解：由已知，可设这三个数为a －d ，a ，a ＋d ，则a －d ＋a ＋a ＋d ＝6，所以a ＝2，这三个数可表示为2－d ，2，2＋d ，①若2－d 为等比中项，则有(2－d )2＝2(2＋d )，解之得d ＝6，或d ＝0(舍去)．此时三个数为－4，2，8.②若2＋d 是等比中项，则有(2＋d )2＝2(2－d )，解之得d ＝－6，或d ＝0(舍去)． 此时三个数为8，2，－4.③若2为等比中项，则22＝(2＋d )·(2－d )，所以d ＝0(舍去)．综上可求得此三数为－4，2，8.10．等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n (n ≥2，n ∈N ＋)的前n 项和． 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 23＝9a 2a 6＝9a 24，所以q 2＝a 24a 23＝19，因为a n ＞0，所以q ＞0，所以q ＝13，因为2a 1＋3a 2＝2a 1＋3a 1q ＝1，所以3a 1＝1，a 1＝13，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n＝log 3(a 1·a 2·…·a n )＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋2＋3＋…＋n＝－n （n ＋1）2.设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为S n ， 则S n ＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝－2nn ＋1.[B 能力提升]11．数列{a n }的首项为1，数列{b n }为等比数列且b n ＝a n ＋1a n，若b 10·b 11＝2，则a 21＝() A ．20 B ．512C ．1 013D ．1 024解析：选D.因为b n ＝a n ＋1a n，且b 10·b 11＝2，又{b n }是等比数列，所以b 1·b 20＝b 2·b 19＝…＝b 10·b 11＝2， 则a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3…a 21a 20＝b 1b 2b 3…b 20＝210，即a 21a 1＝1 024， 从而a 21＝1 024a 1＝1 024. 12．在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________． 解析：因为1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，又a 8a 9＝a 7a 10，所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝158－98＝－53. 答案：－5313．如图所示，在边长为1的等边三角形A 1B 1C 1中，连接各边中点得△A 2B 2C 2，再连接△A 2B 2C 2的各边中点得△A 3B 3C 3，…，如此继续下去，试证明数列S △A 1B 1C 1，S △A 2B 2C 2，S △A 3B 3C 3，…是等比数列．证明：由题意，得△A n B n C n (n ＝1，2，3…)的边长A n B n 构成首项为1，公比为12的等比数列，故A n B n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以S △A n B n C n ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －2， 所以S △A n ＋1B n ＋1C n ＋1S △A n B n C n ＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫122n34⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －2＝14. 因此，数列S △A 1B 1C 1，S △A 2B 2C 2，S △A 3B 3C 3，…是等比数列．14．(选做题)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝55，S 20＝210.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n a n ＋1，是否存在m ，k (k >m ≥2，m ，k ∈N ＋)使得b 1，b m ，b k 成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m ，k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝55，20a 1＋20×192d ＝210，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝11，2a 1＋19d ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n (n ∈N ＋)．(2)假设存在m ，k (k >m ≥2，m ，k ∈N ＋)使得b 1，b m ，b k 成等比数列．则b 2m ＝b 1b k .因为b n ＝a n a n ＋1＝nn＋1，所以b 1＝12，b m ＝m m ＋1，b k ＝kk ＋1， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫mm ＋12＝12×kk ＋1.整理，得k ＝2m2－m 2＋2m ＋1.以下给出求m ，k 的方法： 因为k >0，所以－m 2＋2m ＋1>0， 解得1－2<m <1＋ 2. 因为m ≥2，m ∈N ＋，所以m ＝2，此时k ＝8. 故存在m ＝2，k ＝8使得b 1，b m ，b k 成等比数列．。

等比数列（试题）第一篇：等比数列(试题)关于等比数列的试题一、选择题：11，两数的等比中项是（）A．1B．-1C．±1D．12.已知{an}是等比数列，a2=2,a5=,则公比q=（）411(A)-(B)-2(C)2(D)22S43.设等比数列{an}的公比q=2，前n项和为Sn，则=（）a21517A.2B.4C.D.224.若数列{an}的前n项的和Sn=3n-2，那么这个数列的通项公式为（）31A.an=()n-1 B.an=3⨯()n-1 22⎧1,n=1C.an=3n-2 D.an=⎨n-1 ⎩2⋅3,n≥25.已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝pn-2(p∈R，n∈N*)，那么数列{an}（）A．是等比数列B．当p≠0时是等比数列C．当p≠0，p≠1时是等比数列D．不是等比数列 126.已知等差数列｛an｝的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于（）（A）－4（B）－6（C）－8（D）－107．已知数列｛an｝既是等差数列又是等比数列，则这个数列的前n项和为（）Ａ．0B．nＣ．n a1Ｄ．a1n8．已知数列｛an｝的前n项和Sn=3an－2,那么下面结论正确的是（）Ａ．此数列为等差数列．此数列为等比数列Ｃ．此数列从第二项起是等比数列9．在等比数列｛an｝中，Sn=48,S2n=60,则S3n等于（）A.26B.27C.62D.6310．已知等比数列｛an｝中，an=2×3n-1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和Sn的值为（）Ａ．3－n．3(3－n9n-1Ｃ．4n11．实数等比数列｛an｝，Sn＝a1+a2+Λ+an，则数列｛Sn｝中（）Ａ．任意一项都不为零．必有一项为零Ｃ．至多有有限项为零Ｄ．可以有无数项为零12．△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a,b,c成等比数列，c=2a，则cosB＝（）A.14B.34C.24D.2 3二、填空题：13．在等比数列{an}中, 若a3=3,a9=75,则a10=___________.14.已知等比数列｛an｝中，a1＋a2=9，a1a2a3=27,则｛an｝的前n项和Sn= __________。

等比数列的概念与性质练习题1.已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a =A.21B. 22C. 2D.22. 如果1,,,,9a b c --成等比数列，那么（ ）A 、3,9b ac ==B 、3,9b ac =-=C 、3,9b ac ==-D 、3,9b ac =-=-3、若数列}{n a 的通项公式是1210(1)(32),nn a n a a a =--+++=则（A ）15 （B ）12 （C ）-12 D ）-154.在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8 5.．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 A ．2 B ．4 C ．8D ．166.若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且310a b c ++=，则a = A ．4 B ．2 C ．－2 D ．－47.公比为32等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则162log a =（ ） A.4 B.5 C.6 D.78.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=⋅a a a a ，则=1020a a （ ） A.32 B.23 C. 32或23 D. －32或－23 9.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为（ ）A ．16B ．24C ．48D ．12810.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中1a =2，5a =8，则3a 的值为（ ）A. －4B.4C. ±4D. 511.等比数列{}n a 的各项均为正数，且5647a a a a +＝18，则3132310log log log a a a +++＝A ．12B ．10C ．8D ．2＋3log 512. 设函数()()()*2,311N n x n x x f ∈≤≤-+-=的最小值为n a ，最大值为n b ，则2n n n n c b a b =-是( )A.公差不为零的等差数列B.公比不为1的等比数列C.常数列D.既不是等差数列也不是等比数列13. 三个数c b a ,,成等比数列，且0,>=++m m c b a ，则b 的取值范围是（ ） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0m B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3,m m C . ⎪⎭⎫ ⎝⎛3,0m D. [)⎥⎦⎤⎝⎛⋃-3,00,m m 14.已知等差数列}{n a 的公差0≠d ，且931,,a a a 成等比数列，则1042931a a a a a a ++++的值为 ．15.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则=+221b a a ______．16．已知 nn a ⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=312，把数列}{n a 的各项排成三角形状:987654321,,,,,,a a a a a a a a a记()n m A ,表示第m 行，第n 列的项，则()8,10A =_______.17.设二次方程2110()n n a x a x n N *+-+=∈有两个实根α和β，且满足6263ααββ-+=．（1）试用n a 表示1n a +；（2）求证：2{}3n a -是等比数列； （3）当176a =时，求数列{}n a 的通项公式．18.已知两个等比数列{}n a 、{}n b 满足()01>=a a a ，3,2,1332211=-=-=-a b a b a b . (1)若1=a ，求数列{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n a 唯一，求a 的值．等比数列的概念与性质练习题参考答案1.B 【解析】设公比为q ,由已知得()22841112a q a q a q ⋅=,即22q=,又因为等比数列}{n a 的公比为正数，所以q故212a a q ===,选B 2.B 3.A 4. A 5。