函数及函数的应用

江苏省13大市2013届高三上学期期末数学试题分类汇编
函数及函数的应用
1、（常州市2013届高三期末）函数22()log (4)f x x =-的值域为 ▲ ． 答案：(,2]-∞
2、（连云港市2013届高三期末）已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2，x ∈[0，1]x ，x ∉[0，1].
则使f [f (x )]＝2成立的实数x
的集合为 ▲ . 答案：{x |0≤x ≤1,或x =2}
3、（南京市、盐城市2013
届高三期末）已知函数02,
()(2),
2x f x f x x ≤<=-≥⎪⎩, 若关于x 的方程()f x kx =(0)k >有且仅有四个根, 其最大根为, 则函数2
25()6724
g t t t =-+的值域为 ▲ 答案：41
[,1)25
-
- 4、（南通市2013届高三期末）定义在R 上的函数()f x ，对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=，当(2,0)x ∈- 时，()4x f x =， 则(2013)f = ▲ ． 答案：
1
4
． 5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知函数⎪
⎩⎪
⎨⎧∈-∈=]3,1(,2
329]1,0[,3)(x x x x f x ，当]
1,0[∈t 时，]1,0[))((∈t f f ，则实数t 的取值范围是 ▲ .
37[log ,1]3
6、（苏州市2013届高三期末）某厂去年的产值为1，若计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年这五年内，这个厂的总产值约为 ．（保留一位小数，取51.1 1.6≈）
6.6 7、（泰州市2013届高三期末）设函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(a)>f(b), 则f(-a) f(-b)(填“>”或：“<”) ＜
8、（无锡市2013届高三期末）13．定义一个对应法则f ：P （rn ，n ）→p '（m ，2|n|）．现有
直角坐标平面内的点A （-2，6）与点B （6，-2），点M 是线段AB 上的动点，按定义
的对应法则f ：M→M'．当点M 在线段AB 上从点A 开始运动到点B 时，点M 的对应
点M'经过的路线的长度为 。

8、（无锡市2013届高三期末）14．已知关于x 的函数y=2
(1)t x t x
-+（f ∈R ）的定义域为D ，
存在区间[a ，b]⊆D ，f （x ）的值域也是[a ，b]．当t 变化时，b －a 的最大值=。

9、（扬州市2013届高三期末）已知函数2log ()3
x
x f x ⎧=⎨
⎩(0)
(0)x x >≤，则=)]0([f f ▲ ． 答案：0
10、（镇江市2013届高三期末）方程lg(2)1x x +=有 ▲ 个不同的实数根．
答案：2 11、（南通市2013届高三期末）已知01a <<，若log (21)log (32)a a x y y x -+>-+，且
x y <+λ，则λ的最大值为 ▲ ．
答案：－2．
12、（泰州市2013届高三期末）已知f(x)= 222mx m ++,0,,m m R x R ≠∈∈.若
121x x +=，则
12()
()
f x f x 的取值范围是 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-22,221
13、（扬州市2013届高三期末）如图所示：矩形n n n n A B C D 的一边n n A B 在x 轴上，另两个顶点n C 、n D 在函数1
()(0)f x x x x
=+
>的图像上，若点n B 的坐标为()*,0(2,)n n n N ≥∈）
，矩形n n n n A B C D 的周长记为n a ，则=+⋅⋅⋅++1032a a a ▲ ． 答案：216
14、（南京市、盐城市2013届高三期末）近年来，某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费C （单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x (单位:平方米)之间的函数关系是()(0,20100
k
C x x k x =
≥+为常数). 记F 为该村安装这种太阳能供电设备的
费用与该村15年共将消耗的电费之和.
(1)试解释(0)C 的实际意义, 并建立F 关于x 的函数关系式；
(2)当x 为多少平方米时, F 取得最小值？最小值是多少万元？
解: (1) (0)C 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用, 即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费………………………………2分
由(0)24100
k
C =
=,得2400k = …………………………………………3分 所以24001800
150.50.5,0201005F x x x x x =⨯
+=+≥++……………………………7分 (2)
因为1800
0.5(5)0.250.2559.755F x x =++-≥=+ ………………10分
当且仅当
1800
0.5(5)5
x x =++,即55x =时取等号 …………………………13分 所以当x 为55平方米时, F 取得最小值为59.75万元…………………………14分
15、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）如图，两座建筑物CD AB ,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9cm 和15cm ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角︒=∠45CAD . (1) 求BC 的长度；
(2) 在线段BC 上取一点(P 点P 与点C B ,不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为
,,βα=∠=∠DPC APB 问点P 在何处时，βα+最小？
⑴作AE ⊥CD ，垂足为E ，则9CE =，6DE =，设BC x =，则
t a
n t a n t a
1t a
n
C A E C A D
C A
C A
E
∠∠
∠=∠∠=
-∠⨯∠++…………………2分
961961x x x x
==-⋅+
，化简得215540x x --=，解之得，
18x =或3x =-（舍）
答：BC 的长度为18m ．………………………………………………………………6分 ⑵设BP t =，则18(018)CP t t =-<<，
2291516266(27)
18tan()9151813518135118t t t t t t t t t t
αβ-===-----⋅
-+
+++++．………………………8分
设227()18135
t
f t t t =--++，222
542723()(18135)t t f t t t -⨯'=-++，令()0f t '=，因为018t <<，得27t =，当(0,15)
t ∈时，()0f t '<，()f t 是减函数；当27,18)t ∈
时，()0f t '>，()f t 是增函数，
A
B
D
C
P
β
α
第17题图
所以，当27t =时，()f t 取得最小值，即tan()αβ+取得最小值，………12分 因为2181350t t --<+恒成立，所以()0f t <，所以tan()0αβ<+，(,)2
αβπ∈π+，
因为tan y x =在(,)2
ππ上是增函数，所以当27t =时，αβ+取得最小值．
答：当BP 为27)m 时，αβ+取得最小值． ……………………………14分。