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谱估计在现代信号处理中是一个很重要的课题。
功率谱估计课分为经典谱估计方法和现代谱估计方法。
研究二阶平稳随机过程特征－功率谱密度－揭示随机过程中所隐含的周期及相邻的谱峰等有用信息。
则要用有限长的N 个样本数据去估计该平稳随机过程的功率谱密度－谱估计的方法。
此种估计是建立在时间平均的方法之上，并假定具有遍历性。
经典谱估计－线性、非参数化方法：周期图法，相关图法等。
采用经典的傅里叶变换及窗口截断。
对长序列有良好估计。
现代谱估计－非线性、参数化方法：最大似然估计，最大熵法，AR 模型法，预测滤波器法，ARMA 模型等。
对短序列的估计精度高，与经典法相互补充。
是融合经典变换理论、统计估计理论、系统辨识、信息论、时间序列分析及计算方法等理论与技术－新学科。
应用广泛，发展迅速。
1、谱密度意义 一、 能谱密度设x(t)是确定性的复连续信号，若其绝对可积或其能量有限，即：则x(t)的连续傅氏变换存在，由下式给出：错误！未找到引用源。
根据Parseval 能量定理，有：错误！未找到引用源。
由上式可见，信号能量E 等于信号频谱模值平方错误！未找到引用源。
在整个频域上的积分，故称错误！未找到引用源。
为信号的能谱密度。
当x(t)为广义平稳过程时，其能量通常是无限的，则需研究其功率的频域上的分布，即功率密度。
对于平稳随机过程，谱分析是采用自相关函数：错误！未找到引用源。
) 1 1 ( ) ( 2- - - ∞ < =⎰ ∞∞- dt t x E )2 1 ( ) 2 exp( ) ( ) ( - - - - =⎰ ∞∞- dt ft j t x f X π)3 1 ( ) ( ) ( 22- - - ==⎰ ⎰ ∞∞- ∞∞- df f X dt t x E )4 1 ( ) ( ) ( 2 - - = f X f ε [ ] )5 1 () ( * ) ( ) ( - - + = Γ τ τ τ x t x E xWiener-Kinchine 定理将自相关函数与功率谱密度联系起来：错误！未找到引用源。
线性代数方程组的数值解法讨论解线性方程组的方法，主要分为直接方法和迭代方法两种。
直接法是在没有舍入误差的假设下能在预定的运算次数内求得精确解。
而实际上，原始数据的误差和运算的舍入误差是不可以避免的，实际上获得的也是近似解。
迭代法是构造一定的递推格式，产生逼近精确解的序列。
对于高阶方程组，如一些偏微分方程数值求解中出现的方程组，采用直接法计算代价比较高，迭代法则简单又实用，因此比较受工程人员青睐。
小组成员本着工程应用，讨论将学习的理论知识转变为matlab 代码。
讨论的成果也以各种代码的形式在下面展现。
1 Jacobi 迭代法使用Jacobi 迭代法，首先必须给定初始值，其计算过程可以用以下步骤描述： 步骤1 输入系数矩阵A ，常熟向量b ，初值(0)x ，误差限ε，正整数N ，令1k =.步骤2 (0)11ni i ij jj ii j i x b a x a =≠⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑，(0)j x 代表(0)x 的第j 个分量。
步骤3 计算11ni i ij j j ii j i y b a x a =≠⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑，判断1max i i i n x y ε≤≤-<，如果是，则结束迭代，转入步骤5；否则，转入步骤4。
步骤4 判断k N =？如果是，则输出失败标志；否则，置1k k =+，i i x y ⇐，1,2,,i n =，转入步骤2。
步骤5 输出12,,n y y y 。
雅可比迭代代码function [x,k]=Fjacobi(A,b,x0,tol)% jacobi 迭代法 计算线性方程组% tol 为输入误差容限，x0为迭代初值max1= 300; %默认最多迭代300，超过要300次给出警告 D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1); B=D\(L+U); f=D\b; x=B*x0+f;k=1; %迭代次数while norm(x-x0)>=tol x0=x;x=B*x0+f; k=k+1;if(k>=max1)disp('迭代超过300次，方程组可能不收敛'); return; end%[k x'] %显示每一步迭代的结果 End2 高斯赛德尔迭代由Jacobi 迭代法中，每一次的迭代只用到前一次的迭代值，若每一次迭代充分利用当前最新的迭代值，即在计算第i 个分量(1)k i x +时，用最新分量11()k x +，12()k x +…(1)1k i x +-代替旧分量)1(k x ', )2(k x …)3(k x 就得到高斯赛德尔迭代格式，其数学表达式为：1(1)(1)()111(1,2,,)i n k k k ii ij j ij j j j i ii xb a x a x i n a -++==+⎛⎫=--= ⎪⎝⎭∑∑具体形式如下：()()()(1)()()()11221331111(1)(1)()()22112332222(1)(1)(1)(1)(1)112233,11111k k k k n n k k k k n n k k k k k n n n n n n n n nnx a x a x a x b a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a ++++++++--=----+=----+⋯⋯⋯⋯⋯⋯=-----+矩阵形式表示为：()(1)1(1)()(0,1,2,,),k k k k n +-+=++=x D Lx Ux b将(1)(1)()(0,1,2,,)k k k k n ++=++=Dx Lx Ux b 移项整理得： (1)1()1()()(0,1,2,,))k k x D L Ux D L b k n +--=-+-=记11(),()--=-=-M D L U g D L b ，则(1)()k k x x +=+M g高斯塞德尔迭代function [x,k]=Fgseid(A,b,x0,tol)%高斯-塞德尔迭代法 计算线性方程组 % tol 为误差容限max1= 300; %默认最高迭代300次D=diag(diag(A)); L=-tril(A,-1); U=-triu(A,1); G=(D-L)\U; f=(D-L)\b; x=G*x0+f;k=1; while norm(x-x0)>=tol x0=x;x=G*x0+f; k=k+1;if(k>=max1)disp('迭代次数太多，可能不收敛'); return; end% [k,x'] %显示每一步迭代结果 End3 超松弛迭代法在工程中最常遇到的问题便是线性代数方程组的求解,而线性代数方程组的求解一般可以分为两类,一类是直接法(精确法),包括克莱姆法则方法、LD 分解法等，另一类是迭代法（近似法），包括雅克比迭代法、高斯迭代法、超松弛迭代法等。
《算法设计与分析》历年期末试题整理(含答案)（1）用计算机求解问题的步骤：1、问题分析2、数学模型建立3、算法设计与选择4、算法指标5、算法分析6、算法实现7、程序调试8、结果整理文档编制（2）算法定义：算法是指在解决问题时，按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程（3）算法的三要素1、操作2、控制结构3、数据结构算法具有以下5 个属性：有穷性：一个算法必须总是在执行有穷步之后结束，且每一步都在有穷时间内完成。
确定性：算法中每一条指令必须有确切的含义。
不存在二义性。
只有一个入口和一个出口可行性：一个算法是可行的就是算法描述的操作是可以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现的。
输入：一个算法有零个或多个输入，这些输入取自于某个特定对象的集合。
输出：一个算法有一个或多个输出，这些输出同输入有着某些特定关系的量。
算法设计的质量指标：正确性：算法应满足具体问题的需求；可读性：算法应该好读，以有利于读者对程序的理解；健壮性：算法应具有容错处理，当输入为非法数据时，算法应对其作出反应，而不是产生莫名其妙的输出结果。
效率与存储量需求：效率指的是算法执行的时间；存储量需求指算法执行过程中所需要的最大存储空间。
一般这两者与问题的规模有关。
经常采用的算法主要有迭代法、分而治之法、贪婪法、动态规划法、回溯法、分支限界法迭代法也称“辗转法”，是一种不断用变量的旧值递推出新值的解决问题的方法。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：一、确定迭代模型。
在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式。
所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。
迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制。
在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。
不能让迭代过程无休止地重复执行下去。
第一章和第三章题库 Pascal 语言的创始人N.Wirth 提出的一个著名公式是：程序＝____+____。
算法，数据结构算法的非形式化定义为，它是一个____。
有穷的运算规则序列 算法的五个特征是：____、____、____、____、____。
确定性，能行性，有穷性，有0个或1个以上的输入，有1个以上的输出问题的可计算程度分为三种：____、____、____。
算法不可解，算法可解，实际可解分析算法的五个准则是：____、____、____、____、____。
正确性，工作量，空间量，简单性，最优性 算法的最坏性态是指____。
算法所执行的基本运算的最大次数 算法的平均性态是指____。
算法在各种输入情况下所执行的基本运算次数的加权平均在分析算法的工作量时，使用的衡量标准是____。
基本操作在分析算法的工作量时，一般从____和____两个方面分析。
最坏情况、平均情况10.在一个10元素的有序表中查找某数x （x 不一定在表中），最坏情况下至少需要比较_4___次。
平衡二叉树是树中叶子深度满足____的二叉树。
叶子深度之差不超过1epl 为二叉树中所有叶子的深度之和，ipl 为二叉树中所有内结点（内结点个数为n ）的深度之和，则epl 和ipl 满足____关系。
epl=ipl+2n使用淘汰赛法，寻找表中的最大和次大项，最坏情况下需要____次比较操作。
⎡⎤2log -+n n使用淘汰赛法，寻找表中的最大和最小项，最坏情况下需要____次比较操作。
⎡⎤12/3-n在n 个数的表中寻找最大项，最少需要n-1____次比较。
比较函数f(n)=2n 3+3n 和g(n)=100n 2+2n+100的阶，满足____关系。
F(n)= Ω(g(n))比较函数f(n)=50n ＋logn 和g(n)=10n+loglogn 的阶，满足____关系。
F(n)=Θ(g(n))比较函数f(n)=logn 和g(n)=(logn)2的阶，满足____关系。
新余一中2021-2022学年高二下学期开学考试数学文科试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“若1x >，则0x >”的否命题是（）A.若1x ≤，则0x ≤ B.若1x ≤，则0x >C.若1x >，则0x ≤ D.若1x <，则0x <2.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若45,75a B C ==︒=︒，则b =（）A.2B.C.322D.3.根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,,300i =L ），求得的回归方程是ˆˆˆy bx a =+，则下列说法正确的是A.至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆy bx a =+上B.若所有样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则变量同的相关系数为1C.对所有的解释变量i x （1,2,,300i =L ），ˆˆi bx a +的值一定与i y 有误差D.若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b>，则变量x 与y 正相关4.行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：1112112221122122a a a a a a a a =-，已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若()7911001a a -=，则15S =（）A.152B.45C.75D.1505.如图所示，平面四边形ABCD 中，4AB =，2AC =，CD =，45ADC ︒∠=，150DAB ︒∠=，则BC 的长为（）A.B.C.D. 6.方程22131x y m m+=+-表示椭圆的充分不必要条件可以是（）A.()3,1m ∈-B.()()3,11,1m ∈--⋃-C.()3,0m ∈- D.()3,1m ∈--7.古希腊数学家欧几里德在公元前300年左右提出了欧几里德算法，又叫辗转相除法．如图，若输入m ，n 的值分别为779，209，则输出的m ＝（）A .17B.18C.19D.208.已知数列{}n a 中，12a =，当2n ≥时，()1212nn n a a n -=+-⋅，设2nn na b =，则数列{}n b 的通项公式为（）A.222n n -+ B.212n n +- C.2232n n -+ D.2222n n +-9.若椭圆22134x y +=的弦AB 恰好被点()1,1M 平分，则AB 所在的直线方程为（）A.3410x y -+=B.3470x y +-=C.4310x y --= D.4370x y +-=10.若双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为A.B.5C.D.211.在数列{}n a 中，对任意n ∈N *，都有211(n n n na a k k a a +++-=-为常数)，则称{}n a 为“等差比数列”.下面对“等差比数列”的判断正确的是（）A.k 可能为0B.等差数列一定是等差比数列C.等比数列一定是等差比数列D.通项公式为()001nn a a b c a b =⋅+≠≠，，的数列一定是等差比数列12.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线.现有方程()()2222123m x y y x y +++=-+表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为（）A.()0,1 B.()1,+∞ C.()0,5 D.()5,+∞二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数2iz i+=-(其中i 为虚数单位)，则z 的值为___________.14.若x ，y 满足不等式组2402030x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为________.15.已知动点P 在双曲线22:13y C x -=上，双曲线C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，下列结论正确的是________．①双曲线C 的渐近线与圆22(2)3x y -+=相切②满足24PF =的点P 共有2个③直线()2y k x =-与双曲线的两支各有一个交点的充要条件是k ≤≤④若128PF PF +=，则126PF F S = 16.已知ABC 中，点(1,0)A -，点()1,0B ，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，且2223a b c S +=+，则满足条件的点C 的轨迹长度为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知p ：对任意x R ∈，都有()212102x a x --+>；q ：存在x R ∈，使得4210x x a -⋅+=．（1）若“p 且q ”为真，求实数a 的取值范围；（2）若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．18.ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2a b ==.（1）若6A π=，求cos 2B ；（2）当A 取得最大值时，求ABC 的面积.19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：吨)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y ()1,2,3,,8i = 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw()821ii x x =-∑()821ii w w =-∑()()81iii x x y y =--∑()()81iii w w y y =--∑46.65636.8289.8 1.61469108.8表中：1w =8118ii w w ==∑（1）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）根据（2）中的回归方程，求当年宣传费36x =千元时，年销售预报值是多少？附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()81821ii i i i uu v v u u β==--=-∑∑， v u αβ=-.20.数列{}n a ，*n ∈N 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足221n n n a S a -=.（1）求证数列{}2n S 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设4241n nb S =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并求使()2136n T m m >-对所有的*n ∈N 都成立的最大正整数m 的值.21.2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数3869人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为100万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为()W x 万元，在年产量不足19万件时，22()3W x x x =+（万元），在年产量大于或等于19万件时，400()26320W x x x=+-（万元），每件产品售价为25元，通过市场分析，生产的医用防护用品当年能全部售完．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）（2）年产量为多少万件时，某厂家在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？22.已知点P是圆22(16C x y ＋＝上任意一点，)A 是圆C 内一点，线段AP 的垂直平分线与半径CP 相交于点Q ．（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹E 的方程；（2）设不经过坐标原点O ，且斜率为12的直线l 与曲线E 相交于M 、N 两点，记OM 、ON 的斜率分别是1k 、2k ，以OM 、ON 为直径的圆的面积分别为1S 、2.S 当1k 、2k 都存在且不为0时，试探究1212S S k k ＋是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．新余一中2021-2022学年高二下学期开学考试数学文科试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.命题“若1x >，则0x >”的否命题是（）A.若1x ≤，则0x ≤ B.若1x ≤，则0x >C.若1x >，则0x ≤ D.若1x <，则0x <A【详解】试题分析：由“若p ，则q ”的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”得“若1x >，则0x >”的否命题是若1x ≤，则0x ≤.故选：A.考点：否命题.2.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若45,75a B C ==︒=︒，则b =（）A.2B.C.322D.B【分析】先根据三角形内角和求得A ，进而利用正弦定理求得b ．【详解】由题意可知，180457560A =︒-︒-︒=︒，由正弦定理可知sin sin a bA B=，所以2sin 2sin 32a Bb A⋅==．故选：B ．3.根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,,300i =L ），求得的回归方程是ˆˆˆy bx a =+，则下列说法正确的是A.至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆy bx a =+上B.若所有样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则变量同的相关系数为1C.对所有的解释变量i x （1,2,,300i =L ），ˆˆi bx a +的值一定与i y 有误差D.若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b>，则变量x 与y 正相关D【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A 错误；所有样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则变量间的相关系数为1±，故B 错误；若所有的样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则ˆˆbx a +的值与y i 相等，故C 错误；相关系数r 与ˆb 符号相同，若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b>，则0r >，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x 与y 正相关，故D 正确．故选D ．【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：1112112221122122a a a a a a a a =-，已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若()7911001a a -=，则15S =（）A.152B.45C.75D.150C【分析】先由行列式的定义化简，再根据等差数列的前n 项和公式求和即可.【详解】由行列式的定义有9711(10)0a a ⨯-⨯-=，即1875a d a +==，所以11581515()1527522a a a S +⨯===.故选：C.5.如图所示，平面四边形ABCD 中，4AB =，2AC =，CD =，45ADC ︒∠=，150DAB ︒∠=，则BC 的长为（）A.B.C.D.D【分析】由正弦定理得30︒∠=CAD，进而结合余弦定理计算得BC =.【详解】解：由正弦定理，sin sin AC CDADC CAD=∠∠，即2sin 22CAD=∠，故1sin 2CAD ∠=，所以30︒∠=CAD ，所以120BAC ︒∠=，所以由余弦定理，BC ==故选：D ．6.方程22131x y m m+=+-表示椭圆的充分不必要条件可以是（）A.()3,1m ∈-B.()()3,11,1m ∈--⋃-C.()3,0m ∈-D.()3,1m ∈--D【分析】由“方程22131x y m m +=+-表示椭圆”可求得实数m 的取值范围，结合充分不必要条件的定义可得出结论.【详解】若方程22131x ym m +=+-表示椭圆，则301031m m m m+>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，解得3<1m -<-或11m -<<.故方程22131x y m m+=+-表示椭圆的充分不必要条件可以是()3,1m ∈--.故选：D.7.古希腊数学家欧几里德在公元前300年左右提出了欧几里德算法，又叫辗转相除法．如图，若输入m ，n 的值分别为779，209，则输出的m ＝（）A.17B.18C.19D.20C【分析】按照程序框图逐步计算.【详解】方法一：运行情况如下：执行次数mnr177920915222091525731525738457381953819所以输出的19m =.方法二：易知该程序是求两数的最大公约数，而779和209的最大公约数是19,.故选：C【点睛】本题考查程序框图，属于基础题.8.已知数列{}n a 中，12a =，当2n ≥时，()1212nn n a a n -=+-⋅，设2nn na b =，则数列{}n b 的通项公式为（）A.222n n -+ B.212n n +- C.2232n n -+ D.2222n n +-A【分析】根据递推关系式得到11n n b b n --=-，进而利用累加法可求得结果．【详解】 数列{}n a 中，12a =，当2n ≥时，()1212nn n a a n -=+-⋅，11122n n n n a a n --∴=+-，2n n n a b = ，11n n b b n -∴-=-，且11b =，()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---∴=-+-++-+L ()()()()211121211122n n n n n n ⎡⎤-+--+⎣⎦=-+-+++=+=，故选：A ．9.若椭圆22134x y +=的弦AB 恰好被点()1,1M 平分，则AB 所在的直线方程为（）A.3410x y -+=B.3470x y +-=C.4310x y --=D.4370x y +-=D【分析】判断点M 与椭圆的位置关系，再借助点差法求出直线AB 的斜率即可计算作答.【详解】显然点()1,1M 在椭圆22134x y +=内，设点1122(,),(,)A x y B x y ，依题意，22112222134134x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：12121212()()()()034x x x x y y y y -+-++=，而弦AB 恰好被点()1,1M 平分，即12122,2x x y y +=+=，则直线AB 的斜率121212124()43()3y y x x k x x y y -+==-=--+，直线AB ：41(1)3y x -=--，即4370x y +-=，所以AB 所在的直线方程为4370x y +-=.故选：D10.若双曲线22221x y a b-=(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为A. B.5C.D.2A【详解】试题分析：本题已知：焦点坐标(,0)c ，渐近线方程为：by x a=±,距离为：化简得：2b a =，又：222c b a =+，得：2225,5,c c a e a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭考点：双曲线的几何性质及点到直线的距离和方程思想．11.在数列{}n a 中，对任意n ∈N *，都有211(n n n na a k k a a +++-=-为常数)，则称{}n a 为“等差比数列”.下面对“等差比数列”的判断正确的是（）A.k 可能为0B.等差数列一定是等差比数列C.等比数列一定是等差比数列D.通项公式为()001nn a a b c a b =⋅+≠≠，，的数列一定是等差比数列D【分析】由分母不等于0可判断A ；取非0常数列可判断BC ；先判断()001nn a a b c a b =⋅+≠≠，，是否为常数列，然后对211n n n na a a a +++--化简可判断D.【详解】若0k =，则32210a a a a -=-，即320a a -=，则4332a a a a --无意义，故A 错误；当数列{}n a 为常数列，1n a =，则数列{}n a 既是等差数列，又是等比数列，显然不是“等差比数列”，故BC 不正确；当()001nn a a b c a b =⋅+≠≠，，时，11((1)0)n nnn n a b c a a b c ab a b ++⋅+-⋅=--+=≠，所以1211(1)(1)n n n nn n a a ab b a a ab b b ++++---==-，故D 正确.故选：D12.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线.现有方程()()2222123m x y y x y +++=-+表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为（）A.()0,1 B.()1,+∞ C.()0,5 D.()5,+∞C【分析】对方程进行化简可得双曲线上一点(),x y到定点与定直线之比为常数e =，进而可得结果.【详解】已知方程可以变形为()2222321x y m x y y -+=-++==其表示双曲线上一点(),x y 到定点()0,1-与定直线230x y -+=之比为常数e =又由1e >，可得05m <<，故选：C.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知复数2iz i+=-(其中i 为虚数单位)，则z 的值为___________.【分析】根据已知等式，由复数除法的几何含义，即可求z的值.【详解】由题设，知：221i i z i i++====--.故答案为14.若x ，y 满足不等式组2402030x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为________.10【详解】作出不等式区域,如图所示:目标2z x y =+的最大值,即为平移直线2y x z =-+的最大纵截距,当直线经过点7A ,32⎛⎫⎪⎝⎭时z 最大为10.故答案为10.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.已知动点P 在双曲线22:13y C x -=上，双曲线C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，下列结论正确的是________．①双曲线C 的渐近线与圆22(2)3x y -+=相切②满足24PF =的点P 共有2个③直线()2y k x =-与双曲线的两支各有一个交点的充要条件是k ≤≤④若128PF PF +=，则126PF F S = ①④【分析】比较圆心到渐近线的距离和半径的关系可判断①；以2F 为圆心，4为半径作圆，数形结合可判断②；观察直线()2y k x =-与渐近线的位置关系可判断③；根据双曲线定义与已知列方程组求1PF ，2PF ，然后判断12PF F △的形状，由面积公式可得.【详解】双曲线C中，渐近线为y =，焦点为(20)±,，a =1，b =，c =2.圆22(2)3x y -+=的圆心(2,0)0y -=的距离2d r ===，∴①正确；以2F 为圆心，4为半径作圆，由图可知②错误；当k =时，直线()2y k x =-与渐近线平行，由图可知，此时直线与双曲线的左支不相交，故③错误；不妨设点P 在右支上，则由双曲线定义得1222PF PF a -==，又因为128PF PF +=，联立求解可得15PF =，23PF =，所以2221212PF PF F F =+，所以212PF F π∠=，所以12212162PF F S PF F F == ，故④正确.故答案为：①④16.已知ABC 中，点(1,0)A -，点()1,0B ，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，且2223a b c S +=+，则满足条件的点C 的轨迹长度为______．163π9【分析】根据正余弦定理、三角形面积公式及圆的周长公式直接可得解.【详解】如图，2223a b c S +=+，222431sin 32a b c ab C ∴+-=⋅，222323a b c C ab +-∴=，tan C ∴=π3C ∴=，又2c AB ==，ABC ∴ 外接圆半径为3，π3C =，所以点C 的轨迹长度为4π23⨯=，故答案为：163π9.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知p ：对任意x R ∈，都有()212102x a x --+>；q ：存在x R ∈，使得4210x x a -⋅+=．（1）若“p 且q ”为真，求实数a 的取值范围；（2）若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围．（1）[)2,3.（2）()[)1,23,-⋃+∞.【分析】（1）由已知得p ，q 均为真命题，分别求得p 为真命题，q 为真命题时，实数a 的取值范围，再由集合的交集运算求得答案；（2）由已知得p ，q 一真一假，建立不等式组，求解即可.【小问1详解】解：因为“p 且q ”为真命题，所以p ，q 均为真命题．若p 为真命题，则()()()214130a a a ∆=--=+-<，解得13a -<<；若q为真命题，则1222x xa =+≥=，当且仅当122x x =，即0x =时，等号成立，此时2a ≥．故实数a 的取值范围是[)2,3；【小问2详解】解：若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，则p ，q 一真一假．当p 真，q 假时，则13,2,a a -<<⎧⎨<⎩得a ∈()1,2-；当p 假，q 真时，则13,2,a a a ≤-≥⎧⎨≥⎩或得[)3,a ∈+∞．故实数a 的取值范围为()[)1,23,-⋃+∞．18.ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2a b ==.（1）若6A π=，求cos 2B ；（2）当A 取得最大值时，求ABC 的面积.（1）13；（2）32.【分析】（1）利用正弦定理求得sin B 的值，由此求得cos 2B 的值.（2）利用余弦定理求得cos A ，结合基本不等式求得A 的最大值，由此求得此时ABC 的面积.【详解】（1）由正弦定理sin sin a b A B =，得321sin 2B =，解得3sin 3B =所以21cos 212sin 3B B =-=.（2）由余弦定理得22221cos 24b c a c A bc c +-+==.因为2121442c c c c +≥=，当且仅当1c =时，等号成立，所以1cos 2A ≥，则03A π<≤，则A 的最大值为3π.此时，ABC 的面积113sin 21sin 2232S bc A π==⨯⨯⨯=.19.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：吨)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y ()1,2,3,,8i = 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.xyw()821ii x x =-∑()821ii w w =-∑()()81iiix x y y =--∑()()81iii w w y y =--∑46.65636.8289.8 1.61469108.8表中：1w =8118ii w w ==∑（1）根据散点图判断，y a bx =+与y c =+，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）根据（2）中的回归方程，求当年宣传费36x =千元时，年销售预报值是多少？附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()81821ii i i i uu v v u u β==--=-∑∑， v u αβ=-.（1）由散点图可判断y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型；（2）100.6y =+；（3）508.6吨．【分析】（1）由散点图可以知x ,y 关系是非线性的即可判断；（2）令w =，则 y c dw =+ ，利用根据题中数据可计算ˆd ，c的值，即可得y 关于w 的线性回归方程，再将w =代入即可求解；（3）将36x =代入y 关于x 的回归方程即可求解.【详解】（1）由散点图可以判断：y c =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型；（2）令w =，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于()()()81821108.8ˆ681.6iii ii w w y y dw w ==--===-∑∑， 56368 6.8100.6ˆcy d w =-=-⨯=，所以y 关于w 的线性回归方程为 68100.6y w =+，所以y 关于x 的回归方程为100.6y =+；（3）由（2）知：当36x =时，年销售量y 的预报值100.6508.6y =+=故年宣传费36x =千元时，年销售预报值是508.6吨．20.数列{}n a ，*n ∈N 各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足221n n n a S a -=.（1）求证数列{}2n S 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设4241n n b S =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ，并求使()2136n T m m >-对所有的*n ∈N 都成立的最大正整数m 的值.（1）证明见解析，n a =；（2）3【分析】（1）由题得()22112n n S S n --=≥，即得数列{}2n S 为首项和公差都是1的等差数列，再求出n S =，再利用项和公式求数列{}n a 的通项公式.(2)先求出112121n b n n =--+，再利用裂项相消求出n T ，最后解二次不等式得解.【详解】（1）证明：221n n n a S a -= ，∴当2n ≥时，()()21121n n n n n S S S S S -----=，整理得，()22112n n S S n --=≥，又211S =，∴数列{}2n S 为首项和公差都是1的等差数列.2n S n ∴=，又0n S >，n S ∴=2n ∴≥时，1n n n a S S -=-=111a S ==适合此式∴数列{}n a的通项公式为n a =；（2）解：()()422412121n nb S n n ==--+112121n n =--+1111335n T ∴=-+-+112121n n ⋅⋅⋅+-=-+1121n -+*n N ∈ 123n T T ∴≥=依题意有()221336m m >-，解得14m -<<，故所求最大正整数m 的值为3.【点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查项和公式求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数3869人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为100万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为()W x 万元，在年产量不足19万件时，22()3W x x x =+（万元），在年产量大于或等于19万件时，400()26320W x x x=+-（万元），每件产品售价为25元，通过市场分析，生产的医用防护用品当年能全部售完．（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）（2）年产量为多少万件时，某厂家在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？（1）2224100,0193()400220,19x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）当生产的医用防护服年产量为20万件时，厂家所获利润最大，最大利润为180万元．【分析】（1）根据题意，分019x <<、19x ≥两种情况可写出答案；（2）利用二次函数和基本不等式的知识，分别求出019x <<、19x ≥时的最大值，然后作比较可得答案.【详解】（1）因为每件商品售价为25元，则x 万件商品销售收入为25x 万元，依题意得，当019x <<时，2222()251002410033L x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+-⎪⎝⎭，当19x ≥时，400400()2526320100220L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2224100,0193()400220,19x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）当019x <<时，22()(18)1163L x x =--+，此时，当18x =时，()L x 取得最大值()18116L =万元，当19x ≥时，400()22022022040180L x x x ⎛⎫=-+≤--= ⎪⎝⎭万元，此时，当且仅当400x x=，即20x =时，()L x 取得最大值180万元，因为116180<，所以当生产的医用防护服年产量为20万件时，厂家所获利润最大，最大利润为180万元．22.已知点P是圆22(16C x y ＋＝上任意一点，)A 是圆C 内一点，线段AP 的垂直平分线与半径CP 相交于点Q ．（1）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹E 的方程；（2）设不经过坐标原点O ，且斜率为12的直线l 与曲线E 相交于M 、N 两点，记OM 、ON 的斜率分别是1k 、2k ，以OM 、ON 为直径的圆的面积分别为1S 、2.S 当1k 、2k 都存在且不为0时，试探究1212S S k k ＋是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．（1）2214x y +=；（2）是定值，5π.【分析】(1)由条件可得Q 点轨迹满足椭圆定义，设出椭圆方程，由a ，c 的值可得b 的值，从而求得轨迹方程；(2)设出直线l 的方程，结合韦达定理，分别求得12k k 为定值，12S S +也为定值，从而可得1212S S k k +是定值．【小问1详解】由题意知||||PQ AQ =，||||||||||4||3AQ CQ PQ CQ CP AC ∴+=+==>=，根据椭圆的定义知Q 点的轨迹是以A ，C 为焦点的椭圆，设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则2,3a c ==21b ∴=，∴曲线E 的方程为2214x y +=；【小问2详解】由题意知直线l 的方程为1(12y x m m =+≠±且m ≠0)，设直线l 与椭圆的交点为1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由221214y x m x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得，222220x mx m ++-=，22244(22)840m m m ∆=--=->22m ⇒<，∴212122,22+=-=-x x m x x m ，∴2212121212221212121211()11(2)12242422444x m x my y m x x m m m m k k x x x x x x x x m m +++⋅-=⋅=⋅=++=++=--，222222121212(||||)()44S S OM ON x x y y ππ+=+=+++， 22222121212()242(22)4x x x x x x m m +=+-=--=，∴222222121212(1)(1)21444x x x x y y ++=-+-=-=，∴1254S S π+=，∴121254514S S k k ππ+==，∴1212S S k k +是定值，为5π．。
游戏开发常⽤算法转⾃：要使计算机能完成⼈们预定的⼯作，⾸先必须为如何完成预定的⼯作设计⼀个算法，然后再根据算法编写程序。
计算机程序要对问题的每个对象和处理规则给出正确详尽的描述，其中程序的数据结构和变量⽤来描述问题的对象，程序结构、函数和语句⽤来描述问题的算法。
算法数据结构是程序的两个重要⽅⾯。
算法是问题求解过程的精确描述，⼀个算法由有限条可完全机械地执⾏的、有确定结果的指令组成。
指令正确地描述了要完成的任务和它们被执⾏的顺序。
计算机按算法指令所描述的顺序执⾏算法的指令能在有限的步骤内终⽌，或终⽌于给出问题的解，或终⽌于指出问题对此输⼊数据⽆解。
通常求解⼀个问题可能会有多种算法可供选择，选择的主要标准是算法的正确性和可靠性，简单性和易理解性。
其次是算法所需要的存储空间少和执⾏更快等。
算法设计是⼀件⾮常困难的⼯作，经常采⽤的算法设计技术主要有迭代法、穷举搜索法、递推法、贪婪法、回溯法、分治法、动态规划法等等。
另外，为了更简洁的形式设计和藐视算法，在算法设计时⼜常常采⽤递归技术，⽤递归描述算法。
⼀、迭代法迭代法是⽤于求⽅程或⽅程组近似根的⼀种常⽤的算法设计⽅法。
设⽅程为f(x)=0，⽤某种数学⽅法导出等价的形式x=g(x)，然后按以下步骤执⾏：（1）选⼀个⽅程的近似根，赋给变量x0；（2）将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0；（3）当x0与x1的差的绝对值还⼩于指定的精度要求时，重复步骤（2）的计算。
若⽅程有根，并且⽤上述⽅法计算出来的近似根序列收敛，则按上述⽅法求得的x0就认为是⽅程的根。
上述算法⽤C程序的形式表⽰为：【算法】迭代法求⽅程的根{ x0=初始近似根；do {x1=x0；x0=g(x1)； /*按特定的⽅程计算新的近似根*/} while ( fabs(x0-x1)>Epsilon)；printf(“⽅程的近似根是%f\n”，x0)；}迭代算法也常⽤于求⽅程组的根，令X=（x0，x1，…，xn-1）设⽅程组为：xi=gi(X) (I=0，1，…，n-1)则求⽅程组根的迭代算法可描述如下：【算法】迭代法求⽅程组的根{ for (i=0;i x=初始近似根;do {for (i=0;i y=x;for (i=0;i x=gi(X);for (delta=0.0,i=0;i if (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x)；} while (delta>Epsilon)；for (i=0;i printf(“变量x[%d]的近似根是 %f”，I，x)；printf(“\n”)；}具体使⽤迭代法求根时应注意以下两种可能发⽣的情况：（1）如果⽅程⽆解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使⽤迭代算法前应先考察⽅程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制；（2）⽅程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败。
数字信号处理实验报告姓名： 学号： 日期：2015.12.141. 实验任务信号为两个正弦信号加高斯白噪声，各正弦信号的信噪比均为10dB ，长度为N ，信号频率分别为1f 和2f ，初始相位021==ϕϕ，取2.01=s f f ，s f f 1取不同的数值：0.3，0.25。
s f 为采样率。
（1）分别用 Levinson 递推法和 Burg 法进行功率谱估计，并分析改变数据长度、模型阶数对谱估计结果的影响。
（2）当正弦信号相位、频率、信噪比改变后，上述谱估计的结果有何变化？并作分析说明。
2. 原理分析2.1 现代谱估计中的参数建模根据参数模型来描述随机信号的方法，我们可以知道，如果能确定信号()x n 的信号模型，根据信号观测数据求出模型参数，系统函数用()z H 表示，模型输入白噪声，其方差为2w σ，信号的功率谱用下式求出：()()22iww jw xx e H e P σ=按照这种求功率谱的思路，功率谱估计可分为三个步骤： （1）选择合适的信号模型；（2）根据()n x 有限的观测数据，或者它的有限个自相关函数的估计值，估计模型的参数；（3）计算墨香的输出功率谱。
其中以（1）、（2）两步最为关键。
按照模型的不同，谱估计的方法有许多种，它们共同的特点是对信号观测区以外的数据不假设为0，而先根据信号观测数据估计模型参数，按照求模型输出功率的方法估计信号功率谱，回避了数据观测区以外的数据假设问题。
下面分析AR 谱估计的两种方法：自相关法——列文森（Levenson ）递推法和伯格（Burg ）递推法。
这两种方法均为已知信号观测数据，估计功率谱，两者共同特点是由信号观测数据求模型系数时采用信号预测误差最小的原则。
对于长记录数据，这些方法的估计质量是相似的，但对于短记录数据，不同方法之间存在差别。
2.2 自相关法——列文森（Levenson ）递推法自相关法的出发点是选择AR 模型参数使预测误差功率最小，预测误差功率为()()()21211∑∑∑∞-∞==∞-∞=-+==n pi pi n i n x a n x Nn e Nρ假设信号()x n 的数据区在01n N ≤≤-范围，有P 个预测系数，N 个数据经过冲激响应为()0,1,pi a i p =的滤波器，输出预测误差()e n 的长度为N p +，因此应用下式计算：()()()210121011∑∑∑-+==-+=-+==P N n pi pi P N n i n x a n x Nn e Nρ()e n 的长度长于数据的长度，上式中数据()x n 的两端需补充零点，相当于对无穷长的信号加窗处理，得到长度为N 的数据。
