曲线积分与曲面积分习题与答案

曲线积分与曲面积分习题详解习题9-11 计算下列对弧长的曲线积分：（1）I s=⎰，其中C是抛物线2y x=上点(0,0)O到(1,1)A之间的一段弧；解: 由于C由方程2y x=（01x≤≤）给出，因此1I s x x===⎰⎰⎰123211(14)1)1212x⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦.（2）dCI x s=⎰，其中C是圆221x y+=中(0,1)A到B之间的一段劣弧；解:C AB=的参数方程为：cos,sinx yθθ==()42ππθ-≤≤，于是24cosIππθ-=⎰24cos1dππθθ-==⎰．（3）(1)dCx y s++⎰，其中C是顶点为(0,0),(1,0)O A及(0,1)B的三角形的边界；解: L是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有(1)Cx y ds++⎰(1)OAx y ds=++⎰(1)ABx y ds+++⎰(1)BOx y ds+++⎰，由于OA:0y=，01x≤≤，于是ds dx===，故13(1)(01)2x y ds x dx++=++=⎰⎰OA，而:AB1y x=-,01x≤≤，于是ds==．xyoABC10(1)[(1)ABx y ds x x ++=+-+=⎰⎰同理可知:BO 0x =（01y ≤≤），0ds =，则13(1)[01]2BOx y ds y dy ++=++=⎰⎰． 综上所述33(1)322Cx y ds -+=+=+⎰． （4）22Cx y ds +⎰，其中C 为圆周22x y x +=；解 直接化为定积分．1C 的参数方程为11cos 22x θ=+,1sin 2y θ=（02θπ≤≤）, 且12ds d θθ=．于是22201cos222Cx y ds d πθθ+=⋅=⎰⎰．（5）2 ds x yz Γ⎰，其中Γ为折线段ABCD ，这里A ,B ,C ,D 的坐标依次为(0,0,0), (0,0,2),(1,0,2),(1,2,3)；解 如图所示， 2222ABBCCDx yzds x yzds x yzds x yzds Γ=++⎰⎰⎰⎰．线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤，则ds =2dt =，故02200 12=⋅⋅⋅=⎰⎰dt t yzds x AB．线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤，则,ds dt ==122 0020BCx yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰，线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t===+)10(≤≤t ，则ds ==，故1122012(2))CDx yzds t t t t dt =⋅⋅+=+=⎰⎰ 2 (2所以2222A BB CC Dx y z d s x y z d sx y z d sd s Γ=++⎰⎰⎰⎰（6）2ds y Γ⎰，其中Γ为空间曲线2222,(0),x y z a a x z a ⎧++=>⎨+=⎩. 解: Γ在,x y 平面的投影为：2222()x y a x a ++-=，即22220x y ax +-=，从而2221222a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.利用椭圆的参数方程得Γ的参数方程为11cos ,22:, 02.11cos ,22x a a y z a x a a θθθπθ⎧=+⎪⎪⎪Γ=≤≤⎨⎪⎪=-=+⎪⎩由于d s θθθ==. 则332π2π2222 01ds sin d sin d 222y a θθθθΓ===⎰⎰2 设一段曲线ln (0)y x a x b =<≤≤上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．解 依题意曲线的线密度为2x ρ=，故所求质量为2CM x ds =⎰，其中:ln (0)C y x a x b =<≤≤．则C 的参数方程为ln x xy x =⎧⎨=⎩(0)a x b <≤≤， 故ds ==，所以3221[(1)]3b a aM x ==+⎰3322221[(1)(1)]3b a =+-+．3 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥的边界曲线的重心，设曲线的密度1ρ=。

第十一章 曲线积分与曲面积分第三节 Green 公式及其应用1．利用Green 公式，计算下列曲线积分： (1)⎰-Lydx x dy xy 22，其中L 为正向圆周922=+y x ； 解：由Green 公式，得232222381()22LDxy dy x ydx x y dxdy d r dr ππθ-=+==⎰⎰⎰⎰⎰Ñ， 其中D 为229x y +≤。

(2)⎰-++Ly ydy y xe dx y e)2()(，其中L 为以)2,1(),0,0(A O 及)0,1(B 为顶点的三角形负向边界；解：由Green 公式，得()(2)(1)1y y y y LDDe y dx xe y dy e e dxdy dxdy ++-=---==⎰⎰⎰⎰⎰Ñ。

*(3)⎰+-Ldy xy ydx x22，其中L 为x y x 622=+的上半圆周从点)0,6(A 到点)0,0(O 及x y x 322=+的上半圆周从点)0,0(O 到点)0,3(B 连成的弧AOB ；解：连直线段AB ，使L 与BA u u u r围成的区域为D ，由Green 公式，得6cos 2222223203cos 444620()01515353cos 334442264LDBAx ydx xy dy y x dxdy x ydx xy dy d r dr d πθθπθπθθπ-+=+--+=-==⨯⨯⨯=⨯⨯⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰u u u r*(4)⎰+-Lyx xdy ydx 22，其中L 为正向圆周4)1(22=++y x . 解：因为22222()x y P Q y x x y -∂∂==∂∂+，(,)(0,0)x y ≠。

作足够小的圆周l :222x y r +=,取逆时针方向，记L 与l 围成的闭区域为D ，由Green 公式，得220L lydx xdyx y +-=+⎰Ñ，故 22222222222sin cos 2L l l ydx xdy ydx xdy ydx xdyx y x y r r r d rπθθθπ---+=-=++--==-⎰⎰⎰⎰蜒?2．计算下列对坐标的曲线积分：⎰+-Lx xydy e dx y esin 2)cos 21(，其中L 为曲线x y sin =上由点)0,(πA 到点)0,0(O 的一段弧；解：(12cos ),2sin x xP e y Q e y =-=，2sin x P Q e y y x∂∂==∂∂， 故积分与路径无关，取)0,(πA 经x 轴到点)0,0(O 的一条路径， 从而 原式=(12cos )2sin 1x x x AOe y dx e ydy e dx e ππ-+=-=-⎰⎰。

的封闭曲线， L 的方向为逆时针方向。
答案：（1）18
（2）16 （3） 2
五、证明： (2x sin y)dx x cos ydy 是某一函数的全微分，并求出一个原函数．
答案：所求原函数为 x2 x sin y C . ( C 为任意常数).
六、⑴在全平面上，证明:曲线积分 y2exdx 2 yexdy 与路径无关，并求 y2exdx 2yexdy L
L
L

P(
x,
y)
2x x2 Q(x, y)(1 x) ds .
十、证明：曲线积分有估计式 P(x, y)dx Q(x, y)dy LM ，其中L 为积分路径的长度， L
M max P2 Q2 . ( x, y)L
答案：证明略.
十一、计算下列曲面积分。
（1）计算曲面积分 dS , 其中 是球面 x2 y2 z2 a2 被平面 z h (0 h a) 截出的
z
顶部．
（2）计算曲面积分 (xz 36x2 9 y2 4z2 )dS, 其中 是 x2 y2 z2 1，其面积为 A.

49
（3）计算 I (x z2 )dydz zdxdy ，其中 是 z 1 (x2 y2 ) 介于平面 z 0 及 z 2
3. 设 为球面 x2 y2 z2 1，则 3x2ds 4 ．
1 4. 设 u ln x2 y2 z2 ，则 div(gradu) x2 y2 z2 ．
5. 设 是有向光滑曲面，则第二型曲面积分 Pdydz Qdzdx Rdxdy 化为第一型曲面积

(x2 y 2 z )2 3

25第十一章 曲线积分与曲面积分第一节 对弧长的曲线积分1. 选择题：(1) 对弧长的曲线积分的计算公式⎰Lds y x f ),(=⎰'+'βαφϕφϕdt t t t t f )()()](),([22中要求 （C ） .（A ） α>β （B ） α=β （C ） α<β(2) 设光滑曲线L 的弧长为π，则⎰Lds 6= （B ） . （A ） π （ B ） π6 （C ） π122.计算下列对弧长的曲线积分： (1)⎰+Lds y x )(，其中L 为I ） 以)1,1(),0,1()0,0(B A O ，为顶点的三角形的边界； II ）上半圆周222R y x =+；解：I ）111()()()()(1)13222LOAABBOx y ds x y ds x y ds x y dsxdx y dy +=+++++=+++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰II ）22()(cos sin [sin cos ]2Lx y ds R t R t R t t R ππ+=+=-=⎰⎰(2)⎰Lyds ，其中L 为x y 22=上点)2,2(与点)2,1(－之间的一段弧；解：2223/211[(1)]33Lyds y ===+=⎰⎰⎰26*(3) ⎰Γ+ds y x )(22，其中Γ为螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos ；)20(π≤≤t解：1/222222222220()(sin cos )2x y ds a a t a t b dta a πππΓ+=++==⎰⎰⎰*(4)⎰+L ds y x 22，其中L 为y y x 222-=+；解：L 的极坐标方程为2sin r θ=-，2πθπ≤≤，则ds θ=。

222224sin 8Lrd d ππππππππθθθθθ====-=⎰⎰⎰⎰第二节 对坐标的曲线积分1．填空题(1) 对坐标的曲线积分的计算公式⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=⎰'+'βαφφϕϕφϕdt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{中，下限α对应于L 的 始 点，上限β对应于L 的 终 点； (2) 第二类曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(化为第一类曲线积分是[(,)cos (,)cos ]LP x y dx Q x y ds αβ+⎰ ，其中βα,为有向光滑曲线L 在点),(y x 处的 切向量 的方向角.2．选择题：(1) 对坐标的曲线积分与曲线的方向 （B ）（A ）无关， （B ）有关；(2) 若),(y x P ，),(y x Q 在有向光滑曲线L 上连续，则 （A ） （A ） ⎰-+L dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰+-L dy y x Q dx y x P ),(),(，（B ）⎰-+L dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(.273．计算下列对坐标的曲线积分：(1)⎰+Ldx y x )(22，其中L 为从点)0,0(A 经上半圆周1)1(22=+-y x(0)y ≥到点)1,1(B 的一段弧；解：L的方程为221(1)y x =--，:01x →，则112222()[1(1)]21Lx y dx x x xdx +=+--==⎰⎰⎰ (2) ⎰-Lydx xdy ，其中L 为2x y =上从点)1,1(B 到点)1,1(-A 的一段弧；解：112211223Lxdy ydx x xdx x dx x dx ---=-==-⎰⎰⎰。

第十章 曲线积分与曲面积分答案一、选择题 1．曲线积分()sin ()cos xL f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数，且(0)0f =，则()f x = BA.1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- C. 1()2x x e e -+ D.0 2．闭曲线C 为1x y +=的正向，则Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ C A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C 为2241x y +=的正向，则224Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ D A.2π- B. 2π C.0 D. π 4．∑为YOZ 平面上221y z +≤，则222()xy z ds ∑++=⎰⎰ DA.0B. πC.14π D. 12π 5．设222:C x y a +=，则22()Cx y ds +=⎰Ñ CA.22a πB. 2a πC. 32a πD. 34a π 6. 设∑为球面2221x y z ++=，则曲面积分∑[ B ]A.4πB.2πC.πD.12π7. 设L 是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分⎰=Lyds [ C ]A. 21B. 21- C. 22 D. 22-8. 设I=⎰Lds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,则I=[D ]A.655 B.1255 C.6155- D. 12155- 9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ，那么 σ 是（ D ） A.⎰-l ydy xdx 21； B. ⎰-l xdx ydy 21；C.⎰-l xdy ydx 21； D. ⎰-lydx xdy 21。

10．设2222:(0)S x y z R z ++=≥，1S 为S 在第一卦限中部分，则有 CA.14SS xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.14SS yds yds =⎰⎰⎰⎰C.14SS zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.14SS xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰二、填空题1. 设L 是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分⎰=+-L y dy x eydx )(2-22.S 为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(03.⎰=++-12222y x yx xdyydx =π2-4．曲线积分22()Cx y ds +⎰Ñ，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π 5．设∑为上半球面)0z z =≥，则曲面积分()222ds y x z ∑++⎰⎰= 32π6. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-⎰Ñ 2π .7. 设C 是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分⎰=+C ds )yx (8. 设∑为上半球面z=，则曲面积分∑的值为 83π。

L
的方向角. 二．选择题：
1．对坐标的曲线积分与曲线的方向（2） （1）无关， （2）有关； 2．若 P ( x, y ) ， Q( x, y ) 在有向光滑曲线 L 上连续，则（1） （1） （2）
∫ ∫
L−
P ( x, y )dx + Q( x, y )dy = − ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy ，
2. 设光滑曲线 L 的弧长为 π ，则 6ds = （2）
L
∫
（1） π ， （2） 6π ， （3） 12π . 二.计算下列对弧长的曲线积分： 1． ( x + y ) ds ，其中 L 为
L
∫
(1) 以 O(0,0)，A(1,0), B(1,1) 为顶点的三角形的边界； (2) 上半圆周 x + y = R ；
L
L−
P ( x, y )dx + Q( x, y )dy =
2
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy .
L
2 2
三．计算下列对坐标的曲线积分： 1． ( x + y )dx ， 其中 L 为从点 A(0,0) 经上半圆周 ( x − 1) + y = 1 ( y > 0) 到点 B(1,1) 的
8 2 (1 − cos t ) 2 + 8 2 sin 2 t = 16 sin
设质心坐标为 ( x, y ) ，则
x=
1 M
∫
π
0
ρ ⋅ 8(t − sin t ) ⋅ 16 sin dt =
t 2
32 1 ，y= 3 M
∫
π
0
ρ ⋅ 8(1 − cos t ) ⋅ 16 sin dt =

一、选择题1. 设有曲线222:r y x C =+，0≥y ，其中0>r 为常数，则对弧长的曲线积分()⎰+Cds y x22的值为（ ）A. 2r π； B. 3r π； C. 4r π； D. 32r π.2. 简单闭曲线L 所围成的区域的面积为S ，L 取逆时针方向，则S 为 （ ） A.⎰-L ydy xdx 21； B. ⎰-L xdx ydy 21； C. ⎰-L xdy ydx 21； D. ⎰-Lydx xdy 21. 3. 设平面曲线C 是从点)1,1(到点)3,2(的直线段，则对坐标的曲线积分()⎰=-+Cdy x y xdx 2（ ）A. 4-；B. 4；C. 2；D. 6.4. 设有平面闭区域},|),{(a y x a x a y x D ≤≤≤≤-=，},0|),{(1a y x a x y x D ≤≤≤≤=，则 =+⎰⎰dxdy y x xy D)sin cos (（ ） A. ydxdy x D sin cos 21⎰⎰； B. xydxdy D 12⎰⎰； C. ydxdy x D sin cos 41⎰⎰；D. 0.5. 设封闭曲线L 由直线0=x ，0=y ，2=x 4=y 所围成，取逆时针方向，则曲线积分()⎰=-+-Ldy xy y dx xy x 2)2(22 （ ）A. 3816+-； B. 31616--； C. 32-； D. 16-. 6. 若L 为由点)0,0(O 到点(,0)B π的曲线弧sin ,y x =则L=ydx xdy +⎰（ ）A. 4ab π；B. 0；C. 3ab π； D. ab π.二、判断题1. 设开区域是D 是一个单连通域，函数),(y x P 及),(y x Q 在D 内具有一阶连续偏导数，则在D内xQ y P ∂∂=∂∂的充要条件是曲线积分⎰+L Qdy Pdx 在D 内与路径相关. （ ）2. 在D 上，1),(=y x f ，S 为D 的面积，则S d y x f D=⎰⎰σ),(. （ ）3. 格林公式是斯托克斯公式的推广.（ ）《 高等数学 》 曲线积分与曲面积分测试题14. 当∑是xOy 面内的一个闭区域时，曲面积分⎰⎰⎰⎰=∑xyD d y x f dS z y x f σ)0,,(),,(.（ ）5. 第一类曲线积分只与曲线的起点和终点有关.（ ）6. 曲线积分cydx xdy -⎰与路径无关。

.
面积元素dS 1
x
2
0 2dxdy
adxdy
a2 x2
a2 x2
S 2a
dxdy
a
2a
dx
a (a x )
a
dy 2a a
dx
4 2a 2
D a2 x2
a a2 x2 0
a a x
2、求曲面 z2=2xy 被 x+y=1,x=0,y=0 所截下部分的面积。
解： 设为所求曲面中z 0的部分, 它的面积为S, 则z 2xy
4
(my n)2 dS m2 2mn n2 (m2 3mn 3n2)
6
4
26
(m2 3mn 3n2 ) n2 ,m 2 3mn 3n2 n2 , m2 3mn 2n2 0
6
6
m n或m 2n
1
1 x2
注： 也可由: ydS dx
y
dy 1 1 x 2dx 1 12
+
-4
6 46
1
1
五、证明（2 小题）
11 曲线积分与曲面积分练习题 1 答案 第 2 页 （共 4 页）
1、证明：(2xy－y2)dx+(x2－2xy－y2)dy=du(x,y),并求出函数 u(x,y).
答案： P 2xy y 2,Q x2 2xy y 2 P 2x 2 y, Q 2x 2 y,
2
D
x dxdy y
(由对称性)
1
2
xdx 1x dy 2 2 1
x(1 x)dx
0
0y
0
1
注意到
x(1 x)dx 令x sin2 t 2
2 sin 2 t cos 2 tdt 2

(1) (2x y 2z) dS，其中 为平面 x y z 1在第一卦限的部分；
解： Dxy {( x, y) | x y 1, x 0, y 0} ， z 1 x y ， dS 3dxdy
原式 = (2 x y 2(1 x y)) 3dxdy
D xy
13 3(
x
1 x2)dx
53
02
2
6
1
1x
3 dx (2 y) dy
1．利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：
(1) x 2 y3dx dy zdz ， 为 xOy 面内圆周 x2 y 2 a 2 逆时针方向；
解：取 为平面 z 0的下侧被 围成的部分， D 为 在 xOy 面上的投影
区域。 由 Stokes 公式，得
dydz dzdx dxdy
原式 =
x
y
z
x2 y3 1
x 2 ydx xy2 dy ，其中 L 为 x2 y 2 6x 的上半圆周从点 A(6,0)
L
到点 O (0,0) 及 x 2 y 2 3x 的上半圆周从点 O(0,0) 到点 B(3,0) 连成的弧
AOB；
uuur 解：连直线段 AB，使 L 与 BA 围成的区域为 D，由 Green 公式，得
第十一章 曲线积分与曲面积分
第三节 Green 公式及其应用
1．利用 Green 公式，计算下列曲线积分：
(1) xy 2dy x2 ydx ，其中 L 为正向圆周 x2 y 2 9 ；
L
解：由 Green 公式，得
?xy2dy x2 ydx
L
(x2
y2 )dxdy
2
2d
0
D
3 r 3dr

第十一章 曲线积分与曲面积分试题一．填空题（规范分值3分）11.1.1.2 设在xoy 平面内有一分布着质量的曲线L ，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧对x 轴的转动惯量I x =。

ds y x y L),(2μ⎰11.1.2.2 设在xoy 平面内有一分布着质量的曲线L ，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧的质心坐标x =；y =。

x =⎰⎰LLds y x ds y x x ),(),(μμ；y =⎰⎰LLdsy x ds y x y ),(),(μμ 11.1.3.1在力),,(z y x F F =的作用下，物体沿曲线L 运动。

用曲线积分表示力对物体所做的功=W 。

d z y x L⋅⎰),,(11.1.4.2 有向曲线L 的方程为⎩⎨⎧≤≤==βαt t y y t x x )()(，其中函数)(),(t y t x 在[]βα,上一阶导数连续，且[][]0)()(22≠'+'t y t x ，又),(),,(y x Q y x P 在曲线L 上连续，则有：[]ds y x Q y x P dy y x Q dx y x P LL⎰⎰+=+βαcos ),(cos ),(),(),(，那么αcos =；βcos =。

αcos =[][]22)()()(t y t x t x '+''βcos =[][]22)()()(t y t x t y '+''11.1.5.1 设L 为xoy 平面内直线a x =上的一段，则曲线积分⎰Ldx y x P ),(=。

011.1.6.2 设L 为xoy 平面内，从点(c,a )到点(c,b )的一线段，则曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(可以化简成定积分：。

dy y Q ba),0(⎰11.1.7.2 第一类曲线积分ds y x L⎰+)(22的积分值为。

曲线、曲面积分部分难题解答1．（P201,第1题）计算下列标量函数的曲线积分（第一型曲线积分）： （ⅰ）⎰lxyds ，l 为抛物线x y 22=上从原点)0,0(O 到点)2,2(A 的弧⋂OA ；（ⅱ）()⎰+lds y x 22，l 为联结点)0,0(O 、)0,2(A 和)1,0(B 的三角形围线；（ⅲ）⎰+l s d y x 22，l 为圆周()022>=+a ax y x ；（ⅳ）()⎰++lds z y x 222，l 为螺线()0,sin ,cos >===b bt z t a y t a x 的 一段弧()π20≤≤t ；（ⅴ）⎰lzds ，l 为曲线()⎩⎨⎧>===0,2222a ax y z y x 上从点)0,0,0(O 到)2,,(a a a A 的一段弧.解：（ⅰ）[]2,0,,21:2∈⎪⎩⎪⎨⎧==y y y y x l ，.1122dy y dy dy dx ds +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dy y y y xyds l 22201..21+=⎰⎰（令t y tan =）()()t td t sec sec .1sec 21222arctan 0-=⎰|2arctan 035sec 31sec 5121⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=t t .151355+=（ⅱ）解：()⎰+lds y x 22⎰⎰⎰++=OAABOB()()3801.022222222==++=+⎰⎰⎰dx x dx x ds y x OA;.20,,0:≤≤⎩⎨⎧==x xx y OA ()()[]()dy y y ds y x AB 210222221.22-++-=+⎰⎰().5354855102=+-=⎰dy y y .10,,22,:≤≤⎩⎨⎧-==y y x y y AB()().3101.02102222=++=+⎰⎰dy y ds y xBO，.10,,0:≤≤⎩⎨⎧==y y y x BO .3535+=++=⎰⎰⎰OA AB OB I （ⅲ）解法一：.20,sin 2,cos 22:π≤≤⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t t a y t a a x l()().2cos 2sin 22222dt a dt t a t a dt t y t x ds =⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-='+'=所以，()dt a t a t a s d y x l 2sin 4cos 1420222222⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+πdt t a ⎰=π20222sin 2.24dt t a ⎰=π2022sin 2.22cos 22sin 2202202|a t a t d t a =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰ππ解法二：化l 为极坐标表示：().2,2,cos :⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=ππθθθa r l ()().22,sin .cos sin ,cos cos :2πθπθθθθθθθ≤≤-⎩⎨⎧====a r y a r x l()()()().sin cos 2222θθθθθad dt a a dt r r ds =-+='+=所以，()()[]θθθθππad a a s d y x l⎰⎰-+=+2222222sin cos cosθθππd a a ⎰-=2222cos .2sin 2cos 2220222|a a d a===⎰ππθθθ（ⅳ） ()()()()()dt b a dt b t a t a dt t z t y t x ds 22222222cos sin +=++-='+'+'=()()()()[]dt b a bt t a t a ds z y x l 2220222222.sin cos +++=++⎰⎰π()|203222220222223ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=++=⎰t b t a b a dt t b a b a[].433222222b a b a ++=ππ2．（P201,第2题）设有某种物质分布在椭圆1:2222=+by a x l 上，其密度().,y y x =μ求它的总质量. 解：不妨假设.b a >⎰⎰==14l lyds ds y M ，其中.2,0,sin ,cos ;1⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎩⎨⎧==πt t b y t a x l()()()().cos sin cos sin 22222222dt t b t a dt t b t a dt t y t x ds +=+-='+'=dt t b t a t b yds M l 222220cos sin sin 441+==⎰⎰π()()t d t b a a b cos cos 4202222⎰---=π()du u b a a b 2222014---=⎰()du u b a a b 222214--=⎰du u ba a ba b ⎰---=202222224π（公式） |102222222222222arcsin .2.4⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+---=u b a a u b a au b a a b a b .arcsin ..222222⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--=b a b a b a a b 3．（P202,第3题）设曲线l 的长度为L ，而函数f 在包含l 的某个区域内连续.证明： ()().max .P f L ds P f lP l ∈≤⎰证明：由第一型曲线积分的定义()()i ni i d l s P f ds P f ∆=∑⎰=→.lim 1故 ()()i n i i d ls P f ds P f ∆=∑⎰=→.lim 1()i ni i d s P f ∆=∑=→.lim 1()i n i i d s P f ∆≤∑=→.lim 1()i ni lp d s P f ∆≤∑=∈→.max lim 1().max .P f L lP ∈=4．（P202,第4题）从原点()0,0O 到点()2,1A 沿下列不同路径分别计算第二型曲线积分 .⎰⋂-OAydx xdy（1）.⋂OA 为直线段；（2）.⋂OA 为抛物线22x y =上的弧； （3）.⋂OA 为从点()0,0O 经点()0,1B 到点()2,1A 的折线⋂OBA . 解：（1） .1~0:,,2:x xx x y OA ⎩⎨⎧==⋂[].022.10=-=-⎰⎰⋂dx x x ydx xdy OA（2）.1~0:,:x xx OA ⎩⎨=[].323224.|10312==-=-⎰⎰⋂x dx x x x ydx xdy OA（3）.220=+=+=+⎰⎰⎰⋂OB BAOAydx xdy.1~0:,.,0:x x x y OB ⎩⎨⎧== ();000.10=-=-⎰⎰dx x ydx xdy OB.2~0:,.,1:y y y x BA ⎩⎨⎧== ().20.120=-=-⎰⎰dy y ydx xdy BA5．（P202,第5题）计算曲线积分 .⎰+lxdy ydx（1）.l 为从点()0,a 点()0,a -的上半圆周()022>-=a x a y ； （2）. l 为从点()0,a 点()0,a -的直线段()0>a ； （3）. l 为逆时针方向的圆周.222a y x =+ 解：（1） .~0:,sin ,cos :πt ta y t a x l ⎩⎨⎧==()()()()[]dt t a t a t a t a xdy ydx l ⎰⎰+-=+π0cos .cos sin .sin ==⎰dt t aπ22cos 02sin 2|02=πt a .（2）.~:,,0:a a x xx y l -⎩⎨⎧== ().00.0=+=+⎰⎰-dx x xdy ydx a al（3）.2~0:,sin ,cos :πt t a y t a x l ⎩⎨⎧==()()()()[]dt t a t a t a t a xdy ydx l⎰⎰+-=+π20cos .cos sin .sin ==⎰dt t aπ2022cos 02sin 2|202=πt a .6．（P202,第6题）计算沿逆时针方向的圆周()222a y x =+的曲线积分 ()().22⎰+--+ly x dy y x dx y x解：π2~0:,.sin :t t a y l ⎩⎨=，所以，()()⎰+--+l y x dy y x dx y x 22()()()()dt a t a t a t a t a t a t a ⎰---+=π202cos .sin cos sin sin cos .22022ππ-=-=⎰dt aa 7．（P202,第7题）计算下列曲线积分，曲线的方向与参数增加方向： （ⅰ）()()d y xy y dx xy x l⎰-+-2222，l 为抛物线()112≤≤-=x x y ；（ⅱ）()()d y y x dx y x l ⎰-++2222，l 为折线()2011≤≤--=x x y ；（ⅲ）()dz x yzdy dx z y l⎰-+-2222，l 的参数方程为().10,,3,2≤≤⎪⎩⎪⎨⎧===t t z t y t x ；解：（ⅰ）.1~1:,:2-⎩⎨⎧==x xy x x l ()()d y xy y dx xy x l⎰-+-2222 ()()[]d x x x x x x x x⎰--+-=1124222..2.2 [].151454324|10531142-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⎰-x x dx x x （ⅱ）设点().0,1A 则()()dy y x dx y xL2222-++⎰()()dy y x dx y xOA2222-++=⎰()()dy y x dx y xAB2222-+++⎰.1~0:,,:x x x x y OA ⎩⎨⎧==()()()()[]321022222222=-++=-++⎰⎰dx x x x x dy y x dx y x OA;.2~1:,,2:x x x x y AB ⎩⎨⎧=-=()()()()()()()[]d xx x x x dy y x dx y xAB⎰⎰---+-+=-++21222222221.22()().3232222|213212=-=-=⎰x dx x 原式.343232=+=（ⅲ）()dz x yzdy dx z y l⎰-+-2222 ()[]d t t t t t t t t ⎰-+-=102232643.2 (2)[].351527323|10571046=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰t t dt t t 8．（P202,第8题）设曲线l 的长度为L ，而函数()P f 在包含l 的某个区域内连续.证明： ())....P L P f lP l ∈≤⎰证明：设()()(){}.,21P f P f P f = 由第二型曲线积分的定义及柯西不等式()()()[]∑⎰=→∆+∆=ni i i i i d l y P f x P f d P f 1210..lim .故 ()()()[]∑⎰=→∆+∆=ni i i i i d ly P f x P f P f 1210..lim .()()[]∑=→∆+∆≤n i i i i i d y P f x P f 1210..lim ()()()()22122210.lim i i ni i i d y x P f P f ∆+∆+≤∑=→)()()221.lim i i ni i d y x P ∆+∆==→)()())⎰∑=→=∆+∆≤li i ni d ds P y x P ..lim 221)P L =.9．（P209,第1题）求下列曲面块的面积：（ⅰ）球面2222a z y x =++包含在圆柱面()a b b y x ≤<=+0222内的那部分面积；（ⅱ）圆锥面22y x z +=被圆柱面x y x 222=+截下的那一部分； （ⅲ）圆柱面222a y x =+被圆柱面222a z y =+截下的那一部分.解：（ⅰ）画出示意图222:b y x D xy ≤+. 将曲面方程化为:z ∑=则dS dxdy ==.dxdy yx a a S S xyD ⎰⎰--==22222上 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=⎰⎰|022022202.2122b br a a ra ardrd πθπ极().422b a a a --=π（ⅱ）画出示意图x y x D xy 2:22≤+. 由曲面方程22:y x z +=∑，得,2122dxdy dxdy y z x z dS =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=.().222π===⎰⎰xy D D S dxdy S xy（ⅲ）利用对称性（仅在第一卦限内计算）18S S =，曲面1∑（1∑为∑在第一卦限的那部分，其面积设为1S ）向yoz面上的投影区域为222:a z y D yz ≤+. 将曲面1∑方程化为22y a x -=，则,22y a y yx--=∂∂,0=∂∂zx，所以，dydzya a dydz z x y x dS 22221-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=.dydz y a a S S yzD ⎰⎰-==22188 ⎰⎰--=2202208y a a dz y a a dy .8820a adz a==⎰10．（P209,第2题）求下列曲面积分：（ⅰ）()⎰⎰++Sy x dS21，式中S 为四面体()1,0,0,0≤++≥≥≥z y x z y x 的表面； （ⅱ）()d S y x S⎰⎰+22，式中S 为圆柱体()h z a y x ≤≤≤+0,222的表面；（ⅲ）()dS z y x S⎰⎰++，式中S 为球面()2222a z y x =++的表面.解：（ⅰ）.4321S S S S S +++=其中 ,0:1=z S dxdy dS =1， ()()()dy y x dx dxdy y x y x dSxD S xy⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++=++=++1010222111111dx x dx y x x ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-101010211111| 212ln -=； ,0:2=x S dydz dS =2，()()()dz y dy dydz y y x dSyD S yz⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=++10102221101112()()dy y y dy y y⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+-=10212111211 ()2ln 11ln 12||1010-=+-+-=y y ； ,0:3=y S dzdx dS =3，()()()dz x dx dzdx x y x dSxD S zx⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=++=++10102221101113()()dx x x dx x x⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=+-=10212111211 ()2ln 11ln 12||101-=+-+-=x x ；,1:4y x z S --= dxdy dS 34=，()()()dz y x dx dxdy y x y x dSxD S xy⎰⎰⎰⎰⎰⎰-++=++=++101022211311314dx x dx y x x ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=-10101021113113| ().212ln 33211ln 321113|1010⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎰x dx x ；()⎰⎰++S y x dS 21()+++=⎰⎰121S y x dS()+++⎰⎰221S y x dS()⎰⎰++321S y x dS ()⎰⎰++421S y x dS()()().32ln 2213212ln 32ln 12ln 1212ln +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（ⅱ）.321S S S S ++=其中 ,0:1=z S dxdy dS =1，()()rdr r d dxdy y x dS y x aD S xy.420222221⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+πθ 24a π=；,:2h z S = dxdy dS =2，()()rdr r d dxdy y x dS y x aD S xy.420222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=+πθ24a π=；,:2223a y x S =+其向yoz 面上的投影区域为⎩⎨⎧≤≤-≤≤.,0:a y a h z D yz . 将曲面3S 方程化为22y a x -±=，则,22y a y yx --=∂∂,0=∂∂zx，所以， dydz ya a dydz z x y x dS 22221-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+= ()()dydz ya a y y a dS y x yz D S ⎰⎰⎰⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=+222222322.23⎰⎰-=-haadz y a dy a 022312..2arcsin4303|h a a y h a aπ== 或者()..22..32232233h a ah a dS a dS y x S S ππ===+⎰⎰⎰⎰()⎰⎰++S y x dS21()++=⎰⎰122S dS y x ()++⎰⎰222S y x()d S y xS ⎰⎰+322().22223344h a a h a a a +=++=ππππ（ⅲ）由积分区域的对称性，及被积函数的奇偶性知，显然()dS z y x S⎰⎰+++=⎰⎰dS x SdS y S ⎰⎰().0=+++⎰⎰dS z y x S11．（P210,第3题）证明泊松公式()()d uc b a u f dS cz by ax f S⎰⎰⎰-++=++112222π其中S 为球面0,1222222>++=++c b a z y x ，f 为连续函数.证明：取新的空间直角坐标系Ouvw ，其中原点不变，使坐标平面Ouvw 与平面0=++cz by ax 重合，并使Ou 轴垂直于平面0=++cz by ax .则有 其实根据坐标系Ouvw 选取方法的描述，我们不难看出Ou 轴上的单位向量就可取作平面0=++cz by ax 的单位法线向量.则222cb a cz by ax u ++++=（注意到，显然222cb a cz by ax u ++++=为点()z y x P ,,到平面0=++cz by ax 的距离）.则 ()dS cz by ax f S⎰⎰++()d S c b a u f S⎰⎰++=222显然在新坐标系下，球面的形状并未改变（仍记为S ），且它的方程应为1222=++w v u（因为在新的坐标系下，任何一个球面上的点到原点的距离仍然为1.）得： ()22221uw v -=+当u 固定时，1222=++w v u 表示垂直于Ou 轴平面上的一个圆周. 进一步，我们把S 化为参数方程表示：.20,11,sin 1,cos 1,22πθθθ≤≤≤≤-⎪⎩⎪⎨⎧-=-==u u w u v u u,1='uu ,cos 12θuu v u --=';sin 12θuu w u--=',0='θu ,sin 12θθu v --='.cos 12θθu w -=' ;112222u w v u E u u u-='+'+'= ;0...=''+''+''=θθθw w v v u u F u u u.12222u w v u G -='+'+'=θθθ因此， 曲面的元素dS =dudv =故()dS cz by ax f S⎰⎰++()d S c b a u f S⎰⎰++=222()d u c b a u f d ⎰⎰-++=πθ2011222().211222⎰-++=du c b a u f π12（P210,第4题）设某种物质均匀分布在球面2222a z y x =++上（认为分布密度1=ρ）.求它对于oz 轴的转动惯量.解：由公式 ()d Sy x J S⎰⎰+=22由对称性 ()d S y x J S ⎰⎰+=1228其中 2221:y x a z S --=，则z z x y ∂∂==∂∂，所以，dS ==.因此 ()dxdy yx a a y x S S xyD ⎰⎰--+==222221.88rdr ra r d a a.8022220⎰⎰-=πθ极()rdr ra a a ra a .4022222⎰-+-=πrdr r a a a.4022⎰--=πrdr ra a a.140223⎰-+π()22022.2r a d r a a a--=⎰π()220223.12r a d ra a a ---⎰π()|232232.2a r a a -=π|02232.2ar a a --π434a π-=44a π+ .384a π=13（P217,第1题）沿圆锥面()122≤=+z y x S 的下侧，求曲面积分d S.⎰⎰，其中{}.,,z y x =解：⎰⎰⎰⎰++=SSzdxdy ydzdx xdydz S d r .化为第一型曲面积分计算.S 的向下的法向量{}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++=-''=1,,1,,2222y x y y x x z z yx ，所以{}.cos ,cos ,cos 21,2,222220γβα=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-++==y x y y x x n 故⎰⎰⎰⎰++=SSzdxdy ydzdx xdydz d .()⎰⎰++=SdS z y x γβαcos .cos .cos .⎰⎰⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++=S dS z y x y yx x 222222222 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=S dS z y x 2222（根据第一型曲面积分的计算方法） ⎰⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=xy D dxdy y x y x .02222222 14（P217,第2题）沿椭球面1222222=++cz b y a x 的外侧，求曲面积分.⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛++S z dxdy y dzdx x dydz解：把S 分割为21,S S 两个部分.其中，222211:b y a x c z S --=（上侧）；222221:by a x c z S ---=（下侧）.21,S S 向xoy 面上的投影区域均为.1:2222≤+by a x D xy故 dxdy b ya x c z dxdyxyD S ⎰⎰⎰⎰--=2222111作变量代换： ⎩⎨⎧==.sin ,cos θθbr y ar x由二重积分的换元法 dr abrd rc dxdy b y a x c D D xyθ⎰⎰⎰⎰'-=--222221111.其中 ()()abr br b ar a y r yxrxr y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,⎩⎨⎧≤≤≤≤'.20,10:πθr D 所以=⎰⎰1S zdxdy dr abrd rc dxdy b y a x c D D xyθ⎰⎰⎰⎰'-=--222221111dr r r d c ab ⎰⎰-=πθ2010211dr r rd c ab ⎰⎰-=πθ2010211所以， ().212111|1022102πππcab r c ab r d r c ab =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=---=⎰ 由轮换对称性，知： πa bc x dzdy S4=⎰⎰； .4πb ac y dzdx S=⎰⎰ 故⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛++Sz dxdy y dzdx x dydz +=⎰⎰S z dxdy +⎰⎰S x dzdy⎰⎰Sy dzdx+=πc ab 4πa bc 4().44222222a c c b b a abcb ac ++=+ππ15（P217,第3题）沿球面()()()2222R c z b y a x =-+-+-的外侧，求曲面积分.222⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x解：把S 分割为21,S S 两个部分.其中，()()2221:b y a x R c z S ----+=（上侧）；()()2222:b y a x R c z S -----=（下侧）.21,S S 向xoy 面上的投影区域均为:xy D ()()222R b y a x ≤-+-故 ()()dxdy b y a x R c dxdy z xyDS ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+=222221作变量代换： ⎩⎨⎧+=+=.sin ,cos θθr b y r a x由二重积分的换元法()()[]rdr r R c dxdy b y a x R c D D xy⎰⎰⎰⎰'-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+2222222.其中 ()()r r r y r yxrx r y x J =-=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=θθθθθθθcos sin sin cos ,,⎩⎨⎧≤≤≤≤'.20,0:πθR r D 所以=⎰⎰12S dxdy z[]rdr rR c D 222⎰⎰'-+()dr r rR c d R⎰⎰-+=πθ20222()rdr rR c R2222⎰-+=π()r dr r R r R c c R⎰-+-+=02222222πrdr r R c rdr c R R ⎰⎰-+=02202222ππ()rdr r R R⎰-+0222π()()|||0222023220222132.222RR R r R r R c r c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=πππ.2344322R cR R c πππ++=（1）同理()()dxdy b y a x R c dxdy z xyDS ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=222221()dr r r R c d R⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=πθ200222()rdr r R c R 20222⎰---=πrdr r R c rdr cRR⎰⎰-+-=0222222ππ()r dr r R R⎰--0222π()()|||0222023220222132.222RR R r R r R c r c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππ.2344322R cR R c πππ-+-= =⎰⎰Sdxdy z 2+⎰⎰12S dxdy z 32382cR dxdy z S π=⎰⎰ ； 由轮换对称性，知： =⎰⎰Sdydz x 2338aR π； =⎰⎰Sdzdx y 2.383bR π 故.222⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x ⎰⎰=Sdydz x 2⎰⎰Sdzdxy 2⎰⎰Sdxdy z2().383c b a R ++=π16（P217,第4题）设S 为长方体()c z b y a x ≤≤≤≤≤≤0,0,0的表面.沿外侧求曲面积分 ⎰⎰Sxyzdxdy解：把S 分割为654321,,,,,S S S S S S 六个部分. 其中 ()b y a x c z S ≤≤≤≤=0,0:1的上侧； ()b y a x z S ≤≤≤≤=0,00:2的下侧； ()c z b y a x S ≤≤≤≤=0,0:3的前侧； ()c z b y x S ≤≤≤≤=0,00:4的后侧； ()c z a x b y S ≤≤≤≤=0,0:5的右侧； ()c z a x y S ≤≤≤≤=0,00:6的左侧.注意到除21,S S 外，其余四片曲面在xoy 面上的投影为零，因此 =⎰⎰Sxyzdxdy +⎰⎰1S xyzdxdy ⎰⎰2S xyzdxdy⎰⎰=xyD xycdxdy ⎰⎰-xyD dxdy xy 0.c b a ydy xdx c ab.40022⎰⎰==17（P225第1题）利用格林公式计算下面的曲线积分（l 的方向为正方向）： （ⅰ）()dy xy dx y x l22+-⎰，l 为圆周()222a y x =+；（ⅱ）()()dy y x dx y x l--+⎰，l 为椭圆⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+12222b y a x ； （ⅲ）()xdy dx y l+-⎰，l 为曲线()1=+y x ；（ⅳ）()()dy y y e dx y e x lx sin cos 1---⎰，l 为区域().sin 0,0x y x D <<<<π；18（P225第2题）求()()dy m y e dx my y eI x xL-+-=⎰cos sin ，（m 为常数） 其中l 是自点()0,a A 经过圆周()022>=+a ax y x 的上半部分到点O(0,0)的半圆周.（提示：作辅助线后用格林公式）. 解：cos ,cos x x P Qe y m e y y x∂∂=-=∂∂. 所以，由格林公式：221...428AO OA D DQ P a dxdy mdxdy m ma x y ππ⋂⎡⎤∂∂+=-===⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰.所以，2220.888AO OAma ma ma I πππ⋂==-=-=⎰⎰ （因为，⎰⎰==OAadx 0.00）19（P225第5题）设函数()x f 在正半轴()0>x 上有连续导数()x f '且().21=f 若在右半平面内沿任意闭合光滑曲线l ，都有 ()043=+⎰dy x xf ydx x l求函数().x f解：()y x y x P 34,=，()()x xf y x Q =,都是右半平面上的连续函数，由于在右半平面内沿任意闭合光滑曲线l ，都有()043=+⎰dy x xf ydx x l故有xQ y P ∂∂=∂∂即 ()()x f x x f x '+=34 化简，得 ()()241x x f xx f =+' （1）为一阶线性微分方程，其通解为()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰-c e x e x f dx xdx x 1214().1134xc x c x x +=+=代入条件()21=f ，得 .1=c故 ().13xx x f +=20（P226第6题）设D 是以光滑曲线l 为正向边界的有界闭区域，而函数()y x u u ,=在闭区域D 上具有连续的二阶偏导数且记2222yux u u ∂∂+∂∂=∆证明： ⎰⎰⎰∆=∂∂Dl udxdy ds n u其中()()yu x u n u ,cos ,cos ∂∂+∂∂=∂∂ 表示函数()y x u u ,=沿边界曲线l 外法线方向的方向导数.证明：设τ为曲线l 的正向的切线向量，其方向余弦为()x ,cos 、()y ,cos ，则有 ()()y x ,,τ=，()().,,x y τπ-=故 ()()y x ,cos ,cos τ=，()().,cos ,cos x y τ-=()()ds x y uy xu ds n u l l ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂,cos ,cos ττ（由两型曲线积分之间的联系）dx y udy x u l ⎰∂∂-∂∂=（格林公式） ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=D dxdy y u y x u x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=⎰⎰D dxdy y u x u 2222.⎰⎰∆Dudxdy21（P226第7题）在第6题的假设和记号下，证明：.22ds n uu udxdy u dxdy y u x u D l D ⎰⎰⎰⎰⎰∂∂+∆-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 证明：仿上题 ()()ds xy uy x u u ds n u ul l⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂,cos ,cos ττ（由两型曲线积分之间的联系）dx yuu dy x u ul ⎰∂∂-∂∂=（格林公式） ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=Ddxdy y u u y x u u x ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=D dxdy y u u y u y u x u u x u x u 2222....dxdy y u x u u dxdy y u x u D D ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰⎰⎰⎰222222 udxdy u dxdy y u x u D D ∆+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰⎰⎰⎰22 移项，即得 .22ds n uu udxdy u dxdy y u x u D l D ⎰⎰⎰⎰⎰∂∂+∆-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 22（P227第8题）格林第二公式 若函数()y x u u ,=和()y x v v ,=都满足第6题中的假设，证明： ds vu n v n u dxdy vuv u lD⎰⎰⎰∂∂∂∂=∆∆证明： ()()ds x y u y xu v ds n u vl l⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂,cos ,cos ττ （由两型曲线积分之间的联系）dx yuv dy x u vl ⎰∂∂-∂∂=（格林公式） ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=Ddxdy y u v y x u v x ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂∂∂=D dxdy y u v y u y v x u v x u x v 2222....⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=D D dxdy y u x u v dxdy y v y u x v x u 22.....⎰⎰⎰⎰∆+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=DD udxdy v dxdy y v y u x v x u （1）由轮换对称性，知 ds nv ul⎰∂∂...⎰⎰⎰⎰∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=DD vdxdy u dxdy y v y u x v x u（2）于是ds n v u n uv ds vun vnul l ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂∂∂ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂=⎰⎰⎰⎰D D udxdy v dxdy y v y u x v x u ..⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂-⎰⎰⎰⎰D D vdxdy u dxdy y v y u x v x u .. ()⎰⎰∆-∆=Ddxdy v u u v .dxdy vuv u D⎰⎰∆∆=23（P227第9题）计算高斯(Gauss)积分()(b a I =,其中l 为简单（光滑）闭合曲线，为不在l 上的点()b a ,到l 上动点()y x ,的向量，而为l 上动点()y x ,处的法向量.解：设为曲线l 的正向的切线向量，其方向余弦为()x ,cos τ、()y ,cos τ，则 有 ()()y x ,,τ=，()().,,x y τπ-= 又设()(){}y x n ,cos ,,cos 0= ，{}b y a x --=,，则()()()()()()().,cos .,cos .,cos ,cos 2200b y a x y b y x a x n r n r -+--+-==⎪⎭⎫ ⎝⎛= 故(()()()()()().,cos .,cos .22b y a x y n b y x n a x -+--+-=()()()()()()()[]d s y b y x a x b y a x b a I l,cos ,cos .1,22-+--+-=⎰()()()()()()[]d s x b y y a x b y a x l,cos ,cos .122----+-=⎰ ()()()().22⎰-+----=lb y a x dx b y dy a x 记 ()()(),,22b y a x b y y x P -+---=()()().,22b y a x ax y x Q -+--=则()()()(),2222b y a x a x b y y P-+-----=∂∂()()()().2222b y a x a x b y x Q -+-----=∂∂它们在xoy 平面内除点 ()b a ,外处处连续，且.0=∂∂-∂∂yP xQ（一）若点()b a ,在l 所包围的区域D 外，原式=0；（二）若点()b a ,在l 所包围的区域D 内，以点()b a ,为中心作一个充分小的圆()()).0(:222>=-+-εεεb y a x l 取逆时针方向，使之完全包含在l 为边界的区域内.记介于εl 和l 之间的区域为'εD .则在'εD 由格林公式可得：()()()()⎰-+----l b y a x dx b y dy a x 22()()()()⎰-+-----εl b y a x dx b y dy a x 22.0⎰⎰'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂=εD dxdy y P x Q所以，()()()()⎰-+----=l b y a x dx b y dy a x I 22()()⎰---=εεldx b y dy a x 2()()⎰---=εεl dx b y dy a x 21（格林公式）()()ππεεεεε2.22112222===⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂-∂-∂-∂=⎰⎰⎰⎰DD dxdy dxdy y y b x a x . 24（P227第10题）利用斯托克斯公式重新计算积分（例3） ()()(),⎰-+-+-=ldz y x dy z x dx y z I 其中l 是曲线⎩⎨⎧=+-=+.2,122z y x y x方向为从oz 轴正方向往负方向看去是顺时针方向. 解一：由斯托克斯公式dxdy yx zx yz z y x dxdy dzdx dydz2=---∂∂∂∂∂∂.取∑为平面2=+-z y x 上由椭圆所围成的那一小块曲面.（取下侧），因此{}1,1,1-=,.31,33,330⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=n ）()()()dS dxdy dz y x dy z x dx y z I l ⎰⎰⎰⎰⎰∑∑-=-=-+-+-=3122.2.23.312⎰⎰⎰⎰-=-=-=xyxyD D dxdy dxdy π解二：（直接计算）()()()⎰⎰⎰∑=-+-+-=dxdy dz y x dy z x dx y z I l2其中，.1:22≤+y x D xy所以，.22π-=-=⎰⎰dxdy I xyD .25（P238第1题）下面的向量场是否为保守场？若是，并求位势:u (){};sin cos 2,sin cos 2122y x x y x y y x f --=解：（1）这里()x y y x y x P sin cos 2,2-=，().sin cos 2,2y x x y y x Q -= 因为xQx y y x y P ∂∂=--=∂∂sin 2sin 2，()2,R y x ∈ 所以{}y x x y x y y x f sin cos 2,sin cos 222--=是定义在全平面上的保守场.所以，()+-dx x y y x sin cos 22()dy y x x y sin cos 22-是某一个函数()y x u ,的全微分. 故可取()()()()()dyy x x y dx x y y x y x u y x sin cos 2sin cos 2,2,0,02-+-=⎰()()dy y x x y dx x x yx ⎰⎰-+-=0202sin cos 2sin 00cos 2.cos cos 22y x x y +=则，所求的位势为 ().cos cos ,22c y x x y c y x u ++=+(){}.sin ,cos ,222z y e x z xe f y y --=--解：这里()()().sin ,,,cos ,,,2,,2z y z y x R e x z z y x Q xe z y x P y y -=-==--x Q xe y P y ∂∂=-=∂∂-2；y R z z Q ∂∂=-=∂∂sin ；.0zP x R ∂∂==∂∂ ().,,3R z y x ∈ 所以，{}z y e x z xe f y y sin ,cos ,22--=--为定义在全空间上的保守场.所以，+-dx xe y 2()zdz y dy e x z y sin cos 2---是某一个函数()z y x u ,,的全微分.（二）现取()()()()zdz y dy e x z dx xe z y x u y z y x y sin cos 2,,2,,0,0,0--+=--⎰取0M M 如图所示，从()0,0,00M 沿x 轴到点()0,0,1x M 再沿平行于y 轴的直线到点()0,,2y x M 最后沿平行于z 轴的直线到点(),,.M x y z 于是()()⎰⎰⎰-+-+=--z yyxzdz y dy ex dx xe z y x u 00200sin 0cos 2,,[]|||022cos zy yx z y e x y x+++=-()[]()y z y x e x y x y-+-++=-cos 222.cos 2z y e x y +=-则，所求的位势为 ().cos ,,2c z y e x c z y x u y ++=+- 26（P238第2题）证明式（14-31），并由此求下面的曲线积分： ()();).1(2,11,22⎰-xxdyydx ()()⎰++1,1,63,2,1.).2(xydz zxdy yzdx解：（一）要证式（14-31）成立，即要证若平面区域D 内保守力场()(){}y x Q y x P f ,,,=有位势()y x u ,，则对D 内的任意两点()()222111,,,y x M y x M ，有 ()()()()()().,,,.1122,,2211y x u y x u dy y x Q dx y x P y x y x -=+⎰事实上，因为()(){}y x Q y x P f ,,,=为保守力场，故()()dy y x Q dx y x P l ,.+⎰在D 内与路径无关，而只取决于路径的起点、终点.令()()()()()dy y x Q dx y x P y x v y x y x ,.,,,11+=⎰（1）则可证明()y x v ,也是f 在D 内的一个势函数.故 ()()C y x v y x u ≡-,, ，对任意()D y x ∈,成立（2）取()()11,,y x y x =，并注意到()0,11=y x v （因为沿闭合曲线的积分为零），得()()()111111,,,y x u y x v y x u C =-=（2）式中再取()()22,,y x y x =，并注意到(),0,11=y x v 得()()C y x v y x u =-2222,, 即 ()()()()().,,3,,11222222y x u y x u C y x u y x v --============Θ又由（1）式，注意到()y x v ,的记号，得 ()()()()()().,,,.1122,,2211y x u y x u dy y x Q dx y x P y x y x -=+⎰（二）()()⎰-2,11,22).1(x xdyydx 中，()2,x y y x P =，().1,2x xx y x Q -=-= 因为 xQx y P ∂∂==∂∂21，().0,,2≠∈x R y x 所以，2xxdyydx -是某一个函数()y x u ,的全微分. 故可取()()()⎰-=y x x xdy ydx y x u ,0,12,dy x dx y x ⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=0110.x y -=所以 ()()()().2321121,22,12,11,22-=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=-⎰u u x xdyydx()()⎰++1,1,63,2,1.).2(xydz zxdy yzdx 中，()()().,,,,,,,,xy z y x R zx z y x Q yz z y x P ===因为x Q z y P ∂∂==∂∂；y R x z Q ∂∂==∂∂；.zPy x R ∂∂==∂∂ ().,,3R z y x ∈ 所以，+yzdx xydz zxdy +是某一个函数()z y x u ,,的全微分. （二）现取()()()xydz zxdy dx yz z y x u z y x ++=⎰,,0,0,0,,取0M M 如图所示，从()0,0,00M 沿x 轴到点()0,0,1x M 再沿平行于y 轴的直线到点()0,,2y x M 最后沿平行于z 轴的直线到点(),,.M x y z 于是 ()⎰⎰⎰++=zyxxydz dy x dx z y x u 000.00,, .xyz =所以 ()()()().03,2,11,1,61,1,63,2,1=-=++⎰u u xydz zxdy yzdx 27（P238第5题）验证下列方程我全微分方程，并求通解：()();04332).1(=-++dy y x dx y x ()().03223).2(2222=+-++-dy y xy x dx y xy x解：()();04332).1(=-++dy y x dx y x这里，()()y x y x Q y x y x P 43,,32,-=+=.因为，xQy P ∂∂==∂∂3，是全微分方程.故：()()()()()dyy x dx y x y x u y x 4332,,0,0-++=⎰ ()()dy y x dx x yx ⎰⎰-++=004302[]||02223yx y xy x-+=.2322y xy x -+=通解为：c y xy x =-+2223.()().03223).2(2222=+--+-dy y xy x dx y xy x这里，()().32,,23,2222y xy x y x Q y xy x y x P -+-=+-=. 因为，xQ y x y P ∂∂=+-=∂∂22，所以方程是全微分方程. 故：()()()()()dy y xy x dx y xy x y x u y x 22,0,0223223,+--+-=⎰()()dy y xy x dx x yx⎰⎰-+-+=022023203[]||03223yx yxy y xx-+-+=.3223y xy y x x -+-=因此，所求方程的通解为：.3223c y xy y x x =-+-.28（P238第6题）设函数()y x u u ,=在凸区域（即包含区域内任意两点间的连线）2R ⊂Ω内连续可微分且K gradu ≤（常数）.证明：对于Ω内任意两点B A ,，都有 ()()().,.B A d K B u A u ≤- 其中()B A d ,表示点B A ,之间的距离.证明：由于Ω为凸区域，故线段AB 整个属于Ω.设点B 的坐标为()000,,z y x ，点A 的坐标为()111,,z y x ，且令.,,010101z z z y y y x x x -=∆-=∆-=∆ 考虑一元函数()()z t z y t y x t x u t f ∆+∆+∆+=000,, ().10≤≤t （1） 显然，()()()().1,0A u f B u f ==（2）且()t f 在[]1,0上可微，并且 ()()x z t z y t y x t x u t f x ∆∆+∆+∆+'='.,,000 ()y z t z y t y x t x u y ∆∆+∆+∆+'+.,,000()z z t z y t y x t x u z ∆∆+∆+∆+'+.,,000 （3）于是，由微分学中值定理知()()()()()ξf f f B u A u '=-=-01()()=3Θ()x z z y y x x u x ∆∆+∆+∆+'.,,000ξξξ ()y z z y y x x u y ∆∆+∆+∆+'+.,,000ξξξ()z z z y y x x u z ∆∆+∆+∆+'+.,,000ξξξ ()..,,000z z y y x x gradu ∆+∆+∆+=ξξξ （4）由（4）式可知 ()()(z z y y x x gradu B u A u ,,000∆+∆+∆+=-ξξξ()().,..,,000B A d K z z y y x x gradu ≤∆+∆+∆+≤ξξξ29（P238第7题）求向量场⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y grad f arctan 沿下列曲线l 的环量： （ⅰ）l 为圆周()()12222=-+-y x ；l 为圆周422=+y x （分为左、右半圆周分别计算）.解： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y y x y x x y grad f arctan ,arctan arctan.,2222⎭⎬⎫⎩⎨⎧++-=y x x y x y （ⅰ） 2222.y x xdyy x ydx d f l l +++-=⎰⎰（格林公式）dxdy y x y y y x x x D⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=2222()().022********=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--+-=⎰⎰dxdy y x x y y x x y D （ⅱ）⎰⎰+-=ll y x ydx xdy d f 22.[].22.241412ππ==-=⎰l ydx xdy 30（P238第8题）求,f rot 其中().2,3,32x y z x y z f ---= 解：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂=y P x Q x R z P z Q y R f rot ,,{}.6,4,2= 31（P238第9题）证明： ()f gradu f urot f u rot ⨯+=. 解：设()()(){}z y x R z y x Q z y x P f ,,,,,,,,=，则()()(){}.,,,,,.,,,z y x uR z y x Q u z y x uP uf =()()()()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂=y uP x uQ x uR z uP z uQ y uR f rot ,, ,,{⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=x u R x R u z u P z P u z u Q z Q u y u R y R u },⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂y u P y P u x u Q xQu⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂=y P x Q x R z P z Q y R u ,,⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+y u P x u Q z u P x u R z u Q y u R ,.f gradu f urot ⨯+= 31（P246第1题）利用奥-高公式计算下列各曲面积分：（ⅰ）⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz ，沿球面()()()2222R c z b y a x =-+-+-外侧；（ⅱ）⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333，沿正方体()10,10,10≤≤≤≤≤≤z y x 外表面；（ⅲ）()()()[]d S z z y y x x S⎰⎰++,cos ,cos ,cos 222，沿锥面()h z y x S ≤=+22的下侧；（ⅳ）,3dxdy z S⎰⎰沿上半球面222y x a z --=的上侧.解：（ⅰ）⎰⎰++Szdxdy ydzdx xdydz （奥-高公式）()()()⎰⎰⎰Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=dv z z y y x x .434.3333R R dv ππ===⎰⎰⎰Ω（ⅱ）⎰⎰++Sdxdy z dzdx y dydz x 333（奥-高公式）()()()xdydz d z z y y x x ⎰⎰⎰Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=333()⎰⎰⎰Ω++=dxdydz z y x 2223=3（ⅲ）若取h z S =:1（上侧）.则S 与1S 一起构成一个封闭曲面.记它们所围成的空间闭区域为Ω.在Ω上利用奥-高公式，便得：()()()[]d S z n z y n yx n x S S ⎰⎰+++1,cos ,cos ,cos 222dxdy z dzdx y dydz xS S 2221++=⎰⎰+ （奥-高公式）()()()xdydz d z z y y x x ⎰⎰⎰Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=222()⎰⎰⎰Ω++=dxdydz z y x 2⎰⎰⎰Ω=zdxdydz 2（=⎰⎰⎰Ωxdxdydz 0=⎰⎰⎰Ωydxdydz ）dz z rdr d h h r⎰⎰⎰=πθ202()dr r h r d h⎰⎰-=πθ20022212 .24πh = 所以 ()()()[]d S z n z y n y x n x S⎰⎰++,cos ,cos ,cos 222dxdy z dzdx y dydz x h S 222212++-=⎰⎰π=-=⎰⎰dxdy h h xyD 222π.2.22222πππh h h h =-=（ⅳ）,3dxdy z S⎰⎰沿上半球面222y x a z --=的上侧.若取0:1=z S （下侧）.则S 与1S 一起构成一个封闭曲面.记它们所围成的空间闭区域为Ω.在Ω上利用奥—高公式，便得：。

《曲线积分与曲面积分》测试题一、选择题（共15分，每小题3分）1.设L 为抛物线21y x =-上介于0x =与1x =之间的一段弧，则L xds =⎰（ ）( A)33112-；(B) 55112- ； (C) 3316- ； (D)5516-2.均匀曲面222z a x y =--的形心坐标为（ ）( A)1(0,0,)2a ；(B) 1(0,0,)3a ； (C) 1(0,0,)4a ； (D)10,0,5a ⎛⎫ ⎪⎝⎭3.星形线：33cos ,sin (0,02)x a t y a t a t π==>≤≤所围平面图形的面积为（ ）( A)235a π；(B) 253a π ； (C) 238a π ； (D)283a π 4.设[()]sin ()cos x Lf x e ydx f x ydy --⎰与路径无关，且()f x 有一阶连续导数，(0)0f =，则()f x =（ ）( A)2x x e e -- ； (B) 2x x e e -- ；(C) 12x x e e -+- ； (D)12x xe e -+- . 5. 设∑为球面222x y z R ++=的内侧，则曲面积分 333x dydz y dzdx z dxdy ∑++=⎰⎰（ ）( A)54R π-；(B) 54R π ； (C) 5125R π ； (D)5125R π- 二、填空题（共15分，每小题3分）1.设L 为椭圆22143x y +=，其周长为a ，则22(234)L xy x y ds ++=⎰ .2. 设Γ为曲线0cos sin (0)x t t y t t t t z t =⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩，则zds Γ=⎰ .3．设L 为一条不过原点的光滑闭曲线，且原点位于L 内部，其走向为逆时针方向，则曲线积分222L xdy ydx x y -=+⎰__________________. 4.设∑为平面1x y z ++=位于球面2221x y z ++=内的上侧，则曲面积分()()()x y dydz y z dzdx z x dxdy ∑-+-+-=⎰⎰ .5.全微分方程2201xdx ydy xdy ydx x y +++=++的解为 .三、计算积分222dS x y z ∑++⎰⎰，其中∑为界于0z =与(0)z H H =>之间的柱面：222x y R +=。

第十章 曲线积分与曲面积分一．曲线积分的计算 （1）基本计算1.第一类：对弧长线积分的计算(,)Lf x y ds ⎰关键是用曲线L:(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩()t αβ≤≤做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围）(,)[(),(,()Lf x y ds f t t βαϕψαβ=<⎰⎰例 L 为圆周221,x y +=则22xy Le ds +=⎰2e π 参数方程，曲线代入解 cos :(02)sin x L y θθπθ=⎧≤≤⎨=⎩ds d θθ==22x y Leds +=⎰202ed e πθπ=⎰例 计算2⎰L x ds ，其中2222:(0)0⎧++=>⎨-=⎩x y z a L a x y . (8分)解 由于 22222222::00⎧⎧++=+=⇒⎨⎨-=-=⎩⎩x y z a x z a L L x y x y 所以L 的参数方程可表示为:(02)sin θθπθ⎧=⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪=⎪⎩x L y t z a (3分)θθ==ds ad (2分) 故23222cos 22ππθθ==⎰⎰La a x ds ad(3分) 【例10.22】求⎰,式中L 为圆周22(0)x y ax a +=>解 L 的极坐标方程为:,(),cos 22L ds ad r a θθππθθθθ=⎧-≤≤==⎨=⎩则222cos 2a ad a ππθθ-=⋅=⎰⎰第二类：对坐标的线积分的计算 关键是用曲线L:(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩(:)t αβ→做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围）''(,)(,){[(),()]()[(),()]()}LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ+=+⎰⎰例 设L 为抛物线2y x =从点()0,0到()2,4一段弧，则()22Lx y dx -=⎰5615-注意微元，及参数方程的形式【例10.17】 求2L ydx xdy x +⎰，其中L 是曲线ln y x =上从点(1,0)到点(,1)e 的一段弧. 解 由ln y x =得1,ydx dy x e x==，故原式=1121002()|y y ydy e dy y e e +=+=⎰⎰⑵ 基本技巧① 利用对称性简化计算；对弧长的线积分，对称性同二重积分 例 计算3222(),Lx y ds L x y R 其中：++=⎰解：33()LLLx y ds xds y ds =+=0+⎰⎰⎰ 第一个L 关于y 对称，第二个L 关于x 对称【例10.15】 求yL xe ds ⎰，其中L 是由cos (0)sin x a ta y a t =⎧>⎨=⎩所表示的曲线上相应于233t ππ≤≤的一段弧.解 （法一）ds adt ==,故 原式=22sin sin 3333cos |0a ta ta t e adt aeππππ⋅⋅==⎰.（法二）容易看出积分弧段关于y 轴对称，而被积函数是关于变量x 的奇函数，故0y Lxe ds =⎰【例10.18】 求2()Lx y ds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=.解 由对称性得0Lxyds =⎰，故22222()(2)()2LLLLx y ds x xy y ds x y ds xyds +=++=++⎰⎰⎰⎰2223022LLa ds a ds a a a ππ=+==⋅=⎰⎰对坐标的线积分，对称性为，当平面曲线L 是分段光滑的，关于x 对称，L 在上半平面与下半平面部分的走向相反时，若P 对y 为偶函数，则，0LPdx =⎰奇函数，则12LL Pdx Pdx =⎰⎰。

x y
解： P x, y y e x , Q x, y 3 x e y ，
P Q 1, 3 y x
dxdy 2dxdy 2 ab y e dx 3x e dy = x y
x y C
Q
P
D
D
29.(11-3)计算曲线积分
2 xy 2 y dx x
L
2
4 x dy ，其中 L 取正向的圆周 x 2 y 2 9 .
解：设 P 2 xy 2 y, Q
x2 4x ，
Q P 2x 4 2 x 2, x y
2
B. 6S
C. 12S
D.
24S
L
x 上自点 A 1,1 到点 B 1, 1 之间的一段弧，则 I yds （
C. 1
2 2
D. 1
设 C 为沿 x y R 逆时针方向一周的闭合曲线，则曲线积分
2 2 I x ydx xy dy 应用格林公式计算得（ A ） C
2
0 x 2 ，计算
2
L
x 1 x ds .
解：直接代公式化第一类平面曲线积分为定积分得

L
xds
2
0
x 1 y2 dx
0
x 1 4 x 2 dx
1 1 2 2 2 1 4 x d 1 4 x 2 8 0 3 1 2 2 2 1 4 x 8 3 2 0

L
x 2 ds
2 . 3
2.
7. (11-1)设 L 为连接 (1,0) 及 (0,1) 两点的直线段,则 8. (11-1)计算曲线积分

十 曲线积分与曲面积分习题(一) 对弧长的曲线积分1. 计算ds y x L⎰+)(22，其中L 为圆周t a y t a x sin ,cos == )20(π≤≤t .解32032222202222222cos sin )sin cos ()(a dt a dt t a t a t a t a ds y x Lπππ==++=+⎰⎰⎰.2. 计算ds x L⎰，其中L 为由直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界.解 )12655(1214121210-+=++=⎰⎰⎰dx x x dx x ds x L. 3．计算⎰Lyds ,其中L 是抛物线x y 42=上从)0,0(O 到)2,1(A 的一段弧.解⎰L y d s ＝dy y y dy y y ⎰⎰+=+202202421)2(1 )122(34)4(4412202-=++=⎰y d y . 4．计算⎰+Lds y x )(，其中L 为从点)0,0(O 到)1,1(A 的直线段.解⎰+L ds y x )(＝23211)(10=++⎰x x . 5．计算⎰L xyzds ，其中L 是曲线2321,232,t z t y t x ===)10(≤≤t 的一段. 解 ⎰Lx y z d s ＝⎰⎰+=++13102223)1(232)2(121232dt t t t dt t t t t t ＝143216.6．计算L⎰ ，其中L 为圆周222x y a +=,直线y x =及x 轴在第一象限所围成的扇形的整个边界.解L⎰ ＝⎰1L ＋⎰2L ＋⎰3L＝dx e dt t a t a edx eax aa x⎰⎰⎰+++++024022222201)sin ()cos (11π＝(2)14ae a π+-7．设在xoy 面内有一分布着质量的曲线L ,在点(),x y 处它的线密度为(),x y μ,试用对弧长的曲线积分分别表达(1)这条曲线弧对x 轴,y 轴的转动惯量,x y I I ； (2) 这条曲线弧的质心坐标,x y . 解 （1）⎰=Lx dS yI 2μ ⎰=Ly dS x I 2μ（2）⎰⎰=L L dSy x dS y x x x ),(),(μμ ⎰⎰=LL dSy x dS y x y y ),(),(μμ (二) 对坐标的曲线积分1．计算⎰+Lxdy ydx ，其中L 为圆周t R y t R x sin ,cos ==上对应t 从0到2π的一段弧. 解⎰+Lx d y y d x ＝0]cos cos )sin (sin [20=+-⎰dt t tR R t R t R π2．计算⎰+Lydx xdy ，其中L 分别为（1）沿抛物线22x y =从)0,0(O 到)2,1(B 的一段； （2）沿从)0,0(O 到)2,1(B 的直线段.； （3）沿封闭曲线OABO ，其中)0,1(A ,)2,1(B .解 （1）⎰=+=122)24(dx x x x I .（2）2)22(1=+=⎰dx x x I .（3）⎰+Lydx xdy ＝⎰⎰⎰++BOABOA＝210(22)0dy x x dx +++=⎰⎰.3．计算⎰-+++Ldz y x zdy xdx )1(，其中Γ是从点)1,1,1(到点)4,3,2(的一段直线.解 直线方程为312111-=-=-z y x ，其参数方程为13,12,1+=+=+=t z t y t x ，t 从0变到1.13])13(3)12(2)1[(1=+++++=⎰dt t t t I .4．计算2()Lxydx x y dy x dz +-+⎰，其中L 是螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 从0=t 到π=t 上的一段.解 dt t b a t a t a t a t a t a t a I ⎰+-+-∙=π22]cos cos )sin cos ()sin (sin cos [)(222b a a +=π.5．设Γ为曲线23,,x t y t z t ===上相应于t 从0变到1的曲线弧.把对坐标的曲线积分Pdx Qdy Rdz Γ++⎰化成对弧长的曲线积分.解 由于)3,2,1()3,2,1(),,(2y x t t dt dz dt dy dt dx ==，故229411c o s y x ++=α，229412cos yx x ++=β，229413cos yx y ++=γ.(cos cos cos )Pdx Qdy Rdz P Q R dS αβγΓΓ++=++⎰⎰＝dS yx yR xQ P ⎰Γ++++2294132.(三) 格林公式及应用1．计算⎰-L ydy x dx xy 22，其中L 为圆周222a y x =+，取逆时针方向. 解⎰-Lydy x dx xy22＝0)22(=--⎰⎰Ddxdy xy xy2．计算⎰+--Ldy y x dx y x )sin ()(22，其中L 是在圆周22x x y -=上由点)0,0(到点)1,1( 的一段弧.解 y x P -=2,)sin (2y x Q +-= ()122017sin sin 246I x x x x dx =---=-⎰ 3. 计算(1)()xxL ye dx x e dy +++⎰，其中L 为椭圆22221x y a b +=的上半周由点(,0)A a 到(,0)B a -的弧段.解 x ye P +=1,x e x Q +=⎰⎰-=+11L L L I ＝2aD adxdy dx ab a π--=-⎰⎰⎰4. 计算3222(2cos )(12sin 3)Lxy y x dx y x x y dy -+-+⎰,其中L 为在抛物线22x y π=上由点(0,0)到,12π⎛⎫⎪⎝⎭的一段弧． 解 322cos P xy y x =-，2212sin 3Q y x x y =-+ ⎰⎰⎰--=+211L L L L I ＝0)4321(00122-+--⎰⎰⎰y y dxdy D π＝42π5. 计算⎰+-L y x xdy ydx )(222，其中L 为圆周2)1(22=+-y x ，L 的方向为逆时针方向. 解 )(222y x y P +=，)(222y x x Q +-=，当022≠+y x 时， yPy x y x x Q ∂∂=+-=∂∂)(22222 L 所围区域为D ，由于D ∈)0,0(，故不能直接用格林公式.选适当小的0>r ，作位于D 内的小圆周222:r y x l =+.记L 与l 所围区域为1D ，在1D 上应用格林公式，得⎰+-L y x xdyydx )(222－⎰+-l y x xdy ydx )(222＝0其中l 取逆时针方向.所以⎰+-L y x xdyydx )(222＝⎰+-l y x xdy ydx )(222＝πθθπ=--⎰20222222cos sin r r r . 6. 计算星形线t a y t a x 33sin ,cos ==，)20(π≤≤t 所围成区域的面积.解 ⎰-=L ydx xdy A 21＝2024224283)cos sin 3sin cos 3(a dt t t a t t a ππ=+⎰7. 证明曲线积分(2,1)423(1,0)(2)(4)xy y dx x xy dy -+-⎰在整个xoy 面内与路径无关，并计算积分值.解 （1）42y xy P -=，324xy x Q -=xQy x y P ∂∂=-=∂∂342在整个xoy 面上成立 故曲线积分(2,1)423(1,0)(2)(4)xy y dx x xy dy -+-⎰在整个xoy 面内与路径无关.（2）⎰⎰+=21L L I ＝8．验证dy x xydx 22+在整个xoy 平面内是某一函数),(y x u 的全微分，并求这样的一个),(y x u .解 （1）验证略；（2）y x dy x y x u yABOA2020),(=+=+=⎰⎰⎰9．试用曲线积分求dy y x dx y x )cos ()sin 2(++的原函数. 解 y x P sin 2+=，y x Q cos =，xQ y y P ∂∂==∂∂cos 在整个xoy 面上成立 所以 ⎰++=),()0,0()cos ()sin 2(),(y x dy y x dx y x y x u=y x x ydy x xdx yxsin cos 220+=+⎰⎰+C.(四) 对面积的曲面积分1．计算⎰⎰∑+dS y x)(22，其中∑是锥面22y x z +=及平面1=z 所围成的区域的整个边界曲面. 解⎰⎰∑+dS y x)(22＝⎰⎰⎰⎰∑∑+21＝⎰⎰⎰⎰+++++xyxyD D y x dxdy y x dxdy z z y x )(1)(222222 ⎰⎰++=xyD dxdy y x )()12(22＝π212+. 2. 计算⎰⎰∑++dS zy x )223(，其中∑为平面1432=++z y x 在第一卦限的部分.解 d x d y y x y x I xyD ⎰⎰-+-+--++=22)34()2(1))321(223(， ＝⎰⎰⎰⎰-+=+x D dy y dx dxdy y xy 23302)265(361)265(361 ＝614)42741549(361202=+-⎰dx x x . （x y x D xy 2330,20:-<<<<） 3．计算⎰⎰∑dS z 2，其中∑为球面2222a z y x =++. 解⎰⎰∑dS z 2＝⎰⎰⎰⎰--=++--xyxyD D y x dxdy y x a a dxdy z z y x a2222222221)(2＝42022342a d a d a aπρρρθπ=-⎰⎰4．计算⎰⎰∑++dS z y x )(，∑是球面0,222≥=++z a z y x .有问题 解 ⎰⎰----++=xyD dxdy y x a y x a y x I 222222)(＝⎰⎰⎰⎰--+--+xyxyD D dxdy y x a dxdy y x a y x )()(222222 ＝πρρρθπ2)(002220=-+⎰⎰ad a d 5．求抛物面壳221()(01)2z x y z =+≤≤的质量，此壳的面密度为z μ=. 解 ⎰⎰∑=zdS M ＝dxdy y x y x xyD 22221)(21+++⎰⎰＝2012d d πρ⎰(五) 对坐标的曲面积分1．计算⎰⎰∑zdxdy y x22，其中∑是球面2222R z y x =++的下半部分的下侧.解⎰⎰∑zdxdy y x22＝dxdy y x R y x xyD ⎰⎰--2222＝24220cos sin Rd πθρθρ⎰⎰ ＝72105R π2．计算⎰⎰∑++yzdzdx xydydzxzdxdy ，其中∑是平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧. 解 4321∑+∑+∑+∑=∑0321===⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑⎰⎰⎰⎰--=++∑xyD dxdy y x x yzdzdx xydydz xzdxdy )1(34＝dy xy x x dx x⎰⎰---10102)(3＝85. 3．计算⎰⎰∑++=dxdy z h dxdz y g dydz x f I )()()(，其中h g f ,,为已知连续函数，∑为平行六面体c z b y a x ≤≤≤≤≤≤Ω0,0,0:表面的外侧. 解 654321∑+∑+∑+∑+∑+∑=∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-==∑yzyzD D dydz a f dydz f dydz x f I )()0()(1＝bc f a f )]0()([-⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-==∑yzyzD D dxdz b g dxdz g dxdz y g I )()0()(2＝ac g b g )]0()([-ab h c h I )]0()([3-=所以321I I I I ++=＝ab h c h ac g b g bc f a f )]0()([)]0()([)]0()([-+-+-. 4．计算⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222，其中∑为半球面222y x a z --=的上侧.解⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=21222dydz x dydz x dydz x＝0)()(222222=-----⎰⎰⎰⎰dydz z y a dydz z y a yzyzD D 同理：02=⎰⎰∑dzdx y 4202222222)()(a d a d dxdy y x a dxdy z aD xyπρρρθπ=-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑故⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222＝42a π. 5．计算⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑是柱面122=+y x 被0=z 及3=z 所截得的在第一卦限内的部分的前侧. 解⎰⎰∑=0zdxdy⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-=∑1032211dz y dy dydz y xdydz yzDπθθθθππ43)2cos 1(23cos 320202=+==⎰⎰d d同理：π43=⎰⎰∑ydzdx 故⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ＝π23. 6．设∑为平面x z a +=在柱面222x y a +=内那一部分的上侧，下面两个积分的解法是否正确？如果不对，给出正确解法. （1）3()()x z dS a dS a a ∑∑+==⨯∑=⎰⎰⎰⎰的面积； （2）3()()x z dxdy a dxdy a a ∑∑+==⨯∑=⎰⎰⎰⎰的面积. 解 （1）正确；（2）错误.正确解法是：()x z dxdy a dxdy ∑∑+=⎰⎰⎰⎰＝3adxdy a xyD π=⎰⎰.(六) 高斯公式利用高斯公式计算: 1．计算⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 333，其中∑为球面2222a z y x=++的内侧.解 2223()I x y z dv Ω=-++⎰⎰⎰2403sin Rd d r dr ππθϕϕ=-⎰⎰⎰5125R π=- 2．计算⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑是曲面22y x z +=在第一卦限中10≤≤z 部分的下侧.解 补充曲面：)0,0,1(,1:221≥≥≤+=∑y x y x z ，取上侧； )1,10(,0:22≤≤≤≤=∑z x x y ，取左侧；)1,10(,0:23≤≤≤≤=∑z y y x ，取后侧.∑，1∑，2∑和3∑构成闭曲面，所围的空间闭区域记为Ω，由高斯公式，得⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑+∑+∑+∑---++321zdxdy ydzdx xdydz＝003+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩzxxyD D dzdx dxdy dv＝ππρρθρπ=+⎰⎰⎰43110202dz d d .3．计算⎰⎰∑+++-dxdy xz y dzdx x dydz z x y )()(22，∑为正方体Ω的表面并取外侧,其中 {(,,)|0,0,0}x y z x a y a z a Ω=≤≤≤≤≤≤.解 ()I y x dv Ω=+⎰⎰⎰＝400)(a dz y x dy dx aaa=+⎰⎰⎰ 4．计算⎰⎰∑++dS z y x )cos cos cos (222γβα，其中∑是由222z y x =+及)0(>=h h z 所围成的闭曲面的外侧，γβαcos ,cos ,cos 是此曲面的外法线的方向余弦. 解 2()2()2I x y z d x d y d z x y d x d y d z z d x d y d zΩΩΩ=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=2220()xyxyh D D dxdy zdz h x y dxdy +=--⎰⎰⎰⎰=412h π.(七) 斯托克斯公式1．计算⎰-+-++Ldz z y dy z x dx z y )()()2(，其中L 为平面1=++z y x 与各坐标面的交线，取逆时针方向为正向. 解 由斯托克斯公式，得⎰-+-++Ldz z y dy z x dx z y )()()2(＝()()()R Q P R Q P dydz dzdx dxdy y z z x x y∑∂∂∂∂∂∂-+-+-∂∂∂∂∂∂⎰⎰ ＝⎰⎰∑-+dxdy dzdx dydz 2＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=xyzxyzD D D dxdy dzdx dydz 2＝1. 2．计算⎰-+-+-Ldz x y dy z x dx y z )()()(，其中L 是从)0,0,(a 经)0,,0(a 和),0,0(a 回到)0,0,(a 的三角形.解 由斯托克斯公式，得⎰-+-+-Ldz x y dy z x dx y z )()()(＝()()()R Q P R Q P dydz dzdx dxdy y z z x x y∑∂∂∂∂∂∂-+-+-∂∂∂∂∂∂⎰⎰ ＝2242222a dxdy dxdy dydz dxdy dydz xyxyyzD D D ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑. (八) 曲线积分与曲面积分自测题1．计算曲线积分 (1)ds y x L⎰+22，其中L 为圆周ax y x =+22；解 :cos (-)22L r a ππθθ=≤≤)d s d d a θθθ==cos r a θ==ds y x L⎰+22=222cos 2a ad a ππθθ-=⎰ .(2)⎰Lzds ，其中Γ为曲线)0(,sin ,cos 0t t t z t t y t t x ≤≤===；解d s t d t=⎰Lz d s=0322(2)3t t +-=⎰ (3)⎰+-Lxdy dx y a )2(，其中L 为摆线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=上对应t 从0到π2的一段弧；解⎰+-Lx d y dx y a )2(=20{[(2(1cos ))](1cos )(sin )sin }a a t a t a t t a t dt π---+-⎰=2220sin 2at tdt a ππ=-⎰. (4)⎰Γ-+-dz x yzdy dx z y 2222)(，其中Γ是曲线32,,t z t y t x ===上由01=t 到12=t 的一段弧；解⎰Γ-+-dz x yzdy dx z y2222)(=14623220[()1223]t t t t t t t dt -+-⎰=16401(3)35t t dt -=⎰(5)⎰-+-Lx x dyy e dx y y e )2cos ()2sin (，其中L为上半圆周0,)(222≥=+-y a y a x 沿逆时针方向；解 补充积分路径1:0L y =，x 从0到2a. sin 2,cos 2xxP e y y Q e yy =-=-11(s i n 2)(c o s 2)xx LL L L ey y dx e y dy +-+-=-⎰⎰⎰=220()(sin 020)0ax D Q Pdxdy e dx a x y π∂∂---+=∂∂⎰⎰⎰2．计算曲面积分 (1)⎰⎰∑++222z y x dS ，其中∑是介于平面0=z 及H z =之间的圆柱面222R y x =+； 解x =，dS ==⎰⎰∑++222z y x dS=12∑∑+⎰⎰⎰⎰=yzD+yzD=221yzD R z =+⎰⎰=2arctanHR π. (2) ⎰⎰∑-+-+-dxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(222，其中∑为锥面)0(22h z y x z ≤≤+=的外侧；解 11I ∑+∑∑=-⎰⎰⎰⎰=()P Q Rdxdydz x y z Ω∂∂∂++∂∂∂⎰⎰⎰2()xyD x y dxdy --⎰⎰ =44044h h ππ-=-.(3)⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ,其中∑为半球面22y x R z --=的上侧；解11I ∑+∑∑=-⎰⎰⎰⎰=()P Q R dxdydz x y z Ω∂∂∂++∂∂∂⎰⎰⎰0xyD dxdy -⎰⎰ =3302dv R πΩ-=⎰⎰⎰.(4)⎰⎰∑++++3222)(z y x zdxdyydzdx xdydz ，其中∑为曲面)0(9)1(16)2(5122≥-+-=-z y x z 的上侧；解 0I = （利用高斯公式） (5) ⎰⎰∑xyzdxdy ，其中∑为球面)0,0(1222≥≥=++y x z y x 外侧. 解⎰⎰∑xyzdxdy =12xyzdxdy xyzdxdy ∑∑+⎰⎰⎰⎰=12022cos sin xyD d r r πθθθ=⎰⎰⎰⎰=215. 3．证明：22yx ydyxdx ++在整个xoy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数.解 在整个xoy 平面除去y 的负半轴及原点的区域G 是单连通域.在G 内，222()Q xy Px x y y ∂-∂==∂+∂， 所以存在(,)u x y ，使22xdx ydydu x y+=+. 取积分路径：(1,0)(,0)(,)x x y →→(,)22222(1,0)10(,)x y yx xdx ydy x y u x y dx dy x y x x y +==+++⎰⎰⎰=221ln()2x y +. 4．计算⎰Γ-+-++dz x y dy z x dx z y )()()2(,其中Γ为平面1=++z y x 与各坐标面的交线，从z 轴正向看取逆时针方向. 解 由斯托克斯公式，得⎰-+-++Ldz z y dy z x dx z y )()()2(＝()()()R Q P R Q Pdydz dzdx dxdy y z z x x y∑∂∂∂∂∂∂-+-+-∂∂∂∂∂∂⎰⎰ ＝⎰⎰∑-+dxdy dzdx dydz 2＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+=xyzxyzD D D dxdy dzdx dydz 2＝1.5．求均匀曲面222y x a z --=的质心的坐标.解 设面密度为ρ，重心(,,)x y z 由对称性：0x y ==2200xyaD M dS πρρ∑===⎰⎰⎰=22a πρ2112xyD z zdS Ma ρπ∑==⎰⎰=2a 故重心的坐标为(0,0,)2a .。