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曲线积分与曲面积分习题详解习题9-11 计算下列对弧长的曲线积分：（1）I s=⎰，其中C是抛物线2y x=上点(0,0)O到(1,1)A之间的一段弧；解: 由于C由方程2y x=（01x≤≤）给出，因此1I s x x===⎰⎰⎰123211(14)1)1212x⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦.（2）dCI x s=⎰，其中C是圆221x y+=中(0,1)A到B之间的一段劣弧；解:C AB=的参数方程为：cos,sinx yθθ==()42ππθ-≤≤，于是24cosIππθ-=⎰24cos1dππθθ-==⎰．（3）(1)dCx y s++⎰，其中C是顶点为(0,0),(1,0)O A及(0,1)B的三角形的边界；解: L是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有(1)Cx y ds++⎰(1)OAx y ds=++⎰(1)ABx y ds+++⎰(1)BOx y ds+++⎰，由于OA:0y=，01x≤≤，于是ds dx===，故13(1)(01)2x y ds x dx++=++=⎰⎰OA，而:AB1y x=-,01x≤≤，于是ds==．xyoABC10(1)[(1)ABx y ds x x ++=+-+=⎰⎰同理可知:BO 0x =（01y ≤≤），0ds =，则13(1)[01]2BOx y ds y dy ++=++=⎰⎰． 综上所述33(1)322Cx y ds -+=+=+⎰． （4）22Cx y ds +⎰，其中C 为圆周22x y x +=；解 直接化为定积分．1C 的参数方程为11cos 22x θ=+,1sin 2y θ=（02θπ≤≤）, 且12ds d θθ=．于是22201cos222Cx y ds d πθθ+=⋅=⎰⎰．（5）2 ds x yz Γ⎰，其中Γ为折线段ABCD ，这里A ,B ,C ,D 的坐标依次为(0,0,0), (0,0,2),(1,0,2),(1,2,3)；解 如图所示， 2222ABBCCDx yzds x yzds x yzds x yzds Γ=++⎰⎰⎰⎰．线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤，则ds =2dt =，故02200 12=⋅⋅⋅=⎰⎰dt t yzds x AB．线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤，则,ds dt ==122 0020BCx yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰，线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t===+)10(≤≤t ，则ds ==，故1122012(2))CDx yzds t t t t dt =⋅⋅+=+=⎰⎰ 2 (2所以2222A BB CC Dx y z d s x y z d sx y z d sd s Γ=++⎰⎰⎰⎰（6）2ds y Γ⎰，其中Γ为空间曲线2222,(0),x y z a a x z a ⎧++=>⎨+=⎩. 解: Γ在,x y 平面的投影为：2222()x y a x a ++-=，即22220x y ax +-=，从而2221222a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.利用椭圆的参数方程得Γ的参数方程为11cos ,22:, 02.11cos ,22x a a y z a x a a θθθπθ⎧=+⎪⎪⎪Γ=≤≤⎨⎪⎪=-=+⎪⎩由于d s θθθ==. 则332π2π2222 01ds sin d sin d 222y a θθθθΓ===⎰⎰2 设一段曲线ln (0)y x a x b =<≤≤上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．解 依题意曲线的线密度为2x ρ=，故所求质量为2CM x ds =⎰，其中:ln (0)C y x a x b =<≤≤．则C 的参数方程为ln x xy x =⎧⎨=⎩(0)a x b <≤≤， 故ds ==，所以3221[(1)]3b a aM x ==+⎰3322221[(1)(1)]3b a =+-+．3 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥的边界曲线的重心，设曲线的密度1ρ=。
第十一章 曲线积分与曲面积分第三节 Green 公式及其应用1．利用Green 公式，计算下列曲线积分： (1)⎰-Lydx x dy xy 22，其中L 为正向圆周922=+y x ； 解：由Green 公式，得232222381()22LDxy dy x ydx x y dxdy d r dr ππθ-=+==⎰⎰⎰⎰⎰Ñ， 其中D 为229x y +≤。
(2)⎰-++Ly ydy y xe dx y e)2()(，其中L 为以)2,1(),0,0(A O 及)0,1(B 为顶点的三角形负向边界；解：由Green 公式，得()(2)(1)1y y y y LDDe y dx xe y dy e e dxdy dxdy ++-=---==⎰⎰⎰⎰⎰Ñ。
*(3)⎰+-Ldy xy ydx x22，其中L 为x y x 622=+的上半圆周从点)0,6(A 到点)0,0(O 及x y x 322=+的上半圆周从点)0,0(O 到点)0,3(B 连成的弧AOB ；解：连直线段AB ，使L 与BA u u u r围成的区域为D ，由Green 公式，得6cos 2222223203cos 444620()01515353cos 334442264LDBAx ydx xy dy y x dxdy x ydx xy dy d r dr d πθθπθπθθπ-+=+--+=-==⨯⨯⨯=⨯⨯⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰u u u r*(4)⎰+-Lyx xdy ydx 22，其中L 为正向圆周4)1(22=++y x . 解：因为22222()x y P Q y x x y -∂∂==∂∂+，(,)(0,0)x y ≠。
作足够小的圆周l :222x y r +=,取逆时针方向，记L 与l 围成的闭区域为D ，由Green 公式，得220L lydx xdyx y +-=+⎰Ñ，故 22222222222sin cos 2L l l ydx xdy ydx xdy ydx xdyx y x y r r r d rπθθθπ---+=-=++--==-⎰⎰⎰⎰蜒?2．计算下列对坐标的曲线积分：⎰+-Lx xydy e dx y esin 2)cos 21(，其中L 为曲线x y sin =上由点)0,(πA 到点)0,0(O 的一段弧；解：(12cos ),2sin x xP e y Q e y =-=，2sin x P Q e y y x∂∂==∂∂， 故积分与路径无关，取)0,(πA 经x 轴到点)0,0(O 的一条路径， 从而 原式=(12cos )2sin 1x x x AOe y dx e ydy e dx e ππ-+=-=-⎰⎰。
25第十一章 曲线积分与曲面积分第一节 对弧长的曲线积分1. 选择题：(1) 对弧长的曲线积分的计算公式⎰Lds y x f ),(=⎰'+'βαφϕφϕdt t t t t f )()()](),([22中要求 （C ） .（A ） α>β （B ） α=β （C ） α<β(2) 设光滑曲线L 的弧长为π，则⎰Lds 6= （B ） . （A ） π （ B ） π6 （C ） π122.计算下列对弧长的曲线积分： (1)⎰+Lds y x )(，其中L 为I ） 以)1,1(),0,1()0,0(B A O ，为顶点的三角形的边界； II ）上半圆周222R y x =+；解：I ）111()()()()(1)13222LOAABBOx y ds x y ds x y ds x y dsxdx y dy +=+++++=+++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰II ）22()(cos sin [sin cos ]2Lx y ds R t R t R t t R ππ+=+=-=⎰⎰(2)⎰Lyds ，其中L 为x y 22=上点)2,2(与点)2,1(－之间的一段弧；解：2223/211[(1)]33Lyds y ===+=⎰⎰⎰26*(3) ⎰Γ+ds y x )(22，其中Γ为螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos ；)20(π≤≤t解：1/222222222220()(sin cos )2x y ds a a t a t b dta a πππΓ+=++==⎰⎰⎰*(4)⎰+L ds y x 22，其中L 为y y x 222-=+；解：L 的极坐标方程为2sin r θ=-，2πθπ≤≤，则ds θ=。
222224sin 8Lrd d ππππππππθθθθθ====-=⎰⎰⎰⎰第二节 对坐标的曲线积分1．填空题(1) 对坐标的曲线积分的计算公式⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=⎰'+'βαφφϕϕφϕdt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{中，下限α对应于L 的 始 点，上限β对应于L 的 终 点； (2) 第二类曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(化为第一类曲线积分是[(,)cos (,)cos ]LP x y dx Q x y ds αβ+⎰ ，其中βα,为有向光滑曲线L 在点),(y x 处的 切向量 的方向角.2．选择题：(1) 对坐标的曲线积分与曲线的方向 （B ）（A ）无关， （B ）有关；(2) 若),(y x P ，),(y x Q 在有向光滑曲线L 上连续，则 （A ） （A ） ⎰-+L dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰+-L dy y x Q dx y x P ),(),(，（B ）⎰-+L dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(.273．计算下列对坐标的曲线积分：(1)⎰+Ldx y x )(22，其中L 为从点)0,0(A 经上半圆周1)1(22=+-y x(0)y ≥到点)1,1(B 的一段弧；解：L的方程为221(1)y x =--，:01x →，则112222()[1(1)]21Lx y dx x x xdx +=+--==⎰⎰⎰ (2) ⎰-Lydx xdy ，其中L 为2x y =上从点)1,1(B 到点)1,1(-A 的一段弧；解：112211223Lxdy ydx x xdx x dx x dx ---=-==-⎰⎰⎰。
第十章 曲线积分与曲面积分答案一、选择题 1．曲线积分()sin ()cos xL f x e ydx f x ydy ⎡⎤--⎣⎦⎰与路径无关，其中()f x 有一阶连续偏导数，且(0)0f =，则()f x = BA.1()2x x e e -- B. 1()2x x e e -- C. 1()2x x e e -+ D.0 2．闭曲线C 为1x y +=的正向，则Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ C A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C 为2241x y +=的正向，则224Cydx xdyx y -+=+⎰Ñ D A.2π- B. 2π C.0 D. π 4．∑为YOZ 平面上221y z +≤，则222()xy z ds ∑++=⎰⎰ DA.0B. πC.14π D. 12π 5．设222:C x y a +=，则22()Cx y ds +=⎰Ñ CA.22a πB. 2a πC. 32a πD. 34a π 6. 设∑为球面2221x y z ++=，则曲面积分∑[ B ]A.4πB.2πC.πD.12π7. 设L 是从O(0,0)到B(1,1)的直线段，则曲线积分⎰=Lyds [ C ]A. 21B. 21- C. 22 D. 22-8. 设I=⎰Lds y 其中L 是抛物线2x y =上点（0, 0）与点(1, 1)之间的一段弧,则I=[D ]A.655 B.1255 C.6155- D. 12155- 9. 如果简单闭曲线 l 所围区域的面积为 σ，那么 σ 是（ D ） A.⎰-l ydy xdx 21； B. ⎰-l xdx ydy 21；C.⎰-l xdy ydx 21； D. ⎰-lydx xdy 21。
10．设2222:(0)S x y z R z ++=≥，1S 为S 在第一卦限中部分，则有 CA.14SS xds xds =⎰⎰⎰⎰ B.14SS yds yds =⎰⎰⎰⎰C.14SS zds zds =⎰⎰⎰⎰ D.14SS xyzds xyzds =⎰⎰⎰⎰二、填空题1. 设L 是以(0, 0), (1, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的正方形边界正向一周，则曲线积分⎰=+-L y dy x eydx )(2-22.S 为球面2222a z y x =++的外侧,则⎰⎰=-+-+-sdxdy y x dzdx x z dydz z y )()()(03.⎰=++-12222y x yx xdyydx =π2-4．曲线积分22()Cx y ds +⎰Ñ，其中C 是圆心在原点，半径为a 的圆周，则积分值为32a π 5．设∑为上半球面)0z z =≥，则曲面积分()222ds y x z ∑++⎰⎰= 32π6. 设曲线C 为圆周221x y +=,则曲线积分()223d Cxy x s +-⎰Ñ 2π .7. 设C 是以O(0,0),A(1,0),B(0,1)为顶点的三角形边界，则曲线积分⎰=+C ds )yx (8. 设∑为上半球面z=，则曲面积分∑的值为 83π。
一、选择题1. 设有曲线222:r y x C =+，0≥y ，其中0>r 为常数，则对弧长的曲线积分()⎰+Cds y x22的值为（ ）A. 2r π； B. 3r π； C. 4r π； D. 32r π.2. 简单闭曲线L 所围成的区域的面积为S ，L 取逆时针方向，则S 为 （ ） A.⎰-L ydy xdx 21； B. ⎰-L xdx ydy 21； C. ⎰-L xdy ydx 21； D. ⎰-Lydx xdy 21. 3. 设平面曲线C 是从点)1,1(到点)3,2(的直线段，则对坐标的曲线积分()⎰=-+Cdy x y xdx 2（ ）A. 4-；B. 4；C. 2；D. 6.4. 设有平面闭区域},|),{(a y x a x a y x D ≤≤≤≤-=，},0|),{(1a y x a x y x D ≤≤≤≤=，则 =+⎰⎰dxdy y x xy D)sin cos (（ ） A. ydxdy x D sin cos 21⎰⎰； B. xydxdy D 12⎰⎰； C. ydxdy x D sin cos 41⎰⎰；D. 0.5. 设封闭曲线L 由直线0=x ，0=y ，2=x 4=y 所围成，取逆时针方向，则曲线积分()⎰=-+-Ldy xy y dx xy x 2)2(22 （ ）A. 3816+-； B. 31616--； C. 32-； D. 16-. 6. 若L 为由点)0,0(O 到点(,0)B π的曲线弧sin ,y x =则L=ydx xdy +⎰（ ）A. 4ab π；B. 0；C. 3ab π； D. ab π.二、判断题1. 设开区域是D 是一个单连通域，函数),(y x P 及),(y x Q 在D 内具有一阶连续偏导数，则在D内xQ y P ∂∂=∂∂的充要条件是曲线积分⎰+L Qdy Pdx 在D 内与路径相关. （ ）2. 在D 上，1),(=y x f ，S 为D 的面积，则S d y x f D=⎰⎰σ),(. （ ）3. 格林公式是斯托克斯公式的推广.（ ）《 高等数学 》 曲线积分与曲面积分测试题14. 当∑是xOy 面内的一个闭区域时，曲面积分⎰⎰⎰⎰=∑xyD d y x f dS z y x f σ)0,,(),,(.（ ）5. 第一类曲线积分只与曲线的起点和终点有关.（ ）6. 曲线积分cydx xdy -⎰与路径无关。
第十一章 曲线积分与曲面积分试题一．填空题（规范分值3分）11.1.1.2 设在xoy 平面内有一分布着质量的曲线L ，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧对x 轴的转动惯量I x =。
ds y x y L),(2μ⎰11.1.2.2 设在xoy 平面内有一分布着质量的曲线L ，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)，用第一类曲线积分表示这曲线弧的质心坐标x =；y =。
x =⎰⎰LLds y x ds y x x ),(),(μμ；y =⎰⎰LLdsy x ds y x y ),(),(μμ 11.1.3.1在力),,(z y x F F =的作用下，物体沿曲线L 运动。
用曲线积分表示力对物体所做的功=W 。
d z y x L⋅⎰),,(11.1.4.2 有向曲线L 的方程为⎩⎨⎧≤≤==βαt t y y t x x )()(，其中函数)(),(t y t x 在[]βα,上一阶导数连续，且[][]0)()(22≠'+'t y t x ，又),(),,(y x Q y x P 在曲线L 上连续，则有：[]ds y x Q y x P dy y x Q dx y x P LL⎰⎰+=+βαcos ),(cos ),(),(),(，那么αcos =；βcos =。
αcos =[][]22)()()(t y t x t x '+''βcos =[][]22)()()(t y t x t y '+''11.1.5.1 设L 为xoy 平面内直线a x =上的一段，则曲线积分⎰Ldx y x P ),(=。
011.1.6.2 设L 为xoy 平面内，从点(c,a )到点(c,b )的一线段，则曲线积分⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(可以化简成定积分：。
dy y Q ba),0(⎰11.1.7.2 第一类曲线积分ds y x L⎰+)(22的积分值为。
第十章 曲线积分与曲面积分(A)1．计算()⎰+Ldx y x ，其中L 为连接()0,1及()1,0两点的连直线段。
2．计算⎰+Lds y x 22，其中L 为圆周ax y x =+22。
3．计算()⎰+Lds y x 22，其中L 为曲线()t t t a x sin cos +=，()t t t a y cos sin -=，()π20≤≤t 。
4．计算⎰+Ly x ds e22，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一角限所围成的扇形的整个边界。
5．计算⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+L ds y x 3434，其中L 为摆线t a x 3cos =，t a y 3sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤20πt 在第一象限的一段弧。
6．计算⎰+Lds yx z 222，其中L 为螺线t a x cos =，t a y sin =，at z =()π20≤≤t 。
7．计算⎰Lxydx ，其中L 为抛物线x y =2上从点()1,1-A 到点()1,1B 的一段弧。
8．计算⎰-+Lydz x dy zy dx x 2233，其中L 是从点()1,2,3A 到点()0,0,0B 的直线段AB 。
9．计算()⎰-+++Ldz y x ydy xdx 1，其中L 是从点()1,1,1到点()4,3,2的一段直线。
10．计算()()⎰---Ldy y a dx y a 2，其中L 为摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱(对应于由t 从0变到π2的一段弧)：11．计算()()⎰-++Ldy x y dx y x ，其中L 是：1）抛物线x y =2上从点()1,1到点()2,4的一段弧；2）曲线122++=t t x ，12+=t y 从点()1,1到()2,4的一段弧。
12．把对坐标的曲线积分()()⎰+Ldy y x Q dx y x P ,,化成对弧和的曲经积分，其中L 为：1）在xoy 平面沿直线从点()0,0到()4,3； 2）沿抛物线2x y =从点()0,0到点()2,4； 3）沿上半圆周x y x 22=+2从点()0,0到点()1,1。
13．计算()()⎰-+-Lx xdy mx y e dx my y ecos sin 其中L 为()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=，π≤≤t 0，且t 从大的方向为积分路径的方向。
14．确定λ的值，使曲线积分()()⎰-++-βαλλdy y y x dx xy x4214564与积分路径无关，并求()0,0A ，()2,1B 时的积分值。
15．计算积分()()⎰++-Ldy y x dx x xy 222，其中L 是由抛物线2x y =和xy =2所围成区域的正向边界曲线，并验证格林公式的正确性。
16．利用曲线积分求星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =所围成的图形的面积。
17．证明曲线积分()()()()⎰-+-4,32,12232366dx xy y x dx y xy在整个xoy 平面与路径无关，并计算积分值。
18．利用格林公式计算曲线积分()()⎰-+-+Lx x dy ye x x dx e y x xy x xy2sin sin 2cos 222，其中L 为正向星形线323232ay x =+()0>a 。
19．利用格林公式，计算曲线积分()()⎰-+++-Ldy x y dx y x 63542，其中L 为三顶点分别为()0,0、()0,3和()2,3的三角形正向边界。
20．验证下列()()dy y x Q dx y x P ,,+在整个xoy 平面是某函数()y x u ,的全微分，并求这样的一个()y x u ,，()()dy ye y x x dx xy y x y 128832322++++。
21．计算曲面积分()⎰⎰∑+dx y x 22，其中∑为抛物面()222y x z +-=在xoy 平面上方的部分。
22．计算面面积分()⎰⎰∑+--ds z x x xy 222，其中∑为平面和三坐标闰面所围立体的整个表面。
24．求抛物面壳()2221y x z +=()10≤≤z 的质量，壳的度为z t =。
25．求平面x z =介于平面1=+y x ，0=y 和0=x 之间部分的重心坐标。
26．当∑为xoy 平面的一个闭区域时，曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,与二重积分有什么关系？27．计算曲面积分⎰⎰∑++ydzdx xdydz zdxdy 其中∑为柱面122=+y x 被平面0=z 及3=z 所截的在第一卦限部分的前侧。
28．计算⎰⎰∑++dxdy z dxdz y dydz x 222式中∑为球壳()()22b y a x -+-()22R c z =-+的外表面。
29．反对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积()()()⎰⎰∑++dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P ,,,,,,化成对面积的曲面积分，其中∑是平面63223=++z y x 在第一卦限的部分的上侧。
30．利用高斯公式计算曲面积：1）⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222，其中∑为平面0=x ，0=y ，0=z ，a x =，a y =，a z =所围成的立体的表面和外侧。
2）()()⎰⎰∑-+-xdydz z y dxdy y x ，其中∑为柱面122=+y x 与平面0=z ，3=z 所围立体的外表面。
31．计算向理αρ穿过曲面∑流向指定侧的通量：1）()k xz j y x i z x ρρρρ222-+-=α，∑为立体a x ≤≤0，a y ≤≤0，a z ≤≤0，流向外侧；2）()()()k y x z j x z y i z y x ρρρρ-+-++-++-=α，∑为椭球面1222222=++c z b y a x ，流向外侧。
32．求向理场()()k xz j xy i a xyρρρρ2cos cos ++=α的散度。
33．利用斯托克斯公式计算曲经积分⎰Γ++xdz zdy ydx 其中Γ为圆周，2222a z y x =++，0=++z y x ，若从x 轴正向看去，这圆周取逆时针方向。
34．证明⎰Γ=++02xzdz xydy dx y ，其中Γ为圆柱面y y x 222=+与z y =的交线。
35．求向量场()()()k xy j yz x i y x a ρρρρ233-++-=，其中Γ为圆周222y x z +-=，0=z 。
36．求向量场()()j y x z i y z ρρρcos sin --+=α的旋度。
37．计算()()()⎰Γ-+-+-dz y x dy x z dx z y222222，其中Γ为用平面23=++z y x 切立方体a x ≤≤0，a y ≤≤0，a x ≤≤0的表面所得切痕，若从ox 轴的下向看去与逆时针方向。
(B)1．计算⎰Lyds ，其中L 为抛物线px y 22=由()0,0到()00,y x 的一段。
2．计算⎰Lds y 2，其中L 为摆线()t t a x sin -=，()t r a y cos -=一拱()π20≤≤t 。
3．求半径为a ，中心角为24的均匀圆弧(线心度1=ρ)的重心。
4．计算⎰Lzds ，其中L 为螺线t t x cos =，t t y sin =，t z =()π20≤≤t 。
5．计算⎰++Lds zy x 2221，其中L 为空间曲线t x t cos ρ=，t y tsin ρ=，t z ρ=上相应于t 从0变到2的这段弧。
6．设螺旋线弹簧一圈的方程为t a x cos =，t a y sin =，kt z =()π20≤≤t ，它的线心度为()222,,z y x yz y x ++=ρ，求：1）它关于z 轴的转动惯量z I ； 2）它的垂心。
7．设L 为曲线t x =，2t y =，3t z =上相应于t 从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分⎰++LRdz Qdy Pdx 化成对弧长的曲线积分。
8．计算()()⎰+--+Ly x dy y x dx y x 22，其中L 为圆周222a y x =+(按逆时针方向绕行)。
9．计算⎰++Lxdz zdy ydx ，其中L 为曲线t a x cos =，t a y sin =，bt z =，从0=t 到π2=t 的一段。
10．计算()()⎰-++Ldy y x dx y x 2222，其中L 为||1x y -=()20≤≤x 方向为x增大的方向。
11．验证曲线积分()()()()⎰-++-1,20,1222dy y x e x dx y xey y与路径无关并计算积分值。
12．证明当路径不过原点时，曲线积分()()⎰++2,21,122yx ydyxdx 与路径无并，并计算积分值。
13．利用曲线积分求椭圆12222=+by a x 的面积。
14．利用格林公式计算曲线积分()()⎰+--Ldy y x dx y x 22sin ，其中L 是圆周22x x y -=上由点()0,0到点()1,1的一段弧。
15．利用曲线积分，求笛卡尔叶形线axy y x 333=+()0>a 的面积。
16．计算曲线积分()⎰+-L y x xdy ydx 222，其中L 圆周()2122=+-y x ，L 的方向为逆时针方向。
17．计算曲面积分⎰⎰∑zds 3，其中∑为抛物面()222y x z +-=在xoy 平面上的部分。
18．计算()⎰⎰∑++ds zx yz xy ，其中∑是锥面22y x z +=被柱面axy x 222=+所截得的有限部分。
19．求面心度为0ρ的均匀半球壳2222a z y x =++()0≥z 对于z 轴的转动惯量。
20．求均匀的曲面22y x z +=被曲面ax y x =+22所割下部分的重心的坐标。
21．计算曲面积分()⎰⎰=++=2222,,a z y x ds z y x f I ，其中()⎪⎩⎪⎨⎧+<+≥+=222222,0,,,yx z yx z y x z y x f 。
22．计算⎰⎰∑++yzdzdx xydydz xzdxdy ，其中∑是平面0=x ，0=y ，0=z ，1=++z y x 所围成的空间区域的整个边界边界曲面的外例。
23．计算dxdy z dxdz y dydz x 111++⎰⎰∑，其中∑为椭球面1222222=++c z b y a x 。
24．计算()()()⎰⎰∑-+-+-dxdyy x dxdy x z dydz z y ，式中∑为圆锥面2=+z y x 22()h z ≤≤0的外表面。
