三年级奥数--消去法解题

奥数消去问题公式奥数中的消去问题可是很有趣的呢！咱们先来说说啥是消去问题。

比如说，小明去买苹果和香蕉，3 个苹果和 2 根香蕉一共花了 18 元，5 个苹果和 2 根香蕉一共花了 26 元。

那一个苹果多少钱？这就是一个典型的消去问题。

解决消去问题，咱们得靠一些公式和方法。

最常用的就是“加减消元法”。

就拿前面买水果的例子来说，咱们来看看怎么用加减消元法。

5 个苹果和 2 根香蕉花了 26 元，3 个苹果和 2 根香蕉花了 18 元。

那用 26元减去 18 元，得到的就是 2 个苹果的价钱，也就是 8 元，所以一个苹果就是 4 元。

再比如说，有这样一道题：甲买了 2 支铅笔和 3 个笔记本花了 15 元，乙买了 4 支铅笔和 5 个笔记本花了 27 元。

那一支铅笔和一个笔记本分别多少钱？这时候，咱们可以先把甲的情况乘以 2，得到 4 支铅笔和 6 个笔记本花了 30 元。

然后用这个和乙的情况相减，30 元减去 27 元，就是 1个笔记本的价钱，也就是 3 元。

知道了笔记本的价钱，再代入甲的情况，就能算出铅笔的价钱啦。

我之前教过一个小朋友做这类题，他一开始总是晕头转向的。

我就跟他说：“你就把这些数字当成你的小伙伴，它们在跟你玩捉迷藏，你得把它们找出来排好队。

”这孩子听了之后，好像突然来了劲，瞪着大眼睛认真思考起来。

后来经过几次练习，他终于掌握了诀窍，每次做题都特别积极，还跟我说：“老师，我觉得做奥数题就像破案一样，太有意思啦！”咱们再来说说“代入消元法”。

比如这道题：3x + 2y = 11 ，x + y = 5 。

咱们可以从第二个式子得出 x = 5 - y ，然后把这个式子代入第一个式子，就能求出 y 的值，再求出 x 的值。

还有“等式变形消元法”，比如 2x + 3y = 18 ，4x - 3y = 6 。

这时候可以把两个式子相加，消去 y 。

总之，消去问题的公式和方法就是帮助我们找到那些隐藏在数字背后的小秘密。

第一讲：消去法解题【例题精讲】例1、3个水瓶和20个茶杯共134元；同样的3个水瓶和16个茶杯，共用去118元。

水瓶和茶杯的单价各是多少元？思路分析：通过两组条件的对比，可以发现水瓶的个数相同，之所以两次钱数相差134-118=16元，是因为两次买的茶杯个数相差20-16=4个，这样可求出一个水杯的价钱。

例2、小军第一次买3个篮球和5个足球共用去480元，第二次买同样的6个篮球和3个足球共用去519元。

篮球和足球的单价各是多少元？思路分析：通过两组条件的对比，可以根据第二次买的篮球是第一次的2倍，设法使两次的篮球个数相同，通过两式相减，消去篮球的个数，然后再求出足球的单价。

例3、某食堂第一次运进大米5袋，面粉7袋，共重1350千克，第二次运进大米3袋，面粉5袋共重850千克，一袋大米和一袋面粉各重多少千克？思路分析：与上题不同，这两组对应数值中，既没有相同的数量关系，也无简单的倍数关系，因此解题的关键就是设法使两次运进的大米或面粉的袋数相同，然后求解。

可以将第一次的大米和面粉的袋数及重量都扩大3倍，第二次的都扩大5倍，再进行解答。

例4、5头牛、6匹马每天吃草139千克，6头牛、5匹马每天吃草125千克，1头牛、1匹马每天各吃草多少千克？思路分析：可以参照上题的方法解答，但由于条件特殊，我们可以解答的更为简便些。

若将两组条件分别相加，可得到11头牛和11匹马共吃草139+125千克，进而知道1头牛1匹马共吃草24千克，那么5头牛、5匹马一天共吃草就是120千克，最后利用条件可以求出1匹马、1头牛每天的吃草量。

【模仿练习】1、买3支钢笔和2瓶墨水要付29元，买同样的5支钢笔和2瓶墨水要付钱43元。

1支钢笔和1瓶墨水各多少元？2、2捆科技书，5捆故事书共重26千克，3捆故事书和2捆科技书共重18千克。

1捆科技书和1捆故事书各重多少千克？3、小明买了8盒糖和5盒蛋糕共用去171元；乙买了5盒糖和2盒蛋糕共用去90元。

第四讲消去法解题2007-07-31 14:02:22| 分类：五年级奥数|字号订阅有这样一个问题，小朋友你能不能很快回答出来？张老师给李明5元钱，让他去买10支铅笔，5本练习本。

李明听错了，买回来4支铅笔，5本练习本，并找给老师2.4元。

求铅笔和练习本的单价。

在这一类的问题中，常常会同时出现两个或两个以上的未知的数量，并给出不同情形下数量间的关系。

解决这一类问题，通常采用“消去法”——即通过分析比较，去同求异，设法消去一个未知数量，从而将问题简化。

【例题解析】例1小华买了3把小刀和4块擦皮，共用去1元。

小芳买了同样的6把小刀和4块擦皮，共用去1.6元。

小刀和擦皮单价分别是多少元？分析题目给出了两种不同的买法，列举如下：3把小刀＋4块擦皮＝1元6把小刀＋4块擦皮＝1.6元对比发现：两种买法中，擦皮的块数是一样的，而小刀的个数不一样。

多买3把小刀，就要多用去1.6-1＝0.6元，所以1把小刀的价钱是：0.6÷3＝0.2元，从而可计算出1块擦皮的价钱应是：(1-0.2×3)÷4＝0.1元。

解：(1.6-1)÷(6-3)＝0.2(元)……小刀单价(1-0.2×3)÷4＝0.4÷4＝0.1(元)……擦皮单价答：每把小刀0.2元，每把擦皮0.1元。

【边学边练】已知：3A＋7B＝101，9A＋7B＝149。

那么10A-5B＝（）。

例2食堂第一次运进大米5袋，面粉9袋，共重850千克。

第二次运进大米7袋，面粉3袋，共重710千克。

大米和面粉每袋各重多少千克？分析对比两种情况，大米和面粉的袋数都不相同，该怎样消去其中一个数量呢？可以先转化条件：既然7袋大米＋3袋面粉＝710千克，那么再继续运进7袋大米和3袋面粉，又运进710千克。

即：14袋大米＋6袋面粉＝1420千克；同理：21袋大米＋9袋面粉＝2130千克；对比：5袋大米＋9袋面粉＝850千克；可得：1袋大米＝（2130-850）÷（21-5）＝1280÷16＝80千克。

消去法解题什么是消去法消去法是一种在奥数中常用的解题方法，它通过逐渐排除一些可能性，从而找到正确的答案。

这种方法通常用于解决逻辑、数学等问题。

消去法解题步骤1. 阅读问题：仔细阅读题目，理解问题的要求和条件。

2. 分析条件：将问题中给出的条件和信息进行整理和总结。

3. 找到限制性条件：通过分析条件，确定哪些条件是对问题有限制性的。

这些限制性条件是解题关键。

4. 排除可能性：根据限制性条件，逐步排除一些可能性。

5. 查找规律：观察排除后剩余的可能性，尝试找到其中的规律和特征。

6. 解答问题：根据观察到的规律，给出问题的解答或答案。

案例分析假设有一个问题：有3个大苹果和4个小苹果，现在要从中选择2个苹果，其中一个是大苹果，一个是小苹果。

问有多少种选择方式？1. 阅读问题：3个大苹果和4个小苹果，选择2个苹果，其中一个是大苹果，一个是小苹果。

2. 分析条件：有3个大苹果和4个小苹果。

3. 找到限制性条件：其中一个是大苹果，一个是小苹果。

4. 排除可能性：- 如果选择了一个大苹果，剩下的苹果不能再选大苹果，所以剩下2个大苹果和4个小苹果中选择1个小苹果，有\[2 × 4 = 8\]种可能性。

- 如果选择了一个小苹果，剩下的苹果不能再选小苹果，所以剩下3个大苹果和3个小苹果中选择1个大苹果，有\[3 × 3 = 9\]种可能性。

- 因此，总共有\[8 + 9 = 17\]种选择方式。

5. 查找规律：由于只有两种可能性，难以观察到明显的规律。

6. 解答问题：根据排除可能性的结果，可以得出共有17种选择方式。

通过消去法，我们成功解答了这个问题。

总结消去法是一种有效的奥数解题方法，可以帮助我们迅速排除一些可能性，从而找到正确答案。

在使用消去法解题时，我们需要仔细阅读问题，分析条件，找到限制性条件并逐步排除可能性。

通过观察剩余的可能性，我们可以尝试找到其中的规律，进而解答问题。

消去法的灵活运用可以帮助我们更好地解决逻辑、数学等问题。

3春---4 消去法解题姓名：得分：例1：它们首先来到罗拉最爱的西瓜柜台，这里有许多又大又圆的西瓜。

在这堆西瓜的中间有一个大大的问题牌，上面画着这样一幅图：例2：梨子柜台的问题是这样的：1个梨子的质量等于3个杏子和12个草莓的质量，2 个杏子的质量等于6个草莓的质量。

1个梨子的质量等于多少个草莓的质量？例3：买3千克苹果和4千克橙子需要20个贝壳，买同样的6千克苹果和4千克橙子需要32个贝壳，买1千克苹果和1千克橙子各要多少个贝壳？（一）大胆闯关11、看图填一填。

2、（1）○+□=9 ○+○+□+□+□=25 ○=（），□=（）（2）☆+☆+☆+○=22 ☆+☆+☆+○+○+○=30。

☆=（），○=（）。

（3）☆+○+○=15 ☆+☆+○+○+○=26。

☆=（），○=（）。

3、2只狗的质量等于3只猴的质量，5只猴的质量等于20只兔的质量。

1只狗重18千克，1只兔重多少千克？4、小豆丁买了8盒糖果和5盒蛋糕用去155个贝壳，卡卡买了同样的8盒糖果和4盒蛋糕用去140个贝壳，一盒糖和一盒蛋糕各需多少个贝壳？3春---4 消去法解题练习题姓名：得分：1、罗拉、卡卡相约去文具店买文具。

罗拉买了5支水笔和6把小尺花了16 个贝壳；卡卡买了同样的10支水笔和6把小尺花了26个贝壳。

一支水笔和一把小尺各多少个贝壳？2、假如20只兔子可换2只羊，9只羊可换3头猪，8头猪可换2头牛，那么5头牛可换多少只兔子？3、2只鸡的质量＋1只鹅的质量＝8千克 1只鸡的质量＝（）千克 2只鹅的质量＋2只鸭的质量＝14千克 1只鸭的质量＝（）千克 1只鸡的质量＋1只鸭的质量＝5千克 1只鹅的质量＝（）千克4、1筐梨的质量＋2筐桔子的质量＝130千克 1筐梨的质量＝（）千克2筐苹果的质量＋2筐桔子的质量＝160千克 1筐苹果的质量＝（）千克3筐梨的质量＋2筐苹果的质量＝310千克 1筐桔子的质量＝（）千克5、一头猪可以换3只羊，1只羊可以换2只狗，1只狗可以换4只兔子，1头猪可以换几只兔子？6、已知一只狗重8千克，请你根据如图所示，求一只小猴和一只小兔共重多少千克。

第二十四章　“对应消去”解题知识导航有些问题，给出了两个或两个以上的未知量，要求出这些未知量，应先把题中的条件按对应关系一一排列，分析对应未知量的变化情况。

通过“代入法”或“加减法”消去一些未知量，最后变成只含有1个未知量的关系式，从而使问题变得较为简单。

这种方法叫作消去法。

例如：“已知＋☉＋☉＝22，＋☉＝16，求和☉。

”像这类问题，题目中给定的未知量有两个或两个以上，而数量关系又都是在变化的。

如何解答这类问题呢？为了使变化的数量看得更清楚，我们可以把已知条件按照它们之间对应的数量关系排列出来，转化为等式并进行编号，然后进行观察、比较、分析对应数量关系的变化，而后考虑先设法消除一个未知数量，只保留其中一个未知量，使数量关系化繁为简，在求得这个未知量后，再求其他未知量。

如上面的问题我们可以先给这2个式子编号，如下所示。

接着用式①减去式②，将“”消去后，先求出“☉”的值，再求出“”的值。

三年级接触的“对应消去法”还是比较简单的，常以用同类数量相减的方法先消去一个或几个未知量，最后剩下一个未知量。

这样一个较难的求两个或两个以上未知数的问题就转化为一个简单的常见问题。

图解思维训练题例1　周老师为学校体育组购买足球和排球。

如果买5个足球和1个排球，共需要865元；如果买3个足球和1个排球，则共需要535元。

一个足球和一个排球各多少钱？图解思路根据题意，我们可以把题中两种购买方式的对应情况用下列等量关系表示来进行比较。

由上图可知，两种购买方式中所购的排球数量是相同的，而购买的足球数量和总钱数是不同的。

因为多购了5-3＝2（个）足球，所以总钱数也多了865-535＝330（元）。

这样就可求出足球的单价，进而可求得排球的价钱。

规范解答足球：5-3＝2（个）　（865-535）÷2＝165（元）排球：535-165×3＝40（元）答：一个足球165元，一个排球40元。

例2　某学校体育组购买蓝球和排球。

三年级奥数--训练点——消去法解题
1、学校第一次买来了3个足球和3个球,共用人民币75元,第二次买来同样的3个足球和5个排球,共用人民币105元,求足球和排球的单价分别是多少？
2、3筐苹果和5筐橘子共重270千克,3筐苹果和7筐橘子共重342千克,1筐苹果重多少千克？1筐橘子重多少千克？
3、体育老师去商店买东西,如果买6个足球和3个篮球,需付294元;买2个足球和3个篮球需付154元。

那么买8个足球和5个篮球需付多少元?
4、1个日记本和6个练习本共值18元。

同样价格下,2个日记本和6个练习本共值24元求每个日记本多少元。

5、3个铜球和2个铁球共重54千克,同样的4个铜和6个铁球共重92千克,一个铜球重多少千克?一个铁球重多少千克？
6、两支钢笔和一支圆珠笔共16元,一支笔和两支圆珠笔共11元,那么一支钢笔是多少元？
7、一瓶液化气气连瓶共重55千克,用掉一半后,瓶和气共重30千克,原来气重多少千克？瓶重多少千克？
8、三棵树上共有27只小鸟,第一棵和第二棵有15只,第三棵和第一棵共有20只,那么第一棵树有多少只？第二棵树有多少只？第三棵树有多少只？
参考答案：1、排球15元，足球10元；2、橘子36千克，苹果30千克；3、足球35元，篮球28元，要付420元；4、日记本6
元；5、铜球14千克，铁球6千克；6、圆珠笔2元，钢笔7元；
7、液化气50千克，瓶5千克；8、第一棵8只，第二棵7只，第三棵12只。

三年级奥数：消去法解题，等量代换的延伸与运用消去法解题与等量代换有相通之处，也可以说是等量代换的延伸与运用。

消去法解题的特征是，题目当中通常会出现多个未知量，解题时，需要先根据题中的条件列出相关的等式，然后通过比较等式之间的联系，将其中的一些量通过转换、抵消，直到可以求出其中一个未知量。

本次我们主要学习以下两种题型：1、相同量的倍数关系相同：等式中有一个倍数关系相同的数量在两个不同的等式中分别出现，可以直接抵消相同的部分。

2、相同量的倍数关系不同：等式中没有倍数关系相同的数量，不可以直接抵消，但可以使用扩大倍数的方法构造相同的部分，再比较。

同量同倍用减法解决此类问题，首先根据已知条件写出算式，如果两个算式中相同量的倍数相同，就通过比较两个算式的结果和不同的那个量的倍数求出不同的量。

同量同倍用减法同量不同倍要扩大倍数做这类题目时，首先要写出算式，如果算式中相同量的倍数不相同，就通过观察找存在倍数关系的的量，把这个量的倍数变成相同，然后再比较求出另一个量。

同量不同倍要扩大倍数首先写出算式后再来观察，算式中相同量不同倍数的要想办法化成同倍数的量，这样再来比较算式的结果和不同量的倍数求出不同的量。

下面是这个知识点的相关练习，大家可以练习一下。

（做完再对答案哦）1、学校第一次买来了3个足球和3个球,共用人民币75元,第二次买来同样的3个足球和5个排球,共用人民币105元,求足球和排球的单价分别是多少？2、3筐苹果和5筐橘子共重270千克,3筐苹果和7筐橘子共重342千克,1筐苹果重多少千克？1筐橘子重多少千克？3、体育老师去商店买东西,如果买6个足球和3个篮球,需付294元;买2个足球和3个篮球需付154元。

那么买8个足球和5个篮球需付多少元?4、1个日记本和6个练习本共值18元。

同样价格下,2个日记本和6个练习本共值24元求每个日记本多少元。

5、3个铜球和2个铁球共重54千克,同样的4个铜和6个铁球共重92千克,一个铜球重多少千克?一个铁球重多少千克？6、两支钢笔和一支圆珠笔共16元,一支笔和两支圆珠笔共11元,那么一支钢笔是多少元？7、一瓶液化气气连瓶共重55千克,用掉一半后,瓶和气共重30千克,原来气重多少千克？瓶重多少千克？8、三棵树上共有27只小鸟,第一棵和第二棵有15只,第三棵和第一棵共有20只,那么第一棵树有多少只？第二棵树有多少只？第三棵树有多少只？参考答案：1、排球15元，足球10元；2、橘子36千克，苹果30千克；3、足球35元，篮球28元，要付420元；4、日记本6元；5、铜球14千克，铁球6千克；6、圆珠笔2元，钢笔7元；7、液化气50千克，瓶5千克；8、第一棵8只，第二棵7只，第三棵12只。

训练点25——消去法解题姓名：１、填空。

⑴小明在商店里买了4块橡皮和3把小刀，共付5.9元，其中一把小刀0. 9元，一块橡皮（）元。

⑵①一袋面粉和一袋大米共重72千克，4袋面粉和4袋大米共重（）千克。

②6筐花生和6筐大豆共重96千克，1筐花生和1筐大豆共重（）千克。

③5件上衣和5条裤子共值400元，15件上衣和15条裤子共值（）元。

④3行柳树和3行杨树一共有90棵，7行柳树和7行杨树共有（）棵。

例1：一千克奶糖和一千克酥糖共25.8元，同样的8千克奶糖和8千克酥糖共多少元？练习1：（1）5朵玫瑰花和5朵月季花共15元，8朵玫瑰花和8朵月季花共多少元？（2）2头大象和3条蓝鲸共重280吨，6头大象和9条蓝鲸共重多少吨？例2：小明和妈妈一起去超市买水果，原打算买4千克梨和5千克桃，要付出17.2 元，结果他们买了4千克梨和6千克桃，一共付出19.2元，求每千克梨多少元？练习2：买3支圆珠笔和2支铅笔要8.7元，买2支圆珠笔和3支铅笔要6.8元。

圆珠笔和铅笔的单价各是多少元？自我检测1.丁红买了8盒糖和5盒蛋糕用去155元，王倩买同样的8盒糖和4盒蛋糕用去140元，一盒糖和一盒蛋糕各多少元？2.⑴一条毛巾和2条枕巾共30元，3条毛巾和4条枕巾共66元，一条毛巾和一条枕巾各多少元？⑵5条毛巾和4条枕巾共78元，2条毛巾和3条枕巾共48元，一条毛巾和一条枕巾各多少元？3.2篮鸡蛋和3篮鸭蛋共有135个，4篮鸡蛋和5篮鸭蛋共有245个，一篮鸡蛋和一篮鸭蛋各多少个？4.6本文艺书和3本科技书共84元，3本文艺书和1本科技书36元，一本文艺书和一本科技书各多少元？5.3把小刀和7支自动笔共18.6元，4把小刀和4支自动笔共15.2元，一把小刀比一支自动笔贵多少元？6.买25盒彩色粉笔和40盒白粉笔需180元，买20盒彩色粉笔和35盒白粉笔需151.5元，每盒彩色粉笔和每盒白粉笔各多少元？。

第2讲：代换法解题有的题中有两个量存在相等的数量关系，可以将其中的一个量代换另一个量，使题中数量单一，从而找到解题办法，这种方法叫代换法。

【例1】1捆故事书和3捆科技书的重量相等，小东搬走1捆科技书和5捆故事书共重48千克。

1捆科技书和1捆故事书各重多少千克分析：1捆故事书和3捆科技书的重量相等，那么5捆故事书和的重量相等。

1、小海去文具店买1把直尺和2副三角尺一共花了14元。

1副三角尺的价格和3把直尺的价钱相等。

直尺和三角尺的价格各是多少元？2、张大爷去买桌子和椅子，发现店中的1张桌子与3把椅子的价格相等。

他买了2张桌子和4把椅子，一共用去300元。

每张桌子和每把椅子各多少元？【例2】：某水库用两台水泵抽水，小水泵抽1小时，大水泵抽2小时，一共抽水324立方米。

小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量，小水泵每小时抽水多少立方米？大水泵每小时抽水多少立方米？分析：把大水泵2小时代换成小水泵，让题中的未知量只剩下小水泵。

1、黄老师去文具店买文具，买了5支圆珠笔和3支铅笔共花了21元。

其中3支铅笔的价钱和2支圆珠笔的价格相等。

每支圆珠笔和铅笔各是多少元？2、3辆大客车和10辆面包车共乘坐学生240人，已知坐3辆大客车的人数正好与坐10辆面包车的人数相等。

每辆大客车和每辆面包车各坐多少人？3、买5张办公桌和8把椅子共用去1800元，已知4张办公桌和8把椅子的价钱正好相等。

求：办公桌和椅子的单价各是多少元？4、小华家买了2千克苹果和3千克梨共花了48元。

已知2千克苹果的价钱与5千克梨的价钱相等，问每千克梨多少元？每千克苹果多少元？【例3】书店把科技书和故事书按一定本数打包寄给希望小学。

包好之后发现，4包科技书和3包故事书共380本，而每包科技书比故事书少10本。

每包科技书和故事书各有多少本？分析1：每包科技书比故事书少10本，1包科技书要变成1包故事书就要增加10本，把4包科技书用故事书来代换，那么就会增加40本，总共的本数也就增加了40本。