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初中数学中考专题复习

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专题1：因动点产生的相似三角形问题1.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．图1思路点拨1．第（2）题把求∠AOM 的大小，转化为求∠BOM 的大小．2．因为∠BOM ＝∠ABO ＝30°，因此点C 在点B 的右侧时，恰好有∠ABC ＝∠AOM ． 3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC 与△AOM 相似．满分解答（1）如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ． 在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°，所以AH ＝1，OH A (1-．因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点，设y＝ax (x－2)，代入点A(1-，可得a =． 图2所以抛物线的表达式为2(2)y x x x x =-=．（2）由221)y x x ==-得抛物线的顶点M 的坐标为(1,3-．所以tan 3BOM ∠=． 所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．（3）由A (1-、B (2,0)、M (1,)3-，得tan ABO ∠=AB =OM =所以∠ABO ＝30°，OAOM= 因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°． △ABC 与△AOM 相似，存在两种情况：①如图3，当BA OABC OM ==时，2BC ===．此时C (4,0)．②如图4，当BC OABA OM==时，6BC =．此时C (8,0)．图3 图4考点伸展在本题情境下，如果△ABC 与△BOM 相似，求点C 的坐标．如图5，因为△BOM 是30°底角的等腰三角形，∠ABO ＝30°，因此△ABC 也是底角为30°的等腰三角形，AB ＝AC ，根据对称性，点C 的坐标为(－4,0)．图52.如图，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由；思路点拨1．已知抛物线3个交点坐标，用待定系数法求解析式．2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．（2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM ，x AM -=4．如果2==CO AOPM AM ，那么24)4)(1(21=----xx x ．解得5=x 不合题意． 如果21==CO AO PM AM ，那么214)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ． 此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM ，4-=x AM ． 解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4． 解方程24)4)(1(21=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．综上所述，符合条件的 点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4专题2：因动点产生的等腰三角形问题1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．思路点拨1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△P AC的周长最小．2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．（2）点M的坐标为(1, 1)、、(1,或(1,0)．设点M的坐标为(1,m)．在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．此时点M的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得m=．此时点M的坐标为或(1,)．③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．图3 图4 图52.如图1，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．思路点拨1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P 重合在一起．满分解答（1）如图2，过点B 作BC ⊥y 轴，垂足为C ．在Rt △OBC 中，∠BOC ＝30°，OB ＝4，所以BC ＝2，OC =所以点B 的坐标为(2,--．（2）因为抛物线与x 轴交于O 、A (4, 0)，设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)，代入点B (2,--，2(6)a -=-⨯-．解得a =．所以抛物线的解析式为2(4)y x x x x =-=．（3）抛物线的对称轴是直线x ＝2，设点P 的坐标为(2, y )．①当OP ＝OB ＝4时，OP 2＝16．所以4+y 2＝16．解得y =±当P 在时，B 、O 、P 三点共线（如图2）．②当BP ＝BO ＝4时，BP 2＝16．所以224(16y ++=．解得12y y ==-③当PB ＝PO 时，PB 2＝PO 2．所以22224(2y y ++=+．解得y =-综合①、②、③，点P 的坐标为(2,-，如图2所示．图2 图3专题3：因动点产生的直角三角形问题1.如图，在△ABC 中，∠B =90°，AB =6 cm ，BC =8 cm，动点P 以2cm/秒得速度从A 点出发，沿AC 向C 移动，同时，动点Q 以1 cm /秒得速度从C 点出发，沿CB 向B 移动。

当其中有一点到达终点时，他们都停止移动，设移动的时间为t 秒。

在P 、Q 移动的过程中，当△CPQ 为直角三角形时，求t 的值.2.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），已知A 点坐标为（0，﹣5）． （1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．C C专题4：因动点产生的平行四边形解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况．1.已知平行四边形的三个顶点，求第4个点.如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，顶点为P．若以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)＝－(x＋1)2＋4，得A（－3，0），B（1，0），C（0，3），P（－1，4）．如图，过△P AC的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交的三个交点就是要求的点M．①因为AM1//PC，AM1＝PC，那么沿PC方向平移点A可以得到点M1．因为点P(－1，4)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位可以与点C(0，3)重合，所以点A(－3，0)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位就得到点M1(－2，－1)．②因为AM2//CP，AM2＝CP，那么沿CP方向平移点A可以得到点M2．因为点C(0，3)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位可以与点P(－1，4)重合，所以点A(－3，0)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位就得到点M2(－4，1)．③因为PM3//AC，PM3＝AC，那么沿AC方向平移点P可以得到点M3．因为点A(－3，0)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位可以与点C(0，3)重合，所以点P(－1，4)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位就得到点M3(2，7)．坐标轴上，求第4个点.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M 在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如图1，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P关于AB 的中点（1，0）对称，所以点M的横坐标为2．当x＝2时，y =－x2+2x＋3＝3．此时点M的坐标为(2，3)．②如图2，图3，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4．所以点M的横坐标为4或－4．如图2，当x＝4时，y =－x2+2x＋3＝－5．此时点M的坐标为(4，－5)．如图3，当x＝－4时，y =－x2+2x＋3＝－21．此时点M的坐标为(－4，－21)．在直线上，求第4个点.在平面直角坐标系中，已知抛物线2y ax x c =++经过A )0,4(-，B )4,0(-． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线x y -=上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．yxOBA yxOBAyxOBA yxOBA专题5：因动点产生的面积问题如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A (0, 1)、B (2, 0)、O (0, 0)，将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到三角形A ′B ′O ．（1）一抛物线经过点A ′、B ′、B ，求该抛物线的解析式；（2）设点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P ，使四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；图1思路点拨1．四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍，可以转化为四边形PB ′OB 的面积是 △A ′B ′O 面积的3倍．2．连接PO ，四边形PB ′OB 可以分割为两个三角形．满分解答（1）△AOB 绕着原点O 逆时针旋转90°，点A ′、B ′的坐标分别为(－1, 0) 、(0, 2)． 因为抛物线与x 轴交于A ′(－1, 0)、B (2, 0)，设解析式为y ＝a (x ＋1)(x －2)， 代入B ′(0, 2)，得a ＝1．所以该抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)(x －2) ＝－x 2＋x ＋2． （2）S △A ′B ′O ＝1．法1：如果S 四边形PB ′A ′B ＝4 S △A ′B ′O ＝4，那么S 四边形PB ′OB ＝3 S △A ′B ′O ＝3． 如图，作PD ⊥OB ，垂足为D ．设点P 的坐标为 (x ，－x 2＋x ＋2)．232'1111(')(22)22222PB OD S DO B O PD x x x x x x=+=-++=-++梯形．2321113(2)(2)22222PDB S DB PD x x x x x ∆=⨯=--++=-+． 所以2'''2+2PDB PB A D PB OD S S S x x ∆=+=-+四边形梯形． 解方程－x 2＋2x ＋2＝3，得x 1＝x 2＝1．所以点P 的坐标为(1，2)．法2：如图那样分割图形，这样运算过程更简单．'11'222PB O P S B O x x x ∆=⋅=⨯=．22112(2)222PBO P S BO y x x x x ∆=⋅=⨯-++=-++． 所以2'''2+2PB O PBO PB A D S S S x x ∆∆=+=-+四边形．甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P ：作△A ′OB ′关于抛物线的对称轴对称的△BOE ，那么点E 的坐标为(1，2)．而矩形EB ′OD 与△A ′OB ′、△BOP 是等底等高的，所以四边形EB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍．因此点E 就是要探求的点P ．2.如图，抛物线y y=﹣x 2+x+2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）．点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标．专题6：因动点产生的相切问题如图1，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA ＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．图1答案（1）点C的坐标为(0,3)．（2）如图2，当P在B的右侧，∠BCP＝15°时，∠PCO＝30°，4t=如图3，当P在B的左侧，∠BCP＝15°时，∠CPO＝30°，4t=+图2 图3（3）如图4，当⊙P与直线BC相切时，t＝1；如图5，当⊙P与直线DC相切时，t＝4；如图6，当⊙P与直线AD相切时，t＝5.6．图4 图5 图6专题7：因动点产生的线段和差问题几何模型（1）如图，点A 、B 位于直线m 异侧，在直线m 上找一点P ，使AP+BP 的值最小. 你作图的根据是： . （2）如图②，点A 、B 位于直线m 同侧，在直线m 上找一点P ，使AP+BP 的值最小.你作图的根据是： .说明：此乃“两点之间，线段最短”与轴对称的结合题. 通法：求“直线上一点到这条直线同侧两点的距离和最小”： 作其中一点关于这条直线的对称点，连结这个对称点与 另一点的线段与这条直线的交点即为所求，此线段长即 为该最小距离. 模型应用：（1）如图，菱形ABCD 中，AB =2，∠A =120°，点E 是线段CD的中点，K 为线段BD 上的任意一点，则CK+EK 的最小值为 .(2) 如图，抛物线c x ax y +=4-2与坐标轴交于点A （-1,0）和点B （0，-5）.点P 在它的对称轴上，使△ABP 周长最小的点P 坐标为 .(3) 已知二次函数342+-=x x y 图像与y 轴交于点C ,顶点为D ,x 轴上是否存在一点P ,使得PC+PD 最短?若P 点存在,求出P 点的坐标;若P 点不存在,请说明理由.专题8：“一线三角”相似△模型：如图，如果∠1=∠2=∠3，必有△AB E ～△CDB,我们把它称为“一线三角”.应用：1.如图，在边长为9的正三角形ABC 中，AE=7，∠ADE ＝60°，则BD 的长为．2.将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形B 的面积为6，正方形A 的边长为a ，正方形C3.如图分别以AC 、BC 为边向△ABC 外作正方形CADF 和正方形CBEG ，过点D 作DD 1⊥l 于点D 1，过点E 作EE 1⊥l 于点E 1．线段DD 1、EE 1、AB 之间的数量关系是 ． 4.如图，二次函数y=x 2+bx ﹣的图象与x 轴交于点A （﹣3，0）和点B ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接DP ，过点P 作DP 的垂线与y 轴交于点E ．（1）请直接写出点D 的坐标： ；（2）当点P 在线段AO （点P 不与A 、O 重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值，求出这个最大值；321EDCB A321EDCBAA图15-2AD O BC 21MN图15-1AD B MN1 2图15-3AD OBC 21MNO 专题9：见中点“9”变“8”作全等几何模型如图，C 是线段AB 的中点，线段AB 的端点B 与中点C 有一个△BCD ，则称ACBD 为“9”，过A 作BD 的平行线与CD 的延长线相交于E,则得到一对成“8”型的中心对称的全等三角形。

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初中数学中考总复习教案

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初中数学中考总复习教案第一章：实数与代数1.1 有理数理解有理数的定义及分类掌握有理数的加减乘除运算规则能够进行有理数的乘方和开方运算1.2 整式与分式理解整式和分式的定义掌握整式和分式的加减乘除运算规则能够进行整式和分式的化简和求值第二章：函数与方程2.1 一次函数和二次函数理解一次函数和二次函数的定义和性质掌握一次函数和二次函数的图像和解析式能够解决一次函数和二次函数的实际问题2.2 一元一次方程和一元二次方程理解一元一次方程和一元二次方程的定义和解法掌握一元一次方程和一元二次方程的解法和应用能够解决一元一次方程和一元二次方程的实际问题第三章：几何与变换3.1 平面几何基本概念理解点、线、面的基本概念和性质掌握线段、射线、直线的性质和运算能够进行线段和角的大小比较3.2 三角形理解三角形的定义和性质掌握三角形的分类和判定方法能够解决三角形的相关问题第四章：统计与概率4.1 统计理解统计的基本概念和方法掌握数据的收集、整理和表示方法能够进行数据的分析和解释4.2 概率理解概率的基本概念和方法掌握事件的分类和概率的计算方法能够解决概率相关问题第五章：综合应用题5.1 实数与代数的综合应用题能够解决涉及实数与代数的综合应用题5.2 函数与方程的综合应用题能够解决涉及函数与方程的综合应用题5.3 几何与变换的综合应用题能够解决涉及几何与变换的综合应用题5.4 统计与概率的综合应用题能够解决涉及统计与概率的综合应用题第六章：实数与代数的综合应用题6.1 实数与代数的综合应用题能够解决涉及实数与代数的综合应用题，如面积、体积、距离等问题。

6.2 列代数式与求代数式的值能够根据实际问题列出相应的代数式能够求出代数式的值，包括解含绝对值、平方、立方等的代数式。

第七章：函数与方程的综合应用题7.1 一次函数和二次函数的综合应用题能够解决涉及一次函数和二次函数的综合应用题，如实际问题、图像分析等问题。

7.2 一元一次方程和一元二次方程的综合应用题能够解决涉及一元一次方程和一元二次方程的综合应用题，如实际问题、方程组等问题。

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2024年中考数学高频考点专题复习——反比例函数的实际应用1．如图，利用已有的一面长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形花圃．设的长为，的长为．（1）求y 关于x 的函数表达式和自变量x 的取值范围．（2）边和的长都是整数，若围成的矩形花圃的三边篱笆的总长不超过，试求出满足条件且用料最省的方案．2．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散，学生注意力指标数y 随时间x （分）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题：（1）点A 的注意力指标数是 ；（2）当时，求注意力指标数y 随时间x （分）的函数解析式；（3）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要21分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36？请说明理由．5m 220m ABCD AB ()m x BC ()m y AB BC ABCD 20m 010x ≤<1020x ≤<2040x ≤≤010x ≤<3．如图，帆船A 和帆船B 在太湖湖面上训练，O 为湖面上的一个定点，教练船静候于O 点，训练时要求A 、B 两船始终关于O 点对称．以O 为原点，建立如图所示的坐标系，x 轴、y 轴的正方向分别表示正东、正北方向．设A 、B 两船可近似看成在双曲线y ＝上运动，湖面风平浪静，双帆远影优美，训练中当教练船与A 、B 两船恰好在直线y ＝x 上时，三船同时发现湖面上有一遇险的C 船，此时教练船测得C 船在东南45°方向上，A 船测得AC 与AB 的夹角为60°，B 船也同时测得C 船的位置（假设C 船位置不再改变，A 、B 、C 三船可分别用A 、B 、C 三点表示）．（1）发现C 船时，A 、B 、C 三船所在位置的坐标分别为A( ， )、B(　　，　　)和C(　　，　　)；（2）发现C 船，三船立即停止训练，并分别从A 、O 、B 三点出发沿最短路线同时前往救援，设A 、B 两船的速度相等，教练船与A 船的速度之比为3：4，问教练船是否最先赶到？请说明理由．4．某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的过程，开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y （千米/小时），时间x （小时）成反比例关系地慢慢减弱，结合风速与时间的图象，回答下列问题：（1）这场沙尘暴的最高风速是多少？最高风速维持了多长时间；（2）求出当x≥20时，风速y （千米/小时）与时间x （小时）之间的函数关系？（3）在这次沙尘暴的形成过程中，当风速不超过10千米/小时称为“安全时刻”，其余时刻是“危险时刻”.问这次风暴的整个过程中，“危险时刻”一共有多长时间？4x5．为了做好新冠疫情防控工作，某学校要求全校各班级每天对各班教室进行消毒．现有一种备选药物，根据测定，教室内每立方米空气中的药含量y （单位：mg ）随时间x （单位：h ）的变化情况如图所示，根据图中提供的信息，解决下面的问题．（1）如图反映的是那两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）什么时刻每立方米空气中药含量最多？此时药含量是多少？（3）在什么时间范围内，每立方米空气中药含量在增加？在什么时间范围内，每立方米空气中药含量在减少？（4）据测定，当空气中每立方米的药物含量降低到mg 以下时，才能保证对人身无害，若该校课间操时间为40分钟，据此判断，学校能否选用这种药物用于教室消毒？请说明理由．6．水产公司有一种海产品共2104千克，为寻求合适的销售价格，进行了8天试销，试销情况如下：第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天售价x(元/千克)400300250240200150125120销售量y(千克)30404850608096100观察表中数据，发现可以用反比例函数刻画这种海产品每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系．现假定在这批海产品的销售中，每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间都满足这一关系．（1）写出这个反比例函数的解析式；（2）在试销8天后，公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克，并且每天都按这个价格销售，那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出？（3）在按（2）中定价继续销售15天后，公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出，此时需要重新确定一个销售价格，使后面两天都按新的价格销售，那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务？1167．某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作．已知该品牌运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示：　第1天第2天第3天第4天售价x(元/双)150200250300销售量y(双)40302420（1）观察表中数据，x，y满足什么函数关系？写出用x表示y的函数表达式；（2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则每双运动鞋的售价应定为多少元？8．心理学家研究发现，在一节45分钟的课中，学生的注意力随教师讲课的时间的变化而变化，开始学生的注意力逐渐增强，中间学生的注意力保持稳定的状态，随后开始分散，经实验学生的注意力指数y 随时间x（分钟）的变化规律如图所示．（1）一位教师为了达到最好的上课效果，准备课前复习，要求学生的注意力指数至少达到30时，开始上新课，问他应该复习多长时间？（2）如果（1）的这位教师本节新课内容需要22分钟，为了使学生的听课效果最好，问这位教师能否在学生听课效果最好时，讲完新课内容？9．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度 与时间 之间的函数关系，其中线段 ，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分 表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：（1）求 与 （ ）的函数表达式；（2）若大棚内的温度低于 时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？10．某小组进行漂洗实验，每次漂洗的衣服量和添加洗衣粉量固定不变实验发现，当每次漂洗用水量v（升）一定时，衣服中残留的洗衣粉量y （克）与漂洗次数x （次）满足y=（k 为常数），已知当使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克．（1）求k 的值．（2）如果每次用水5升，要求漂洗后残留的洗衣粉量小于0.8克，求至少漂洗多少次？（3）现将20升水等分成x 次（x>1）漂洗，要使残留的洗衣粉量降到0.5克，求每次漂洗用水多少升？()C y ︒()h x AB BC CD y x 1024x ≤≤10C ︒ 2.5kv x+11．汛期到来，山洪暴发，下表记录了某水库 内水位的变化情况，其中 表示时间（单位：）， 表示水位高度（单位： ），当 （ ）时，达到警戒水位，开始开闸放水. 02468101214161820141516171814.41210.3987.2（1）在给出的平面直角坐标系中，根据表格中的数据画出水位变化图象，并写出水位高出16米的时间 的取值范围 ▲ .（精确到0.1）（2）请分别求出开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式.（3）据估计，开闸放水后，水位的这种变化规律还会持续一段时间，预测何时水位达到 .12．如图，直线与双曲线交于A ，两点，点A 的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连结并延长交轴于点，且．（1）求的值，并直接写出点的坐标；（2）点是轴上的动点，连结，，求的最小值和点坐标；（3）是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存20h x h y m 8x =h /h x /my x 6m 32y x =(0)ky k x=≠B (3)m -，C BC xD 2BC CD =k B G y GB GC GB GC +G P Q P Q ABPQ在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．13．泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y(℃)与时间x(min)近似于反比例函数关系(如图)．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃．（1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x 的取值范围：（2）从水壶中的水烧开(100℃)降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？14．某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件．（1）写出该商品上市以后销售量y （万件）与时间x （天数）之间的表达式；（2）求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数；（3）广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？P答案解析部分1．【答案】（1）解：由题意得：，，已有的一面墙长为，，，y 关于x 的函数表达式为（2）解：边和的长都是整数，且， 的值可以为4、5、10、20，围成的矩形花圃的三边篱笆的总长不超过，，的值可以为4、5，当时，，则，当时，，则，满足条件且用料最省的方案为，．2．【答案】（1）24（2）解：设线段（0≤x ＜10）∵，，∴{b =2410k +b =48 解之：{k =125b =24∴当0≤x ＜10时的函数解析式为（3）解：当时，代入和得 和∵，20xy =20y x∴=5m 205x∴≤4x ∴≥∴()204y x x=≥ AB BC ()204y x x=≥x ∴ ABCD 20m 220x y ∴+≤x ∴4x =5y =224513x y +=⨯+=5x =4y =225414x y +=⨯+=∴4m AB =5m BC =AB y kx b =+：(024)A ，(1048)B ，12245y x =+36y =12245y x =+960y x=15x =2803x =806552133-=>∴他能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于36.3．【答案】（1）2；2；－2；－2；22 ；（2）解：作AD ⊥x 轴于D，连AC 、BC 和OC，∵A （2，2），∴∠AOD=45°，AO=2，∵C 在O 的东南45°方向上，∴∠AOC=45°+45°=90°，∵AO=BO ，∴AC=BC ，又∵∠BAC=60°，∴△ABC 为正三角形，∴AC=BC=AB=2AO=4，∴ ，由条件设教练船的速度为3m ，A、B 两船的速度都为4m ，则教练船所用时间为，A 、B 两船所用时间均为 = ，= ， =，＞ ；∴教练船没有最先赶到．4．【答案】（1）解：0～4时，风速平均每小时增加2千米，所以4时风速为8千米/时；4～10时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为8+6×4＝32千米/时，OC ==10～20时，风速不变，最高风速维持时间为20﹣10＝10小时；答：这场沙尘暴的最高风速是32千米/时，最高风速维持了10小时（2）解：设y ＝， 将（20，32）代入，得32＝ ，解得k ＝640.所以当x≥20时，风速y （千米/小时）与时间x （小时）之间的函数关系为y ＝（3）解：∵4时风速为8千米/时，而4小时后，风速变为平均每小时增加4千米， ∴4.5时风速为10千米/时，将y ＝10代入y ＝ ，得10＝，解得x ＝64，64﹣4.5＝59.5（小时）.故沙尘暴的风速从开始形成过程中的10千米/小时到最后减弱过程中的10千米/小时，共经过59.5小时.答：这次风暴的整个过程中，“危险时刻”一共经过59.5小时.5．【答案】（1）解：图象反应的是时间x 和每立方米空气中的药含量y 之间的关系；自变量为时间x ；因变量为每立方米空气中的药含量y ；（2）解：从函数图象可得：当x=h 时，空气中药含量最多，最多为1mg ；（3）解：从图象可得：当0<x<h 时，每立方米空气中药含量在增加；当x≥h 时，每立方米空气中药含量在减少（4）解：不能选用这种药物消毒，理由如下：由图象可得，当x=1时，y=，∴，∴学校不能选用这种药物用于教室消毒．6．【答案】（1）解：设 ， ∵当x=400时y=30，∴k=400×30=12000，kxk 20640x640x640x151515116116048405⎛⎫-⨯=> ⎪⎝⎭ky x=∴函数解析式为 ．（2）解：2104-(30+40+48+50+60+80+96+100)=1600．即8天试销后，余下的海产品还有1 600千克．当x=150时， =80．1600÷80=20(天)．答：余下的这些海产品预计再用20天可以全部售出．（3）解：1600-80×15=400(千克)，设新确定的价格为每千克x 元． ，解得：x≤60，答：新确定的价格最高不超过60元/千克才能完成销售任务．7．【答案】（1）解：由表中数据得： ∴∴y 是x 的反比例函数，故所求函数关系式为 （2）解：由题意得： 把 代入得： 解得： 经检验， 是原方程的根；∴单价应定为240元8．【答案】（1）解：设DA 的函数关系式为y=kx+b （x≠0），∵y=kx+b 过（0，20），（10，40），∴{b =2010k +b =40，∴{b =20k =2，∴y=2x+20（0≤x≤10）；当y=30时，30=2x+20，∴x=5；答：他应该复习5分钟；12000y x=12000150y =120002400x⨯≥6000xy =6000y x=6000y x =()1203000x y -=6000y x =()60001203000x x-=240x =240x =（2）解：设BC 的函数关系式（k 1≠0）（21≤x≤45），∵过B （21，40），∴，∴K 1=840，∴（21≤x≤45），当x=30时，，28﹣5=23，∵23＞22，∴这位老师能在学生听课效果最好时讲完新课内容．9．【答案】（1）解：当 时，设 把 代入 得： 所以： （2）解：当 时，经检验： 是原方程的解，且符合题意，所以恒温系统最多可以关闭 小时，才能使蔬菜避免受到伤害.10．【答案】（1）解：∵使用5升水，漂洗1次后，衣服中残留洗衣粉2克，∴v=5，x=1，y=2，∴2=，∴k=-0.1．（2）解：∵v=5，∴y=， ∵反比例函数y=，在x>0的范围内y 随x 的增大而减少，∴当y<0.8时，漂洗的次数x>2.5，∴至少漂洗3次，衣服中残留的洗衣粉量小于0.8克．（3）解：由（1）得y=， 1k y x =14021k =840y x=8402830y ==1024x ≤≤k y x=()1020，k y x =，1020200k =⨯=，200.y x=10y =20010x =，20x ∴=，20x =201010∴-=，105 2.51k +0.15 2.52x x-⨯+=2x 0.1 2.5v x-+∴xy=-0.1v+2.5，即x 2y=-0.1vx+2.5x ，∵将20升水等分成x 次，∴vx=20，∴x 2y=-2+2.5x ，∵y=0.5，∴0.5x 2=-2+2.5x ，即x 2-5x+4=0，∴x 1=4，x 2=1（舍去，x ＞1），∴当x=4时，每次漂洗用水v=20÷4=5升.答：每次漂洗用水5升.11．【答案】（1）解：在平面直角坐标系中，根据表格中的数据水位变化图象如图所示，；4≤x ＜8.8（2）解：观察图象当0＜x ＜8时，y 与x 可能是一次函数关系：设y=kx+b ，把（0，14），（8，18）代入得 {b =148k +b =18 解得： {k =12b =14 ， y 与x 的关系式为： ，经验证（2，15），（4，16），（6，17）都满足 因此放水前y 与x 的关系式为： （0＜x ＜8）.观察图象当x ＞8时，y 与x 就不是一次函数关系：通过观察数据发现：8×18=10×14.4=12×12=16×9=18×8=144.1142y x =+1142y x =+1142y x =+因此放水后y 与x 的关系最符合反比例函数，关系式为：设 ，则 ，y 与x 的关系式为： .（ ）所以开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式为： （0＜x ＜8）和 .（ ）（3）解：当y=6时， ，解得： ， 因此预计24h 水位达到6m.12．【答案】（1）解：将点A 的坐标为代入直线中，得，解得：，，，B 的坐标为（2）解：如图，作轴于点E ，轴于点F ，则，，，，， ，，，，k y x =144k =144=y x8x ≥1142y x =+144=y x 8x ≥1446=x24x =()-3A m ，32y x =332m =﹣-2m =()2-3A ∴-，=-2(3)=6k ∴⨯-()23，BE x ⊥CF x ⊥BE CF BE CF DCF DBE ∴ ∽DC CF DB BE∴=2BC CD = 13DC CF DB BE ∴==()23B ，3BE ∴=1CF ∴=，作点B 关于y 轴的对称点，连接交y 轴于点G ，则即为的最小值，，设的解析式为，，，解得： ，解析式为，当时，，；（3）解：存在．理由如下：当点P 在x 轴上时，如图，设点 的坐标为 ，过点B 作轴于点M ，四边形是矩形，，()61C ∴，B 'B C 'B C 'BG GC +()()2361B C -' ，，，B C ∴=='=BG GC B C '∴+B C 'y kx b =+()()2361B C -' ，，，3216k b k b =-+⎧⎨=+⎩1452k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴B C '1542y x =-+0x =52y =502G ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，1P ()0a ，BM x ⊥ 11ABPQ 190OBP ∴∠=︒，，，，，，，，，经检验符合题意，∴点 的坐标为；当点P 在y 轴上时，过点B 作轴于点N ，如图2，设点 的坐标为，四边形是矩形，，，，，，，经检验符合题意，∴点的坐标为，1==90OMB OBP ∴∠∠︒1=BOM POB ∠∠1OBM OPB ∴ ∽1OB OM OP OB ∴=()23B ，OB ∴==2OM ==132a ∴=1P 1302⎛⎫ ⎪⎝⎭，BN y ⊥2P ()0b ， 22ABP Q 290OBP ∴∠=︒2==90ONB P BO ∠∠︒ 2BON P OB ∠=∠2BON P OB ∴ ∽2OB ON OP OB∴==133b ∴=2P 1303⎛⎫⎪⎝⎭，综上所述，点P 的坐标为或．13．【答案】（1）解：停止加热 分钟后，设 ， 由题意得： ， 解得： ，， 当 时，解得： ，当 时， ，点坐标为 ， 点坐标为 ， 当加热烧水时，设 ，由题意将 点坐标 代入上式得 ， 解得： ，当加热烧水时，函数关系式为 ；当停止加热时 与 的函数关系式为 ； ；（2）解：把 代入 ，得 ， 因此从水壶中的水烧开 降到 可以泡茶需要等待 分钟．14．【答案】（1）解：根据题意可知：当时，设y 与x 的函数解析式为，∴，解得：，∴；当时，设y 与x 的函数解析式为，∴，解得：1302⎛⎫ ⎪⎝⎭，1303⎛⎫ ⎪⎝⎭，1k y x =5018k =900k =900y x∴=100y =9x =20y =45x =C ∴()9100，B ∴()8100，20y ax =+B ()8100，100820a =+10a =∴()102008y x x =+≤≤y x 100(89)y x =<≤900(945)y x x =<≤90y =900y x=10x =()100℃90℃1082-=030x ≤≤1y k x =112030k =14k =()4030y x x =≤≤30x ≥2k y x =212030k =23600k =∴综上所述，该商品上市以后销售量y （万件）与时间x （天数）之间的表达式为：；．（2）解：当时，令，解得：，∴，∴销量不到36万件的天数为8天；当时，令，解得： （不符合题意），∴上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数为8天；（3）解：当时，令，解得：∴，∴销量超过100万件的天数为6天，当时，令，解得：∴，销量超过100万件的天数为6天，综上所述，销售量不低于100万件，并且持续天数为12天，广告设计师可以拿到“特殊贡献奖”．()360030y x x=≥()4030y x x =≤≤()360030y x x=≥030x ≤≤436x ＜9x ＜09x ≤＜30x ≥360036x＜100x ＞030x ≤≤4100x ≥25x ≥2530x ≤≤30x ≥3600100x≥36x ≤3036x ≤≤。

中考必备初中数学知识点归纳总结

中考必备初中数学知识点归纳总结

中考必备初中数学知识点归纳总结初中数学是中考必备的科目之一，理解和掌握初中数学知识点是顺利通过中考的关键。

下面是初中数学知识点的归纳总结，供中考复习使用。

一、整数1.整数概念与表示法2.整数之间的比较与排序3.整数的加法、减法、乘法、除法运算4.整数的绝对值与相反数5.整数的混合运算6.整数运算的特殊性质：交换律、结合律、分配律等二、有理数1.有理数概念与表示法2.有理数的加法、减法、乘法、除法运算3.有理数之间的比较与排序4.有理数的乘方运算5.有理数的混合运算6.有理数运算的特殊性质：交换律、结合律、分配律等三、代数与方程式1.代数式的概念与运算2.代数式的化简与展开3.一元一次方程求解4.一元一次方程的应用5.一元一次不等式的解集表示6.带有绝对值的方程与不等式四、平面图形与空间几何1.平面图形的基本概念：点、线、线段、角等2.三角形的分类与性质3.四边形的分类与性质4.圆的基本概念与性质5.平行线与平行四边形的性质6.立体图形的基本概念：体、面、棱、顶点等五、数列与函数1.数列的基本概念与表示2.等差数列与等比数列的性质3.数列的通项公式与前n项和公式4.函数的概念与表示5.直线函数与反比例函数的性质6.函数图象与函数的应用六、比例与相似1.比例的基本概念与表示2.比例的性质与应用3.相似图形的基本概念与性质4.相似比的计算与应用5.相似三角形的判定与性质6.相似三角形的应用七、概率与统计1.实验与事件的概念2.概率的意义与表示3.事件的几何概率与频率4.事件的组合与计算5.统计图表的读取与制作6.统计指标的计算与分析八、三角函数1.弧度制与角度制的相互转换2.任意角的三角函数定义与计算3.三角函数的诱导公式与恒等变换4.三角函数与三角恒等式的应用5.向量的基本概念与运算6.向量的数量积与夹角的关系以上是初中数学知识点的归纳总结，中考复习时可以按照这个大纲进行整体梳理与复习。

希望对中考复习有所帮助！。

初三数学中考复习3篇

初三数学中考复习3篇

初三数学中考复习第一篇：初三数学中考复习之代数基础代数是初中数学的重要部分，掌握代数知识对中考至关重要。

以下是代数基础的重点知识。

一、代数式代数式是用字母与数的组合表示的数学式子，例如：3x+5、x²+2x-1。

代数式中含有自变量和系数。

自变量就是字母，通常用x，y等表示。

系数就是字母前面的数字，例如：3x中的系数是3。

二、方程方程是等式的一种，它的形式为：ax+b=c，其中a、b、c 是已知数，x是未知数。

方程的解就是使等式成立的未知数的值。

例如：3x+2=5，x=1，x=1就是这个方程的解。

解方程的方法有加减消法、积分消法、代入法和配方法等。

三、函数函数的概念是一个自变量的取值对应一个函数值。

函数由自变量x和函数值y组成，通常用y=f(x)表示。

例如：y=x²-1，当x=2时，y=3。

函数有最大值、最小值、零点、单调性、奇偶性等概念。

四、初中数学常用公式1. 一元二次方程的根公式：x1、x2 = (-b±√(b²-4ac))/2a2. 数列通项公式：an = a1+(n-1)d3. 平面图形面积公式：（1）三角形面积公式：S=1/2bh（2）矩形面积公式：S=lw（3）平行四边形面积公式：S=bh（4）梯形面积公式：S=1/2(a+b)h以上就是初三数学中考复习之代数基础的知识点，希望同学们认真复习，顺利通过中考。

第二篇：初三数学中考复习之几何基础初中数学中的几何是重要的部分，包含了图形、空间、证明等知识点。

以下是几何基础的知识点。

一、平面几何平面几何包括了线段、角、三角形、四边形、多边形、圆等图形的分类、性质、判定和计算等。

1. 直角三角形的勾股定理直角三角形中，直角边的平方等于斜边上两条线段平方和。

即：a²+b²=c²。

2. 极角的概念平面直角坐标系原点引一条射线，叫做极轴。

极轴与射线的夹角叫做极角，记作θ。

二、立体几何立体几何包括了立体图形的分类、性质、判定和计算等。