【区级联考】上海市嘉定区2018届高三第二次质量调研（二模）数学试题

2019年嘉定区高三年级第二次质量调研一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1.已知集合{}1,2,3,4A =，{}25,B x x x R =<<∈，则AB =2.已知复数z 满足34zi i =+(i 是虚数单位)，则||z =3.若线性方程组的增广矩阵为2012m n ⎛⎫⎪⎝⎭，则m n +=4. 在41x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项的值为5.已知一个圆锥的主视图(如右图所示)是边长分别为5，5，4的三角形，则该圆锥的侧面积为6.已知实数x ，y 满足011x y y x ≥⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最小值为7.设函数()f x =其中a 为常数)的反函数为()1f x -，若函数()1f x -的图像经过点()0,1，则方程()12f x -=的解为8.学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为(结果用数值表示)9.已知直线1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)与抛物线24y x =相交于A 、B 两点，若线段AB 中点的坐标为(m ，2)，线段AB 的长为10.在ABC 中，已知2CD DB =，P 为线段AD 上的一点，且满足12CP CA mCB =+，若△ABC的面积为3ACB π∠=，则CP 的最小值为11.已知有穷数列{}n a 共有m 项，记数列{}n a 的所有项和为S(1)，第二项及以后所有项和为S(2),… …第n （1n m ≤≤）项及以后所有项和为S(n)，若S(n)是首项为1，公差为2的等差数列的前n 项和，则当1n m ≤<时，n a =12. 已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当01x ≤≤时，()()2log f x x a =+，若对于x 属于[]0,1都有2211log 32()f x tx -++≥-，则实数t 的取值范围为二、选择题(本题共有4题，满分20分，每题5分)13.已知x R ∈，则“11x>”是“1x <”的（ ） A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充要条件(D)既非充分又非必要条件14.产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标，下图为国家统计局发布的2015年至2018年第2季度我国工业产能利用率的折线图 (%)在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较:环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015二季度与2015年第一季度相比较根据上述信息，下列结论中正确的是( )(A)2015年第三季度环比有所提高 (B)2016年第一季度同比有所提高(C)2017年第三季度同比有所提高 (D)2018年第一季度环比有所提高15.已知圆()2229x y -+=的圆心为C ，过点()2,0M -且与x 轴不重合的直线l 交圆A 、B 两点，点A 在点M 与点B 之间。

宝山2018届高三二模数学卷一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1. 设全集R U =，若集合{}2,1,0=A ，{}21|<<-=x x B ，()B C A U ⋂= .2. 设抛物线的焦点坐标为()01，，则此抛物线的标准方程为 . 3. 某次体检，8位同学的身高（单位：米）分别为68.1，71.1，73.1，63.1，81.1，74.1，66.1，78.1，则这组数据的中位数是 (米）.4. 函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 .5. 已知球的俯视图面积为π，则该球的表面积为 .6. 若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛210221c c 的解为⎩⎨⎧==31y x ，则=+21c c . 7. 在报名的8名男生和5名女生中，选取6人参加志愿者活动，要求男、女都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）8. 设无穷数列{}n a 的公比为q ，则2a ()n n a a a +⋅⋅⋅++=∞→54lim ，则=q .9. 若B A 、满足()()()525421===AB P B P A P ，，，则()()P AB P AB -= . 10. 设奇函数()f x 定义为R ，且当0x >时，2()1m f x x x=+-（这里m 为正常数）． 若()2f x m ≤-对一切0x ≤成立，则m 的取值范围是 .11. 如图，已知O 为矩形4321P P P P 内的一点，满足7,543131===P P OP OP ，，则24OP OP ⋅u u u r u u u r 的值为 .12. 将实数z y x 、、中的最小值记为{}z y x ,,m in ，在锐角︒=∆60POQ ，1=PQ ，点T 在POQ ∆的边上或内部运动，且=TO {}TQ TO TP ,,m in ，由T 所组成的图形为M .设M POQ 、∆的面积为M POQ S S 、∆，若()2:1-=∆M POQ M S S S ：，则=M S . 二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分.13. “1sin 2x =”是“6x π=”的 （ ） )(A 充分不必要条件． )(B 必要不充分条件． )(C 充要条件． )(D 既不充分也不必要条件．14.在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于 （ ）)(A 160- )(B 160 )(C 150- )(D 15015.若函数()()f x x R ∈满足()1f x -+、()1f x +均为奇函数，则下列四个结论正确的是（ ）)(A ()f x -为奇函数 )(B ()f x -为偶函数 )(C ()3f x +为奇函数 )(D ()3f x +为偶函数16. 对于数列12,,,x x L 若使得0n m x ->对一切n N *∈成立的m 的最小值存在，则称该最小值为此数列的“准最大项”。

上海市奉贤区2018届高三二模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 集合，，则________【答案】【解析】∵集合∴集合∵集合∴故答案为.2. 已知半径为2R和R的两个球，则大球和小球的体积比为________【答案】8【解析】∵球的体积公式为（为球的半径）∴半径为2R和R的两个球，则大球和小球的体积比为故答案为8.3. 抛物线的焦点坐标是________【答案】【解析】试题分析：即，所以抛物线的焦点坐标是（0，）。

考点：本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质。

点评：简单题，首先应将抛物线方程化为标准方程。

4. 已知实数满足，则目标函数的最大值是_______【答案】4【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，.点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5. 已知△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边. 若，则________【答案】【解析】∵∴根据余弦定理可得∵∴故答案为.6. 三阶行列式中元素的代数余子式为，则方程的解为________【答案】【解析】由题意知.∵∴，即.故答案为.7. 设是复数，表示满足时的最小正整数，是虚数单位，则________【答案】4【解析】∵∴∵表示满足的最小正整数∴当时满足第一次成立∴8. 无穷等比数列的通项公式，前项的和为，若，则________【答案】或【解析】∵∴∵数列为无穷等比数列∴，∵∴，即∴，即.∴∴或故答案为或.9. 给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦. 从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是________【答案】【解析】对于①，定义域为，且，故为奇函数；对于②，定义域为，且，，故既不是奇函数也不是偶函数；对于③，定义域为，且，故是偶函数；对于④，定义域为，且，故是偶函数；对于⑤，是正切函数，故是奇函数；对于⑥，定义域为，且，故是偶函数；对于⑦，定义域为，且，故是奇函数.∴共有3个奇函数，3个偶函数∴从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是.故答案为.10. 代数式的展开式的常数项是________（用数字作答）【答案】3【解析】的通项公式为.令，得；令，得.∴常数项为故答案为.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.11. 角的始边是x轴正半轴，顶点是曲线的中心，角的终边与曲线的交点A的横坐标是，角的终边与曲线的交点是B，则过B点的曲线的切线方程是________（用一般式表示）【答案】【解析】由题意可得：角的终边与曲线的交点的纵坐标是或，设曲线的中心为.①当点的坐标是时，，.∴，∵角的终边与曲线的交点是∴∴∴过点的曲线的切线方程是，即.②当点的坐标是时，，.∴，∵角的终边与曲线的交点是∴∴∴过点的曲线的切线方程是，即.综上，过点的曲线的切线方程是.故答案为.点睛：本题主要考查三角函数的二倍角的运用及圆的切线方程的求解，对于这类题目，首先利用已知条件得到切点的坐标，进而可得到切线的斜率，利用点斜式方程即可得到圆的切线的一般方程，因此正确求出切点的坐标是解题的关键.【答案】【解析】由题意，令，解得.∵函数的最小正周期为，，∴当时，可得第一个对称轴，当时，可得.∴函数在上有条对称轴根据正弦函数的图象与性质可知：函数与的交点有9个点，即关于对称，关于对称，…，即，，…，.∵∴∴故答案为.点睛：本题考查了三角函数的零点问题，三角函数的考查重点是性质的考查，比如周期性，单调性，对称性等，处理抽象的性质最好的方法结合函数的图象，本题解答的关键是根据对称性找到与的数量关系，本题有一个易错点是，会算错定义域内的交点的个数，这就需结合对称轴和数列的相关知识，防止出错.二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知曲线的参数方程为，则曲线为（）A. 线段B. 双曲线的一支C. 圆弧D. 射线【答案】A【解析】由代入消去参数t 得又所以表示线段。

嘉定区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 棱长为2的正方体的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ） A ．π4 B ．π6 C ．π8 D ．π102． 命题“0x ∃>，使得a x b +≤”是“a b <”成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3． 边长为2的正方形ABCD 的定点都在同一球面上，球心到平面ABCD 的距离为1，则此球的表面积为（ ） A ．3π B ．5πC ．12πD ．20π4． 已知集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=2a ，a ∈M}，则集合M ∩N=（ ） A ．{0} B ．{0，﹣2} C ．{﹣2，0，2} D ．{0，2} 5．经过两点，的直线的倾斜角为（ ）A ．120°B ．150°C ．60°D ．30°6． 已知实数[1,1]x ∈-，[0,2]y ∈，则点(,)P x y 落在区域20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩……… 内的概率为（ ）A.34 B.38 C. 14D. 18【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力.7． 已知函数f （x ）是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x 3﹣2x 2，则x ＜0时，函数f （x ）的表达式为f （x ）=（ ） A ．x 3+2x 2B ．x 3﹣2x 2C ．﹣x 3+2x 2D ．﹣x 3﹣2x 28． 已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（ ） A ． 4 B ． ﹣4 C ． 2 D ． ﹣29． 袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（ ） A．B．C．D．10．若如图程序执行的结果是10，则输入的x 的值是（ ）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．0B ．10C ．﹣10D ．10或﹣1011．设1m >，在约束条件,,1.y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（ ）A．(1,1 B．(1)+∞ C. (1,3) D ．(3,)+∞ 12．已知i是虚数单位，则复数等于（ ） A．﹣+i B．﹣+i C．﹣i D．﹣i二、填空题13．已知随机变量ξ﹣N （2，σ2），若P （ξ＞4）=0.4，则P （ξ＞0）= ．14．已知过球面上 ,,A B C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且2AB BC CA ===，则球表面积是_________.15．阅读如图所示的程序框图，则输出结果S 的值为.【命题意图】本题考查程序框图功能的识别，并且与数列的前n 项和相互联系，突出对逻辑判断及基本运算能力的综合考查，难度中等. 16．椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为（2，0），且点（2，3）在椭圆上，则椭圆的短轴长为 ．17．在（2x+）6的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）．18．设函数，若用表示不超过实数m的最大整数，则函数的值域为．三、解答题19．某滨海旅游公司今年年初用49万元购进一艘游艇，并立即投入使用，预计每年的收入为25万元，此外每年都要花费一定的维护费用，计划第一年维护费用4万元，从第二年起，每年的维修费用比上一年多2万元，设使用x年后游艇的盈利为y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）此游艇使用多少年，可使年平均盈利额最大？20．数列{a n}满足a1=，a n∈（﹣，），且tana n+1•cosa n=1（n∈N*）．（Ⅰ）证明数列{tan2a n}是等差数列，并求数列{tan2a n}的前n项和；（Ⅱ）求正整数m，使得11sina1•sina2•…•sina m=1．21．如图所示，一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2﹣6x﹣91=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．22．已知椭圆x 2+4y 2=4，直线l ：y=x+m （1）若l 与椭圆有一个公共点，求m 的值；（2）若l 与椭圆相交于P 、Q 两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m 的值．23．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，1)cos 2cos a B b A c -=， （Ⅰ）求tan tan AB的值；（Ⅱ）若a =4B π=，求ABC ∆的面积．24．在正方体1111D ABC A B C D -中,,E G H 分别为111,,BC C D AA 的中点. （1）求证：EG 平面11BDD B ；（2）求异面直线1B H 与EG 所成的角]嘉定区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】考点：球与几何体2．【答案】C3．【答案】C【解析】解：∵正方形的边长为2，∴正方形的对角线长为=2，∵球心到平面ABCD的距离为1，∴球的半径R==，则此球的表面积为S=4πR2=12π．故选：C．【点评】此题考查了球的体积和表面积，求出球的半径是解本题的关键．4．【答案】A【解析】解：N={x|x=2a，a∈M}={﹣2，0，2}，则M∩N={0}，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合N是解决本题的关键．5．【答案】A【解析】解：设经过两点，的直线的倾斜角为θ，则tanθ==﹣，∵θ∈[0°，180°），∴θ=120°．故选：A．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．【答案】B【解析】7．【答案】A【解析】解：设x＜0时，则﹣x＞0，因为当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2所以f（﹣x）=（﹣x）3﹣2（﹣x）2=﹣x3﹣2x2，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以当x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=x3+2x2，故选A．8．【答案】D【解析】：解：∵∥，∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2．故选：D．9．【答案】B【解析】解：从红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，共有C63=20种，其中恰有两个球同色C31C41=12种，故恰有两个球同色的概率为P==，故选：B．【点评】本题考查了排列组合和古典概率的问题，关键是求出基本事件和满足条件的基本事件的种数，属于基础题．10．【答案】D【解析】解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，当x＜0，时﹣x=10，解得：x=﹣10当x≥0，时x=10，解得：x=10故选：D．11．【答案】A【解析】考点：线性规划.【方法点晴】本题是一道关于线性规划求最值的题目，采用线性规划的知识进行求解；关键是弄清楚的几何意义直线z x my =+截距为zm，作0my x :L =+,向可行域内平移,越向上,则的值越大,从而可得当直线直线z x my =+过点A 时取最大值，⎩⎨⎧==+00001m x y y x 可求得点A 的坐标可求的最大值,然后由z 2,>解不等式可求m的范围. 12．【答案】A【解析】解：复数===，故选：A ．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．二、填空题13．【答案】 0.6 ．【解析】解：随机变量ξ服从正态分布N （2，σ2）， ∴曲线关于x=2对称，∴P （ξ＞0）=P （ξ＜4）=1﹣P （ξ＞4）=0.6， 故答案为：0.6．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．14．【答案】649π【解析】111]考点：球的体积和表面积.【方法点晴】本题主要考查了球的表面积和体积的问题，其中解答中涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截面，球的性质、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记球的截面圆圆心的性质，求出球的半径是解答的关键. 15．【答案】20172016【解析】根据程序框图可知，其功能是求数列})12)(12(2{+-n n 的前1008项的和，即 +⨯+⨯=532312S =-++-+-=⨯+)2017120151()5131()311(201720152 20172016.16．【答案】 ．【解析】解：椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为（2，0），且点（2，3）在椭圆上，可得c=2，2a==8，可得a=4，b 2=a 2﹣c 2=12，可得b=2，椭圆的短轴长为：4．故答案为：4．【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，考查计算能力．17．【答案】 240【解析】解：由（2x+）6，得=．由6﹣3r=0，得r=2．∴常数项等于．故答案为：240．18．【答案】 {0，1} ．【解析】解：=[﹣]+[+]=[﹣]+[+]，∵0＜＜1，∴﹣＜﹣＜，＜+＜，①当0＜＜时，0＜﹣＜，＜+＜1，故y=0；②当=时，﹣=0，+=1，故y=1；③＜＜1时，﹣＜﹣＜0，1＜+＜，故y=﹣1+1=0；故函数的值域为{0，1}．故答案为：{0，1}．【点评】本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想应用．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）（x∈N*） (6)（2）盈利额为…当且仅当即x=7时，上式取到等号 (11)答：使用游艇平均7年的盈利额最大． (12)【点评】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．20．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：∵对任意正整数n，a n∈（﹣，），且tana n+1•cosa n=1（n∈N*）．故tan2a n+1==1+tan2a n，∴数列{tan2a n}是等差数列，首项tan2a1=，以1为公差．∴=．∴数列{tan2a n}的前n项和=+=．（Ⅱ）解：∵cosa n＞0，∴tana n+1＞0，．∴tana n=，，∴sina1•sina2•…•sina m=（tana1cosa1）•（tana2•cosa2）•…•（tana m•cosa m）=（tana2•cosa1）•（tana3cosa2）•…•（tana m•cosa m﹣1）•（tana1•cosa m）=（tana1•cosa m）==，由，得m=40．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．【答案】【解析】解：（方法一）设动圆圆心为M（x，y），半径为R，设已知圆的圆心分别为O1、O2，将圆的方程分别配方得：（x+3）2+y2=4，（x﹣3）2+y2=100，当动圆与圆O1相外切时，有|O1M|=R+2…①当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|=10﹣R…②将①②两式相加，得|O1M|+|O2M|=12＞|O1O2|，∴动圆圆心M （x ，y ）到点O 1（﹣3，0）和O 2（3，0）的距离和是常数12， 所以点M 的轨迹是焦点为点O 1（﹣3，0）、O 2（3，0），长轴长等于12的椭圆．∴2c=6，2a=12， ∴c=3，a=6∴b 2=36﹣9=27∴圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆．（方法二）：由方法一可得方程，移项再两边分别平方得：2两边再平方得：3x 2+4y 2﹣108=0，整理得所以圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆．【点评】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，确定轨迹是椭圆是关键．22．【答案】【解析】解：（1）把直线y=x+m 代入椭圆方程得：x 2+4（x+m ）2=4，即：5x 2+8mx+4m 2﹣4=0， △=（8m ）2﹣4×5×（4m 2﹣4）=﹣16m 2+80=0 解得：m=．（2）设该直线与椭圆相交于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则x 1，x 2是方程5x 2+8mx+4m 2﹣4=0的两根， 由韦达定理可得：x1+x 2=﹣，x 1•x 2=，∴|AB|====2；∴m=±．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与弦长问题，难点在于弦长公式的灵活应用，属于中档题．23．【答案】【解析】（本小题满分12分）解： （Ⅰ）由1)cos 2cos a B b A c -=及正弦定理得1)sin cos 2sin cos sin sin cos +cos sin A B B A C A B A B -==， （3分）cos 3sin cos A B B A =，∴tan tan AB=（6分）（Ⅱ）tan3tan 3A B ==，3A π=，6sinsin 42sin sin 3a Bb A ππ===， （8分） 62sin sin()4C A B +=+=， （10分） ∴ABC ∆的面积为11621sin 62(33)2242ab C +=⨯⨯⨯=+（12分）24．【答案】（1）证明见解析；（2）90． 【解析】（2）延长DB 于M ，使12BM BD =,连结11,,B M HM HB M ∠为所求角.设正方体边长为,则111651011cos 02B M B H AM HM HB M ====∴∠=, 1B H ∴与EG 所成的角为90.考点：直线与平行的判定；异面直线所成的角的计算.【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定与证明、空间中异面直线所成的角的计算，其中解答中涉及到平行四边形的性质、正方体的结构特征、解三角形的相关知识的应用，着重考查了学生的空间想象能力以及学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中根据异面直线所成的角找到角1HB M 为异面直线所成的角是解答的一个难点，属于中档试题.。

2018届高三下学期数学教学质量调研考试（二模）试卷（上
海市嘉定区有答案）
5 c 2018学年度嘉定区高三年级第二次质量调研
数学试卷参考答案与评分标准
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）
1． 2． 3． 4． 5． 6．
7． 8． 9． 10． 11． 12．
二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）
13．D 14．c 15．A 16．B
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）因为，所以由正弦定理得，……………………（1分）又，故，，……………………………………………（3分）所以，因为，所以．………（5分）
所以．………………………………（6分）
（2）因为，，
所以，，……………（4分）
，因为，所以为锐角，所以（或由得到，）．………………………………（5分）
所以，．………………………（8分）
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）（1）由题意，平面把长方体分成两个高为的直四棱柱，
，………………（2分）
，…………………（4分）
所以，．………………………………………………………………（6分）。

2018 年上海市嘉定区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6 题，每题4 分，满分24 分）1．（4 分）下列说法中，正确的是（）A．0 是正整数B．1 是素数C．是分数D．是有理数2．（4 分）关于x 的方程x2﹣mx﹣2＝0 根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定3．（4 分）将直线y＝2x 向下平移2 个单位，平移后的新直线一定不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（4 分）下列说法正确的是（）A．一组数据的中位数一定等于该组数据中的某个数据B．一组数据的平均数和中位数一定不相等C．一组数据的众数可以有几个D．一组数据的方差一定大于这组数据的标准差5．（4 分）对角线互相平分且相等的四边形一定是（）A．等腰梯形B．矩形C．菱形D．正方形6．（4 分）已知圆O1 的半径长为6cm，圆O2 的半径长为4cm，圆心距O1O2＝3cm，那么圆O1与圆O2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切二、填空题（本大题共12 题，每题4 分，满分48 分）7．（4 分）．8．（4 分）一种细菌的半径是0.00000419 米，用科学记数法把它表示为米．9．（4 分）因式分解：x2﹣4x＝．10．（4 分）不等式组的解集为．11．（4 分）在一个不透明的布袋中装有2 个白球、8 个红球和5 个黄球，这些球除了颜色不同之外，其余均相同．如果从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是．12．（4 分）方程的解是x＝．13．（4 分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）呈反比例，其函数关系式为y．如果近似眼镜镜片的焦距x＝0.3 米，那么近视眼镜的度数y 为．14．（4 分）数据1、2、3、3、6 的方差是．15．（4 分）在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，，，那么（用、表示）．16．（4 分）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，点F 在对角线BD 上，DF：DE＝2：，EF⊥ BD，那么tan∠ADB＝．17．（4 分）如图，点A、B、C 在圆O 上，弦AC 与半径OB 互相平分，那么∠AOC 度数为度．18．（4 分）如图，在△ ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D 在边AB 上，且∠ BDC＝90°．如果△ACD 绕点A 顺时针旋转，使点C 与点B 重合，点D 旋转至点D1，那么线段DD1的长为．三、简答题（本大题共7 题，满分78 分）19．（10 分）先化简，再求值：，其中x＝2．20．（10 分）解方程组：21．（10 分）如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC＝AD．（1）如果∠BAC﹣∠BCA＝10°，求∠D 的度数；（2）若AC＝10，cot∠D，求梯形ABCD 的面积．22．（12 分）有一座抛物线拱型桥，在正常水位时，水面BC 的宽为10 米，拱桥的最高点D到水面BC 的距离DO 为4 米，点O 是BC 的中点，如图，以点O 为原点，直线BC 为x，建立直角坐标xOy．（1）求该抛物线的表达式；（2）如果水面BC 上升3 米（即OA＝3）至水面EF，点E 在点F 的左侧，求水面宽度EF 的长．23．（10 分）如图，在正方形ABCD 中，点M 是边BC 上的一点（不与B、C 重合），点N 在CD 边的延长线上，且满足∠MAN＝90°，联结MN、AC，N 与边AD 交于点E．（1）求证；AM＝AN；（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2＝AC•AE．24．（12 分）已知平面直角坐标系xOy（如图），直线y＝x+m 的经过点A（﹣4，0）和点B（n，3）．（1）求m、n 的值；（2）如果抛物线y＝x2+bx+c 经过点A、B，该抛物线的顶点为点P，求sin∠ABP 的值；（3）设点Q 在直线y＝x+m 上，且在第一象限内，直线y＝x+m 与y 轴的交点为点D，如果∠AQO＝∠DOB，求点Q 的坐标．25．（14 分）在圆O 中，AO、BO 是圆O 的半径，点C 在劣弧上，OA＝10，AC＝12，AC∥OB，联结AB．（1）如图1，求证：AB 平分∠OAC；（2）点M 在弦AC 的延长线上，联结BM，如果△AMB 是直角三角形，请你在如图2 中画出点M 的位置并求CM 的长；（3）如图3，点D 在弦AC 上，与点A 不重合，联结OD 与弦AB 交于点E，设点D 与点C 的距离为x，△OEB 的面积为y，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．2018 年上海市嘉定区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6 题，每题4 分，满分24 分）1．（4 分）下列说法中，正确的是（）A．0 是正整数B．1 是素数C．是分数D．是有理数【解答】解：A.0 不是正整数，故本选项错误；B.1 是正整数，故本选项错误；C.是无理数，故本选项错误；D.是有理数，正确；故选：D．2．（4 分）关于x 的方程x2﹣mx﹣2＝0 根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【解答】解：△＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣2）＝m2+8，∵m2≥0，∴m2+8＞0，即△＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．3．（4 分）将直线y＝2x 向下平移2 个单位，平移后的新直线一定不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：k＞0，b＝0 函数图象过第一，三象限，将直线y＝2x 向下平移2 个单位，所得直线的k＝2＞0，b＜0，函数图象过第一，三、四象限；故选：B．4．（4 分）下列说法正确的是（）A．一组数据的中位数一定等于该组数据中的某个数据B．一组数据的平均数和中位数一定不相等C．一组数据的众数可以有几个D．一组数据的方差一定大于这组数据的标准差【解答】解：A、一组数据的中位数不一定等于该组数据中的某个数据，故本选项错误；B、一组数据的平均数和众数不一定相等，故本选项错误；C、一组数据的众数可以有几个，这种说法是正确的，故本选项正确．D、一组数据的方差不一定大于这组数据的标准差，故本选项错误；故选：C．5．（4 分）对角线互相平分且相等的四边形一定是（）A．等腰梯形B．矩形C．菱形D．正方形【解答】解：对角线互相平分切相等的四边形一定是矩形，故选：B．6．（4 分）已知圆O1 的半径长为6cm，圆O2 的半径长为4cm，圆心距O1O2＝3cm，那么圆O1与圆O2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切【解答】解：因为6﹣4＝2，6+4＝10，圆心距为3cm，所以，2＜d＜8，根据两圆相交，圆心距的长度在两圆的半径的差与和之间，所以两圆相交．故选：C．二、填空题（本大题共12 题，每题4 分，满分48 分）7．（4 分） 2 ．【解答】解：∵22＝4，∴2．故答案为：28．（4 分）一种细菌的半径是0.00000419 米，用科学记数法把它表示为 4.19×10﹣6 米．【解答】解：0.00000419＝4.19×10﹣6，故答案为：4.19×10﹣6．9．（4 分）因式分解：x2﹣4x＝ x（x﹣4）．【解答】解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．故答案为：x（x﹣4）．【解答】解：解不等式x﹣1≤0，得：x≤1，解不等式3x+6＞0，得：x＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1，故答案为：﹣2＜x≤1．11．（4 分）在一个不透明的布袋中装有2 个白球、8 个红球和5 个黄球，这些球除了颜色不同之外，其余均相同．如果从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是．【解答】解：∵布袋中共有15 个球，其中黄球有5 个，∴从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是，故答案为：．12．（4 分）方程的解是x＝ 1 ．【解答】解：两边平方得，x+3＝4，移项得：x＝1．当x＝1 时，x+3＞0．故本题答案为：x＝1．13．（4 分）近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）呈反比例，其函数关系式为y．如果近似眼镜镜片的焦距x＝0.3 米，那么近视眼镜的度数y 为 400 ．【解答】解：把x＝0.3 代入，y＝400，故答案为：400．14．（4 分）数据1、2、3、3、6 的方差是 2.8 ．【解答】解：这组数据的平均数是：（1+2+3+3+6）÷5＝3，则方差S2[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.8；故答案为：2.8．15．（4 分）在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，，，那么（）（用、表示）．【解答】解：延长AD 到E，使得DE＝AD，连接BE．∵AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，CD＝DB，∴△ADC≌△EDB，∴AC＝BE，∠C＝∠EBD，∴BE∥AC，∴，∴，∴（），故答案为（）．16．（4 分）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边CD 上，点F 在对角线BD 上，DF：DE＝2：，EF⊥ BD，那么tan∠ADB＝ 2 ．【解答】解：∵EF⊥BD，∴∠DFE＝90°，设DF＝2x，DEx，由勾股定理得：EF＝x，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADB+∠CDB＝90°，∠CDB+∠DEF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴tan∠ADB＝tan∠DEF2，故答案为：2．17．（4 分）如图，点A、B、C 在圆O 上，弦AC 与半径OB 互相平分，那么∠AOC 度数为 120 度．【解答】解：∵弦AC 与半径OB 互相平分，∴OA＝AB，∵OA＝OC，∴△OAB 是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠AOC＝120°，故答案为120．18．（4 分）如图，在△ ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D 在边AB 上，且∠ BDC＝90°．如果△ACD 绕点A 顺时针旋转，使点C 与点B 重合，点D 旋转至点D1，那么线段DD1的长为．【解答】解：如图，作AE⊥BC 于E．∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BE＝ECBC＝3，∴AE4．∵S△ABC AB•CDBC•AE，∴CD，∴AD．∵△ACD 绕点A 顺时针旋转，使点C 与点B 重合，点D 旋转至点D1，∴AD＝AD1，∠CAD＝∠BAD1，∵AB＝AC，∴△ABC∽△ADD1，∴，∴，∴DD1．故答案为．三、简答题（本大题共7 题，满分78 分）19．（10 分）先化简，再求值：，其中x＝2．【解答】解：原式，当x＝2 时，原式．20．（10 分）解方程组：【解答】解：由②得（2x﹣y）2＝1，所以2x﹣y＝1③，2x﹣y＝﹣1④由①③、①④联立，得方程组：，解方程组得，解方程组得，．所以原方程组的解为：，21．（10 分）如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC＝AD．（1）如果∠BAC﹣∠BCA＝10°，求∠D 的度数；（2）若AC＝10，cot∠D，求梯形ABCD 的面积．【解答】解：（1）在△ABC 中，∠B＝90°，则∠BAC+∠BCA＝90°，又∠BAC﹣∠BCA＝10°，∴∠BCA＝40°，∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠BCA＝40°，又∵AC＝AD，∴；（2）作CH⊥AD，垂足为H，在Rt△CDH 中，cot∠D，令DH＝x，CH＝3x，则在Rt△ACH 中，AC2＝AH2+CH2，即102＝（10﹣x）2+（3x）2，解得：x＝2则CH＝3x＝6，BC＝AH＝10﹣x＝8，∴梯形ABCD 的面积，22．（12 分）有一座抛物线拱型桥，在正常水位时，水面BC 的宽为10 米，拱桥的最高点D到水面BC 的距离DO 为4 米，点O 是BC 的中点，如图，以点O 为原点，直线BC 为x，建立直角坐标xOy．（1）求该抛物线的表达式；（2）如果水面BC 上升3 米（即OA＝3）至水面EF，点E 在点F 的左侧，求水面宽度EF 的长．【解答】解：（1）设抛物线解析式为：y＝ax2+c，由题意可得图象经过（5，0），（0，4），则，解得：a，故抛物线解析为：yx2+4；（2）由题意可得：y＝3 时，3x2+4解得：x＝±，故EF＝5，答：水面宽度EF 的长为5m．23．（10 分）如图，在正方形ABCD 中，点M 是边BC 上的一点（不与B、C 重合），点N 在CD 边的延长线上，且满足∠MAN＝90°，联结MN、AC，N 与边AD 交于点E．（1）求证；AM＝AN；（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AM2＝AC•AE．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，又∠MAN＝90°，∴∠BAM＝∠DAN，在△BAM 和△DAN 中，，∴△BAM≌△DAN，∴AM＝AN；（2）四边形ABCD 是正方形，∴∠CAD＝45°，∵∠CAD＝2∠NAD，∠BAM＝∠DAN，∴∠MAC＝45°，∴∠MAC＝∠EAN，又∠ACM＝∠ANE＝45°，∴△AMC∽△AEN，∴，∴AN•AM＝AC•AE，∴AM2＝AC•AE．24．（12 分）已知平面直角坐标系xOy（如图），直线y＝x+m 的经过点A（﹣4，0）和点B（n，3）．（1）求m、n 的值；（2）如果抛物线y＝x2+bx+c 经过点A、B，该抛物线的顶点为点P，求sin∠ABP 的值；（3）设点Q 在直线y＝x+m 上，且在第一象限内，直线y＝x+m 与y 轴的交点为点D，如果∠AQO＝∠DOB，求点Q 的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣4，0）代入直线y＝x+m 中得：﹣4+m＝0，m＝4，∴y＝x+4，把B（n，3）代入y＝x+4 中得：n+4＝3，n＝﹣1，（2）解法一：把A（﹣4，0）和点B（﹣1，3）代入y＝x2+bx+c 中得：，解得：，∴y＝x2+6x+8＝（x+3）2﹣1，∴P（﹣3，﹣1），易得直线PB 的解析式为：y＝2x+5，当y＝0 时，x，∴G（，0），过B 作BM⊥x 轴于M，过G 作GH⊥AB 于H，由勾股定理得：BG，S△ABG AG•BMAB•GH，GH，∴GH，Rt△GHB 中，sin∠ABP；解法二：连接AP，得AB2＝18，AP2＝2，PB2＝42+22＝20，∴PB2＝AP2+AB2，∴∠PAB＝90°，∴sin∠ABP；（3）设Q（x，x+4），∵∠BOD＝∠AQO，∠OBD＝∠QBO，∴△BDO∽△BOQ，∴，∴BO2＝BD•BQ，∴12+32，10（x+1），x＝4，∴Q（4，8）．25．（14 分）在圆O 中，AO、BO 是圆O 的半径，点C 在劣弧上，OA＝10，AC＝12，AC∥OB，联结AB．（1）如图1，求证：AB 平分∠OAC；（2）点M 在弦AC 的延长线上，联结BM，如果△AMB 是直角三角形，请你在如图2 中画出点M 的位置并求CM 的长；（3）如图3，点D 在弦AC 上，与点A 不重合，联结OD 与弦AB 交于点E，设点D 与点C 的距离为x，△OEB 的面积为y，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．【解答】解：（1）∵OA、OB 是⊙O 的半径，∴AO＝BO，∴∠OAB＝∠B，∵OB∥AC，∴∠B＝∠CAB，∴∠OAB＝∠CAB，∴AB 平分∠OAC；（2）由题意知，∠BAM 不是直角，所以△AMB 是直角三角形只有以下两种情况：∠AMB＝90°和∠ABM＝90°，①当∠AMB＝90°，点M 的位置如图1，过点O 作OH⊥AC，垂足为点H，∵OH 经过圆心，AC＝12，∴AH＝HCAC＝6，在Rt△AHO 中，∵OA＝10，∴OH8，∵AC∥OB，∠AMB＝90°，∴∠OBM＝180°﹣∠AMB＝90°，∴∠OHC＝∠AMB＝∠OBM＝90°，∴四边形OBMH 是矩形，∴BM＝OH＝8、OB＝HM＝10，∴CM＝HM﹣HC＝4；②当∠ABM＝90°，点M 的位置如图2，由①可知，AB8、cos∠CAB，在Rt△ABM 中，cos∠CAB，∴AM＝20，则CM＝AM﹣AC＝8，综上所述，CM 的长为4 或8；（3）如图3，过点O 作OG⊥AB 于点G，由（1）知sin∠OAG＝sin∠CAB，由（2）可得sin∠CAB，∵OA＝10，∴OG＝2，∵AC∥OB，∴，又AE＝8BE、AD＝12﹣x、OB＝10，∴，∴BE，∴yBE×OG2（0≤x＜12）．。

一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～ 12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应地址直接填写结果．．函数 y=2sin 2（ 2x ）﹣ 1 的最小正周期是 ． 1 2．设 i 为虚数单位，复数 ，则 | z| =．3．设 f ﹣ 1（ x ）为 的反函数，则 f ﹣ 1（1） =．4．=．5．若圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则其母线与轴所成角的大小是 ．6．设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若= ，则=．7．直线 （t 为参数）与曲线 （ θ为参数）的公共点的个数是．8．已知双曲线 C 1 与双曲线 C 2 的焦点重合， C 1 的方程为 ，若 C 2 的一条渐近线的倾斜角是 C 1 的一条渐近线的倾斜角的 2 倍，则 C 2 的方程为．9．若，则满足 f （x ）＞ 0 的 x 的取值范围是．10．某企业有甲、 乙两个研发小组， 他们研发新产品成功的概率分别为 和 ．现安排甲组研发新产品 A ，乙组研发新产品 B ，设甲、乙两组的研发相互独立，则 最少有一种新产品研发成功的概率为 ．．设等差数列 n } 的各项都是正数，前 n 项和为 S n ，公差为 d ．若数列 11 { a 也是公差为 d 的等差数列，则 { a n } 的通项公式为 a n =．12．设 x ∈R ，用[ x] 表示不高出 x 的最大整数（如 [ 2.32] =2，[ ﹣ 4.76] =﹣5），对于给定的n ∈ N * ，定义C=，其中 x ∈[ 1， +∞），则当时，函数 f （ x ） =C的值域是．二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应地址，将代表正确选项的小方格涂黑．13．命题“若 x=12﹣3x 2=0”的逆否命题是（），则 x+A．若 x≠1，则 x2﹣3x+2≠0B．若 x2﹣3x+2=0，则 x=1C．若 x2﹣ 3x+2=0，则 x≠1 D．若 x2﹣ 3x+2≠ 0，则 x≠1．如图，在正方体1 1 1 1 中，M、E是AB的三均分点，G、N是14ABCD ﹣A B C DCD 的三均分点， F、H 分别是 BC、 MN 的中点，则四棱锥 A 1﹣ EFGH 的左视图是（）A．B．C．D．15．已知△ ABC 是边长为 4 的等边三角形， D、P 是△ ABC 内部两点，且满足，，则△ ADP的面积为（）A． B ．C．D．16．已知 f（ x）是偶函数，且 f（ x）在 [ 0， +∞）上是增函数，若 f （ax+1）≤ f （ x﹣ 2）在上恒建立，则实数 a 的取值范围是（）A．﹣2，1]B．﹣2，0C．﹣1，1D．﹣1，0[[][][]三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答以下各题必定在答题纸的相应地址写出必要的步骤．17．在△ ABC 中，内角 A ， B， C 的对边分别为a，b，c，已知 a﹣b=2，c=4，sinA=2sinB ．（Ⅰ）求△ ABC 的面积；（Ⅱ）求 sin（ 2A﹣ B）．18．如图，在长方体 ABCD ﹣A 1B1C1D1中，AB=8 ，BC=5，AA 1=4，平面α截长方体获取一个矩形EFGH，且 A1E=D1F=2，AH=DG=5 ．（1）求截面 EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比；（2）求直线 AF 与平面α所成角的正弦值．19．如图，已知椭圆C：（a＞b＞0）过点，两个焦点为F1（﹣ 1，0）和 F2（1，0）．圆 O 的方程为 x2+y2=a2．（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过 F1且斜率为 k（k＞0）的动直线 l 与椭圆 C 交于 A 、B 两点，与圆 O 交于P、Q 两点（点 A 、P 在 x 轴上方），当 | AF2| ， | BF2| ，| AB | 成等差数列时，求弦 PQ 的长．20．若是函数 y=f（ x）的定义域为 R，且存在实常数 a，使得关于定义域内任意x，都有 f （x+a）=f（﹣ x）建立，则称此函数 f（ x）拥有“P（ a）性质”．（ 1）判断函数 y=cosx 可否拥有“P（a）性质”，若拥有“P（a）性质”，求出所有 a 的值的会集；若不拥有“P（a）性质”，请说明原由；（ 2）已知函数 y=f （x）拥有“P（0）性质”，且当 x≤0 时， f （x ）=（x+m）2，求函数 y=f（ x）在区间 [ 0，1] 上的值域；（ 3）已知函数y=g（x ）既拥有“P（0）性质”，又拥有“P（ 2）性质”，且当﹣ 1≤x≤ 1 时，g（x ）=| x| ，若函数 y=g（x）的图象与直线 y=px 有 2017 个公共点，求实数 p 的值．21．给定数列 { a n } ，若满足 a1=a（a＞ 0 且 a≠1），关于任意的n，m∈N*，都有a n+m=a n?a m，则称数列 { a n} 为指数数列．（ 1）已知数列 { a n} ，{ b n} 的通项公式分别为，，试判断{ a n}，{ b n} 可否是指数数列（需说明原由）；（ 2）若数列 { a n} 满足： a1=2， a2=4，a n+2=3a n+1﹣2a n，证明： { a n} 是指数数列；（ 3）若数列 { a n} 是指数数列，（t∈N*），证明：数列{ a n}中任意三项都不能够构成等差数列．2017 年上海市嘉定区高考数学二模试卷参照答案与试题分析一、填空题（本大题共有12 题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～ 12 题每题 5 分）考生应在答题纸的相应地址直接填写结果．．函数y=2sin 2（ 2x）﹣ 1 的最小正周期是．1【考点】 H1：三角函数的周期性及其求法．【分析】利用二倍角公式基本公式将函数化为y=Acos（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，2【解答】解：函数 y=2sin （2x）﹣ 1，∴最小正周期 T=．故答案为2．设 i 为虚数单位，复数，则| z| =1．【考点】 A8：复数求模．【分析】利用复数的运算法规、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数===﹣ i，则 | z| =1．故答案为： 1．．设f ﹣1（ x）为的反函数，则 f﹣1（1） = 1 ．3【考点】 4R：反函数．【分析】依照反函数的性质，原函数的值域是反函数的定义域即可求解【解答】解：的反函数，其反函数 f﹣1（ x），反函数的性质，反函数的定义域是原函数的值域，即．可得： x=1，∴ f ﹣ 1（x ）=1．故答案为 1．4．= 3 ．【考点】 8J ：数列的极限．【分析】 经过分子分母同除 3n +1，利用数列极限的运算法规求解即可．【解答】 解：= = =3．故答案为： 3．5．若圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则其母线与轴所成角的大小是30° ．【考点】 MI ：直线与平面所成的角．【分析】 依照圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得l=2R ，进而解母线与底面所成角，尔后求解母线与轴所成角即可．【解答】 解：设圆锥的底面半径为 R ，母线长为 l ，则：2其底面积： S底面积 =πR，其侧面积： S 侧面积 = 2π Rl= π，Rl∵圆锥的侧面积是其底面积的2 倍，∴ l=2R ，故该圆锥的母线与底面所成的角 θ有，cos θ== ，∴ θ=60，°母线与轴所成角的大小是：30°．故答案为： 30°．6．设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n，若=，则=．【考点】 85：等差数列的前 n 项和．【分析】=，可得 3（ a14d）=5（ a12d），化为： a1=d．再利用等差数列的++求和公式即可得出．【解答】解：∵=，∴ 3（a1+4d）=5（a1+2d），化为：a1=d．则==．故答案为：．7．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的个数是1．【考点】 QK：圆的参数方程； QJ：直线的参数方程．【分析】依照题意，将直线的参数方程变形为一般方程，再将曲线的参数方程变形为一般方程，分析可得该曲线为圆，且圆心坐标为（3， 5），半径 r=，求出圆心到直线的俄距离，分析可得直线与圆相切，即可得直线与圆有 1 个公共点，即可得答案．【解答】解：依照题意，直线的参数方程为，则其一般方程为x+y﹣6=0，曲线的参数方程为，则其一般方程为（x﹣3）2+（ y﹣ 5）2=2，该曲线为圆，且圆心坐标为（3，5），半径 r=，圆心到直线 x+y﹣6=0 的距离 d== =r，则圆（x﹣3）2+（y﹣5）2=2 与直线x+y﹣6=0 相切，有1 个公共点；故答案为： 1．8．已知双曲线C1与双曲线 C2的焦点重合， C1的方程为，若C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的 2 倍，则C2的方程为．【考点】 KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的焦点坐标，利用渐近线的倾斜角的关系，列出方程，尔后求解即可．【解答】解：双曲线 C1与双曲线 C2的焦点重合， C1的方程为，焦点坐标（± 2， 0）．双曲线 C1的一条渐近线为： y=，倾斜角为30°，C2的一条渐近线的倾斜角是C1的一条渐近线的倾斜角的 2 倍，可得 C2的渐近线y=．可得， c=2，解得 a=1，b=，所求双曲线方程为：．故答案为：．9．若，则满足f（x）＞0的x的取值范围是（1，+∞）．【考点】 7E：其他不等式的解法．【分析】由已知获取关于x 的不等式，化为根式不等式，尔后化为整式不等式解之．【解答】解：由 f（x ）＞0 获取即，因此，解得x＞1；故x 的取值范围为（1，+∞）；故答案为：（ 1， +∞）；10．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为和．现安排甲组研发新产品 A ，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立，则最少有一种新产品研发成功的概率为．【考点】 C9：相互独立事件的概率乘法公式．【分析】利用对峙事件的概率公式，计算即可，【解答】解：设最少有一种新产品研发成功的事件为事件 A 且事件 B 为事件 A 的对峙事件，则事件 B 为一种新产品都没有成功，由于甲乙研发新产品成功的概率分别为和．则 P（B）=（1﹣）（1﹣）= ，再依照对峙事件的概率之间的公式可得 P（A ）=1﹣P（B）= ，故最少有一种新产品研发成功的概率．故答案为．n}的各项都是正数，前n项和为S n，公差为d．若数列11．设等差数列 { a也是公差为 d 的等差数列，则 { a n} 的通项公式为 a n=．【考点】 84：等差数列的通项公式．【分析】由题意可得： S n=na1d．a n＞0.=+（n﹣1）d，化简 n+≠1时可得： a1 2 2d﹣d．分别令 n=2，3，解出即可得出．=（n﹣1）d +【解答】解：由题意可得：S n1d． a n＞0．=na +n 1n﹣1）2 22（n﹣1） d．=+（ n﹣ 1） d，可得： S =a +（ d +∴na1+d=a1+（ n﹣ 1）2d2+2（n﹣1）d．22d dn≠1 时可得： a1=（ n﹣ 1）d +﹣．分别令 n=2，3，可得： a122d﹣d，a12 2d﹣ d．=d +=2d +解得a1，d= ．=∴ a n=+（﹣）．n 1 =故答案为：．12．设 x ∈R，用x表示不高出 x 的最大整数（如[=2，﹣ 4.76 =﹣5），对[]][]于给定的 n∈ N*，定义 C =，其中 x ∈1，∞），则当[+时，函数 f（ x） =C的值域是．【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】分类谈论，依照定义化简C x n，求出 C x10 的表达式，再利用函数的单调性求出 C x10 的值域．【解答】解：当 x∈ [ ， 2）时， [ x] =1，∴ f （x）=C= ，当 x∈[，2）时， f （x）是减函数，∴ f（ x）∈（ 5，）；当 x∈[ 2， 3）时， [ x] =2，∴ f （x） =C=，当 x∈[ 2， 3）时， f （x）是减函数，∴ f（x）∈（ 15， 45] ；∴当时，函数 f （x）=C的值域是，故答案为：．二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应地址，将代表正确选项的小方格涂黑．．命题“若x=1，则 x 2﹣3x+2=0”的逆否命题是（）13A．若 x ≠ ，则x2﹣3x+2≠0 B．若 x2﹣3x+2=0，则 x=1 1C．若 x2﹣ 3x+2=0，则 x≠1 D．若 x2﹣ 3x+2≠ 0，则 x≠1【考点】 25：四种命题间的逆否关系．【分析】依照逆否命题的定义，我们易求出命题的逆否命题【解答】解：将命题的条件与结论交换，并且否定可得逆否命题：若x2﹣3x 2+≠0，则 x≠1应选： D14．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B1C1D1中， M 、E 是 AB 的三均分点， G、N 是CD 的三均分点， F、H 分别是 BC、 MN 的中点，则四棱锥 A 1﹣ EFGH 的左视图是（）A．B．C．D．【考点】 L7：简单空间图形的三视图．【分析】确定 5 个极点在面 DCC1D1上的投影，即可得出结论．【解答】解： A1在面 DCC1D1上的投影为点 D1，E 在面 DCC1D1的投影为点 G，F 在面 DCC1D1上的投影为点 C， H 在面 DCC1D1上的投影为点 N，因此侧视图为选项 C 的图形．应选 C15．已知△ ABC是边长为 4 的等边三角形，D、P 是△ ABC内部两点，且满足，，则△ ADP的面积为（）A． B ．C．D．【考点】 9V：向量在几何中的应用．【分析】以 A 为原点，以 BC 的垂直均分线为y 轴，建立直角坐标系．由于等边三角形△的边长为4，可得 B，C 的坐标，再利用向量的坐标运算和数乘运算可得，，利用△ APD的面积公式即可得出．【解答】解：以 A 为原点，以 BC 的垂直均分线为y 轴，建立直角坐标系．∵等边三角形△的边长为4，∴B（﹣ 2，﹣2），C（2，﹣2），由足=[（﹣ 2，﹣2）（2，﹣2）=（ 0，﹣），+]=（0，﹣）+ （4，0）=（，﹣），∴△ ADP 的面积为 S= ||?| |=×× = ，应选： A．16．已知 f（ x）是偶函数，且f（ x）在 [ 0， +∞）上是增函数，若 f （ax+1）≤ f （ x﹣ 2）在上恒建立，则实数 a 的取值范围是（）A．[ ﹣2，1]B．[ ﹣2，0]C．[ ﹣1，1]D．[ ﹣1，0]【考点】 3N：奇偶性与单调性的综合．【分析】由于偶函数在对称区间上单调性相反，依照已知中f（x）是偶函数，且f（x ）在（ 0， +∞）上是增函数，易得f（ x）在（﹣∞， 0）上为减函数，又由若时，不等式 f（ax 1）≤f（ x﹣ 2）恒建立，结合函数恒建立的条+件，求出时 f （x﹣2）的最小值，进而能够构造一个关于 a 的不等式，解不等式即可获取实数 a 的取值范围．【解答】解：∵ f（ x）是偶函数，且 f （x）在（ 0， +∞）上是增函数，∴ f（x ）在（﹣∞， 0）上为减函数，当时， x﹣2∈[ ﹣，﹣1]，故 f（ x﹣ 2）≥ f（﹣ 1）=f（1），若时，不等式 f （ax+1）≤ f （x﹣2）恒建立，则当时， | ax+1| ≤ 1 恒建立，∴﹣ 1≤ax+1≤ 1，∴≤a≤0，∴﹣ 2≤a≤ 0，应选 B．三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答以下各题必定在答题纸的相应地址写出必要的步骤．17．在△ ABC 中，内角 A ， B， C 的对边分别为a，b，c，已知 a﹣b=2，c=4，sinA=2sinB ．（Ⅰ）求△ ABC 的面积；（Ⅱ）求 sin（ 2A﹣ B）．【考点】 GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】解法一：（I）由已知及正弦定理可求 a，b 的值，由余弦定理可求 cosB，进而可求 sinB，即可由三角形面积公式求解．（II）由余弦定理可得 cosA，进而可求 sinA，sin2A，cos2A，由两角差的正弦公式即可求 sin（ 2A﹣ B）的值．解法二：（I）由已知及正弦定理可求 a，b 的值，又 c=4，可知△ ABC 为等腰三角形，作 BD ⊥AC 于 D，可求 BD==，即可求三角形面积．（II）由余弦定理可得 cosB，即可求 sinB，由（ I）知 A=C ? 2A ﹣ B=π﹣ 2B．进而 sin（ 2A﹣ B）=sin（π﹣2B）=sin2B，代入即可求值．【解答】解：解法一：（I）由 sinA=2sinB? a=2b．又∵ a﹣ b=2，∴ a=4，b=2．cosB===．sinB===．∴ S△ABC = acsinB==．（ II） cosA===．sinA===．sin2A=2sinAcosA=2 ×．cos2A=cos2 A ﹣sin2A=﹣．∴sin（2A ﹣B） =sin2AcosB﹣cos2AsinB==．解法二：（I）由 sinA=2sinB? a=2b．又∵ a﹣ b=2，∴a=4，b=2．又 c=4，可知△ ABC 为等腰三角形．作 BD⊥AC于 D，则BD===．∴S△ABC==．（ II） cosB===．sinB===．由（ I）知 A=C ? 2A ﹣B=π﹣ 2B．∴sin（2A ﹣B） =sin（π﹣2B）=sin2B =2sinBcosB=2××=．18．如图，在长方体 ABCD ﹣A 1B1C1D1中，AB=8 ，BC=5，AA 1=4，平面α截长方体获取一个矩形EFGH，且 A1E=D1F=2，AH=DG=5 ．（1）求截面 EFGH 把该长方体分成的两部分体积之比；（2）求直线 AF 与平面α所成角的正弦值．【考点】 MI ：直与平面所成的角；LF：棱柱、棱、棱台的体．【分析】（1）由意，平面α把方体分成两个高 5 的直四棱柱，化求解体推出果即可．（2）解法一：作 AM ⊥EH，垂足 M ，明 HG⊥AM ，推出 AM ⊥平面 EFGH．通算求出 AM=4 ．AF ，直 AF 与平面α所成角θ，求解即可．解法二：以 DA 、DC、 DD1所在直分 x 、 y 、 z 建立空直角坐系，求出平面α一个法向量，利用直 AF 与平面α所成角θ，通空向量的数量求解即可．【解答】（本分，第 1 小分，第 2 小分 8 分）解：（ 1）由意，平面α把方体分成两个高 5 的直四棱柱，，⋯，⋯因此，．⋯（ 2）解法一：作 AM ⊥EH，垂足 M ，由意， HG⊥平面 ABB 1A 1，故 HG⊥AM ，因此AM ⊥平面EFGH．⋯因，，因此S△AEH =10，）因 EH=5，因此 AM=4 ．⋯又，⋯直 AF 与平面α所成角θ，因此，直 AF 与平面α所成角的正弦．．⋯⋯解法二：以DA 、DC、 DD1所在直分x 、 y、 z 建立空直角坐系，A（5，0，0），H（5，5，0），E（5，2，4），F（0，2，4），⋯故，，⋯α，即平面一个法向量因此可取．⋯直 AF 与平面α所成角θ，．⋯因此，直 AF 与平面α所成角的正弦．⋯19．如，已知 C：（ a＞ b＞ 0）点，两个焦点 F1（1，0）和 F2（1，0）． O 的方程 x2 y22．+=a（1）求 C 的准方程；（2） F1且斜率 k（k＞0）的直 l 与 C 交于 A 、B 两点，与 O 交于 P、Q 两点（点 A 、P 在 x 上方），当 | AF2| ， | BF2| ，| AB | 成等差数列，求弦 PQ 的．【考点】 KH ：直与曲的合；K3：的准方程； KL ：直与的地址关系．【分析】（1）求出 c=1， C 的方程，将点代入，解得 a2=4，尔后求解 C 的方程．（2）由定， | AF1|+| AF2| =4，| BF1|+| BF2 | =4，通 | AF 2| ，| BF2| ，| AB |成等差数列，推出．B（x0，y0），通解得 B，尔后求解直方程，推出弦 PQ 的即可．【解答】（本分，第 1 小分，第 2 小分 8 分）解：（ 1）由意，c=1，⋯C 的方程，将点代入，解得 a2=4（舍去），⋯因此， C 的方程．⋯（2）由定，|AF1|+| AF2|=4，|BF1|+| BF2|=4，两式相加，得 | AB|+| AF2|+| BF2| =8，因 | AF2| ，| BF2| ，| AB| 成等差数列，因此 | AB|+| AF2| =2| BF2| ，于是 3| BF2| =8，即．⋯B（x0， y0），由解得，⋯（或，，解得，，因此）．因此，，直 l 的方程，即，⋯O 的方程 x2+y2，心O 到直l的距离，⋯=4此，弦 PQ 的．⋯20．若是函数 y=f（ x）的定域 R，且存在常数 a，使得于定域内任意x，都有 f （x+a）=f（ x）建立，称此函数 f（ x）拥有“P（ a）性”．（ 1）判断函数 y=cosx 可否拥有“P（a）性”，若拥有“P（a）性”，求出所有a 的的会集；若不拥有“P（a）性”，明原由；（2）已知函数 y=f （x）拥有“P（0）性”，且当 x≤0 ， f （x ）=（x +m）2，求函数 y=f（ x）在区 [ 0，1] 上的域；（3）已知函数 y=g（x ）既拥有“P（0）性”，又拥有“P（ 2）性”，且当 1≤x≤ 1 ，g（x ）=| x| ，若函数 y=g（x）的象与直 y=px 有 2017 个公共点，求数 p 的．【考点】 57：函数与方程的合运用．【分析】（1）依照意可知 cos（x+a） =cos（ x） =cosx，故而 a=2kπ， k∈ Z；（ 2）由新定可推出 f （x）偶函数，进而求出 f（ x）在 [ 0， 1] 上的分析式， m 与[ 0， 1] 的关系判断 f （x）的性得出 f（x）的最；（ 3）依照新定可知 g（x）周期 2 的偶函数，作出 g（ x）的函数象，依照函数象得出 p 的．【解答】解：（1）假 y=cosx 拥有“P（a）性”， cos（ x+a）=cos（ x）=cosx恒建立，∵cos（ x+2kπ）=cosx，∴函数 y=cosx 拥有“P（a）性”，且所有 a 的的会集 { a| a=2kπ，k∈Z} ．（ 2）由于函数 y=f （x）拥有“P（0）性质”，因此 f（ x） =f（﹣ x）恒建立，∴ y=f（ x）是偶函数．设 0≤x≤1，则﹣ x≤0，∴ f（x）=f （﹣ x）=（﹣ x+m）2=（ x﹣ m）2．①当m≤ 0 时，函数 y=f （x）在 [ 0，1] 上递加，值域为 [ m2，（ 1﹣ m）2] ．②当时，函数y=f（ x）在 [ 0， m] 上递减，在[ m，1] 上递加，y min=f（ m）=0，，值域为 [ 0，（1﹣m）2]．③当时， y min =f（m） =0，，值域为[ 0，m2 ] ．④ m＞1 时，函数 y=f（ x）在 [ 0， 1] 上递减，值域为 [ （1﹣m）2，m2] ．（3）∵ y=g（x ）既拥有“P（ 0）性质”，即 g（x ）=g（﹣ x），∴函数 y=g （ x）偶函数，又 y=g（x）既拥有“P（ 2）性质”，即 g（x+2）=g（﹣ x）=g（x），∴函数 y=g（x）是以 2 为周期的函数．作出函数 y=g（x）的图象以下列图：由图象可知，当 p=0 时，函数 y=g（x）与直线 y=px 交于点（ 2k，0）（k∈Z），即有无数个交点，不合题意．当 p＞0 时，在区间 [ 0，2016] 上，函数 y=g（x）有 1008 个周期，要使函数 y=g （ x）的图象与直线 y=px 有 2017 个交点，则直线在每个周期内都有 2 个交点，且第2017 个交点恰好为，因此．同理，当 p＜0 时，．综上，．21．定数列 { a n } ，若足 a1=a（a＞ 0 且 a≠1），于任意的n，m∈N*，都有a n+m=a n?a m，称数列 { a n} 指数数列．（ 1）已知数列 { a n} ，{ b n} 的通公式分，，判断{ a n}，{ b n} 可否是指数数列（需明原由）；（ 2）若数列 { a n} 足： a1=2， a2=4，a n+2=3a n+12a n，明： { a n} 是指数数列；（ 3）若数列 { a n} 是指数数列，（t∈N*），明：数列{ a n}中任意三都不能够构成等差数列．【考点】 8B：数列的用．【分析】（1）利用指数数列的定，判断即可；（ 2）求出 { a n } 的通公式，即可明：{ a n} 是指数数列；（ 3）利用反法行明即可．【解答】（ 1）解：于数列{ a n} ，因a3 =a1+2≠a1?a2，因此 { a n} 不是指数数列．⋯于数列 { b n} ，任意n，m∈ N*，因，因此 { b n} 是指数数列．⋯（ 2）明：由意， a n+2 a n+1（ n+1 a n），=2a因此数列 { a n+1 a n} 是首 a2 a1，公比2的等比数列．⋯=2所以．所以，=，即 { a n} 的通公式（n∈N*）．⋯因此，故 {a n是指数数列．⋯}（ 3）明：因数列{a n是指数数列，故于任意的n，m∈N*，有 a n+m n m，}=a ?a令 m=1，，因此 { a n} 是首，公比的等比数列，因此，．⋯假数列 { a n} 中存在三 a u，a v，a w构成等差数列，不如u＜v＜w，由2a v=a u+a w，得，因此 2（t+4）w﹣v（ t+3）v﹣u=（ t+4）w﹣u+（t +3）w﹣u，⋯当 t 偶数， 2（t+4）w﹣v（t+3）v﹣u是偶数，而（ t+4）w﹣u是偶数，（t+3）w﹣u是奇数，故 2（t+4）w﹣v（t+3）v﹣u=（t+4）w﹣u+（t+3）w﹣u不能够建立；⋯当 t 奇数， 2（t+4）w﹣v（t+3）v﹣u是偶数，而（ t+4）w﹣u是奇数，（t+3）w﹣u是偶数，故 2（t+4）w﹣v（t+3）v﹣u=（t+4）w﹣u+（t +3）w﹣u也不能够建立．⋯因此，任意 t∈N*，2（t+4）w﹣v（ t+3）v﹣u=（t+4）w﹣u+（t+3）w﹣u不能够建立，即数列 { a n } 的任意三都不行构成等差数列．⋯2017年 5月 22日。

2023 学年高三年级嘉定区第二次质量调研数学试卷（考试时间120 分钟，满分150 分）一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有12 题，只要求直接填写结果，前六题每题得 4分，后六题每题得 5 分．1．设集合[]1,3A =，()2,4B =，则AB =______．2．抛物线24y x =的难线方程为______．3．已知圆锥的母线长为2，高为1，则其体积为______． 4．二项式()51x +的展开式中，2x 项的系数是______．5．已知i 是虚数单位．则()243i12i +=−______．6．函数14y x x =−+−的值域为______． 7．数据1、2、3、4、5的方差为21s，数据3、6、9、12、15的方差为22s ，则2221s s =______．8．已知曲线313y x =上有一点82,3P ⎛⎫⎪⎝⎭，则过P 点的切线的斜率为______． 9．小张、小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件A 表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件B 表示“两家选择景点不同”，则概率()P B A =______．10．已知()22sin cos f x x x =+，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则函数()y f x =的最小值为______．11．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在圆221x y +=上运动，定点A 、B 满足12OA OB ⋅=且1OA OB ==，若k OA OP OB OP ≥⋅+⋅恒成立，则实数k 的取值范围为______．12．若规定集合{}0,1,2,,E n =的于集{}123,,,,m a a a a 为E 的第k 个子集，其中3122222m a a a a k =++++，则E 的第211个子集是______．二、选择题（本大题满分 18 分）本大题共有4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得 4 分，后两题每题得5 分．13．双曲线221Γ:142x y −=和双曲线222Γ:142y x −=具有相同的（） A ．焦点B ．顶点C ．渐近线D ．离心率14．已知()11,OA x y =，()22,OB x y =，且OA 、OB 不共线，则OAB △的面积为（ ） A ．121212x x y y −B ．122112x y x y −C ．121212x x y y +D ．122112x y x y +15．嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动．太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的角．测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面．如图，两竖直墙面所成的二面角为120°，墙的高度均为3米．在时刻t ，实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、1.5米．在线查阅嘉定的天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻t 最可能为（ ）A ．09:00B ．10:00C ．11:00D ．12:0016．已知函数()()y f x x =∈R 的最小正周期是1T ，函数()()y g x x =∈R 的最小正周期是2T ，且()121T kT k =>，对于命题甲：函数()()()y f x g x x =+∈R 可能不是周期函数；命题乙：若函数()()()y f x g x x =+∈R 的最小正周期是3T ，则31T T ≥．下列选项正确的是（）A ．甲和乙均为真命题B ．甲和乙均为假命题C ．甲为真命题且乙为假命题D ．甲为假命题且乙为真命题三、解答题（本大题满分 78 分）本大题共有5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17．（本题满分14 分）本题共有 2 个小题，第1 小题6 分，第 2 小题8 分．如图，在三棱柱111ABC A B C −中，1A A ⊥平面ABC ，D 是BC 的中点，AC =，11A A AB BC ===．（1）求证：1//A B 平面1ADC ； （2）求直线1DC 与1A B 的所成角的大小．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分． 在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，221cos sin 2B B −=−． （1）求角B ，并计算πsin 6B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）若b =ABC △是锐角三角形，求2a c +的最大值．19．（本题满分14 分）本题共有 2 个小题，第1 小题6 分，第 2 小题8 分．据文化和旅游部发布的数据显示，2023 年国内出游人次达 48.91 亿次，总花费4.91 万亿元．人们选择的出游方式不尽相同，有自由行，也有跟团游．为了了解年龄因素是否影响出游方式的选择，我们按年龄将成年人群分为青壮年组（大于等于 14 岁，小于40 岁）和中老年组（大于等于 40 岁）．现在 S 市随机抽取 170 名成年市民进行调查，得到如下表的数据：（1）请补充22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为年龄与出游方式的选择有关；（2）用分层抽样的方式从跟团游中抽取14个人，再从14个人中随机抽取7个人，用随机变量X 表示这7个人中中老年与青壮年人数之差的绝对值，求X 的分布和数学期望．20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．如图：已知三点A 、B 、P 都在椭圆22142x y +=上．（1）若点A 、B 、P 都是椭圆的顶点，求ABP △的面积；（2）若直线AB 的斜率为1，求弦AB 中点M 的轨迹方程；（3）若直线AB 的斜率为2，设直线PA 的斜率为PA k ，直线PB 的斜率为PB k ，是否存在定点P ，使得0PA PB k k +=恒成立？若存在，求出所有满足条件的点P ，若不存在，说明理由．21．（本题满分18 分）本题共有 3 个小题，第1 小题4 分，第 2 小题6 分，第3 小题 8 分． 已知常数m ∈R ，设()ln mf x x x=+，（1）若1m =，求函数()y f x =的最小值；（2）是否存在1230x x x <<<，且1x 、2x 、3x 依次成等比数列，使得()1f x 、()2f x 、()3f x 依次成等差数列？请说明理由．（3）求证：“0m ≤”是“对任意()12,0,x x ∈+∞，12x x <，都有()()()()1212122f x f x f x f x x x '+−>−'”的充要条件．参考答案一、填空题1.设集合[]1,3A =，(2,4)B =，则A B =_____【答案】[)1,42.抛物线24y x =的准线方程为_______【答案】1x =−3.已知圆锥母线长为2，高为1，则其体积为______【答案】π4.二项式5(1)x +的展开式中，2x 项的系数是______【答案】3510C =5.已知i 是虚数单位，则243(12)ii +=−_______【答案】2224343431(12)(12)12i i i i i i+++====−−−6.函数14y x x =−+−的值域为_______ 【答案】[)3,+∞7.数据1,2,3,4,5的方差为21s ，数据3,6,9,12,15的方差为22s ，则2221s s =____【答案】22211892s s ==8.已知曲线313y x =上有一点82,3P ⎛⎫⎪⎝⎭，则过P 点的切线的斜率为_______ 【答案】4k =9.小张，小王两家计划假期来嘉定游玩，他们分别从“古猗园，秋霞圃，州桥老街”这三个景点中随机选择一个游玩，记事件A 表示“两家至少有一家选择古猗园”，事件B 表示“两家选择景点不同”，则概率(|)P B A =______【答案】122211113322()4(|)()5C P P AB P B A P A C C C C ===−10.已知22(),0,sin cos 2f x x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则函数()y f x =最小值为______【答案】11.在平面直角坐标系xOy 中，点P 在圆221x y +=上运动，定点,A B 满足12OA OB ⋅=且1OA OB ==，若k OA OP OB OP ≥⋅+⋅恒成立，则实数k 的取值范围为_____【答案】k ≥12.若规定集合{}0,1,2,E n =……,的子集{}123,,,m a a a a ……,为E 的第k 个子集，其中3122222m a a a a k =++++……，则E 的第211个子集是______【答案】{}0,1,4,6,7二、选择题13.双曲线221:142x y Γ−=和双曲线222:142y x Γ−=具有相同的（ ）.A 焦点.B 顶点.C 渐近线.D 离心率【答案】D14.已知11(,)OA x y =，22(,)OB x y =，且,OA OB 不共线，则OAB ∆的面积为().A 121212x x y y −.B 122112x y x y −.C 121212x x y y + .D 122112x y x y +【答案】B15.嘉定某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动。

2021学年长宁、嘉定区高三年级第二次质量调研数学试卷考生注意：1 .做题前,务必在做题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚,并贴好条形码.2 .解答试卷必须在做题纸规定的相应位置书写,超出做题纸规定位置或写在试卷、草稿纸 上的答案一律不予评分.3 .本试卷共有21道试题,总分值150分,测试时间120分钟.一.填空题(本大题共有 12题,？茜分54分,第1〜6题每题4分,第7〜12题每题5分) 考生应在做题纸的相应位置直接填写结果.1.集合 A {1,2 , m} , B {2,4},假设 A B {1,2,3,4},那么实数 mnx 1的展开式中的第3项为常数项,那么正整数 n x4 .平面直角坐标系 xOy 中动点P(x , y)到定点(1,0)的距离等于P 到定直线x 1 的距离,那么点P 的轨迹方程为5 .数列｛a n ｝是首项为1,公差为2的等差数列,S n 是其前n 项和,那么limS 2 n a nx 1 ,6 .设变量x 、y 满足条件 x y 4 0 ,那么目标函数z 3x y 的最大值为x 3y 4 0,7 .将圆心角为2一,面积为3的扇形围成一个圆锥的侧面, 那么此圆锥的体积为 -38 .三棱锥P ABC 及其三视图中的主视图和左视图如以下图所示,那么棱 PB 的长为9 .某商场举行购物抽奖促销活动,规定每位顾客从装有编号为球的抽奖箱中,每次取出一球记下编号后放回,连续取两次,假设取出的两个小球编号相 加之和等于6,那么中一等奖,等于 5中二等奖,等于4或3中三等奖.那么顾客抽奖中三 等奖的概率为-2.23 .复数z 满足z4 3i (i 为虚数单位),那么| z |0、1、2、3的四个相同小一2丁3 f 左视图10.函数f(x) lg(\,x2 1 ax)的定义域为R,那么实数a的取值范围是1 , 八一,,『11.在△ ABC中,M是BC的中点, A 120 , AB AC —,那么线段AM长的最2小值为-12.假设实数x、y满足4x 4y2x 12y1,那么S 2x 2y的取值范围是 - 二.选择题(本大题共有4题,？t 分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在做题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13. x 2〞是x 1〞的............................................. )•「•((A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件x 3t2 4,14.参数方程9(t为参数,且0 t 3)所表示的曲线是.................... ( ).y t2 2(A)直线(B)圆弧(C)线段(D)双曲线的一支15.点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动,M是CD的中点,那么当P沿A B C M运动时,点P经过的路程*与^ APM的面积y的函数y f(x)的图像的形状大致是以下图中的.......................................... )((A) (B) (C) (D)16.在计算机语言中, 有一种函数y INT(x)叫做取整函数(也叫高斯函数),它表示y等2 n于不超过x的最大整数,如INT(0.9) 0, INT(3.14) 3 .a n INT - 10 ,. *bi a1, b n a n 10a n 1 ( n N 且n 2),那么血化等于................................. ().(A) 2 (B) 5 (C) 7 (D) 8(反面还有试题)三、解做题(本大题共有5题,？t分76分) 解答以下各题必须在做题纸的相应位置写出必要的步骤.17 .(此题总分值14分,第1小题?茜分6分,第2小题总分值8分)2函数f(x) 2sin x sin 2x 一 .6(1)求函数f (x)的最小正周期和值域；1(2)设A, B , C为△ ABC的三个内角,假设cosB - , f A 2,求SinC的值.318.(此题总分值14分,第1小题?茜分6分,第2小题总分值8分)如图,在四^^锥P ABCD中,底面ABCD为直角梯形, BAD 90 , AD // BC ,2, AD 1, PA BC 4 , PA 平面ABCD .(此题总分值14分,第1小题?黄分6分,第2小题总分值8分)某创新团队拟开发一种新产品,根据市场调查估计能获得10万元到1000万元的收益.现准备制定一个奖励方案：奖金y (单位：万元)随收益x (单位：万元)的增加而增加,且奖金不超过9万元,同时奖金不超过收益的20% .(1)假设建立函数y f(x)模型制定奖励方案,试用数学语言表述该团队对奖励函数f(x)模型的根本要求,并分析函数明原因；(2)假设该团队采用模型函数x ................................................................y ——2是否符合团队要求的奖励函数模型,并说150f(x)10x 3a ,, 公,…+一作为奖励函数模型,试确定最小的正整AB 19.数a的值.20.(此题总分值16分,第1小题?黄分4分,第2小题总分值6分,第3小题总分值6分)2 2椭圆：二七1 (a b 0)的焦距为2J3,点P(0,2)关于直线y x a b 的对称点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)如图,过点P的直线l与椭圆交于两个不同的点C、D (点C在点D的上方), 试求△ COD面积的最大值；(3)假设直线m经过点M (1,0),且与椭圆交于两个不同的点A、B ,是否存在直线lo : X X0d A (其中X O 2),使得A、B到直线I O的距离d A、d B满足一A立？假设存在求出X0的值；假设不存在,请说明理由.| MA |卜一卡---- ^恒成21 .(此题总分值18分,第1小题?黄分4分,第2小题总分值6分,第3小题总分值8分)数列｛a n｝的各项均为正数,其前n项和为S n ,且满足4S n (a n 1)2.数列｛b n｝满2足bi 2, b2 4,且等式b n b n 1b n 1对任意n 2成立.(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)将数列｛an｝与｛bn｝的项相间排列构成新数列a1,b1, a2, d ,…,an, bn,…, 设该新数列为｛C n｝,求数列｛C n｝的通项公式和前2n项的和T2n., , ...................... ............................... . . . . . . 一•一 * .(3)对于(2)中的数列｛C n｝的前n项和T n ,假设T n C n对任意n N都成立,求实数的取值范围.2021学年长宁、嘉定高三年级第二次质量调研数学试卷参考答案与评分标准12题,工茜分54分,第1〜6题每题4分,第7〜12题每题5分〕三、解做题〔本大题共有 5题,,t 分76分〕sin 2x — 1 ,.................................. 〔每对一现O 〕 〔4 分〕6所以,f 〔x 〕的最小正周期T ,值域为[0,2].............................. 6•分0(2)由 f (A) 2 ,得 sin 2A -1 ,6… 11 ……2A,故 2A 6 61 一 . - 2.2 一,所以 sin B ,3 318 .〔此题总分值14分,第1小题?黄分6分,第2小题总分值8分〕〔1〕法一：以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系, ............................. 1・•分)・( 那么 B(2 2 0), D(0,1,0工 C(2,4,0), P(0,0,4) , ......................... 2 分) 所以,BD (2,1,0), PC (2,4, 4),....................................... 3 分•)(由于 BD PC 4 4 0,所以,BD PC . .................................................................. 5•分〕〔 所以,异面直线 BD 与PC 所成角的大小为90 . ............................................ 6•分X〔1〕法二：连结 AC ,由于 BAD 90 ,所以tan ABD 胆 -, ...................... 1分〕AB 2由 AD // BC ,得 ABC 90 ,所以 tan ACB 幽 1 , ................ 2 份〕BC 2.填空题〔本大题共有 1 .7. 3 2,2 32. 43.58. 4.2 9 .—164, y 2 4x10. [ 1,1]6. 412. (2,4]选择题〔本大题共有4题,工黄分20分,每题5分〕每题有且只有一个正确选项.13. A 14. C 15 . B 16. D17.〔此题总分值14分,第1小题总分值 (1) f (x) 1 cos2x.3——sin 2x 26分,第2小题总分值8分)1 c .3 . c 1 c —cos2x ——sin 2x -cos2x2 2 2由于0 A ,所以一 6 由于在△ ABC 中,cosB ……〔5分〕6 •分〕所以,sin C sin,311 2、 22 3 2 3(A B) sin(A、3 2 2---------------------------- .6B) sin AcosB cosAsin B........................................... 8 ,分)(7 •分)所以 ABD ACB ,于 是 ACB DBC 90 ,即 BD AC,又PA 平面ABCD ,所以PA BD ,所以BD 平面PAC ,故BD所以,异面直线 BD 与PC 所成角的大小为(2)由(1) BD 平面PAC ,所以BD 设平面PCD 的一个法向量为n (x, y , z) 由于 PC (2,4, 4) , CD (2,3,0), .... 4分)PC .6分J (2,1,0)是平面PAC 的一个法向量. 那么由 PC (1分)CD °,得 0, 取 z 1,那么 x 6, y 4,故 n ( 6,4,1) 2x 4y 4z 0, 2x 3y 0, .. 5,分)( 设BD 与n 的夹角为 BD n 由图形知二面角 所以二面角A PC |BD| |n| PC D 为锐二面角,16.265 D 的余弦值为——— 265 16 16 265 .265 265 8•分)(19.(此题总分值 14分,第1小题?黄分6分,第 2小题总分值8分) (1)设函数模型为y f(x),根据团队对函数模型的根本要求,函数 f (x)满足: 当x ［10,1000］时,①f (x)在定义域［10,1000］上是增函数；② f (x) 9恒成立; ③f (x) 对于函数 x-、一恒成立. 5 y △2,当 x ,150 3 ♦分；每项得1分)[10,1000]时, f (x)是增函数; f(x)maxf (1000) 但 x 10 时,f(10) 1000150 115 310 5,因此,该函数模型不符合团队要求. ..、10x (2)对于函数模型 f (x) ----------- x 23a 2 9, f(x) 所以f (x) 9恒成立; x-4、 一不恒成乂. 5 6分(每项得1分)3a 20 10 ---------- ,x 2 20 , _ 当3a 20 0即a ——时递增. 3 当x ［10,1000］时,要使 f (x) 9恒成立,即f (1000) 9, 所以 3a 18 1000, ax ............. 要使f (x)—恒成立,即 5192 得出a ——. (5)982 3,10x 3a-,x 248x 15a 0 恒成立, 56 ,分) 综上所述,a9823所以满足条件的最小正整数 a 的值为328.20 .(此题总分值16分,第 1小题?黄分4分,第 2小题总分值6分,第3小题总分值6分)(1)点P(0,2)关于直线y x 的对称点为(2,0), 由于(2,0)在椭圆上,所以 2 ,又 2c 273 ,故 c 33 , 那么b 22 2 一 ..一 a c 1 .所以,椭圆 (2)由题意,直线l 的斜率存在,y kx 2, 2X 的方程为一 4 设l 的方程为 4分)由x 2 27 y2由4 (16k 2) 2 2 得(4k 2 1)x 2 _ 2 4 12(4k 2 1) 16kx 12 0, 得4k 2设 C(x c ,y c ), D(X D , Y D ), x c x D 1SA COD SA POD SA POC 二 2 |PO| 3.16k 4k 2 1 1 -|PO| 2x CxD......... 2I 分夕12 -2 彳,且 I X D | | X C | ,4k 1所以,S»A COD (X D X C )2 (x c X D )24X C X D216k 4k 2 148 4k 2 164k 2 48 (4k 2 1)2 16(4k 2 3) (4k 2 1)2 (2)令4k 那么t 0,所以, S»A COD16t _16t t 28t 1616 16 ° ' t 8t 由于t (当且仅当t 4时等号成立),此时SA COD 15(分) 所以,当且仅当 7时,△ COD 的面积取最大值46分)(3)当直线m 的斜率不存在时, d A |MA| 寺式 --- -------- 成乂； d B |MB | 当直线m 的斜率存在时,设直线 m 的方程为x 1 ,此时d Ad B , |MA| |MB |,1•分)•(m 的方程为y k(x 1),y k(x 1), 2 2得(4k 1)x 1, 一 228kx 4k 40,2分)设 A(X 1 , y 1), B(x 2 , y),那么 X 1 8k 2X 22- 4k 1 4k 2 4 X 1X 2由题意,X 1与X 2 一个小于1 ,另一个大于1 ,不妨设X 1 4k 1 那么 d A |MB| d B |MA| |X 0 X 1 | 1)2 yf |X O X221 ’ X2 ,I .. (x11)2—y 2IX O X I | ..(1 k 2)(X 2 1)2 |X 0 X 21 .. (1 k 2)(x 1)2 1 k 2 [|X O X I | |X 2 11|X O X 2 | | X I 1|]1 k[(x 0X 1)(1X 2) (XX 2)(xl 1)]Ji k 22x 0 (x 0 1)(x 1 x 2) 2x 1x 20, 所以,2x 0 (x0 1)(x 1 x 2) 2x 1x 2 0, 即2x ° 一 2 一 28(x 0 1)k 8( k 1) 4k 21~ 4k 2 1 0,解得x 0 4.4,分I …5分)综上,存在满足条件的直线 x 4,使得 S 1MAJ 恒成立. d B |MB | 6份)21 .(此题总分值18分,第 2⑴由 4S n (a n 1), 两式相减得,4a n 1 a 2 故(a n 1 a n )(a n 1 a n 由于a n 0 ,所以a n 12,口又由 4a l (a 1 1)得 a 1 1小题?黄分4分,第2小题总分值6分,第3小题总分值8分)1 2)a n4S n a 2 2 an 2(an 10, 2.所以, 所以, 所以, 22 a n 1 ,所以 4S n 1 a n 1 2a n 1 1 ,a n ),....................................1 •分X........................ 2 分)( ........................ 3 分)( 数列｛a n ｝是首项为1,公差为2的等差数列. 数列｛a n ｝的通项公式为a n 2n 1....................................... 由题意,数列｛b n ｝是首项为2,公比为2的等比数列,故b n 2n . 4 •分)(1分) 3.分)…( 数列｛a n ｝的前n 项和S nn 2, 2(1 2n ) 数列｛bn ｝的前n 项和Sn - --------- ) 2n 12 .…(5分) 1 2 所以,T 2n S n S n n 2 (3)当n 为偶数时,设n 2n 1 2.2k ( k 由T 2k 一 .2 C 2k ,仔 k k 2 2k 1 2 设 f (k) 2 k 22 2, 所以,当 由于f(1) 所以, k 3时, 3,当 2 3 2当n 为奇数时,设 k 2 2k 2 , 2k k 2 2k ............................ 6 ,分)•(N *),由(2)知,T 2k k 2 2k 1 2, c 2k 2k , k2 , .......................................... 1 •分)(2, 那么f(k 1) f(k)2_ 2(k 1)2 k2k 1(k 3)(k 1)-k 1, 2 f(k)单调递增, k 3 时,f (k) 当k 3时,f(k)单调递减.k 2 22 2,所以,[f(k)] (3)份)3 min f(1) - -4,分)~ ■ .-. * 一—— —n 2k 1 ( kN ),那么 丁2卜1T 2kc 2k. 2 k 由 T 2k 1 C 2k 1,得 k 2 2 (2k 1),即k 2k 2 2k 1 2 2k ,.. 5•分) ..... (2k 2 k 2 2k2 设g(k) ITT ■'那么 g(k 1)g(k)(k 1)2 2 2k k 1 2 1 k 2 6(分)2k 12k 22k 12k2 2k(2k 3) 3(2k 1)(2k 1)综上, 的取值范围是(0,故g(k)单调递增,[g(k)]min g(1) 1,故1「一(7 分) ,1] •。

2018年青浦区高考数学（理科）二模卷一、填空题1.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集，补集，并集.【参考答案】(2,1]-【试题分析】{}{}|||2,|22A x x x x x =∈=-R ＜＜＜，{}2|430,B x x x x =-+∈R ≥ {}13x x =≤或≥，所以(2,1]A B =- .故答案为(2,1]-.2.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或涨掌握初等数学中有关数与运算的基本知识.【知识内容】数与运算/复数初步/复数的四则运算.【参考答案】1【试题分析】因为1i 1z z -=+，所以21i (1i)1(1)i i 1i (1i)(1i)z z z ---=+⇒===-++-， 则22||0(1)1z =+-=.故答案为1.3.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/指数函数的性质与图像、反函数.【参考答案】（3,1）【试题分析】因为函数1()2x f x a -=+经过定点（1,3），根据互为反函数的两个函数之间的关系知，函数()f x 的反函数经过定点（3,1），故答案为（3,1）.4.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/数列的极限.【参考答案】32【试题分析】2222223(1)3(1)P C 3(1)32lim 42(1)(1)2(1)22n n n n n n n n n n n n n n n→++++++====+++++∞，故答案为32. 5.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/简单几何体的研究/锥体.【参考答案】23π 【试题分析】设直线220x y +-=与条坐标轴的交点分别为A ,B ,则A (1,0)，B （0,2），于是AOB △绕y 轴旋转一周，该几何体为底面半径为1，高为2的圆锥， 所以2211212333V R h π=π=⨯π⨯⨯=，故答案为23π. 6.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/二倍角及半角的正弦、余弦、正切.【参考答案】3【试题分析】由sin 2sin 0θθ+=得，2sin cos sin θθθ=-，所以1cos 2θ=-，因为(,2θπ∈π)，所以3sin 2θ=，tan 3θ=-，又22tan tan231tan θθθ==-，故答案为3. 7.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【参考答案】(,2][0,2]-∞-【试题分析】当0x >时，因为()240x f x =-≤，所以02x <≤，又因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以(0)0,f =()y f x =在(,0)-∞上单调递增，并且(2)(2)0f f -=-=，所以()02f x x ⇒≤≤-，综上，不等式()0f x ≤的解集为(,2][0,2]-∞- ，故答案为(,2][0,2]-∞- .8.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】图形与几何/曲线与方程/抛物线的标准方程和几何性质.【参考答案】24y x = 【试题分析】设抛物线的焦点坐标为(,0)2p ，线段OA 的中点坐标为11(,)22，因为1OA k =,所以经过抛物线焦点的线段OA 的垂直平分线的斜率0122112p k -==-，所以2p =，则抛物线的标准方程为24y x =，故答案为24y x =.9.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/参数方程和极坐标/参数方程.【参考答案】(0,1) 【试题分析】因为2(sin cos )2sin cos 1θθθθ+-=，所以将51,52515x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩①代入 sin cos ,sin cos x y θθθθ=⋅⎧⎨=+⎩代入得2255(1)2(1)155t t -+--=，解得5t =或52-,将5t =、52-代入①求得0,1x y =⎧⎨=⎩或3,22x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，因为πsin cos 2(sin )24y θθθ=+=+-≥，所以只有0,1x y =⎧⎨=⎩符合题意，故答案为(0,1). 10.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.【知识内容】数据整理与概率统计/排列、组合、二项式定理/二项式定理.【参考答案】5 【试题分析】1(2)nx x +的展开式中第m 项为的系数11C 2m n m m n b -+-=，因为342b b =，所以2233C 22C 2n n n n --=，即23C C n n =，得5n =，故答案为5. 11. 【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/简单集合体的研究/椎体；数据整理与概率统计/概率与统计/随机变量的分布及数字特征. 【参考答案】6235+ 【试题分析】如图，在棱长均为2的正四棱锥P ABCD -中，因为2AD PD ==,所以22BD =,2DO =,所以222PO PD DO =-=,23234PAD S =⨯=△, 122222PDB S =⨯⨯=△,12222ABD S =⨯⨯=△,从正四棱锥的5个顶点中任取3个点，可以构成的三角形的个数为35C 10=，其中顶点在侧面的三角形的有4个，在对角面的有2个，在底面的有4个，故342224623105E ξ⨯+⨯+⨯+==. 第11题图 cna112.【测量目标】运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.【知识内容】方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.【参考答案】226n n + 【试题分析】因为212++3n a a a n n ++=…①，所以14a =，当2n ≥时，2121+(1)+3(1)n a a a n n -++=--…②，①-②得，22n a n =+，所以2(22)n a n =+,116a =也适合此式，所以2(22)n a n =+，2(22)4(1)11n a n n n n +==+++，所以数列{}1n a n +是首项为182a =，公差为4的等差数列，所以12+231n a a a n ++=+… (844)2n n ++226n n =+，故答案为226n n +. 13.【测量目标】逻辑思维能力/具有对数学问题或资料进行观察、分析、综合、比较、抽象、概括、判断和论证的能力.【知识内容】数据整理与概率统计/概率与统计初步/随机变量的分布及数字特征.【参考答案】{48,51,54,57,60}【试题分析】因为20道选择题每题3分，甲最终的得分为54分，所以甲答错了2道题，又因为甲和乙有两道题的选项不同，则他们最少有16道题的答案相同，设剩下的4道题正确答案为AAAA,甲的答案为BBAA,因为甲和乙有两道题的选项不同，所以乙可能的答案为BBCC,BCBA,CCAA,CAAA,AAAA 等，所以乙的所有可能的得分值组成的集合为{48,51,54,57,60}，故答案为{48,51,54,57,60}.14.【测量目标】数学基本知识和基本技能/能按照一定的规则和步骤进行计算、画图和推理.【知识内容】图形与几何/平面直线的方程/直线的一般式方程；方程与代数/不等式/基本不等式. 【参考答案】642+ 【试题分析】如图，设000(,)a M x x x -0(12)x ≤≤由题意得(1,1)A a -，(22)2a B -，，(1,1)2a AB =+ ，所以直线AB 的方程为1(1)112x y a a ---=+，化为一般式方程为3(1)22a y x a =+-，所以003(,(1))22a N x x a +-, 所以003||||22a a MN a x x =-- 003|2|22a a a x x -⋅≤3=(2)2a -，当且仅当002a a x x =，即02[1,2]x =∈时取等号，因为||1MN ≤恒成立，所以3(2)12a -≤，642a +≤,所以a 的最大值为642+，故答案为642+.第14题图 cna2 二、选择题15.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/三角比/同角三角比.【正确选项】B【试题分析】由于22sin cos 1αα+=，且sin 0α=，得到cos 1α=±，故充分性不成立；当cos 1α=时，sin 0α=，故必要性成立.故答案为B.16.【测量目标】空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.【知识内容】图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系.【正确选项】D【试题分析】直线1l 与2l 可能是与平面α平行的平面中的相交直线，故A 选项不正确；直线l 上的点可能是位于平面α两侧的点，故B 选项不正确；直线l 与平面α所形成的角大小可以取到0和π2，故C 选项不正确；垂直同一平面的两直线平行，故D 选项正确.故答案为D.17.【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关平面与几何的基本知识.【知识内容】平面与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算.【正确选项】C【试题分析】由于a b ⊥ 且||||1a b == ，那么||2a b += ，所以2()()||||||cos 0c a c b c c a b a b α--=-++⋅= ，即||2c o s c α= ，由于1cos 1α-≤≤，所以||c 的最大值为2.故答案为C.18.【测量目标】分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学基本思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】函数与分析/指数函数与对数函数/对数函数的性质和图像；函数与分析/三角函数/正弦函数与余弦函数的图像.【正确选项】B【试题分析】因为存在实数1234,,,x x x x 满足1234()()()()f x f x f x f x a ====，所以函数()f x 与直线y a =的图像有4个交点，如图，因此123403315x x x x <<<<，≤≤，因为3()|log |,03f x x x =<<，所以3132313212|log ||log |,log log ,1x x x x x x =-==，又因为π()sin(),3156f x x x =≤≤的图像关于直线9x =对称，所以3418x x +=，所以1234331(18)x x x x x x =⋅⋅-，因为339x <<，所以12344581x x x x <<,故答案为B.第18题图 cna3 三、解答题19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题5分，第2小题7分.【测量目标】（1）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.（2）空间想象能力/能正确地分析图形中的基本元素和相互关系.【知识内容】（1）图形与几何/空间图形/空间直线与平面的位置关系.（2）图形与几何/空间向量及其应用/距离和角.【参考答案】（1）因为底面△ABC 是等腰直角三角形，且BC AC =，所以，BC AC ⊥，………………………………………2分因为⊥1CC 平面111A B C ，所以BC CC ⊥1， ………………………………………4分 所以，⊥BC 平面11A ACC ． ……………………………………………………5分（2）以C 为原点，直线CA ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则)0,0,0(C ，)0,0,2(A ，)0,2,0(B ，)2,0,0(1C ，)2,2,0(1B ，)1,0,2(D ， 由（1），(0,2,0)CB = 是平面11A ACC 的一个法向量， ………………………7分 )2,2,0(1=CB ，)1,0,2(=CD ，设平面CD B 1的一个法向量为),,(z y x n = ，则有 10,0,n CB n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即⎩⎨⎧=+=+,02,022z x z y 令1=x ，则2-=z ，2=y ， 所以)2,2,1(-=n ， …………………………………………10分 设CB 与n 的夹角为θ，则42cos 233||||CB n CB n θ⋅===⨯⋅ ， …………………11分 由图形知二面角11C CD B --的大小是锐角，所以，二面角11C CD B --的大小为32arccos ． ……………………………12分 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.【测量目标】（1）运算能力/能根据法则准确地进行运算、变形.（2）运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.【知识内容】（1）函数与分析/三角函数/函数sin()y A x ωϕ=+的图像与性质.（2）函数与分析/三角比/正弦定理和余弦定理；图形与几何/平面向量的坐标表示/平面向量的数量积.【参考答案】（1）π()3sin cos 12sin 16f x x x x ωωω⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， ……………3分 又πT =，所以，2=ω， ………………………………………………5分 所以，π()2sin 216f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． …………………………………………………6分 （2）π()2sin 2106f B B ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，故π1sin 262B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以，ππ22π66B k +=+或π5π22π66B k +=+（Z ∈k ）， 因为B 是三角形内角，所以π3B =．……9分 而3cos 2BA BC ac B ⋅=⋅= ，所以，3=ac ， …………………………11分 又4=+c a ，所以，1022=+c a ，所以，7cos 2222=-+=B ac c a b ， 所以，7=a ． …………………………………14分 21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.【测量目标】（1）逻辑思维能力/会进行演绎、归纳和类比推理，能合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点.（2）分析问题与解决问题的能力/能自主地学习一些新的数学知识（概念、定理、性质和方法等），并能初步应用.【知识内容】（1）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.（2）函数与分析/函数及其基本性质/函数的基本性质.【参考答案】（1）111)(+-=x x f ，则)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数，故 11()22f f x f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤，即11()3f x -≤≤， ……………………………2分 故|()|1f x ≤，所以)(x f 是有界函数． ……………………………………………4分 所以，上界M 满足1M ≥，所有上界M 的集合是),1[∞+． ……………………6分（2）因为函数)(x g 在]2,0[∈x 上是以3为上界的有界函数，故|()|3g x ≤在]2,0[∈x 上恒成立，即3()3g x -≤≤，所以，31243x xa -++⋅≤≤（]2,0[∈x ）， …………8分 所以41214242x x x x a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤≤（]2,0[∈x ）， 令x t 21=，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ，故2242t t a t t ---≤≤在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 上恒成立， 所以，22max min (4)(2)t t a t t ---≤≤（⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ）， ………………………11分 令t t t h --=24)(，则)(t h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是减函数，所以2141)(max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=g t h ；…12分 令t t t p -=22)(，则)(t p 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是增函数，所以8141)(min -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=h t p ．…13分 所以，实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--81,21． ……………………………………14分 22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.【测量目标】（1）运算能力/能通过运算，对问题进行推理和探求.（2）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】（1）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质.（2）图形与几何/平面直线的方程/直线的斜率与倾斜角.（3）图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质；方程与代数/不等式/基本不等式.【参考答案】（1）由221344x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得03624)43(22=+-+kx x k ， 所以2144(4)0k ∆=->，设),(11y x A ，),(22y x B ，则4324221+=+k k x x ，4336221+=k x x ， ………………2分 因为PA AB = ，所以122x x =，代入上式求得556=k . ………………………4分 （2）由图形可知，要证明BFO AFP ∠=∠，等价于证明直线AF 与直线BF 的倾斜角互补，即等价于0=+BF AF k k . …………………………………………6分21212122112211)(3211323311x x x x k x x k x kx x kx x y x y k k BF AF +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-=+++=+ 022433643243222=-=++⋅-=k k k k k k . …………………………………………9分 所以，BFO AFP ∠=∠. …………………………………………………10分（3）由0∆>，得042>-k ，所以212121211||||3()422ABF PBF PAF S S S PF x x x x x x ∆∆=-=⋅-=⋅⋅+-△ 4341822+-=k k ， ………………………………………………………………13分 令42-=k t ，则0>t ，1634322+=+t k 故222184181816343163ABF k t S k t t t -===+++△ 183342316=⋅≤（当且仅当t t 163=，即3162=t ，3212=k 取等号）. ……15分 所以，△ABF 面积的最大值是433. ……………………………………………16分 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.【测量目标】（1）逻辑思维能力/会正确而简明地表述推理过程，能合理地、符合逻辑地解释演绎推理的正确性.（2）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.（3）分析问题与解决问题的能力/能综合运用基本知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题.【知识内容】（1）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列.（2）方程与代数/数列与数学归纳法/等差数列、等比数列.（3）方程与代数/数列与数学归纳法/简单的递推数列.【参考答案】（1）由已知，12++=n n n a a b ①, 121++=n n n b b a ②， ………1分 由②可得，11++=n n n b b a ③， ……………………………2分将③代入①得，对任意*N ∈n ，2n ≥，有112+-+=n n n n n b b b b b ， 即112+-+=n n n b b b ，所以{}n b 是等差数列． …………………………4分 （2）设数列{}n b 的公差为d ，由101=a ，152=a ，得2251=b ，182=b ，……6分 所以2251=b ，232=b ，所以2212=-=b b d ， ……………………7分 所以，)4(2222)1(225)1(1+=⋅-+=-+=n n d n b b n ， ………………8分 所以，2)4(2+=n b n ，2)4(2)3(2212+⋅+==-n n b b a n n n ， ……………………9分 2)4)(3(++=n n a n ． …………………………………………………………10分 （3）解法一：由（2），⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=41312)4)(3(21n n n n a n ， ……………11分 所以，111111112245563444n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，……13分 故不等式n n n a b aS -<22化为34241414++-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n a ， 即)3()4)(2(+++<n n n n a 当*N ∈n 时恒成立， …………………………………………14分 令)3(2312131121342)3()4)(2()(+++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⋅+=+++=n n n n n n n n n n n n n n n f ， 则)(n f 随着n 的增大而减小，且1)(>n f 恒成立. ………………………………17分 故1a ≤，所以，实数a 的取值范围是]1,(-∞. ………………………………18分解法二：由（2），⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=41312)4)(3(21n n n n a n ， ……………………11分 所以，111111112245563444n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，……13分 故不等式n n n a b aS -<22化为34241414++-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n a ， 所以，原不等式对任意*N ∈n 恒成立等价于08)2(3)1(2<--+-n a n a 对任意*N ∈n 恒成立， ……………………………………14分设8)2(3)1()(2--+-=n a n a n f ，由题意，10a -≤，当1=a 时，083)(<--=n n f 恒成立； …………………………15分 当1<a 时，函数8)2(3)1()(2--+-=x a x a x f 图像的对称轴为01223<--⋅-=a a x ， )(x f 在),0(∞+上单调递减，即)(n f 在*N 上单调递减，故只需0)1(<f 即可，由0154)1(<-=a f ，得415<a ，所以当1a ≤时，n n b aS <4对*N ∈n 恒成立． 综上，实数a 的取值范围是]1,(-∞． …………………………18分。

2023年上海市嘉定区高考数学二模试卷1. 已知复数为虚数单位，则______.2. 双曲线的离心率为______ .3. 已知，，则______ .4. 函数的最小正周期是______.5. 是边长为1的等边三角形，点M为边AB的中点，则______ .6. 已知函数，定义域为，则该函数的最小值为______ .7. 已知，若，则______ .8. 已知数列的通项公式为前n项和为，则______ .9. 已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为若点A、B、C、D 在圆柱的一个底面圆周上，点P在圆柱的另一个底面内，则该圆柱的体积为______ .10. 已知某产品的一类部件由供应商A和B提供，占比分别为和，供应商A提供的部件的良品率为若该部件的总体良品率为，则供应商B提供的部件的良品率为______ . 11. 如图，线段AB的长为8，点C在线段AB上，点P为线段CB上任意一点，点A绕着点C顺时针旋转，点B绕着点P逆时针旋转.若它们恰重合于点D，则的面积的最大值为______ .12. 若关于x的函数在R上存在极小值为自然对数的底数，则实数a的取值范围为______ .13.设，则“”是“”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14. 函数是( )A. 奇函数B. 偶函数C. 奇函数也是偶函数D. 非奇非偶函数15. 已知一个棱长为1的正方体，与该正方体每个面都相切的球半径记为，与该正方体每条棱都相切的球半径为，过该正方体所有顶点的球半径为，则下列关系正确的是( )A.：：：2 B.C. D.16. 有一笔资金，如果存银行，那么收益预计为2万.该笔资金也可以做房产投资或商业投资，投资和市场密切相关，根据调研，发现市场的向上、平稳、下跌的概率分别为、、据此判断房产投资的收益和商业投资的收益的分布分别为，，则从数学的角度来看，该笔资金如何处理较好( )A. 存银行B. 房产投资C. 商业投资D. 房产投资和商业投资均可17. 如图，正四棱柱中，，点E、F分别是棱BC和的中点.判断直线AE与的关系，并说明理由；若直线与底面ABCD所成角为，求四棱柱的全面积.18. 已知向量，，求函数的最大值及相应x的值；在中，角A为锐角，且，，，求边AC的长.19. 李先生是一名上班族，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间单位：分钟，如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：求出这40个通勤记录的中位数M，并完成下列列联表：超过不超过MM上班时间下班时间根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由.附：，20. 若直线和抛物线的对称轴不平行且与抛物线只有一个公共点，则称该直线是抛物线在该点处的切线，该公共点为切点.已知抛物线：和：，其中与在第一象限内的交点为和在点P处的切线分别为和，定义和的夹角为曲线、的夹角.求点P的坐标；若、的夹角为，求a的值；若直线既是也是的切线，切点分别为Q、R，当为直角三角形时，求出相应的a的值.21. 已知，等差数列的前n项和为，记求证：函数的图像关于点中心对称；若、、是某三角形的三个内角，求的取值范围；若，求证：反之是否成立？并请说明理由.答案和解析1.【答案】5【解析】解：，故答案为：直接利用复数模的计算公式得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．2.【答案】【解析】解：由双曲线，得，，，双曲线的离心率为故答案为：由双曲线方程求得a与b，再由隐含条件求解c，则离心率可求．本题考查双曲线的简单性质，是基础题．3.【答案】【解析】解：由，可得，所以，又因为，所以故答案为：先求出集合A，再利用集合的交集运算求解即可．本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．4.【答案】【解析】解：函数的最小正周期是，故答案为：由条件根据函数的周期为，可得结论．本题主要考查函数的周期性，利用了函数的周期为，属于基础题．5.【答案】【解析】解：已知是边长为1的等边三角形，点M为边AB的中点，则，则故答案为：由平面向量的数量积的运算，结合平面向量投影的运算求解即可．本题考查了平面向量的数量积的运算，重点考查了平面向量投影的运算，属基础题．6.【答案】1【解析】解：，，当且仅当，即时，等号成立，即该函数的最小值为故答案为：利用基本不等式直接求解．本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．7.【答案】3【解析】解：，，，故答案为：利用组合数公式和排列数公式，列方程计算即可．本题考查组合数公式，属于基础题．8.【答案】【解析】解：数列的通项公式为前n项和为，故答案为：求解数列的前n项和，然后求解数列的极限即可．本题考查数列的求和以及数列的极限的运算法则的应用，是中档题．9.【答案】【解析】解：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得，正四棱锥的高为2，点A、B、C、D在圆柱的一个底面圆周上，即圆柱的底面圆半径等于1，圆柱的高即为正四棱锥的高，则该圆柱的体积为：故答案为：求出正四棱锥的底面对角线长和正四棱锥的高，可得圆柱的底面圆半径和圆柱的高，则圆柱体积可求．本题考查正四棱锥与圆柱内接的情况，考查圆柱的体积公式，属基础题．10.【答案】【解析】解：设供应商B提供的部件的良品率为x，由题意可知，，解得故答案为：根据已知条件，结合全概率公式，即可直接求解．本题主要考查全概率公式，属于基础题．11.【答案】【解析】解：由题意，设，的面积为，，，根据三角形的构成条件可得，解得；三角形的周长是一个定值8，故其面积可用海伦公式表示出来，即，当且仅当，即时，的最大值为故答案为：设，推出的面积为的表达式，再利用基本不等式，即可求的最大值．本题考查根据实际问题选择函数类型，本题中求函数解析式用到了海伦公式，12.【答案】【解析】解：因为，所以，令，则，所以当或时，当时，所以在，上单调递减，在上单调递增，又，，当即时与x轴有且只有一个交点，不妨设交点横坐标为，则当时，即，当时，即，即在上单调递增，在上单调递减，此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意；当，即时与x轴有且只有一个交点，不妨设交点横坐标为，则当时，即，当时，即，即在上单调递增，在上单调递减，此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意；当时，当时，即，当时，即，所以在上单调递增，在上单调递减，此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意；当时，当时即，当时即，所以在上单调递增，在上单调递减，此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意；当，即时的图象如下所示：即与x轴有3个交点，不妨依次设为、、，则当或时，即，当或时，即，所以在处取得极小值，符合题意，综上可得实数a的取值范围为故答案为：求出函数的导函数，令，利用导数说明函数的单调性，求出，，再分类讨论，分别求出函数的单调区间，即可得到函数的极值点，即可判断．本题考查了利用导数研究极值问题，属于中档题．13.【答案】B【解析】解：，即，故“”是“”的必要非充分条件．故选：根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．14.【答案】B【解析】解：由，可得，即函数的定义域为，关于原点对称，又因为，所以为偶函数．故选：求得函数的定义域为，关于原点对称，再验证与之间的关系，即可得答案．本题考查了对函数的奇偶性的判断，属于基础题．15.【答案】C【解析】解：与该正方体每个面都相切的球直径为棱长：，与该正方体每条棱都相切的球直径面对角线长：，过该正方体所有顶点的球的半径为体对角线：，，故A 错误；，故C 正确，BD 错误．故选：根据已知条件，依次求出，，，再结合选项，即可求解．本题主要考查棱柱的结构特征，属于基础题．16.【答案】D【解析】解：房产投资的收益平均值为：，商业投资的收益平均值为：，因为，所以房产投资和商业投资均可．故选：计算出房产投资和商业投资的收益平均值，根据平均值判断即可．本题考查了离散型随机变量的均值计算，属于中档题．17.【答案】解：连结EF 、、，点E 、F 是中点，且，正四棱柱中四边形是矩形，则且于是且，则四边形是梯形，则直线AE 与是相交直线．连结DE，因为，点E是中点，所以在中，，正四棱柱中面ABCD，则是直线与底面ABCD所成角，所以，于是，正四棱柱的4个侧面是矩形，上下两个底面是正方形，则全面积为【解析】说明四边形是梯形即可；是直线与底面ABCD所成角，由此可得棱长，从而确定四棱柱的全面积．本题考查线面垂直，考查线面所成的角，属于中档题．18.【答案】解：已知向量，，，则，令，，则，，所以函数的最大值为，此时，；因为，所以，即又角A为锐角，则，则，因为，所以，又，由正弦定理可得，即AC的长为【解析】由平面向量数量积的坐标运算，结合三角恒等变换及三角函数的性质求解即可；由正弦定理，结合三角函数求值问题求解即可．本题考查了三角恒等变换，重点考查了平面向量数量积的运算及正弦定理，属基础题．19.【答案】解：根据茎叶图可知，这40个通勤记录的中位数是，故，列联表：超过M不超过M上班时间812下班时间713根据题意，由，则，故上下班的通勤时间没有显著差异．【解析】根据茎叶图计数中位数即可；根据独立性检验公式，计算并判断即可．本题考查独立性检验的应用，属于基础题．20.【答案】解：若直线和抛物线的对称轴不平行且与抛物线只有一个公共点，则称该直线是抛物线在该点处的切线，该公共点为切点，已知抛物线：和：，其中与在第一象限内的交点为和在点P处的切线分别为和，定义和的夹角为曲线、的夹角，设点，联立方程，解得，即P点的坐标为；解：设和的斜率分别为和，因为P在第一象限内，对于考虑函数，求导，代入点P横坐标，得，对于，考虑函数，求导，代入点P横坐标，得，因为、的夹角为，所以和的夹角为，由夹角公式得：，化简为，即，得；若直线既是也是的切线，切点分别为Q、R，当为直角三角形时，因为显然不与坐标轴平行，所以其方程设为，因为和只有一个公共点，所以方程组有两个相同的解，所以的判别式，即，同理方程组有两个相同的解，所以的判别式，即，联立方程，解得，又点Q纵坐标为，点R横坐标为2k，所以、，设，则，，，若为直角，则，，，；若为直角，则，，，；若为直角，则，，无解，综上，或为所求，则相应的a的值为或【解析】设点，联立方程，即可求解；设和的斜率分别为和，由题意得到，，利用夹角公式即可求解；显然不与坐标轴平行，则其方程设为，直线和抛物线联立后，设，则，，，对直角进行讨论即可求解．本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题．21.【答案】证明：在函数的图像上任取一点，点P关于点的对称点为，，则，即点在函数图像上，故函数的图像关于点中心对称．解：若、、是某三角形的三个内角，则由三角形内角和性质可知，，又为等差数列，则，解得，，则，，，，不妨设，则，即故的取值范围为；证明：若，又，因为为等差数列且，所以当时，，于是，故，所以，得证，若，则，考虑存在等差数列，满足，则，则与关于对称，故下面证明，存在d可以使得且不妨设，又，则，，考虑函数，，其中，因为，，由零点存在定理可知，存在使得，所以存在，使得即，但是，故反之不成立．【解析】根据已知条件，设出点P的坐标，通过判断是否满足的解析式，即可求证；根据已知条件，结合等差数列的性质，求出，再结合三角函数的恒等变换，以及三角函数的有界性，即可求解；根据已知条件，先求出，再结合等差数列的性质，以及特例法，即可求证．本题主要考查数列的求和，考查转化能力，属于难题．。

嘉定区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1． 棱长为的正方体的8个顶点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）2O O A ．B ．C ．D ．π4π6π8π102． 命题“，使得”是“”成立的（）0x ∃>a x b +≤a b <A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3． 边长为2的正方形ABCD 的定点都在同一球面上，球心到平面ABCD 的距离为1，则此球的表面积为（）A ．3πB ．5πC ．12πD ．20π4． 已知集合M={﹣1，0，1}，N={x|x=2a ，a ∈M}，则集合M ∩N=（ ）A ．{0}B ．{0，﹣2}C ．{﹣2，0，2}D ．{0，2}5． 经过两点，的直线的倾斜角为（）A ．120°B ．150°C ．60°D ．30°6． 已知实数，，则点落在区域 内的概率为（ ）[1,1]x ∈-[0,2]y ∈(,)P x y 20210220x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-+⎩………A.B.C.D.34381418【命题意图】本题考查线性规划、几何概型等基础知识，意在考查数形结合思想及基本运算能力.7． 已知函数f （x ）是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x 3﹣2x 2，则x ＜0时，函数f （x ）的表达式为f （x ）=（ ）A ．x 3+2x 2B ．x 3﹣2x 2C ．﹣x 3+2x 2D ．﹣x 3﹣2x 28． 已知向量=（1，2），=（x ，﹣4），若∥，则x=（ ）A ． 4B ． ﹣4C ． 2D ． ﹣29． 袋中装有红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，则恰有两个球同色的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．10．若如图程序执行的结果是10，则输入的x 的值是（）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．0B ．10C ．﹣10D ．10或﹣1011．设1m >，在约束条件,,1.y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（）A．(1,1+ B．(1)+∞C. (1,3)D ．(3,)+∞12．已知i 是虚数单位，则复数等于（）A ．﹣ +iB ．﹣ +iC ．﹣iD ．﹣i二、填空题13．已知随机变量ξ﹣N （2，σ2），若P （ξ＞4）=0.4，则P （ξ＞0）= ．　14．已知过球面上 ,,A B C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且2AB BC CA ===，则球表面积是_________.15．阅读如图所示的程序框图，则输出结果的值为.Sn【命题意图】本题考查程序框图功能的识别，并且与数列的前项和相互联系，突出对逻辑判断及基本运算能力的综合考查，难度中等.16．椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（2，0），且点（2，3）在椭圆上，则椭圆的短轴长为 ．17．在（2x+）6的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）．18．设函数，若用表示不超过实数m的最大整数，则函数的值域为 ．三、解答题19．某滨海旅游公司今年年初用49万元购进一艘游艇，并立即投入使用，预计每年的收入为25万元，此外每年都要花费一定的维护费用，计划第一年维护费用4万元，从第二年起，每年的维修费用比上一年多2万元，设使用x年后游艇的盈利为y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）此游艇使用多少年，可使年平均盈利额最大？20．数列{a n}满足a1=，a n∈（﹣，），且tana n+1•cosa n=1（n∈N*）．（Ⅰ）证明数列{tan2a n}是等差数列，并求数列{tan2a n}的前n项和；（Ⅱ）求正整数m，使得11sina1•sina2•…•sina m=1．21．如图所示，一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2﹣6x﹣91=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．22．已知椭圆x2+4y2=4，直线l：y=x+m（1）若l与椭圆有一个公共点，求m的值；（2）若l与椭圆相交于P、Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值．23．（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，，ABC ∆,,A B C ,,a b c 1)cos 2cos a B b A c +-=（Ⅰ）求的值； tan tan AB（Ⅱ）若，，求的面积．a =4B π=ABC ∆24．在正方体中分别为的中点.1111D ABC A B C D -,,E G H 111,,BC C D AA （1）求证：平面；EG P 11BDD B （2）求异面直线与所成的角]1B H EG嘉定区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】考点：球与几何体2．【答案】C3．【答案】C【解析】解：∵正方形的边长为2，∴正方形的对角线长为=2，∵球心到平面ABCD的距离为1，∴球的半径R==，则此球的表面积为S=4πR2=12π．故选：C．【点评】此题考查了球的体积和表面积，求出球的半径是解本题的关键．4．【答案】A【解析】解：N={x|x=2a，a∈M}={﹣2，0，2}，则M∩N={0}，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合N是解决本题的关键．5．【答案】A【解析】解：设经过两点，的直线的倾斜角为θ，则tanθ==﹣，∵θ∈[0°，180°），∴θ=120°．故选：A．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．　6．【答案】B【解析】7．【答案】A【解析】解：设x＜0时，则﹣x＞0，因为当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2所以f（﹣x）=（﹣x）3﹣2（﹣x）2=﹣x3﹣2x2，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以当x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=x3+2x2，故选A．8．【答案】D【解析】：解：∵∥，∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2．故选：D．9．【答案】B【解析】解：从红、黄、蓝三种颜色的球各2个，无放回的从中任取3个球，共有C63=20种，其中恰有两个球同色C31C41=12种，故恰有两个球同色的概率为P==，故选：B．【点评】本题考查了排列组合和古典概率的问题，关键是求出基本事件和满足条件的基本事件的种数，属于基础题．10．【答案】D【解析】解：模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出y=的值，当x＜0，时﹣x=10，解得：x=﹣10当x≥0，时x=10，解得：x=10故选：D．11．【答案】A【解析】考点：线性规划.【方法点晴】本题是一道关于线性规划求最值的题目，采用线性规划的知识进行求解；关键是弄清楚的几何意义直线z x my =+截距为zm，作0my x :L =+,向可行域内平移,越向上,则的值越大,从而可得当直线直线z x my =+过点A 时取最大值，⎩⎨⎧==+00001mx y y x 可求得点A 的坐标可求的最大值,然后由z 2,>解不等式可求m 的范围.12．【答案】A【解析】解：复数===，故选：A ．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．二、填空题13．【答案】　0.6　．【解析】解：随机变量ξ服从正态分布N （2，σ2），∴曲线关于x=2对称，∴P （ξ＞0）=P （ξ＜4）=1﹣P （ξ＞4）=0.6，故答案为：0.6．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．　14．【答案】649π【解析】111]考点：球的体积和表面积.【方法点晴】本题主要考查了球的表面积和体积的问题，其中解答中涉及到截面圆圆心与球心的连线垂直于截面，球的性质、球的表面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记球的截面圆圆心的性质，求出球的半径是解答的关键.15．【答案】20172016【解析】根据程序框图可知，其功能是求数列的前1008项的和，即})12)(12(2{+-n n+⨯+⨯=532312S .=-++-+-=⨯+2017120151()5131(311(201720152 2017201616．【答案】 ．【解析】解：椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的右焦点为（2，0），且点（2，3）在椭圆上，可得c=2，2a==8，可得a=4，b 2=a 2﹣c 2=12，可得b=2，椭圆的短轴长为：4．故答案为：4．【点评】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆的定义的应用，考查计算能力．　17．【答案】　240　【解析】解：由（2x+）6，得=．由6﹣3r=0，得r=2．∴常数项等于．故答案为：240．18．【答案】　{0，1}　．【解析】解：=[﹣]+[+]=[﹣]+[+]，∵0＜＜1，∴﹣＜﹣＜，＜+＜，①当0＜＜时，0＜﹣＜，＜+＜1，故y=0；②当=时，﹣=0，+=1，故y=1；③＜＜1时，﹣＜﹣＜0，1＜+＜，故y=﹣1+1=0；故函数的值域为{0，1}．故答案为：{0，1}．【点评】本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想应用．　三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）（x∈N*） (6)（2）盈利额为…当且仅当即x=7时，上式取到等号 (11)答：使用游艇平均7年的盈利额最大． (12)【点评】本题考查函数模型的构建，考查利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．20．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：∵对任意正整数n，a n∈（﹣，），且tana n+1•cosa n=1（n∈N*）．故tan2a n+1==1+tan2a n，∴数列{tan2a n}是等差数列，首项tan2a1=，以1为公差．∴=．∴数列{tan2a n}的前n项和=+=．（Ⅱ）解：∵cosa n＞0，∴tana n+1＞0，．∴tana n=，，∴sina1•sina2•…•sina m=（tana1cosa1）•（tana2•cosa2）•…•（tana m•cosa m）=（tana2•cosa1）•（tana3cosa2）•…•（tana m•cosa m﹣1）•（tana1•cosa m）=（tana1•cosa m）==，由，得m=40．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．【答案】【解析】解：（方法一）设动圆圆心为M（x，y），半径为R，设已知圆的圆心分别为O1、O2，将圆的方程分别配方得：（x+3）2+y2=4，（x﹣3）2+y2=100，当动圆与圆O1相外切时，有|O1M|=R+2…①当动圆与圆O2相内切时，有|O2M|=10﹣R…②将①②两式相加，得|O1M|+|O2M|=12＞|O1O2|，∴动圆圆心M（x，y）到点O1（﹣3，0）和O2（3，0）的距离和是常数12，所以点M 的轨迹是焦点为点O 1（﹣3，0）、O 2（3，0），长轴长等于12的椭圆．∴2c=6，2a=12，∴c=3，a=6∴b 2=36﹣9=27∴圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆．（方法二）：由方法一可得方程，移项再两边分别平方得：2两边再平方得：3x 2+4y 2﹣108=0，整理得所以圆心轨迹方程为，轨迹为椭圆．【点评】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，确定轨迹是椭圆是关键．　22．【答案】【解析】解：（1）把直线y=x+m 代入椭圆方程得：x 2+4（x+m ）2=4，即：5x 2+8mx+4m 2﹣4=0，△=（8m ）2﹣4×5×（4m 2﹣4）=﹣16m 2+80=0解得：m=．（2）设该直线与椭圆相交于两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1，x 2是方程5x 2+8mx+4m 2﹣4=0的两根，由韦达定理可得：x1+x 2=﹣，x 1•x 2=，∴|AB|====2；∴m=±．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系与弦长问题，难点在于弦长公式的灵活应用，属于中档题．　23．【答案】【解析】（本小题满分12分）解： （Ⅰ）由及正弦定理得1)cos 2cos a B b A c -=， （3分）1)sin cos 2sin cos sin sin cos +cos sin A B B A C A B A B +-==，∴（6分）cos 3sin cos A B B A=tan tan AB=（Ⅱ），，， （8分）tan A B ==3A π=sin 2sin a B b A ===（10分）sin sin()C A B =+=∴的面积为（12分）ABC ∆111sin 2(3222ab C ==24．【答案】（1）证明见解析；（2）．90o 【解析】（2）延长于，使,连结为所求角.DB M 12BM BD =11,,B M HM HB M ∠设正方体边长为,则,111cos 0B M B H AM HM HB M ====∴∠=与所成的角为.1B H ∴EG 90o 考点：直线与平行的判定；异面直线所成的角的计算.【方法点晴】本题主要考查了直线与平面平行的判定与证明、空间中异面直线所成的角的计算，其中解答中涉及到平行四边形的性质、正方体的结构特征、解三角形的相关知识的应用，着重考查了学生的空间想象能力以及学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中根据异面直线所成的角找到角为异面直线所成的1HB M ∠角是解答的一个难点，属于中档试题.。