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大学物理竞赛第三讲

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大学生物理竞赛试题及解答_1991_

大学生物理竞赛试题及解答_1991_
v= d k 2m
球的速度, 此力不作功, 小球机械能守恒 . 顺便再说一下其他选项为什么不可选 . 此题小球运动情况是很复杂的 . 但因未限制 初速方向, 小球会上下运动, 重力要作功 . 前 面已说明细线拉力不作功, 于是小球动能会 变化, (A ) 项不可选 ( 即使初速沿水平方向, 也不能保证小球维持在同一水平面内运动). 另外, 重力对 O 点的力矩矢量是水平的, 拉 力与过 O 点的竖直线不相交, 拉力对 O 的力 矩矢量既不是竖直的也不是水平的 . 且其水 平分量一般不能抵消重力矩, 所以合力矩既 有铅直分量又有水平分量, 这就排除了 (C ) 和 (D ).
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工科物理 物理竞赛汇编 其电动势 E 0 约 115V , 误差 ∃ E 0 = 010001V ; ②待测电池一只, 其电动势为 E x , 且知 0 < E x - E 0 < 45mV ; ③作为工作电源用的稳压 电源 E 1 ( 约115V ) 一台; ④电阻箱 R 1 ( 100k 8 , 最小调节量 0118 ) 一只, 注意该电阻箱未经 校准, 仅能作为一只可变电阻使用; ⑤阻值已 知的电阻一只, 其阻值 R 0 约 38 , 误差 ∃R 0 = 01001 8 ; ⑥量程为 15mA 的电流表一只 ( 015 级) ; ⑦单刀开关一只; ⑧带有按钮 K 的检流 计 G- 只, 其灵敏度足够高; ⑨变阻器 R 2 ( 0 ～ 10k 8 ) 一只; β κ 导线若干. 要求:
W. 已 知 太 阳 的 质 量 为 210 ×
1030 kg, 并假设它以目前的功率向外辐射能

大学物理竞赛辅导-力学部分ppt课件

大学物理竞赛辅导-力学部分ppt课件

可获得的最大加速度为
，可获得的最大速度值为
。
解： ①质心 的最大加速度
N kx (m1 m2 )ac
k ac m1 m2 x
xl
kl acmax m1 m2
k m1
F m2
f m1
N
F
f
m2
18
②质心 的最大速度
m2过平衡位置时的速度
1 2
kl 2

1 2
m
v2 2 max
10
1、可变质量系统
例3、一雨滴的初始质量为 m0 ，在重力的影响下，
由静止开始降落。假定此雨滴从云中得到质量，
其质量的增长率正比于它的瞬时质量和瞬时速度
的乘积：
dm kmv
式中为常量。试证明dt 雨滴的速率实际上最后成为
常量，并给出终极速率的表达式。忽略空气的阻
力。
11
解：由变质量的运动方程：
a (2R )2 (R 2t 2 )2 R 4 2t 4
B
vc
A 30
例、质量为m，半径为R 的均匀球体，从一倾角为的斜面上滚 下。设球体与斜面间的摩擦系数为m，求使该球体在斜面上只
滚不滑时, 角的取值范围。
解：球体对中心轴的转动惯量为Jc = (2/5)mR2
k m1
v2max
kl m2
=0
v c max

(
m1v1 m1

m2v m2
2
)max
km2 l m1 m2
F m2
19
例：（11th,12）质量为 M 的刚性均匀正方形框架，在某边的中点
开一个小缺口，缺口对质量分布的影响可以忽略。将框架放在以

物理竞赛第三讲

物理竞赛第三讲

物理竞赛（三）1.左低右高的物体C平放在水平桌面上，用手推住C将弹簧压紧，木块A、B静止在小车上如图所示．松开后，木块A的运动情况是______________________；木块B的运动情况是______________________．2.竖直向上抛出的物体能在空中向上运动一段时间才落下来，这是因为（）A．物体有惯性，同时受到重力作用B．物体的惯性大于它所受到的阻力C．物体向上的惯性力大于向下的阻力D．物体受到一个向上的作用力3.小刚同学放学回家的路上，脚被石块绊了一下，身子向前跌倒（图甲；过了一会不小心脚踩到一块西瓜皮，身子向后摔倒（图乙），对这两种情景，下列解释合理的是（）A．二者脚的运动状态改变，而上身由于惯性仍保持原来运动状态B．二者上身的运动状态改变，而脚由于惯性仍保持原来的运动状态C．前者上身的运动状态改变，而脚由于惯性仍保持原来运动状态D．后者脚的运动状态改变，而上身由于惯性仍保持原来运动状态4.甲乙两车发生相撞事故，两车司机前额均受伤，则说法错误的是：（）A.运动的甲乙两车迎面相撞B.甲乙两车追尾相撞C.运动的乙车与静止的甲车迎面相撞D.运动的甲车与静止的乙车迎面相撞5. 一架水平匀速直线飞行的飞机以相同的时间间隔分别落下A、B、C三个大小一样的小球，那么反映A、B、C三小球在空中的位置关系正确的图是（）6.如图所示，与传送带等高的光滑水平台上有一小物块以某一初速度滑上传送带。

若传送带静止时，物块离开传送带后落在地上P点，若传送带顺时针匀速转动时，则物块将落在（）A．P点B．P点或P点的左侧C．P点的右侧D．P点或P点的右侧7.运输液体货物的槽车，液体上有气泡，如图所示，当车开动时，气泡向________运动，刹车时气泡将向________运动，其原因是__________具有惯性.8.在光滑水平面上的物体同时受到大小相等，方向相反的两个力的作用，则该物体的运动状态是（）、A恰好静止B可能向任意方向做匀速直线运动C只能以一定的速度做匀速直线运动D只能沿两个力的方向做匀速直线运动9. 就图中的物体乙的受力情况，正确的说法是（）A．乙只受重力和桌面支持力的作用B．乙只受甲的重力和桌面支持力的作用C．乙受到甲的压力、重力和桌面的支持力的作用D．乙受甲、乙两个物体的重力和桌面支持力的作用10.重10N的球在空气中运动时受到空气的阻力为2N，将球竖直向上抛出，上升过程中受到的合力方向是_________.球竖直下落过程中受到的合力大小是_________.11．(多选)装有水的木桶放在水平地面上，一个人用力（不等于0的力）竖直向上拉水桶，但水桶静止不动．以下分析正确的是A. 人对桶向上的拉力一定小于地面对桶的支持力B. 人对桶向上的拉力可能小于水桶的重力C. 地面对桶的支持力一定小于水桶的重力,D. 水桶受到的力互相平衡12.如图所示，质量为M的圆环用轻绳吊在天花板上，环上有两个质量均为m的小环自大环顶部开始分别向两边滑下，当两个小环下落至与大环圆心等高时，小环所受摩擦力为f，则此时绳对大环的拉力为（）A．（M+m）g B．（M+2m）g C．Mg+f D．Mg+2f13. 如图所示，一个物体放在粗糙的水平面上，在水平推力F1、F2的作用下处于静止状态，已知F=3N，F2=8N，当撒去推力F2后，物体受到的合力为（）A．3N，方向水平向右 B.8N，方向水平向右C．2N，方向水平向左D．零14.如图，当F=12N时，物体在光滑的斜面处于静止状态①如果同一物体，在同一倾角的斜面上静止，则f= ______N . 方向是________.②如果同一物体，在同一倾角的斜面上匀速下滑，则f= ______ N .方向是_______.③如果同一物体，在同一倾角的斜面上匀速上滑，则沿斜面向上的拉力需要______N15. 如图所示，重叠在一起的A、B、C三个重物，当B物体受到10N的水平拉力作用后，三个物体一起在水平面上向右的匀速直线运动，关于所受的摩擦力大小和方向不正确的是（）A．A对B无摩擦力B．C对B的摩擦力为10N，方向向左C．水平面对C的摩擦力为10N，方向向右D．C对水平面的摩擦力为10N，方向向右16. 如图所示，长木板B放在粗糙水平面上，物块A放在长木板B上，细绳拴在A上，跨过定滑轮后又拴在B上．已知A的质量为2kg，B的质量为1kg．A、B之间的摩擦力为A重的0.2倍，现在B上施加一个大小为F=17N的水平拉力，恰好能使B向右匀速运动．由此可知长木板B的上表面受到的摩擦力大小为________N，方向水平向________，下表面受到的摩擦力大小为_______N．17.一个同学在操场上做爬杆运动，如果他匀速向上爬行时受到的摩擦力为f1，匀速滑下时受到的摩擦力为f2，则下列说法正确的是（）A．f1=f2，方向相同B．f1=f2，方向相同C．f1=f2，方向相反D．f1=f2，方向相反18.如图两个重20N的相同物块A.B叠放在一起，受到10N的水平推力F1的作用，在水平地面做匀速直线运动，此时A受到的合力为_________N。

物理竞赛讲义三运动学

物理竞赛讲义三运动学

运动学竞赛讲座（一）1．如图所示，在绳的A 端以速率v 做匀速收绳从而拉物体M 做水平方向的直线运动，当绳AB 与水平方向恰好成α角时，物体的速度为___________。

（1c o s vα+）解析：当物体M 的位移很小时：vt Vt Vt =⋅+αcos2．如图所示，在倾角θ为的斜面Q 上有一点P ，在P 点的正上方有一点O ，从O 点到斜面有三个光滑的斜面OA 、OB 、OC ，其中OA 与斜面Q 垂直，而OB 与OC 和OA 的夹角均为α。

现将一小球由O 点静止释放，分别沿光滑斜面OA 、OB 、OC 滑至斜面上的A 、B 、C 点，所用时间分别为t 1、t 2、t 3，则下列关系式正确的是： [ B ] Ａ．321t t t >>； Ｂ．t 2＞t 1＞t 3；Ｃ．t 3＞t 2＞t 1； Ｄ．t 3＞t 1＞t 2；3．如图所示，在倾角θ为的斜面上方的定点O 沿光滑的斜面OC 从静止开始下滑，为使质点在最短的时间内从O 点滑到斜面，则斜面与竖直方向的夹角β等于多少？解法一：∵ cos mg ma β= ∴ cos a g β=∵ 212S at =∴t =在三角形OPC ∆中：由正弦定理，00sin(90)sin(90)OC OPθθβ=-+- ∴ cos cos()OC OP θθβ=⋅-t ==即：当cos(2)1θβ-=，2θβ=时，上式有最小值。

所以当2θβ=时，t 有最小值。

解法二：因为O 为定点，以过O 点的一竖直线上的一点O /为圆心，作过O 点的圆，则从O 点沿不同光滑斜面由静止下滑到圆周上不同点的时间均相同，当所做的圆与斜面相切时，设切点为Q ，则OQ 与竖直线的夹角即为所求。

如图所示，///,PO Q O OQ O QO θβ∠=∠=∠=∴ 2βθ=； 2θβ=。

4．甲、乙两船，甲在某岛B 正南A 处，且AB =10 Km ，甲船自A 处以4 Km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船以6 Km/h 的速度自岛B 出发向岛的北600西方向驶去。

大学物理竞赛题标准版(含答案)

大学物理竞赛题标准版(含答案)

2011年浙江省大学生物理竞赛理论竞赛卷考试形式：闭卷，允许带 无存储功能的计算器 入场 考试时间： 2011 年 12 月 10 日 上午8:30~11:30气体摩尔常量 K mol J 31.8⋅⋅=R 玻尔兹曼常量 K J 1038.1⋅⨯=k真空介电常数 ε0=8.85⨯10-12C 2/(N ⋅m 2) 真空中光速 c =3⨯108m/s 普朗克常数h =6.63⨯10-34J ⋅s基本电荷e =1.6⨯10-19C 真空介电常数ε 0=8.85⨯10-12C 2/(N ⋅m 2) 电子质量m e =9.1⨯ 10-31kg 真空磁导率μ0=4π⨯10-7H/m真空中光速c =3⨯108m/s里德伯常数-17m 10097.1⨯=R 电子伏特 1eV=1.6⨯ 10-19J 氢原子质量 m =1.67⨯ 10-27kg 维恩位移定律常数b =2.898×10-3m K斯忒恩-波尔兹曼常数σ=5.67×10-8W/m 2K 4 这三项是公式编的，字号偏大。

字号改小后：-11-K mol J 31.8⋅⋅=R ，-123K J 1038.1⋅⨯=-k ，-17m 10097.1⨯=R一、选择题：（单选题，每题3分，共30分）1．质量为m 的质点在外力作用下，其运动方程为 j t B i t A rωωsin cos +=，式中A 、B 、ω 都是正的常量．由此可知外力在t =0到t =π/(2ω)这段时间内所作的功为（ ）A ．)(21222B A m +ω B ．)(222B A m +ω C ．)(21222B A m -ω D ．)(21222A B m -ω2．一座塔高24m ，一质量为75kg 的人从塔底走到塔顶. 已知地球的质量为6⨯1024kg ，从日心参考系观察，地球移动的距离为？（ ）（不考虑地球的转动） A ．12m B ．24m C ．4.0⨯-24m D ．3.0⨯-22m 3．边长为l 的正方形薄板，其质量为m ．通过薄板中心并与板面垂直的轴的转动惯量为（ ） A ．231ml B ．261ml C ．2121ml D ．2241ml4．μ子的平均寿命为2.2⨯10-6s ．由于宇宙射线与大气的作用，在105m 的高空产生了相对地面速度为0.998c （c 为光速）的μ子，则这些μ子的（ ） A ．寿命将大于平均寿命十倍以上，能够到达地面 B ．寿命将大于平均寿命十倍以上，但仍不能到达地面 C ．寿命虽不大于平均寿命十倍以上，但能够到达地面 D ．寿命将不大于平均寿命十倍以上，不能到达地面5．乐器二胡上能振动部分的弦长为0.3m ，质量线密度为=ρ4⨯10-4kg/m ，调音时调节弦的张力F ，使弦所发出的声音为C 大调，其基频为262Hz. 已知波速ρFu =，则弦中的张力为（ ）A ．1.0NB ．4.2NC ．7.0ND ．9.9N6．一固定的超声波探测器在海水中发出频率为30000Hz 的超声波，被迎面驶来的潜艇反射回来，测得反射波频率与原来的波频率之差（拍频）为241Hz ．已知超声波在海水中的波速为1500m/s ，则潜艇的速率为( ) m/s A ．1 B ．2 C ．6 D ．107．如图所示，两个相同的平板电容器1和2并联，极板平面水平放置．充电后与电源断开，此时在电容器1中一带电微粒P 恰好静止悬浮着。

大学生物理竞赛试题及解答

大学生物理竞赛试题及解答

其中 ^i 代表 x 轴正方向上的单位矢量. 你能否举出理由说明此结果并不正确. 31 ( 6 分) 用牛顿环测定透镜曲率半径实 验中, 为什么有时圆环条纹的中心并非暗斑, 甚至出现亮班 ( 理论上应是暗斑) ? 用什么数 据处理方法能消除它对曲率半径测量的影 响? 四、 在下面两题中任选一题作答. ( 10 分)
(D ) 此问题中谈 a 点、 b 点的电势无意
义 .
71 ( 3 分) 如图示, S 、 S 1、 S 2 为狭缝, P 1、 为线偏振片 (P 及 P ′ 可以撤去) , 其 P 2、 P、 P′
率, ∃ v 为一固定的速率间隔, 则速率在 v ± ∃ v 范围内的分子的百分率随着温度的增加 将 , 速率在 v p 到 v 之间的分子 的百分率随着温度的增加将 . 31 ( 2 分) 从单一热源吸取热量并将其完 全用来对外作功, 是不违反热力学第二定律 的, 例如 过程就是这种情况 . 41 ( 5 分) 如图示, 截面积为 A 、 单位长度 上匝数为 n 的螺绕环上套一边长为 l 的方形 线 圈, 今 在 方 形 线 圈 中 通 以 交 流 电 流 I = I 0 sin Ξt, 螺绕环两端为开端, 则其间电动势的 大小为
中 P 1 和 P 2 的偏振化方向互相垂直, P 和 P ′ 的偏振化方向互相平行, 且与 P 1、 P 2 的偏振 化方向皆成 45° 角. 在下列四种情况下, 屏上 有无干涉条纹. ( 四种情况全部填对才能得 分).
① 撤 掉 P 、P ′ , 保 留 P 1、P 2 , 屏 上 干涉条纹; ② 撤掉 P ′ 保留 P 、 P 1、 P 2 , 屏上 干涉条纹; ③ 撤 掉 P , 保 留 P 1、P 2、P ′ , 屏上 干涉条纹; ④ P 1、P 2、P 、P ′ 同 时 存 在, 屏 上 干涉条纹; ( 81 2 分) 卢瑟福 Α粒子散射实验证实了 , 斯 特 恩—盖 拉 赫 实 验 证 实 了

大学生物理竞赛辅导


T1
T2
mg
m1g
m2g
a1 a2 R
J 1 mR 2 2
2019/11/12
2
a m1 m2 g m1 m2 m 2
T1

2m2 m1 m2
m 2
m2
m1g
m1 m2 g
m1 m2 m 2 R
T2

2m1 m1 m2
m 2
m2
ax ay

ax ay

a

a
az az
F

ma

ma

F
25
二、爱因斯坦的基本假设
①相对性原理：所有惯性系都是等价的，所 有物理规律在惯性系中都是一样的。
②光速不变原理：在所有惯性系中测量到的 真空中的光速都是一样的。
第一条假设推广了力学的相对性原理，否定了“绝对参照 系”的存在。
第二条假设与实验事实相符，与伽利略变换不相容，表明 要用新的变换代替。
2019/11/12
26
三、洛伦兹变换（坐标变换）
Y K系
Y K 系
x
x ut
1

u2 c2

y

y
z z
t

t

ux
c2

1

u2 c2

x



x ut
dL ;


dL L(t dt) L(t) Mdt
dt
判断进动方向的方法：
1、进动方向与M的方向一致。
2. M Ω L

大学物理竞赛辅导-力学

l. 水平轻绳跨过固定在质量为m 1的水平物块的一个小圆柱棒后，斜向下连接质量为m 2的小物块，设系统处处无摩擦，将系统从静止状态自由释放，假设两物块的运动方向恒如图所示，即绳与水平桌面的夹角α始终不变，试求α.21,,a a α1a .2a 1a 1m 2mα1a .2a 1a 1m 2m 解：画隔离体图，受力分析α1a 1m TT1a .2a 2m T例7. 光滑水平面上有一半径为R 的固定圆环,长为l 2的匀质细杆AB 开始时绕着C 点旋转,C 点靠在环上,且无初速度.假设而后细杆可无相对滑动地绕着圆环外侧运动,直至细杆的B 端与环接触后彼此分离,已知细杆与圆环间的摩擦系数μ处处相同,试求μ的取值范围.Rl lABC 解:设初始时细杆的旋转角速度为0ω,转过θ角后角速度为ω.由于摩擦力并不作功,故细杆和圆环构成的系统机械能守恒例8. 两个均质圆盘转动惯量分别为1J 和2J 开始时第一个圆盘以10ω的角速度旋转，第二个圆盘静止，然后使两盘水平轴接近，求：当接触点处无相对滑动时，两圆盘的角速度10ω1r 2r解：受力分析：1r 2r 10ω1N gm 1ffgm 22N 1o 2o 无竖直方向上的运动g m f N 11+=gm f N 22=+以O 1点为参考点，计算系统的外力矩：))((2122r r g m N M +-=0)(21≠+-=r r f例9: 质量为2m,半径为R 的均质圆盘形滑轮,挂质量分别为m 和2m 的物体,绳与滑轮之间的摩擦系数为μ,问μ为何值时绳与滑轮之间无相对滑动.解: 受力分析:mg1T mg22T m 2m2T 1Tββθ。

大学生物理竞赛力学PPT课件


上最低点 A 的加速度的大小为
, 最高点 B 的加速度
的大小为
解： 质心系中
an
v2 R
R 2
R 2t 2
at R
最低点A，地面系中
at at ac
at R
at 0
ac R
向左 向右
a t
B
vc
an R 2t 2
A
合加速度的大小
a R 2t 2
第2页/共37页
最高点B
an
v2 R
解： 以车厢为参照系，引入惯性力
A T m Aa0 mm Ag m Aa
A
a0
C
B
m2a2 B0
m2 B
g2
T
m B a
N
T
a2 0
g2 mg
m Am B
a0
m A m B
f
f* T
＝125.4（N）
mA g
第9页/共37页
a
B
T f*
a
mB g
行星绕恒星的椭圆运动
一、能量和角动量
P2
a
mv1(a c) mv 2(a c)
M
u(t)
V (t)
(m1 m2 )
第6页/共37页
设m1和m2与弹簧碰撞所用的时间为 Dt ’
在Dt ’ 内， m1和m2相对车厢的速度为 u’(t)
V (t)
u(t) V (t) u(t)
A
u(t )
V (t) M V (t) m1 m2 M V (t)
(m1 m2 )
m，开始时，滑轮和两物体均处于静止状态，而后若m ＝0则滑
轮不会转动；若m ≠ 0，但较小时，滑轮将会转动，同时与绳之 间有相对滑动；当 m 达到某临界值m0 时，滑轮与绳之间的相对 滑动刚好消失，试求m0 值。

大学物理竞赛辅导 力学部分


三、与碰撞1类似，2与1碰撞后，将完全交 换速度。因此2将静止，1将以速度 1 v0
继续运动。
5
例2，平直铁轨上停着一节质量为 M 20m 的车厢，车厢与铁轨之间摩擦可略。有若 干名学生列队前行，教员押后，每名学生 的质量统为 m。当学生与教员发现前面的 车厢时，都以相同的速度 v0 跑步，每名 学生在接近车厢时又以速度 2v0跑着上车坐下， 教员却因跑步速度没有改变而恰好未能上车。 据此可知，学生人数为多少？全过程中由教员、 学生和车厢构成的体统，其能量损失量为？
1 1 1 2 2 2 ( J J ) ( L ) Mv J 5 x L n L 0 v = 0 L 2 2 2 n 4 J Mx 2 ; x L x
所以，速度大小
v v 2 v 2 n v 5 tan vn 5
O


x
采用平行轴定理计算各自的转动惯量：
I d Ic md 2
大圆,小圆，剩余部分过O的转动惯 量I0，I1，I2；则
I1 I 2 I 0
1 2 I mR 0 2 2 1 I m R m1 R 1 1 2 2 2 13 I 2 mR 2 32
2 1 2 Ek 0 20 m 2v0 2Mv0 2 碰撞以后，体系总动能：
1 2 2 Ek 20m M v0 Mv0 2
因此，能量损失量为：
2 Ek Mv0
例3、 一质量均匀分布的柔软细绳铅 直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌 面上，如果把绳的上端放开，绳将落在 桌面上。试证明：在绳下落的过程中， 任意时刻作用于桌面的压力，等于已落 到桌面上的绳重量的三倍。
周聪华
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e= A −B ) A
v0 P S v1
GM 0 m = A − C ( A − C )2
mv 2 0
mv 2 0
ρ
G γM 0 m = ( A − C )2
2
A P2
B C P1
B ρ= A
A2 − B 2 = C 2
GM 0 m = A − C ( A − C )2 mv 2 0 GγM 0 m = ( A − C )2 ρ
C = e= A
1− γ e= γ
A2 − B 2 A
v1 A P2 B C P1
例（21届，10分）一个质量为m 的卫星绕着质量为 M ，半径为 R 的大星体作半径为 2R 的圆运动。远处飞来一个质量为 2m，速度 GM 为 v= 的小流星，它恰好沿着卫星的运动方向追上卫星并 和卫星发生激烈碰撞，结合成一个新的星体，作用时间非常短。 假定碰撞前后位置的变化可以忽略不计，新星的速度仍沿原来的 方向， （1）用计算表明新的星体的运动轨道类型，算出轨道的偏心率e （2）如果用小流星沿着卫星的速度的反方向发生碰撞，算出此 时新星体的轨道的偏心率。给出新星体能否与大星体碰撞的判断 。 解： (1) 碰撞前卫星的速度
偏心率
GM v= R
a − r近 e= = 0.63 a
在近地点
a r=2R
(2) 小流星与卫星反方向碰撞，动量守恒
GM v= R
2m
GM GM −m + 2m = ( 2m + m )v ′ R 2R
2R
m M R
2 2 − 1 GM v′ = 3 2R
新星体的能量
GM ( 3m ) 1 M ( 3m ) 2 =− <0 E = ( 3m )v ′ − G 2 × 1.2 R 2 2R
2 2 2
4GMc 由② v 1 − v = b2
(a − c ) 2 2 v2 = GM 2 ab
(a − c ) 2 2 v2 = GM 2 ab
b
v1 P2 a c P1
GM L = m (a + c )v2 = mb a
1 Mm GMm 2 E = mv 2 − G =− 2 a+c 2a
dF1x = dF1 cos α
环带上A: t
R
A l r l
α α
Y
dF1
•
dF1
R x o
dθ
dF1 y = dF1 sin α
θ
dF2 x = dF2 cos α
环带上B:
dF2
m
dF2
dF2 y = dF2 sin α
B
由对称性可知：环带对m的引力分量
M 环m dF = G cos α l2 M 环＝ρdV dV = 2πR sin θ ⋅ Rdθ ⋅ t = 2πtR sin θdθ
sin θdθ cos α 2 l 变量：l、α、θ
t
R
l
R
dθ
θ
α r α
l
•
m
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一个密度均匀的球壳对球壳外一质点的引力，等效于球壳的所 有质量都集中于它的中心时的引力。
r 2 − R2 F = ∫ dF = 2 ∫r − R ( l 2 + 1)dl r M 球m πGtρmR (4πR 2 ρt )m ＝ ⋅ 4R = G =G 2 2 2 r r r
2
∑ dF
iy
=0
sin θ dθ cos α 2 l
⇒ dF = G ⋅ 2π t ρ mR 2
l、 α、 θ
dF = G ⋅ 2πtρmR 2
r − R cos θ 其中： α = cos l l 2 = r 2 + R 2 − 2 Rr cos θ 2ldl = 2 Rr sin θdθ ⇒ πGtρmR r 2 − R 2 代入得：dF = ( )( + 1)dl 2 2 r l 则整个球壳对质点m的引力：
r+R
πGtρmR
开普勒三定律
开普勒第一定律 （几何定律） 所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳 处在所有椭圆的一个焦点上。 开普勒第二定律 （面积定律） 对于每一个行星而言，太阳和行星的联线在相等 的时间内扫过相等的面积。 开普勒第三定律 （周期定律）
a
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二 次方的比值都相等。 3
二、椭圆在 P1点的曲率半径为 三、椭圆轨道的偏心率为
a2 − c2 = b2
b2 ρ= a
a 2 − b2 a
c e= = a
例：行星原本绕着恒星S 做圆周运动。设S 在很短的时间内发 生爆炸，通过喷射流使其质量减少为原来的质量的 γ 倍，行星 随即进入椭圆轨道绕S 运行，试求该椭圆轨道的偏心率 e 。提 示（记椭圆的半长，半短轴分别为A、B ，则 2 2 解：变轨后 P 或为近地点，或为远地点 先考虑 P 为近地点，后考虑P 为远地点的情况 对圆轨道 P 点： 对椭圆轨道 P1 点：
P2 C
v1 P1
A−C 1 = A γ
因为 γ < 1 ，因此上式不成立 。 故 行星变轨后不可能处于P2点，只能处于P1 点。
解二：椭圆轨道的角动量
mv 1 ( A − C ) = mv 2 ( A + C )
① ②
1 Mm 1 Mm 2 2 mv 1 − G = mv 2 − G 2 A−C 2 A+C
当N个人全部跳车后，车的速度
mv r v车 = − ∑ n =1 M + nm
N
如图所示：两根长度均为l的刚性细杆，一端用质量为 m的球形铰链相连，两杆另一端分别安装质量为m和 2m的小球。开始时两杆并拢，铰链球朝上，竖直放置 在光滑桌面上，从静止释放，下面两球开始向两边滑 动，两杆始终保持在同一铅垂面内，设三球本身的大 小，轻杆的质量以及各种摩擦均可忽略。 试求：1铰链球碰桌面时的速度 2当两杆夹90度角时，质量为2m的小球速度 分析：系统水平动量守恒，当铰链 球碰地时，三球的水平速度为零（ 刚性要求）
椭圆轨道 对比
GMm E=− 2a
a = 1.2 R < 2 R
在远地点
r−a e= = 0.67 a
新星与 M 在近地点时的距离
GM v= R
2m
m M 2R R
r近＝2a − r = 0.4 R < R
可以和大新球两者可以发生碰撞
r=2R
a = 1.2 R < 2 R
a
2011年竞赛题
作用力和反作用力大小相等、方向相反、所以两者所 作功的代数和必为零。（ ）
v1 cos 45 = ( u1 + u2 ) cos 45 v 2 cos 45 = ( u2 − u1 ) cos 45
1 3 v2 = (1 − ) gl 10 2
行星绕着恒星运动问题
例：一总质量为M密度均匀的球壳，它的厚度t远比它的
解：球壳上取一环带
半径R小，求：它对球壳r外一个质量为m的质点的引力。
A 对
答案： B
B 不对
v
F
s
l
子弹和木块的位移不等 作用力和反作用力大小相等、方向相反、所以两者对 同一点力矩之和必为零。（ ） A 对 B 不对 答案： A
质量为m的小球系在不可伸长的细线的一端，细线 的另一端系于一根竖直的固定圆柱上端O（O点在柱 轴上）。给小球一定初速，使细线逐渐缠绕在柱上 ，如图，在缠绕过程中（ ）。
a =k 2 T
由于角动量 L 的方向不变，表明 r 和 v 所决定的平面方位 不变。行星的轨道是一个平面轨道，L 垂直于这个面。
角动量的大小为
L = mvr sin α = m
dr dt
r sin α
L
v
r
α
m
Δr
Δr r sin α = lim m Δt → 0 Δt
dS = 2m dt
开普勒第二定律:
2 v0 Mm G =m 2 (2 R) (2 R)
R
m M
GM v0 = 2R
2R
R
2m
小流星与卫星碰撞，动量守恒
m M 2R 2m R
GM GM m + 2m = ( 2m + m )V 2R R 4+ 2 V= 6
GM R 1 M (3m ) GM (3m ) 2 新星体的能量 E = (3m )V − G =− <0 2 2R 2 × 5.4 R GMm 对比 a = 5.4 R> 2 R 椭圆轨道 E=− 2a
A 小球的动能守恒 B 小球的机械能守恒 C 小球对O点的角动量的竖直分量守恒 D小球对O点的角动量的水平分量守恒
答案： B
O
m
物体系机械能守恒
1 mgl = mu 2 2 u = 2 gl
自由落体速度，说明两球对铰链球无作用力。 2 分析：设分别四个速度，如图 水平方向动量守恒 机械能守恒 约束关系：杆上下两端小球沿杆 长方向的速度分量相等
mv 1 + mu1 − 2mv 2 = 0 1 1 1 1 2 2 2 2 mv 1 + m ( u1 + u2 ) + 2mv 2 = mgl (1 − ) 2 2 2 2
1 dS = r dr sin α 2
行星绕太阳运动时，行星对太阳的矢径单位时间扫 过的面积保持不变。
引力应该是一个有心力，才有角动量守恒。 近似把行星的椭圆轨道用圆轨道代替，则向心加速度
v2 an = R mv 2 太阳的引力为 F = man = R 2π R 周期 T = 开普勒定律 v
m1 / R12 F1 / F2 = m2 / R2 2
mv 2 0
①
B2 ρ= A