九年级数学圆中的计算问题华东师大版知识精讲

九年级下册华师大版数学圆知识点数学是一门抽象而理性的学科，而圆则是数学中非常重要且常见的一个概念。

在九年级下册的华师大版数学教材中，圆的知识点是一个不可忽视的重点内容。

接下来，我们将对九年级下册华师大版数学中关于圆的知识点进行系统地介绍与讨论。

首先，让我们回顾一下圆的基本概念。

在数学中，圆是由平面中所有到定点距离相等的点组成的集合。

圆通常由圆心和半径来描述。

圆心是圆的中心点，而半径则是从圆心到圆上任意一点的距离。

了解这些基本概念可以帮助我们更好地理解和应用圆的知识。

一、圆的周长和面积是圆的基本属性，也是圆的重要应用。

圆的周长可以通过公式C=2πr计算得出，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径。

同样，圆的面积可以通过公式A=πr²计算得出，其中A表示圆的面积。

这些公式的应用可以帮助我们计算圆的周长和面积，解决实际问题，如园艺设计、建筑设计等。

二、在九年级下册华师大版数学中，圆与直线的关系也是一个重要的知识点。

首先，我们来讨论直径与弦之间的关系。

直径是通过圆心的一条直线，而弦是圆上任意两点之间的线段。

在任何一个圆中，直径始终等于两个相对的弦之和。

这个关系在解决实际问题中非常有用，特别是在解决圆形活动场地的划分、圆形轮胎等问题时。

三、九年级下册华师大版数学中，圆和角的关系也是重要的一个内容。

在圆的内部或外部，同一个圆心对应的两条弧所对应的角相等。

这个性质被称为圆心角的性质。

在解决圆环编织、风力发电机桨叶运动范围等问题时，这个性质可以帮助我们得出准确的结论。

四、欧拉公式是九年级下册华师大版数学中关于圆的一个高阶概念。

这个公式被认为是数学中最美丽的公式之一。

欧拉公式是通过圆的半径、弧度以及复数等概念而得出的。

以上是九年级下册华师大版数学中关于圆的知识点的重要内容。

通过对这些知识的学习与实践，我们可以更好地理解和应用圆的性质。

圆是数学中一个富有魅力的概念，它在我们日常生活中随处可见。

掌握圆的知识，不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以培养我们的抽象思维和数学推理能力。

华师大版数学九年级下册27.3《圆中的计算问题》说课稿一. 教材分析华师大版数学九年级下册27.3《圆中的计算问题》这一节主要讲述了圆中的计算问题，包括弧长、扇形的面积等计算。

这部分内容是圆的基础知识的进一步拓展，对于学生来说，掌握这部分内容对于理解圆的性质和解决实际问题具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对圆的概念和性质有一定的了解。

但是，对于圆中的计算问题，他们可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，我将以引导学生理解圆中的计算问题为主线，通过实例分析和练习，帮助学生掌握计算方法。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握圆中的计算问题，如弧长、扇形的面积等计算方法。

2.过程与方法目标：通过实例分析和练习，培养学生解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习圆的性质和计算问题的兴趣，培养学生的耐心和细心。

四. 说教学重难点1.教学重点：圆中的计算问题，如弧长、扇形的面积的计算方法。

2.教学难点：如何引导学生理解圆中的计算问题，并能够运用到实际问题中。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、实例分析法和练习法，引导学生主动探究圆中的计算问题。

2.教学手段：利用多媒体课件和板书，生动形象地展示圆中的计算问题。

六. 说教学过程1.导入：通过复习平面几何的基本知识，引导学生回顾圆的概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

2.新课讲解：讲解圆中的计算问题，如弧长、扇形的面积的计算方法，并结合实例进行分析。

3.课堂练习：布置相关的练习题，让学生巩固所学知识，并能够运用到实际问题中。

4.总结与拓展：对本节课的内容进行总结，并提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。

七. 说板书设计板书设计如下：1.圆中的计算问题–弧长计算公式：弧长 = 半径 × 圆心角–扇形面积计算公式：扇形面积 = 1/2 × 半径² × 圆心角2.实例分析–通过具体的实例，展示弧长和扇形面积的计算过程。

九年级数学 圆中的计算问题华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：§28.3 圆中的计算问题二. 重点、难点： 1. 重点：⑴弧长和扇形的面积； ⑵圆锥的侧面积和全面积 2. 难点：弧长和扇形面积公式的推导三. 知识梳理：（一）弧长和扇形的面积 1. 弧长的计算公式如果弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为r ，那么，弧长的计算公式为：2360180n n rl r ππ=⋅=． 2. 扇形的面积公式如果设圆心角是n °的扇形面积为S ，圆的半径为r ，那么扇形面积为213602n r S S lr π==或　说明：⑴对于弧长公式和扇形面积公式，无须死记硬背，应在明确其“来历”的基础上理解掌握．⑵在应用弧长公式180n rl π=或扇形面积公式2360n r S π=进行计算时，要注意公式中的n的意义，n 表示1°的圆心角的倍数，因此不带单位．⑶扇形的另一个面积公式12S lr =与三角形的面积公式有些类似．形式基本一样，可以联系起来记忆．（二）圆锥的侧面积和全面积如图，我们把圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线．连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高．如图，沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长．圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和．说明：⑴研究圆锥的侧面积和全面积，必须先将其展开．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长．⑵若设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则圆锥的侧面积就是其展开图——扇形的面积，122r l rl ππ⋅⋅=Ｓ＝；圆锥的全面积是侧面积与底面积的和，是2rl r ππ+．另外，知道扇形的半径和弧长，还可以求得扇形的圆心角．【典型例题】例1. 如图，一块长为8的正方形木板ABCD ，在水平桌面上绕点A 按逆时针方向旋转到ADEF 的位置，则顶点C 从开始到结束所经过的路径长为（ ）A. 16 ；B. 162 ；C. 8π ；D. 42π分析：在旋转过程中，AC 的长度保持不变，所以顶点C 从开始到结束所经过的路径长是以A 为圆心，AC 长为半径的90°的弧长，因为AC ＝82，所以，ππ241802890=⋅⋅=l ，故选D ．例2. 如图，⊙A 、⊙B 、⊙C 、⊙D 互相外离，它们的半径都是1，顺次连结四个圆心得到四边形ABCD ，则图中四边形内的四个扇形面积之和为（ ）A. 2π；B.π；C.32π ； D. 21π分析：根据题中的条件无法求出四个扇形的圆心角的度数，因而从整体考虑，可以发现四个扇形的圆心角分别是四边形的四个内角，所以四个扇形的圆心角的度数之和为360°，故选B ．例3. 如图，如果圆锥的底面圆的半径是8，母线长是15，那么这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的度数是 ．分析：由圆锥的底面圆的半径是8，可以求出底面圆的周长，也就是扇形CAB 的弧长，再利用弧长公式2360180n n rl r ππ=⋅=即可求扇形的圆心角的度数． 解：∵圆锥底面圆的半径是8，∴BC l r C ==⋅=ππ162 ∵母线长为15∵180Rn l BC ⌒π=∴1801516⋅=ππn 192=n∴圆心角的度数为192°．例4. 如图，一把纸扇完全打开后，外侧两竹条AB 和AC 的夹角为120°，AB 长为25cm ，贴纸部分的宽BD 为17cm ，则贴纸部分的面积为_______．（结果保留π）分析：扇形面积公式有两个，一是2360n r S π=，另一个是12S lr =，贴纸部分的面积实际是由两个扇形的面积相减所得．由解意很容易列出关于所求贴纸部分的面积：2212025120(2517)360360ππ⋅⋅⋅⋅--＝187π（cm 2）．例5. 如图1，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型．设圆的半径为r ，扇形半径为R ，则圆的半径与扇形半径之间的关系为A. R ＝2rB. R ＝94r C. R ＝3r D. R ＝4r分析：注意题中的“底面圆的半径”与“扇形的半径”是两个不同的概念．要找到圆的半径与扇形半径之间的关系，需要得到一个等量关系，由圆锥的有关概念，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，可得2πr ＝90180πR∴R ＝4r ∴答案选D例6. 如图所示，半径是10cm 的圆纸片，剪去一个圆心角是120°的扇形（图中阴影部分），用剩下部分围成一圆锥，求圆锥的高和底面圆的半径．分析：首先，根据题意画出圆锥体的示意图，从图中可知，要求圆锥的底面圆的半径需求出其所在圆的周长，而底面圆的周长为左图中剩下扇形的弧长，这样转化到求弧长的问题；关于圆锥的高，只要由底面半径与圆锥的母线长构造直角三角形即可．解：如答图中的甲、乙图，∵n ＝360°－120°＝240°，R ＝10cm ，如图（甲）所示，24010401801803OAmB n r l πππ⨯===扇形（cm ） 如图乙中连结O ′P ，则O ′P ⊥CD ，设⊙O ′半径为r ， ∵'',2OAmB O O C l C r π==扇形，∴4023r ππ=，∴r ＝203（cm ） ∴ O ′P ＝22'22201010533PD O D ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭（cm ）例7. 已知矩形ABCD 中，AB ＝1cm ，BC ＝2cm ，以B 为圆心，BC 长为半径作41圆弧交AD 于F ，交BA 的延长线于E ，求阴影部分面积．分析：要求阴影部分面积，只须将它转化为求规则图形的面积的和差，故需连结BF ，ABF BFE S S S △扇形阴-=解：连结BF∵BC ＝2，F 点在以B 为圆心，BC 为半径的圆上 ∴BF ＝2∵矩形ABCD ，AB ＝1，BF ＝2 ∴∠ABF ＝60° ∴ππ323602602=⋅⋅=BFES 扇形3BA BF AF ,BAF Rt 22=-=∆中231321=⨯⨯=ABF S △∴ABF BFE S S S △扇形阴-= ＝2cm )2332(-π 答：阴影部分面积为2cm )2332(-π．例8. 如图已知圆锥的底面半径r ＝10cm ，母线长为40cm ．⑴求它的侧面展开图的圆心角和表面积；⑵若一只甲虫从A 点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA 的中点B ，它所走的最短路程是多少？SAB分析：⑴把圆锥的侧面沿母线SA 展开，如图 则⋂'AA 的长为2πr ＝20π，SA ＝40 所以20π＝40180n π⋅所以n ＝90°所以圆锥的侧面展开图的圆心角是90°S 表面＝S 侧＋S 底＝29040360π⋅＋π·102＝500π（cm 2）⑵由圆锥的侧面展开图可见，甲虫从A 点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA 的中点B 所走的最短路程是线段AB 的长在Rt △ASB 中，∠ASB ＝90°，SA ＝40，SB ＝20所以AB ＝22SA ＋SB ＝205cm答：圆锥的侧面展开图的圆心角是90°，圆锥的表面积是500π2cm ，甲虫所走的最短路程长205cm ．例9. 如图，扇形OAB 的圆心角为90°，分别以OA 、OB 为直径在扇形内作半圆，P 和Q 分别表示两个封闭图形的面积，那么P 和Q 的大小关系是（ ）A. P ＝Q ；B. P ＞Q ；C. P ＜Q ；D. 无法确定．分析：本题中两个封闭图形的面积不易直接求，可用代数方法来求，根据图形的对称性，另两个封闭图形的面积相等，不妨设为M ，再设OA ＝2r ，由图形可得M ＋Q ＝221r ⋅π，2M ＋P ＋Q ＝2r ⋅π，解得P ＝Q ，故选A ．[方法探究]在一个问题不能直接解决的情况下，就要善于从另一个角度来寻找其它的途径．本题是通过设未知数，把几何问题转化为代数问题，即通过方程思想，使问题迎刃而解．例10. 如图，秋千拉绳长AB 为3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米（左右对称），请计算该秋千所荡过的圆弧长（精确到0.1米）？解析：由题意要求圆弧BF 的长，只要求得圆心角∠BAF 的度数即可，根据左右对称，所以将∠BAC 置于一个直角三角形中来计算其度数．过点B 作BE ⊥地面于点E ，作BG ⊥AD 于点G ，则有GD ＝BE ＝2，又AD ＝AC ＋CD ＝3.5，所以AG ＝1.5，则在Rt ΔABG 中，AB ＝3，AG ＝1.5，所以∠BAC ＝60°，所以∠BAF ＝120°．则弧BF 的长＝1203180π⋅⋅＝2π≈6.3（米）．例11. 如图是某学校田径体育场一部分的示意图，第一条跑道每圈为400米，跑道分直道和弯道，直道为长相等的平行线段，弯道为同心的半圆型，弯道与同心的半圆型，弯道与直道相连接．已知直道BC 的长为86.96米，跑道的宽为1米（π＝3.14，结果精确到0.01米） ⑴求第一条跑道的弯道部分⋂AB 的半径；⑵求一圈中第二条跑道比第一条跑道长多少米？⑶若进行200米比赛，求第六道的起点F 与圆心O 的连线FO 与OA 的夹角∠FOA 的度数．解析：⑴弯道的半圆周长为400286.962-⨯＝113.04（米），由圆周长L ＝2πr ，所以半圆弧线长'l r π=，则第一道弯道部分的半径r ＝'113.043.14l π=＝36.00（米）⑵第二道与第一道的直跑道长相等，第二道与第一道的弯跑道的半径之差为1米，第二道与第一道的弯跑道长的差即为两圆周长之差，即2π（r ＋1）－2πr ＝2π＝6.28（米）．⑶从第一道200米，是以A 点为始点，第六道上的运动员需要跑86.96米的直道和113.04米的弯道，即弧长为113.04米，又第六道弯道半圆的半径为41米， 由弧长与半圆、圆心角的关系得n ＝，所以∠FOA ＝180°°°．【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 一个扇形的弧长是20πcm ，面积是240π2cm ，则扇形的半径是（ ）A. 6cmB. 21cmC. 24 cmD. 62 cm2. 一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，这个圆锥的侧面展开图的圆心角是（ ） A. 60° B. 90° C. 120° D. 180°3. 底面圆半径为3cm ，高为4cm 的圆锥侧面积是（ ）A. 7. 5π2cmB. 12π2cmC. 15π2cmD. 24π2cm4. 扇形的半径OA ＝20cm ，∠AOB ＝135 ，用它做成一个圆锥的侧面，此圆锥底面的半径是（ ）A. B. C. 15cm D. 30cm5. 如图，⊙A ，⊙B ，⊙C 两两不相交，且半径都是，则圆中的三个扇形即（三个阴影部分）的面积之和为（ ）A.12π2cm B.8π2cm C. 6π2cm D.4π2cm6. 一个圆锥的底面积是25π2cm ，母线长13cm ，则这个圆锥的侧面积是 ．7. 一个圆锥的侧面展开图是一个面积为8π的半圆，则这个圆锥的全面积是________． 8. 如图所示，已知⊙1O 内切于扇形AOB ，切点为C 、D 、E ，⊙1O 的面积为16π，∠AOB ＝60°，求扇形AOB 的周长和面积．9. 如图所示是一管道的横截面示意图，某工厂想测量管道横截面的面积，工人师傅使钢尺与管道内圆相切并交外圆于A 、B 两点，测量结果为AB ＝30cm ， 求管道阴影部分的面积为多少？【试题答案】1. C2. C3. C4. B5. B6. 65π2cm7.12π8. 24π提示：连结O 1C ，OO 1并延长OO 1，则必过切点E ，设⊙O 1的半径为r ∴1O S 圆21,16r S O ππ==圆，∴216r ππ=，r ＝4， ∴O 1C ＝4， ∵OA ，OB 切圆1O 于C ，D ，∠AOB ＝60°， ∴∠AOE ＝30° ∵∠COO 1＝30°，O 1C ＝4，∴O 1O ＝8， ∴R ＝OE ＝OO 1＋O 1E ＝8＋4＝12 ∴24412242,41801260+=⨯+=+==⨯=⋂⋂ππππr l l lAOB OAB AOB扇形∴224360OABn R S ππ==扇形． 9. 解：设钢尺AB 与管道内圆相切于C 点，连结OC 、OA ，则OC ⊥AB ，设OC ＝r ，OA ＝R ，∵AB ＝30cm ，OC ⊥AB ，∴AC ＝152AB=， ∴222222()15225S OA OC R r AC ππππππ=⋅-⋅=-=⨯=⨯=阴影（cm 2）。

初三数学圆全章小结与复习知识精讲华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：第28章圆全章小结与复习二. 重点、难点：（1）用数量关系（点与圆心、直线与圆心、圆心与圆心的距离）识别与圆有关的位置关系，灵活运用圆的基本性质这些知识解决问题；（2）切线的性质、识别方法以及切线长定理，能够应用这些性质回答相关问题；⑶弧长和扇形面积公式，计算弧长和比较复杂图形的面积．三. 知识梳理：1. 圆的基本元素（1）圆心和半径；（2）弦和直径；⑶弧和半圆；⑷圆心角和圆周角．2. 圆周角与圆心角（1）圆周角与圆心角：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．性质的验证，运用了“分类”的思想．（2）圆周角与半圆或直径：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是圆的直径.一般地，若题目无直径，需要作出直径．⑶圆周角与同弧或等弧：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同一圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．3. 圆的对称性（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，圆的旋转不变性使它具有其他中心对称图形所没有的性质，即圆心角、弧、弦之间的关系，概括为：在一个圆（同圆或等圆）中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（2）圆也是轴对称图形，经过圆心的任意一条直线都是它的对称轴．于是就有了垂直于弦的直径的性质：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．还可概括为：如果一条直线：①垂直于弦；②经过圆心；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．具备其中任意两个条件，那么就可得到其他三个结论．[注：具备②③条件时，应是平分（不是直径的）弦．]4. 点和圆的位置关系点与圆的位置关系的判定与性质：①如点在圆外，则有性质d>r；若d>r，则可判定出点在圆外．②如点在圆上，则有性质d=r；若d=r，则可判定出点在圆上．③如点在圆内，则有性质d＜r；若d＜r，则可判定出点在圆内．5. 直线和圆的位置关系：相离、相切、相交（1）直线和圆的位置关系的判定与性质：①当直线l和⊙O相离时，则有性质d>r；若d>r，则直线l和⊙O相离②当直线l和⊙O相切时，则有性质d=r：若d=r，则直线l和⊙O相切③当直线l和⊙O相交时，则有性质d＜r．若d＜r，则直线l和⊙O相交其中l表示直线，d是⊙O与直线l的距离，r是⊙O的半径（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．切线长定理是圆的对称性的体现，它为说明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系提供了理论依据．（3）三角形的内心与外心：三角形外接圆的圆心叫三角形的外心， 三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心， 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三边的距离相等．6. 圆和圆的位置关系：外离、外切、相交、内切、内含 设两圆半径分别为R 和r ，圆心距为d ，那么： （1）两圆外离r R d +>⇔； （2）两圆外切r R d +=⇔；⑶两圆相交)(r R r R d r R ≥+<<-⇔； ⑷两圆内切)(r R r R d >-=⇔；⑸两圆内含)(r R r R d --<⇔，同心圆0=⇔d 7. 关于弧长、扇形面积、圆锥侧面积全面积的计算已知⊙O 半径为R ，则圆面积公式为：S=2R π；圆周长公式为：C=2R π；n °圆心角的弧长公式是： 180n Rl π=． 在应用弧长公式进行计算时，要注意公式中n 的意义， n 表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的．若设⊙O 半径为R ， 圆心角为n °的扇形的面积公式是：213602n R S S lR π==或说明：只要已知圆的半径、圆心角度数、弧长及扇形面积四个量中的任意两个量就可计算出其它量．在具体解题时，应通过作图、识图、阅读图形，探索弧长、扇形及其组合图形面积的计算方法和解题规律；把不规划图形的问题转化为规则图形的问题． 圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和．S 全=πra ＋πr 2．【典型例题】例1. 已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为5和2，圆心距为3，•则两圆的位置关系是（ ）． A. 内含 B. 外切 C. 相交 D. 内切解析：两圆内切时，圆心距等于两半径之差，∵5－2=3，∴两圆内切．答案：D ．例2. 已知⊙O 的半径为5cm ，A 为线段OP 的中点，当OP=6cm 时，点A •与⊙O 的位置关系是（ ）．A. 点A 在⊙O 内B. 点A 在⊙O 上；C. 点A 在⊙O 外D. 不能确定解析：若d<r ，则点在圆内；d=r ，则点在圆上；d>r ，则点在圆外．本题只需判断点A 到圆心O 的距离与半径5cm 的大小．因OP=2·OA ，•所以OA=3cm<5cm ，故点A 在⊙O 内．答案：A ．例3. 已知：如图，圆内接四边形ABCD 的两边AB 、DC 的延长线相交于点E ，DF 过圆心O 交AB 于点F ，AB ＝BE ，连结AC ，且OD ＝3，AF ＝FB ＝5．求AC 的长．解析：连结OA ，∵ DF 过点O ，AF ＝FB ＝5， ∴ ∠AFO ＝90°．∴ 25922=-=-=AF AO FO ．∴ 5=+=FO DO DF ．∴ 3022=+=DF AF AD .7022=+=DF FE DE ．由垂径定理知＝，∴ ∠DCA ＝∠DAB ．∵ ∠ADC 是△ADC 与△EDA 的公共角， ∴ △ADC ∽△EDA ．∴DE AD AE AC =．703054=AC ． ∴ 71054=AC ．领悟整合：与圆有关的计算题常用到垂径定理、勾股定理、相似三角形等知识，常用到的辅助线是过圆心连半径或过圆心作已知弦的垂线构造直角三角形运用垂径定理、勾股定理或相似三角形有关的比例式或与圆有关的比例线段求解．例4. 如图，AC 为⊙O 的直径，B 、D 、E 都是⊙O 上的点，求∠A +∠B +∠C 的度数．CA分析：由AC 为直径，可以得出它所对的圆周角是直角，所以连结AE ，这样将∠CAD （∠A ）、∠C 放在了△AEC 中，而∠B 与∠EAD 是同弧所对的圆周角相等，这样问题便迎刃而解．解：连结AE∵AC 是⊙O 的直径， ∴∠AEC =90° ∴∠CAD +∠EAD +∠C =90°∵ED ED =⌒⌒， ∴∠B =∠EAD ∴∠CAD +∠B +∠C =90°例5. △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，∠C =90°，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 交于点D ，求AD 的长．分析：圆中有关弦的计算问题通常利用垂径定理构造直角三角形求解，所以作CH ⊥AB ，这只要求出AH 的长就能得出AD 的长．解：作CH ⊥AB ，垂足为H∵∠C =90°，AC ＝6，BC ＝8 ∴AB =10 ∵∠C =90°，CH ⊥AB∴AB AH AC 2⋅=又∵AC ＝6， AB =10 ∴ AH ＝3.6 ∵CH ⊥AB ∴AD =2AH ∴AD =7.2 答：AD 的长为7.2．例6. （1）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CAE =∠B ，试说明AE 与⊙O 相切于点A ． （2）在（1）中，若AB 为非直径的弦，∠CAE =∠B ，AE 还与⊙O 相切于点A 吗？请说明理由．（1） （2）分析：第（1）小题中，因为AB 为直径，只要再说明∠BAE 为直角即可．第（2）小题中，AB 为非直径的弦，但可以转化为第（1）小题的情形．解：（1）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠C =90° ∴∠BAC ＋∠B =90°又∵∠CAE =∠B ， ∴∠BAC ＋∠CAE =90° 即∠BAE =90° ∴AE 与⊙O 相切于点A ． （2）连结AO 并延长交⊙O 于D ，连结CD ． ∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ACD =90° ∴∠D ＋∠CAD =90°又∵∠D =∠B ，∴∠B ＋∠CAD =90°又∵∠CAE =∠B ， ∴∠CAE ＋∠CAD =90°即∠EAD =90° ，∴AE 仍然与⊙O 相切于点A ．说明：本题主要考查切线的识别方法．这里可以引导学生依据第（1）小题的特殊情况，大胆提出猜想，渗透“由特殊到一般”的数学思想方法．例7. 如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5． （1）若sin ∠BAD =35，求CD 的长．（2）若 ∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留π）．分析：图形中有 “直径对直角”，这样就出现了“直角三角形及斜边上的高”的基本图形，求CD 的长就转化为求DE 的长．第（2）小题求扇形OAC 的面积其关键是求∠AOD 的度数，从而转化为求∠AOC 的大小．解：（1） ∵AB 是⊙O 的直径，OD ＝5 ∴∠ADB ＝90°，AB ＝10又∵在Rt △ABD 中，3sin 5BD BAD AB ==∠ ∴BD =6∵∠ADB ＝90°，AB ⊥CD∴ BD 2=BE ·AB ， CD = 2DE ∵AB ＝10 ， BD =6∴BE =185，在Rt △EBD 中，由勾股定理得：DE =245∴CD DE ==2485答：CD 的长为485．（2）∵AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD ∴CB BD AC AD ⌒⌒⌒⌒，==∴∠BAD ＝∠CDB ，∠AOC ＝∠AOD∵AO ＝DO ∴∠BAD ＝∠ADO ∴∠CDB ＝∠ADO 设∠ADO ＝4k ，则∠CDB ＝4k 由∠ADO ：∠EDO ＝4：1，则∠EDO ＝k ∵∠ADO ＋∠EDO ＋∠EDB ＝90° ∴4490k k k ++=︒ 得k ＝10° ∴∠AOD ＝180°－（∠OAD ＋∠ADO ）＝100° ∴∠AOC ＝∠AOD ＝100°则S OAC 扇形=⨯⨯=1003605125182ππ 答：扇形OAC 的面积为12518π例8. 半径为2.5的⊙O 中，直径AB 的不同侧有定点C 和动点P . 已知BC ：CA =4 ： 3，点P 在半圆AB 上运动（不与A 、B 两点重合），过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ．（1）当点P 与点C 关于AB 对称时，求CQ 的长； （2）当点P 运动到半圆AB 的中点时，求CQ 的长；⑶当点P 运动到什么位置时，CQ 取到最大值？求此时CQ 的长．分析：当点P 与点C 关于AB 对称时，CP 被直径垂直平分，由垂径定理求出CP 的长，再由Rt △ACB ∽Rt △PCQ ，可求得CQ 的长．当点P 在半圆AB 上运动时，虽然P 、Q 点的位置在变，但△PCQ 始终与△ACB 相似，点P 运动到半圆AB 的中点时，∠PCB ＝45°，作BE ⊥PC 于点E ， CP ＝PE +EC ．由于CP 与CQ 的比值不变，所以CP 取得最大值时CQ 也最大．解：（1）当点P 与点C 关于AB 对称时，CP ⊥AB ，设垂足为D ． ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB =90°．∴AB =5，BC ：CA =4：3 ∴BC =4，AC =3 S Rt △ACB =12AC ·BC =12AB ·CD ∴ 1224,.55CD PC ==∵ 在Rt △ACB 和Rt △PCQ 中， ∠ACB ＝∠PCQ =90°， ∠CAB ＝∠CPQ ，∴ Rt △ACB ∽Rt △PCQ∴AC BCPC CQ= ∴ 53234==⋅=PC AC PC BC CQ（2）当点P 运动到弧AB 的中点时，过点B 作BE ⊥PC 于点E （如图）． ∵P 是弧AB 的中点，∴2222,45===︒=∠BC BE CE PCB 又∠CPB =∠CAB∴tan ∠CPB = tan ∠CAB =43∴ 3t a n 42BE PE BE CPB ===∠从而2PC PE EC =+= 由（l ）得，433CQ PC ==⑶点P 在弧AB 上运动时，恒有PC 34AC PC BC CQ =⋅= 故PC 最大时，CQ 取到最大值．当PC 过圆心O ，即PC 取最大值5时，CQ 最大值为203说明：用“运动变化”的观点解决问题时，寻求变化中的不变性（题中的Rt △ACB ∽Rt △PCQ ）往往是解题的关键．【模拟试题】（答题时间：120分钟）一、选择题：（每题3分，共36分） 1. 下列五个命题：（1）两个端点能够重合的弧是等弧；（2）圆的任意一条弧必定把圆分成劣弧和优弧两部分；⑶经过平面上任意三点可作一个圆；⑷任意一个圆有且只有一个内接三角形；⑸三角形的外心到各顶点距离相等．其中真命题有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个2. 如图，⊙O 外接于△ABC ，AD 为⊙O 的直径，∠ABC=30°，则∠CAD=（ ） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°C3. AB 是⊙O 的弦，∠AOB=88°，则弦AB 所对的圆周角等于（ ） A. 44° B. 22° C. 44°或136° D. 22°或68°4. O 是△ABC 的外心，且∠ABC+∠ACB=100°，则∠BOC=（ ） A. 100° B. 120° C. 130° D. 160°5. 一个点到圆的最大距离为9cm ，最小距离为4cm ，则圆的半径是（ ） A. 5cm 或13cm B. 2.5cm C.6.5cm D. 2.5cm 或6.5cm6. 如图，△ABC 的三边分别切⊙O 于D ，E ，F ，若∠A=50°，则∠DEF=（ ） A. 65° B. 50° C. 130° D. 80°B7. Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，内切圆半径为1，则三角形的周长为（ ）A. 15B. 12C. 13D. 148. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5cm ，BC=3cm ，以A 为圆心，以4cm 为半径作圆，•则直线BC 与⊙A 的位置关系是（ ）A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定9. 已知两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程x2－4x+3=0的两根，•那么这两个圆的位置关系是（ ）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切10. ⊙O 的半径为3cm ，点M 是⊙O 外一点，OM=4cm ，则以M 为圆心且与⊙O •相切的圆的半径一定是（ ）A. 1cm 或7cmB. 1cmC. 7cmD. 不确定 11. 一个扇形半径30cm ，圆心角120°，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（ ） A. 5cm B. 10cm C. 20cm D. 30cm12. 如图所示，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，交AC 于点E ，•连结OD 、AD ，则以下结论：①D 是BC 的中点；②AD ⊥BC ；③AD 是∠BAC 的平分线；④OD ∥AC ．其中正确结论的个数为（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题. （每题2分，共20分）1. ⊙O 中，弦MN 把⊙O 分成两条弧，它们的度数比为4：5，如果T 为MN 中点，则∠TMO=_________，则弦MN 所对的圆周角为_______．2. ⊙O 到直线L 的距离为d ，⊙O 的半径为R ，当d 、R 是方程x 2－4x+m=0的根，且L •与⊙O 相切时，m 的值为_________．3. ⊙O 中，若弦AB 、BC 所对的圆心角分别为120°、80°，则弦AC •所对的圆心角为_____；4. 如图所示，AB 为⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，∠BAC=20°，⋂⋂=CD AD ，•则∠DAC 的度数是_______．5. 在△ABC 中，AB=5cm ，BC=3cm ，AC=4cm ，则△ABC 的内切圆的半径为_________．6. △ABC 三边与⊙O 分别切于D ，E ，F ，已知AB=7cm ，AC=5cm ，AD=2cm ，则BC=________．7. 如图所示，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 、AB 都与⊙O 相切，∠P=40°，则∠AOB 的度数为_________．8. 两圆相切，圆心距等于2cm ，其中一个圆的半径等于3cm ，•则另一个圆的半径等于_________．9. 已知两圆外离，圆心距d=12，大圆半径R=7，则小圆半径r •的所有可能的正整数值为_________．10. 圆心角为120°的扇形的弧长是2 cm ，则此扇形的面积为___________．三、解答题. （第1至6题各6分，第7、8两题各9分，第9题10分，共64分）1. 如图，从点P 向⊙O 引两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，AC 为弦，BC 为⊙O •的直径，若∠P=60°，PB=2cm ，求AC 的长．2. 如图，已知扇形AOB 的半径为12，OA ⊥OB ，C 为OB 上一点，以OA 为直径的半圆O 1与以BC为直径的半圆O 2相切于点D ．求图中阴影部分面积．3. 将半径为R 的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，•设这三个圆锥的底面半径依次为r 1，r 2，r 3，求r 1+r 2+r 3的值．4. 如图，求作一个⊙O ，使它与已知∠ABC 的边AB ，BC 都相切，并经过另一边BC 上的一点P ．BC5. 如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB=90°，以AB ，BC ，AC 为直径作半圆围成两月形（阴影部分）S 1，S 2，设△ABC 的面积为S ．求证：S=S 1+S 2．6. 如图所示，⊙I 是△ABC 的内切圆，AB=9，BC=8，CA=10，点D 、E 分别为AB 、AC 上的点，且DE 是⊙I 的切线，求△ADE 的周长．7. 如图，C 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，过点C 作⊙O •的切线CD ，D 为切点，连结AD ，OD ，BD ．请根据图中给出的已知条件（不再标注字母，不再添加辅助线）写出两个你认为正确的结论．mBDCAO8. 如图，已知弦AB 与半径相等，连结OB ，并延长使BC=OB ． （1）问AC 与⊙O 有什么关系．（2）请你在⊙O 上找出一点D ，使AD=AC （自己完成作图，并证明你的结论）．B CAO9. 如图所示，AB 为⊙O 的直径，把AB 分成几条相等线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB=a ，⊙O 的周长为L= a ．计算：（1）把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长L2=12a=______；（2）把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长L3=_______；（3）把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长L4= _______；（4）把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长L n= _______．结论：（1）把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，•那么每个小圆的周长是大圆周长的_______；（2）把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，•那么这n 个小圆的周长和与大圆周长的关系是_______ ；探索：请仿照上面的探索方式和步骤，计算每个小圆的面积与大圆面积的关系．【试题答案】一、选择题：1. A ．[提示：只有（5）正确，（1）必须在同圆或等圆中；（2）直径要除外；（3）三点必须是不在同一条直线上的三个点；（4）任意一个圆都有无数个内接三角形．]2. D ．[提示：∵AD 为直径，∴∠ACD=90°，∠ABC=30°，∴∠D=30°，∴Rt △ACD 中，∠CAD=60°．]3. C ．4. D ．[提示：∠ABC+∠ACB=100°，∴∠CAB=80°，∴∠BOC=2∠CAB=160°．]5. D6. A ．[提示：连结OD ，OF ．四边形ODAF 中，∠ADO=∠AFO=90°，∠A=50°，∴∠DOF=130°，∴∠DEF=12∠DOF=65°．] 7. B ．[提示：∵内切圆半径r=2AC BC AB +-=1，∴AC+BC －5=2×1，∴AC+BC=7，∴AB+BC+AC=7+5=12．]8. B ．9. C ．[提示：∵x 2－4x+3=0，∴x 1=1，x 2=3．∴半径为1，3．∵3－1<3<3+1，∴两圆相交．]10. A ．[提示：若⊙M 与⊙O 内切，则R －3=OM=4，∴R=7．若⊙M 与⊙O 外切，则R+3=OM=4，∴R=1，∴R=1或7．]11. B ．[提示：扇形弧长L=120180π×30=20π=2πr ，∴r=10．] 12. D ．二、填空题：1. 10°，80°或100°[提示：MN 把⊙O 分成的两条弧之比为4：5，则两弧分别为︒160，200°，∴∠MON=160°，∴∠OMT=10°，则MN 所对的圆周角为80°或100°．]2. 4．[提示：L 与⊙O 相切时，d=R ，d 、R 是方程x 2－4x+m=0的根，∴△=16－4m=0，∴m=4．]3. 40°或160°．4. 35°5. 1cm ．6. 8cm ．7. 70°．8. 1cm 或5cm ．9. 1，2，3，4．[提示：两圆外离，∴d>R+r ，即12>7+r ，∴r<5，∴r=1，2，3，4．]10. 3πcm 2三、解答题：1. 解：连结AB ．∵∠P=60°，AP=BP ，∴△APB 为等边三角形．AB=PB=2cm ，PB 是⊙O 的切线，PB ⊥BC ，∴∠ABC=30°，∴AC=AB ·tan30°=2·3=232. 解：扇形的半径为12，则1O ⊙r =6，设⊙O 2的半径为R ．连结O 1O 2，O 1O 2=R+6，OO 2=12－R ．∴Rt △O 1OO 2中，36+（12－R ）2=（R+6）2，∴R=4．S 扇形=14π·122=36π，S ′=12π·62=18π，S ″=12π·42=8π． ∴S 阴=S 扇形－S ′－S ″=36π－18π－8π=10π．3. 解：半径为R 的圆的周长为2πR ， 则三个扇形的弧长分别为16·2πR ，26·2πR ，36·2πR ， 即13πR ，23πR ，πR ． 而底面半径为r 1，r 2，r 3．∴2πr 1=13πR ，r 1=16R ；2πr 2=23πR ， ∴r 2=13R ；2πr 3=πR ，r 3=12R ， ∴r 1+r 2+r 3=16R+13R+12R=R ． 4. 解：作法：①作∠ABC 的角平分线BD ．②过点P 作PQ ⊥BC ，交BD 于点O ，则O 为所求作圆的圆心．③以O 为圆心，以OP 为半径作圆．则⊙O 就是所求作的圆．5. 解：证明：以AC 为直径的半圆面积为12π（2AC ）2=18πAC 2． 以BC 为直径的半圆面积为12π·（2BC ）2=18πBC 2． 以AB 为直径的半圆面积为12π·（2AB ）2=18πAB 2=18π（AC 2+BC 2）=18πAC 2+18πBC 2． ∴S 1+S 2=18πAC 2+18πBC 2－（18πAC 2+18πBC 2－S ） =18πAC 2+18πBC 2－18πAC 2－18πBC 2+S=S ． ∴S=S 1+S 2．6. 11．7. 答案：CD 2=CB ·CA 或∠CDB=∠A ．8. 解：（1）证明：如图，∵AB 与半径相等，∴∠OAB=60°，∠OBA=60°．∵BC=OB=AB ，∴∠BAC=30°，∴∠OAC=90°，∴AC 与⊙O 相切．（2）①延长BO 交⊙O 于D ，则必有AD=AC ．证明：∵∠BOA=60°，OA=OD ，∴∠D=30°．又∵∠C=30°，∴∠C=∠D ，∴AD=AC ．②作∠OAB 的角平分线交⊙O 于D ，则AD=AC证明略9. （1）把AB 分成两条相等的线段，每个小圆的周长L 2=12 a=2L ； （2）把AB 分成三条相等的线段，每个小圆的周长L 3= 3L ； （3）把AB 分成四条相等的线段，每个小圆的周长L 4= 4L ； （4）把AB 分成n 条相等的线段，每个小圆的周长L n = L n． 结论：（1）把大圆的直径分成n 条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，•那么每个小圆的周长是大圆周长的1n ； （2）把大圆的直径分成n 条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，•那么这n 个小圆的周长和与大圆周长的关系是 相等 ；面积关系：把大圆的直径分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，•则小圆的面积是大圆面积的21n ．。

九年级数学圆中的计算问题华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容： 圆中的计算问题【知识与技能】1. 探索归纳圆的弧长、扇形面积公式，会恰当运用公式进行弧长、扇形面积的有关计算。

2. 了解圆柱、圆锥的特征，认识圆柱、圆锥的侧面展开图分别是矩形、扇形，并会计算侧面积及全面积。

【过程与方法】在探索归纳弧长、扇形面积公式时，体现了“从特殊到一般”的数学思维方法。

【情感、态度、价值观】在探求公式过程中，提高推理、归纳能力及应用意思，培养与他人合作能力，进一步发展我们对立体图形的了解，同时也增强空间立体感。

【教学过程】 1. 弧长公式：l n r=π180注意：（1）在弧长公式中，n 表示“1°”的圆心角的倍数，在应用公式计算时，“n ”和“180”不应再写单位。

（2）在计算时，若题目中没有标明精确度，可以用“π”表示弧长，如弧长是3π，π，15.π等。

（3）在弧长公式中已知l n r 、、中的任意两个量都可以求出第三个量。

2. 扇形：（1）定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。

如图：（2）周长：扇形的周长等于弧长加上两个半径的长，即l r +2。

（3）面积：S n r =π2360或S lr =12注意：①公式S n r =π2360中的“n ”与弧长公式中“n ”的意义一样，表示“1°”圆心角的倍数，参与计算时不带单位。

②S lr =12与三角形面积公式S ah =12十分相似，为了便于记忆，可以把扇形看作曲边三角形，把弧长看作底，半径r 看作底边上的高。

③注意二个公式的区别。

如：已知半径r 、圆心角度数求S ，用S n r =π2360。

已知半径r 、弧长l 求S ，用S lr =12。

④已知：S l n r 、、、四个量中任意两个量，可以求出另外两个量。

3. 圆柱的侧面积与全面积（1）侧面展开图是矩形，一组对边等于母线长，另一组对边等于底面圆的周长。

初三数学第一学期 圆中的计算问题一. 本周教学内容： 1. 圆中的计算问题 2. 全章复习二. 重点、难点： 重点：1. 弧长公式、扇形面积公式的应用。

2. 圆柱、圆锥侧面积、全面积的应用。

3. 圆的认识、与圆有关的位置关系复习。

难点：1. 添加辅助线的规律。

2. 数学思想、方法渗透。

3. 最新中考题题型及解题方法剖析。

【典型例题】一. 圆中的计算问题例1. 一个小孩荡秋千，如图1所示，秋千链子的长OA 为2.5m ，当秋千向两边摆动时，摆角∠BOD 恰好为60°，并且两边摆动角度相同。

求：（1）秋千摆至最高位置时与其摆到最低位置时的高度之差；（2）秋千从B 点摆到至D 点所走过的路程（结果都精确到0.01m ）。

（2004年新疆乌鲁木齐中考题）解析：由实例可抽象出如图2的扇形，从而（1）可用垂径定理解答。

而第（2）问即是求BD ⋂的弧长，可用弧长公式求解。

答案：（1）如图2，连接BD 交OA 于点C 于是∠BOA=∠DOA=30°，AO ⊥BD 在Rt △OCD 中，cos .3025543︒==OC OC ， OA OC -=-≈52543033.（米）（）的长（米）26025180262BD l BD⋂=⨯≈⋂π..答：（1）最高点与最低点的高度差约0.33米，（2）从B 摆到D 所走过的路程约为2.62米。

例2. 若一个扇形的半径等于一个圆的半径的3倍，且它们的面积相等，则这个扇形的圆心角为____________度。

解析：设圆的半径为r则扇形的半径为3r ，圆的面积为πr 2，扇形的面积为n r π36032⋅()。

于是ππr n r 223603=⋅()，πππr n r nr 222360940=⋅=，所以n=40，即圆心角为40o 。

答案：40例3. 如图所示，已知扇形AOB 的圆心角为直角，若OA=4cm ，以AB 为直径作半圆，求图中阴影部分的面积。