福建省福州市2010-2011学年第一学期期末高三数学(文科)质量检查

福州市2010-2011学年第一学期期末高三质量检查(文)1．已知集合2{|1,},{|1,},M y y x x R N y y x x R ==+∈==+∈则M N ⋂等于（ ） A ．（0，1），（1，2） B ．|（0，1），（1，2）| C ．{|12}y y y ==或 D ．{|1}y y ≥ 2．复数(1)(1)i ai R +-∈，则实数a 等于（ ）A ．1 B ．—1 C ．0 D ．1±3．如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m 为数字0—9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为12,a a ，则一定有 （ ）A ．12a a > B ．21a a > C ．12a a = D ．12,a a 的大小不确定4．已知实数1,2,0x x y y x y x y ≥⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩满足则的最小值为（ ）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．如图，在一个边长为3cm 的正方形内部画一个边长为2cm的正方形，向大正方形内随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率为（ ）A ．29 B ．13 C ．49 D ．236．已知向量(1,1),(2,),42a b x a b b a ==+-若与平行，则实数x 的值为（ ）A ．—2B ．0C ．1D ．27．将函数cos 2y x =的图象上的所有点向左平移6π个单位长度，再把所得图像向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析是（ ） A ．cos(2)16y x π=++ B ．cos(2)13y x π=-+ C ．cos(2)13y x π=++ D ．cos(2)16y x π=-+ 8．已知2:||2;:20,p x q x x p q <--<⌝⌝则是的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必条件9．若双曲线22221x y a b-=的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）A ．5B ．5C ．2D ．210．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是(012)am a <<、4m ，不考虑树的粗细，现在用16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的共圃ABCD ，设此矩形花圃的面积为Sm 2，S 的最大值为()f a ，若将这棵树围在花圃的，则函数()u f a =的图象大致是（）11．黑板上有一道有正解的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2,a =……，解得6b =，根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件．．．．（ ）A ．30,45A B == B ．11,cos 3c C == C ．60,3B c == D ．75,45C A == 12．定义：平面内横坐标为整数的点称为“左整点”，过函数29y x =-图象上任意两个“左整点”作直线，则倾斜角大于45°的直线条数为（ ）A ．10 B ．11 C ．12 D ．1313．若抛物线22y px =的焦点与椭圆221123x y +=的右焦点重合，则p 的值为 。

14．如图所示的算法流程图，其输出的结果是 。

15．在数列22*1{},,(2,,)n nn a a ap n n N p +-=≥∈中若为常数，则{}n a 称为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若{}n a 是等方差数列，则2{}n a 是等差数列；②{(1)}n-是等方差数列；③若{}n a 是等方差数列，则*{}(,)kn a k N k ∈为常数也是等方差数列；其中正确命题序号为 。

a >100a 1=a a 21=+输出a 是 否开始 结束16．若函数()321f x ax a =-+在区间[—1，1]上没有零点，则函数3()(1)(34)g x a x x =+-+的递减区间是 。

17．数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，其前n 项的和为.n S （I ）求数列{}n a 的通项公式n n a n S 及前项和；（II ）设2,{}n n n b b =求数列的通项公式.n n b n T 及前项和18．已知函数2()2s i n 23s i n s i n ()2f x x x x πωωω=+-(0)ω>的最小正周期为.π（I ）求ω的值；（II ）求函数2()[0,]3f x π在区间上的取值范围。

19．一个袋中有4个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，黑球1个，现从袋中有放回．．．地取球，每次随机取一个。

（I ）求连续取两次都是白球的概率；（II ）若取一个红球记2分，取一个白球记1分，取一个黑球记0分，求连续取两次分数之和大于1分的概率20．某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间运输货物，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为0.5），其它费用为每小时800元，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时。

（I ）请将从甲地到乙地的运输成本y （元）表示为航行速度x （海里/小时）的函数；（II ）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？21．已知函数2()f x x mx n =++的图像过点（1，3），且(1)(1)f x f x -+=--对任意实数x 都成立，函数()()y g x y f x ==与的图像关于原点对称。

（I ）求()()f x gx 与的解析式；（II ）若()()()F x g x f x λ=-在[—1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围。

22．如图，ADB 为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且OD ⊥AB ，Q 为线段OD 的中点，已知|AB|=4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。

（I ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；（II ）过点B 的直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，与OD 所在直线交于E 点，1212,,:EM MB EN NB λλλλ==+求证为定值。

福州市2010-2011学年第一学期期末高三质量检查数学（文科）试卷参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，满分60分）1．D 2．A 3．B 4．A 5．C 6．D 7．C 8．A 9．A 10．C 11．D 12．B所以2ππ2ω=，解得1ω=． 7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得1)62sin(2)(+-=πx x f因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤， 9分所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤，因此31)62sin(20≤+-≤πx ， 即()f x 的取值范围为]3,0[．12分19．解：（Ⅰ）连续取两次所包含的基本事件有：（红，红），（红，白1），（红，白2），（红，黑）；（白1，红）（白1，白1）（白1，白2），（白1，黑）；（白2，红）， （白2，白1），（白2，白2），（白2，黑）；（黑，红），（黑，白1），（黑，白2），（黑，黑），所以基本事件的总数16=M ． 2分设事件A ：连续取两次都是白球，则事件A 所包含的基本事件有： （白1，白1）（白1，白2），（白2，白1），（白2，白2）共4个 4分所以，41164)(==A P ． 6分（Ⅱ）解法1：由（Ⅰ）连续取两次的事件总数为16=M ， 设事件B ：连续取两次分数之和为０分，则1()16P B =； 8分设事件C ：连续取两次分数之和为1分，则41()164P B == 10分设事件D ：连续取两次分数之和大于１分，则11()1()()16P D P B P C =--= 12分（Ⅱ）解法2：设事件B ：连续取两次分数之和为2分，则6()16P B =； 8分设事件C ：连续取两次分数之和为3分，则4()16P C =设事件D ：连续取两次分数之和为4分，则1()16P D = 10分设事件E ：连续取两次分数之和大于１分，则11()()()()16P E P B P C P D =++= 12分20．解：（Ⅰ）由题意，每小时的燃料费用为20.5(050)x x <≤， 从甲地到乙地所用的时间为300x小时， 2分 则从甲地到乙地的运输成本xx x y 3008003005.02⋅+⋅=，(050)x <≤ ６分故所求的函数为230030016000.5800150()y x x x x x=⋅+⋅=+，(050)x <≤． ７分 （Ⅱ）解法１：由（Ⅰ）16001600150150212000y x x x x⎛⎫=+≥⨯⨯= ⎪⎝⎭， ９分 当且仅当1600x x=，即40x =时取等号． 11分故当货轮航行速度为４0海里/小时时，能使该货轮运输成本最少． 12分（Ⅱ）解法2：由（Ⅰ）)500)(1600(150≤<+=x xx y ． ９分 .12000.80)(,40;)(,0)(',)50,40(;)(,0)(',)40,0(,16001)('),500(1600)(min 2==∴>∈<∈-=≤<+=y x f x x f x f x x f x f x xx f x x x x f 取最小值时单调递增时则单调递减时则令 ……11分故当货轮航行速度为４0海里/小时时，能使该货轮运输成本最少． 12分21．解: （Ⅰ）解法1：由题意知：f （x ）=x 2+mx+n 的对称轴为x=－1,故.02,1231)1(⎩⎨⎧==∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-=++=n m m n m f f （x ）=x 2+2x2分设函数y=g （x ）图象上的任意一点P （x,y ），P 关于原点的对称点为Q （x 0,y 0） 依题意得00x xy y=-⎧⎨=-⎩4分因为点Q （x 0,y 0） 在函数y=f （x ）的图象上, ∴－y=x 2－2x ，即y=－x 2+2x, g （x ）=－x 2+2x, 7分 （Ⅰ）解法2:：取x=1，由f （－1+x ）=f （－1－x ）得f （0）=f （－2） 由题意知： 132,.420m n m n m n n ++==⎧⎧∴⎨⎨=-+=⎩⎩f （x ）=x 2+2x2分下同解法1． （Ⅰ）解法3：∵f （－1+x ）=（－1+x ）2+m （－1+x ）+n ， f （－1－x ）=（－1－x ）2+m （－1－x ）+n ，又f （－1+x ）=f （－1－x ）对任意实数x 都成立， ∴2mx=4x 恒成立,m=2．． 而f （1）=1+m+n=3+n=3,∴n=0． f （x ）=x 2+2x2分下同解法1． （Ⅱ）解法1：F （x ）=g （x ）－λf （x ）= －x 2+2x －λ（ x 2+2x ）=－（1+λ）x 2+2（1－λ）x ∵F （x ）在[－1，1]上是连续的递增函数,∴0)1(2)1(2)('≥-++-=λλx x F 在[－1，1]上恒成立 8分即2(1)2(1)02(1)2(1)0λλλλ-++-≥⎧⎨++-≥⎩9分∴λ≤0时,F （x ）=g （x ）－λf （x ）在[－1，1]上是增函数 12分 （Ⅱ）解法2：F （x ）=g （x ）－λf （x ）= －x 2+2x －λ（ x 2+2x ）=－（1+λ）x 2+2（1－λ）x ∵F （x ）在[－1，1]上是连续的递增函数,∴0)1(2)1(2)('≥-++-=λλx x F 在[－1，1]上恒成立 8分∴11211-+=+-≤xx x λ在]1,1(-上恒成立 9分 又函数y=112-+x上为减函数， 10分 当x=1时y=112-+x取最小值0， 11分 ∴λ≤0时,F （x ）=g （x ）－λf （x ）在[－1，1]上是增函数． 12分 （Ⅱ）解法3：⑴当1-=λ时，F （x ）=4x ，符合题意． 8分⑵当1-<λ，即0)1(>+-λ时，由二次函数图象和性质，只需满足⎪⎩⎪⎨⎧-≤+--->+-1)1(2)1(20)1(λλλ，解得：1-<λ10分⑶当1->λ，即0)1(<+-λ时，由二次函数图象和性质，只需满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥+---<+-1)1(2)1(20)1(λλλ，解得：01≤<-λ综上，λ≤0时,F （x ）=g （x ）－λf （x ）在[－1，1]上是增函数． 12分 22．解：（Ⅰ）以AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴， O 为原点，建立平面直角坐标系，∵动点P 在曲线C 上运动且保持|P A |+|PB |的值不变．且点Q 在曲线C 上,∴|P A |+|PB |=|QA |+|QB |=2521222=+＞|AB |=4． ∴曲线C 是为以原点为中心，A 、B 为焦点的椭圆．设其长半轴为a ,短半轴为b ,半焦距为c ,则2a =25,∴a =5,c =2,b =1．∴曲线C 的方程为52x +y 2=16分（Ⅱ）证法1：设,,M N E 点的坐标分别为11220(,),(,),(0,)M x y N x y E y ， 易知B 点的坐标为(2,0)．且点B 在椭圆C 内,故过点B 的直线l 必与椭圆C 相交．∵1EM MB λ=，∴110111(,)(2,)x y y x y λ-=--．∴ 11112λλ+=x ，1011λ+=y y ． 10分将M 点坐标代入到椭圆方程中得：1)1()12(51210211=+++λλλy ，去分母整理，得0551020121=-++y λλ．11分同理，由2EN NB λ=可得：0551020222=-++y λλ．12分∴ 1λ，2λ是方程05510202=-++y x x 的两个根， ∴1021-=+λλ． 14分（Ⅱ）证法2：设,,M N E 点的坐标分别为11220(,),(,),(0,)M x y N x y E y ， 易知B 点的坐标为(2,0)．且点B 在椭圆C 内,故过点B 的直线l 必与椭圆C 相交． 显然直线 l 的斜率存在，设直线l 的斜率为 k ，则直线 l 的方程是 )2(-=x k y ． 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中，消去 y 并整理得052020)51(2222=-+-+k x k x k ． 10分∴ 22215120k k x x +=+，222151520kk x x +-=． 11分又 ∵1EM MB λ=， 则110111(,)(2,)x y y x y λ-=--．∴1112x x -=λ， 同理，由2EN NB λ=，∴2222x x -=λ． 12分∴10)(242)(22221212121221121-==++--+=-+-=+ x x x x x x x x x x x x λλ．。