北京四中初二数学期中复习——几何部分

ACB （第4题图）初中数学试卷桑水出品数学试卷（时间：100分钟满分：120分） 姓名：班级：成绩: ____________一、选择题（每小题3分，共30分）1．□ABCD 中，∠A ：∠B ＝1：2，则∠A 的度数为（）．A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°2．某服装店试销一款女式防晒服，试销期间对不同颜色的防晒服的销售情况做了统计. 如果服装店经理最关心的是哪种颜色的防晒服最畅销，那么对经理最有意义的统计量是（）． A ．平均数 B ．众数 C ．中位数 D ．方差3．关于x 的一元二次方程222310x x a ---=的一个根为2，则a 的值是（）． A ．0 B ．1 C ．-1 D ．1±4．如图，一棵大树在离地面9米高的B 处断裂，树顶A 落在离树底部C 点12米处，则大树断裂之前的高度为（）． A ．9米 B ．15米 C ．21米 D ．24米 5．某城2012年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2014年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意所列方程正确的是（）． A ．300(1+x )=363 B ．300(1+x )²=363 C ．300(1+2x )=363 D ．363(1-x )²=3006．如图，□ABCD 中，AB=10，BC=6，E 、F 分别是AD 、DC 的中点，若EF=7，则四边形EACF 的周长是（）． A ．20 B ．22 C ．29 D ．317．不能．．判定为平行四边形的是（）． A ．一组对边平行，一组对角相等的四边形B ．一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形C ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形D ．两条对角线互相平分的四边形8．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC =1，CE =3，H 是AF 的中点，那么CH 的长是（）．A ．2.5B ．5C ．322D ．29．如果关于x 的一元二次方程210ax x +-=有实数根，则a 的取值范围是（）．A ．14a >-B ．14a ≥-C ．14a ≥-且a ≠0D ．14a >-且a ≠010．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且13AE AB =，将矩形沿直线EF A BD CEF （第6题图）（第8题图）折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连接BP 交EF 于点Q ，对于下列结论：①EF =2BE ；②PF =2PE ；③FQ =4EQ ；④△PBF 是等边三角形．其中正确的是（ ）．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④二、填空题（每小题2分，共20分）11．已知a 是方程22430x x +-=的一个根，则代数式22a a +=_______．12．矩形的两条对角线所夹的锐角为60º，较短的边长为12，则对角线长为______． 13．如果把代数式223x x -+化成2()x h k -+的形式，其中h ，k 为常数，那么h+k 的值是． 14．如图，把两块相同的含30o 角的三角尺如图放置，若66AD =cm ，则三角尺的最长边长为__________cm ．15．样本数据3，6，a ，4，2的平均数是5，则a =_____；这个样本的方差是______． 16．等腰ABC ∆两边的长分别是一元二次方程2560x x -+=的两个解，则这个等腰三角形的周长是____________．17．如图，菱形ABCD 中，AB=2，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，P 是对角线 AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是__________． 18．在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为♢※△=♢²-2△，根据这个规则，方程（x -3）※x 21=0的解为__________． （第14题图）（第17题图）（第19题图）19．如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，E 为CD 边上一点，∠DAE =30°，M 为AE 的中点，过点M 作直线分别与AD 、BC 相交于点P 、Q ．若PQ =AE ，则AP 等于 cm ． 20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，有一边长为1的正方形OABC ，点B 在x 轴的正半轴上，如果以对角线OB 为边作第二个正方形OBB 1C 1，再以对角线OB 1为边作第三个正方形OB 1 B 2C 2，…，照此规律作下去，则B 2的坐标是； B 2015的坐标是． 三、解答题 21．（每小题3分）解下列关于x 的方程 （1）3x (x －2)＝2x －4；（2）x 2－3x －28＝0； （3）3x 2－4x ＝2；（4）x 2＋mx ＋2＝mx 2＋3x ．(m ≠1) 22．（本题5分）如图，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，求四边形ACBD 的面积． 23．（本题5分）如图，四边形ABCD 中，AB//CD ，AC 平分∠BAD ，CE//AD 交AB 于E. (1)求证：四边形AECD 是菱形；(2)若点E 是AB 的中点，试判断△ABC 的形状，并说明理由.(第10题图) C 4C3C 2C 1B 4B 3B 2B 1A BCO yxE24．（本题5分）已知关于x 的方程.022)13(2=+++-m x m mx(1) 求证：无论m 取任何实数，方程恒有实数根； (2) 若该方程有两个整数根，且m 为整数，求m 的值． 25．（本题5分）列方程或方程组解应用题如图，要建一个面积为40平方米的矩形花园ABCD ，为了节约材料，花园的一边AD 靠着原有的一面墙，墙长为8米（AD ＜8），另三边用栅栏围成，已知栅栏总长为24米，求花园一边AB 的长． 26．（本题5分）四中在开展“好算手”系列活动中，为了解本校1200名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成条形统计图如下： （1）求这50个样本数据的平均数、众数和中位数；（2）根据样本数据，估算该1200名学生共参加了多少次活动．27．（本题6分）已知，矩形ABCD 中，延长BC 至E ，使BE=BD ，F 为DE 的中点，连结AF ． (1) 若AB =3，AD =4，求 DE 的长； (2) 求证：∠ADB=2∠DAF28．（本题7分）如图1，EF 是中位线，AD 与EF 相交于点O ．若将△AEO 与△AFO 分别绕E EBCF 构成矩形PBCQ ，我们把这样形成的矩形称为△ABC （1）若△ABC 的边BC ＝5PBCQ 的长为________，宽为________；（2）如图2，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，AC ＝4，试求△ABC 的所有等积矩形的长和宽； （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，那么能形成这样的等积矩形的三角形有多少个？试探究其中周长最小的三角形的三边长． 四、附加题1．(本题6分）如图在矩形ABCD 中，AB =3，AD =1，点P 在线段AB 上运动设AP =x ，现将纸片折叠，使点D 与点P 重合，得折痕EF （点E ，F 为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原. （1）当点E 与点A 重合时，折痕EF 的长为； （2）当四边形EPFD 为菱形时，x 的取值范围为； （3）当x =2时，菱形EPFD 的边长为_____________．2.（本题7分）已知：α，β（α＞β）是一元二次方程x 2－x －1＝0的两个实数根，设s 1＝α＋β，s 2＝α2＋β2，…，s n ＝αn ＋βn ．根据根的定义，有α2－α－1＝0，β2－β－1＝0，将两式相加，得(α2＋β2)－(α＋β)－2＝0，于是，得s 2－s 1－2＝0．根据以上信息，解答下列问题：（1）利用配方法求α，β的值，并直接写出s 1，s 2的值；（2）猜想：当n ≥3时，s n ，s n -1，s n -2之间满足的数量关系，并证明你的猜想的正确性； （3）根据（2）中的猜想，求(1＋52)5＋(1－52)5的值．3.（本题7分）如图1，P 为正方形ABCD 的边CD 上一点，E 在CB 的延长线上，BE ＝DP ，∠CEP 的平分线交正方形的对角线AC 于点F ． （1）求证：AE ＝AF ；（2）如图2，AM ⊥PE 于M ，FN ⊥PE 于N ，求证：AM ＋FN ＝AD ；EA（3）在（2）的条件下，若正方形ABCD 的边长为a ，N 为PM 的中点，求线段FN 的长（用含a 的代数式表示）．一、选择题1.C.2.B.3.D4.D5.B6.C7.C8.B9.C 10.D 二、填空题11.3212.24 13.3 14.12 15. 10,8 16.7或19.2或1 20.(0, ,(22- 三、解答题 21.(1)1222,3x x == ； (2)127,4x x ==-(3)12x x ==；(4)1221,1x x m ==- 22.36 23.直角三角形24.(1)略 (2)1m =±. 25.x=10.26.(1)平均数=3.3 众数4, 中位数3. (2)3960略 28. （1）5 3（2）△ABC 可形成如下三个等积矩形： 图①中的矩形的长为2，宽为2 图②中的矩形的长为4，宽为1图③中的矩形的长为42＋22＝25，宽为4×22×25＝255（3）能形成这样的等积矩形的三角形有无数个其中，当以BC 为底时，构成已知等积矩形的三角形的高是4则这样的三角形的另一顶点P 在图④中的四个矩形拼成的图形中的EF 上 当P 为EF 的中点时，△PBC 的周长最小PB ＋PC ＋BC ＝3＋3 2＋82＝3＋73当以AB 为底时，构成已知等积矩形的三角形的高是6, 这样的三角形的另一顶点P 在图⑤中的EF 上 同理当P 为EF 的中点时，△PAB 的周长最小PB ＋PA ＋AB ＝2＋2 2＋122＝2＋237∵3＋73＜12，2＋237＞14∴能形成这样的等积矩形的三角形的周长最小值为3＋73 三角形的三边长分别为3，732，732附加题:53;(3)4x ≤≤ 2. 解：（1）移项，得x2－x ＝1配方，得x2－2×x ×12＋( 12)2＝1＋( 12)2即(x － 12)2＝ 54开平方，得x － 12＝±52，即x ＝1±52∵α＞β，∴α＝1＋52，β＝1－52·············· 3分于是s 1＝α＋β＝1，s 2＝s 1＋2＝3 ················ 5分 （2）猜想：s n ＝s n -1＋s n -2 ······················ 6分证明：根据根的定义，有α2－α－1＝0两边都乘以αn-2，得αn－αn-1－αn-2＝0 ①同理，βn－βn-1－βn-2＝0 ②①＋②，得(αn＋βn)－(αn-1＋βn-1)－(αn-2＋βn-2)＝0∵s n＝αn＋βn，s n-1＝αn-1＋βn-1，s n-2＝αn-2＋βn-2∴s n－s n-1－s n-2＝0，即s n＝s n-1＋s n-2···············10分（3）由（1）知，s1＝1，s2＝3由（2）中的关系式可得：s3＝s2＋s1＝4，s4＝s3＋s2＝7，s5＝s4＋s3＝11，3.（1）连接AP∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠ABE＝∠D＝90°又BE＝DP，∴△ABE≌△ADP∴AE＝AP，∠BAE＝∠DAP∵∠BAP＋∠DAP＝90°∴∠BAP＋∠BAE＝90°，即∠EAP＝90°∴∠AEP＝∠APE＝45°∵正方形ABCD，∴∠ACB＝45°∴∠AEP＝∠ACB∵∠AEF＝∠AEP＋∠PEF，∠AFE＝∠ACB＋∠CEF又∠PEF＝∠CEF，∴∠AEF＝∠AFE∴AE＝AF（2）过F作FH⊥AM于H则四边形MHFN是矩形，∴FN＝MH由（2）知，AE＝AP，AE＝AF∴AF＝AP易知△AEP是等腰直角三角形又AM⊥PE，∴AM＝PM，∠MAP＝45°∴∠HAF＝∠DAP＝45°－∠PAF又∠AHF＝∠D＝90°，∴△AHF≌△ADP∴AD＝AH＝AM＋MH＝AM＋FN即AM＋FN＝AD（3）设FN＝x，则PM＝AM＝a－x，AP＝2(a－x)∵△AHF≌△ADP，∴DP＝FH＝MN＝12PM＝12(a－x)在Rt△ADP中，a2＋[12(a－x)]2＝[2(a－x)]2整理得：7x2－14ax＋3a2＝0ABDC EFP ABDC EFPMNH解得：x1＝a＋277a（舍去），x1＝a－277a即FN＝a－277a。

北京市第四中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．函数y x 的取值范围是（ ） A ．2x ≠B ．2x <C ．2x >D ．2x ≥2．下列根式是最简二次根式的是（ ）A B C D 3．下列各组数中，是直角三角形三边长的一组数为（ ） A ．1，2，3B ．4，5，6C ．15，9，17D ．1.5，2.5，24．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O 点，给出四组条件：①AB DC =，AD BC ∥； ②AB CD =，AB CD ∥； ③AB CD ∥，AD BC ∥； ④OA OC =，OB OD =．能判定此四边形是平行四边形的有（ ）组． A ．1B ．2C ．3D ．45．一次函数24y kx k =-+的图象可能经过的点是（ ） A ．()0,4B ．()3,4C ．()0,3D ．()2,36．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC ＝4，BC ＝2时，则阴影部分的面积为（ ）A ．4B ．4πC ．8πD ．87．若函数y kx b =-的图象如图所示，则关于x 的不等式()30k x b -+>的解集为（ ）A ．1x <B ．2x <C ．3x <D ．5x <8．已知112233()()()x y x y x y ，，，，，为直线23y x =-+上的三个点，且123x x x <<，则以下判断正确的是（ ）． A ．若120x x >，则130y y > B ．若130x x <，则120y y > C ．若230x x >，则130y y >D ．若230x x <，则120y y >二、填空题9．已知()113,P y -，()222,P y 是一次函数31y x =+图象上的两个点，则1y 2y （填“>”、“<”或“=”）．10．在平行四边形ABCD 中，30A ∠=︒，7AB =，21ABCD S 平行四边形=，则AD = ． 11．如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，A ，B ，C ，D 都是格点，AB 与CD 相交于点P ，则BPD ∠= ︒．12．小明做了一个矩形的纸板，但他不确定纸板形状是否标准．小宁用刻度尺度量了这个四边形的四条边长和对角线长，然后告诉小明，纸板是标准的矩形．小宁得出这个结论的依据是（1） ；（2） ．13．我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：如果一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，那么三角形的面积为S ，S =，那么它的面积为 ．14．如图，在四边形ABCD 中，6AB =，10BC =，130A ∠=︒，100D ∠=︒，AD CD =．若点E ，F 分别是边AD ，CD 的中点，则EF 的长是 ．15．如图，矩形矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 在边BC 上，AB BE =且2CBD CAE ∠=∠，连结OE ，则AOEBOE S S V V 的值是 ．16．如图，正方形ABCD 边长为1，点M ，N 分别是边AD ，CD 上的动点且AM CN =，作NP BM ⊥于点P ，则AP 的最小值是 ．三、解答题 17．计算：2-+-；(2)． 18．直线15y x =-+交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，与直线224y x =-交于点C ． (1)求交点C 的坐标；(2)直接写出当x 取何值时12y y <；(3)在y 轴上取点P 使得2OP OB =，直接写出ABP V 的面积．19．一次函数y kx b =+的图象由函数y x =-的图象平移得到，且经过点()1,1． (1)求这个一次函数的表达式；(2)当1x <时，对于x 的每一个值，函数()10y mx m =-≠的值小于一次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围．20．春季同学们到北海公园赏花游白塔（如图1），这座白塔位于北京市西城区文津街1号北海公园永安寺内，建在善因殿后的山顶．它始建于清顺治八年（1651年），由塔基、塔身和塔顶三部分组成．初二年级课外实践小组为测量永安寺白塔的高度，利用测角仪及皮尺测得以下数据：如图2，84m AE =，30BDG ∠=︒，45BFG ∠=︒．已知测角仪DA 的高度为1.5m ，则永安寺白塔BC 1.7 1.4，结果保留整数）21．如图1，在ABC V 中，D ，E 分别是边,AB AC 上的点．对“三角形中位线定理”逆向思考，可得以下3则命题： I ．若D 是AB 的中点，12DE BC =，则E 是AC 的中点； II ．若DE BC ∥，12DE BC =，则D ，E 分别是,AB AC 的中点； III ．若D 是AB 的中点，DE BC ∥，则E 是AC 的中点．(1)小明通过对命题I 的思考，发现命题I 是假命题．他的思考方法如下：在图2中使用尺规作图作出满足命题I 条件的点E ，从而直观判断E 不一定是AC 的中点．小明尺规作图的方法步骤如下：①在图2中，作边BC 的垂直平分线，交BC 于点M ；②在图2中，以点D 为圆心，以BM 的长为半径画弧与边AC 交与点E 和E '； 请你在图2中完成以上作图．(2)小明通过对命题II 和命题III 的思考，发现这两个命题都是真命题，请你从这两个命题中选择一个，并借助于图1进行证明．22．如图，在四边形ABCD 中，AB DC ∥，AB DC =，对角线AC ，BD 交于点O ，且AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)连接OE ，交CB 于点F ，若20ACB ∠=︒，则∠=CFE __________︒． 23．已知：直线334y x =+，分别交x 轴，y 轴于点A 与点B ．(1)直接写出点A 与点B 的坐标；(2)如图1，在线段OB 上有一点C ，将ABC V 沿直线AC 折叠后，点B 恰好落在x 轴上的点D 处，求点C 的坐标；(3)将直线AB 绕点B 逆时针旋转45°交x 轴于点P ，求点P 的坐标．24．倡导垃圾分类，共享绿色生活：为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研发出A 型和B 型两款垃圾分拣机器人，已知1台A 型机器人每小时分拣垃圾0.4吨，1台B 型机器人每小时分拣垃圾0.2吨．(1)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A 型和B 型垃圾分拣机器人，这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨．设购买A 型机器人a 台（1045a ≤≤），B 型机器人b 台，请用含a 的代数式表示b ；(2)机器人公司的报价如下表：在（1）的条件下，设购买总费用为w 万元，问如何购买使得总费用w 最少？请说明理由． 25．在菱形ABCD 中，()2045ABC αα∠=<<︒，对角线AC BD ，相交于点O ，点E 是线段BO 上动点（不与B ，O 重合），将线段EO 绕点E 顺时针旋转2α得到线段EF ．(1)如图1，当点F 在线段BC 上时，求证：点E 是线段BO 的中点；(2)如图2，作点B 关于点E 的对称点G ，连结CG FG ，，猜想CFG ∠的度数，并证明． 26．定义：关于x ，y 的方程1m ax by c n dx ey f +++++=称为“双绝对值方程”；所有满足“双绝对值方程”的坐标点(),x y 组成的图形称为“双绝对值图形”． 例如：如图1是“双绝对值方程”1x y +=所对应的“双绝对值图形”，求：(1)画出“双绝对值方程”21x y +=所对应的“双绝对值图形”；(2)点()1,0A -，()1,1B ，()1,0C ，()1,1D --组成平行四边形，写出对角线BD 所在直线的函数解析式，并写出“双绝对值图形”ABCD Y 所对应的“双绝对值方程”；(3)对于线段MN ，其中()2,0M -，()0,1N -，1m y x y -+=对应的“双绝对值图形”与线段MN 有两个公共点，求出m 的取值范围；(4)类似的对于方程1x y x y +++=我们可以定义“三绝对值方程”，请画出其对应的“三绝对值图形”．四、单选题27．若12,,,n p p p ⋅⋅⋅是平面上的n 个点，12,,,m l l l ⋅⋅⋅是以这些点为端点的m 条线段，且这些线段的长度均为1，则称此图形为“(),n m 火柴棍图”．以下4个图依次是()12,21火柴棍图，()16,29火柴棍图，()19,35火柴棍图，()25,47火柴棍图，其中阴影四边形一定是正方形的为（ ）A ．B ．C ．D ．五、填空题28．在平面直角坐标系xOy 中，x ，y 表示自变量和对应的函数．一次函数1y ax b =+，2y cx d =+，3y ex f =+，若()()()123113210220x y y y x x x x ⎧-≤-⎪-+=+-<<⎨⎪-+≥⎩请给出一组满足的条件的函数：1y = ，2y = ，3y = ．29．横，纵坐标均为整数的点称为整点，例如：()2,3为一个整点．已知点A 为()1,1，点B为()5,1，点C 为()5,5，点D 为()1,5．（1）正方形ABCD 边及其内部，有 个整点；（2）若坐标系内取k 个整点，满足如下条件：对于正方形ABCD 边及其内部的任意整点，总可以在这k 个整点中找到一个点，和它所连的线段上没有整点（除端点外），我们把满足条件的k 的最小值称为此正方形的“分隔数”．问：正方形ABCD 的分隔数是 ．。

《平行四边形》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.掌握平行四边形的性质定理和判定定理.2.掌握三角形的中位线定理.3.了解多边形的定义以及内角、外角、对角线等概念.掌握多边形的内角和与外角和公式.4.积累数学活动经验，发展推理能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“口ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.要点诠释：平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.要点二、平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；要点诠释：（1）平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.要点三、平行四边形的判定定理1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.要点诠释：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.要点四、平行线间的距离1.两条平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离.注：距离是指垂线段的长度，是正值.2．平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等.平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.要点五、三角形的中位线三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点六、多边形内角和、外角和n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3)．要点诠释：(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于(2)180nn-⋅°；多边形的外角和为360°．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关. 【典型例题】类型一、平行四边形的性质与判定1、如图①，在口ABCD的形外分别作等腰直角△ABF和等腰直角△ADE，∠FAB＝∠EAD ＝90°，连接AC、EF．在图中找一个与△FAE全等的三角形，并加以证明．应用以口ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图②，连接EF、GH、IJ、KL．若口ABCD 的面积为5，则图中阴影部分四个三角形的面积和为________.【思路点拨】首先证明：△FAE≌△CDA，则阴影部分四个三角形的面积和是口ABCD的面积的2倍，据此即可求解．【答案与解析】解：△FAE≌△CDA．证明：在平行四边形ABCD中，AB＝CD，∠BAD＋∠ADC＝180°，等腰直角△ABF和等腰直角△ADE中，AF＝AB，AE＝AD，∠FAB＝∠EAD＝90°，∴∠FAE＋∠BAD＝180°，∴∠EAF＝360°－∠EAD－∠FAB－∠DAB＝180°－∠DAB，∠ADC＝180°－∠DAB，∴∠FAE＝∠ADC，∴△FAE≌△CDA，同理，在图形②中，△AEF≌△DAC≌△CIJ，△BGH≌△DKL≌△CDB∴四个三角形的面积和为12×5×4＝10．故答案是：10．【总结升华】本题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明：△FAE≌△CDA是解题的关键．举一反三：【变式】分别以口ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．（1）如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系并证明）；（2）如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【答案】解：（1）GF ⊥EF ，GF ＝EF 成立；∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，∠DAB ＋∠ADC ＝180°，∵△ABE ，△CDG ，△ADF 都是等腰直角三角形，∴DG ＝CG ＝AE ＝BE ，DF ＝AF ，∠CDG ＝∠ADF ＝∠BAE ＝45°， ∴∠GDF ＝∠GDC ＋∠CDA ＋∠ADF ＝90°＋∠CDA ，∠EAF ＝360°﹣∠BAE ﹣∠DAF ﹣∠BAD ＝270°﹣（180°﹣∠CDA ）＝90°＋∠CDA ，∴∠FDG ＝∠EAF ，∵在△EAF 和△GDF 中，DF AF FDG FAE DG AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EAF ≌△GDF （SAS ），∴EF ＝FG ，∠EFA ＝∠DFG ，即∠GFD ＋∠GFA ＝∠EFA ＋∠GFA ， ∴∠GFE ＝90°， ∴GF ⊥EF ； （2）GF ⊥EF ，GF ＝EF 成立；理由：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，∠DAB ＋∠ADC ＝180°，∵△ABE ，△CDG ，△ADF 都是等腰直角三角形，∴DG ＝CG ＝AE ＝BE ，DF ＝AF ，∠CDG ＝∠ADF ＝∠BAE ＝45°， ∴∠BAE ＋∠FAD ＋∠EAF ＋∠ADF ＋∠FDC ＝180°， ∴∠EAF ＋∠CDF ＝45°， ∵∠CDF ＋∠FDG ＝45°， ∴∠FDG ＝∠EAF ， ∵在△EAF 和△GDF 中，DF AF FDG FAE DG AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△EAF ≌△GDF （SAS ），∴EF ＝FG ，∠EFA ＝∠DFG ，即∠GFD ＋∠GFA ＝∠EFA ＋∠GFA ， ∴∠GFE ＝90°， ∴GF ⊥EF ．2、如图，点D 是△ABC 的边AB 的延长线上一点，点F 是边BC 上的一个动点（不与点B 重合）．以BD 、BF 为邻边作平行四边形BDEF ，又AP BE （点P 、E 在直线AB 的同侧），如果BD ＝14AB ，那么△PBC 的面积与△ABC 面积之比为（ ） A ．14 B ．35 C ．15 D ．34【答案与解析】解：过点P 作PH∥BC 交AB 于H ，连接CH ，PF ，∵AP BE ，∴四边形APEB 是平行四边形， ∴PE∥AB，PE ＝AB ，∵四边形BDEF 是平行四边形， ∴EF∥BD，EF ＝BD ， 即EF∥AB，∴P，E ，F 共线，设BD ＝a ，∵BD＝14AB ，∴PE＝AB ＝4a ， 则PF ＝PE －EF ＝3a ，∵PH∥BC，∴HBC BC S S △△P ，∵PF∥AB，∴四边形BFPH 是平行四边形， ∴BH＝PF ＝3a ，∵:HBC ABC S S △△＝BH ：AB ＝3a ：4a ＝3：4， ∴:BC ABC S S △P △＝3：4．【总结升华】此题考查了平行四边形的判定与性质与三角形面积比的求解方法．此题难度较大，注意准确作出辅助线，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比． 举一反三：【变式】已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，分别以AB 、AC 、BC 为一边在BC 边同侧作正△ABD 、正△ACE 和正△BCF ，求以A 、E 、F 、D 四点为顶点围成的四边形的面积．【答案】证明：∵ AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，∴∠BAC ＝90°∵△ABD 、△ACE 和△BCF 为正三角形， ∴AB ＝BD ＝AD ，AC ＝AE ＝CE ，BC ＝BF ＝FC , ∠1＋∠FBA ＝∠2＋∠FBA ＝60° ∴∠1＝∠2易证△BAC ≌△BDF （SAS ）， ∴DF ＝AC ＝AE ＝4，∠BDF ＝90° 同理可证△BAC ≌△FEC ∴AB ＝AD ＝EF ＝3∴四边形AEFD 是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形） ∵DF ∥AE ，DF ⊥BD延长EA 交BD 于H 点，AH ⊥BD ，则H 为BD 中点 ∴平行四边形AEFD 的面积＝DF ×DH ＝4×32＝6. 3、在平行四边形ABCD 中，点A 1，A 2，A 3，A 4和C 1，C 2，C 3，C 4分别AB 和CD 的五等分点，点B 1，B 2和D 1，D 2分别是BC 和DA 的三等分点，已知四边形A 4B 2C 4D 2的面积为1，则平行四边形ABCD 面积为（ ） A ．2 B ．35 C ．53D ．15【思路点拨】可以设平行四边形ABCD 的面积是S ，根据等分点的定义利用平行四边形ABCD 的面积减去四个角上的三角形的面积，就可表示出四边形A 4B 2C 4D 2的面积，从而得到两个四边形面积的关系，即可求解． 【答案】C ； 【解析】解：设平行四边形ABCD 的面积是S ，设AB ＝5a ，BC ＝3b ．AB 边上的高是3x ，BC 边上的高是5y ．则S ＝5a •3x ＝3b •5y ．即a x ＝b y ＝15S ． △AA 4D 2与△B 2CC 4全等，B 2C ＝13BC ＝b ，B 2C 边上的高是45•5y ＝4y ．则△AA 4D 2和△B 2CC 4的面积是2b y ＝215S ． 同理△D 2C 4D 与△A 4BB 2的面积是15S ． 则四边形A 4B 2C 4D 2的面积是S －215S －215S －15S －15S ＝915S ，即915S＝1，解得S ＝53．【总结升华】考查平行四边形的性质和三角形面积计算，正确利用等分点的定义，得到两个四边形的面积的关系是解决本题的关键． 类型二、三角形的中位线4、如图，△ABC 的周长为26，点D ，E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC ＝10，则PQ 的长为（ ）A.32 B.52C.3D.4 【答案】C ； 【解析】解：易证△ABQ ≌△EBQ, AB ＝BE ，Q 为AE 中点，△ACP ≌△DCP, AC ＝CD ，P 为AD 中点， ∴PQ ∥DE,PQ ＝12DE ， ∵AB ＋AC ＋BC ＝26，BC ＝10，∴AB ＋AC ＝BE ＋CD ＝16＝BD ＋DE ＋DE ＋EC ＝BC ＋DE ， ∴DE ＝6，PQ ＝12DE ＝3. 【总结升华】本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形． 类型三、多边形内角和与外角和5、若一个多边形的每个外角都等于60°，则它的内角和等于（ ） A ．180° B ．720° C ．1080° D ．540° 【思路点拨】由一个多边形的每个外角都等于60°，根据n 边形的外角和为360°计算出多边形的边数n ，然后根据n 边形的内角和定理计算即可． 【答案】B ； 【解析】解：设多边形的边数为n，∵多边形的每个外角都等于60°，∴n＝360°÷60°＝6，∴这个多边形的内角和＝（6－2）×180°＝720°．【总结升华】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和＝（n－2）•180°；也考查了n边形的外角和为360°．举一反三：【变式】如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1＝______.【答案】30°．解：作出辅助线如图：则∠2＝42°，∠1＝∠3，∵五边形是正五边形，∴一个内角是108°，∴∠3＝180°－∠2－108°＝30°，∴∠1＝∠3＝30°．6、甲、乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，其作法如下：（甲）连接BD、CE，两线段相交于P点，则P即为所求（乙）先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确【思路点拨】求出五边形的每个角的度数，求出∠ABP、∠AEP、∠BPE的度数，根据平行四边形的判定判断即可．【答案】C；【解析】解：甲正确，乙错误，理由是：如图，∵正五边形的每个内角的度数是()521805-⨯︒＝108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∴∠DEC＝∠DCE＝12×（180°－108°）＝36°，同理∠CBD＝∠CDB＝36°，∴∠ABP＝∠AEP＝108°－36°＝72°，∴∠BPE＝360°－108°－72°－72°＝108°＝∠A，∴四边形ABPE是平行四边形，即甲正确；∵∠BAE＝108°，∴∠BAM＝∠EAM＝54°，∵AB＝AE＝AP，∴∠ABP＝∠APB＝12×（180°－54°）＝63°，∠AEP＝∠APE＝63°，∴∠BPE＝360°－108°－63°－63°≠108°，即∠ABP＝∠AEP，∠BAE≠∠BPE，∴四边形ABPE不是平行四边形，即乙错误；【总结升华】本题考查了正五边形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行四边形的判定的应用，注意：有两组对角分别相等的四边形是平行四边形．。

数学试卷班级__________ 姓名__________学号__________ 成绩__________一、选择题（本题共16分，每小题2分） 1．下列选项中，属于最简二次根式的是（ ） AB C D 2．以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（ ） A ．2,3,4B ,3,5C ．6,8,10D．5,12,123．下列化简正确的是（ ） A．(22=B 2=−C ．2=D =4．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，要使四边形ABCD 是平行四边形，下列添加的条件不正确的是（ ） A ．AD ＝BCB ．AB ＝CDC ．AD ∥BCD ．∠A ＝∠C5．如图，四边形ABCD 是平行四边形，O 是对角线AC 与BD 的交点，AB ⊥AC ，若AB ＝8，AC ＝12，则BD 的长是（ ） A ．20B ．21C ．22D ．236．如图，矩形ABCD 中，AC ，BD 交于点O . M ，N 分别为BC ，OC 的中点．若∠ACB ＝30°，AB ＝8，则MN 的长为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16（第4题）(第5题)(第6题)7． 如图，在长方形ABCD 中无重叠放入面积分别为8和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A．8−B．12−C．4−D．28．在菱形ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的点(不与端点重合)，对于任意菱形ABCD ，下面四个结论中， ①存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形； ②存在无数个四边形MNPQ 是矩形； ③存在无数个四边形MNPQ 是菱形； ④至少存在一个四边形MNPQ 是正方形． 其中正确的有（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3D ．4(第7题) (第8题)二、填空题（本题共16分，每小题2分）9x 的取值范围是 ． 10．如图，校园内有一块矩形草地，为了满足人们的多样化需求，在草地内拐角位置开出了一条“路”，走此“路”至少可以省 m 的路程． 11．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝4，CD 是△ABC 的中线，E 是CD 的中点，连接AE ，BE ，若AE ⊥BE ，垂足为E ，则AC 的长为 ． 12．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O . E ,F ,G ,H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点. 只需添加一个条件，即可使四边形EFGH 是矩形，这个条件可以是（写出一个即可）．(第10题) (第11题) (第12题)DA EF OCGH13．已知a ，b ，c 分别为Rt △ABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，且∠C ＝90°， a 和b()230b +−=，则c 的长为 ．14．如图，在正方形ABCD 中，点F 为CD 上一点，BF 与AC 交于点E ，若∠CBF ＝20°，则∠AED 的度数为 ．15．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”．若BC =3，AC ＝4，则图中阴影部分的面积为 ．16．如图，线段AB 的长为10，点D 在线段AB 上运动，以AD 为边长作等边三角形ACD .再以CD 为边长，在线段AB 上方作正方形CDGH . 记正方形CDGH 的对角线交点为O . 连接OB ，则线段BO 的最小值为 ．（第14题） (第15题) (第16题) 三、 解答题（本题共68分） 17．（本题12分） 计算：（1（2）2−；（3．18．（本题8分）如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，点F 在线段BD 上，且DE ＝BF ．求证：AE ∥CF ．如图，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC 的顶点都在格点上．（1）△ABC 的面积为 ； （2）通过计算判断△ABC 的形状； （3）求AB 边上的高．20．（本题8分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC 为0.7m ，梯子顶端到地面的距离AC 为2.4m ．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A 'D 为1.5m ． 求小巷的宽CD ．21．（本题8分）如图，在东西方向的海岸线上有A ，B 两个港口，甲货船从A 港出发沿东北方向（北偏东45°）行驶，同时乙货船从B 港口出发沿北偏西60°方向行驶，乙货船行驶10海里后和甲货船相遇在点P 处．求A 港与B 港相距多少海里．C D北如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作BE 的垂线交BE于点F，交BC于点G，连接EG，CF．（1）求证：四边形ABGE是菱形；（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，AD＝5，求CF的长．23．（本题8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P从点A出发，沿射线AC以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）当点P在AC延长线上运动时，CP的长为；（用含t的代数式表示）（2）若点P在∠ABC的角平分线上，求t的值；（3）在整个运动中，直接写出△ABP是等腰三角形时t的值．24．（本题8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作BC的垂线AD，垂足为点D. 点E为线段DC上一动点（不与点C重合），连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF，与线段AD交于点G，连接CF．（1）依题意补全图形；直接写出BC与CF的位置关系；（2）求证：12AG DE BE+=；（3）直接写出AE，BE，AG之间的数量关系．备用图附加题（共10分）1．（本题4分）在学习了二次根式一章后，老师给小郭同学出了这样一道思考题：小郭同学认真分析了式子的结构，做出如下解答：设x =，两边平方得：222x =++，即2334x =++，210x =，x ∴=．350+>,=．的值． 2．（本题6分）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P 和正方形OABC ，给出如下定义：若点P 在正方形OABC 内部（不包括边界）,且P 到正方形OABC 的边的最大距离是最小距离的2倍，则称点P 是正方形OABC 的2倍距离内点． 已知: ()(),0,,A a B a a ． （1）当a =6时，①点()()()1231,3,3,2,4,1P P P −三个点中， 是正方形OABC 的2倍距离内点； ②点(),4P n 是正方形OABC 的2倍距离内点，请直接写出n 的取值范围； （2）点()()1,1,2,2E F ，若线段EF 上存在正方形OABC 的2倍距离内点，请直接写出a 的取值范围；（3）当69a ≤≤时，请直接写出所有正方形OABC 的所有2倍距离内点组成的图形面积．数学参考答案一、选择题1.C2. C3.A4. A5. A6. B7. A8.D二、填空题9. x≥3210. 2 11. 2√312. 答案不唯一，如：AC⊥BD13. √1314. 65︒15. 6 16. 5三、解答题17. (1) 原式=3√2−√24−2√2=3√24(2) 原式=5−2√6−1=4−2√6(3) 原式=2√3×(5√3+√3−4√3)=2√3×2√3=12或原式=30+6−24=1218. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF，在△ADE和△CBF中，{AD=CB∠ADE=∠CBFDE=BF，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴∠AED＝∠CFB，∴AE∥CF．19. 解：（1）5；（2）由图可得，BC＝√12+22=√5，AC＝√22+42=2√5，AB＝√32+42=5，∴BC2+AC2＝(√5)2+(2√5)2＝52＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（3）设AB边上的高为x，∵△ABC是直角三角形，，∴5=AB∙x2，即5=5∙x2解得x＝2，即AB边上的高是2．20. 解：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝√2.42+0.72＝2.5（m），∴A′B＝AB＝2.5米，在Rt△A′BD中，由勾股定理得：BD＝√2.52−1.52＝2（m），∴CD＝BC+BD＝2+0.7＝2.7（m）.即小巷的宽为2.7米.21. 解：作PH⊥AB于点H，∵乙货船从B港口沿北偏西60°方向行驶，∴∠PBH＝30°，又∵BP＝10海里，H ∴PH＝5海里, BH＝5√3海里,∵∠PAH＝45°，∴PH＝AH＝5海里，∴AB＝AH+BH＝（5+5√3）海里，即：A港与B港相距（5+5√3）海里.22. （1）证明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC且AD＝BC，∴∠CBE＝∠AEB，∴∠ABE＝∠AEB＝∠CBE，∴AB＝AE，∵AF⊥BE，∴∠AFB ＝∠GFB ＝90°，在△ABF 和△GBF 中 {∠ABE =∠CBEBF =BF∠AFB =∠GFB ， ∴△ABF ≌△GBF （ASA ）， ∴AB ＝GB ， ∴AE ＝GB ， 又∵AD ∥BC ，∴四边形ABGE 是平行四边形， 又∵AB ＝GB ，∴四边形ABGE 是菱形；（2）解：过点F 作FM ⊥BC 于点M ，如图所示： ∵四边形ABGE 是菱形，∴∠GBE ＝12∠ABC ＝30°，BG ＝AB ＝4，BC ＝AD ＝5，在Rt △BFG 中，BF ＝2√3，在Rt △BFM 中，FM ＝12BF ＝12×2√3＝√3，BM ＝3， ∴CM ＝BC ﹣BM ＝5﹣3＝2，∴Rt △FMC 中，CF ＝√(√3)2+22=√7． 23. 解：(1)2t ﹣4．………………2分 (2)若点P 在∠ABC 的角平分线上，则： 设PM ＝PC ＝y ，则AP ＝4﹣y ， 在Rt △APM 中，AM 2+PM 2＝AP 2， ∴22+y 2＝（4﹣y ）2， 解得y =32，(4−32)÷2=54，即若点P 在∠ABC 的角平分线上，则t 的值为54． （3）t 的值为2516或52或4．24.（1）补全图形如右图猜想：BC ⊥CF（2）证明：过F 作FH ⊥AD ，交AD 延长线于H ∵∠BAC ＝∠EAF ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CAF ， 在△ABE 和△ACF 中， {AB =AC∠BAE =∠CAF AE =AF ，∴△ABE ≌△ACF （SAS ）， ∴∠ABE ＝∠ACF ＝45°，CF=BE , ∵∠ACB ＝45°，∴∠BCF ＝45°+45°＝90°， ∴BC ⊥CF ；∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴BD ＝CD ，∵∠FCD ＝∠ADC =∠H =90°， ∴四边形HFCD 为矩形， ∴HF ＝CD=BD ，CF=HD ,又∵∠ADB =∠H =90°, ∠BGD =∠HGF , ∴△BDG ≌△HGF （AAS ）， ∴HG ＝DG =12CF=12BE ，∵∠ADE =∠H =90°, ∠HAF =90°-∠DAE=∠AED , AF=AE, ∴△ADE ≌△HAF （AAS ）， ∴HA ＝DE ∴AG +DE=AG+HA=GH ∴AG +DE = 12BE ．（3）2AE 2＝BE 2+4AG 2. 附加题1. 解：根据题意，设x ＝√4+√7+√4−√7，2022-2023学年度第二学期初二年级期中测验数学学科参考答案 5 / 5 两边平方得：x 2＝（√4+√7）2+（√4−√7）2+2√(4−√7)(4+√7)， x 2＝4+√7+4﹣√7+2×√16−7，即x 2＝4+√7+4﹣√7+6，x 2＝14，∴x ＝±√14，∵√4+√7+√4−√7＞0，∴x ＝√14．2. (1)①P 2②2≤n ≤4(2)32≤a ≤6(3)13。

八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）1．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．20°或100°B．120°C．20°或120°D．36°2．如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为（）A．34cm B．32cm C．30cm D．28cm3．如图，在等边三角形ABC中，D是AC边上的中点，延长BC到点E，使CE=CD，则∠E的度数为（）A．15°B．20°C．30°D．40°4．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．不等式组的整数解共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B． C． D．7．不等式的负整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，已知直线y1=x+m与y2=kx﹣1相交于点P（﹣1，1），关于x的不等式x+m＞kx ﹣1的解集是（）A．x≥﹣1 B．x＞﹣1 C．x≤﹣1 D．x＜﹣19．已知△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，将△ABC向右平移6个单位，则平移后A点的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）10．如图，若正六边形ABCDEF绕着中心点O旋转α度后得到的图形与原来图形重合，则α的最小值为（）A．120°B．90°C．45°D．60°11．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数为（）A．25°B．30°C．50°D．55°12．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种二、填空题（本大题有4小题，每小题3分，共12分）13．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD=_______．14．如图，∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是_______度．15．直线y=2x+b经过点（3，5），则关于x的不等式2x+b≥0的解集为_______．16．如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△A0B绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是_______．三、解答题（本大题有7小题，共52分）17．已知不等式5x﹣2＜6x+1的最小正整数解是方程3x﹣ax=6的解，求a的值．18．某学校要印制一批《学生手册》，甲印刷厂提出：每本收1元印刷费，另收500元制版费；乙印刷厂提出：每本收2元印刷费，不收制版费．（1）分别写出甲、乙两厂的收费y甲（元）、y乙（元）与印制数量x（本）之间的关系式；（2）问：该学校选择哪间印刷厂印制《学生手册》比较合算？请说明理由．19．P为正方形ABCD内一点，且AP=2，将△APB绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AP′D．（1）作出旋转后的图形；（2）试求△APP′的周长和面积．20．如图①点A、B、C、D在同一直线上，AB=CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE=DF．（1）证明：EF平分线段BC；（2）若△BFD沿AD方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．21．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上的一点，线段BD的垂直平方线EG交AB于点E，交BD于点G．（1）当∠B=30°时，AE和EF有什么关系？请说明理由；（2）当点D在BC延长线上（CD＜BC）运动时，点E是否在线段AF的垂直平分线上？23．如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F．（1）证明：∠CAE=∠CBF；（2）证明：AE=BF；（3）以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG，如果存在点P，能使得S△ABC=S△ABG，求∠ACB的取值范围．八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分）1．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．20°或100°B．120°C．20°或120°D．36°【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【分析】本题难度中等，考查等腰三角形的性质．因为所成比例的内角，可能是顶角，也可能是底角，因此要分类求解．【解答】解：设两内角的度数为x、4x；当等腰三角形的顶角为x时，x+4x+4x=180°，x=20°；当等腰三角形的顶角为4x时，4x+x+x=180°，x=30，4x=120；因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．故选C．2．如图，木工师傅从边长为90cm的正三角形木板上锯出一正六边形木块，那么正六边形木板的边长为（）A．34cm B．32cm C．30cm D．28cm【考点】等边三角形的性质；多边形．【分析】仔细分析题目，图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长，所以求出正六边形的周长就可求出正六边形的边长．【解答】解：图中小三角形也是正三角形，且边长等于正六边形的边长，所以正六边形的周长是正三角形的周长的，正六边形的周长为90×3×=180cm，所以正六边形的边长是180÷6=30cm．故选C．3．如图，在等边三角形ABC中，D是AC边上的中点，延长BC到点E，使CE=CD，则∠E的度数为（）A．15°B．20°C．30°D．40°【考点】等边三角形的性质．【分析】根据等边三角形的性质可得∠ACB=60°，∠CBD=30°，再根据等边对等角的性质求出∠E=∠CDE，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求解得到∠E的度数．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，D是AC中点，∴∠ACB=60°，∠CBD=30°，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠BCD=∠E+∠CDE=2∠E=60°，∴∠E=30°，故选C．4．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】利用线段的垂直平分线的性质计算．通过已知条件由∠B=90°，∠BAE=10°⇒∠AEB，∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE=CE∴∠EAC=∠C，又∵∠B=90°，∠BAE=10°，∴∠AEB=80°，又∵∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，∴∠C=40°．故选：B．5．不等式组的整数解共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值，根据x是整数解得出x的可能取值．【解答】解：，解①得：x≥3，则不等式组的解集是：3≤x＜5．则整数解是3和4，共2个．故选：B．6．已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B． C． D．【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组；点的坐标．【分析】根据第二象限内点的坐标特点，可得不等式，根据解不等式，可得答案．【解答】解：已知点P（3﹣m，m﹣1）在第二象限，3﹣m＜0且m﹣1＞0，解得m＞3，m＞1，故选：A．7．不等式的负整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】一元一次不等式的整数解．【分析】先求出不等式组的解集，再求不等式组的整数解．【解答】解：去分母得，x﹣7+2＜3x﹣2，移项得，﹣2x＜3，解得x＞﹣．故负整数解是﹣1，共1个．故选A．8．如图，已知直线y1=x+m与y2=kx﹣1相交于点P（﹣1，1），关于x的不等式x+m＞kx ﹣1的解集是（）A．x≥﹣1 B．x＞﹣1 C．x≤﹣1 D．x＜﹣1【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】观察函数图象得到当x＞﹣1时，直线y1=x+m都在直线y2=kx﹣1上方，即x+m＞kx﹣1．【解答】解：根据题意得当x＞﹣1时，y1＞y2，所以不等式x+m＞kx﹣1的解集为x＞﹣1．故选B．9．已知△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，将△ABC向右平移6个单位，则平移后A点的坐标是（）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）【考点】坐标与图形变化-平移．【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．【解答】解：原三角形中点A的坐标是（﹣4，1），将△ABC向右平移6个单位后，平移后点的横坐标变为﹣4+6=2，而纵坐标不变，所以点A的坐标变为（2，1）．故选B．10．如图，若正六边形ABCDEF绕着中心点O旋转α度后得到的图形与原来图形重合，则α的最小值为（）A．120°B．90°C．45°D．60°【考点】旋转对称图形．【分析】先求出正六边形ABCDEF的中心角，然后根据正六边形的性质可判定正六边形ABCDEF绕着中心点O旋转60°的整数倍后得到的图形与原来图形重合．【解答】解：∵正六边形ABCDEF的中心角的度数为=60°，∴正六边形ABCDEF绕着中心点O旋转60°的整数倍后得到的图形与原来图形重合．故选D．11．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数为（）A．25°B．30°C．50°D．55°【考点】旋转的性质．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．【解答】解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°．故选C．12．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）．若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有（）A．2种B．3种C．4种D．5种【考点】利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．【分析】利用轴对称图形的性质以及中心对称图形的性质分析得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示：组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有4种．故选：C．二、填空题（本大题有4小题，每小题3分，共12分）13．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD=18°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数．【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°．∵BD⊥AC于点D，∴∠CBD=90°﹣72°=18°．故答案为：18°．14．如图，∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是115度．【考点】线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的性质．【分析】先由题意得出垂直平分线垂直且平分BC，BE=EC，由题意可得∠C=∠EBC=×50°=25°，所以∠AEC=90°+25°=115°．易求解．【解答】解：∵AD垂直且平分BC于点D，∴BE=EC，∴∠DBE=∠DCE，又∵∠ABC=50°，BE为∠ABC的平分线，∴∠EBC=∠C=，∴∠AEC=∠C+∠EDC=90°+25°=115°，∴∠AEC=115°．故答案为：115°．15．直线y=2x+b经过点（3，5），则关于x的不等式2x+b≥0的解集为x≥．【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】首先利用待定系数法计算出b的值，进而得到不等式，再解不等式即可．【解答】解：∵直线y=2x+b经过点（3，5），∴5=2×3+b，解得：b=﹣1，∴不等式2x+b≥0变为不等式2x﹣1≥0，解得：x≥，故答案为：x≥．16．如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△A0B绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（7，3）．【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】首先根据直线AB来求出点A和点B的坐标，B′的横坐标等于OA+OB，而纵坐标等于OA，进而得出B′的坐标．【解答】解：直线y=﹣x+4与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，4）两点，∵旋转前后三角形全等，∠O′AO=90°，∠B′O′A=90°∴OA=O′A，OB=O′B′，O′B′∥x轴，∴点B′的纵坐标为OA长，即为3，横坐标为OA+OB=OA+O′B′=3+4=7，故点B′的坐标是（7，3），故答案为：（7，3）．三、解答题（本大题有7小题，共52分）17．已知不等式5x﹣2＜6x+1的最小正整数解是方程3x﹣ax=6的解，求a的值．【考点】一元一次不等式的整数解；一元一次方程的解．【分析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，然后根据不等式最小整数解是方程的解，进而求得a．【解答】解：∵5x﹣2＜6x+1，∴x＞﹣3，∴不等式5x﹣2＜6x+1的最小正整数解为x=1，∵x=1是方程3x﹣ax=6的解，∴a=﹣2．18．某学校要印制一批《学生手册》，甲印刷厂提出：每本收1元印刷费，另收500元制版费；乙印刷厂提出：每本收2元印刷费，不收制版费．（1）分别写出甲、乙两厂的收费y甲（元）、y乙（元）与印制数量x（本）之间的关系式；（2）问：该学校选择哪间印刷厂印制《学生手册》比较合算？请说明理由．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）利用题目中提供的收费方式列出函数关系式即可；（2）求出当两种收费方式费用相同的值，并以此为界作出正确的方案即可．【解答】解：（1）y甲=x+500，y乙=2x；（2）当y甲＞y乙时，即x+500＞2x，则x＜500，当y甲=y乙时，即x+500=2x，则x=500，当y甲＜y乙时，即x+500＜2x，则x＞500，∴该学校印制学生手册数量小于500本时应选择乙厂合算，当印制学生手册数量大于500本时应选择甲厂合算，当印制学生手册数量等于500本时选择两厂费用都一样．19．P为正方形ABCD内一点，且AP=2，将△APB绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AP′D．（1）作出旋转后的图形；（2）试求△APP′的周长和面积．【考点】作图-旋转变换；三角形的面积．【分析】（1）利用题意得出对应点P′的位置进而得出答案；（2）利用等腰直角三角形的性质求出周长和面积即可．【解答】解：（1）如图所示：△AP′D即为所求；（2）∵AP=2，将△APB绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AP′D，∴AP′=AP=2，∠PAP′=90°，∴PP′=2，故△APP′的周长为：2+2+2=4+2；△APP′的面积为：×2×2=2．20．如图①点A、B、C、D在同一直线上，AB=CD，作CE⊥AD，BF⊥AD，且AE=DF．（1）证明：EF平分线段BC；（2）若△BFD沿AD方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；平移的性质．【分析】（1）由AB=CD，利用等式的性质得到AC=BD，再由AE=DF，利用HL得到直角三角形ACE与直角三角形DBF全等，利用全等三角形对应边相等得到EC=BF，再利用AAS 得到三角形ECG与三角形FBG全等，利用全等三角形对应边相等得到BG=CG，即可得证；（2）（1）中的结论成立，理由为：由AC=DB，利用等式的性质得到AC=BD，再由AE=DF，利用HL得到直角三角形ACE与直角三角形DBF全等，利用全等三角形对应边相等得到EC=BF，再利用AAS得到三角形ECG与三角形FBG全等，利用全等三角形对应边相等得到BG=CG，即可得证．【解答】（1）证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠ACE=∠DBF=90°，∵AB=CD，∴AB+BC=BC+CD，即AC=DB，在Rt△ACE和Rt△DBF中，，∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），∴CE=FB，在△CEG和△BFG中，，∴△CEG≌△BFG（AAS），∴CG=BG，即EF平分线段BC；（2）（1）中结论成立，理由为：证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠ACE=∠DBF=90°，∵AB=CD，∴AB﹣BC=CD﹣BC，即AC=DB，在Rt△ACE和Rt△DBF中，，∴Rt△ACE≌Rt△DBF（HL），∴CE=FB，在△CEG和△BFG中，，∴△CEG≌△BFG（AAS），∴CG=BG，即EF平分线段BC．21．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．【考点】角平分线的性质；勾股定理．【分析】（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．【解答】解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===10，∴△ADB的面积为S△ADB=AB•DE=×10×3=15．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上的一点，线段BD的垂直平方线EG交AB于点E，交BD于点G．（1）当∠B=30°时，AE和EF有什么关系？请说明理由；（2）当点D在BC延长线上（CD＜BC）运动时，点E是否在线段AF的垂直平分线上？【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．【分析】（1）根据线段垂直平分线性质得出DE=BE，求出∠D=∠B=30°，根据三角形内角和定理和三角形外角性质求出∠A=∠DEA=60°，即可得出答案；（2）求出∠A=∠AFE，根据线段垂直平分线性质得出即可．【解答】解：（1）AE=EF，理由是：∵线段BD的垂直平方线EG交AB于点E，交BD于点G，∴DE=BE，∵∠B=30°，∴∠D=∠B=30°，∴∠DEA=∠D+∠B=60°，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，∴∠A=∠DEA=60°，∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF；（2）点E是在线段AF的垂直平分线，理由是：∵∠B=∠D，∠ACB=90°=∠FCD，∴∠A=∠DFC，∵∠DFC=∠AFE，∴∠A=∠AFE，∴EF=AE，∴点E是在线段AF的垂直平分线．23．如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F．（1）证明：∠CAE=∠CBF；（2）证明：AE=BF；（3）以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC和S△ABG，如果存在点P，能使得S△ABC=S△ABG，求∠ACB的取值范围．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．【分析】（1）证得△ACP≌△BCP即可；（2）加上（1）的结论，证得△ACE≌△BCF即可；（3）假设存在点P，能使得S△ABC=S△ABG，由（2）得到的AE=BF，则新三角形ABG也为等腰三角形，根据底边都为AB，面积相等，得到高相等，所以AC=AE，即三角形ACE 为等腰三角形，则底角∠ACB为锐角，即可得到∠ACB的取值范围．【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，CH是底边上的高线，∴AC=BC，∠ACP=∠BCP．又∵CP=CP，∴△ACP≌△BCP．∴∠CAP=∠CBP，即∠CAE=∠CBF．（2）证明：∵在△ACE与△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（ASA）．∴AE=BF．（3）解：∵由（2）知△ABG是以AB为底边的等腰三角形，∴S△ABC=S△ABG．∴AE=AC．①当∠ACB为直角或钝角时，在△ACE中，不论点P在CH何处，均有AE＞AC，所以结论不成立；②当∠ACB为锐角时，∠CAH=90°﹣∠ACB，而∠CAE＜∠CAH，要使AE=AC，只需使∠ACB=∠CEA，此时，∠CAE=180°﹣2∠ACB，只须180°﹣2∠ACB＜90°﹣∠ACB，解得：60°＜∠ACB＜90°．2016年9月8日。

《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.经历回顾与思考的过程，深刻理解和掌握定理的探索和证明.2.结合具体实例感悟证明的思路和方法，能运用综合、分析的方法解决有关问题.3.能正确运用尺规作图的基本方法作已知线段的垂直平分线和角的平分线，以及绘制特殊三角形.【知识网络】【要点梳理】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a 的等边三角形它的高是2a ，面积是24a ；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL ）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL 一共有5种判定方法. 要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于点M 、N ；作直线MN ，则直线MN 就是线段AB 的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.【典型例题】类型一、 三角形的证明1. 已知：点D 是△ABC 的边BC 的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E ，F ，且BF=CE ． 求证：△ABC 是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵D 是BC 的中点，∴BD=CD，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt△BDF 和Rt△CDE 中，,BF CE BD CD =⎧⎨=⎩∴Rt△BFD≌Rt△CED（HL ），∴∠B=∠C，∴AB=AC，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求BC 和AD ．【答案】解：延长AD 与BC ，两延长线交于点E ，如图所示，∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°，在Rt△CDE 中，CD=1，∴CE=2CD=2，根据勾股定理得：223CE CD -=在Rt△ABE 中，AB=2，∴AE=2AB=4，根据勾股定理得：2223AE AB -=则BC=BE ﹣3﹣2，AD=AE ﹣DE=43【变式2】如图，在△ABC中，AB=AC，D、E在BC上，且AD=AE，求证：BD=CE．【答案】证明：∵AB=AC，AD=AE，∴∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EAC，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴ BD=CE．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．（1）当∠A满足什么条件时，点D恰为AB的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE≌△BDE，BC=BD，当点D恰为AB的重点时，AB=2BD=2BC，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED⊥AB，可证D为AB的中点；（2）在Rt△ADE中，根据∠A及ED的值，可将AE、AD的值求出，又D为AB的中点，可得AB的长度，在Rt△ABC中，根据AB、∠A的值，可将AC和BC的值求出，代入S△ABC=AC×BC进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵C 点折叠后与AB 边上的一点D 重合，∴BE 平分∠CBD，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB，所以EB=EA ；∵ED 为△EAB 的高线，所以ED 也是等腰△EBA 的中线，∴D 为AB 中点．（2）∵DE=1，ED⊥AB，∠A=30°，∴AE=2．在Rt△ADE 中，根据勾股定理，得AD=22213-=，∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3． 在Rt△ABC 中，AC=22AB BC -=3，∴S△ABC =12×AC×BC=332． 【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在课堂上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB 的两边上分别取点M ，N ，使OM=ON ，再过点M 作OB 的垂线，过点N 作OA 的垂线，垂足分别为C 、D ，两垂线交于点P ，那么射线OP 就是∠AOB 的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP 就是∠AOB 的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB 的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt △OCM 与Rt △ODN 中，依据ASA 得出OC=OD;在Rt △O CP 与Rt △O DP 中，因为OP=OP ，OC=OD 得出Rt△O CP ≌Rt△O DP （HL ），所以∠C OP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB． ②可作出两个直角三角形，利用HL 定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt △OCM 和Rt △ODN 中，COM DON OCM ODN OM ON ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OCM ≌△ODN （AAS ），∴OC=OD ，在△OCP 与△ODP 中，∵,OC OD OP OP=⎧⎨=⎩∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE⊥OA，ED⊥OB，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt△OCE 与Rt△ODE 中，∵OC OD OE OE=⎧⎨=⎩，∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL ），∴∠EOC=∠EOD，∴OE 为∠AOB 的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD 是解题关键．类型三、线段垂直平分线4. 撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作AB 、AC 和DB 、DC ，始终有AB=AC ，DB=DC ，请大家考虑一下伞杆AD 与B 、C 的连线BC 的位置关系为 ．【思路点拨】根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上得出A 、D 都在线段BC 的垂直平分线上，根据两点确定一条直线得出AD 是线段BC 的垂直平分线即可．【答案】垂直．【解析】解：连接BC 、AD ，∵AB=AC，DB=DC ，∴A 在线段BC 的垂直平分线上，D 在线段BC 的垂直平分线上，∴根据两点确定一条直线得出AD是线段BC的垂直平分线，即AD⊥BC，【总结升华】考查了线段的垂直平分线定理和两点确定一条直线等知识点，注意：①到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上；②两点确定一条直线．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5. 如图，在△ABC中，∠BAC=80°，延长BC到D，使AC=CD，且∠ADB=20°，DE平分∠ADB交AC于F，交AB于E，连接CE，求∠CED的度数．【思路点拨】作EG⊥DA，EH⊥BD，EP⊥AC，根据角平分线的性质得到EG=EH，根据△EGA≌△EPA，得出∠ECB，就可以得到∠CED的度数．【答案与解析】证明：作EG⊥DA交DA的延长线于G，再作EH⊥BD，EP⊥AC，垂足分别为H，P，则EG=EH ∵∠ADC=20°，AC=CD，∴∠CAD=20°，而∠BAC=80°，∴∠GAE=180°﹣20°﹣80°=80°，∴Rt△EGA≌Rt△EPA，∴EG=EP∴EP=EH，∴∠ECB=∠ECA=12∠BCA=12×40°=20°∴∠CED=∠BCE﹣∠BDE=20°﹣10°=10°【总结升华】主要考查了角平分线的性质定理及逆定理、三角形全等的性质和判定；做题中两次用到角平分线的知识是正确解答本题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。

初二数学第一学期期末几何总复习编稿：白真审稿：范兴亚责编：高伟知识网络全等三角形知识结构图地位和作用全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题．轴对称知识结构图地位和作用本章的图形与几何内容是继全等三角形之后的进一步推理论证内容，也是继平移变换后的第二种合同变换(保距变换)，即要用轴对称的观点分析现实生活中的几何图形，又要深入挖掘一些特殊图形的性质，为后续学习如四边形、圆等做好充分的准备，同时培养学生的美学观．知识要点梳理知识点一：全等三角形概念1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．2．两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角．3．全等三角形对应边相等，对应角相等．知识点二：三角形全等的判定1．三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS”．2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．5．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”．知识点三：作轴对称图形1．几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形．2．对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要做出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．知识点四：轴对称变换1．由一个平面图形可以得到它关于一条直线成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同．2．新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线的对称点．3．连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．4．用坐标表示轴对称：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y)．知识点五：等腰三角形等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质，这些特殊性质，都和它是轴对称图形有关，因此，把这部分内容安排在轴对称之后，从轴对称的角度，得出“等边对等角”、“三线合一”等性质，并进一步讨论了等腰三角形的判定方法以及等边三角形的性质等内容．1．等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫等腰三角形．2．等腰三角形的性质：(1) 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)．(2) 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合(三线合一)．3．等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)．知识点六：等边三角形1．等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫等边三角形．2．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．3．等边三角形的判定：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形．(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．知识点七：其它常用的三角形性质1．30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．2．三角形中边与角之间的不等关系：(1) 在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大(大边对大角)．(2) 在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大(大角对大边)．经典例题精析类型一：由角平分线想到构造全等不管轴对称图形还是两个图形轴对称，我们不难发现对应点与轴上一点(此点作为顶点)组成的角被轴平分，根据这一特点，在做题中如果遇到角平分线我们就会联想到，以角平分线为轴构造对称(全等)，从而把角、线段转移达到解题目的．1．如图1，已知：△ABC中，AD平分∠BAC，交对边CD于D，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B．图 1 图 2解析：在AB取一点E，使AE=AC，连接ED，如图2显然，△ADC≌△ADE，∴∠C=∠AED，AE=AC，CD=ED，又∵ AB=AC+CD，∴ ED=EB，∴∠EDB=∠B，∴∠AED=2∠B ∴∠C=2∠B．2．如图3，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD为∠B的平分线，求证：BC=BD+AD．图 3 图 4解析：在BC上取点E、F，使BE=BD，BF=BA．如图4∵ BD平分∠ABC，∠A=100°，∴△ABD≌△FBD，FD=AD，∠BFD=100°，∴∠DFE=180°-100°=80°∵ AB=AC∴∠ABC=∠C∴∴∠DBE=20°∴∠DEF=(180°-20°)÷2=80°∴∠DFE=∠DEF∴ DE=DF=AD,∵∠C=(180°-100°) ÷2=40°, ∠EDC=∠DEF-∠C=80°-40°=40°,∴ DE=EC,∴ AD=EC,∴ BC=BE+EC=BD+AD．3．如图5，在△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，P为AD上任一点，连结PB，PC。

2015-2016学年北京四中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．下列图形中，不是轴对称图形的是( )A．B．C．D．2．把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是( )A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（a﹣2）D．（a﹣2）2﹣43．使分式有意义，则x的取值范围是( )A．x≠1 B．x=1 C．x≤1 D．x≥14．点A（2，3）关于y轴成轴对称的点的坐标是( )A．（3，﹣2）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）5．在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是( )A．AC=A′C′B．BC=B′C′C．∠B=∠B′ D．∠C=∠C′6．下列各式中，正确的是( )A．B．C．=D．7．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为( )A．12 B．15 C．12或15 D．188．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是( )A．18°B．24°C．30°D．36°9．如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为( )A．30°B．45°C．60°D．75°10．如图，∠BAC=130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于( )A．50°B．75°C．80°D．105°二、填空题（本题共20分，每小题2分）11．已知某种植物花粉的直径为35000纳米，即0.000035米，把0.000035用科学记数法表示为__________．12．因式分解：3x2﹣6x+3=__________．13．计算的结果是__________．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E．若DE=1cm，则BC=__________cm．15．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=__________度．16．如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC=10cm，则△OMN的周长=__________．17．已知，则代数式的值为__________．18．如图△ABC中，AD平分∠BAC，AB=4，AC=2，且△ABD的面积为3，则△ACD的面积为__________．19．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD 最小时，∠PCD=__________°．20．如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于B E的对称点，在点E运动的过程中，使△PCB 为等腰三角形的点E的位置共有__________个．三、解答题21．分解因式．（1）x2（m﹣2）+9y2（2﹣m）（2）（x2+1）2﹣4x2．22．计算：（1）．（2）．23．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣1．24．解方程：．25．已知：如图，AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC．求证：BD=CE．26．甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字．问：甲、乙两人每分钟各打多少字？27．小明在做课本“目标与评定”中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．（1）请写出这种做法的理由；（2）小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图3）：①以P为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线b，PC于点A，D；②连结AD并延长交直线a于点B，请写出图3中所有与∠PAB相等的角，并说明理由；（3）请在图3画板内作出“直线a，b所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹．28．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线l 上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立；请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是直线l上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F 为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，求证：DF=EF．附加题（满分20分，计入总分）29．已知：a﹣b=2，2a2+a﹣4=0，则=__________．30．已知：，则（b﹣c）x+（c﹣a）y+（a﹣b）z的值为__________．31．等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC 交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E；（1）如图（1），若A（0，1），B（2，0），求C点的坐标；（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE （3）如图（3），在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，若满足BD始终是∠ABC的平分线，试探究：线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．2015-2016学年北京四中八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．下列图形中，不是轴对称图形的是( )A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．把a2﹣4a多项式分解因式，结果正确的是( )A．a（a﹣4）B．（a+2）（a﹣2）C．a（a+2）（a﹣2）D．（a﹣2）2﹣4【考点】因式分解-提公因式法．【分析】直接提取公因式a即可．【解答】解：a2﹣4a=a（a﹣4），故选：A．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．3．使分式有意义，则x的取值范围是( )A．x≠1 B．x=1 C．x≤1 D．x≥1【考点】分式有意义的条件．【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解．【解答】解：根据题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1．故选：A．【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，正确理解条件是解题的关键．4．点A（2，3）关于y轴成轴对称的点的坐标是( )A．（3，﹣2）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据关于y轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数，由此可求出．【解答】解：点A（2，3）关于y轴成轴对称的点的坐标是（﹣2，3）．故选：B．【点评】本题考查了关于坐标轴对称的两点的坐标关系，根据关于y轴对称的两点的性质得出是解题关键．5．在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，添加下列条件中的一个，不能使△ABC≌△A′B′C′一定成立的是( )A．AC=A′C′B．BC=B′C′C．∠B=∠B′ D．∠C=∠C′【考点】全等三角形的判定．【专题】证明题．【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据图形和已知看看是否符合即可．【解答】解：A、∠A=∠A′，AB=A′B′AC=A′C′，根据SAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故A选项错误；B、具备∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′，不能判断△ABC≌△A′B′C′，故B选项正确；C、根据ASA能推出△ABC≌△A′B′C′，故C选项错误；D、根据AAS能推出△ABC≌△A′B′C′，故D选项错误．故选：B．【点评】本题考查了对全等三角形判定的应用，注意：判定两三角形全等的方法有ASA，SAS，AAS，SSS，而SSA，AAA都不能判断两三角形全等．6．下列各式中，正确的是( )A．B．C．=D．【考点】分式的基本性质．【专题】计算题．【分析】利用分式的基本性质对各式进行化简即可．【解答】解：A、已经是最简分式，故本选项错误；B、，故本选项错误；C、=，故本选项错误；D、利用分式的基本性质在分式的分子与分母上同时乘以x+y即可得到，故本选项正确；故选D．【点评】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是在进行分式的运算时要同时乘除．7．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为( )A．12 B．15 C．12或15 D．18【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：①当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；②当3为腰时，其它两边为3和6，∵3+3=6=6，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有15．故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．8．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是( )A．18°B．24°C．30°D．36°【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数．【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°∵BD是AC边上的高，∴BD⊥AC，∴∠DBC=90°﹣72°=18°．故选A．【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．9．如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为( )A．30°B．45°C．60°D．75°【考点】生活中的轴对称现象；平行线的性质．【专题】压轴题．【分析】要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，则∠2=60°，根据∠1、∠2对称，则能求出∠1的度数．【解答】解：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，∠2+∠3=90°，∵∠3=30°，∴∠2=60°，∴∠1=60°．故选：C．【点评】本题是考查图形的对称、旋转、分割以及分类的数学思想．10．如图，∠BAC=130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于( )A．50°B．75°C．80°D．105°【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线性质得出BP=AP，CQ=AQ，推出∠B=∠BAP，∠C=∠QAC，求出∠B+∠C，即可求出∠BAP+∠QAC，即可求出答案．【解答】解：∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，∴BP=AP，CQ=AQ，∴∠B=∠PAB，∠C=∠QAC，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠PAB+∠QAC）=130°﹣50°=80°，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角．二、填空题（本题共20分，每小题2分）11．已知某种植物花粉的直径为35000纳米，即0.000035米，把0.000035用科学记数法表示为3.5×10﹣5米．【考点】科学记数法—表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000035米=3.5×10﹣5米．故答案为：3.5×10﹣5米．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．12．因式分解：3x2﹣6x+3=3（x﹣1）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：3x2﹣6x+3，=3（x2﹣2x+1），=3（x﹣1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．13．计算的结果是4．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【专题】计算题．【分析】分别计算负整数指数幂、零指数幂及绝对值，然后合并即可得出答案．【解答】解：原式=2﹣1+3=4．【点评】此题考查了零指数幂及负整数指数幂的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握各部分的运算法则．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E．若DE=1cm，则BC=3cm．【考点】含30度角的直角三角形；角平分线的性质．【专题】计算题．【分析】根据角平分线性质求出CD的长和∠DAE的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出BD，代入BC=BD+CD求出即可．【解答】解：∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE=1，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2，∴BC=1+2=3，故答案为：3．【点评】本题考查了对含30度角的直角三角形的性质和角平分线性质的应用，求出CD和BD的长是解此题的关键．15．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=15度．【考点】等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案为：15．【点评】本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．16．如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC=10cm，则△OMN的周长=10cm．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【分析】由BO为∠ABC的平分线，得到一对角相等，再由OM与AB平行，根据两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换得到∠MBO=∠MOB，再由等角对等边得到OM=BM，同理ON=CN，然后利用三边之和表示出三角形OMN的周长，等量代换得到其周长等于BC的长，由BC的长即可求出三角形OMN的周长．【解答】解：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠DBO，又OM∥AB，∴∠ABO=∠MOB，∴∠MBO=∠MOB，∴OM=BM，同理ON=CM，∵BC=10cm，则△OMN的周长c=OM+MN+ON=BM+MN+NC=BC=10cm．故答案为10cm．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质是解本题的关键．17．已知，则代数式的值为4．【考点】分式的加减法．【专题】计算题．【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，得出关系式，所求式子变形后代入计算即可求出值．【解答】解：解法一：∵﹣=﹣=3，即x﹣y=﹣3xy，则原式===4．解法二：将原式的分子和分母同时除以xy，===4故答案为：4．【点评】此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找最简公分母．18．如图△ABC中，AD平分∠BAC，AB=4，AC=2，且△ABD的面积为3，则△ACD的面积为．【考点】角平分线的性质．【专题】探究型．【分析】过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，由角平分线的性质可得出DE=DF，再由AB=4，△ABD 的面积为3求出DE的长，由AC=2即可得出△ACD的面积．【解答】解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，∵AD平分∠BAC，∴DE=DF，∵AB=4，△ABD的面积为3，∴S△ABD=AB•DE=×4×DE=3，解得DE=；∴DF=，∵AC=2，∴S△ACD=AC•DF=×2×=．故答案为：．【点评】本题考查的是角平分线的性质，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．19．如图，MN是正方形ABCD的一条对称轴，点P是直线MN上的一个动点，当PC+PD 最小时，∠PCD=45°．【考点】轴对称-最短路线问题．【分析】根据当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC即可得出∠PCD的度数．【解答】解：∵当PC+PD最小时，作出D点关于MN的对称点，正好是A点，连接AC，AC为正方形对角线，根据正方形的性质得出∠PCD=45°，∴∠PCD=45°．故答案为：45°．【点评】此题主要考查了轴对称求最短路线问题，根据已知得出D点关于MN的对称点，正好是A点是解题关键．20．如图所示，矩形ABCD中，AB=4，BC=，点E是折线段A﹣D﹣C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点，在点E运动的过程中，使△PCB为等腰三角形的点E的位置共有4个．【考点】矩形的性质；等腰三角形的判定；轴对称的性质．【专题】压轴题．【分析】分为三种情况：①以BC为底时，有两个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA 为半径的圆的交点；②以BP为底，C为顶点时，有两个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点；③以CP为底，B为顶点时，没有，∵是以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点．【解答】解：分为三种情况：①以BC为底时，有两个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点；②以BP为底，C为顶点时，有两个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点；③以CP为底，B为顶点时，没有，∵是以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点；综上满足要求的P有4个，故答案为：4．【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，轴对称的性质等知识点，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．三、解答题21．分解因式．（1）x2（m﹣2）+9y2（2﹣m）（2）（x2+1）2﹣4x2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题；因式分解．【分析】（1）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式利用平方差公式及完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式=x2（m﹣2）+9y2（m﹣2）=（m﹣2）（x2﹣9y2）=（m﹣2）（x﹣3y）（x+3y）（2）原式=（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）=（x﹣1）2（x+1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．22．计算：（1）．（2）．【考点】分式的混合运算．【专题】计算题；分式．【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果；（2）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式=••=﹣；（2）原式===．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣1．【考点】分式的化简求值．【专题】探究型．【分析】先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=÷=×=a+1．当a=﹣1时，原式=﹣1+1=．【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．24．解方程：．【考点】解分式方程．【专题】计算题．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：（x+3）（x+1）﹣8=x2﹣1，去括号得：x2+4x+3﹣8=x2﹣1，移项合并得：4x=4，解得：：x=1，经检验x=1是原方程的增根，分式方程无解．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．25．已知：如图，AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC．求证：BD=CE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据角与角之间的等量关系求出∠BAD=∠CAE，根据SAS证△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质推出即可．【解答】证明：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAE﹣∠BAE=∠EAC﹣∠BAE，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=EC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等．26．甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字．问：甲、乙两人每分钟各打多少字？【考点】分式方程的应用．【专题】应用题．【分析】设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打（x+5）个字，再由甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同，可得出方程，解出即可得出答案．【解答】解：设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打（x+5）个字，由题意得，=，解得：x=45，经检验：x=45是原方程的解．答：甲每分钟打50个字，乙每分钟打45个字．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是设出未知数，找到等量关系，根据等量关系建立方程，注意不要忘记检验．27．小明在做课本“目标与评定”中的一道题：如图1，直线a，b所成的角跑到画板外面去了，你有什么办法量出这两条直线所成的角的度数？小明的做法是：如图2，画PC∥a，量出直线b与PC的夹角度数，即直线a，b所成角的度数．（1）请写出这种做法的理由；（2）小明在此基础上又进行了如下操作和探究（如图3）：①以P为圆心，任意长为半径画圆弧，分别交直线b，PC于点A，D；②连结AD并延长交直线a于点B，请写出图3中所有与∠PAB相等的角，并说明理由；（3）请在图3画板内作出“直线a，b所成的跑到画板外面去的角”的平分线（画板内的部分），只要求作出图形，并保留作图痕迹．【考点】作图—应用与设计作图；平行线的性质；等腰三角形的性质．【分析】（1）根据平行线的性质得出即可；（2）根据题意，有3个角与∠PAB相等．由等腰三角形的性质，可知∠PAB=∠PDA；又对顶角相等，可知∠BDC=∠PDA；由平行线性质，可知∠PDA=∠1．因此∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1；（3）作出线段AB的垂直平分线EF，由等腰三角形的性质可知，EF是顶角的平分线，故EF即为所求作的图形．【解答】解：（1）PC∥a（两直线平行，同位角相等）；（2）∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1，如图，∵PA=PD，∴∠PAB=∠PD A，∵∠BDC=∠PDA（对顶角相等），又∵PC∥a，∴∠PDA=∠1，∴∠PAB=∠PDA=∠BDC=∠1；（3）如图，作线段AB的垂直平分线EF，则EF是所求作的图形．【点评】本题涉及到的几何基本作图包括：（1）过直线外一点作直线的平行线，（2）作线段的垂直平分线；涉及到的考点包括：（1）平行线的性质，（2）等腰三角形的性质，（3）对顶角的性质，（4）垂直平分线的性质等．本题借助实际问题场景考查了学生的几何基本作图能力，是一道好题．题目篇幅较长，需要仔细阅读，理解题意，正确作答．28．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线l 上，且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立；请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是直线l上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F 为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，求证：DF=EF．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；（2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°﹣α，且∠DBA+∠BAD=180°﹣α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论．（3）由（2）知，△ADB≌△CAE，得到BD=EA，∠DBA=∠CAE，再△DBF≌△EAF（SAS），得到DF=EF，∠BFD=∠AFE，求出∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，所以△DEF 为等边三角形．即可得到DF=EF．【解答】解：（1）∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA=∠AEC=90°又∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD=AE，AD=CE，∵DE=AD+AE，∴DE=CE+BD；（2）成立∵∠BD A=∠AEC=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴BD+CE=AE+AD=DE；（3）由（2）知，△ADB≌△CAE，∴BD=EA，∠DBA=∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=60°，∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，∴∠DBF=∠FAE，∵BF=AF在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS），∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，∴△DEF为等边三角形．∴DF=EF．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，由条件证明三角形全等是解题的关键．附加题（满分20分，计入总分）29．已知：a﹣b=2，2a2+a﹣4=0，则=﹣2．【考点】分式的化简求值．【专题】计算题；分式．【分析】由a﹣b=2可得b=a﹣2，代入变为只含有a的代数式，由2a2+a﹣4=0可得，再代入前面化简后的式子，即可解答本题．【解答】解：∵a﹣b=2，∴b=a﹣2．∴=+==．∵2a2+a﹣4=0，∴．∴=．故答案为：﹣2．【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是可以将题目中的式子灵活变化，变为所求式子需要的条件30．已知：，则（b﹣c）x+（c﹣a）y+（a﹣b）z的值为0．【考点】分式的混合运算；解三元一次方程组．【专题】计算题；整体思想．【分析】设=k，从而可得b+c﹣a=①，c+a﹣b=②，a+b﹣c=③，然后用k、x、y、z分别表示出a、b、c，代入所求代数式就可解决问题．【解答】解：设=k，则b+c﹣a=①，c+a﹣b=②，a+b﹣c=③．由①+②+③得：a+b+c=④，由④﹣①得：a=，由④﹣②得：b=，由④﹣③得：c=，则原式=•x+•y+•z==0．故答案为0．【点评】本题考查了分式的混合运算，解三元一次方程组等知识，运用整体思想是解决本题的关键．31．等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，点A、点B分别是x轴、y轴两个动点，直角边AC 交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E；（1）如图（1），若A（0，1），B（2，0），求C点的坐标；（2）如图（2），当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB=∠CDE （3）如图（3），在等腰Rt△ABC不断运动的过程中，若满足BD始终是∠ABC的平分线，试探究：线段OA、OD、BD三者之间是否存在某一固定的数量关系，并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质．【分析】（1）过点C作CF⊥y轴于点F通过证△ACF≌△ABO得CF=OA=1，AF=OB=2，求得OF的值，就可以求出C的坐标；（2）过点C作CG⊥AC交y轴于点G，先证明△ACG≌△ABD就可以得出CG=AD=CD，∠DCE=∠GCE=45°，再证明△DCE≌△GCE就可以得出结论；（3）在OB上截取OH=OD，连接AH，由对称性得AD=AH，∠ADH=∠AHD，可证∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO，再证明△ACE≌△BAH就可以得出结论．【解答】（1）解：过点C作CF⊥y轴于点F，∴∠AFC=90°，∴∠CAF+∠ACF=90°．∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴AC=AB，∠CAF+∠BAO=90°，∠AFC=∠BAC，∴∠ACF=∠BAO．在△ACF和△ABO中，，∴△ACF≌△ABO（AAS）∴CF=OA=1，AF=OB=2∴OF=1∴C（﹣1，﹣1）；（2）证明：过点C作CG⊥AC交y轴于点G，∴∠ACG=∠BAC=90°，∴∠AGC+∠GAC=90°．∵∠CAG+∠BAO=90°，∴∠AGC=∠BAO．∵∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAO=90°，∴∠ADO=∠BAO，∴∠AGC=∠ADO．在△ACG和△ABD中∴△ACG≌△ABD（AAS），∴CG=AD=CD．∵∠ACB=∠ABC=45°，∴∠DCE=∠GCE=45°，在△DCE和△GCE中，，∴△DCE≌△GCE（SAS），∴∠CDE=∠G，∴∠ADB=∠CDE；（3）解：在OB上截取OH=OD，连接AH由对称性得AD=AH，∠ADH=∠AHD．∵∠ADH=∠BAO．∴∠BAO=∠AHD．∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABO=∠EBO，∵∠AOB=∠EOB=90°．在△AOB和△EOB中，，∴△AOB≌△EOB（ASA），∴AB=EB，AO=EO，∴∠BAO=∠BEO，∴∠AHD=∠ADH=∠BAO=∠BEO．∴∠AEC=∠BHA．在△AEC和△BHA中，，∴△ACE≌△BAH（AAS）∴AE=BH=2OA∵DH=2OD∴BD=2（OA+OD）．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．。

2022北京四中初二（上）期中数 学第一部分一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1. 下列各式计算正确的是（ ）.A. ()()4224a a = B. 3262510x x x ⋅= C. ()()862c c c −÷−=−D. ()236ab ab = 2. 下列各组线段能组成三角形的是（ ）A. 5cm,8cm,12cmB. 2cm,3cm,6cmC. 3cm,3cm,6cmD. 4cm,7cm,11cm 3. 如图，在ABC 中，,AB AC AD =是ABC 的边BC 上的中线，那么可以证明ABD ACD ∆≅∆，这里证明全等所使用的判定方法是（ ）A. SASB. AASC. ASAD. SSS 4. 如图所示，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，125=∠，230∠=，则3∠=（ ）A. 60B. 55C. 50D. 无法计算 5. 如图，在由线段,,,,AB CD DF BF CA 组成的平面图形中，28D ∠=︒，则A B C F ∠+∠+∠+∠的度数为（ ）．A. 62︒B. 152︒C. 208︒D. 236︒ 6. 若15x x +=，则221x x +的值为（ ） A. 27 B. 23 C. 24 D. 37. 在ABC 中，3,5AB AC ==，延长BC 至D ，使CD BC =，连接AD ，则AD 的长度的取值范围是（ ）．A. 713AD <<B. 214AD <<C. 27AD <<D. 511AD << 8. 如图，在ABC 中，,,,65B C BF CD BD CE FDE ∠=∠==∠=︒，则A ∠的度数是（ ）A. 45︒B. 70︒C. 65︒D. 50︒二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）9. 在ABC 中，30A ∠=︒，45B ∠=︒，则C ∠=______________︒．10. 一个多边形的内角和是720︒，这个多边形的边数是______．11. 已知等腰三角形的周长为20，其中一边的长为6，则底边的长为______________．12. 已知锐角ABC ∆的一个内角是40︒，A B ∠=∠，那么C ∠的外角是______________︒．13. 若29a ka ++是一个完全平方式，则k 的值是________．14. 若x m +与22x x −+乘积中不含x 的二次项，则实数m 的值为______________．15. 如图，在ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，D 、C 、E 三点在一条直线上，且90ADC BEC ∠=∠=︒，过点C 作FC DE ⊥，且FC AD BE =+．若AFB α∠=，则DFE ∠=______________．（用含α式子表示）的16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(6,0),(0,8)A B ，P ，Q 是两个动点，其中点P 以每秒2个单位长度的速度沿折线AOB （按照A O B −−）的路线运动，点Q 以每秒5个单位长度的速度沿折线BOA （按照B O A −−）的路线运动，运动过程中点P 和Q 同时开始，而且都要运动到各自的终点时停止．设运动时间为t 秒，直线l 经过原点O ，且l AB ∥，过点P ，Q 分别作l 的垂线段，垂足为E ，F ，当OPE 与OQF △全等时，t 的值为______________．三、解答题（本大题共8小题，第17题24分，第19题4分，第18，20，21题每题6分，第22，23题每题7分，第24题每题8分，共68分）17. 计算：（1）()2234x y xy ⋅−；（2）()24(3)x x y −+； （3）(2)(3)m n n m +−；（4）()3212633−+÷m m m m ；（5）(3)(3)x y x y +−−+；（6）2()a b c +−． 18. 已知2410x x −−=，求代数式22(23)()()x x y x y y −−+−−的值．19. 要求：铅笔作图（可以借助带刻度的直尺、三角板和量角器）：已知ABC ∆（如图），求作：（1）ABC ∆的中线AD ；（2）ABD ∆的角平分线DM ；（3）ACD ∆的高线CN ；（4）若3ADC ADB C C ∆∆−=（其中C 表示周长），且5AB =，则AC =______________．20. 如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上BF ＝CE ，AC ＝DF ．（1）在下列条件①∠B ＝∠E ；②∠ACB ＝∠DFE ；③AB ＝DE ；④AC ∥DF 中，只添加一个条件就可以证得△ABC ≌△DEF ，则所有正确条件的序号是 ．（2）根据已知及（1）中添加一个条件证明∠A ＝∠D ．21. 如图，在ABC 中，=45ABC ∠︒，AH BC ⊥于点H ，点D 为AH 上的一点，且DH HC =，连接BD 并延长BD 交AC 于点E ．（1）请补全图形；（2）写出BD 与AC 数量关系和位置关系并证明．22. 在乘法公式学习中，我们采用了构造几何图形的方法研究问题，借助直观、形象的几何模型，加深对乘法公式的认识和理解，从中感悟数形结合的思想方法，感悟几何与代数内在的统一性，根据课堂学习的经验，解决下列问题：的的的图1 图2（1）如图1，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长都为n 的小正方形，五块是长为m ，宽为n 的全等小长方形，且m n >，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为____________________________；（2）将图2中边长为a 和b 的正方形拼在一起，B ，C ，G 三点在同一条直线上，连接BD 和BF ，若这两个正方形的边长满足5a b +=，3ab =，请求出阴影部分的面积．（3）若图1中每块小长方形的面积为6，四个正方形的面积之和为48，请直接写出图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和．23. 如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，D 为BC 边上一点，DA 平分CDE ∠，且AB AE =，若2CD =，3BD =，求DE 的长．24. 喜欢动手的小马同学收集了很多套三角板，以下是他利用三角板进行的数学探究：（1）小马同学将两个大小相同的含有30︒，60︒的三角板如图1所示放置，即,,,90AB AE AC AD BC ED ACB ADE ===∠=∠=︒，连接BE 、CD 交于点F ，小马同学发现FB FE =，请给出证明：（2）小马同学将两个大小不同的等腰直角三角板如图2所示放置，即,,90AB AC AD AE EAD CAB ==∠=∠=︒，连接BE CD 、交于点F ．当DE BE =时，请写出AEC ∠与BEC ∠之间的数量关系，并证明．第二部分 附加题（共10分）25. 阅读材料：我们已经学习过完全平方公式222)2(a ab b a b ±+=±．对于多项式222x x ++，虽然不能写成某个代数式的平方形式，但是可以写成22211(1)1x x x +++=++，即一个含x 的代数式的平方与另一个数的和的形式．更一般的，对于二次项系数不为1的二次三项式2(0)ax bx c a ++≠，它总是可以化为2()a x h k ++的形式，我们把这种代数式的恒等变形叫做配方．例如：()22224322152(1)5x x x x x +−=++−=+−，这就是一个配方的过程．根据以上内容回答下列问题：（1）代数式23121x x +−经配方可化为______________．（2）已知2244()50a a b b +−++=，那么ab 的值为______________．（3）已知x 、y 为实数，求代数式2222222022x xy y x y −++++的最小值及取到最小值时x 、y 的值． 26. 小聪和小明两位同学在学习全等三角形时积极思考，提出了以下两个问题：问题1：如图1，ABC ∆中，3AB =，2AC =，AD 是ABC ∆的角平分线，求:BD DC 的值．小聪同学经过思考，发现可以过D 作DM AB ⊥于M ，DN AC ⊥于N ，利用ABD ∆与ACD ∆的面积比来解决这个问题．问题2：如图2，ABC ∆为等边三角形，点D 为ABC ∆外一点，60CDA ∠=︒，连接DB ，探究,,AD CD BD 三者之间的的数量关系．小明同学经过思考，发现可以在DA 上截取DE DC =，构造等边三角形CDE ，从而解决这个问题．（1）根据两位同学的思考，完成问题1、2的解答（直接写出结果）．（2）根据问题1、2的结论，解决下面问题：如图3，ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，且B ，C ，E 三点共线，连接,AE BD 交于点F ，连接FC ，设AF a =，DF b =，CF c =，若2BC CE =，直接写出23a bc −的值.参考答案一、选择题1.【答案】A【解析】【分析】根据幂的乘方、积的乘方、单项式乘单项式、同底数幂相除的法则计算即可．【详解】A 、()()42248a a a ==，故本项正确； B 、3252510⋅=x x x ，故本项错误； C 、()()862c c c −÷−=，故本项错误；D 、()2326ab a b =，故本项错误.故选A ．考点：单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．2.【答案】A【解析】【分析】根据三角形的三边关系求解判断即可．【详解】解：A 、5+8=1312>，故选项A 中线段能组成三角形，符合题意；B 、2+3=56<，故选项B 中线段不能组成三角形，不符合题意；C 、3+3=6，故选项C 中线段不能组成三角形，不符合题意；D 、4+7=11，故选项D 中线段不能组成三角形，不符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答的关键．3.【答案】D【解析】【分析】根据中线的性质可得BD CD =，结合已知条件根据SSS 可证明ABD ACD ∆≅∆．【详解】解：∵AD 是ABC 的边BC 上的中线，∴BD CD =，在ABD ∆和ACD ∆中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴(SSS)ABD ACD ∆≅∆，故选：D ．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键4.【答案】B【解析】【分析】根据BAC DAE ∠=∠，可得1EAC ∠=∠，由SAS 证得BAD 与CAE 全等，得到2ABD ∠=∠，根据三角形外角和即可求解． 详解】BAC DAE ∠=∠，∴BAC DAC DAE DAC ∠−∠=∠−∠，即1EAC ∠=∠，在BAD 与CAE 中 1AB AC EAC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BAD ≌CAE ()SAS ，∴2ABD ∠=∠，230∠=︒，30ABD ∴∠=︒，125=∠，∴31303555ABD ∠∠=+=+∠=．故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，推出BAD ≌CAE 是解题的关键． 5.【答案】C【解析】【分析】如图标记1,2,3，然后利用三角形的外角性质得13B F D ∠=∠+∠=∠+∠，2A C ∠=∠+∠，再利用2,3∠∠互为邻补角，即可得答案．【详解】解：如下图标记1,2,3，13B F D ∠=∠+∠=∠+∠，28D ∠=︒，328B F ∴∠=∠+∠−︒，又2A C ∠=∠+∠，2328A C B F ∴∠+∠=∠+∠+∠+∠−︒，23180∠+∠=︒18028A C B F ∴︒=∠+∠+∠+∠−︒，18028208A C B F ∴∠+∠+∠+∠=︒+︒=︒，故选C ．【【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键．6.【答案】B【解析】【分析】利用完全平方公式：222()2a b a ab b +=++，进行计算即可得解． 【详解】解：15x x +=， 22211225x x x x ⎛⎫∴+=++= ⎪⎝⎭， 22125223x x ∴+=−=； 故选B ．【点睛】此题考查完全平方公式，熟练掌握并运用完全平方公式是解答此题的关键．7.【答案】A【解析】【分析】画出图形，延长AC ，使CE AC =，连接DE ，证明ABC EDC △≌△得到3DE AB ==，再利用三角形的三边关系求解即可．【详解】解：如图，延长AC ，使CE AC =，连接DE ，在ABC 和EDC △中，AC CE ACB ECD BC CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABC EDC SAS ≌，∴AB DE =，∵3AB =，5AC =，∴210AE AC ==，3DE =，∴103103＜＜AD −+，即713＜＜AD ，故选：A ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，添加辅助线构造全等三角形解决问题是解答的关键．8.【答案】D【解析】【分析】证明≌BDF CED 得到BFD CDE ∠=∠，利用三角形的外角性质得到65B FDE ∠=∠=︒，再利用三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：在BDF 和CED △中，BF CD B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BDF CED SAS ≌，∴BFD CDE ∠=∠，∵FDC FDE CDE B BFD ∠=∠+∠=∠+∠，又65FDE ∠=︒，∴65B FDE ∠=∠=︒，∴180250A B ∠=︒−∠=︒故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理，证明BDF CED △≌△是关键．二、填空题9.【答案】105【解析】【分析】根据三角形的内角和是180︒求解即可．【详解】解：∵在ABC 中，30A ∠=︒，45B ∠=︒，∴180105C A B ∠=︒−∠−∠=︒，故答案为：105．【点睛】本题考查三角形内角和定理，熟知三角形的内角和是180︒是解答的关键．10.【答案】6##六【解析】【分析】设这个多边形的边数为n ，根据多边形的内角和定理得到（n ﹣2）×180°＝720°，然后解方程即可．【详解】解：设这个多边形的边数为n ，则（n ﹣2）×180°＝720°，解得n ＝6，故这个多边形为六边形．故答案是：6．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，关键是根据n 边形的内角和为（n ﹣2）×180°解答． 11.【答案】6或8##8或6【解析】【分析】分两种情况进行讨论：①当腰长为6时；②当底边长为6时，分别进行求解即可．【详解】解：设底边长为x ，腰长为y ，则220x y +=，①当腰长6y =时，2620x ∴+⨯=，8x ∴=；三边长分别为6，6，8能构成三角形，符合题意；故8x =；②当底边长6x =时，6220y ∴+=，7y ∴=；三边长分别7，7，6能构成三角形，符合题意；故6x =；综上所述，6x =或8x =；故答案为：6或8．【点睛】此题考查等腰三角形的性质、三角形的构成与一元一次方程的应用，熟练掌握等腰三角形三边的关系与分类讨论是解答此题的关键． 12.【答案】80或140##140或80【解析】【分析】分两类情况分析：①当40A B ∠=∠=︒时；②当40ACB ∠=︒时．然后利用三角形的外角性质与邻补角的意义进行求解即可．【详解】解：如图所示，ACD ∠是ACB ∠的外角，①当40A B ∠=∠=︒时，80ACD A B ∠=∠+∠=︒；②当40ACB ∠=︒时，180140ACD ACB ∠=︒−∠=︒；∴ACB ∠的外角为80︒或140︒；故答案为：80或140．【点睛】此题考查三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质、邻补角的意义以及分类讨论的思想方法是解答此题的关键．13.【答案】6±【解析】【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值． 【详解】解：29a ka ++是一个完全平方式，即22233a a ±⨯+是一个完全平方式，6k ∴=±故答案为：6±【点睛】本题考查了完全平方式，两数的平方和，再加上或减去他们乘积的 2倍，就构成一个完全平方式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．14.【答案】1【解析】【分析】利用多项式与多项式相乘，展开后合并同类项，再令含x 的二次项系数为0，求解即可． 【详解】解：2()(2)x m x x +−+=32222x x x mx mx m −++−+=32(1)(2)2x m x m x m +−+−+乘积中不含x 的二次项，10m ∴−=，1m ∴=；故答案为：1．【点睛】此题考查了多项式与多项式的乘积，熟练掌握多项式与多项式的乘法法则与合并同类项是解答此题的关键．15.【答案】90α︒−##90α−+︒【解析】【分析】连接AE ，BD ，先证明ADC CEB ≅, 再证CDF EBD ≅,可得到BDF 是等腰直角三角形，则45BFD ∠=︒，再证ADE ECF ≅，得AEF △是等腰直角三角形，得45AFE ∠=︒，由DFE BFD AFE AFB ∠=∠+∠−∠可得到答案．【详解】解：如图所示，连接AE ，BD ，∵90ACB ∠=︒，∴90ACD BCE ∠+∠=︒，∵90ADC BEC ∠=∠=︒，∴90DAC ACD ∠+∠=︒，∴=DAC BCE ∠∠，∵AC BC =，=90ADC CEB ∠∠=︒，∴ADC CEB ≅（AAS ）,∴AD CE =，CD BE =，=ACD CBE ∠∠，∴DE CE CD AD BE =+=+，∵CF AD BE =+，∴DE CF =，∵CF DE ⊥，∴=90BED DCF ∠∠=︒，∴CDF EBD ≅（SAS ）,∴DF BD =，CFD EDB ∠=∠，∴90BDF CDF EDB CDF CFD ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴BDF 是等腰直角三角形，∴45BFD ∠=︒，∵AD CE =，=90ADE ECF ∠∠=︒，DE CF =，∴ADE ECF ≅（SAS ）,∴=AED EFC ∠∠，AE EF =，∴90AEF CEF AED CEF EFC ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∴AEF △是等腰直角三角形，∴45AFE ∠=︒，∵AFB α∠=，∴454590DFE BFD AFE AFB αα∠=∠+∠−∠=︒+︒−=︒−．故答案为：90α︒−．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质，构造辅助线，证明三角形全等是解题的关键．16.【答案】23或2或6 【解析】【分析】根据题意可分三种情况：①点P 在OA 上，点Q 在OB 上；②点P 、Q 都在OA 上，③点P 在OB 上，点Q 在点A 处，可画出对应图形，利用全等三角形的性质求解即可．【详解】解：根据题意，6OA =，8OB =，当点P 运动到点O 时，623t =÷=，当点P 运动到点B 时，()6827t =+÷=，点Q 运动到点O 时，8855t =÷=，点Q 运动到点A 时，()148655t =+÷=， 故可分三种情况：①点P 在OA 上，点Q 在OB 上，如图，当OPE 与OQF △全等时OP OQ =，∵62OP t =−，85OQ t =−，∴6285t t −=−，解得：23t =； ②点P 、Q 都在OA 上，如图，当OPE 与OQF △全等时，点P 、Q 重合，即OP OQ =，∵62OP t =−，58OQ t =−，∴6258t t −=−，解得：2t =；③点P 在OB 上，点Q 在点A 处，如图，当OPE 与OQF △全等时OP OA =，则266t −=，解得：6t =，综上，满足条件的t 值为23或2或6， 故答案为：23或2或6． 【点睛】本题考查全等三角形的性质、坐标与图形、一元一次方程的应用，理解题意，利用数形结合和分类讨论思想解决动点问题是解答的关键．三、解答题17.【答案】（1）474x y （2）32124xyx −−（3）226m mn n −++（4）2421m m −+（5）2269x y y −+−（6）222222a ab ac b bc c +−+−+【解析】【分析】（1）先算积的乘方，再做单项式的乘法即可；（2）利用单项式乘多项式法则计算即可；（3）利用多项式乘多项式的法则计算即可； （4）利用多项式除以单项式的法则计算即可；（5）变形后用完全平方公式展开即可；（6）变形后用完全平方公式展开即可．【小问1详解】解：()2234x y xy ⋅−2264x y x y =⋅474x y =；【小问2详解】的解：()24(3)x x y −+ 32124x x y =−−；【小问3详解】解：(2)(3)m n n m +−22362mn m n mn =−−+226m mn n =−++；【小问4详解】解：()3212633−+÷m m m m 2421m m =−+；【小问5详解】解：(3)(3)x y x y +−−+()()33x y x y =+−−−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()223x y =−−2269x y y =−+−；【小问6详解】解：2()a b c +− ()2a b c =+−⎡⎤⎣⎦ ()()222a a b c b c =+−+−222222a ab ac b bc c =+−+−+．【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及乘法公式是解题的关键． 18.【答案】12【解析】【分析】将代数式应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项，将241x x −=整体代入求值．【详解】解：∵2410x x −−=，∴241x x −=．∴22(23)()()x x y x y y −−+−−22224129x x x y y =−+−+−23129x x =−+()2349x x =−+139=⨯+12=．19.【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解； （3）答案见详解；（4）8．【解析】【分析】（1）用刻度尺确定边BC 的中点D ，连接AD 即可；（2）利用量角器量出ADB ∠的度数，再求12ADB ∠度数，确定ADB ∠的平分线交AB 于点M ，则DM 即为所求；（3）过点C 作CN AD ⊥交AD 延长线于N ，则CN 即为所求；（4）根据已知列式计算即可．【小问1详解】解：如下图所示，线段AD 即为所求的ABC ∆的中线；【小问2详解】解：如下图所示，线段DM 即为所求的ABD ∆的角平分线；【小问3详解】解：如下图所示，线段CN 即为ACD ∆的高线；【小问4详解】 解：3ADC ADB C C ∆∆−=，∴3AC AD CD AD BD AB ++−−−=，CD BD =，3AC AB ∴−=，5AB =，8AC ∴=．故答案为：8．【点睛】此题考查了三角形的中线、角平分线、高线的作法，三角形的周长等知识，熟练掌握三角形的中线、角平分线与高线的作图方法是解答此题的关键．20.【答案】（1）②③④；（2）添加条件∠ACB ＝∠DFE ，理由详见解析．【解析】【分析】（1）由全等三角形的判定方法即可得出答案；（2）答案不唯一，添加条件∠ACB ＝∠DFE ，证明△ABC ≌△DEF （SAS ）；即可得出∠A ＝∠D ．【详解】解：（1）①在△ABC 和△DEF 中，BC ＝EF ，AC ＝DF ，∠B ＝∠E ，不能判定△ABC 和△DEF 全等；②∵BF ＝CE ，∴BF +CF ＝CE +CF ，即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，AC DF ACB DFE BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）；③在△ABC 和△DEF 中，AC DF BC EF AB DE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）；④∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠DFE ，在△ABC 和△DEF 中，AC DF ACB DFE BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）；故答案为：②③④；（2）答案不唯一．添加条件∠ACB ＝∠DFE ，理由如下：∵BF ＝EC ，∴BF +CF ＝EC +CF ．∴BC ＝EF ．在△ABC 和△DEF 中，AC DF ACB DFE BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）；∴∠A ＝∠D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．21.【答案】（1）图见解析 （2）BD AC =，BD AC ⊥，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题设描述补全图形即可；（2）证明≌AHC BHD 得到AC BD =，ACH BDH ∠=∠，进而可证明90AEB ∠=︒即可得出结论．【小问1详解】解：补全图形如图所示：【小问2详解】解：BD AC =，BD AC ⊥．理由：∵AH BC ⊥于点H ， =45ABC ∠︒，∴90AHB AHC ∠=∠=︒，9045BAH ABC ∠=︒−∠=︒，∴ABH BAH ∠=∠，∴ AH BH =，∵DH CH =，90AHC BHD ∠=∠=︒∴AHC BHD SAS ≌（）， ∴AC BD =， ACH BDH ∠=∠∵BDH ADE ∠=∠，∴ACH ADE ∠=∠，∵90ACH DAE ∠+∠=︒，∴90ADE DAE ∠+∠=︒∴90AEB ∠=︒，∴BD AC ⊥．【点睛】本题考查等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、垂直定义，证明△≌AHC BHD 是关键．22.【答案】（1）()()2222=225m n m n m n mn ++++ （2）8 （3）36【解析】【分析】（1）根据图象分别用两种方法表示出大长方形的面积即可求解；（2）根据题意用正方形ABCD 的面积加上正方形ECGF 的面积减去ABD △和BGF 面积求解即可； （3）由题意可得6mn =，222248m n +=，进而得到6m n +=，然后表示出所有裁剪线（虚线部分）的长度之和，进而求解即可．【小问1详解】大长方形的面积可以表示为()()22m n m n ++，大长方形的面积还可以表示为22225m n mn ++，∴()()2222=225m n m n m n mn ++++ 故答案为：()()2222=225m n m n m n mn ++++； 【小问2详解】=ABD BGF ABCD ECGF S S S S S +−−阴影正方形正方形2221122a b a b a b 222111222a b ab b =+−− 22111222a b ab =+− ()2212a b ab =+− ()221232a b ab ab =++− ()21322a b ab =+− ∵5a b +=，3ab =， ∴原式2132595382222=⨯−⨯=−=； 【小问3详解】∵每块小长方形的面积为6，四个正方形的面积之和为48，∴6mn =，222248m n +=∴()2222241236m n m mn n +=++=+= ∵>0m n +∴6m n +=∴裁剪线长为2(2)2(2)6636m n m n m n +++=+=∴图中所有裁剪线(虚线部分)长之和为36 cm【点睛】此题考查整式的混合运算，掌握基本平面图形的面积计算方法是解决问题的关键． 23.【答案】7【解析】 【分析】过点A 作AF DE ⊥于点F ，根据AAS 可证明ACD AFD ∆≅∆得2DE CD ==，AF AC =，再根据HL 证明Rt Rt ABC AEF ∆≅∆得5EF BC BD DC ==+=，从而可求出DE 的长．【详解】解：过点A 作AF DE ⊥于点F ，如图，∴90AFD AFE ∠=∠=︒,∵90ACB ∠=︒，∴AFD AFE ACB ∠=∠=∠；∵2CD =，3BD =，∴325BC BD CD =+=+=．∵DA 平分CDE ∠，∴ADC ADF ∠=∠在ACD ∆和AFD ∆中AFD ACD ADC ADF AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ACD AFD ∆≅∆(AAS)∴2DE CD ==，AF AC =，在Rt ABC ∆和Rt AEF ∆中，AC AF AB AE =⎧⎨=⎩， ∴Rt Rt ABC AEF ∆≅∆(HL)，∴5EF BC ==，∴257DE DF EF =+=+=．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．24.【答案】（1）见解析 （2）45AEC BEC ∠+∠=︒，证明见解析 【解析】【分析】（1）连接AF ，在DF 上找点G ，使得EG ED =，利用等腰三角形的性质和判定得到条件，证明EGF BCF ≅，即可得到结论；（2）证明CAD BAE ≅△△（SAS ）,再证得45DEC DEA AEC AEC ∠=∠+∠=︒+∠，得到4590AEC BEC ︒+∠+∠=︒，结论得证．【小问1详解】证明：如图1，连接AF ，在DF 上找点G ，使得EG ED =，∵,BC ED =∴BC EG =，∵30BAC EAD ∠=∠=︒，∴BAC CAE EAD CAE ∠+∠=∠+∠，∴BAE CAD ∠=∠，∵,AB AE AC AD ==，∴ABE 和ACD 都是等腰三角形， ∴()11802ACD ADC CAD ∠=∠=︒−∠，()11802ABE AEB BAE ∠=∠=︒−∠， ∴ACD ADC ABE AEB ∠=∠=∠=∠，∵EG ED =，∴DEG △是等腰三角形，∵90ADE ∠=︒，∴90EGD EDG ADE ADC ADC ∠=∠=∠−∠=︒−∠，∴()1801809090EGF EGD ADC ADC ∠=︒−∠=︒−︒−∠=︒+∠，∵90ACB ∠=︒，∴90BCF ACB ACD ADC ∠=∠+∠=︒+∠，∴EGF BCF ∠=∠，在EGF △和BCF △中，EGF BCF EFG BFC EG BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴EGF BCF ≅（AAS ），∴FB FE =．【小问2详解】45AEC BEC ∠+∠=︒，证明如下：如图2，∵90EAD CAB ∠=∠=︒，∴EAD EAC CAB EAC ∠+∠=∠+∠，∴CAD BAE ∠=∠，在CAD 和BAE 中，AD AE CAD BAE AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CAD BAE ≅△△（SAS ），∴ADC AEB ∠=∠，CD BE =，∵12∠=∠，190ADC ∠+∠=︒，∴290AEB ∠+∠=︒，∴90EFD ∠=︒，∴90CFE ∠=︒，∴90DCE BEC ∠+∠=︒，∵DE BE =，∴DE CD BE ==，∴DCE DEC ∠=∠，∴90DEC BEC ∠+∠=︒，∵45DEC DEA AEC AEC ∠=∠+∠=︒+∠，∴4590AEC BEC ︒+∠+∠=︒，∴45AEC BEC ∠+∠=︒．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，证明EGF BCF ≅和CAD BAE ≅△△是解题的关键．第二部分25.【答案】（1）()23213x +− （2）1−（3）代数式的最小值为2017，此时2x =−，=3y −【解析】【分析】（1）仿照例子配方求解即可；（2）给a 、b 分别配方后，利用非负性求出a 、b 即可求解；（3）根据代数式结构进行配方，再利用非负性求解最值即可．【小问1详解】解：23121x x +−()234413x x =++−()23213x =+−，故答案为：()23213x +−；【小问2详解】解：∵2244()5a a b b +−++=2244144a b a b +−+++ ()()22212a b =++−，∴()()222120a b ++−=，又()2210a +≥，()220b −≥， ∴210a +=，20b −=， 解得：12a =−，2b =， ∴1212ab ⎛⎫=−⨯=− ⎪⎝⎭， 故答案为：1−；【小问3详解】解：2222222022x xy y x y −++++ 2222222022y y xy x x =+−+++()()()22222111222022y x y x x x x =+−+−−−+++ ()221412022y x x x =+−++−+()()22122017y x x =+−+++，∵()210y x +−≥，()220x +≥，∴当10y x +−=且20x +=时，()()22122017y x x +−+++有最小值，最小值为2017，此时2x =−，=3y −，即代数式2222222022x xy y x y −++++的最小值为2017，此时2x =−，=3y −． 【点睛】本题考查配方法的应用，灵活运用完全平方公式，会利用平方式的非负性求解是解答的关键．26.【答案】（1）32；AD BD CD =+； （2）13． 【解析】 【分析】（1）问题1：过D 作DM AB ⊥于M ，DN AC ⊥于N ，再证AMD AND ∆∆≌，得DM DN =，然后通过计算ABD ∆与ACD ∆的面积比即可得出答案；问题2：在DA 上截取DE DC =，构造等边三角形CDE ，再证明BCD ACE ∆∆≌，从而得出答案； （2）先证明(SAS)BCD ACE ∆∆≌，得60AFB ∠=︒，然后直接利用问题1与问题2的结论即可求解．【小问1详解】问题1：解：如图1，过D 作DM AB ⊥于M ，DN AC ⊥于N ，过点A 作AH BC ⊥于H ，90AMD AND ∴∠=∠=︒，,BAD CAD AD AD ∠=∠=，()ΔΔAMD AND AAS ∴≌，DM DN ∴=， 又Δ1122ABD S BD AH AB DM =⋅=⋅， Δ1122ACD S CD AH AC DN =⋅=⋅， BD CD AB AC∴=， 3,2AB AC ==，3:3:22BD CD ∴==；问题2：解：AD CD BD =+；理由如下：如图2所示，在DA 上截取DE DC =，60ADC ∠=︒，DCE ∴∆为等边三角形，,60CD CE DCE ∴=∠=︒，DCE ACB ∴∠=∠，∴∠=∠DCB ECA ，又,AC BC CD CE ==，(SAS)BCD ACE ∴∆∆≌，BD AE ∴=，120BDC AEC ∠=∠=︒，60BDA ∴=︒，AD AE DE BD CD ∴=+=+，即AD BD CD =+；【小问2详解】 解：ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，且B ，C ，E 三点共线，∴,,AC BC CE CD ACB DCE ==∠=∠，BCD ACE ∴∠=∠，(SAS)BCD ACE ∴∆∆≌，DBC EAC ∴∠=∠，又APF BPC ∠=∠，60AFB ACB ∴∠=∠=︒，由问题2的结论可知：BF AF CF =+即BF a c =+，同理，可得EF CF FD =+即EF b c =+，由问题2中证明过程可知：60AFB BFC ∠=∠=︒，60BFC CFE ∴∠=∠=︒，由问题1的结论可知：2BF BC EF CE==，2a c b c+∴=+， 2a b c ∴−=， 21333a b c c c −∴==． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的探究与应用，通过全等三角形的研究得到两个两个新的结论，然后运用这两个新的结论去解决问题是解答此题的难点和关键.。