极坐标与参数方程基本知识点

高考数学：极坐标与参数方程知识点总结

极坐标与参数方程这部分题目比较简单，考法固定，同学们一定要掌握住，高考不失分啊！

第一讲

一 平面直角坐标系

1．平面直角坐标系

(1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系．

(2)平面直角坐标系：

①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系；

②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向；

③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y轴统称为坐标轴；

④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点；

⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系．

(3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：

二 极坐标系

(1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．

(3)图示

2．极坐标

(1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．

(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)．

若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．

极坐标、参数方程

知识概念见导学单

一、重要概念、基础知识回顾（可以适度填空形式回顾知识点）

自主填空：

1直角坐标方程与极坐标方程的互化

利用： x 2

y tan

2、直线与圆的极坐标方程：

1.若直线l经过点00(,)M，且极轴到此直线的角为，则直线l的极坐标方程为00sin()sin()

2.圆心是A（0，0），半径r的圆的极坐标方程为2220002cos()-0r＝

参数方程的定义：

3一般地，在取定的坐标中，如果曲线C上任一点P的坐标x和y都可以表示为某个变量t的函数：)()(tgytfx反过来，对于t的每个允许值，由函数式：

)()(tgytfx，所确定的点),(yxP都在曲线C上，那么方程)()(tgytfx叫做曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数

4直线圆椭圆的参数方程：

1、过定点),(00yxP倾斜角为的直线的参数方程

sincos00tyytxx （t为参数）

其中t表示),,(000yxp到l上一点),(yxp的有向线段pp0的数量。

2、圆22020)()(ryyxx参数方程为：sincos00ryyrxx （为参数）

3、椭圆12222byax参数方程

sincosbyax （为参数）

二、思想方法归纳（老师给出本周典型例题类型，通过例题体现重要的思想方法） （见导学案讲义）

例1: 1、在极坐标系中，求过点M(4, 6)且平行于极轴的直线的极坐标方程。

2、(1) ．化曲线的直角坐标方程x2=2p(y＋2p) (p>0)为极坐标方程。

(2) ．化曲线的极坐标方程ρ2=sin2θ为直角坐标方程。

极坐标与参数方程知识点总结大全

1 / 6 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换的作用下,点P(x,y)对应到点,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.

2.极坐标系的概念

(1)极坐标系

如图所示,在平面内取一个定点,叫做极点,自极点引一条射线,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.

注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点及坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面

直角坐标系都是平面坐标系.

(2)极坐标

设M是平面内一点,极点及点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴为始边,射线为终边的角叫做点M的极角,记为.有序数对叫做点M的极坐标,记作.

一般地,不作特殊说明时,我们认为可取任意实数.

特别地,当点在极点时,它的极坐标为(0, )(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.

如果规定,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标表示;同时,极坐标表示的点也是唯一确定的.

3.极坐标和直角坐标的互化 极坐标与参数方程知识点总结大全

2 / 6 (1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:

(2)互化公式:设是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是,极坐标是(),于是极坐标及直角坐标的互化公式如表:

点 直角坐标

极坐标

互化公式

在一般情况下,由确定角时,可根据点所在的象限最小正角.

4.常见曲线的极坐标方程 极坐标与参数方程知识点总结大全

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曲线 图形 极坐标方程

圆心在极点,半径为的圆

圆心为,半径为的圆

圆心为,半径为的圆

过极点,倾斜角为的直线 (1)

极坐标与参数方程

一、考纲要求

1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.

2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.

二、知识结构

1.参数方程的概念

在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标yx,都是某个变数t的函数),(),(tgytfx 并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(yxM都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数yx,的变数t叫做参变数，简称参数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

常见的曲线的参数方程

2.直线的参数方程

(1)标准式 过点Po(x0,y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是

atyyatxxsincos00 (t为参数，其几何意义是．．．．．PM．．的数量．．．)

(2)一般式 过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=ab的直线的参数方程是

btyyatxx00(t为参数，1tant) ②

3.圆锥曲线的参数方程

(1)圆 圆心在(a,b)，半径为r的圆的参数方程是sincosrbyrax(φ是参数)

(2)椭圆 椭圆12222byax(a＞b＞0)的参数方程是sincosbyax (φ为参数)

椭圆12222byay(a＞b＞0)的参数方程是sincosaybx(φ为参数)

(3)抛物线 抛物线pxy22的参数方程为为参数tptyptx222

4.极坐标

极坐标系 在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫 做极轴.