自由落体运动
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自由落体运动
【典型例题1】
从60 m高处自由下落一个物体，如果把这60 m分为三段，（1）若要通过每一段所用的时间相等，求各段的高度，（2）若要每段的高度相等，求通过各段的时间。
解答：（1）若要通过每一段的时间相等，则各段高度之比为h1:h2:h3＝1:3:5，
所以每段的高度分别为：h1＝H9 ＝623 m，h2＝3H9 ＝20 m，h3＝5H9 ＝3313 m。
（2）若要每段的高度相等，每段高度均为20 m，则通过第一段所需时间为：
t1＝2h1g＝22010 s＝2 s，
而通过各段所需时间之比为t1:t2:t3＝1:（2 －1）:（3 －2 ），
所以通过第二段和第三段的时间分别为：
t2＝（2 －1）t1＝2（2 －1）s，
t3＝（3 －2 ）t1＝2（3 －2 ）s。
分析：自由落体运动因为初速为零，所以常用比例法求解，比例法要比常规解法简便些。
【典型例题2】
某物体做自由落体运动，下落过程中先后经过A、B两点，相隔时间为t＝0.2 s，已知AB间高度差为h＝1.2 m，求物体的起落点离A点的高度。
解答：设物体经过A点时的速度为vA，起落点离A点的高度为h1，则：
h＝vAt＋12 gt2，
所以vA＝ht －12 gt＝（1.20.2 －12 100.2）m/s＝5 m/s，
h1＝vA22g ＝52210 m＝1.25 m。
分析：本题也可由方程组：h1＝12 gt12，h1＋h＝12 g（t1＋t）2。消去t1解得h1。
也可以由AB段中间时刻的即时速度就等于AB段的平均速度，可知AB段中间时刻的即时速度为vt’＝h2t2 ＝1.20.2 m/s＝6 m/s，
于是，从开始下落到该时刻的时间为t’＝vt'g ＝0.6 s，可见从开始下落到A点历时为t1＝0.5 s，同样可求得h1＝12 gt12＝1.25 m。
【典型例题3】
某物体做自由落体运动，下落过程中先后经过A、B、C三点，已知经过AB段和经过BC段所用的时间相等，且AB＝23 m，BC＝33 m，求起落点离A点的高度。 解答：设经过每一段所用的时间为t，则BC－AB＝gt2，所以
t＝BC－ABg ＝33－2310 s＝1 s，
又AB＝vAt＋12 gt2，代入数据得：23＝vA＋5，所以vA＝18 m/s，
h1＝vA22g ＝182210 m＝16.2 m。
分析：本题也可以由匀变速直线运动相邻的相等时间内的位移差相等，知道在A点前1 s内的位移为13 m，再考虑A点前、后各1 s组成的一段运动，它的平均速度就是A点的即时速度可求得vA。
【典型例题4】
甲球由塔顶自由下落，当它下落高度a时，乙球在塔顶以下距离为b处开始自由下落，结果这两球同时落地，可知塔高为＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
解答：设塔高为H，则由两物体下落的时间关系得：
2Hg －2ag ＝2（H－b）g ，
两边平方再整理得：a＋b＝2Ha ，
可解得：H＝（a＋b）24a
。
分析：本题也可设乙下落到地所需的时间为t，则由两物体下落的高度关系得：
12 gt2＋b＝12 g（t＋2ag ）2，解出t后再计算H。
【拓展训练】
1．一物体从h高处自由下落，将h分成高度相等的三段，则自上而下经过每段高度所用的时间之比为（ ）
（A）1:0.414:0.318， （B）1:2 :3 ，
（C）1:3:5， （D）1:4:9。
2．做自由落体运动的物体第100 s内的位移和第1 s内的位移之比为______________。做自由落体的物体通过第100 m所需的时间和通过第1 m所需的时间之比为_____________。
3．做自由落体运动的物体，若在最后1 s内通过的位移为65 m，则其下落的总高度为＿＿＿＿＿＿＿m。若在最后1 s内运动的平均速度为12.5 m / s，则物体落地时的速度为＿＿＿＿＿＿m/s。
4．物体从高处自由下落到地面，已知在整个高度内的平均速度为25 m / s，则此物体原来的高度为_________m，它下落的最后1 s内的位移为______________m。最后1 s位移比稍前1 s位移多＿＿＿＿＿m。
5．物体自由下落，最后2 s内下落的高度为全部下落高度的3 / 4，则它下落的总高度为_______m，下落的总时间为__________s。 6．离地96 m高处，每隔相等时间自由下落一物体，当第5个物体放出时第1个物体恰好落地，则此时它们在空中的高度依次为__________m、__________m、__________m、_________m、_____________m。
7．一幢楼房底层窗口离地高为4 m，各层窗口的高度差也是4 m，一物体从8楼窗口自由下落到6楼窗口时，另一物体从某一窗口自由下落，两物体同时到达地面，求另一物体从几楼窗口开始下落的？
8．一矿井深为125 m，在井口每隔一定时间自由下落一个小球。当第11个小球刚从井口开始下落时，第一个小球恰好到达井底。求：（1）相邻两小球开始下落的时间间隔，（2）这时第3个小球和第5个小球的距离。
