平行线的判定和性质

教师辅导讲义

学员姓名： 年 级：七年级 课时数：

辅导科目：数学 授课时间：

课

题 平行线及其判定及性质

教学目标 1.理解平行线的意义，了解同一平面内两条直线的两种位置关系；

2.掌握平行公理及其推论，会按要求画平行线； 87654321ABCDE3.掌握平行线的判定方法，并会运用这些方法进行简单的推理证明；

教学内容

知识回顾

写出下图中所有的同位角、内错角、同旁内角

同位角：

内错角：

同旁内角：

新课知识

一、平行线的判定

知识点1：平行线的判定1

用该符号语言表示：如图，

∵∠1=∠2， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

两直线平行的判定方法1：

两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.

简单地说: 同位角相等 ,两直线平行.

例1.如图，直线a,b都与直线c相交，若∠1=120°，,2=60°，则a∥b.在下列括号中填写推理理由.

∵∠1=120°（ ）.

∴∠3=60°（ ）.

又∵∠2=60°（ ）.

∴∠2=∠3（ ）.

∴a∥b

知识点2：平行线的判定2

思考：下图中，如果∠1=∠7，能得出AB∥CD吗?写出你的推理过程.

解：∵∠1=∠7 ( )

∠1=∠3( )

∴∠7=∠3( )

∴ AB∥CD( )

用该符号语言表示：如图，

∵∠2=∠3（已知）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

两直线平行的判定方法2：

两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.

简单地说: 内错角相等 ,两直线平行.

知识点3：平行线的判定3

下图中，如果∠4+∠7=180°，能得出AB∥CD?

解: ∵ ∠4+∠7=180 °（ ）

∠4+∠3=180°（ ）

∴∠7=∠3（ ）

∴ AB∥CD（ ）

用该符号语言表示：如图，

∵∠2+∠4=180°（已知）， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）

两直线平行的判定方法3：

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

简单地说: 同旁内角互补 ,两直线平行.

例4. 如图所示，回答下列问题，并说明理由．

（1）由∠C＝∠2，可判定哪两条直线平行？

（2）由∠2＝∠3，可判定哪两条直线平行？

（3）由∠C＋∠D＝180°，可判定哪两条直线平行？ 注：（1）要掌握直线平行的判定方法，首先要掌握同位角、内错角、同旁内角的定义；

（2）判定方法是从角的关系得到两直线平行的。

知识点4：平行线的判定方法的推论

（一）两条平行线间的距离

1、定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离。

如图所示，a//b，A是直线上任意一点，，垂足为B，则线段AB的长即是两平行线、间的距离。若在直线上任找一点，过作，垂足为D，则线段CD的长也是两平行线、间的距离。由此可见：

2、平行线间的距离处处相等。

例4.如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，∠1=∠2. （1）请说明AB∥CD的理由

（2）试问BM与DN是否平行？为什么？

二、平行线的性质

知识点1：平行线的性质1

两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.

简单说成：两直线平行，同位角相等.

如图所示，AB∥CD，有∠1=∠2.

格式：∵AB∥CD（已知）.∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）

例1.如图，已知a∥b,∠1=65°,则∠2的度数为（ ） A.65°

B.125°

C.115°

D.25°

知识点2：平行线的性质2

两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.

简单说成：两直线平行，内错角相等.

格式：如图所示，AB∥CD，有∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）.

说明：∵AB∥CD（已知）.∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）

∵∠1=∠3， ∴∠2=∠3

例2.如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE∥AC，若∠C=50°，

∠BDE=60°，则∠CDB的度数等于（ ） A.70° B.100°

C.110°

D.120°

知识点3：平行线的性质3

两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.

简单说成：两直线平行，同旁内角互补.

格式：如图所示，∵AB∥CD（已知）.

∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）

例3.如图，若AB∥DE，BC∥FE，则∠E+∠B= .

注：同位角相等、同旁内角互补；内错角相等，都是平行线特有的性质，且不可忽略前提条件“两直线平行”，不要看到同位角或内错角，就认为是相等的。

三、平行线的性质和判定方法的综合应用

平行线的判定和性质的区别和联系：

平行线的性质描述的是“数量关系”，它的前提是两直线平行，然后得出角相等或互补的关系，是由“位置关系”到“数量关系”；

而平行线的判定，是以角的相等或互补为前提，推导出平行，是从“数量关系”到“位置关系”

判定

即：两角的数量关系 两直线的位置关系

性质

由此可见，判定与性质之间的关系是一种互逆关系。

例4.潜望镜中的两个镜子MN和PQ是互相平行的，如图所示，光线AB经镜面反射后射出，由题意知∠2=∠1，∠4=∠3，则进入的光线AB与射出的光线CD平行吗？为什么？

随堂巩固

平行线的判定

一、填空题： 1．如图③ ∵∠1=∠2，∴_______∥________（ ）

∵∠2=∠3，∴_______∥________（ ）

2．如图④ ∵∠1=∠2，∴_______∥________（ ）

∵∠3=∠4，∴_______∥________（ ）

二、选择题：

1．如图⑦，∠D=∠EFC，那么（ ）

A．AD∥BC B．AB∥CD C．EF∥BC D．AD∥EF

2．如图⑧，判定AB∥CE的理由是（ ）

A．∠B=∠ACE B．∠A=∠ECD C．∠B=∠ACB D．∠A=∠ACE

3.如图，直线a、b被直线c所截，给出下列条件，①∠1＝∠2，②∠3＝∠6，

③∠4＋∠7＝180°，④∠5＋∠8＝180°其中能判断a∥b的是（ ）

A.①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④

三、完成推理，填写推理依据：

1．如图⑩ ∵∠B=∠_______，∴ AB∥CD（ ）

∵∠BGC=∠_______，∴ CD∥EF（ ）

∵AB∥CD ，CD∥EF，∴AB∥____（ ）

2.已知，如图∠1＋∠2＝180°，填空。

∵∠1＋∠2＝180°（ ）又∠2＝∠3（ ）

∴∠1＋∠3＝180°∴_________（ ）

四、证明题

1.如图：已知∠A=∠D，∠B=∠FCB，能否确定ED与CF的位置关系，

请说明理由。

2.如图，直线AB、CD被EF所截，∠1 =∠2，∠CNF =∠BME。求证：AB∥CD，MP∥NQ．

3.如图，已知：∠AOE＋∠BEF＝180°，∠AOE＋∠CDE＝180°，

求证：CD∥BE。

4.如图，已知：∠A＝∠1，∠C＝∠2。求证：求证：AB∥CD。

平行线的性质 DCBA1E21DCB1.如图1所示,AB∥CD,则与∠1相等的角(∠1除外)共有( )

A.5个 B.4个 C.3个 D.2个

(1) (2) （3）

2.如图2所示,CD∥AB,OE平分∠AOD,OF⊥OE,∠D=50°,则∠BOF为( )

A.35° B.30° C.25° D.20°

3．如图3，AB∥CD，EG⊥AB于G，∠1 = 50°，则∠E = ．

4.∠1和∠2是直线AB、CD被直线EF所截而成的内错角,那么∠1和∠2 的大小关系是( )

A.∠1=∠2 B.∠1>∠2; C.∠1<∠2 D.无法确定

5、如图,已知:DE∥CB,∠1=∠2,求证:CD平分∠ECB.

6．如图6，∠ABD和∠BDC的平分线交于E，BE交CD于点F，∠1 +∠2 = 90°．

求证：（1）AB∥CD； （2）∠2 +∠3 = 90°．