轮廓表示

1 第七章 轮廓表示

把边缘连接起来就成为轮廓（contour）.轮廓可以是断开的，也可以是封闭的，封闭轮廓对应于区域的边界，而区域内的象素可以通过填充算法来填满，断开的轮廓可能是区域边界的一部分，也可能是图像线条特征，如手写体笔画、图画中的线条等，区域之间的对比度太弱或边缘检测阈值设置太高都有可能产生间断的轮廓。

轮廓可以用边缘序列表或曲线来表示，曲线通常称为轮廓的数学模型，曲线表示包括线段、二次曲线、三次样条曲线等，下面几种轮廓表示的评价标准：

高效：轮廓应该是一种简洁的表示。

精确：轮廓应能精确地逼近图像特征。

有效：轮廓应适合于后处理阶段的计算。

轮廓表示的精确性由以下三个方面因素决定：①用于轮廓建模的曲线形式；②曲线拟合算法的性能；③边缘位置估计的精确度，轮廓的最简单表示形式是边缘有序表，这种表示的精确度就是边缘估计的精确度，但其表示的紧凑性是最差的，因此不是一种高效的图像分析表示方法.用适当的曲线模塑来拟合边缘会提髙精确度，这是因为曲线模型拟合边缘时往往具有均值化效应，因而可以减少边缘位置误差.曲线模型也会提高轮廓表示的经济性，为后处理提供了一种更简单、更紧凑的表示，例如，一条直线上的边缘集用一直线来拟合是表示这些边缘的最简单和最有效的方法，这一表示也简化了后处理（如确定线的长度和方向）；另外，由于估计直线与真实直线的均方差小于真实直线与任何其它边缘之间的均方差，因此可以说这种表示也增加了精确度.

轮廓曲线拟合通常采用内插曲线或逼近曲线来实现，已知一组称为控制点的坐标点，

内插是指一条曲线拟合这组控制点，使得曲线通过所有的控制点；逼近是指一条曲线拟合 这组控制点，使得这条曲线非常接近这些控制点而无需一定通过这些点，在下面几节中，假定由边缘检测器得到的边缘十分准确，并使用内插值方法进行边缘曲线拟合.

在无特别说明的情况下，边缘通常是指边缘点.对大多数曲线拟合算法来说，只需要边缘的位置信息.在很少的几种情况下，既铺要边缘位置信息，也需要方向信息，此时的边缘称为边缘段.

平面曲线函数可以表示为三种形式：显式y=f（x);隐式f（x，y);或参数式（x(u)，

y(u)),其中u是某一参数.函数的显式表示很少用在机器视觉中，主要原因是平面上的曲线可能卷曲，使得一个x值可能对应曲线上多个y值.

7.1 数字曲线及其表示

本节将讨论一组计算曲线几何元素的算法，几何元素包括轮廓长度、正切方向和曲率

等.由于相邻象素之间的量化增量是45°,因此，精确计算斜率和曲率是很困难的.

估计正切方向的基本思路是使用边缘表中非邻接的边缘点，这就允许存在一个较大的可能的正切方向集合，设是边缘表中第i个边缘坐标，k斜率是在边缘表相距k个边缘点的两个边缘点之间的方向矢量，左k斜率是指向pi-k的方向，右k斜率是指向pi+k方向，k曲率是左右k斜率之差值。

假定在边缘表中有n个边缘（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）数字曲线的长度可以近似为象素之间的线段和

2 7.1.1 链码

链码是沿着轮廓记录边缘表的一种表示方法.链码规定了边缘表中每一个边缘点所对应的轮廓方向，其中的轮廓方向被量化为4邻点链码或8邻点链码也称4方向链码或8

方向链码，如图7.1所示.图7.2所示的是一条曲线及其8邻点链码的表示，8邻点链码从一个边缘点开始，沿着轮廓按逆时针方向行走，行走方向用八个链码中的一个表示。

链码有一些很特殊的性质.一个物体很容易实现45°角旋转.如果一个物体旋转n×

45°,旋转后的物体链码可由原链码加上n倍的模8得到.链码的微分，也称差分码，可由原码的一阶差分求得.链码差分是关于旋转不变的边界描述方法.比如，

图 7.2 曲线的链码是:12

其真差分链码是7120111

图7.3是图7.2曲线逆时针旋转90°后得到的，

曲线的链码是：034

其差分链码是：

由此可见，一条曲线旋转到不同的位置将对应不同的链码，但其差分链码不变，即差分链码关于曲线旋转是不变的。

区域的一些其它性质,如面积和角点，也可以由链码直接求得.这种表示的局限性是表示某一点正切方向的集合是有限的(4邻点链码有4个，8邻点链码有8个），这一局限性可以通过下面几节介绍的曲线表示方法来克服.

7.1.2 斜率表示法

用任意的正切方向来表示轮廓可以克服链码的有限正切方向表示轮廓的局限性.假定从边缘表开始，使用上面给出的公式计算正切和弧长，可以画出正切Φ同弧长s关系图，称作Φs图，Φs图是轮廓形状在Φs空间的表示，是一种轮廓形状的紧凑描述.图7.4 所示的是包含有直线段和圆弧段的轮廓在Φs空间中的表示,它是一个直线段序列.对于封闭轮廓，Φs图是一个周期曲线.在Φs图中，水平方向的直线段对应轮廓中的直线段，这是由于直线段对应的斜率是恒定值.其它方向的直钱段对应圆弧段，非直线段部分对应曲线基元.

如果把Φs图分割成直线段，也就把轮廓分割成直线段和圆弧段.许多研究人员采用这一方法来分割轮廓，由此产生了多种轮廓分段方法.

7.2曲线拟合

本章将讨论三种常用的曲线模型拟合边缘点的方法：直线段，圆锥曲线段和三次样条

曲线段.一般来说，在用曲线模型拟合边缘点之前应考虑如下两个问題：

① 用什么方法进行边缘点曲线模型拟合？

② 如何测量拟合的逼近程度？

下面几节将讨论曲线模型拟合边缘点方法，其中假设边缘位置足够精确，不会对拟合

结果产生影响.

设d1是边缘点到一条拟合曲线的距离，该距离值有正负符号，在曲线同一侧的边缘具有相同的正负符号.目前有许多种拟合曲线与候选边缘点拟合效果的测量方法，每一种都取决于拟合曲线和候选点之间的误差.下面是一些常用的方法.

① 最大绝对误差(maximum absolute error, MAE )

测量最坏情况下边缘点偏离曲线的距离

② 均方差（mean squared error，MSE )

给出边缘点偏离拟合曲线的总的测度

③ 规范化最大误差（normalized maximum error，NME )

最大绝对误差与曲线长度S之比

3 ④ 误差符号变化次数

这里的误差就是指d1，即边缘点偏离拟合曲线的距离.误差符号变化次数可作为轮廓边缘模型与边缘点曲线适合程度的测度.

⑤ 曲线长度与端点距离之比

曲线复杂程度的测度.

符号变化是一种评价拟合好坏的很有用的参数.比如，用直线段逼近边缘表.如果符号变化一次，则说明边缘点可以由直线段来逼近，符号变化两次，说明边缘可以由二次曲线逼近，符号变化三次，说明边缘模型是三次曲线，依此类推.如果符号变化数量很大，则意味着曲线复杂度增加一点将不能显著地改善拟合效果.一种好的拟合所对应的符号变化具有随机模式.相同符号连续出现多次说明存在拟合系统误差，这种误差可能是由于错误的曲线模型引起的。

曲线拟合模型的选择取决于应用场合.如果场景是由直线段组成，则使用直线段（或多线段)模型比较合适。直线段模型也可作为其它拟合模型的初始拟合模型.圆弧段是估计曲率的最有用的一种表示，因为曲线可以分割成具有分段恒定曲率的曲线段.圆锥曲线段是一种表示直线段和圆弧段序列以及椭圆和高次弧段序列的有效方法.三次样条曲线适合于平滑曲线模型，因为三次样条曲线并不要求正切矢量和曲率的估计值一定是分段恒定的。

多直线段是指端点连接端点的直线段序列，直线段序列的连接点称为顶点.多直线段

适合具有线段序列的边缘列表的拟合.多线段算法的输入值是边缘点有序表{（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）}。边缘点坐标可以计算到子象素精度.由于线段的两个端点对应两个边缘点，即线段拟合在这两个边缘点之间进行，因此仅需要精确计算对应端点的两个边缘点的坐标。

拟合边缘表并把第一个边缘点（x1，y1）和最后一个边缘点（xk，yk）连接起来的直线段公式如下：

规范化最大误差常作为线段拟合边缘列

表好坏的置度.需要指出，上面的公式都是在点

向直线段的垂直投影落在线段内这个假设下进

行的.对于其它情况,则应修正公式，以便计算

点到最近的线段端点的距离.下面介绍两种拟

合多线段的方法：自顶面下的分裂和自底而上

的合并.

1.多直线段分裂

自顶而下的分裂算法(top-down splitting)

是将整条曲线作为初始曲线，通过反复增加顶点

数来进行直线段拟合曲线。考虑图7.5所示的边

缘点曲线（可以认为是由离散边缘点构成），将

第一个和最后一个边缘点连成的直线作为曲线的

初始拟合，用AB标记.在边缘表中计算规范化最

大误差，如果该误差值髙于某一阈值，则在离直

线段最远的边缘点上设置一个顶点，用C来标记，

从而形成两个拟合直线段AC和CB,边缘表也分割

成对应于两个新直线段的两个子边缘表.在每一个

子边缘表中，重复上面所述的分裂算法，形成两个新的直线段及对应的两个更小的子边缘表.这样的分裂过程可以一直进行下去，直到所有的直线段对应的规范化最大误差均低于某一阈值为止.多线段分裂也称为迭代分解。

4 2.线段合并

线段合并(merging)是指用一条直线段尽量多地拟合边缘表中的边缘点.当边缘点离直线段太远而无法用该直线段拟合时，则开始新的直线段拟合.合并方法也称为自底而上合并(boltom-up merging)的多线段拟合方法.

确定边缘点离直线段的距离有许多种方法.一种方法是使用序贯最小二乘法，完成直

线段到边缘点的最小二乘法拟合，并在每次处理新的边缘点时递增地更新线段参数.拟合算法将计算边缘点与直线段模型之间的偏差(残差）平方.当偏差超过某一阈值时，引进一

个顶点，并将上—个线段的端点作为新的起点开始新的直线段拟合。

误差带算法是另一种确定顶点位置的方法，如图7.6所示，主要工作是计算两条平行

且离中心线距离为ε的直线段，ε值表示离中心直线的绝对偏离值,拟合直线段就位于误差带内.当新的边缘在误差带内，就可以用当前拟合直线表示该边缘，然后重新计算误差带的位置.拟合直线段不必与误差带边保持平行.位于线段端点的顶点是下一线段的起点.显然，这一方法常产生大量的线段.由于拟合直线段行进到误差带边界时才产生角点， 因此，不能精确估计角点位置和角度。

3.分裂和合并

自顶而下的迭代分解方法和自底而上的合并方法组合起来，形成合并和分裂算法.单

独使用分裂或合并算法时，成功率往往不是很高，改进的方法是交叉使用分裂和合并算法.分解过程以后，如果新的线段能以很小的规范化误差拟合边缘，则可用单一直线段代替相邻的几个线段.请注意，由于多直线段总是比单直线段的拟合误差小，因此很有必要使用规范化误差.在线段合并后，新的线段可能在不同点处分裂.这样，分裂和合并交替作用直到没有线段被合并和分裂为止，图7.7所示的是先分裂后合并来修补坏顶点位置的示意图。

一种有效的分裂和合并算法是从边缘表中的前k个边缘构成的子列表开始，而不是

整个边缘列表.用直线段拟合子表中第一和最后一个边缘点之间的边缘点.如果某点的规范化最大误差太大,则将子列表缩到最大误差对应的边缘点处，这样一直进行下去，就可以得到第一条拟合直线段,这实际上是分裂算法.置当前拟合的直线段为旧线段，再在剩下的边缘点集中取前k个边缘构成新子列表,用分裂算法求取第二条拟合直线段.比较当前直线段和原直线段的方向，如果它们具有相似的方向，则将这两条直线段合并，这是合并算法。