内切圆与三角形的外接圆有何关系？
一、什么是内切圆和外接圆？
内切圆指的是一个圆与给定的图形（如三角形）的每一条边都有且只有一个公共点。
外接圆是一个圆恰好与给定的图形（如三角形）的每一条边都相切。
二、内切圆和外接圆之间的关系
1. 同一三角形的内切圆和外接圆有相同的圆心：内切圆和外接圆都以三角形的垂心为圆心。
垂心是指通过三角形的三条边所作的垂线共点的交点，对于不同形状的三角形来说，垂心的位置也不同。
2. 内切圆与外接圆的切点位置关系：对于任意一个三角形来说，该三角形的三条高线（垂直于边的线段）的交点即为内切圆和外接圆的切点。
这表明内切圆和外接圆的切点位置与三角形的特征和性质密切相关。
3. 内切圆和外接圆的半径关系：内切圆的半径总是小于等于外接圆的半径。
根据数学理论可以证明，内切圆的直径是三角形三边长度之和的倒数的一半，而外接圆的直径等于三角形的周长除以π。
三、内切圆和外接圆的应用
1. 具有美学价值：内切圆和外接圆所在的位置和形状对于构图美感有着重要的影响。
在艺术和设计中，利用内切圆和外接圆的位置关系可以创造出一些美观的图案和构图。
2. 几何分析和计算：内切圆和外接圆的位置和性质在几何学的研究和计算中有着重要的应用。
利用内切圆和外接圆，可以推导出一些三角形的特征和性质，辅助解决三角形相关问题。
3. 工程应用：在建筑和结构设计中，内切圆和外接圆的位置和性质有助于计算和确定建筑物的结构强度和稳定性。
通过内切圆和外接圆的计算和测量，可以为工程设计提供重要的数据和指导。
4. 教育教学：内切圆和外接圆的关系在数学教育中具有重要的意义。
通过学习内切圆和外接圆的概念和性质，能够培养学生的几何思维和推理能力，提高数学学科的学习效果。
三角形内切圆与外接圆
三角形是几何学中最基本的图形之一，而三角形内切圆与外接圆是与三角形紧密相关的概念。本文将介绍三角形内切圆和外接圆的定义、性质以及它们在几何学中的应用。
一、三角形内切圆
三角形内切圆是指可以与三角形的三条边相切的圆。其圆心被称为三角形的内心，记作I，半径被称为内切圆半径，记作r。对于任意三角形ABC，其内切圆的半径r可以通过以下公式计算：
r = Δ / s
其中Δ为三角形的面积，s为三角形的半周长，即 s = (a + b + c) / 2。内切圆的半径r是三角形的几何特征之一，它可以告诉我们有关三角形内角平分线、垂心、重心等重要几何特性。
二、三角形外接圆
三角形外接圆是指可以同时与三角形的三个顶点相切的圆。其圆心被称为三角形的外心，记作O，半径被称为外接圆半径，记作R。对于任意三角形ABC，其外接圆半径R可以通过以下公式计算：
R = a * b * c / (4 * Δ)
其中a、b、c分别为三角形的三边长，Δ为三角形的面积。外接圆的半径R也是三角形的重要几何特性之一，它可以帮助我们定位三角形的外角平分线以及其他重要点。 三、内切圆与外接圆的关系
三角形的内切圆和外接圆之间存在着紧密的关系。根据欧拉定理，三角形的内心、外心和重心三点共线，并且连线的中点恰好是垂心的投影点。此外，内切圆的半径r和外接圆的半径R之间存在着以下关系：
r = 2R * sin(A/2) * sin(B/2) * sin(C/2)
其中A、B、C分别为三角形的三个内角。
四、应用与扩展
三角形内切圆和外接圆在几何学中具有广泛的应用。例如，在三角形判定问题中，内切圆相切于三个顶点可以帮助我们判断三角形是否为等边三角形；外接圆的半径R可以帮助我们判断三角形的类型，如锐角三角形、钝角三角形和直角三角形。
此外，三角形内切圆和外接圆还与三角形的面积、角平分线、三角形的心等几何特性相关。它们在三角形的构造、证明以及其他几何问题的解决中起着重要的作用。
三角形的内切圆
1、教材分析
（1）知识结构
（2）重点、难点分析
重点：三角形内切圆的概念及内心的性质．因为它是三角形的重要概念之一．
难点：①难点是“接”与“切”的含义，学生容易混淆；②画三角形内切圆，学生不易画好．
2、教学建议
本节内容需要一个课时．
（1）在教学中，组织学生自己画图、类比、分析、深刻理解三角形内切圆的概念及内心的性质；
（2）在教学中，类比“三角形外接圆的画图、概念、性质”，展开活动式教学．
教学目标：
1、使学生了解尺规作三角形的内切圆的方法，理解三角形和多边形的内切圆、圆的外切三角形和圆的外切多边形、三角形内心的概念；
2、应用类比的数学思想方法研究内切圆，逐步培养学生的研究问题水平；
3、激发学生动手、动脑主动参与课堂教学活动．
教学重点：
三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质．
教学难点：
三角形内切圆的作法和三角形的内心与性质．
教学活动设计 （一）提出问题
1、提出问题：如图，你能否在△ABC中画出一个圆？画出一个最大的圆？想一想，怎样画?
2、分析、研究问题：
让学生动脑筋、想办法，使学生理解作三角形内切圆的实际意义．
3、解决问题：
例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切．
引导学生结合图，写出已知、求作，然后师生共同分析，寻找作法．
提出以下几个问题实行讨论：
①作圆的关键是什么?
②假设⊙I是所求作的圆，⊙I和三角形三边都相切，圆心I应满足什么条件?
③这样的点I应在什么位置?
④圆心I确定后半径如何找．
A层学生自己用直尺圆规准确作图，并叙述作法；B层学生在老师指导下完成．
完成这个题目后，启发学生得出如下结论： 和三角形的各边都相切的圆能够作一个且只能够作出一个．
（二）类比联想，学习新知识．
1、概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
《装备制造技术｝２０１３年第９期
绘制三角形内切圆与外接圆的ＡｕｔｏＣＡＤ二次开发
唐露露，秦凯，程泽明，陈强，符纯华
（四川理工学院机械工程学院，四川自贡６４３０００）
摘要：为了快速绘制三角形的内切圆和外接圆，利用ＣＡＤ二次开发工具开发内切圆和外接圆快速绘制程序。所开发
的程序利用ＤＣＬ对话框实现人机交互，并根据用户提供的三角形的信息确定内切圆与外接圆的半径和圆心，从而实现
内切圆与外接圆绘制。所开发的程序扩展了ＡｕｔｏＣＡＤ的功能，界面友好，提高了绘图效率，有一定的工程应用价值。
关键字：内切圆；外接圆；ＣＡＤ二次开发
中图分类号：Ｇ６３４．６；ＴＰ３９１．７２ 文献标识码：Ｂ 文章编号ｉ １ ６７２—５４５Ｘ（２０１ ３）０９—００６３—０３
ＡｕｔｏＣＡＤ软件具有强大的绘图功能，在机械建
筑等行业中使用十分广泛。在制图中我们需要绘制
三角形的内切圆与外接圆。在ＡｕｔｏＣＡＤ中三角形内
切圆的绘制需要调用画圆命令的“相切、相切、相切”
模式来绘制，若是给定三点时则需要先连线绘制三
角形后才能完成绘制。ＡｕｔｏＬｉｓｐ是ＡｕｔｏＣＡＤ自带语
言，简单易学，与ＡｕｔｏＣＡＤ配合使用将大大提高绘图
效率。而ＤＣＬ良好的界面效果为用户的使用提供了
方便，保证参数的正确输入。由此想到开发一个专用
工具来完成三角形内切圆与外接圆的绘制，以扩充
ＡｕｔｏＣＡＤ的功能，提高绘图效率。
１ 程序设计与实施
１．１设计思路
绘制三角形内切圆与外接圆的关键是分别找到
三角形的内心及外心坐标，以及内切圆半径与外接
圆半径。其设计思路是利用ＤＣＬ得到所需参数，通过
公式求出相应圆心坐标与半径后调用ＡｕｔｏＣＡＤ绘制
圆的命令从而完成三角形内切圆与外接圆的绘制。
设计思路的流程图如图１所示。
图１绘制内切圆与外接圆流程图 １＿２已知三点绘制内切圆和外接圆
（１）三角形内切圆圆心坐标及半径计算
ｊ三角形内切圆的圆心是三个顶点的角平分线的
