2018届四省名校(南宁二中等)高三上学期第一次大联考数学(理)试题(扫描版)

2018届高三毕业班摸底联考理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，集合，则下列关系中正确的是（）A． B． C．D．2．已知（是虚数单位），那么复数对应的点位于复平面内的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．等差数列中，，则的前9项和等于（）A． B．27 C．18 D．4．的展开式中项的系数为（）A．80 B． C． D．485．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．6．如图，函数（，）的图象过点，则的函数解析式为（）A． B．C． D．7．执行如图的程序框图，那么输出的的值是（）A． B． C．2 D．18．三棱锥中，为等边三角形，，，三棱锥的外接球的体积为（）A． B． C． D．9．甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（）A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民 B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民 D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人10．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．11．已知是内部一点，，且，则的面积为（）A． B． C． D．12．设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知满足约束条件，则的最大值为．14．在等比数列中，，，则．15．已知函数，，则的取值范围是．16．如图，在正方形中，分别是的中点，是的中点.现在沿及把这个正方形折成一个空间图形，使三点重合，重合后的点记为.下列说法错误的是（将符合题意的选项序号填到横线上）．①所在平面；②所在平面；③所在平面；④所在平面.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在中，角的对边分别为，已知. （1）求证：；（2）若，的面积为，求.18．某省高考改革实施方案指出：该省高考考生总成绩将由语文、数学、外语3门统一高考成绩和学生自主选择的学业水平等级性考试科目共同构成，该省教育厅为了解正在读高中的学生家长对高考改革方案所持的赞成态度，随机从中抽取了100名城乡家长作为样本进行调查，调查结果显示样本中有25人持不赞成意见，如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图．（1）根据已知条件与等高条形图完成下面的列联表，并判断我们能否有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”？注：，其中.（2）用样本的频率估计概率，若随机在全省不赞成高考改革的家长中抽取3个，记这3个家长中是城镇户口的人数为，试求的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，，．（1）求证：直线平面；（2）求二面角的余弦值20．已知抛物线上一点到焦点的距离为．（l）求抛物线的方程；（2）抛物线上一点的纵坐标为1，过点的直线与抛物线交于两个不同的点（均与点不重合），设直线的斜率分别为，求证：为定值．21．设.（l）若对一切恒成立，求的最大值；（2）是否存在正整数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：，直线的直角坐标方程为．（l）求曲线和直线的极坐标方程；（2）已知直线分别与曲线、曲线交异于极点的，若的极径分别为，求的值．23．选修4-5：不等式选讲已知函数，．（l）求的解集；（2）若对任意的，，都有.求的取值范围.2018届高三毕业班摸底联考理科数学参考答案一、选择题1-5:AABBD 6-10:BCBCC 11、12：AD二、填空题13．6 14．1 15． 16．①③④三、解答题17．解：（1）∵.∴由正弦定理可得：，可得：，∴.∴.（2）∵，的面积为，∴∴.∵由余弦定理可得：.∵，∴可得：，解得：.18．解：（1）完成列联表，如下：代入公式，得观测值：.∴我们没有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”.（2）用样本的频率估计概率，随机在全省不赞成高考改革的家长中抽中城镇户口家长的概率为0.6.抽中农村户口家长的概率为0.4，的可能取值为0，1，2，3.，，，.∴的分布列为：.19．解：（1）在上取一点，使，连接，，∵，，∴，，，.∴，.∴为平行四边形.即.又平面，∴直线平面.（2）取中点，底面是菱形，，∴. ∵，∴，即.又平面，∴.又，∴直线平面.故相互垂直，以为原点，如图建立空间直角坐标系.则，，，，，.易知平面的法向量，设面的法向量，由，得.∴.故二面角的余弦值为.20．解：（1）由抛物线的定义可知，则，由点在抛物线上，则，∴，则，由，则，∴抛物线的方程.（2）∵点在抛物线上，且.∴∴，设过点的直线的方程为，即，代入得，设，，则，，所以.21．解：（1）∵，∴，∵，的解为.∴，∵对一切恒成立，∴，∴，∴.（2）设，则，令得.在时，递减；在时，递增.∴最小值为，故，取，，得，即.累加得.∴.故存在正整数，使得.当时，取，有，不符合.故.22．解：（1）曲线的参数方程为（为参数），极坐标方程为，∵直线的直角坐标方程为，故直线的极坐标方程为.（2）曲线的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为，将代入的极坐标方程得，将代入的极坐标方程得，∴.23．解：（1）∵函数，故，等价于.等价于①，或②，或③.解①求得，解②求得，解③求得.综上可得，不等式的解集为.（2）若对任意的，，都有，可得.∵函数，∴.∵，故.∴，∴，或，求得或.故要求的的范围为或.。

2018届高三毕业班摸底联考理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，集合，则下列关系中正确的是（）A． B． C．D．2．已知（是虚数单位），那么复数对应的点位于复平面内的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．等差数列中，，则的前9项和等于（）A． B．27 C．18 D．4．的展开式中项的系数为（）A．80 B． C． D．485．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．6．如图，函数（，）的图象过点，则的函数解析式为（）A． B．C． D．7．执行如图的程序框图，那么输出的的值是（）A． B． C．2 D．18．三棱锥中，为等边三角形，，，三棱锥的外接球的体积为（）A． B． C． D．9．甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（）A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民 B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民 D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人10．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．11．已知是内部一点，，且，则的面积为（）A． B． C． D．12．设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知满足约束条件，则的最大值为．14．在等比数列中，，，则．15．已知函数，，则的取值范围是．16．如图，在正方形中，分别是的中点，是的中点.现在沿及把这个正方形折成一个空间图形，使三点重合，重合后的点记为.下列说法错误的是（将符合题意的选项序号填到横线上）．①所在平面；②所在平面；③所在平面；④所在平面.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在中，角的对边分别为，已知. （1）求证：；（2）若，的面积为，求.18．某省高考改革实施方案指出：该省高考考生总成绩将由语文、数学、外语3门统一高考成绩和学生自主选择的学业水平等级性考试科目共同构成，该省教育厅为了解正在读高中的学生家长对高考改革方案所持的赞成态度，随机从中抽取了100名城乡家长作为样本进行调查，调查结果显示样本中有25人持不赞成意见，如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图．（1）根据已知条件与等高条形图完成下面的列联表，并判断我们能否有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”？注：，其中.（2）用样本的频率估计概率，若随机在全省不赞成高考改革的家长中抽取3个，记这3个家长中是城镇户口的人数为，试求的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，，，．（1）求证：直线平面；（2）求二面角的余弦值20．已知抛物线上一点到焦点的距离为．（l）求抛物线的方程；（2）抛物线上一点的纵坐标为1，过点的直线与抛物线交于两个不同的点（均与点不重合），设直线的斜率分别为，求证：为定值．21．设.（l）若对一切恒成立，求的最大值；（2）是否存在正整数，使得对一切正整数都成立？若存在，求的最小值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：，直线的直角坐标方程为．（l）求曲线和直线的极坐标方程；（2）已知直线分别与曲线、曲线交异于极点的，若的极径分别为，求的值．23．选修4-5：不等式选讲已知函数，．（l）求的解集；（2）若对任意的，，都有.求的取值范围.2018届高三毕业班摸底联考理科数学参考答案一、选择题1-5:AABBD 6-10:BCBCC 11、12：AD二、填空题13．6 14．1 15． 16．①③④三、解答题17．解：（1）∵.∴由正弦定理可得：，可得：，∴.∴.（2）∵，的面积为，∴∴.∵由余弦定理可得：.∵，∴可得：，解得：.18．解：（1）完成列联表，如下：代入公式，得观测值：.∴我们没有95%的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”.（2）用样本的频率估计概率，随机在全省不赞成高考改革的家长中抽中城镇户口家长的概率为0.6.抽中农村户口家长的概率为0.4，的可能取值为0，1，2，3.，，，.∴的分布列为：.19．解：（1）在上取一点，使，连接，，∵，，∴，，，.∴，.∴为平行四边形.即.又平面，∴直线平面.（2）取中点，底面是菱形，，∴. ∵，∴，即.又平面，∴.又，∴直线平面.故相互垂直，以为原点，如图建立空间直角坐标系.则，，，，，.易知平面的法向量，设面的法向量，由，得.∴.故二面角的余弦值为.20．解：（1）由抛物线的定义可知，则，由点在抛物线上，则，∴，则，由，则，∴抛物线的方程.（2）∵点在抛物线上，且.∴∴，设过点的直线的方程为，即，代入得，设，，则，，所以.21．解：（1）∵，∴，∵，的解为.∴，∵对一切恒成立，∴，∴，∴.（2）设，则，令得.在时，递减；在时，递增.∴最小值为，故，取，，得，即.累加得.∴.故存在正整数，使得.当时，取，有，不符合.故.22．解：（1）曲线的参数方程为（为参数），极坐标方程为，∵直线的直角坐标方程为，故直线的极坐标方程为.（2）曲线的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为，将代入的极坐标方程得，将代入的极坐标方程得，∴.23．解：（1）∵函数，故，等价于.等价于①，或②，或③.解①求得，解②求得，解③求得.综上可得，不等式的解集为.（2）若对任意的，，都有，可得.∵函数，∴.∵，故.∴，∴，或，求得或.故要求的的范围为或.。

2018届四省名校（南宁二中等）高三上学期第一次大联考数学（理）试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集为，集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】求解指数不等式可得，求解一元二次不等式可得，则，利用交集的定义有：.本题选择C选项.2. 已知是虚数单位，是的共轭复数，，则的虚部为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则，据此可得，的虚部为.本题选择A选项.3. 如图是今年国庆中秋长假期间某客运站客运量比去年同期增减情况的条形图.根据图中的信息，以下结论中不正确的是（）A. 总体上，今年国庆长假期间客运站的客流比去年有所增长B. 10月3日、4日的客流量比去年增长较多C. 10月6日的客运量最小D. 10月7日，同比去年客流量有所下滑【答案】C【解析】观察所给的条形图可知：从10月6日到10月7日，客流量减少，则10月6日的客运量最大，选项C的说法是错误的.本题选择C选项.4. 的展开式中的系数为（）A. 320B. 300C. 280D. 260【答案】B【解析】展开式的通项为：，则：，，据此可得：的系数为.本题选择B选项.5. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】双曲线的渐近线方程为：，由直线垂直的充要条件可得：，抛物线的准线方程为，据此可得方程组：，求解方程组有：，则双曲线的方程为.本题选择C选项.6. 设函数，则下列结论错误的是（）A. 的一个周期为B. 的图形关于直线对称C. 的一个零点为D. 在区间上单调递减【答案】D【解析】逐一考查所给的选项：函数的最小正周期为，则函数的周期为：，取可得函数的一个周期为；函数图象的对称轴满足：，则：，令可得函数的一条对称轴为；函数的零点满足：，则：，令可得函数的一个零点为；若，则，则函数在上不具有单调性；本题选择D选项.7. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为，则输入的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】依据流程图考查程序的运行过程如下：初始化：，第一次循环：成立，；第二次循环：成立，；第三次循环：成立，；第四次循环：成立，；此时不成立，不再循环，据此可得：.本题选择B选项.点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束．要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节．8. 已知正三棱柱（上下底面是等边三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱）的高为2，它的6个顶点都在体积为的球的球面上，则该正三棱柱底面三角形边长为（）A. B. C. 3 D.【答案】A【解析】设正三棱柱的外接球半径为R，底面三角形外接圆半径为r，边长为a，则：，解得：，，结合正弦定理：.本题选择A选项.9. 中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列的前项和，，等比数列满足，，则（）A. 4B. 5C. 9D. 16【答案】C【解析】由题意可得：，，则：等比数列的公比，故.本题选择C选项.10. 过椭圆的左顶点且斜率为的直线与圆交于不同的两个点，则椭圆的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得，直线的方程为，即，由直线与圆交于两个不同的点可得：坐标原点到直线的距离，即，整理可得：，解得：，又椭圆的离心率：，故：.本题选择C选项.点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．11. 已知定义在区间上的函数满足，其中是任意两个大于0的不等实数.若对任意，都有，则函数的零点所在区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由可得函数在区间上单调递增，而=常数，故为常数，不妨设，则，而，据此有：，令，增函数之和为增函数，则在区间上单调递增，且，则，据此可得，故：，故：，其中：且函数在区间上连续，由函数零点存在定理可得函数的零点所在区间是.本题选择B选项.点睛：一是严格把握零点存在性定理的条件；二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点.12. 已知半径为2的扇形中，，是的中点，为弧上任意一点，且，则的最大值为（）A. 2B.C.D.【答案】C【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，则，设则：，即：，解得：，则：，其中，据此可知，当时，取得最大值.本题选择C选项.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知为坐标原点，点，若点为平面区域上的动点，则的最大值是__________.【答案】2【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的解析式，平移直线，由图可知，当直线经过点时，直线的截距最大，此时目标函数取得最大值.14. 设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，满足，是坐标原点，若的面积为4，则__________.【答案】2【解析】设，若，则点的轨迹方程为：，联立圆的方程与双曲线的方程可得：，则的面积为：，结合可得.15. 已知函数若，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】由函数的解析式可得：，则：，原不等式即：，分类讨论：当时：，解得：，则此时；当时：，解得：，则此时；综上可得，实数的取值范围为，表示为区间的形式即：.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．16. 已知底面边长为2的正三棱锥（底面为正三角形，且顶点在底面的射影为正三角形的中心的棱锥叫正三棱锥）的外接球的球心满足，则这个正三棱锥的内切球半径__________.【答案】【解析】取AB的中点D，则，结合题意由，则球心O与△ABC的重心重合，因为D为AB中点，由可得：，利用等体积法有：.①其中，，代入①式解方程可得：.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 的内角的对边分别为，若.（1）求角的大小；（2）已知，求面积的最大值.【答案】(1) ；(2).【解析】试题分析：(1)由题意利用正弦定理边化角，结合两角和差正余弦公式可得，则.(2)结合(1)中的结论和余弦定理可得，则，由均值不等式的结论可知的面积.试题解析：（1）∵.由正弦定理得.∴，在中，，∴.∵，∴.（2）由余弦定理得.又，∴.∴，当且仅当时取等号，∴的面积.即面积的最大值为.18. 在某单位的食堂中，食堂每天以10元/斤的价格购进米粉，然后以4.4元/碗的价格出售，每碗内含米粉0.2斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以2元/斤的价格卖给养猪场.根据以往统计资料，得到食堂某天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂购进了80斤米粉，以（斤）（其中）表示米粉的需求量，（元）表示利润.（1）估计该天食堂利润不少于760元的概率；（2）在直方图的需求量分组中，以区间中间值作为该区间的需求量，以需求量落入该区间的频率作为需求量在该区间的概率，求的分布列和数学期望.【答案】(1)0.65；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(1)由题意可得利润函数结合题意求解不等式有即.则食堂利润不少于760元的概率是.(2)由题意可知可能的取值为460，660，860，960.分别求得相应的概率有，，，.据此得出分布列，然后计算数学期望有. 试题解析：（1）一斤米粉的售价是元.当时，.当时，.故设利润不少于760元为事件，利润不少于760元时，即.解得，即.由直方图可知，当时，.（2）当时，；当时，；当时，；当时，.所以可能的取值为460，660，860，960.，，，.故的分布列为.19. 直角三角形中，，，，是的中点，是线段上一个动点，且，如图所示，沿将翻折至，使得平面平面.（1）当时，证明：平面；（2）是否存在，使得与平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2) 存在，使得与平面所成的角的正弦值为.【解析】试题分析：(1)由题意可得，取的中点，连接交于，当时，由几何关系可证得平面.则.利用线面垂直的判断定理可得平面.(2)建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量与平面的法向量计算可得存在，使得与平面所成的角的正弦值为.试题解析：（1）在中，，即，则，取的中点，连接交于，当时，是的中点，而是的中点，∴是的中位线，∴.在中，是的中点，∴是的中点.在中，，∴，则.又平面平面，平面平面，∴平面.又平面，∴.而，∴平面.（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系.则，，，，由（1）知是中点，，而平面平面.∴平面，则.假设存在满足题意的，则由.可得，则.设平面的一个法向量为，则即令，可得，，即.∴与平面所成的角的正弦值.解得（舍去）.综上，存在，使得与平面所成的角的正弦值为.20. 已知椭圆的右焦点为，过且与轴垂直的弦长为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过作直线与椭圆交于两点，问在轴上是否存在点，使为定值，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1) ；(2) 存在满足条件的点，其坐标为.【解析】试题分析：(1)由题意计算可得.则椭圆的标准方程为.(2)假设存在点满足条件，设其坐标为，设，，分类讨论：当斜率存在时，联立直线方程与椭圆方程有：，.则.满足题意时有：.解得.此时.验证可得当斜率不存在时也满足，则存在满足条件的点，其坐标为.此时的值为.试题解析：（1）由题意知，.又当时，.∴.则.∴椭圆的标准方程为.（2）假设存在点满足条件，设其坐标为，设，，当斜率存在时，设方程为，联立，恒成立.∴，.∴，.∴.当为定值时，.∴.此时.当斜率不存在时，，，.，，.∴存在满足条件的点，其坐标为.此时的值为.21. 已知函数.（1）若，求的单调区间；（2）若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围；（3）求证：对，都有.【答案】(1) 单调增区间为，单调减区间为.(2)；(3)证明见解析.【解析】试题分析：(1)求解导函数有.结合函数的定义域和导函数与原函数之间的关系可得的单调增区间为，单调减区间为.(2)二次求导可得.分类讨论：①当时，对一切恒成立.②当时，，对一切不恒成立.③当时，对一切不恒成立.综上可得实数的取值范围是.(3)结合(2)的结论，取，有时，.则.结合对数的运算法则即可证得题中的不等式.试题解析：（1）当时，函数，定义域为，.令可得，令可得.所以的单调增区间为，单调减区间为.（2），.①当时，，.故在区间上递增，所以，从而在区间上递增.所以对一切恒成立.②当时，，.当时，，当时，.所以时，.而，故.所以当时，，递减，由，知，此时对一切不恒成立.③当时，，在区间上递减，有，从而在区间上递减，有.此时对一切不恒成立.综上，实数的取值范围是.（3）由（2）可知，取，当时，有.取，有，即.所以，所以.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知直线（为参数），圆（为参数）.（1）当时，求与的交点坐标；（2）过坐标原点作的垂线，垂足为，为的中点，当变化时，求点的轨迹方程，并指出它是什么曲线.【答案】(1) ；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(1)当时，的普通方程为，的普通方程为.则与的交点为.(2)由题意可得点坐标为.则点轨迹的参数方程为（为参数）.消去参数可得点的轨迹方程为.它表示圆心为，半径为的圆.试题解析：（1）当时，的普通方程为，的普通方程为.联立方程组得与的交点为.（2）的普通方程为.由题意可得点坐标为.故当变化时，点轨迹的参数方程为（为参数）.点的轨迹方程为.故点轨迹是圆心为，半径为的圆.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.【答案】(1) ；(2) .【解析】试题分析：(1)结合函数的解析式零点分段求解不等式可得不等式的解集是；(2)结合题意有：，令，则.即实数的取值范围为.试题解析：（1）当时，当时，由得，解得；当时，成立；当时，由得，解得.综上，不等式的解集为. （2）由得，令知.∴实数的取值范围为.。

绝密★启用前南宁二中2018届1月份数学模拟考试理科数学答案（考试时间 120分钟 满分 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． 【答案】A解：由0)1ln(<-x 得21<<x ，由2||<x 得22<<-x ，所以{}21|<<=x x B A2．【答案】D【解析】不妨设正方形边长为a .由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即所各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，所求概率为222)2(21a a a π-=81π-，选D. 3．【答案】A 【解析】i a a i ia 232313++-=-+是纯虚数，得023=-a ，3=a 故选A ．4． 【答案】B5． 【答案】B【解析】当m ∥l ，且m α⊥时，由直线与平面垂直的判定定理知l α⊥，故①正确.当αβ⊥，n β⊥，所以n α⊂或//n α.又因为//m α，所以m 与n 的关系平行、相交或异面都有可能.故②错误.当αβ⊥，γβ⊥时，α∥γ或α与γ相交，故③错误. 当βα//,,n m n m ⊥⊥，时，αβ⊥不一定成立，故④错误.6．【答案】C解:二项式6)11(x -展开式的通项公式为r r r r x C T -+-=61)1(其中1-x 的系数为-6,常数项为1,故6)11)(12(x x -+的展开式中常数项为1111)6(2-=⨯+-⨯.7．【答案】B 【解】已知三视图可得，该几何体是一个底面为直角边为的等腰 直角三角形，高为的三棱锥，如图，三棱锥，故该几何 体的体积为，故选B. 8．【答案】D9． 【答案】C∵f (x −1) 为奇函数，∴f (−x −1)=−f (x −1) ，∵f (x ) 是偶函数，∴f (−x −1)=f (x +1)=−f (x −1) ，即 f (x +2)=−f (x ) ，f (x +4)=f (x +2+2)=−f (x +2)=f (x ) ，所以周期为4，则 f (9)=f (1) ，f (10)=f (2)=2 ， 当 x =−1 时 , 由 f (x +2)=−f (x ) ，得 f (1)=−f (−1)=−f (1) ，即 f (1)=0 ，∴)10()9(f f +=2 .10． 解：由题有22222214c y a by c ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，，而222a b c =+，∴222a c a c =-，得221e e =-，由01e <<得1e =-，故选B ．11．【答案】 A解：构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x ＞e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数.又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )＞g (0)，解得x ＞0.12．【答案】C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

广西南宁第二中学2018届高三年级6月份考试理科数学试卷本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试卷上作答无效。

3．第Ⅰ卷共12题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一．选择题1．已知集合I N M ⊂,，若N N M = ，则（ ）（A ）N C M C I I ⊇ （B ）N C M I ⊆ （C ）N C M C I I ⊆ （D ）N C M I ⊇ 2．若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为（ ） （A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）－1或13．如右饼图，某学校共有教师120人，从中选出一个30人的样本，其中被选出的青年女教师的人数为（ ） （A ）12 （B ）6 （C ）4 （D ）34．在△ABC 中，命题p ：“︒≠60B ”，命题q ：“△ABC 的三个内角A 、B 、C 不成等差数列”。

那么p 是q 的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分又不必要条件 5．某四面体三视图如图所示，该四面体的体积为（ ） （A ）8 （B ）10 （C ）20 （D ）246．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）俯视图（A ）0.4 （B ）0.6 （C ）0.75 （D ）0.87．有甲、乙、丙、丁四位同学参加数学竞赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位同学，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位同学的话只有两句是对的，则获奖的同学是（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁8．执行右面的程序框图,如果输入的N=4,那么输出的S=（ ）（A ）4131211+++（B ）544332211++++（C ）4321321211⨯⨯+⨯++（D ）543214321321211⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯++9．在棱长为4的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 和CN 所成的角的余弦值是（ ） （A ）23 （B ）1010（C ）53 （D ）5210．已知63)32(z y x ++的展开式中，系数为有理数的项的个数为（ ）A ．4B ．5 C.6 D ．711．定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的实数x 都有)1()1(+=-x f x f ，且2)1(=-f ，1)2(-=f 。

2018年广西南宁市高考一模数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣4x＜0}，则A∩B中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．42．（5分）设复数z满足（1+z）i＝1﹣i，则z＝（）A．﹣2﹣i B．﹣1﹣i C．﹣2+i D．﹣1+i3．（5分）若6名男生和9名女生身高（单位：cm）的茎叶图如图，则男生的平均身高与女生身高的中位数分别为（）A．181 166B．181 168C．180 166D．180 168 4．（5分）设等差数列{a n}的前10项和为20，且a5＝1，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．3D．45．（5分）已知双曲线的右顶点为M，离心率为，过点M与点（0，﹣2）的直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）将函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向右平移个单位后，得到y＝sin（2x﹣）的图象，则函数f（x）的单调增区间为（）A．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z B．[kπ﹣，kπ+]，k∈ZC．[kπ﹣，kπ+]，k∈Z D．[kπ+，kπ+]，k∈Z7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入a的值为1，则输出S＝（）A．B．C．D．8．（5分）一个几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．9．（5分）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，，若向量满足，则的最大值与最小值的和为（）A．7B．8C．9D．1010．（5分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于点M，N，与y轴交于点，与l交于点P，点M在线段PF上，若|PM|＝2|MF|，则|MN|＝（）A．B．C．D．11．（5分）设函数f（x）＝﹣x3+3bx，当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[0，1]，则b的值是（）A．B．C．D．12．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，P A⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，若球O的体积为π，则直线PC与平面P AB所成角的正切值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知全集{}123456U =，，，，，，若{}12345A B = ，，，，，{}345A B = ，，，则U A ð不可能是（ ）A ．{}126，，B ．{}26，C ．{}6D ．∅2.=（ ）A ．iB ．i -C ．iD ．i -3.在等差数列{}n a 中，()()1479112324a a a a a ++++=，则此数列前13项的和13S =（ ） A ．13B ．26C ．52D ．1564.已知()162a b a b a ==-= ，，，则向量a 与向量b的夹角是（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 5.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48+B ．32+C .48D ．806.动点P 与定点()()1010A B -，，，的连线的斜率之积为1-，则点P 的轨迹方程是（ ）A ．221x y +=B ．()2210x y x +=≠C ．()2211x y x +=≠±D ．y7.某程序框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内应填写（ ）A ．4?k >B ．5?k >C .6?k >D ．7?k >8.已知cot 33πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．13B ．13-C ．43D ．34-9.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且3122f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，当[]23x ∈，时，()f x x =，则当()20x ∈-，时，()f x =（ ）A ．21x ++B ．31x -+C ．2x -D ．4x +10.在ABC △中，已知1tan cos 2A B ==，ABC △（ ）AB C D ．11.点P 是椭圆221259y x +=上一点，F 是椭圆的右焦点，()142OQ OP OF OQ =+= ，，则点P 到抛物线215y x =的准线的距离为（ ） A ．154B ．152C .15D ．1012.用4种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，同一条棱的两个顶点涂不同的颜色，则符合条件的所有涂法共有( ) A ．24种B ．48种C .64种D ．72种第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.计算：()()sin15cos15sin15cos15︒+︒︒-︒=．14.已知变量x y ，满足约束条件22221010x y x y x y ⎧+--+≤⎪⎨--≤⎪⎩，则2z x y =+的最大值为 .15.正三棱柱的底面连长为2，高为2，则它的外接球的表面积为 .16.已知函数()22sin cos 44f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的最大值与最小值之差为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分12分)数列{}n a 满足下列条件：()*11221122n n n a a a a a n +++===∈N ，，，． （1）设1n n n b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式； （2）若2log n n n c b b = ，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18.（本小题满分12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温度与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据：该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；（Ⅱ）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求y 关于x 的线性回归方程 y bx a =+；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（Ⅱ）中所得的线性回归方程是否可靠？（注：()()()1122211n ni i i i i i nni i i i x y n x yx xy ybay bx x n xx x====---===---∑∑∑∑，） 19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知21AB CD PA AB AD DC AD AB PD PB ====⊥==∥，，，，，点M 是PB 的中点.（Ⅰ）证明：CM PAD ∥平面；（Ⅱ）求直线CM 与平面PDC 所成角的正弦值． 20.（本小题满分12分）如图，过抛物线()220y px p =>上一点()12P ，，作两条直线分别交抛物线于()11A x y ，，()22B x y ，，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时：（Ⅰ）求12y y +的值；（Ⅱ）若直线AB 在y 轴上的截距[]13b ∈-，时，求ABP △面积ABP S △的最大值． 21.（本小题满分12分）已知函数()2ln R f x x ax x a =+-∈，（Ⅰ）若函数()f x 在[]12，上是减函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）令()()2g x f x x =-，当(0]x e ∈，（e 是自然数）时，函数()g x 的最小值是3，求出a 的值；（Ⅲ）当(0]x e ∈，时，证明：()2251ln 2e x x x x ->+．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲：如图，在ABC △中，作平行于BC 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，如果BE 和CD 相交于点O ，AO 和DE 相交于点F ，AO 的延长线和BC 相交于G ．证明：（Ⅰ）DF EFBG GC=； （Ⅱ）DF FE =23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲．已知曲线M 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），曲线N 的极方程为sin 83πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（Ⅰ）分别求曲线M 和曲线N 的普通方程； （Ⅱ）若点A M B N ∈∈，，求AB 的最小值． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲． 已知函数()f x x a =-．（Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}15x x -≤≤，求实数a 的值；（Ⅱ）当1a =时，若()()5f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．2018年高考广西名校第一次摸底考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题1．D ，解析：由已知得A 可能为{}345，，，故选D ．2．B1i i -+=-．3．B ．解析：由()()1479112324a a a a a ++++=，得4104a a +=，于是()()1134101313132622a a a a S ++===．4．C ．解析：由条件得22a b a -= ，所以223cos 16cos a b a a b αα=+===⨯⨯ ，所以1cos 2α=，即3πα=． 5．A ．解析：由三视图可知几何体是底面为正方形，侧面为等腰梯形的棱台，等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，另两个侧面为矩形，所以两等腰梯形面积和为244424⨯+⨯=，其余四面的面积为()244242242+⨯⨯+⨯=+48+A ．6．C ．解析：由斜率的存在性可选C ． 7．A ．解析：当5k =时，有57S =．8．D ．解析：由cot 33πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得tan 36πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3tan 2tan 364ππαα⎛⎫⎛⎫-=2-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．9．B ．解析：由已知有函数()f x 是周期为2，当()01x ∈，时，有()223x +∈，，故()()22f x f x x =+=+，同理，当[]21x ∈--，时，有()()44f x f x x =+=+，又知()f x 是偶函数，故()10x ∈-，时，有()01x -∈，，故()()2f x f x x =-=-，即()20x ∈-，时，有()31f x x =-+，故选B ． 10．A ．解析：由1tan 02A =>，得cos sin A A ==，，由cos 0B >，得sin B =于是cos cos()cos cos sin sin 0C A B A B A B =-+=-+=<，即C ∠为最大角，故有c =最短边为b ，于是由正弦定理sin sin b cB C=，求得b =． 11．B ．解析：设()5cos 3sin P αα，，由()142OQ OP OF OQ =+=，，得2245cos 3cos 1622αα+⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即216cos 40cos 390αα+-=，解得3cos 4α=或13cos 4α=-（舍去），即点P 的横坐标为154，故点P 到抛物线215y x =的距离为152． 12．D ．解析：法一：假设四种颜色为红、黑、白、黄，先考虑三点S 、A 、B 的涂色方法，有432⨯⨯种方法，若C 点与A 不同色，则C 、D 点只有1种涂色的方法，有24种涂法，若C 点与A 同色，则D 点有2种涂色的方法，共48种涂法，所以不同的涂法共有72种．法二：用3种颜色涂色时，即AC 、BD 同色，共有3424A =种涂色的方法，用4种颜色时，有AD 和BC 同色2种情况，共有44248A =，故共有72种．二、填空题13.-()()sin15cos15sin15cos15cos 30︒+︒︒-︒=-︒=．14．3+()11，到切线的距离等于半径1，可求得的最大值为3+．15．283π，解析：故它的外接球的表面积为283π．16．3．解析：()2sin 22cos 22sin 226f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，72666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，故1sin 2162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，，即函数()f x 的值域为[]12-，，故答案为3．三、解答题17.【解析】（1）由已知有()()1121121222n n n n n n n n n b a a a a a a a b ++++++-=-=--=-=，又12112b a a =-=-，∴{}n b 是首项为12-，公比为12-的等比数列，即1112nn n b b q-⎛⎫==- ⎪⎝⎭．………………………………6分（2）由已知有21log 2nn n n c b b n ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，即()123111111123122222n nn S n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=------------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………………①于是()23411111111231222222nn n S n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=------------ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ……………②-①②得1231311111222222n n n S n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---------+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…11112211212nn n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭∴21212119232n n n S +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ．…………………………………………12分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设抽到不相邻两组数据为事件A ，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种， 所以()431105P A =-=，故选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率是35．…………………………4分 （Ⅱ）由数据，求得()()111113121225202627397233x y x y =++==++== ，，． 31112513*********i ii x y==⨯+⨯+⨯=∑，322221111312434i i x ==++=∑，23432x =，由公式求得3132219779725343443223i ii i i x yba y bxx x==-====-=---∑∑ ，．19.（Ⅰ）证明：取PA 的中点N ，连接MN ，有MN 平行且等于12AB ， 于是MN 平行且等于DC ，所以四边形MNCD 是平行四边形， 即CM DN ∥，又DN ⊆平面PAD ，故CM ∥平面PAD ．………………………………………………6分（Ⅱ）依题意知：222PA AB PD +=，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，即PA ⊥平面ABCD ， 建立如图所示空间坐标系O xyz -，()()()()210011200002C M D P ，，，，，，，，，，，，于是有()201CM =- ，，，()010DC = ，，，()202DP =- ，，，设平面PDC 的法向量为()n a b c =，，，由0n DC n DP ⎧=⎪⎨=⎪⎩，有0220b a c =⎧⎨-+=⎩，得()101n = ，，，所以cos n CM n CM n CM <≥=，故直线CM 与平面PDC． 20.本小题满分12分解（Ⅰ）由抛物线()220y px p =>过点()12P ，，得2P =， 设直线PA 的斜率为PA k ，直线PB 的斜率为PB k ，由PA 、PB 倾斜角互补可知PA PB k k =-，即12122211y y x x --=--， 将22112244y x y x ==，，代入得124y y +=-．…………………………………………5分（Ⅱ）设直线AB 的斜率为AB k ，由22112244y x y x ==，，得()211221124AB y y k x x x x y y -==≠-+，由（Ⅰ）得124y y +=-，将其代入上式得1241AB k y y ==-+．因此，设直线AB 的方程为y x b =-+，由24y xy x b⎧=⎨=-+⎩，消去y 得()22240x b x b -++=，由()222440b b ∆=+-≥，得1b ≥-，这时，2121224x x b x x b +=+=，，AB ==又点P 到直线AB的距离为d =所以1122ABP S AB d === △ 令()()()[]()21313f x x x x =+-∈-，，则由()2'3103f x xx =-+，令()'0f x =，得13x =或3x =．当113x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()'0f x >，所以()f x 单调递增，当133x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()'0f x <，所以()f x 单调递减，故()f x 的最大值为1256327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故ABP △面积ABP S△12分（附：()()()()()3322133821333b b b b b ++-+-⎡⎤⎛⎫+-≤=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，当且仅当13b =时取等号，此求解方法亦得分）21.解：（Ⅰ）()2121'20x ax f x x a x x+-=+-=≤在[]12，上恒成立， 令()221h x x ax =+-，有()()1020h h ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，得172a a ≤-⎧⎪⎨≤-⎪⎩， 得72a ≤-．…………………………………………………………4分 （Ⅱ）由()ln g x ax x =-，(0]x e ∈，，得()11'ax g x a x x-=-=， ①当0a ≤时，()g x 在(0]e ，上单调递减，()()min 13g x g e ae ==-=，4a e =（舍去）， ②当10e a <<时，()g x 在10a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在1(]e a ，上单调递增， ∴()min 11ln 3g x g a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，2a e =，满足条件． ③当1e a ≥时，()g x 在(0]e ，上单调递减，()()min 413g x g e ae a e==-==，（舍去）， 综上，有2a e =．…………………………………………………………8分（Ⅲ）令()2ln F x e x x =-，由（Ⅱ）知，()min 3F x =，令()()2ln 51ln '2x x x x x xϕϕ-=+=，， 当0x e <≤时，()()'0x h x ϕ≥，在(0]e ，上单调递增，∴()()max 15153222x e e ϕϕ==+<+=， ∴2ln 5ln 2x e x x x ->+，即()2251ln 2e x x x x ->+．……………………………………12分 22.本小题满分10分．选修4-1：几何证明选讲：解（Ⅰ）∵DF BC ∥，∴ADC ABG △∽△，即DF AF BG AG =， 同理AF FE AG GC =，于是DF FE BG GC=．…………………………………………5分（Ⅱ）∵DF BC ∥，∴DFO CGO △∽△， 即DF FO GC GO =，同理FE FO BG GO=， 所以DF FE DF GC GC BG FE BG =⇒=，又由（Ⅰ）有DF FE GC FE BG GC BG DF =⇒=， 所以DF FE FE DF=，即DF FE =．…………………………………………10分 23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲． 解：（Ⅰ）曲线M 的普通方程为()2224x y +-=， 由sin 83πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭有sin cos cos sin 833ππρθρθ+=，又cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩， ∴曲线N160y +-=．……………………………………5分 （Ⅱ）圆M 的圆心()02M ，，半径2r =．点M 到直线N的距离为7d ==， 故AB 的最小值为725d r -=-=．………………………………………………………………10分24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲．解：（Ⅰ）由()3f x ≤得3x a -≤，解得33a x a -≤≤+，又已知不等式()3f x ≤的解集为{}15x x -≤≤，所以3135a a -=-⎧⎨+=⎩，解得2a =．…………5分 （Ⅱ）当1a =时，()1f x x =-，设()()()5g x f x f x =++，于是，()23414541231x x g x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩，，，，故当4x <-时，()5g x >，当41x -≤≤时，()5g x =，当1x >时，()5g x >， 所以实数m 的取值范围为5m ≤．…………………………………………10分。

广西柳州高中、南宁二中2018届高三（上）第二次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设i是虚数单位，若复数，则=（）A．B．C．D．2．（5分）设a＞b，a，b，c∈R则下列命题为真命题的是（）A．ac2＞bc2 B．C．a﹣c＞b﹣c D．a2＞b23．（5分）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N（μ1，δ12），N（μ2，δ22），其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（）A．甲类水果的平均质量μ1=0.4kgB．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数δ2=1.994．（5分）已知单位向量满足，则与的夹角是（）A．B．C．D．5．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”．则该人第五天走的路程为（）A．6里B．12里C．24里D．48里6．（5分）如图所示的程序的输出结果为S=132，则判断框中应填（）A．i≥10？B．i≥11？C．i≤11？D．i≥12？7．（5分）已知双曲线=1的一焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=±3x C．D．8．（5分）同时具有以下性质：“①最小正周期是π；②图象关于直线x=对称；③在上是增函数；④一个对称中心为”的一个函数是（）A．B．C．D．9．（5分）在高校自主招生中，某学校获得5个推荐名额，其中清华大学2名，北京大学2名，浙江大学1名，并且清华大学和北京大学都要求必须有男生参加，学校通过选拔定下3男2女共5个推荐对象，则不同的推荐方法共有（）A．36种B．24种C．22种D．20种10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．11．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc=1，b+2c cos A=0，则当角B取得最大值时，△ABC的周长为（）A．3 B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）=x+e x﹣a，g（x）=ln（x+2）﹣4e a﹣x，其中e为自然对数的底数，若存在实数x0，使f（x0）﹣g（x0）=3成立，则实数a的值为（）A．﹣ln2﹣1 B．﹣1+ln2 C．﹣ln2 D．ln2二、填空题（每题5分，满分20分）13．（5分）已知函数，则=．14．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，AA1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．15．（5分）若x，y满足约束条件，等差数列{a n}满足a1=x，a5=y，其前n项为S n，则S5﹣S2的最大值为．16．（5分）过点（，0）引直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设a1=2，a2=4，数列{b n}满足：b n+1=2b n+2，且a n+1﹣a n=b n；（1）求证：数列{b n+2}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．18．（12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种．若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（Ⅰ）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定a=950．记X 为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）（Ⅱ）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车．假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．19．（12分）如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥侧面BB1C1C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=60°．（Ⅰ）求证：C1B⊥平面ABC；（Ⅱ）E是棱CC1所在直线上的一点，若二面角A﹣B1E﹣B的正弦值为，求CE的长．20．（12分）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记P A，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=ln x﹣ax2+（2﹣a）x．（Ⅰ）讨论f（x）函数的单调性；（Ⅱ）设f（x）的两个零点是x1，x2，求证：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D的极坐标方程为．（Ⅰ）求曲线C的极坐标的方程以及曲线D的直角坐标方程；（Ⅱ）若过点（极坐标）且倾斜角为的直线l与曲线C交于M，N两点，弦MN的中点为P，求的值．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥3﹣2|x|的解集；（2）若函数g（x）=f（x）+|x+3|的最小值为m，正数a，b满足a+b=m，求证：．【参考答案】一、选择题1．A【解析】由=，得．故选：A．2．C【解析】对于A，c=0时，显然不成立，对于B，令a=2，b=﹣1，显然不成立，对于C，根据不等式的基本性质判断成立，对于D，令a=1，b=﹣2，显然不成立，故选：C．3．D【解析】由图象可知甲图象关于直线x=0.4对称，乙图象关于直线x=0.8对称，∴μ1=0.4，μ2=0.8，故A正确，C正确，∵甲图象比乙图象更“高瘦”，∴甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；∵乙图象的最大值为1.99，即=1.99，∴δ2≠1.99，故D错误．故选D．4．D【解析】∵，∴=，∴•=0，⊥，如图所示：则与的夹角是，故选：D．5．B【解析】记每天走的路程里数为{a n}，由题意知{a n}是公比的等比数列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴=12（里）．故选：B．6．B【解析】由题意，S表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由于12×11=132，故此循环体需要执行两次所以每次执行后i的值依次为11，10由于i的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项，B符合题意故选B7．C【解析】根据题意，抛物线的方程为：y2=8x，其焦点坐标为（2，0），若双曲线=1的一焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，则双曲线的焦点坐标为（±2，0），则有3+b=4，解可得b=1，则双曲线的方程为=1，其中a=，b=1，其渐近线方程为：y=±x；故选：C．8．C【解析】由“①最小正周期是π，可得ω=2，排除A；②图象关于直线x=对称；可得：+φ=，k∈Z．对于D选项：φ=﹣，不满足，排除D；④一个对称中心为”带入函数y中，B选项不满足．排除B；故选C．9．B【解析】根据题意，分2种情况讨论：①第一类三个男生每个大学各推荐一人，两名女生分别推荐北京大学和清华大学，则有A33A22=12种推荐方法；②将三个男生分成两组分别推荐北京大学和清华大学，其余2个女生从剩下的2个大学中选，则有C32A22A22=12种推荐方法；故共有12+12=24种推荐方法；故选：B．10．D【解析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，该几何体的俯视图为D．故选：D．11．C【解析】由b+2c cos A=0，则cos A＜0，A为钝角，由正弦定理可得：sin B+2sin C cos A=0，由sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C，则sin A cos C+cos A sin C+2sin C cos A=0，即sin A cos C=﹣3sin C cos A，由cos A cos C≠0，可得tan A=﹣3tan C，且tan C＞0，∴tan B=﹣tan（A+C）=﹣==≤=，当且仅当=3tan C，即tan C=时取等号；∴B取得最大值时，c=b=1，C=B=；∴A=，a2=b2+c2﹣2bc cos A=3，∴a=；∴三角形的周长为a+b+c=2+．故选C．12．A【解析】令f（x）﹣g（x）=x+e x﹣a﹣1n（x+2）+4e a﹣x，令y=x﹣ln（x+2），y′=1﹣=，故y=x﹣ln（x+2）在（﹣2，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数，故当x=﹣1时，y有最小值﹣1﹣0=﹣1，而e x﹣a+4e a﹣x≥4，（当且仅当e x﹣a=4e a﹣x，即x=a+ln2时，等号成立）；故f（x）﹣g（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；故x=a+ln2=﹣1，即a=﹣1﹣ln2．故选：A．二、填空题13．8【解析】∵函数，∴f（）==2，f（）==6，∴=2+6=8．故答案为：8．14．【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），B1（2，3，1），B（2，3，0），C1（0，3，1），=（0，3，1），=（﹣2，0，1），设异面直线AB1与BC1所成角为θ，则cosθ===．∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．故答案为：．15．【解析】等差数列{a n}满足a1=x，a5=y，∴d=，∴设z=S5﹣S2=5a1+10d﹣2a1﹣d=3a1+9d=3x+=x+，则y=﹣11x+，平移目标函数，当过点A时，在y轴的截距最大，此时z最大由解得x=3，y=2，即A（3，2），∴z=+=，故答案为：16．﹣【解析】由，得x2+y2=1（y≥0）∴曲线表示単位圆在x轴上方的部分（含于x轴的交点）由题知，直线斜率存在，设直线l的斜率为k，若直线与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合则﹣1＜k＜0∴直线l的方程为：即则圆心O到直线l的距离直线l被半圆所截得的弦长为|AB|=∴===令则当S△AOB有最大值为此时，∴又∵﹣1＜k＜0∴三、解答题17．（1）证明：a1=2，a2=4，且a n+1﹣a n=b n；∴b1=a2﹣a1=4﹣2=2．由b n+1=2b n+2，变形为：b n+1=2=2（b n+2），∴数列{b n+2}是等比数列，首项为4，公比为2．（2）解：由（1）可得：b n+2=4×2n﹣1，可得b n=2n+1﹣2．∴a n+1﹣a n=b n=2n+1﹣2．∴a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=（2n﹣2）+（2n﹣1﹣2）+…+（22﹣2）+2=2n+2n﹣1+…+22+2﹣2（n﹣1）=﹣2n+2=2n+1﹣2n．18．解：（Ⅰ）由题意可知X的可能取值为0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a．由统计数据可知：P（X=0.9a）=，P（X=0.8a）=，P（X=0.7a）=，P（X=a）=，P（X=1.1a）=，P（X=1.3a）=．所以X的分布列为：所以EX=0.9a×+0.8a×+0.7a×+a×+1.1a×+1.3a×==≈942．（Ⅱ）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至多有一辆事故车的概率为P=+=．②设Y为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y的可能取值为﹣5000，10000．所以Y的分布列为：所以EY=﹣5000×+10000×=5000．所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为100EY=50万元．19．（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面BB1C1C，BC1⊆平面BB1C1C，所以AB⊥BC1，在△CBC1中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=60°，由余弦定理得：BC12=BC2+CC12﹣2BC•CC1•cos∠BCC1=12+22﹣2×1×2×cos60°=3，所以B1C=，故BC2+BC12=CC12，所以BC⊥BC1，又BC∩AB=B，∴C1B⊥平面ABC．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AB，BC，BC1两两垂直．以B为原点，BC，BA，BC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则，则B（0，0，0），A（0，1，0），C（1，0，0），C1（0，0，），B1（﹣1，0，），，，令，∴，，设平面AB1E的一个法向量为．，令z=，则x=，y=，∴，．∵AB⊥平面BB1C1C，是平面的一个法向量，|cos＜＞|=，两边平方并化简得2λ2﹣5λ+3=0，所以λ=1或．∴CE=CC1=2或CE=CC1=3．20．解：（1）椭圆C：经过点P（1，），可得①由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，④在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，，=k﹣注意到A，F，B共线，则有k=k AF=k BF，即有==k所以k1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），则直线P A的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=所以k1+k2=+=2×=2k3，故存在常数λ=2符合题意21．解：（Ⅰ）函数f（x）=ln x﹣ax2+（2﹣a）x的定义域为（0，+∞），，①当a≤0时，f′（x）＞0，x∈（0，+∞），则f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当a＞0时，时，f′（x）＞0，时，f′（x）＜0，则f（x）在上单调递增，在上单调递减．（Ⅱ）首先易知a＞0，且f（x）在上单调递增，在上单调递减，不妨设，，构造，又∴，∴，∴F（x）在上单调递增，∴，即，又x1，x2是函数f（x）的零点且，∴而x2，均大于，所以，所以，得证．22．解：（Ⅰ）由题意C的方程为：，可得C的普通方程为：，将代入曲线方程可得：．因为曲线D的极坐标方程为，所以．又ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ．所以．所以曲线C的极坐标方程为：，曲线D的直角坐标方程为：x2+y2=．（Ⅱ）因为点，化为直角坐标为，所以A（2，2）．因为直线l过点A（2，2）且倾斜角为，所以直线l的参数方程为，代入中，得：，所以由韦达定理：，，所以．23．解：（1）当x≥1时，得，∴．当0＜x＜1时，得1﹣x≥3﹣2x⇒x≥2．∴无解当x≤0时，得所以，不等式的解集为或；证明（2）∵g（x）=|x﹣1|+|x+3|≥|（x﹣1）﹣（x+3）|=4，∴m=4，即a+b=4，又由均值不等式有：，两式相加得，∴．。

广西南宁市 2018 届高三数学上学期毕业班摸底考试一试题理第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每题5 分 , 共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．已知会合 Ax x 3 或 x 1 ， Bx 2 x4 ，则 e A I B （）RA ．1,3B． 1,4C ．2,3D． 2,42．设 i 是虚数单位，假如复数 a i 的实部与虚部是互为相反数，那么实数 a 的值为（）A ．112 iB ．C ．3D ．33r3r rrrr2,1 1,13．若 a ， b， 2a b ∥ amb ，则 m （）A ．1B．2C ．2D．1224．若 cos21，则 cos2（）3A ．4 2 B．7C ．7D． 4 299995．在2x21x6的睁开式中，含 x 7 的项的系数是（）A ．60B ． 160C ．180D． 2406．以下相关命题的说法正确的选项是（）A ．命题“若 x 24 ，则 x 2 ”的否命题为“若x 2 4 ，则 x2 ”B ．命题“xR ， x 2 2x 1 0 ”的否认是“x R ， x 2 2x1 0 ”C ．命题“若 x y ，则 sin x sin y ”的逆否命题为假命题D ．若“ p 或 q ”为真命题，则p, q 起码有一个真命题7．直线 ykx 3 被圆 223 ，则直线的倾斜角为 （）x 2y34 截得的弦长为 2A ． 或5B． 或C ．或D．6 63 3 6 668．若某圆柱体的上部挖掉一个半球， 下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正 （主）视图和侧（左）视图以以下图所示，则此几何体的表面积是（）A ．42B ．622C ．62D ．82 9．履行如图的程序框图，若输出的结果是15，则输入的 a 为（）16A ． 3B ． 4C ． 5D ．610．正四棱锥的极点都在同一球面上， 若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的体积为 （ ）A ． 243B． 81C． 81D． 2716164411．给出定义：设f x 是函数 y f x 的导函数， fx 是函数 f x 的导函数，若方程f x 0有实数解 x 0 ，则称点 x 0 , f x 0 为函数 y f x 的“拐点” . 已知函数fx3x 4sin x cosx 的拐点是 Mx 0 , f x 0 ，则点 M （）A ．在直线 y 3x 上B ．在直线 y 3x 上C ．在直线 y4x 上D．在直线 y4x 上12．已知椭圆x 2y 2 1（ a b 0 ）的左、右焦点分别为 F 1 , F 2 ，过 F 1 且与 x 轴垂直的直a 2b 2线交椭圆于 A, B 两点，直线 AF 2 与椭圆的另一个交点为 C .若S ABC 3S BCF 2 ，则椭圆的离心率为（）5 3 A ．B ．53C ．10 D ．33510第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）x y 013．若 x, y 知足x y 1 ，则 zx 2 y 的最小值为．y 014．在 4,3 上随机取一个实数 m ，能使函数 f x x 22mx 2 在 R 上有零点的概率为．15．函数 fx2sinx（0,2）的部分图象以以下图所示，则 f x 的2图象可由函数g x 2sin x 的图象起码向右平移个单位获得．16．已知ABC 中，角 B, 3C, A 成等差数列，且 ABC 的面积为 12 ，则 AB 边的最小2值是．三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ）17．已知数列a n 的前 n 项和为 S n ，且 S n 2n 1 2 .（Ⅰ）求数列a n 的通项公式；（Ⅱ）设 b n log 2 a 1 log 2 a 2 L log 2 a n ，求使 n 8 b nnk 对随意 nN * 恒成立的实数k 的取值范围 .18．质检部门从公司生产的产品中抽取 100 件，丈量这些产品的质量指标值，由丈量结果得到如图的频次散布直方图，质量指标值落在区间 55,65 ， 65,75 ， 75,85 内的频次之比为4:2:1.（Ⅰ）求这些产质量量指标值落在区间75,85 内的频次；（Ⅱ）若将频次视为概率，从该公司生产的这类产品中随机抽取 3 件，记这 3 件产品中质量指标值位于区间45,75 内的产品件数为X ，求 X 的散布列与数学希望.19．如图，已知四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，且DAB 60 ，PAB 是边长为 a 的正三角形，且平面PAB平面ABCD，已知点M 是 PD 的中点.（Ⅰ）证明：PB ∥平面 AMC ；（Ⅱ）求直线BD 与平面 AMC 所成角的正弦值.20．已知点C的坐标为1,0， A, B 是抛物线 y2x 上不一样于原点O的相异的两个动点，且uur uuurOA OB 0.（Ⅰ）求证：点A,C, B 共线；uuur uuurR uuur uuur0 时，求动点Q的轨迹方程.（Ⅱ）若 AQ QB，当 OQ AB 21．已知函数f x ln x x2x .（Ⅰ）求函数f x 的单一区间；（Ⅱ）证明当 a 2 时，对于x的不等式 f x a1 x2ax 1恒成立；2（Ⅲ）若正实数x1, x2知足f x1 f x2 2 x12x22x1 x2 0 ，证明x1x2 5 1.2请考生在22、 23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分．22．选修 4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线 C1的参数方程为x3t cos ,（ t 是参数），以原点 O 为极y2t sin ,点， x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2 4 2 sin 4 .4（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（Ⅱ）若曲线C1与曲线 C 2交于 A, B 两点，求AB 的最大值和最小值.23．选修 4-5 ：不等式选讲已知函数 f x x 2 x a .（Ⅰ）若 a 1 ，解不等式 f x 2 x 2 ；（Ⅱ）若 f x2恒成立，务实数 a 的取值范围.2017 届高三毕业班摸底联考理科数学参照答案一、选择题1-5:CCDBD6-10:DACBA11、 12：BA二、填空题13．114．315．16． 2 276三、解答题17．解：（Ⅰ）由于S n2n 1 2 ，所以 S n 12n 2 ，（n 2 ）所以当 n 2 时，a n S n Sn 12n 1 2 2n 2 2n.又 a1S1222 2 ，知足上式，所以数列a n的通项公式 a n2n n N*.（Ⅱ） b n log 2 a1log 2 a2L log 2a n 1 2 3L n n n 1.2由n8b n nk 对随意n N *恒成立 .即便n8n1k 对 n N*恒成立.2设 c1n8 n 1 ，n2则当 n 3 或4时，c n获得最小值为10，所以 k10.18．解：（Ⅰ）设区间75,85内的频次为 x ，则区间55,65 ， 65,75 内的频次分别为4x 和 2x .依题意得0.004 0.012 0.019 0.03 10 4x 2x x1.解得 x0.05 .所以区间75,85 内的频次为0.05.（Ⅱ）从该公司生产的该种产品中随机抽取 3 件，相当于进行了 3 次独立重复试验.所以 X 听从二项散布 B n, p ，此中 n 3.由（Ⅰ）得，区间45,75 内的频次为 0.30.20.10.6 .将频次视为概率得P 0.6 .由于 X 的全部可能取值为0,1,2,3.且 P X0C30 0.60 0.430.064 ；P X1C31 0.610.420.288；P X2C32 0.620.410.432；P X3C33 0.63 0.400.216 .所以 X的散布列为：所以 X 的数学希望为 EX 0 0.06410.28820.432 30.216 1.8 .（或直接依据二项散布的均值公式获得EX np30.6 1.8 ）19．证明：（Ⅰ）连接BD交AC于O，连接OM，由于 ABCD 为菱形， OB OD ，所以 OM ∥ PB ，由直线 PB 不在平面 AMC 内， OM平面 AMC ，所以 PB∥平面 ACM .解：（Ⅱ）取 AB 的中点 N ，连接 PN ， ND ，则AND90.分别以 NB ， ND ， NP 为 x, y, z 轴成立空间直角坐标系.则 Ba,0,0 ， C a,3a,0 ， Aa,0,0 ， D0,3a,0 ， P 0,0,3a ，22222M 0,3 3 ，a,a44uuur 3a,3a,0 uuura , 3a,3a .则 AC， AM22244rx, y, z设平面 AMC 的法向量为 n，3ax3 ay0,则 22.a x 3ay3az 0,244令 y 3 ，则 x1 ， z3，3r 1, 3,3 . 即 n3uuur a , 3a,0又 BD，22rr uur 39 ，则cosn PB 2设直线 BD 与 n所成的角为r uur13.n PB2 39故直线 BD 与平面 AMC 所成角的正弦值为 .1320．解：（Ⅰ）设 A t 12 ,t 1 ， B t 22 ,t 2 ，（ t 1 t 2 ， t 10 ， t 2 0 ），uurt 12 , t 1 uuurt 22 , t 2 则OA，OB，uur uuur，所以 t12t22t1t20 .由于 OA OB0又 t1 0， t 20 ，所以 t1t21.uuur1 t 2uuur1 t2 , t由于 AC, t ， BC2.112且t2 1t12t1 1 t22t 2t1t2t12t1t 22t2 t1 1 t1t2 0 ，uuur uuur所以 AC∥BC.又 AC ， CB都过点 C ，所以三点A, B,C 共线.（Ⅱ）由题意知，点Q 是直角三角形AOB 斜边上的垂足，又定点 C 在直线 AB 上，OQB90 .所以设动点 Quuurx, yuuurx1, y x, y ，则 OQ， CQ.uuur uuur0 ，又OQ CQ0 ，即 x 121x 0 .所以 x x 1 y2y22421 x动点 Q 的轨迹方程为x1y20.2421．解：（Ⅰ）f x12x12x2x1x0，x x由 f x0 ，得2x2x 10 ，又 x0，所以 x1.所以 f x 的单一减区间为1,，函数 f x的增区间是0,1.（Ⅱ）令 g x f x a1x2ax1ln x 1 ax21 a x 1，22所以 g x 1ax1aax21 a x1 x x.由于 a 2 ，a x1 x 1所以 g xa .x令 gx0 1，得 x.a所以当 x0,1， gx0 ；a当 x1 , 时， gx0 .a所以函数 gx 在 x0, 1 是增函数，在 x 0, 1是减函数 .aa 故函数 g x 的最大值为11 11 211lna1 a1ga2aaln a .a2a令 h a1 ln a ，由于 h 21 ln 20 ，2a4又由于 h a 在 a0,是减函数 .所以当 a2 时， h a0 ，即对于随意正数 x 总有 g x0 .所以对于 x 的不等式 fxa 1 x 2ax 1 恒成立 .2（Ⅲ）由 f x 1 f x 22 x 12x 22 x 1 x 2 0 ，即 ln x 1 x 12 x 1 ln x 2 x 22 x 2 x 1x 20 ，进而 x 1 x 2 2x 1x 2 x 1 x 2 ln x 1 x 2 .令 tx 1 x 2 ，则由ttln t 得，tt1t.可知，t 在区间 0,1 上单一递减，在区间 1,上单一递加 .所以t11，广西南宁市2018届高三数学上学期毕业班摸底考试一试题理所以x1x22x1x2 1 ，又 x1x20 ，所以 x1x251成立 . 222．解：（Ⅰ）对于曲线C2有2 4 sin4cos 4 ，即 x2y24x 4 y 4 ，所以曲线 C 2的直角坐标方程为x2y222 4 .其表示一个以2,2为圆心，半径为 2 的圆；（Ⅱ）曲线 C1是过点 P3, 2的直线，3222223, 2在曲线 C2内，由4知点所以当直线 C1过圆心2,2时， AB 的最大为4；当 AB 为过点3, 2且与 PC2垂直时，AB 最小. PC2322 3 ，最小值为 d2422234 3 . 323．解：（Ⅰ）当a 1 时， f x 2 x2，即 x1x 2 .1解得 x.2（Ⅱ） f x x2x a x2x a a 2 ，若 f x 2 恒成立，只要a2 2 ，即 a2 2 或 a2 2 ，解得a0或 a 4 .。