江西省2017届高三(上)第一次联考数学试卷+(理科)(解析版)

2016-2017学年江西师大附中、临川一中高三（上）1月联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若复数，为z的共轭复数，则=（）A．i B．﹣i C．﹣22017i D．22017i2．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣6≤0}，，那么集合A∩（∁B）=（）UA．[﹣2，4）B．（﹣1，3]C．[﹣2，﹣1]D．[﹣1，3]3．若a=ln2，，的大小关系为（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a4．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为10元，被随机分配为1.49元，1.81元，2.19元，3.41元，0.62元，0.48元，共6份，供甲、乙等6人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（）A．B．C．D．5．己知将函数f（x）=sinxcosx+cos2x﹣的图象向左平移个单位长度后得到y=g（x）的图象，则g（x）在[﹣，]上的值域为（）A．[﹣，1]B．[﹣1，]C．[﹣，] D．[﹣，]6．已知f（x）为奇函数，函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x+1对称，若g（1）=4，则f（﹣3）=（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．47．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．按流程图的程序计算，若开始输入的值为x=3，则输出的x的值是（）A．6 B．21 C．156 D．2319．已知数列{a n}、{b n}满足b n=log2a n，n∈N+，其中{b n}是等差数列，且a9a2009=4，则b1+b2+b3+…+b2017=（）A．2016 B．2017 C．log22017 D．10．在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点=λ，若•≥•，则λ的最大值是（）A．B．C．1 D．11．已知点M，N是抛物线y=4x2上不同的两点，F为抛物线的焦点，且满足，弦MN的中点P到直线l：的距离记为d，若|MN|2=λ•d2，则λ的最小值为（）A．3 B．C．D．412．已知f（x）=x3﹣3x+2+m（m＞0）．在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是直角三角形，则m的取值范围是（）A．m＞4+4B．0＜m＜2+2C．4﹣4＜m＜4+4 D．0＜m＜3+4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．已知数列{a n}是等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，求S5．14．若A、B、C、D四人站成一排照相，A、B相邻的排法总数为k，则二项式的展开式中含x2项的系数为．15．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的取值范围是．16．下列说法中错误的是（填序号）①命题“∃x1，x2∈M，x1≠x2，有[f（x1）﹣f（x2）]（x2﹣x1）＞0”的否定是“∀x1，x2∉M，x1≠x2，有[f（x1）﹣f（x2）]（x2﹣x1）≤0”；②已知a＞0，b＞0，a+b=1，则+的最小值为5+2；③设x，y∈R，命题“若xy=0，则x2+y2=0”的否命题是真命题；④已知p：x2+2x﹣3＞0，q：＞1，若命题（￢q）∧p为真命题，则x的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，2）∪[3，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，前5题每题12分，选考题10分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量=（cosx，﹣1），=（sinx，﹣），函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数∴的图象经过点，b、a、c成等差数列，且•=9，求a的值．18．某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答．（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分．现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分X的分布列与数学期望E（X）．19．如图1，在△ABC中，AC=2，∠ACB=90°，∠ABC=30°，P是AB边的中点，现把△ACP沿CP折成如图2所示的三棱锥A﹣BCP，使得．（1）求证：平面ACP⊥平面BCP；（2）求平面ABC与平面ABP夹角的余弦值．20．已知右焦点为F的椭圆M： +=1（a＞）与直线y=相交于P，Q两点，且PF⊥QF．（1）求椭圆M的方程：（2）O为坐标原点，A，B，C是椭圆E上不同三点，并且O为△ABC的重心，试探究△ABC的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是．说明理由．21．已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a 的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（a为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）过点M（﹣1，0）且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）设函数f（x）=|x﹣2|+|x+a|，若关于x的不等式f（x）≥3在R上恒成立，求实数a的取值范围；（2）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，求的最小值．2016-2017学年江西师大附中、临川一中高三（上）1月联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．若复数，为z的共轭复数，则=（）A．i B．﹣i C．﹣22017i D．22017i【考点】复数代数形式的乘除运算；虚数单位i及其性质．【分析】利用复数的运算法则、周期性即可得出．【解答】解：==i，=﹣i，则=[（﹣i）4]504•（﹣i）=﹣i．故选：B．2．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣6≤0}，，那么集合A∩（∁B）=（）UA．[﹣2，4）B．（﹣1，3]C．[﹣2，﹣1]D．[﹣1，3]【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】解不等式求出集合A、B，根据补集与交集的定义写出A∩（∁U B）．【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣6≤0}={x|﹣2≤x≤3}，={x|x＜﹣1或x≥4}，∴∁U B={x|﹣1≤x＜4}，∴A∩（∁U B）={x|﹣1≤x≤3}=[﹣1，3]．故选：D．3．若a=ln2，，的大小关系为（）A．b＜c＜a B．b＜a＜c C．a＜b＜c D．c＜b＜a【考点】定积分．【分析】利用对数函数的性质，判断a＞，b＜，利用定积分的性质求得c=，即可判断a、b和c的大小．【解答】解：a=ln2＞ln=，=＜，=sinx|=∴a＞c＞b，故选：A4．“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为10元，被随机分配为1.49元，1.81元，2.19元，3.41元，0.62元，0.48元，共6份，供甲、乙等6人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=C=15，再求出其中金额之和大于等于4有可能的种数，由此能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率．【解答】解：所发红包的总金额为10元，被随机分配为1.49元，1.81元，2.19元，3.41元，0.62元，0.48元，共6份，供甲、乙等6人抢，每人只能抢一次，基本事件总数n=C=15，其中金额之和大于等于4有可能有：（0.62，3.41），（1.49，3.41），（1.81，2.19），（1.81，3.41），（2.19，3.41），共有5种，∴甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率p=．故选：C．5．己知将函数f（x）=sinxcosx+cos2x﹣的图象向左平移个单位长度后得到y=g（x）的图象，则g（x）在[﹣，]上的值域为（）A．[﹣，1]B．[﹣1，]C．[﹣，] D．[﹣，]【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再来一用正弦函数的定义域和值域，求得g（x）在[﹣，]上的值域．【解答】解：将函数f（x）=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向左平移个单位长度后，得到y=g（x）=sin（2x++）=sin（2x+π）=﹣sin2x 的图象，在[﹣，]上，2x∈[﹣，]，﹣sin2x∈[﹣1，]，则g（x）在[﹣，]上的值域为[﹣1，]，故选：B．6．已知f（x）为奇函数，函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x+1对称，若g（1）=4，则f（﹣3）=（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．4【考点】抽象函数及其应用．【分析】根据函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x+1对称，可得f（3）=2，结合f（x）为奇函数，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x+1对称，（1，4）点与（3，2）点关于直线y=x+1对称，若g（1）=4，则f（3）=2，∵f（x）为奇函数，∴f（﹣3）=﹣2，故选：B．7．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得该几何体是从四棱中挖去一个半圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：由三视图得该几何体是从四棱锥P﹣ABCD中挖去一个半圆锥，四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，圆锥的底面半径是1、高是2，∴所求的体积V==，故选：B．8．按流程图的程序计算，若开始输入的值为x=3，则输出的x的值是（）A．6 B．21 C．156 D．231【考点】程序框图．【分析】根据程序可知，输入x，计算出的值，若≤100，然后再把作为x，输入，再计算的值，直到＞100，再输出．【解答】解：∵x=3，∴=6，∵6＜100，∴当x=6时，=21＜100，∴当x=21时，=231＞100，停止循环则最后输出的结果是231，故选D．9．已知数列{a n}、{b n}满足b n=log2a n，n∈N+，其中{b n}是等差数列，且a9a2009=4，则b1+b2+b3+…+b2017=（）A．2016 B．2017 C．log22017 D．【考点】数列的求和．【分析】由已知得a n=2，计算可判断{a n}为等比数列，于是a1a2017=a9a2009=4，从而得出b1+b2017=2，代入等差数列的求和公式即可．【解答】解：设{b n}的公差为d，∵b n=log2a n，∴a n=2，∴==2=2d．∴{a n}是等比数列，∴a1a2017=a9a2009=4，即2•2=2=4，∴b1+b2017=2，∴b1+b2+b3+…+b2017==2017．故选B．10．在直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P为AB边上的点=λ，若•≥•，则λ的最大值是（）A．B．C．1 D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】把三角形放入直角坐标系中，求出相关点的坐标，利用已知条件运用向量的数量积的坐标表示和二次不等式的解法，即可求出λ的最大值．【解答】解：∵直角△ABC中，∠BCA=90°，CA=CB=1，∴以C为坐标原点CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴建立直角坐标系，如图：C（0，0），A（1，0），B（0，1），=（﹣1，1），由=λ，∴λ∈[0，1]，=（﹣λ，λ），=（1﹣λ，λ），=﹣=（λ﹣1，1﹣λ），若•≥•，∴λ﹣1+λ≥λ2﹣λ+λ2﹣λ．2λ2﹣4λ+1≤0，解得：1﹣≤λ≤1+，∵λ∈[0，1]，∴λ∈[1﹣，1]．则λ的最大值是1．故选：C．11．已知点M，N是抛物线y=4x2上不同的两点，F为抛物线的焦点，且满足，弦MN的中点P到直线l：的距离记为d，若|MN|2=λ•d2，则λ的最小值为（）A．3 B．C．D．4【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设|MF|=a，|NF|=b，由∠MFN=120°，运用余弦定理可得|MN|，运用抛物线的定义和中位线定理可得d=（|MF|+|NF|）=（a+b），运用基本不等式计算即可得到所求最小值．【解答】解：抛物线y=4x2的焦点F（0，），准线为y=﹣，设|MF|=a，|NF|=b，由∠MFN=120°，可得|MN|2=|MF|2+|NF|2﹣2|MF|•|NF|•cos∠MFN=a2+b2+ab，由抛物线的定义可得M到准线的距离为|MF|，N到准线的距离为|NF|，由梯形的中位线定理可得d=（|MF|+|NF|）=（a+b），由|MN|2=λ•d2，可得λ=1﹣≥1﹣=，可得λ≥3，当且仅当a=b时，取得最小值3，故选：A12．已知f（x）=x3﹣3x+2+m（m＞0）．在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是直角三角形，则m的取值范围是（）A．m＞4+4B．0＜m＜2+2C．4﹣4＜m＜4+4 D．0＜m＜3+4【考点】函数的值．【分析】利用导数求得f（x）=x3﹣3x+3+m（m＞0），在区间[0，2]上的最小值、最大值，由题意构造不等式解得范围．【解答】解：∵f（x）=x3﹣3x+3+m，∴求导f′（x）=3x2﹣3，由f′（x）=0得到x=1或者x=﹣1，又x在[0，2]内，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则f（x）min=f（1）=m+1，f（x）max=f（2）=m+5，f（0）=m+3．∵在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是构成直角三角形，∴（m+1）2+（m+1）2＜（m+5）2，即m2﹣6m﹣23＜0，解得3﹣4＜m＜3+4，又已知m＞0，∴0＜m＜3+4．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．已知数列{a n}是等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，求S5．【考点】等差数列的性质；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【分析】由a2•a3=2a1=a1•a4，可得a4=2，再由a4与2a7的等差中项为，得a4 +2a7 =，故有a7 =．求出首项和公比，再利用等比数列的前n项和公式求出s5．【解答】解：数列{a n}是等比数列，S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1=a1•a4，可得a4=2．再由a4与2a7的等差中项为，可得a4 +2a7 =，故有a7 =．∴q3==，∴q=，∴a1=16．∴s5==31．14．若A、B、C、D四人站成一排照相，A、B相邻的排法总数为k，则二项式的展开式中含x2项的系数为．【考点】二项式系数的性质；排列、组合及简单计数问题．【分析】由题意可得：k==12．再利用的展开式的通项公式即可得出．【解答】解：由题意可得：k==12．==x r，则的展开式的通项公式：T r+1令r=2，则展开式中含x2项的系数为：=．故答案为：．15．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的取值范围是[3，9] ．【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值、及最小值，进一步线出目标函数的值域．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：由图易得目标函数z=2x+y在（1，1）处取得最小值3在（3，3）处取最大值9故Z=2x+y的取值范围为：[3，9]故答案为：[3，9]16．下列说法中错误的是②③（填序号）①命题“∃x1，x2∈M，x1≠x2，有[f（x1）﹣f（x2）]（x2﹣x1）＞0”的否定是“∀x1，x2∉M，x1≠x2，有[f（x1）﹣f（x2）]（x2﹣x1）≤0”；②已知a＞0，b＞0，a+b=1，则+的最小值为5+2；③设x，y∈R，命题“若xy=0，则x2+y2=0”的否命题是真命题；④已知p：x2+2x﹣3＞0，q：＞1，若命题（￢q）∧p为真命题，则x的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，2）∪[3，+∞）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①命题“∃x1，x2∈M，x1≠x2，有[f（x1）﹣f（x2）]（x2﹣x1）＞0”的否定是“∀x1，x2∈M，x1≠x2，有[f（x1）﹣f（x2）]（x2﹣x1）≤0”，故不正确；②已知a＞0，b＞0，a+b=1，则+=（+）（a+b）=5++≥5+2即+的最小值为5+2，正确；③设x，y∈R，命题“若xy=0，则x2+y2=0”的否命题是“若xy≠0，则x2+y2≠0”，是真命题，正确；④已知p：x2+2x﹣3＞0，q：＞1，若命题（￢q）∧p为真命题，则￢q与p为真命题，即，则x的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（1，2]∪[3，+∞），故不正确．故答案为：②③．三、解答题：本大题共5小题，前5题每题12分，选考题10分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量=（cosx，﹣1），=（sinx，﹣），函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数∴的图象经过点，b、a、c成等差数列，且•=9，求a的值．【考点】平面向量数量积的运算；余弦定理．【分析】（1）利用向量的数量积化简函数的解析式，利用函数的周期以及正弦函数的单调区间求解即可．（2）求出A，利用等差数列以及向量的数量积求出bc，通过三角形的面积以及余弦定理求解a即可．【解答】解：==，（1）最小正周期：由得：，所以f（x）的单调递增区间为：；（2）由可得：所以，又因为b，a，c成等差数列，所以2a=b+c，而，•=bccosA==9，∴bc=18，，∴．18．某理科考生参加自主招生面试，从7道题中（4道理科题3道文科题）不放回地依次任取3道作答．（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）规定理科考生需作答两道理科题和一道文科题，该考生答对理科题的概率均为，答对文科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分．现该生已抽到三道题（两理一文），求其所得总分X的分布列与数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件．【分析】（1）利用条件概率公式，即可求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率；（2）确定X的可能取值，利用概率公式即可得到总分X的分布列，代入期望公式即可．【解答】解：（1）记“该考生在第一次抽到理科题”为事件A，“该考生第二次和第三次均抽到文科题”为事件B，则P（A）=，P（AB）=．…∴该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到文科题的概率为P（B|A）=．…（2）X的可能取值为：0，10，20，30，则P（X=0）==，P（X=10）=+=，P（X=20）==，P（X=30）=1﹣﹣﹣=．…∴X的分布列为X0102030p…∴X的数学期望为EX=0×+10×+20×+30×=．…19．如图1，在△ABC中，AC=2，∠ACB=90°，∠ABC=30°，P是AB边的中点，现把△ACP沿CP折成如图2所示的三棱锥A﹣BCP，使得．（1）求证：平面ACP⊥平面BCP；（2）求平面ABC与平面ABP夹角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）在图1中，取CP的中点O，连接AO交CB于E，得AO⊥CP，在△OCB中，有AO⊥OB，即AO⊥平面PCB，可证平面ACP⊥平面CPB．（2）因为AO⊥平面CPB，且OC⊥OE，故可如图建立空间直角坐标系，则，求出平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解．【解答】解：（1）证明：在图1中，取CP的中点O，连接AO交CB于E，则AE ⊥CP，在图2中，取CP的中点O，连接AO，OB，因为AC=AP=CP=2，所以AO⊥CP，且，…在△OCB中，由余弦定理有，…所以AO2+OB2=10=AB2，所以AO⊥OB．…又AO⊥CP，CP∩OB=O，所以AO⊥平面PCB，又AO⊂平面ACP，所以平面ACP⊥平面CPB…（2）因为AO⊥平面CPB，且OC⊥OE，故可如图建立空间直角坐标系，则，，…设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则由得；…同理可求得平面ABP的法向量为，…故所求角的余弦值．…20．已知右焦点为F的椭圆M： +=1（a＞）与直线y=相交于P，Q 两点，且PF⊥QF．（1）求椭圆M的方程：（2）O为坐标原点，A，B，C是椭圆E上不同三点，并且O为△ABC的重心，试探究△ABC的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是．说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）设F（c，0），P（t，），Q（﹣t，），代入椭圆方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得a=2，c=1，即可得到所求椭圆方程；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，运用韦达定理，由O为△ABC 的重心，可得=﹣（+），可得C的坐标，代入椭圆方程，可得4m2=3+4k2，由弦长公式和点到直线的距离公式可得三角形的面积，化简整理，可得定值；再验证直线AB的斜率不存在，即可得到△ABC的面积为定值．【解答】解：（1）设F（c，0），P（t，），Q（﹣t，），代入椭圆方程可得+=1，即t2=a2①且PF⊥QF，可得•=﹣1，即c2﹣t2=﹣，②由①②可得c2=a2﹣．又a2﹣c2=3，解得a=2，c=1，即有椭圆方程为+=1；（2）设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程3x2+4y2=12，可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2=，x1+x2=﹣，y1+y2=k（x1+x2）+2m=，由O为△ABC的重心，可得=﹣（+）=（，﹣），由C在椭圆上，则有3（）2+4（﹣）2=12，化简可得4m2=3+4k2，|AB|=•=•=•，C到直线AB的距离d==，S△ABC=|AB|•d=•=•=．=|AB|•d=．当直线AB的斜率不存在时，|AB|=3，d=3，S△ABC综上可得，△ABC的面积为定值．21．已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，求实数a 的值；（2）设h（x）=f（x）+g（x），若对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[1，e]上存在一点x0，使得f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数y的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得a的方程，解得a即可；（2）由题意可得即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，求出导数，令导数大于等于0，分离参数a，由二次函数的最值，即可得到a的范围；（3）原不等式等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，求得它的导数m'（x），然后分a≤0、0＜a≤e﹣1和a＞e﹣1三种情况加以讨论，分别解关于a的不等式得到a的取值，最后综上所述可得实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．【解答】解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣alnx的导数为x﹣，曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1处的切线斜率为k=1﹣a，由切线的方程为6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，解得a=﹣2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，对任意两个不等的正数x1，x2，都有＞2恒成立，即为＞0，令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）递增，由m′（x）=h′（x）﹣2=x+﹣2≥0恒成立，可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，则a≥1，即a的取值范围是[1，+∞）；（3）不等式f′（x0）+＜g（x0）﹣g′（x0）等价于x0+＜alnx0﹣，整理得x0﹣alnx0+＜0，设m（x）=x﹣alnx+，则由题意可知只需在[1，e]上存在一点x0，使得m（x0）＜0．对m（x）求导数，得m′（x）=1﹣﹣==，因为x＞0，所以x+1＞0，令x﹣1﹣a=0，得x=1+a．①若1+a≤1，即a≤0时，令m（1）=2+a＜0，解得a＜﹣2．②若1＜1+a≤e，即0＜a≤e﹣1时，m（x）在1+a处取得最小值，令m（1+a）=1+a﹣aln（1+a）+1＜0，即1+a+1＜aln（1+a），可得＜ln（a+1）考察式子＜lnt，因为1＜t≤e，可得左端大于1，而右端小于1，所以不等式不能成立③当1+a＞e，即a＞e﹣1时，m（x）在[1，e]上单调递减，只需m（e）＜0，得a＞，又因为e﹣1﹣=＜0，则a＞．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（a为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）过点M（﹣1，0）且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）利用参数的几何意义，即可求点M到A，B两点的距离之积．【解答】解：（1）曲线C：（a为参数），化为普通方程为：，由，得ρcosθ﹣ρsinθ=﹣2，所以直线l的直角坐标方程为x ﹣y+2=0．（2）直线l1的参数方程为（t为参数），代入，化简得：，得t1t2=﹣1，∴|MA|•|MB|=|t1t2|=1．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）设函数f（x）=|x﹣2|+|x+a|，若关于x的不等式f（x）≥3在R上恒成立，求实数a的取值范围；（2）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，求的最小值．【考点】绝对值三角不等式；基本不等式．【分析】（1）关于x的不等式f（x）≥3在R上恒成立，等价于f（x）min≥3，即可求实数a的取值范围；（2）已知正数x，y，z满足x+2y+3z=1，，利用柯西不等式，即可求的最小值．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣2|+|x+a|≥|x﹣2﹣x﹣a|=|a+2|∵原命题等价于f（x）min≥3，|a+2|≥3，∴a≤﹣5或a≥1．（2）由于x，y，z＞0，所以当且仅当，即时，等号成立．∴的最小值为．2017年4月26日。

分宜中学 、玉山一中、临川一中2017江西省 南城一中 、南康中学、 高安中学 高三联合考试彭泽一中 、泰和中学 、樟树中学数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合}032|{2≤--=x x x A ，)}2ln(|{x y x B -==，则=B A （ ） A ．)3,1( B ．]3,1( C ．)2,1[- D ．)2,1(-2.已知复数z 满足i z ii4311+=⋅-+，则=||z （ ） A ．62 B ．7 C ．25 D ．53.已知R 上的奇函数)(x f 满足：当0>x 时，1)(2-+=x x x f ，则=-)]1([f f （ ） A ．1- B ．1 C ．2 D ．2-4.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积等于（ ）3cmA ．π324+B ．π234+ C. π326+ D ．π236+ 5.下列命题正确的个数为（ ）①“R x ∈∀都有02≥x ”的否定是“R x ∈∃0使得020≤x ”； ②“3≠x ”是“3||≠x ”成立的充分条件； ③命题“若21≤m ，则方程0222=++x mx 有实数根”的否命题为真命题 A ．0 B ．1 C. 2 D ．36.美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一.美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计算系统，其中开平方算法最具有代表性，程序框图如图所示，若输入ξ,,n a 的值分别为8,2，0.5，（每次运算都精确到小数点后两位），则输出结果为（ ）A ．2.81B ．2.82 C.2.83 D ．2.847.随着国家二孩政策的全国放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100为育龄妇女，结果如图：附表：由))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=算得，616.965354258)13202245(10022≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K ，参照附表，得到的正确结论是（ ）A ．在犯错误的概率不超过%1.0的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”B ．在犯错误的概率不超过%1.0的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”C ．有%99以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”D ．有%99以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”8.若y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+206202x y x y x ，则目标函数22y x z +=的最小值是（ ）A ．2B ．2 C. 4 D ．968 9.已知)11,2(),2,1(B A ，若直线)0(1)6(≠+-=m x mm y 与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是（ ）A ．),3[)0,2[+∞-B ．]6,0(]1,( --∞ C. ]6,3[]1,2[ -- D ．]6,0()0,2[ -10.已知函数)0)(sin()(πϕϕω<<+=x x f 的部分图象如下图所示，若3)(0=x f ，)65,3(0ππ∈x ，则0sin x 的值为（ ）A ．10433+ B ．10433- C. 10343+ D ．10343- 11.设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点为1F ，左顶点为A ，过1F 作x 轴的垂线交双曲线于P 、Q 两点，过P 作PM 垂直QA 于M ，过Q 作QN 垂直PA 于N ，设PM 与QN 的交点为B ，若B 到直线PQ 的距离大于22b a a ++，则该双曲线的离心率取值范围是（ ）A ．)2,1(B ．)2(∞+ C. )22,1( D ．),22(+∞12.若函数x e a x a x x x f --++++=]6)6(3[)(23在区间)4,2(上存在极大值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)32,(--∞B ．)27,(--∞ C. )27,32(-- D ．]27,32(--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.4)1)(11(x x+-的展开式中2x 项的系数为 ． 14.=-+⎰dx x x 12)12( ． 15.已知半径为1的球O 内切于正四面体BCD A -，线段MN 是球O 的一条动直径（N M ,是直径的两端点），点P 是正四面体BCD A -的表面上的一个动点，则⋅的取值范围是 ．16.ABC ∆中，B C B A sin sin )sin(-=-，D 是边BC 的一个三等分点（靠近点B ），记λ=∠∠BADABDsin sin ，则当λ取最大值时，=∠ACD tan ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，数列}{n b 是等比数列，满足31=a ，11=b ，1022=+S b ，3252a b a =-（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（2）令n n n b a c ⋅=，设数列}{n c 的前n 项和为n T ，求n T .18. 在如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，底面ABFE 为直角梯形，ABF ∠我俄日直角，BF AE //，121==BF AB ，平面⊥ABCD 平面ABFE .（1）求证：EC DB ⊥；（2）若AB AE =，求二面角B EF C --的余弦值.19. 一个正四面体的“骰子”（四个面分别标有1,2,3,4四个数字），掷一次“骰子”三个侧面的数字的和为“点数”，连续抛掷“骰子”两次.（1）设A 为事件“两次掷‘骰子’的点数和为16”，求事件A 发生的概率；（2）设X 为两次掷“骰子”的点数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.20. 已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为23，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，M 为椭圆上除长轴端点外的任意一点，且21F MF ∆的周长为324+. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点)2,0(-D 作直线l 与椭圆C 交于B A ,两点，点N 满足+=（O 为原点），求四边形OANB 面积的最大值，并求此时直线l 的方程.21.已知函数x e x f x+=)(，（R a ∈）其图象与x 轴交于)0,(),0,(21x B x A 两点，且21x x <.（1）求a 的取值范围； （2）证明：0)43('21<+x x f ；（)('x f 为)(x f 的导函数）； （3）设点C 在函数)(x f 的图象上，且ABC ∆为等边三角形，记t x x =12，求)3)(1(+-a t 的值.请考生在第22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点P 的直角坐标为)2,1(，点M 的极坐标为)2,3(π，且倾斜角为6π，圆C 以M 为圆心，3为半径.（1）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （2）设直线l 与圆C 相交于B A ,两点，求||||PB PA ⋅. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数)0(|1|||)(>+++=a ax a x x f . （1）当2=a 时，求不等式3)(>x f 的解集； （2）证明：4)1()(≥-+mf m f .试卷答案一、选择题1-5:CDADB 6-10:DCBCA 11、12：BC 二、填空题13. 2 14. 41π+ 15. ]8,0[ 16.32+ 三、解答题17.解：（1）设数列}{n a 的公差为d ，数列}{n b 的公比为q ，则 由⎩⎨⎧=-=+32522210a b a S b 得⎩⎨⎧+=-+=++dq d d q 23243106解得⎩⎨⎧==22q d ，所以12)1(23+=-+=n n a n ，12-=n n b .（2）由（1）可知，12)12(-⋅+=n n n c ，∴122102)12(2)12(272523--⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n T …………①n n n n n T 2)12(2)12(27252321321⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=- ……………②①-②得：n n n n T 2)12(2222223221⋅+-⋅++⋅+⋅+=--12)21(2)12(122)12(222112-⋅-=⋅+--=⋅+-++++=+n n n n n n n n∴12)12(+⋅-=n n n T .18.解：（1）∵底面ABFE 为直角梯形，BF AE //，90=∠EAB ， ∴AB BF AB AE ⊥⊥,，∵平面⊥ABCD 平面ABFE ，平面 ABCD 平面AB ABFE =，∴⊥AE 平面ABCD ，⊥BF 平面ABCD ， ∴BC BF ⊥，设t AE =，以BC BF BA ,,所在直线分别为z y x ,,轴建立如图坐标系，则)0,0,0(B ，)1,0,0(C ，)1,0,1(D ，)0,,1(t E ，)1,0,1(--=，)1,,1(t --=， ∵0=⋅，∴EC DB ⊥.（2）由（1）知)1,0,0(=是平面BEF 的一个法向量，设),,(z y x =是平面CEF 的法向量，∵1==AB AE ，∴)0,1,1(E ，)0,2,0(F ，∴)1,1,1(-=，)1,2,0(-，由0=⋅，得0=-+z y x ，由0=⋅，得02=-z y ，令2=z ，得1,1==y x ，故)2,1,1(=n 是平面CEF 的一个法向量，∴36||||,cos =<BC n ，即二面角B EF C --的余弦值为36. 19.解：（1）两次点数之和为16，即两次的底面数字为：（1,3），（2,2），（3,1），163443)(=⨯=A P （2）X 的可能取值为0,1,2,3，且41444)0(=⨯==X P ，834423)1(=⨯⨯==X P ，414422)2(=⨯⨯==X P ，81442)3(=⨯==X P ，则X 的分布列为45)(=X E . 20.解：（1）∵23==a c e ，又21F MF ∆的周长为32422+=+c a ，∴32+=+c a ，∴3,2==c a ，∴1,422==b a ，∴椭圆C 的方程为1422=+y x . （2）∵+=，∴四边形OANB 为平行四边形，显然直线l 的斜率存在，设l 的方程为2-=kx y ，),(),,(2211y x B y x A ，把2-=kx y 代入1422=+y x 得01216)41(22=+-+kx x k ，由0)41(4816222>+-=∆k k 得432>k ，∴2214116k k x x +=+，2214112kx x +=，∵||||||212121x x x x OD S OAB -=-⋅=∆，∴2222222122121)41(34841124)4116(24)(2||22k k k k k x x x x x x S S OABOANB +-=+-+=-+=-==∆，令0342>-=k t ，∴342+=t k ，∴2161816818)4(82=≤++=+=tt t t S OANB ，当且仅当4=t ，即27±=k 时取等号，∴2)(max =OANB S ，此时l 的方程为227-±=x y . 21.解：（1）∵ax e x f x+=)(，∴a e x f x+=)('，若0≥a ，则0)('>x f ，则函数)(x f 在R 上单调递增，这与题设矛盾.∴0<a 易知)(x f 在))ln(,(a --∞上单调递减，在)),(ln(+∞-a 上单调递增，∴)ln())(ln()(min a a a a f x f -+-=-=，且-∞→x 时，+∞→)(x f ；-∞→x 时，+∞→)(x f ，∴0)ln()(ln <-+-=a a a a f ，两式相减得1212x x e e a x x ---=.记)0(212>=-s s x x ，则)](2[2)2('212221211221s s x x x x x x e e s sex x e e e x x f -++--=---=+，设)(2)(s s e e s s g ---=，则0)(2)('<+-=-s s e e s g ，∴)(s g 是单调减函数，则有0)0()(=<g s g ，而02221>+sex x ，∴0)2('21<+x x f ，又∵a e x f x +=)('是单调增函数，且2432121x x x x +<+， ∴0)2(')43('2121<+<+x x f x x f . （2）由⎪⎩⎪⎨⎧=+=+002121ax e ax e x x 得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=2121ax e ax e x x ，∴21221x x a e x x -=+，设),(00y x P ，在等边三角形ABC 中，易知),(221210x x x x x ∈+=，0)(00<=x f y ，由等边三角形性质知2)(3120x x y --=，∴ 02)(3120=-+x x y ，即02)(3)(21212221=-++++x x x x aex x ， ∴02)(3)(2121221=-+++-x x x x ax x a ， ∵01>x ，∴02)1(3)1(2121212=-++++-x x x x a x x a，∴02)1(3)1(222=-+++-t t a at ，032)3(2=-+-+a at t a ，∴0)1](3)3[(=--++t a t a ，又∵1>t ，∴03)3(=-++a t a ，∴33+-=a a t ，3321+-=-a t ，∴32)3)(1(-=+-a t .22.解：（1）直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 212231（t 为参数），圆C 的极坐标方程为θρsin 6=. （2）圆C 的直角坐标方程为9)3(22=-+y x ，把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 212231代入9)3(22=-+y x 得07)13(2=--+t t ，∴721-=t t ，又21|||,|||t PB t PA ==，∴7||||||21==t t PB PA .23.解（1）当2=a 时，|21||2|)(+++=x x x f ，原不等式等价于 ⎪⎩⎪⎨⎧>-----<32122x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--+-≤≤-3212212x x x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+++->321221x x x 解得411-<x 或∅∈x 或41>x ，所以不等式的解集为411|{-<x x 或}41>x （2）|11||1||1|||)1()(am a m a m a m m f m f +-++-++++=-+ 4|)1||(|2|1|2|11||1||1|||≥+=+≥+-++++-++=m m m m a m a m a m a m。

2017届江西省赣州市高三数学（理）一模试题及答案解析一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．sin15°+cos165°的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．【分析】利用诱导公式，把要求的式子化为sin15°﹣cos15°=sin（45°﹣30°）﹣cos （45°﹣30°），再利用两角差的正弦、余弦公式，进一步展开运算求得结果．【解答】解：sin15°+cos165°=sin15°﹣cos15°=sin（45°﹣30°）﹣cos（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°﹣cos45°cos30°﹣sin45°sin30°=﹣﹣﹣=，故选B．2．设命题p：函数y=f（x）不是偶函数，命题q：函数y=f（x）是单调函数，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由q⇒p，反之不成立．例如取f（x）=（x﹣1）2不是偶函数，但是此函数在R上不单调．【解答】解：命题p：函数y=f（x）不是偶函数，命题q：函数y=f（x）是单调函数，则q⇒p，反之不成立．例如f（x）=（x﹣1）2不是偶函数，但是此函数在R上不单调．则p是q的必要不充分条件．故选：B．3．如图是一个几何体挖去另一个几何体所得的三视图，若主视图中长方形的长为2，宽为1，则该几何体的体积为（）A．B．C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，几何体是圆柱挖去圆锥所得，利用圆柱、圆锥的体积公式可得体积．【解答】解：由题意，几何体是圆柱挖去圆锥所得，体积为=．故选C．4．抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A是C上一点，若A到F的距离是A 到y轴距离的两倍，且三角形OAF的面积为1（O为坐标原点），则p的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据A是C上一点，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍，且三角形OAF的面积为1，建立方程，即可求出p的值．【解答】解：设A（a，b），则b2=2pa，=1，a+=2a，解得p=2，故选B．5．若（x﹣2y）2n+1的展开式中前n+1项的二项式系数之和为64，则该展开式中x4y3的系数是（）A．﹣B．70 C．D．﹣70【考点】二项式系数的性质．【分析】根据（x﹣2y）2n+1展开式中前n+1项的二项式系数之和等于后n+1项的和，求出n的值，再利用展开式的通项公式求出x4y3的系数．【解答】解：（x﹣2y）2n+1展开式中共有2n+2项，其前n+1项的二项式系数之和等于后n+1项和，∴22n+1=64×2，解得n=3；∴（x﹣2y）7展开式中通项公式为T r=••（﹣2y）r，+1令r=3，得展开式中x4y3的系数是••（﹣2）3=﹣．故选：A．6．二战中盟军为了知道德国“虎式”重型坦克的数量，采用了两种方法，一种是传统的情报窃取，一种是用统计学的方法进行估计，统计学的方法最后被证实比传统的情报收集更精确，德国人在生产坦克时把坦克从1开始进行了连续编号，在战争期间盟军把缴获的“虎式”坦克的编号进行记录，并计算出这些编号的平均值为675.5，假设缴获的坦克代表了所有坦克的一个随机样本，则利用你所学过的统计知识估计德国共制造“虎式”坦克大约有（）A．1050辆B．1350辆C．1650辆D．1950辆【考点】系统抽样方法．【分析】由题意=675.5，即可得出结论．【解答】解：由题意=675.5，∴n=1350，故选B．7．复数z1、z2满足|z1|=|z2|=1，z1﹣z2=，则z1•z2=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】z1﹣z2==﹣2i，由|z1|=|z2|=1，设z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ，可得cosα=cosβ，sinα﹣sinβ=﹣2，即可得出．【解答】解：z1﹣z2====﹣2i，由|z1|=|z2|=1，设z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ，∴cosα=cosβ，sinα﹣sinβ=﹣2，∴cosα=cosβ=0，sinα=﹣1，sinβ=1，∴z1=﹣i，z2=i，则z1•z2=﹣i•i=1．故选：A．8．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图，f（）=﹣1，则f（0）的值为（）A．1 B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，由函数的特殊值求出A，可得函数的解析式，从而求得f（0）的值．【解答】解：根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得==﹣，∴ω=3．再根据五点法作图可得3•+φ=，∴φ=，故f（x）=Asin（3x+）．∵f（）=Asin（+）=﹣Acos=﹣A•=﹣1，∴A=，则f（0）=sin=1，故选：A．9．秦九韶是我国南宋时代的数学家，其代表作《数书九章》是我国13世纪数学成就的代表之一，秦九韶利用其多项式算法，给出了求高次代数方程的完整算法，这一成就比西方同样的算法早五六百年，如图是该算法求函数f（x）=x3+x+1零点的程序框图，若输入x=﹣1，c=1，d=0.1，则输出的x的值为（）A．﹣0.6 B．﹣0.69 C．﹣0.7 D．﹣0.71【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，即可得出结论．【解答】解：x=﹣1，f（﹣1）=﹣1＜0，c＞d，x=﹣1+1=0，第二次循环，x=0，f（0）=1＞0，x=0﹣1=﹣1，c=0.1=d，x=﹣0.9第3次循环，x=﹣0.9，f（﹣0.9）＜0，x=﹣0.8，第3次循环，x=﹣0.8，f（﹣0.8）＜0，x=﹣0.7，第4次循环，x=﹣0.7，f（﹣0.7）＜0，x=﹣0.6，第5次循环，x=﹣0.6，f（﹣0.6）＞0，x=﹣0.7，c=0.01＜d停止循环，输出﹣0.7，故选C．10．已知函数f（x）=|2x﹣2|+b的两个零点分别为x1，x2（x1＞x2），则下列结论正确的是（）A．1＜x1＜2，x1+x2＜2 B．1＜x1＜2，x1+x2＜1C．x1＞1，x1+x2＜2 D．x1＞1，x1+x2＜1【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=|2x﹣2|+b的有两个零点，即y=|2x﹣2|与y=﹣b有两个交点，交点的横坐标就是x1，x2（x1＞x2），在同一坐标系中画出y=|2x﹣2|与y=﹣b 的图象，根据图象可判定．【解答】解：函数f（x）=|2x﹣2|+b的有两个零点，即y=|2x﹣2|与y=﹣b有两个交点，交点的横坐标就是x1，x2（x1＞x2），在同一坐标系中画出y=|2x﹣2|与y=﹣b的图象（如下），可知1＜x1＜2，，，⇒，⇒x1+x2＜2．故选：A．11．在三棱锥ABCD中，BC⊥CD，Rt△BCD斜边上的高为1，三棱锥ABCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥ABCD体积的最大值为（）A．B．C．1 D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】当AD⊥平面BCD时，以CB、CD、CA为棱构造长方体，此时三棱锥ABCD 的外接球即该长方体的外接球，其直径为AB，由已知得当a=b=时，AC=2，此时三棱锥ABCD体积为V=．由此排除A，B，C选项．【解答】解：当AD⊥平面BCD时，以CB、CD、CA为棱构造长方体，此时三棱锥ABCD的外接球即该长方体的外接球，其直径为AB，∵该外接球的表面积为16π，∴AB=4，设BC=a，CD=b，∵在三棱锥ABCD中，BC⊥CD，Rt△BCD斜边上的高为1，∴BD=，设Rt△BCD斜边上的高为CE，则CE=1，由，得BD==ab，∵a＞0，b＞0，∴=ab≥，即ab≥2，当且仅当a=b=时，取等号，∴当a=b=时，=2，解得AC=2，此时三棱锥ABCD体积为V===．由此排除A，B，C选项，故选：D．12．在△ABC中，D、E是BC边上两点，BD、BA、BC构成以2为公比的等比数列，BD=6，∠AEB=2∠BAD，AE=9，则三角形ADE的面积为（）A．31.2 B．32.4 C．33.6 D．34.8【考点】正弦定理．【分析】由已知及等比数列的性质可得：BD=6，AB=12，AE=9，设∠BAD=α，则∠AEB=2α，在△ABE中，由正弦定理可得：sinB=sin2α，在△ABD中，由正弦定理可得AD==9cosα，进而利用余弦定理可cosα=，利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式计算可得sinα，sin2α，cos2α，可求AD=，则在△ADE中，由余弦定理可得DE的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：由题意可得：BD=6，AB=12，AE=9，设∠BAD=α，则∠AEB=2α，∵在△ABE中，由正弦定理可得：，可得：sinB=sin2α，在△ABD中，由正弦定理可得：，可得：AD==9cosα，∴由余弦定理可得：62=122+（9cosα）2﹣2×12×（9cosα）×cosα，整理可得：cosα=，∴sinα=，sin2α=，cos2α=，AD=，则在△ADE中，由余弦定理可得：（）2=DE2+92﹣2×9×DE×，整理可得：5DE2﹣54DE+81=0，∴解得：DE=9，或1.8（舍去），=AE•DE•sin2α=×9×9×=32.4．∴S△ADE故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量=（1，x），=（x，1），若•=﹣||•||，则x=﹣1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可先求出，，然后代入即可得到关于x的方程，解出x即可．【解答】解：，；∴由得：2x=﹣（x2+1）；解得x=﹣1．故答案为：﹣1．14．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y+1的最大值为10．【考点】简单线性规划．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x+3y+1对应的直线进行平移，由此可得当x=3，y=﹣1时，目标函数取得最大值为10．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（3，1），B（0，﹣2），C（0，2）设z=F（x，y）=2x+3y+1，将直线l：z=2x+3y+1进行平移，当l经过点A（3，1）时，目标函数z达到最大值3，1）=10∴z最大值=F（故答案为：1015．设f（x）=的图象在点（1，1）处的切线为l，则曲线y=f（x），直线l及x轴所围成的图形的面积为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据导数的几何意义即可求出切线方程；根据定积分的几何意义即可求出所围成的图形的面积．【解答】解：由f（x）=的导数为f′（x）=，则切线l的斜率k=y′|x=1=，切线l的方程为y﹣1=（x﹣1）即y=（x+1），由x=0可得y=；y=0可得x=﹣1．所求的图形的面积S=×1×+（x+﹣）dx=+（x2+x﹣x）|=++﹣=．故答案为：．16．已知双曲线C的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），若C的右支上存在两点A、B，使∠AOB=120°，其中O为坐标原点，则曲线C的离心率的取值范围是（2，+∞）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，由题意可得＞tan60°=，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求范围．【解答】解：由C的右支上存在两点A、B，使∠AOB=120°，而渐近线方程为y=±x，可得＞tan60°=，即为b＞a，即为b2＞3a2，即c2﹣a2＞3a2，即有c2＞4a2，即c＞2a，e=＞2，故答案为：（2，+∞）．三、解答题17．设等差数列{a n}的公差d＞0，前n项和为S n，已知3是﹣a2与a9的等比中项，S10=﹣20．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n（n≥6）．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等比数列的通项公式与性质、等差数列的通项公式与求和公式即可得出．（2）分类讨论，利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：（1）∵3是﹣a2与a9的等比中项，∴=﹣a2•a9，又S10=﹣20．∴﹣（a1+d）（a1+8d）=45，10a1+d=﹣20，联立解得a1=﹣11，d=2．∴a n=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13．（2）1≤n≤5时，b n===﹣．n≥6，b n===，∴n≥6时，数列{b n}的前n项和T n=﹣+=﹣．18．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB，A1B⊥AC1．（1）求证：平面A1BC⊥平面ABC1；（2）若直线AA1与底面ABC所成的角为60°，求直线AA1与平面ABC1所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出BC⊥侧面ACC1A1，所以AC1⊥BC，再由A1B⊥AC1，得到AC1⊥面A1BC，由此能证明面ABC1⊥面A1BC．（2）利用等体积方法，求出A1到平面ABC1的距离，即可求直线AA1与平面ABC1所成角的正弦值．【解答】（1）证明：因为底面ABC是等腰直角三角形，CA=CB，所以BC⊥AC因为侧面ACC1A1⊥底面ABC，侧面ACC1A1∩底面ABC=AC，所以BC⊥侧面ACC1A1，所以AC1⊥BC，又A1B⊥AC1，而A1B∩BC=B，所以AC1⊥面A1BC，又AC1⊂面ABC1，所以面ABC1⊥面A1BC；（2）解：由题意，∠A1AC=60°，四边形ACC1A1是菱形．设AC=2，则AB=2，AC1=2，BC1=2，∴==设A1到平面ABC1的距离为h，则=，∴h=，∴直线AA1与平面ABC1所成角的正弦值==．19．《最强大脑》是江苏卫视推出国内首档大型科学类真人秀电视节目，该节目集结了国内外最顶尖的脑力高手，堪称脑力界的奥林匹克，某校为了增强学生的记忆力和辨识力也组织了一场类似《最强大脑》的PK赛，A、B两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分，假设每局比赛两队选手获胜的概率均为0.5，且各局比赛结果相互独立．（1）求比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率；（2）求比赛结束时B队得分X的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）设事件“比赛结束时A队的得分高于B队的得分”为A，事件“比赛结束时B队的得分高于a队的得分”，事件“比赛结束时A队的得分等于B队的得分”为事件C，根据：每局比赛两队选手获胜的概率均为0.5，可得P（A）=P（B），P（A）+P（B）+P（C）=1，P（C）=0．即可得出P（A）．（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，5．根据相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．【解答】解：（1）设事件“比赛结束时A队的得分高于B队的得分”为A，事件“比赛结束时B队的得分高于a队的得分”，事件“比赛结束时A队的得分等于B队的得分”为事件C，根据：每局比赛两队选手获胜的概率均为0.5，则P（A）=P（B），P（A）+P（B）+P（C）=1，P（C）=0．∴P（A）=．（2）X的可能取值为0，1，2，3，4，5．P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）=+=，P（X=3）=+×=，P（X=4）==，P（X=5）==．X012345PE（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×=．20．设离心率为的椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1，F2，点P是E上一点，PF1⊥PF2，△PF1F2内切圆的半径为﹣1．（1）求E的方程；（2）矩形ABCD的两顶点C、D在直线y=x+2，A、B在椭圆E上，若矩形ABCD的周长为，求直线AB的方程．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的离心率求得a=c，根据勾股定理及椭圆的定义，求得a ﹣c=﹣1．b2=a2﹣c2=1，即可求得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理及弦长公式求得丨AB丨，由两平行之间的距离公式，由矩形的周长公式2（丨AB丨+d）=，代入即可求得m的值，求得直线AB的方程．【解答】解：（1）∵离心率为e==，则a=c，①由PF1⊥PF2，则丨PF1丨2+丨PF2丨2=丨F1F2丨2=4c2，由椭圆的定义可知；丨PF1丨+丨PF2丨=2a，则丨F1F2丨2=（丨PF1丨+丨PF2丨）2﹣2丨PF1丨•丨PF2丨，∴丨PF1丨•丨PF2丨=2a2﹣2c2，，△PF1F2的面积S，S=丨PF1丨•丨PF2丨=×R×（丨PF1丨+丨PF2丨+丨F1F2丨），则a﹣c=﹣1．②由①②解得：a=，c=1，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆E的方程为．（2）由题意设直线l的方程：y=x+m，A（x1，y1）、B（x2，y2），则，整理得：3x2+4mx+2m2﹣2=0，由△=16m2﹣4×3（2m2﹣2）=﹣2m2+3＞0，解得﹣＜m＜，由韦达定理可知：x1+x2=﹣，x1x2=，则丨AB丨=•=•=，直线AB，CD之间的距离d==，由矩形ABCD的周长为，则2（丨AB丨+d）=，则2（+）=，解得：m=1，则直线AB的方程为y=x+1．21．设函数f（x）=e x+ax2（a∈R）．（1）若函数f（x）在R上单调，且y=f′（x）有零点，求a的值；（2）若对∀x∈[0，+∞），有≥1，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围结合函数的单调性以及函数的零点求出a的值即可；（2）通过讨论a的范围，根据函数的单调性求出函数的最值，从而确定满足条件的a的范围即可．【解答】解：（1）f′（x）=e x+2ax，记g（x）=e x+2ax，则g′（x）=e x+2a，①a=0时，f（x）=e x，显然不合题意；②a＞0时，g′（x）＞0，f′（x）在R递增，∵f′（0）=1＞0，f′（﹣）＜0，故y=f′（x）有唯一零点x1，显然x∈（﹣∞，x1）时，f′（x）＜0，x∈（x1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在R不单调，不合题意；③a＜0时，由g′（x）=0得x=ln（﹣2a），于是f′（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））递减，在（ln（﹣2a），+∞）递增，因此要满足条件，必须且只需f′[ln（﹣2a）]=0，即﹣2a+2aln（﹣2a）=0，解得：a=﹣；（2）a＜0时，若x＞﹣，则ax+1＜0，根据指数函数和幂函数的增长速度知：存在x0，当x＞x0时，必有e x＞﹣ax2，即e x+ax2＞0，因此x＞max{﹣，x0}，有＜0，显然不合题意，当a≥0时，记h（x）=e x+ax2﹣ax﹣1，则≥1当且仅当h（x）≥0，h′（x）=e x+2ax﹣a，显然h′（x）在[0，+∞）递增，①a≤1时，由h′（0）=1﹣a＜1，h′（1）=e+a＞0，得h′（x）=0在[0，+∞）上有且只有1个实数根，不妨设该实根为x1，当0＜x＜x1时，h′（x）＜0，从而h（x）在（0，x1）递减，故x∈（0，x1）时，h（x）＜h（0）=0，不合题意，综上，a的范围是[0，1]．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2﹣4ρcosθ+1=0，直线l：（t为参数，0≤α＜π）．（1）求曲线C的参数方程；（2）若直线l与曲线C相切，求直线l的倾斜角及切点坐标．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由曲线C的极坐标方程，求出曲线C的直角坐标方程，得到曲线C是以C（2，0）为圆心，以r=为半径的圆，由此能求出曲线C的参数方程．（2）直线l消去参数t，得直线l的直角坐标方程为：cosαx﹣sinαy﹣4cosα=0．由直线l与曲线C相切，知圆心C（2，0）到直线l的距离d等于圆半径r，由此能求出结果．【解答】解：（1）∵曲线C：ρ2﹣4ρcosθ+1=0，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x+1=0，即（x﹣2）2+y2=3，∴曲线C是以C（2，0）为圆心，以r=为半径的圆，∴曲线C的参数方程为．（2）∵直线l：（t为参数，0≤α＜π）．∴消去参数t，得直线l的直角坐标方程为：cosαx﹣sinαy﹣4co sα=0．∵直线l与曲线C相切，∴圆心C（2，0）到直线l的距离d等于圆半径r，即d==2cosα=，∴cos，∵0≤α＜π，∴直线l的倾斜角α=，∴直线l的方程为x﹣y﹣4=0，联立，得x=，y=﹣，∴切点坐标为（，﹣）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x|﹣|x﹣1|．（1）若关于x的不等式f（x）≥|m﹣1|的解集非空，求实数m的取值集合M．（2）记（1）中数集M中的最大值为k，正实数a，b满足a2+b2=k，证明：a+b ≥2ab．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）求出函数的解析式，然后求解函数的最大值，通过|m﹣1|≤1，求解m的范围，得到m的最大值M．（2）利用分析法，证明不等式成立的充分条件即可．【解答】解：（1）由已知可得f（x）=，所以f max（x）=1，…所以只需|m﹣1|≤1，解得﹣1≤m﹣1≤1，∴0≤m≤2，所以实数m的最大值M=2…（2）因为a＞0，b＞0，所以要证a+b≥2ab，只需证（a+b）2≥4a2b2，即证a2+b2+2ab≥4a2b2，所以只要证2+2ab≥4a2b2，…即证2（ab）2﹣ab﹣1≤0，即证（2ab+1）（ab﹣1）≤0，因为2ab+1＞0，所以只需证ab≤1，下证ab≤1，因为2=a2+b2≥2ab，所以ab≤1成立，所以a+b≥2ab…。

2017年江西省七校联考高考数学一模试卷（理科）一、选择题：1．（5分）计算：＝（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i2．（5分）若log a（3a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．a＜B．＜a＜C．a＞1D．＜a＜或a＞13．（5分）设α、β、γ是三个互不重合的平面，l是直线，给出下列命题①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l∥α，l⊄β，则l∥β．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．②④D．③④4．（5分）已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这正三棱柱的体积是（）A．18B．16C．12D．85．（5分）已知函数y＝f（x）图象如图，则y＝f（﹣x）sin x在区间[0，π]上大致图象是（）A．B．C．D．6．（5分）已知两个集合，，若A∩B≠∅，则实数λ的取值范围是（）A．[2，5]B．（﹣∞，5]C．D．7．（5分）a＞0，a≠1，函数f（x）＝log a|ax2﹣x|在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是（）A．或a＞1B．a＞1C．D．或a＞18．（5分）设函数y＝f（x）在x0处可导，f′（x0）＝a，若点（x0，0）即为y ＝f（x）的图象与x轴的交点，则[nf（x 0﹣）]等于（）A．+∞B．a C．﹣a D．以上都不对9．（5分）已知椭圆E的离心率为e，两焦点分别为F1，F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，点P为这两条曲线的一个交点，若e||＝||，则e的值为（）A．B．C．D．不能确定10．（5分）已知抛物线y2＝2px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P共有（）A．0个B．2个C．4个D．6个11．（5分）掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A+发生的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任意两名学生不能相邻，那么不同的排法共有（）A．36种B．72种C．108种D．120种二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上）13．（4分）在二项式（1+x）n的展开式中，存在着系数之比为5：7的相邻两项，则指数n（n∈N*）的最小值为．14．（4分）若函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则实数a 的取值范围是．15．（4分）已知抛物线y2＝4x的准线是圆x2+y2﹣2Px﹣16+P2＝0的一条切线，则圆的另一条垂直于x轴的切线方程是．16．（4分）下列命题中①A+B＝是sin A＝cos B成立的充分不必要条件．②的展开式中的常数项是第4项．③在数列{a n}中，a1＝2，S n是其前n项和且满足S n+1＝+2，则数列{a n}为等比数列．④设过函数f（x）＝x2﹣x（﹣1≤x≤1）图象上任意一点的切线的斜率为K，则K的取值范围是（﹣3，1）把你认为正确的命题的序号填在横线上．三、解答题（本大题共6小题，满分74分．第17-21题每题12分，第22题14分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知向量＝（sin B，1﹣cos B），且与向量＝（2，0）所成角为，其中A，B，C是△ABC的内角．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求sin A+sin C的取值范围．18．（12分）.有甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，最后据各队积分决出名次．规定每场比赛必须决出胜负，其中胜方积2分，负方积1分，已知球队甲与球队乙对阵，甲队取胜的概率为，与球队丙、丁对阵，甲队取胜的概率均为，且各场次胜负情况彼此没有影响．（1）甲队至少胜一场的概率；（2）求球队甲赛后积分ξ的概率分布和数学期望．19．（12分）设a∈R，函数f（x）＝（ax2+a+1），其中e是自然对数的底数．（1）判断f（x）在R上的单调性；（2）当﹣1＜a＜0时，求f（x）在[1，2]上的最小值．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面P AD是正三角形，且侧面P AD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）若AD＝AB，试求二面角A﹣PC﹣D的正切值；（4）当为何值时，PB⊥AC？21．（12分）设f（x）＝（a＞0）为奇函数，且|f（x）|min＝，数列{a n}与{b n}满足如下关系：a1＝2，，．（1）求f（x）的解析表达式；（2）证明：当n∈N+时，有b n≤．22．（14分）已知方向向量为的直线l过点A（）和椭圆的焦点，且椭圆C的中心O和椭圆的右准线上的点B 满足：，||＝||．（1）求椭圆C的方程；（2）设M、N是椭圆C上两个不同点，且M、N的纵坐标之和为1，记u为M、N的横坐标之积．问是否存在最小的常数m，使u≤m恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．2017年江西省七校联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：1．（5分）计算：＝（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i【解答】解：＝＝＝2，故选：A．2．（5分）若log a（3a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．a＜B．＜a＜C．a＞1D．＜a＜或a＞1【解答】解：∵log a（3a﹣1）＞0，∴log a（3a﹣1）＞log a1，当a＞1时，函数是一个增函数，不等式的解是a＞0，∴a＞1；当0＜a＜1时，函数是一个减函数，不等式的解是＜a＜，∴＜a＜综上可知a的取值是a＞1或＜a＜．故选：D．3．（5分）设α、β、γ是三个互不重合的平面，l是直线，给出下列命题①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l∥α，l⊄β，则l∥β．其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【解答】解：对于①，若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ或α，γ相交，故①不正确；对于②，若l上两个点A、B满足线段AB的中点在平面内，则A、B到α的距离相等，但l与α相交，故②不正确；对于③，若l⊥α，l∥β，则根据面面垂直的判定定理可知α⊥β，故③正确；对于④，若α∥β且l∥α，可得l∥β或l在β内，而条件中有l⊄β，所以必定l ∥β，故④正确．故选：D．4．（5分）已知一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，则这正三棱柱的体积是（）A．18B．16C．12D．8【解答】解：∵一个半径为的球中有一个各条棱长都相等的内接正三棱柱，设这正三棱柱棱长为2a，如图，则AB＝a，AO′＝a．OO′＝a，∴7＝a2+a2＝a2．整理，得a2＝3，∴a＝．∴棱长为2a＝2．∴这正三棱柱的体积：V＝＝18．故选：A．5．（5分）已知函数y＝f（x）图象如图，则y＝f（﹣x）sin x在区间[0，π]上大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵y＝f（x）图象如图，则y＝f（﹣x）的图象把f（x）的沿y轴对折，再向右平移的单位，当0＜x＜时，sin x＞0，f（﹣x）＞0，故y＞0，当＜x＜π时，sin x＞0，f（﹣x）＜0，故y＜0，故选：D．6．（5分）已知两个集合，，若A∩B≠∅，则实数λ的取值范围是（）A．[2，5]B．（﹣∞，5]C．D．【解答】解：A∩B≠∅，即是说方程组有解．由①得4﹣cos2β＝λ+sinβ，得出λ＝3+sin2β﹣sinβ＝（sinβ﹣）2+；∵sinβ∈[﹣1，1]，∴当sinβ＝时，λ的最小值为，当sinβ＝﹣1时，λ的最大值为5．故选：D．7．（5分）a＞0，a≠1，函数f（x）＝log a|ax2﹣x|在[3，4]上是增函数，则a的取值范围是（）A．或a＞1B．a＞1C．D．或a＞1【解答】解：∵a＞0，a≠1，令g（x）＝|ax2﹣x|作出其图象如下：∵函数f（x）＝在[3，4]上是增函数，若a＞1，则或，解得a＞1；若0＜a＜1，则，解得≤a≤；故选：A．8．（5分）设函数y＝f（x）在x0处可导，f′（x0）＝a，若点（x0，0）即为y ＝f（x）的图象与x轴的交点，则[nf（x 0﹣）]等于（）A．+∞B．a C．﹣a D．以上都不对【解答】解∵f（x o）＝0，∴nf（x o﹣）＝﹣，∵f（x）在x o处可导，﹣）＝﹣＝﹣＝∴nf（x﹣f′（x0）＝﹣a，故选：C．9．（5分）已知椭圆E的离心率为e，两焦点分别为F1，F2，抛物线C以F1为顶点，F2为焦点，点P为这两条曲线的一个交点，若e||＝||，则e的值为（）A．B．C．D．不能确定【解答】解：作PT垂直椭圆准线l于T，则由椭圆第二定义：丨PF1丨：丨PT 丨＝e又＝e，故丨PT丨＝丨PF2丨，由抛物线定义知l为抛物线准线故F1到l的距离等于F1到F2的距离，即（﹣c）﹣（﹣）＝c﹣（﹣c），整理得：a＝c，e＝＝，故选：C．10．（5分）已知抛物线y2＝2px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P共有（）A．0个B．2个C．4个D．6个【解答】解：如图所示，过焦点F作PF⊥x轴，交抛物线于点P，P′．则△OFP、△OFP′都是直角三角形．而＝＝2＞1，∴∠POF＞45°．∴∠POP′＞90°．∴△POP′不是直角三角形．综上可知：使得△POF是直角三角形的抛物线上的点P有且只有2个．故选：B．11．（5分）掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A+发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：掷一个骰子的试验，基本事件总数n＝6，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于4的点数出现”，则一次试验中，事件A+发生包含的基本事件有：1，2，3，4，共有4个元素，∴一次试验中，事件A+发生的概率为：p＝＝．故选：C．12．（5分）三个学校分别有1名、2名、3名学生获奖，这6名学生排成一排合影，要求同校的任意两名学生不能相邻，那么不同的排法共有（）A．36种B．72种C．108种D．120种【解答】解：设三个学校分别为A，B，C，对应的学生为1，2，3名，分两类：第一类是A、B两个学校的三个学生分别被C学校的三个学生分别隔开有2＝72种；第二类是A、B两个学校中其中一名学生相邻有＝48．根据分类计数计数原理得共有72+48＝120种．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填在题中横线上）13．（4分）在二项式（1+x）n的展开式中，存在着系数之比为5：7的相邻两项，则指数n（n∈N*）的最小值为11．【解答】解：二项式（1+x）n的展开式中，存在系数之比为5：7的相邻两项，∴＝，∴＝，∴k＝，当k＝5时，n min＝11，故答案为：1114．（4分）若函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则实数a 的取值范围是（0，1）∪（1，4]．【解答】解：函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，其真数在实数集上恒为正，即恒成立，即存在x∈R使得≤4，又a＞0且a≠1故可求的最小值，令其小于等于4∵∴4，解得a≤4，故实数a的取值范围是（0，1）∪（1，4]故应填（0，1）∪（1，4]15．（4分）已知抛物线y2＝4x的准线是圆x2+y2﹣2Px﹣16+P2＝0的一条切线，则圆的另一条垂直于x轴的切线方程是x＝﹣9或x＝7．【解答】解：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，而圆方程为（x﹣P）2+y2＝16，又（﹣1，0）在圆上，∴（P+1）2＝16，即P＝﹣5或P＝3，∴另一条切线方程为x＝﹣9或x＝7，故答案为：x＝﹣9或x＝7．16．（4分）下列命题中①A+B＝是sin A＝cos B成立的充分不必要条件．②的展开式中的常数项是第4项．③在数列{a n}中，a1＝2，S n是其前n项和且满足S n+1＝+2，则数列{a n}为等比数列．④设过函数f（x）＝x2﹣x（﹣1≤x≤1）图象上任意一点的切线的斜率为K，则K的取值范围是（﹣3，1）把你认为正确的命题的序号填在横线上①③．【解答】解：①A+B＝，可得A＝﹣B，∴sin A＝cos B，反之sin A＝cos B，A+B＝+2kπ（k∈Z），∴A+B＝是sin A＝cos B成立的充分不必要条件，正确．②的展开式，通项为，令r﹣3＝0，可得r＝2，常数项是第3项，不正确．③在数列{a n}中，a1＝2，S n是其前n项和且满足S n+1＝+2，可得S n＝S n﹣+2，两式相减可得a n+1＝a n，故数列{a n}为等比数列，正确；1④f（x）＝x2﹣x（﹣1≤x≤1），则f′（x）＝2x﹣1∈[﹣3，1]，K的取值范围是[﹣3，1]，不正确．故答案为①③．三、解答题（本大题共6小题，满分74分．第17-21题每题12分，第22题14分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知向量＝（sin B，1﹣cos B），且与向量＝（2，0）所成角为，其中A，B，C是△ABC的内角．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求sin A+sin C的取值范围．【解答】解：（I）∵＝（sin B，1﹣cos B），且与向量＝（2，0）所成角为，∴＝tan＝，∴tan＝，又0＜B＜π，∴0＜＜，∴＝，即B＝，A+C＝；…（6分）（II）由（1）可得sin A+sin C＝sin A+sin（﹣A）＝sin A+cos A﹣sin A＝sin A+cos A＝sin（A+），∵0＜A＜，∴＜A+＜，∴sin（A+）∈（，1]，则sin A+sin C∈（，1]，当且仅当A＝C＝时，sin A+sin C＝1．…（13分）18．（12分）.有甲、乙、丙、丁四支球队进行单循环比赛，最后据各队积分决出名次．规定每场比赛必须决出胜负，其中胜方积2分，负方积1分，已知球队甲与球队乙对阵，甲队取胜的概率为，与球队丙、丁对阵，甲队取胜的概率均为，且各场次胜负情况彼此没有影响．（1）甲队至少胜一场的概率；（2）求球队甲赛后积分ξ的概率分布和数学期望．【解答】解：（1）∵球队甲与球队乙对阵，甲队取胜的概率为，与球队丙、丁对阵，甲队取胜的概率均为，且各场次胜负情况彼此没有影响．甲队至少胜一场的对立事件是甲三场比赛全负，∴甲队至少胜一场的概率p＝1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝．（2）由题意知球队甲赛后积分ξ的可能取值为3，4，5，6，P（ξ＝3）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，P（ξ＝4）＝（1﹣）（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×＝，P（ξ＝5）＝××（1﹣）+（1﹣）××+×（1﹣）×＝，P（ξ＝6）＝××，∴ξ的分布列为：．19．（12分）设a∈R，函数f（x）＝（ax2+a+1），其中e是自然对数的底数．（1）判断f（x）在R上的单调性；（2）当﹣1＜a＜0时，求f（x）在[1，2]上的最小值．【解答】解：（1）由已知f′（x）＝﹣e﹣x（ax2+a+1）+e﹣x•2ax＝e﹣x（﹣ax2+2ax﹣a﹣1）．因为e﹣x＞0，以下讨论函数g（x）＝﹣ax2+2ax﹣a﹣1值的情况：当a＝0时，g（x）＝﹣1＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在R上是减函数．当a＞0时，g（x）＝0的判别式△＝4a2﹣4（a2+a）＝﹣4a＜0，所以g（x）＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在R上是减函数．当a＜0时，g（x）＝0有两个根x1＝，并且＜，，2所以在区间（﹣∞，）上，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数；在区间（，）上，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）在此区间上是减函数．在区间（，+∞）上，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数．综上，当a≥0时，f（x）在R上是减函数；当a＜0时，f（x）在（﹣∞，）上单调递增，在（，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（2）当﹣1＜a＜0时，＝1+＜1，＝1+＞2，所以在区间[1，2]上，函数f（x）单调递减．所以函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（2）＝．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，侧面P AD是正三角形，且侧面P AD⊥底面ABCD，E为侧棱PD的中点．（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求证：AE⊥平面PCD；（3）若AD＝AB，试求二面角A﹣PC﹣D的正切值；（4）当为何值时，PB⊥AC？【解答】解：（1）证明：连DB，设DB∩AC＝O，则在矩形ABCD中，O为BD中点．连EO．因为E为DP中点，所以，OE∥BP．又因为OE⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，所以，PB∥平面EAC．（2）正三角形P AD中，E为PD的中点，所以，AE⊥PD，又面PDC∩面P AD＝PD，所以，AE⊥平面PCD．（3）在PC上取点M使得．由于正三角形P AD及矩形ABCD，且AD＝AB，所以PD＝AD＝AB＝DC 所以，在等腰直角三角形DPC中，EM⊥PC，连接AM，因为AE⊥平面PCD，所以，AM⊥PC．所以，∠AME为二面角A﹣PC﹣D的平面角．在Rt△AEM中，．即二面角A﹣PC﹣D的正切值为．（4）设N为AD中点，连接PN，则PN⊥AD．又面P AD⊥底面ABCD，所以，PN⊥底面ABCD．所以，NB为PB在面ABCD上的射影．要使PB⊥AC，需且只需NB⊥AC在矩形ABCD中，设AD＝1，AB＝x则，解之得：．所以，当＝时，PB⊥AC．21．（12分）设f （x ）＝（a ＞0）为奇函数，且|f （x ）|min ＝，数列{a n }与{b n }满足如下关系：a 1＝2，，．（1）求f （x ）的解析表达式； （2）证明：当n ∈N +时，有b n ≤．【解答】解：由f （x ）是奇函数，得b ＝c ＝0，由|f （x ）min |＝，由基本不等式可得2＝2得a ＝2，故f （x ）＝（2）＝，＝＝b n 2∴b n ＝b n ﹣12＝b n ﹣24═，而b 1＝∴b n ＝当n ＝1时，b 1＝，命题成立，当n ≥2时∵2n ﹣1＝（1+1）n ﹣1＝1+C n ﹣11+C n ﹣12++C n ﹣1n ﹣1≥1+C n ﹣11＝n ∴＜，即b n ≤．22．（14分）已知方向向量为的直线l 过点A （）和椭圆的焦点，且椭圆C 的中心O 和椭圆的右准线上的点B满足：，||＝||．（1）求椭圆C的方程；（2）设M、N是椭圆C上两个不同点，且M、N的纵坐标之和为1，记u为M、N的横坐标之积．问是否存在最小的常数m，使u≤m恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）解法一：由点B满足：，||＝||．可得O点和B点关于直线l对称．直线l：y＝x﹣2①过原点垂直l的直线方程为②解①②得，∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴．∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．∴c＝2，a2＝6，b2＝2．故椭圆C的方程为．解法二：直线l：y＝x﹣2，设原点关于直线l对称点为（p，q），则解得p＝3．∵椭圆中心（0，0）关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，∴．∵直线l过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）．∴c＝2，a2＝6，b2＝2．故椭圆C的方程为．（2）若直线MN平行于y轴，则y1+y2＝0，不合题意．若直线MN不平行于y轴，设过M、N两点的直线方程为y＝kx+b，由得（2+6k2）x2+12kbx+6b2﹣12＝0，△＝144k2b2﹣4（2+6k2）（6b2﹣12）＞0，即（2+6k2）﹣b2＞0①设M（x1，y1），N（x2，y2），则，∴，由已知，代入①得：4b﹣b2＞0，即0＜b＜4，，∵，∴u在（0，4）上是增函数，∴，故不存在最小的常数m，使u≤m成立．。

数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数212ii+-的共轭复数为( ) A ．35i -B ．35iC ．i -D ．i2．“p q ∨是假命题”是“p ⌝为真命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．给定函数①12y x =②()12log 1y x =+③1y x =-④12x y +=，其中在区间()0,1上单调递减的函数序号是( ) A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④4．,a b 是两个向量，1,2==a b 且()+⊥a b a ，则a 与b 的夹角为( )A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒5．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是( )A ．22cmB 3C ．3D ．33cm6．等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且123410,26a a a a +=+=，则过点(),n P n a 和()()*21,n Q n a n N ++∈的直线的一个方向向向量是( )A ．1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()1,2--C ．12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是( )A ．B ．0C ．D ．8．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有( ) A ．35种B ．24种C ．18种D ．9种9．设函数()()()sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则( )A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 10．把周长为1的圆的圆心C 放在y 轴，顶点()0,1A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长 AM x =，直线AM 与x 轴交于点(),0N t ，则函数()t f x =的大致图像为( )A． B ． C．D．11．设,x y 满足约束条件23023400x y x y y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≥⎩，若目标函数z ax by =+（其中0,0a b >>）的最大值为3，则12a b+的最小值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．412．点(),0F c 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，点P 为双曲线左支上一点，线段PF 与圆22239c b x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切于点Q ，且2PQ QF = ，则双曲线的( )A．BC．D ．2二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =，若()10f x ->，则x 的取值集合是______．14．已知60,a x⎫>-⎪⎭展开式的常数项为15，则(2a ax x dx -+=⎰______． 15．把半径为2的圆分成相等的四弧，再将四弧围成星形放在半径为2的圆内，现在往该圆内任投一点，此点落在星形内的概率为______．16．已知函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．）17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边，且满足22cos22sin 2sin sin 1A B C B C ++-=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若4b c ==，求ABC ∆的外接圆的面积．18．（本小题满分12分）下图为某校语言类专业N 名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知8090 分数段的学员数为21人．（Ⅰ）求该专业毕业总人数N 和9095 分数段内的人数n ；（Ⅱ）现欲将9095 分数段内的6名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校，若向学校甲分配两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率为35，求n 名毕业生中男、女各几人（男、女人数均至少两人）．（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，设随机变量ξ表示n 名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数，求ξ的分布列和数学期望()Eξ．19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，且AC BD =，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（Ⅰ）证明：PB平面AEC ；（Ⅱ）在PAD ∆中，2,4AP AD PD ===，三棱锥E ACD -D AE C --的大小．20．（本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>右焦点为()2,0F ，M 为椭圆的上顶点，O 为坐标原点，且MOF ∆是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M 分别作直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，设两直线的斜率分别为12,k k ，且128k k +=，证明：直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．21．（本小题满分12分） 设函数()()()ln 1,2ab x f x g x x a b x ==-++（其中e 为自然对数的底数，,a b R ∈且0a ≠），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()1y ae x =-．（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）若对任意1,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()f x 与()g x 有且只有两个交点，求a 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时请写清题号．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，一直曲线()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>，过点()2,4P --的直线l的参数方程为2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），l 与C 分别交于,M N ．（Ⅰ）写出C 的平面直角坐标系方程和l 的普通方程； （Ⅱ）若,,PM MN PN 成等比数列，求a 的值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()()40f x x x m m m=-++>． （Ⅰ）证明：()4f x ≥；（Ⅱ）若()25f >，求m 的取值范围．江西省新余一中、宜春一中2017届高三7月联考数学（理）试题参考答案1-5．CABCB 6-10．DBCAD 11-12．CC 13．()1,3- 14．232π+ 15．41π- 16．10,2⎛⎫⎪⎝⎭17．解：（Ⅰ）∵22cos22sin 2sin sin 1A B C B C ++-=，∴222sinsin sin sin B C A B C +-=由正弦定理得222bc a +-=由余弦定理得222cos 22b c a A bc +-==， 又∵0A π<<，∴6A π=………………………………………………………………………………………6分（Ⅱ）∵2222cos 316247a b c bc A =+-=+-=，∴a =由正弦定理得2sin 2a R A===18．解：（Ⅰ）8090 分数段的毕业生的频率为()10.040.0350.35P =+⨯=，此分数段的学员总数为21人，所以毕业生的总人数21600.35N == ()210.010.040.050.040.030.0150.1P =-+++++⨯=，所以9095 分数段内的人数600.16n =⨯=．………………………………………………………………4分（Ⅱ）9095 分数段内共6名毕业生，设其中男生x 名，则女生6x -名．设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件A ，则()2626315xC P A C -=-=，解得2x =或9（舍去）， 即6名毕业生中有男生2人，女生4人．………………………………………………………………………8分 （Ⅲ）ξ表示n 名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数， 所以ξ的取值可以为：0,1,2．当0ξ=时，()3436105C P C ξ===；当1ξ=时，()122436315C C P C ξ===； 当2ξ=时，()212436125C C P C ξ===． 所以ξ的分布列为ξ0 1 2()P k ξ=15 35 15所以随机变量ξ的数学期望为()1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=．…………………………………………12分19．解：（Ⅰ）连结BD 交AC 于点O ，连结EO ． 因为ABCD 是平行四边形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO PB ．EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB 平面AEC ．……………………………………………5分（Ⅱ）因为在PAD ∆中，2,4AP AD PD ===，所以222AP AD PD +=，所以90PAD ∠=︒，∴PA AD ⊥． 又因为平面PAD ⊥平面ABC ，所以PA ⊥平面ABC ，在平行四边形ABCD 中，AC BD =，所以ABCD 为矩形，所以,,AB AD AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB的方向为x 轴的正方向，AP 为单位长，建立空间直角坐标系A xyz -，因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E ACD -的高为12， 设()0AB mm =>，三棱锥E ACD -的体积11132V m =⨯⨯⨯=3m AB ==．则()()()()0,0,0,,,A D E AE =，设()3,0,0B，则()()3,,3,C AC =．设()1,,x y z =n 为平面ACE 的法向量， 则110,0AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即111130,0,x z ⎧+=⎪+=可取1=-⎝n 又()21,0,0=n 为平面DAE 的法向量，由题设1212121cos ,2⋅===n n n n n n ， 即二面角D AE C --的大小是60︒．…………………………………………………………………………12分20．解：（Ⅰ）由MOF ∆是等腰直角三角形，得2224,8c b a ===，故椭圆方程为22184x y +=．……………………………………………………………………………………4分（Ⅱ）（1）若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y kx m =+，依题意2m ≠±． 设()()1122,,,Ax y B x y ，由22184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222124280k x kmx m +++-=． 则2121222428,1212km m x x x x k k -+=-=++．由已知128k k +=，可得1212228y y x x --+=， 所以1212228kx m kx m x x +-+-+=．所以42mk k m -=+，整理得122m k =-． 故直线AB 的方程为122y kx k =+-，即122y k x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 所以直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭． （2）若直线AB 的斜率不存在，设AB 方程为0x x =， 设()()0000,,,Ax y B x y -，由已知0000228y y x x ---+=，得012x =-，此时AB 方程为12x =-，显然过点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 综上，直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．…………………………………………………………………………12分 21．解：（Ⅰ）由()ln ab xf x x=，得()()21ln ab x f x x -'=，……………………………………………1分由题意得()1f ab ae '==，……………………………………………………………………………………2分∵0a ≠，∴b e =；……………………………………………………………………………………………3分（Ⅱ）令()()()()()21ln 2h x x f x g x x a e x ae x =-=-++，则任意1,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()f x 与()g x 有且只有两个交点，等价于函数()h x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭有且只有两个零点，由()()21ln 2h x x a e x ae x =-++，得()()()x a x e h x x--'=，………………………………………………………………………………………5分 ①当1a e ≤时，由()0h x '>得x e >，由()0h x '<得1x e e <<， 此时()h x 在1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在(),e +∞上单调递增， ∵()()2211ln 022h e e a e e ae e e =-++=-<， ()()()()()242221112ln 2220222h e e a e e ae e e e e a e e e e ⎛⎫=-++=---≥--> ⎪⎝⎭，（或当x →+∞时，()0h x >亦可），∴要使得()h x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上有且只有两个零点，则只需()()22221221111ln 022e e e a a e h ae e ee e e --++⎛⎫=-+=≥ ⎪⎝⎭，即()221221e a e e -≤+，……………………7分 ②当1a e e <<时，由()0h x '>得1x a e<<或x e >，由()0h x '<得a x e <<，此时()h x 在(),a e 上单调递减，在1,a e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(),e +∞上单调递增． 此时()222111ln ln 0222h a a ae ae a a ae ae e a =---<--+=-<， ∴此时()h x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭至多只有一个零点，不合题意，……………………………………………………9分③当a e >时，由()0h x '>得1x e e <<或x a >，由()0h x '<得e x a <<，此时()h x 在1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(),a +∞上单调递增，在(),e a 上单调递减，且()2102h e e =-<， ∴()h x 在1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭至多只有一个零点，不合题意，………………………………………………………11分综上所述，a 的取值范围为()2212,21e e e ⎛⎤- ⎥-∞ +⎥⎝⎦．……………………………………………………………12分 22．解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为()220y ax a =>；直线l 的普通方程为20x y --=．……………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得(()()224840t a a -+++=*()840a a ∆=+>．设点,M N 分别对应参数12,t t ，恰为上述方程的根． 则1212,,PM t PN t MN t t ===-．由题设得()21212t t t t -=，即()21212124t t t t t t +-=．由（*）得(()121224840t t a t t a +=+=+>，则有()()24540a a +-+=，得1a =，或4a =-．因为0a >，所以1a =．………………………………………………………………………………………10分23．解：（Ⅰ）由0m >，有()4444f x x x m x x m m m m m ⎛⎫=-++≥--++=+≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当4m m=，即2m =时取“=”．所以()4f x ≥．…………………………………………………4分（Ⅱ）()4222f m m=-++．当42m <，即2m >时，()424f m m =-+，由()25f >，得m > 当42m ≥，即02m <≤时，()42f m m=+，由()25f >，得01m <<． 综上，m 的取值范围是()0,1⎫+∞⎪⎪⎝⎭．…………………………………………………………10分。

数学试卷（理科）第I 卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.)1.若集合{}{}2|6,|11180M x N x N x x x =∈<=-+<，则M N 等于（ ）．A ．{}3,4,5B ．{}|26x x <<C ．{}|35x x ≤≤D ．{}2,3,4,52. ,,A B C 三个学生参加了一次考试，,A B 的得分均为70分，C 的得分为65分．已知命题:p 若及格分低于70分，则,,A B C 都没有及格．在下列四个命题中，为p 的逆否命题的是（ ）． A ．若及格分不低于70分，则,,A B C 都及格 B ．若,,A B C 都及格，则及格分不低于70分 C ．若,,A B C 至少有一人及格，则及格分不低于70分 D ．若,,A B C 至少有一人及格，则及格分高于70分 3.设()()12,x xf xg x tdt x R ++=∈⎰，若函数()f x 为奇函数，则()g x 的解析式可以为（ ）.A ．3x B ．1x + C ．cos x D ．xxe4.在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2c o s c o s ,2b A a B c a b +===，则ABC∆的周长为（ ）.A ．7.5B ．7C ．6D ．55.在正项等差数列{}n a 中，21592a a a =-，且56718a a a ++=，则（ ）.A ．123,,a a a 成等比数列B ．469,,a a a 成等比数列C ．348,,a a a 成等比数列D ．236,,a a a 成等比数列 6.若1sin 63x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）．A ．79 B ．79± C ．7 D ．7±7. 在Rt AOB ∆中，0,OA OB OA OB AB ===边上的高线为OD ，点E 位于线段OD 上，若34OE EA = ，则向量EA在向量OD 上的投影为（ ）．A ．32B ．1C ．1或12D ．12或328.已知函数()f x 与()f x '的图像如下图所示，则函数()()xf xg x e =的递减区间为（ ）．A ．()0,4B ．()4,1,,43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ． 40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()()0,1,4,+∞9.将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向左平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的图像．若()()129g x g x =，且[]12,2,2x x ππ∈-，则122x x -的最大值为（ ）． A ．4912π B ．356π C ．256π D ．174π10.若数列{}n a 满足()()()()1123252325lg 1n n n a n a n n n +⎛⎫+-+=+++⎪⎝⎭，且15a =，则数列23n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的第100项为（ ）． A ．2 B ．3 C ．1lg99+ D ．2lg99+ 11. 已知函数()()225,4xf xg x x x =-=-，给出下列3个命题：1:p 若x R ∈，则()()f x f x -的最大值为16．2:p 不等式()()f x g x <的解集为集合{}|13x x -<<的真子集． 3:p 当0a >时，若[]()()1212,,2,x x a a f x g x ∀∈+≥恒成立，则3a ≥．那么，这3个命题中所有的真命题是（ ）． A ．123p p p 、、 B ．23p p 、 C ．12p p 、 D ．1p12.已知函数()2,01,0x x a x f x x x ⎧++<⎪=⎨->⎪⎩，的图像上存在不同的两点,A B ，使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．()2,+∞ C ．12,4⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．()1,2,4⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡中的横线上） 13. 0sin 63cos18cos63cos108+=_____________．14.设函数()()621log ,4,4x x f x f x x +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，则()()34f f += _____________． 15. 在ABC ∆中，D 为线段BC 上一点（不能与端点重合），,3,13ACB AB AC BD π∠====，则AD =_____________．16. 在数列{}n a 及{}n b中，11111,1n n n n n n a a b b a b a b ++=+=+==．设112n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前n 项和为_____________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知0m ≠，向量(),3a m m =，向量()1,6b m =+，集合()(){}2|20A x x m x m =-+-=.（1）判断“//a b”是“a =（2）设命题:p 若a b ⊥，则19m =-.命题:q 若集合A 的子集个数为2，则1m =.判断p q ∨，p q ∧，q ⌝的真假，并说明理由.18.（本小题满分12分）已知ABC ∆的面积为2AB AC，且2,3AC AB ==.（1）求sin sin AB； （2）若点D 为AB 边上一点，且ACD ∆与ABC ∆的面积之比为1:3. ①求证：AB CD ⊥； ②求ACD ∆内切圆的半径r . 19.（本小题满分12分）食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a （单位：万元）满足1801204P Q a =+=+.设甲大棚的投入为x （单位：万元），每年两个大棚的总收益为()f x （单位：万元） （1）求()50f 的值；（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益()f x 最大？ 20.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和21n n S n a =+-，且14,a a 是等比数列{}n b 的前两项，记n b 与1n b +之间包含的数列{}n a 的项数为n c ，如1b 与2b 之间包含{}n a 中的项为23,a a ，则12c =. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a c 的前n 项和. 21.（本小题满分12分）已知函数()()xf x x a e =+，其中a R ∈.（1）若曲线()y f x =在点()0,A a 处的切线l 与直线22y a x =-平行，求l 的方程；（2）若[]1,2a ∀∈，函数()f x 在(),2a b e -上为增函数，求证：232ae b e -≤<+.22.（本小题满分12分）记{}max ,m n 表示,m n 中的最大值，如{max =已知函数(){}()22221max 1,2lnx ,max ln ,242f x x g x x x x a x a a ⎧⎫⎛⎫=-=+-+-++⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭.（1）设()()()21312h x f x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，求函数()h x 在(]0,1上零点的个数； （2）试探讨是否存在实数()2,a ∈-+∞，使得()342g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，说明理由.参考答案一、选择题二、填空题224n +- 三、解答题（2）若a b ⊥，则()1180m m m ++=，∴19m =-（0m =舍去），∴p 为真命题，．．．．．5分由()()220x mx m -+-=得2x m=，或2x m =-，若集合A 的子集个数为2，则集合A 中只有1个元素，则22m m =-，∴1m =或-2，故q 为假命题，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∴p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，q ⌝为真命题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分18.解：（1）∵ABC ∆的面积为1sin cos 22bc A A =，∴tan A =3A π=．．．．．3分由余弦定理得2222cos 4967a b c bc A =+-=+-=，∴a =．．．．．．．．．．．．．5分∴由余弦定理得sin sin A a B b ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）①∵ACD ∆与ABC ∆的面积之比为:1:3AD AB =，∴1AD =，．．．．．．．．．．．．．．．8分由余弦定理得CD ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分∴222AD CD AC +=，∴AD CD ⊥即AB CD ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分②（法一）在Rt ADC ∆中，122AD CD AC r +-==．．．．．．．．．．．．．．．12分（法二）设ACD ∆的周长为C ，由11122C r =⨯ r =．．．．．．．．．．．．12分 19.解：（1）因为甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分所以()15080150120277.54f =+⨯+=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）()()118020012025044f x x x =+-+=-+，依题意得202018020020x x x ≥⎧⇒≤≤⎨-≥⎩，故()()1250201804f x x x =-+≤≤．．．．．．8分令t ⎡=⎣，则()(221125028244f x t t =-++=--+，当t =128x =时，()max 282f x =，所以投入甲大棚128万元，乙大棚72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元．．．．．．．．．．．12分20.解：（1）由题意知，()()22111,112n n n n S n a S n a n --=+-=-+-≥，两式作差得121n n n a n a a -=-+-，即()1212n a n n -=-≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 所以21n a n =+，则143,9a a ==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 所以21213,9,3b b b q b ====，所以113n n n b b q -=⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）113,3n n n n b b ++==，因为数列{}n a 是由连续的奇数组成的数列，而n b 和1n b +都是奇数，所以n b 与1n b +之间包含的奇数个数为1331312n nn +--=-，所以31n n c =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 ()()()()213121321n n n n a c n n n =+-=+-+．设(){}213n n +的前n 项和为n T ，()123353213n n T n =⨯+⨯+++ ，① ()23133353213n n T n +=⨯+⨯+++ ，②①---②，得()111932922132313n n n n T n n +++--=+-+=-- ，则13n n T n += ，．．．．．．．．．11分 所以数列{}n n a c 的前n 项和为1232n n n T S n n n +-=-- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21.解：（1）∵()0122f a a '=+=-，∴3a =或13．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 当3a =时，()()()3,03xf x x e f =+=，∴l 的方程为：43y x =+．．．．．．．．．．．．4分当13a =时，()()11,033x f x x e f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴l 的方程为：4133y x =+．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由题可得()()10xf x x a e '=++≥对(),2a x b e ∈-恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∵0xe >，∴10x a ++≥，即1x a ≥--对(),2a x b e ∈-恒成立，∴1aa b e --≤-，即1ab e a ≥--对[]1,2a ∈恒成立，设()[]1,1,2ag a e a a =--∈，则()10a g a e '=->，∴()g a 在[]1,2上递增，∴()()2max 23g a g e ==-，∴23b e ≥-．又2a b e -<，∴232ae b e -≤<+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22.解：（1）设()()()()2211212ln ,2x x F x x x F x x x x-+'=--=-=，．．．．．．．．．．．．．1分令()0F x '>，得()1,x F x >递增；令()0F x '<，得()01,x F x <<递减，．．．．．．．．．．．．．．．．．2分∴()()min 10F x F ==，∴()0F x ≥，即212ln x x -≥，∴()21f x x =-．．．．．．．．．．．．．3分设()()21312G x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，结合()f x 与()G x 在(]0,1上图象可知，这两个函数的图象在(]0,1上有两个交点，即()h x 在(]0,1上零点的个数为2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （或由方程()()f x G x =在(]0,1上有两根可得） （2）假设存在实数()2,a ∈-+∞，使得()342g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立， 则2223ln 421324422x x x a x a x a a x a⎧+<+⎪⎪⎨⎛⎫⎪-+-++<+ ⎪⎪⎝⎭⎩，对()2,x a ∈++∞恒成立，即()()21ln 4220x x a x x a ⎧-<⎪⎨⎪+->⎩，对()2,x a ∈++∞恒成立 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分①设()()1112ln ,222x H x x x H x x x-'=-=-=， 令()0H x '>，得()02,x H x <<递增；令()0H x '<，得()2,x H x >递减， ∴()()max 2ln21H x h ==-，当022a <+<即20a -<<时，4ln 21a >-，∴ln 214a ->，∵0a <，∴4ln 21,04a -⎛⎫∈⎪⎝⎭．故当ln 21,04a -⎛⎫∈⎪⎝⎭时，1ln 42x x a -<对()2,x a ∈++∞恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分当22a +≥即0a ≥时，()H x 在()2,a ++∞上递减，∴()()()12ln 212H x H a a a <+=+--．∵()111ln 210222a a a '⎛⎫+--=-≤ ⎪+⎝⎭，∴()()20ln 210H a H +≤=-<， 故当0a ≥时，1ln 42x x a -<对()2,x a ∈++∞恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分②若()()220x x a +->对()2,x a ∈++∞恒成立，则22a a +≥，∴[]1,2a ∈-．．．．．．．．．．．11分 由①及②得，ln 21,24a -⎛⎤∈⎥⎝⎦． 故存在实数()2,a ∈-+∞，使得()342g x x a <+对()2,x a ∈++∞恒成立， 且a 的取值范围为ln 21,24-⎛⎤⎥⎝⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。

九江市2017届高三十校第一次联考理科数学试卷试卷说明：考试时间：120分 满分：150分第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．︒570sin 的值是（ ）A ．21-B ．21C ．32D ．23-2.已知集合2{|160}A x x =-<，{5,0,1}B =-，则（ ）A .AB =∅I B ．B A ⊆C ．{0,1}A B =ID ．A B ⊆ 3. 若)1(,2)]([,21)(-+=-=g x x f g x x f x 则的值为( ).21.-A 6.B 1.C 3.D 4.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定．．是( ) A ．所有不能被2整除的整数都是偶数 B ．所有能被2整除的整数都不是偶数 C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数5．函数21()ln 2f x x x =-的单调减区间（ ） A ．(]1,1- B ．(]0,1 C ．()1,+∞ D ．()0,+∞6.在ABC ∆中，已知B A C C A sin 232cos sin 2cossin 22=+，（其中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ），则 （ ）A .a ，b ，c 依次成等差数列B .b ，a ，c 依次成等差数列C .a ，c ，b 依次成等差数列D .a ，b ，c 依次既成等差数列，也成等比数列7．已知函数3()sin(2)f x x π=+，若存在(0,)a π∈，使得(2)()f x a f x +=恒成立，则a 的值是（ ）A . 6πB .4π C .3π D .2π 8．已知数列{}n a ，若点(,)(n n a n ∈*N )在经过点)6,10(的定直线l 上，则数列{}n a 的前19 项和=19S （ ）A . 110B .114C . 119D .1209． 在△ABC 中，“A >B ”是“B A 2cos 2cos <”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10.已知点)0,1(A ，点B 在圆O ：122=+y x 上运动，若点C 满足OB OA OC +=2,则点C 的轨迹是（ ）A ．直线B ．圆C ．抛物线D ．椭圆11.一个平面图形由红、黄两种颜色填涂，开始时，红色区域的面积为32，黄色区域的面积为12．现对图形的颜色格局进行改变，每次改变都把原有红色区域的13改涂成黄色，原有黄色区域的13改涂成红色，其他不变。

第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1。

已知集合{}{}2|1,|A x x B x x a =≤=<，若AB B =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 【答案】C 【解析】考点:集合的运算.2. 函数()229x y -= ）A ．()1,3-B ．(]1,3-C ．()()1,00,3-D ．()(]1,00,3-【答案】D 【解析】试题分析：由2901011x x x ⎧-≥⎪+>⎨⎪+≠⎩得10x -<<或03x <≤,所以函数的定义域为()(]1,00,3-，故选D.考点：函数的定义域. 3。

下列命题中：①“2000,10x R x x ∃∈-+≤”的否定；②“若260x x +-≥，则2x >”的否命题； ③命题“若2560x x -+=，则2x ="的逆否命题； 其中真命题的个数是（ )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】C 【解析】考点：逻辑联结词与命题. 4。

幂函数()()226844m m f x m m x-+=-+在()0,+∞为增函数，则m 的值为（ ）A ．1或3B ．1C ．3D ．2 【答案】B 【解析】试题分析:因为函数()()226844m m f x m m x-+=-+是幂函数，所以2441m m -+=，即1m =或3m =，当1m =时,函数3()f x x =在()0,+∞为增函数,符合题意；当3m =时，函数1()f x x -=在()0,+∞为减函数，不符合题意,故选B 。

考点：幂函数的定义与性质.5。

已知函数()21xf x =-+,定义函数()()(),0,0f x x F x f x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩，则()F x 是（ )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数 【答案】A 【解析】试题分析：()21,02121,0x xx x f x x -⎧-+≥⎪=-+=⎨-+<⎪⎩,所以()()(),021,0,021,0xx f x x x F x f x x x -⎧>⎧-+≥⎪⎪==⎨⎨-<-<⎪⎪⎩⎩，所以当0x <时，()0,21(21)()xx x F x F x --->-=-+=--=-，所以当0x >时，()0,21(21)()x x x F x F x -<-=-=--+=-，所以函数()F x 是奇函数，故选A.考点：1。