和差问题

和差问题的四种解法一、问题描述和差问题就是已知两数的和与差，求这两个数。

作为常见的奥数类型题，许多同学张口就能说出和差问题的公式：（和+差）÷2=大数，（和-差）÷2=小数但是公式到底是怎么来的？万一忘了公式怎么办？还有其它解法吗？二、公式由来和差问题可以通过画图或是列关系式的方法来得出。

例1、八戒和沙僧一共吃了253个馒头，八戒比沙僧多吃了67个，八戒和沙僧各吃了几个馒头？方法一：画图法从线段图可以看出，直接求八戒或沙僧吃了几个馒头是有困难的，但是如果先求2个八戒或2个沙僧吃了几个馒头就比较简单了！①先求2个八戒吃了几个馒头给沙僧加上67个馒头，就和八戒一样多了，这时馒头总数变成了253+67=320（个）然后再除以2，就得出了八戒吃了几个馒头八戒：320÷2=160（个）沙僧：253-160=93（个）或160-67=93（个）验算一下和：160+93=253（个），差：160-93=67（个）答案正确。

②先求2个沙僧吃了几个馒头给八戒减去67个馒头，就和沙僧一样多了，这时馒头总数变成了253-67=186（个）然后再除以2，就得出了沙僧吃了几个馒头沙僧：186÷2=93（个）八戒：253-93=160（个）或93+67=160（个）方法二：关系式法八戒+沙僧=253八戒-沙僧=67两式相加，就可以得到2个八戒吃了几个馒头；两式相减，就可以得到2个沙僧吃了几个馒头。

列式和上面是一样的。

三、其它解法方法三：方程解法如果不知道公式，又不会画图或列关系式求解，还可以用方程来解。

需要注意的是“设”和“列”要用不同的关系式，用“和”设，用“差”列；或用“差”设，用“和”列。

①用“和”设，用“差”列解：设八戒吃了x个馒头，则沙僧吃了253-x个馒头。

x-（253-x）=672x-253=67x=160253-x=93答：八戒吃了160个馒头，沙僧吃了93个馒头。

②用“差”设，用“和”列解：设八戒吃了x个馒头，则沙僧吃了x-67个馒头。

和差问题（一）方法：（和-差）÷2=小数（和+差）÷2=大数班级________________姓名____________得分____________ 1、三年级一班共有学生49人，其中男生比女生多3人，求男、女生各有多少人？2、小明和父亲今年的年龄和是63岁，小明比父亲小33岁。

今年小明和父亲各多少岁？3、图书馆的书架上、下层共存书230本，如果从下层拿15本放入上层，两层书架上的书就同样多。

求上、下层原来各存书多少本？4、甲、乙两班学生的平均人数是45人，只知道甲班比乙班多2人。

甲、乙两班各有学生多少人？5、甲、乙两校共有学生432人，为了照顾学生就近入学，经协商，由甲校转入乙校16人，这样甲校比乙校还多24人。

两校原来各有学生多少人？6、建筑工地运来石子、水泥、细沙三种建筑材料共290吨，运来的石子比水泥多50吨，运来的水泥比细沙多30吨。

工地上运来石子、水泥、细沙各多少吨？7、甲、乙两人同时打字，2小时共打7800字，已知甲每小时比乙多打50个。

甲、乙两人每小时各打字多少个？8、甲、乙两桶油共重62千克，如果从乙桶倒出12千克油，甲桶油就比乙桶多10千克。

甲、乙两桶原来各有油多少千克？和差问题（三）班级________________姓名____________得分____________ 1、学校有排球、篮球共50个，排球比篮球多4个。

排球和篮球各有多少个？2、张华和李明共有图书80册，如果张华送给李明15册图书，两人图书册数就相等。

张华和李明各有图书多少册？3、小红在期中考试中，语文、数学的平均分是95分，数学比语文多8分。

小红这两门功课的成绩各是多少分？4、两筐水果共重50千克，如果从第一筐取出5千克放入第二筐中，那么第一筐还比第二筐多4千克。

两筐原来各有水果多少千克？5、王、张两位工人8小时共生产零件4800个；如果他们分别工作3小时，王师傅就比张师傅多生产120个。

和差问题公式和差问题是高中数学中的一类代数问题，也是解线性方程组的常用方法之一。

所谓和差问题，即通过构造等量代换或运算，利用两个或多个数的和、差的关系，求解未知数的问题。

这类问题广泛应用于数学竞赛、应试考试以及实际问题中。

在解和差问题时，我们需要灵活运用代数知识和数学算法，通过构造等式或等量代换，将复杂的问题简化为最基本的数学运算。

下面我们将介绍和差问题的公式和一些典型例题，帮助读者更好地理解和掌握这一技巧。

1. 和差问题的基本公式对于两个数a和b，和差问题的基本公式如下：(1) 两数之和：a + b(2) 两数之差：a - b(3) 两数之积：ab(4) 两数之商：a/b2. 和差问题的应用2.1. 解线性方程组线性方程组是高中数学中的重要内容，解线性方程组的一种常用方法就是利用和差关系。

通过构造等量代换，我们可以将复杂的线性方程组转化为简单的和差方程组，在解题过程中更容易操作。

下面是一个典型的例子：例题1：解方程组{ x + y = 8{ x - y = 2解法：我们可以通过两个方程的加减法得到和差方程组： { x + y = 8 (I){ x - y = 2 (II)加上：{ 2x = 10{ x = 5再代回方程(I)，可以得到y的值：5 + y = 8y = 3所以解为：x = 5，y = 32.2. 求平均数在求平均数的过程中，我们经常会遇到一些和差问题，例如求一组数的平均数或者某个数与平均数的差。

通过定义公式和等量代换，我们可以简化这类问题的解答。

下面是一个典型的例子：例题2：求一组数的平均数已知10个人的体重分别是60kg、65kg、70kg、75kg、80kg、85kg、90kg、95kg、100kg、105kg，求他们的平均体重。

解法：我们可以通过求和再除以个数的方法，得到这10个人的平均体重，即：平均体重 = (60 + 65 + 70 + 75 + 80 + 85 + 90 + 95 + 100 + 105)/10= 795/10= 79.5kg所以这10个人的平均体重为79.5kg。

和差问题1、和差问题内容：已知两数的和及它们的差，求这两个数各是多少的应用题，叫做和差应用题，简称和差问题。

和差问题的解题规律为：小数加上两数差就是大数，两数和加上两数差便是大数的2倍；大数减去两数差就是小数，两数和减去两数差是小数的2倍。

因此，用两数和加上两数差，再除以2，就可求出其中的大数；用两数和减去两数差，再除以2，就可求出小数。

2.和差问题公式先求大数大数=（和+差）÷2小数=大数-差先求小数小数=（和-差）÷2大数=小数+差3.例题一批锡铝合金共重500㎏，其中铝比锡重100㎏，问两种金属各多少？锡：（500-100）÷2=200kg铝：500-200=300Kg（提示：解和差问题时，通常先用公式求一个数，再用减法求另一个数）典型例题草长莺飞春来到，快乐踏青好逍遥．瞧，村长慢羊羊正组织大家去春游呢，96只小羊乘坐“羊羊1号”和“羊羊2号”两辆车就要出发了．答案：解：2号车有羊：（96+8×2）÷2=56（只），1号车有羊：（96-8×2）÷2=40（只），答：这两辆车上原来各有40只，56只．解析:由题意可知：2号车比1号车上多8×2=16只羊，一共96只，就跟据（和+差）÷2=多的车上的人数，（和-差）÷2=少的车上的人数，据此解答．1.同步练习1、甲、乙二人投飞镖比赛，规定每投中一次得10分．脱靶一次倒扣6分．两人各投10次．共得152分．七种甲比乙多得16分．甲投中_____次．2.哥哥有120本书，弟弟有40本书，哥哥每次送弟弟5本书，多少次后两个人的书一样多？3.小民、小亮一共有80张卡片，如果小民给小亮12张，小亮再拿出20张给小民，两人卡片一样多，原来两人各有卡片多少张？4.两根绳子共长48.4米，从第一根上剪去6.4米，从第二根上剪去7.4米，这时两根绳子一样长，求这两根绳子原来各长多少米？5.小明、小亮和小林一共有480张邮票，小林送给小明30张后，三人邮票张数就同样多．小明原来有_____张，小林原来有_____张．6.书架上有两层书，共156本．如果从上层取出7本放到下层去，两层书的本数就相同．书架上、下层各有多本书？7.仪器架上放了3个大瓶和5个小瓶，一共装了药水3000毫升，每个大瓶比每个小瓶多装药水200毫升．每个小瓶中装多少毫升药水？8.两个相邻自然数的和是95，这两个自然数分别是_____和_____．9.小刚和小明各有一定数量的玻璃珠，现在小刚比小明多出21个玻璃珠，如果小刚送给小明几个玻璃珠后，小明的玻璃珠反而比小刚多出5个，那么小刚到底送给小明_____个玻璃珠．10.(1)两个水桶共盛水60千克，如果第一桶水倒出4千克两个水桶一样多，第一桶原来有多少千克的水？(2)两个水桶共盛水60千克，如果第一桶水倒出10千克给第二个水桶，两个水桶一样多，第一桶原来有多少千克的水？11、爸爸买回算术本语文本共30本，已知算术本比语文本多4本，问爸爸买回的算术本和语文本各有多少本？12、甲筐里有桃30千克，乙筐里装的杏。

3和差问题【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。

【数量关系】大数＝（和＋差）÷ 2和-大数=小数小数＝（和－差）÷ 2 和-小数=大数【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。

例1甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？解甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）答：甲班有52人，乙班有46人。

例2长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。

解长＝（18＋2）÷2＝10（厘米）宽＝（18－2）÷2＝8（厘米）长方形的面积＝10×8＝80（平方厘米）答：长方形的面积为80平方厘米。

例3有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。

解1：甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克，且甲是大数，丙是小数。

由此可知甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克）丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）解2：甲乙+乙丙+甲丙=2（甲乙丙）甲=甲乙丙-乙丙乙=甲乙丙-甲丙丙=甲乙丙-甲乙答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。

例4甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？解“从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐”，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是（14×2＋3），甲与乙的和是97，因此甲车筐数＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）乙车筐数＝97－64＝33（筐）解法2：（97+3）÷2=50变化后的甲 50+14=64 变化前97-50=47 变化后的乙 47-14=33 变化前答：甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐。

二年级和差问题和差问题（一）和差问题是已知大小两个数的和与两个数的差，求大小两个数各是多少的应用题。

为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式。

有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。

和差问题的基本公式：大数=（和+差）÷2,；小数=大数-差；或小数=和-大数小数=（和-差）÷2；大数=小数+差；或大数=和-小数例1：把一根长22米的绳子剪成两段，第一段比第二段长4米，求两根绳子各有多长课堂练：1、已知：△+□=35；△-□=5，求△和□各代表多少2、两个数的和为36差为22。

则较大的数为多少较小的数为多少3、两筐水果共重96千克，第一筐比第二筐多28千克，两筐水果各重多少千克例2：兄弟俩共有邮票70张，哥哥给弟弟4 XXX，两人一样多，兄弟俩原来各有邮票多少张课堂练：1、甲乙共有30条鱼，甲送给乙3条后，两人一样多，求甲乙原来各有几条鱼2、甲乙两桶油共100千克，从甲桶倒入乙桶20千克后，两桶一样多，求甲乙原来各有多少千克油3、甲、乙两个堆栈共存大米42吨，假如从甲堆栈调3吨大米到乙堆栈，两个堆栈所存的大米正好同样多。

求原来两个仓库各有大米多少吨和差问题练题1：1、植树节，XXX五、六年级学生共植树84棵，六年级比五年级多植树24棵，5、六年级各植树多少棵2、学校有排球、足球共60个，排球比足球少8个，排球、足球各有几何个3、XXX和XXX共有邮票56张，如果XXX给XXX13张后，两人一样多，原先XXX和XXX 各有多少张邮票4、甲、乙两筐苹果共重100千克，如果从甲筐取出12千克放到乙筐，这时甲筐的苹果还比乙筐重6千克。

甲、乙两筐苹果原来各有多少千克5.XXX家养鸡和鸭一共60只，鸡比鸭多20 只，鸡和鸭各有多少只6.果园里有桃树和梨树共80棵，桃树比梨树多30棵，桃树和梨树各有几何棵7.学校小百灵合唱团共有86名成员，其中男合唱队员比女合唱队员少6名，合唱团中男、女队员各有多少名8、甲、乙两桶油共重30千克，甲桶油比乙桶油重10千克。

和倍和差问题的应用题30道一、和倍问题1. 果园里有苹果树和梨树共 180 棵，苹果树的棵数是梨树的 3 倍，苹果树和梨树各有多少棵？解析：把梨树的棵数看作 1 份，苹果树的棵数就是 3 份，一共是 4 份。

用总数除以份数，可得 1 份的数量，即梨树的棵数：180÷(3 + 1) = 45（棵），苹果树的棵数：45×3 = 135（棵）2. 学校图书馆有科技书和故事书共 840 本，科技书的本数是故事书的 6 倍，科技书和故事书各有多少本？解析：把故事书的本数看作 1 份，科技书的本数就是 6 份，总共 7 份。

故事书的本数：840÷(6 + 1) = 120（本），科技书的本数：120×6 = 720（本）3. 甲、乙两数的和是 240，甲数是乙数的 4 倍，甲、乙两数各是多少？解析：乙数为 1 份，甲数为 4 份，共 5 份。

乙数：240÷(4 + 1) = 48，甲数：48×4 = 1924. 小明和小红共有邮票 150 张，小明的邮票数是小红的 2 倍，他们各有多少张邮票？解析：把小红的邮票数看作 1 份，小明的就是 2 份，一共 3 份。

小红的邮票数：150÷(2 + 1) = 50（张），小明的邮票数：50×2 = 100（张）5. 养殖场里鸡和鸭共 560 只，鸡的只数是鸭的 3 倍，鸡和鸭各有多少只？解析：鸭的只数为 1 份，鸡的只数为 3 份，总共 4 份。

鸭的只数：560÷(3 + 1) = 140（只），鸡的只数：140×3 = 420（只）6. 果园里桃树和杏树共 360 棵，桃树的棵数是杏树的 5 倍，桃树和杏树各有多少棵？解析：把杏树的棵数看作 1 份，桃树的棵数就是 5 份，一共 6 份。

杏树的棵数：360÷(5 + 1) = 60（棵），桃树的棵数：60×5 = 300（棵）7. 学校买来篮球和足球共 120 个，篮球的个数是足球的 2 倍，篮球和足球各有多少个？解析：足球个数为 1 份，篮球个数为 2 份，共 3 份。

和差问题（一）
学校班级姓名
知识点归纳
两个量的和差：大数=（和+差）÷2，
小数= （和－差）÷2，
三个量的和差：以一个量为标准，将其余两个量也转化成那个标准量，
从而求出这个标准量．
练习题：
1、两个筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各多少千克？
2、甲乙两个车间共有432人，甲车间比乙车间少24人，甲乙车间各有多少人？
3、三1班和三2班共有图书80本，
三1班如果给三2班10本，两班的图书本数相同了，三1班和三2班原有图书多少本？
4、一个两层书架共放书72本，若从上层拿出9本给下层，上层比下层还多4本，上、下层各放书多少本？
5、姐姐和妹妹共有糖果39块。

如果姐姐给妹妹7块后就比妹妹少3块，那么姐姐和妹妹原来各有糖果多少块？
6、两笼兔子共16只，若甲笼再放入4只，乙笼取出2只，这时两笼兔子只数就同样多，求甲、乙两笼原来各有兔子多少只？
7、某工厂将857元奖金分给有创造发明的三名优秀工人，第一名比第二名多得250元，第二名比第三名多得125元，三名优秀工人各得多少元？
8、小明期终考试的语文、数学和英语的平均分数时95分，数学比语文多6分，英语比语文多9分，求小明三门功课各多少分？。

和差问题（一）
例1 国庆节到了，花甫给学校送来200盆花，其中红花比黄花多30盆。

红花和黄花各有多少盆？
例2 姐姐丽丽和妹妹小芳的年龄和是29岁，五年后，姐姐比妹妹大3岁。

问：今年姐姐和妹妹各多少岁？
【拓展1】两个数的和是19，一个加数比另一个加数多5。

求：这两个数各是多少？
【拓展2】一个两位数，十位上的数字与个位上的数字和是9，差是3。

求这两位数。

【拓展3】三（1）班有学生40人，男生比女生多4人。

三（1）男生和女生各有多少人？
【拓展4】甲、乙两个数的平均数是35，甲数比乙数少6。

求：甲、乙两数分别是多少？
【拓展5】小张和小李的年龄和是46岁，小张比小李大8岁。

小张和小李各是多少岁？
【拓展6】两年前姐姐与妹妹相差3岁，今年姐妹两人年龄和是29岁。

问：今年姐妹两人各多少岁？。