2019届高考数学二轮专题检测：穿插滚动练(六)Word版含答案

6 等差、等比数列1．[2018·阜阳三中]{}n a 为等差数列，且7421a a -=-，30a =，则公差d =（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．22．[2018·阜阳三中]在等比数列{}n a 中，若37a =，前3项和321S =，则公比q 的值为（ ）A ．1B ．12-C ．1或12-D ．1-或12-3．[2018·阜阳调研]已知等比数列{}n a 中有31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77a b =，则59b b +=（ ）A ．2B ．4C ．8D ．164．[2018·南海中学]已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值为（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．4-5．[2018·长春实验]已知{}n a 为正项等比数列，n S 是它的前n 项和，若116a =，且4a 与7a 的等差中项为98，则5S 的值是（ ）A ．29B ．30C ．31D ．326．[2018·琼海模拟]朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中第3天共分发大米（ ）A ．192升B ．213升C ．234升D ．255升7．[2018·长寿中学]在等差数列{}n a 中，满足4737a a =，且10a >，n S 是{}n a 前n 项的和，若n S 取得最大值，则n =（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108．[2018·潮南冲刺]已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6a ，43a ，5a -成等差数列，则42S S =（ ）A ．3B ．9C ．10D ．139．[2018·诸暨适应]等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，公差d 不等于零，若2a ，3a ，6a 成等比，则（一、选择题）A ．10a d >，30dS >B ．10a d >，30dS <C ．10a d <，30dS >D ．10a d <，30dS <10．[2018·湖北模拟]设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，44a =，515S =，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前m 项和为1011，则m =（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1111．[2018·郑州质测]已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“n n S na <对2n ≥恒成立”是“数列{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必条件12．[2018·衡水中学]已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，点()222,log M a 、()255,log N a 都在直线1y x =-上，则数列{}n a 的前n 项和为（ ）A ．22n -B ．122n +-C ．21n -D ．121n +-13．[2018·长春质测]各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知630S =，970S =，则3S =_____．14．[2018·定远模拟]等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log log log log log a a a a a ++++=_____．15．[2018·郑州质测]设有四个数的数列1a ，2a ，3a ，4a 前三个数构成一个等比数列，其和为k ，后三个数构成一个等差数列，其和为15，且公差非零．对于任意固定的实数k ，若满足条件的数列个数大于1，则k 的取值范围为________．16．[2018·山西二模]数列{}n a 满足1111,231,n n n n n a a a a a ----⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数，若134a =，则数列{}n a 的前100项的和是__________．二、填空题1．【答案】B【解析】7421a a -=- ，()33421a d a d ∴+-+=-，421d d ∴-=-，12d ∴=-．故选B ．2．【答案】C【解析】设等比数列{}n a 的首项为a ，公比为q ，所以有方程组22721aq a aq aq ⎧=++=⎪⎨⎪⎩，解得1q =或12q =-，答案选择C ．3．【答案】C【解析】在等比数列{}n a 中有31174a a a =，所以2774a a =，74a =，所以774a b ==，又{}n b 是等差数列，59728b b b +==，答案选择C ．4．【答案】C【解析】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+，故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=， 数列{}n a 是等比数列，则11a =，故412λ+=，解得2λ=-，故选C ．5．【答案】C【解析】设正项等比数列的公比为q ，则3416a q =，6716a q =，4a 与7a 的等差中项为98，即有4794a a +=，即36916164q q +=，解得12q =（负值舍去），则有()5515116112311112a q S q ⎛⎫⨯- ⎪-⎝⎭===--．故选C ．6．【答案】C【解析】根据题意设每天派出的人数组成数列{}n a ，可得数列是首项164a =，公差为7的等差数列，则第三天派出的人数为3a ，且3642778a =+⨯=，又根据每人每天分发大米3升，则第3天共分发大米783234⨯=升，故选C ．答案与解析一、选择题7．【答案】C【解析】设等差数列首项为1a ，公差为d ，由题意可知14330a d +=，10a >，()()2111352233n n n da S na n n -=+=-，二次函数的对称轴为358.754n ==，开口向下，又因为n ∈*N ，所以当9n =时，n S 取最大值．故选C ．8．【答案】C【解析】设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为0q >，满足6a ，43a ，5a -成等差数列，4656a a a ∴=-，()2446a a q q ∴=-，0q >，260q q ∴--=，0q >，解得3q =，则()()4124221313131103131a S S a --==+=--，故选C ．9．【答案】C【解析】由2a ，3a ，6a 成等比数列．可得2326a a a =，可得()()()211125a d a d a d +=++，即2120a d d +=，∵公差d 不等于零，10a d ∴<，120a d +=，()23133302dS d a d d ∴=+>=，故选C ．10．【答案】C【解析】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，设公差为d ，44a =，515S =，则4534155a S a ===⎧⎨⎩，解得1d =，则()44n a n n =+-=．由于()1111111n n a a n n n n +==-++，则11111110112231111m S m m m =-+-++-=-=++ ，解得10m =，故答案为10．故选C ．11．【答案】A【解析】由题可得，()12n n n n a a S na +=<，化简可得1n na na <，即1n a a <，所以()111a a n d <+-，即()102n d n ->≥当恒成立，所以0d >，即数列{}n a 为递增数列，故为充分条件．若数列{}n a 为递增数列，则0d >，()()()1111122n n n n n n d na S n a n d na d --⎡⎤-=+--+=⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当2n ≥时，0n n na S ->，即n n S na <，故为必要条件，综上所述为充分必要条件．故选A ．12．【答案】C【解析】因为点()222,log M a 、()255,log N a 都在直线1y x =-上，所以22log 211a =-=，可得22a =，25log 514a =-=，可得516a =，35122128 21112n n n q a q S a a =⎧-==⇒⇒==-⎨=-⎩，故选C ．13．【答案】10【解析】根据等比数列的前n 项和的性质，若n S 是等比数列的和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -， ，仍是等比数列，得到：()()263396S S S S S -=-，解得310S =，故答案为10．14．【答案】5【解析】由题意知21534a a a ==，且数列{}n a 的各项均为正数，所以32a =，()()()225123451523433352a a a a a a a a a a a a a ∴=⋅⋅=⋅==，()521222324252123452log log log log log log log 25a a a a a a a a a a ∴++++===．15．【答案】()()15,55,1515,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】因为后3个数成等差数列且和为15，故可依次设后3个数为5d -，5，5d +，（0d ≠且5d ≠），又前3个数构成等比数列，则第一个数为()255d -，即()25555d d k -+-+=，化简得2157550d d k -+-=，因为满足条件的数列的个数大于1，需要0Δ>，所以154k >．再由0d ≠且5d ≠，得5k ≠，且15k ≠，故答案为()()15,55,1515,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．16．【答案】450二、填空题【解析】∵数列{}n a 满足1111,231,n n n n n a a a a a ----⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数是奇数，∵134a =，∴211712a a ==，3231317152a a =+=⨯+=，432612a a ==，541312a a ==，653140a a =+=，762012a a ==，871012a a ==，98125a a ==，1093116a a =+=，1110128a a ==，1211142a a ==，1312122a a ==，1413121a a ==，同理可得：154a =，162a =，171a =， ．可得此数列从第12项开始为周期数列，周期为3．则数列{}n a 的前100项的和()()1211121314151629a a a a a a a a =++++++++ ()()341752261340201051684229142=+++++++++++++⨯++450=．故答案为450．。

穿插滚动练(四)内容：不等式、函数与导数、三角函数与平面向量、数列、立体几何与空间向量(文科为立体几何)一、选择题1．设集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}且A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x的个数是( ) A．1个B．2个C．3个D．4个答案 C解析由题意可知x2＝4或x2＝x，解得x＝±2或x＝0或x＝1，又x≠1，∴x＝0，±2，答案为C.2．若等比数列{a n}的前n项和S n＝a·3n－2，则a2等于( ) A．4 B．12 C．24 D．36答案 B解析当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝2a·3n－1，又a1＝a·31－2＝3a－2，由等比数列定义，a2＝qa1，∴6a＝3·(3a－2)，∴a＝2.因此a2＝2a·32－1＝12.3．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)答案 C解析由f′(x)的图象得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；当x∈(c，e)时，f′(x)<0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)．故选C.4． (2018·辽宁)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是( ) A．a∥b B．a⊥bC．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b答案 B解析将向量的模相等变为向量的平方相等求解．因为|a＋b|＝|a－b|，所以(a＋b)2＝(a－b)2，即a·b＝0，故a⊥b.5．已知α，β表示两个不同的平面，m是一条直线且m⊂α，则：“α⊥β”是“m⊥β”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析若m⊥β，因m是一条直线且m⊂α，由面面垂直的判定定理，知α⊥β，反之，若m是一条直线且m⊂α，当α⊥β时，m与平面β的位置关系可以为：相交或平行或m⊂β，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件，选B.6．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )A．4 B．2 3C．2 D． 3答案 B解析由题意可设棱柱的底面边长为a，则其体积为34a2·a＝23，得a＝2.由俯视图易知，三棱柱的侧视图是以2为长，3为宽的矩形．∴其面积为2 3.故选B.7．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A—BCD，则在三棱锥A—BCD中，下列A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案 D解析由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD.在三棱锥A—BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD.又因为AB⊥AD，AD∩DC＝D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC.8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的体积为( )A ．1B ．33 C ． 3D ．233答案 B解析 由三视图可知，此几何体为三棱锥，如图，其中正视图为△PAC，是边长为2的正三角形，PD⊥平面ABC ，且PD ＝3，底面△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝BC ＝2，所以体积为V ＝13×3×12×2×2＝33，故选B.9． 类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)＝a x －a －x，C(x)＝a x＋a －x，其中a>0，且a≠1，下面正确的运算公式是( )①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)； ②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)； ③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)； ④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)． A ．①② B ．③④ C ．①④D ．②③答案 B解析 经验证易知①②错误．依题意，注意到2S(x ＋y)＝2(a x ＋y－a－x －y)，又S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(ax ＋y－a－x －y)，因此有2S(x ＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x －y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)，综上所述，选B.10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cos B ＝14，sin Csin A＝2，且S △ABC＝154， 则b 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1答案 C解析 依题意得，c ＝2a ，b 2＝a 2＋c 2－2accos B ＝a 2＋(2a)2－2×a×2a×14＝4a 2，所以b＝c ＝2a ，sin B ＝1－cos 2B ＝154，又S △ABC ＝12acsin B ＝12×b 2×b×154＝154， 所以b ＝2，选C.11．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y≥22x ＋y≤44x －y≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是 ( )A ．[－32，6]B ．[－32，－1]C ．[－1,6]D ．[－6，32]答案 A解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x －y ＝0，并向上、下平移，由图可得，当直线过点A 时，z ＝3x －y 取最大值；当直线过点B 时，z ＝3x －y 取最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2＝02x ＋y －4＝0，解得A(2,0)； 由⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＋1＝02x ＋y －4＝0，解得B(12，3)．∴z max ＝3×2－0＝6，z min ＝3×12－3＝－32.∴z＝3x －y 的取值范围是[－32，6]．12．已知定义域为R 的函数f(x)满足：f(4)＝－3，且对任意x∈R 总有f ′(x)<3，则不等式f(x)<3x －15的解集为( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，－4)C ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)D ．(4，＋∞) 答案 D解析 方法一 (数形结合法)：由题意知，f(x)过定点(4，－3)，且斜率k ＝f′(x)<3. 又y ＝3x －15过点(4，－3)，k ＝3，∴y＝f(x)和y ＝3x －15在同一坐标系中的草图如图， ∴f(x)<3x－15的解集为(4，＋∞)，故选D. 方法二 记g(x)＝f(x)－3x ＋15，则g′(x )＝f′(x)－3<0，可知g(x)在R 上为减函数． 又g(4)＝f(4)－3×4＋15＝0，∴f(x)<3x－15可化为f(x)－3x ＋15<0， 即g(x)<g(4)，结合其函数单调性，故得x>4. 二、填空题13．函数y ＝x ＋2cos x －3在区间[0，π2]上的最大值是________． 答案π6解析 y′＝1－2sin x>0⇒sin x<12，sin x>12时y′<0，∴sin x＝12时y max ＝π6＋2×32－3＝π6.14．已知函数f(x)＝Atan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f(x)的部分图象如图所示，则f(π24)＝______.答案3解析 由图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即周期为π2，∴ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π，k∈Z，|φ|<π2，知φ＝π4.由f(0)＝1，知A ＝1.因此f(x)＝tan(2x ＋π4)，故f(π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3. 15．若一个正方体的表面积为S 1，其外接球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.答案 2π解析 设正方体棱长为a ，则正方体表面积为S 1＝6a 2，其外接球半径为正方体体对角线长的12，即为32a ，因此外接球的表面积为S 2＝4πr 2＝3πa 2，则S 1S 2＝6a 23πa 2＝2π. 16．如图所示，PA⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．答案 ①②③解析 ∵PA⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径， ∴CB⊥AC，CB⊥PA，CB⊥平面PAC. 又AF ⊂平面PAC ，∴CB⊥AF.又∵E，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影， ∴AF⊥PC，AE⊥PB，∴AF⊥平面PCB. 故①③正确．∴PB⊥平面AEF ，故②正确．而AF⊥平面PCB ，∴AE 不可能垂直于平面PBC.故④错误． 三、解答题17．如图，已知平行四边形ABCD 中，BC ＝6，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．(1)求证：GH∥平面CDE ；(2)若CD ＝2，DB ＝42，求四棱锥F —ABCD 的体积． (1)证明 方法一 ∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC. 又EF ＝AD ＝BC ，∴四边形EFBC 是平行四边形， ∴H 为FC 的中点．又∵G 是FD 的中点，∴HG∥CD. ∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， ∴GH∥平面CDE.方法二 连接EA ，∵ADEF 是正方形， ∴G 是AE 的中点． ∴在△EAB 中，GH∥AB.又∵AB∥CD，∴GH∥CD. ∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， ∴GH∥平面CDE.(2)解 ∵平面ADEF⊥平面ABCD ，交线为AD ， 且FA⊥AD，∴FA⊥平面ABCD. ∵AD＝BC ＝6，∴FA＝AD ＝6.又∵CD＝2，DB ＝42，CD 2＋DB 2＝BC 2，∴BD⊥CD.∵S ▱ABCD ＝CD·BD＝82，∴V F —ABCD ＝13S ▱ABCD ·FA＝13×82×6＝16 2.18．函数f(x)＝6cos 2ωx2＋3sin ωx －3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．(1)求ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x 0)＝835，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，求f(x 0＋1)的值． 解 (1)由已知可得，f(x)＝3cos ωx ＋3sin ωx ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，又正三角形ABC 的高为23，从而BC ＝4，所以函数f(x)的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4.函数f(x)的值域为[－23，23]．(2)因为f(x 0)＝835，由(1)有f(x 0)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝835，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝45. 由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，知πx 04＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.故f(x 0＋1)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π4＋π3＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＋π4 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3sin π4 ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫45×22＋35×22＝765.19．已知当x ＝5时，二次函数f(x)＝ax 2＋bx 取得最小值，等差数列{a n }的前n 项和S n ＝f(n)，a 2＝－7.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为T n ，且b n ＝a n2n ，求T n .解 (1)由题意得：－b 2a ＝5，当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝an 2＋bn －a(n －1)2－b(n －1)＝2an ＋b －a ＝2an －11a.∵a 2＝－7，得a ＝1.∴a 1＝S 1＝－9，∴a n ＝2n －11.(2)∵b n ＝2n －112n， ∴T n ＝－92＋－722＋…＋2n －112n， ① 12T n ＝－922＋…＋2n －132n ＋2n －112n ＋1，②①－②得 12T n ＝－92＋222＋…＋22n －2n －112n ＋1 ＝－92＋12－12n －11－12－2n －112n ＋1＝－72－12n －1－2n －112n ＋1.∴T n ＝－7－2n －72n .20．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA ＝PD ＝2，BC ＝12AD ＝1，CD＝ 3.(1)若点M 是棱PC 的中点，求证：PA∥平面BMQ ；(2)若二面角M —BQ —C 为30°，设PM ＝tMC ，试确定t 的值． (1)证明 连接AC ，交BQ 于N ，连接MN.∵BC∥AD 且BC ＝12AD ，即BC 綊AQ.∴四边形BCQA 为平行四边形，且N 为AC 中点， 又∵点M 是棱PC 的中点， ∴MN∥PA.∵MN ⊂平面BMQ ，PA ⊄平面BMQ ， ∴PA∥平面BMQ.(2)解 ∵PA＝PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD ， 且平面PAD∩平面ABCD ＝AD ， ∴PQ⊥平面ABCD.如图，以Q 为原点建立空间直角坐标系． 则平面BQC 的法向量为n ＝(0,0,1)；Q(0,0,0)，P(0,0，3)，B(0，3，0)，C(－1，3，0)．设M(x ，y ，z)，则PM →＝(x ，y ，z －3)，MC →＝(－1－x ，3－y ，－z)， ∵PM →＝tMC →，∴⎩⎨⎧x ＝－1－，y＝3－，z －3＝－，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t 1＋t，y ＝3t1＋t ，z ＝31＋t .在平面MBQ 中，QB →＝(0，3，0)，QM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－t 1＋t ，3t 1＋t ，31＋t ，∴平面MBQ 的法向量为m ＝(3，0，t)． ∵二面角M —BQ —C 为30°，cos 30°＝n·m |n||m|＝t 3＋0＋t2＝32，∴t＝3. 21．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c (a≠0)且满足f(－1)＝0，对任意实数x ，恒有f(x)－x≥0，并且当x∈(0,2)时，f(x)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122.(1)求f(1)的值； (2)证明：a>0，c>0；(3)当x∈[－1,1]时，函数g(x)＝f(x)－mx (x∈R)是单调函数，求证：m≤0或m≥1. (1)解 ∵对x∈R，f(x)－x≥0恒成立， 当x ＝1时，f(1)≥1，又∵1∈(0,2)，由已知得f(1)≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＝1，∴1≤f(1)≤1.∴f(1)＝1.(2)证明 ∵f(1)＝1，∴a＋b ＋c ＝1.又∵a－b ＋c ＝0，∴b＝12.∴a＋c ＝12.∵f(x)－x≥0对x∈R 恒成立，∴ax 2－12x ＋c≥0对x∈R 恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ≤0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a>0，ac≥116.∴c>0，故a>0，c>0.(3)证明 ∵a＋c ＝12，ac≥116，由a>0，c>0及a ＋c≥2ac ，得ac≤116， ∴ac＝116，当且仅当a ＝c ＝14时，取“＝”．∴f(x)＝14x 2＋12x ＋14.∴g(x)＝f(x)－mx ＝14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－m x ＋14＝14[x 2＋(2－4m)x ＋1]． ∵g(x)在[－1,1]上是单调函数，∴2m－1≤－1或2m －1≥1.∴m≤0或m≥1.22．已知函数f(x)＝ln x －ax ＋1在x ＝2处的切线斜率为－12.(1)求实数a 的值及函数f(x)的单调区间；(2)设g(x)＝x 2＋2kx ＋kx ，对∀x 1∈(0，＋∞)，∃x 2∈(－∞，0)使得f(x 1)≤g(x 2)成立，求正实数k 的取值范围；(3)证明：ln 22 ＋ln 33＋…＋ln n n <2n 2－n －1＋(n∈N *，n≥2)．(1)解 由已知得f′(x)＝1x －a ，∴f′(2)＝12－a ＝－12，解得a ＝1.于是f′(x)＝1x －1＝1－xx ，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)为增函数， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，即f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)解 由(1)知x 1∈(0，＋∞)，f(x 1)≤f(1)＝0，即f(x 1)的最大值为0， 由题意知：对∀x 1∈(0，＋∞)，∃x 2∈(－∞，0)使得f(x 1)≤g(x 2)成立， 只需f(x)max ≤g(x)max . ∵g(x)＝x 2＋2kx ＋k x ＝x ＋k x ＋2k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋k －x ＋2k≤－2k ＋2k ， ∴只需－2k ＋2k≥0，解得k≥1.(3)证明 要证明ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2<2n 2－n －1＋(n∈N *，n≥2)．只需证2ln 222＋2ln 332＋…＋2ln n n 2<2n 2－n －1＋，只需证ln 2222＋ln 3232＋…＋ln n 2n 2<2n 2－n －1＋.由(1)当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数， f(x)＝ln x －x ＋1≤0，即ln x≤x－1，∴当n≥2时，ln n 2<n 2－1， ln n 2n 2<n 2－1n 2＝1－1n 2<1－1＋＝1－1n ＋1n ＋1， ln 2222＋ln 3232＋…＋ln n 2n 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1n ＋1＝n －1－12＋1n ＋1＝2n 2－n －1＋， ∴ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2<2n 2－n －1＋.。

第6讲 基本不等式1.不等式x -1x≥3的解集为 .2.已知单位向量a,b 的夹角为120°,那么|2a-xb|(x∈R)的最小值是 .3.已知函数f(x)=x+4x ,x∈[1,5],则函数f(x)的值域为 .4.已知x,y 为正实数,满足2x+y+6=xy,则2xy 的最小值为 .5.设变量x,y 满足{2x +x -4≥0,x -x -2≤0,x -2≤0,则z=3x+y 的最小值为 .6.已知f(x)是定义在R 上的奇函数,当x>0时,f(x)=x 2-4x,则不等式组{x <0,x (x )>x的解集用区间表示为 .7.设三角形ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知tan x tan x =3x -xx,则cosA= .8.将函数y=2cos (2x +π3)的图象向右平移φ(0<x <π2)个单位长度后,所得函数为奇函数,则φ= .9.设菱形ABCD 的对角线AC 的长为4,则xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . 10.已知向量a=(cosα,sin 2α),b=(sinα,t),α∈(0,π). (1)若a-b=(15,0),求t 的值;(2)若t=1,a·b=1,求tan (2x +π4)的值.答案精解精析1.答案 {x |−12≤x <0} 解析x -1x ≥3⇔2x +1x ≤0⇔-12≤x<0. 2.答案 √3解析 a·b=-12,|2a-xb|=√(2x -xx )2=√x 2+2x +4,当x=-1时,取得最小值√3.3.答案 [4,295]解析 因为f(x)=x+4x≥2√x ·4x=4,x∈[1,5],当且仅当x=2时取等号,且f(1)=5,f(5)=5+45=295,所以函数f(x)的值域为[4,295]. 4.答案 36解析 根据题意,由条件利用基本不等式可得 xy=2x+y+6≥2√2xx +6,即xy≥2√2xx +6. 令t=√2xx ,则xy=x 22,则x 22-2t-6≥0,t 2-4t-12≥0, 解得t≥6或t≤-2.又t≥0,则t≥6,即√2xx ≥6, 即2xy≥36,即2xy 的最小值为36. 5.答案 5解析 画出{2x +x -4≥0,x -x -2≤0,x -2≤0表示的可行域如图,由{2x +x -4=0,x -2=0,得{x =1,x =2.平移直线z=3x+y,由图知,当直线z=3x+y 经过点(1,2)时,z 有最小值3×1+2=5. 6.答案 (-5,0) 解析 若x<0,则-x>0, ∵当x>0时,f(x)=x 2-4x, ∴当-x>0时,f(-x)=x 2+4x. 又∵f(x)是定义在R 上的奇函数, ∴f(-x)=x 2+4x=-f(x), 即f(x)=-x 2-4x,x<0.当x<0时,由f(x)=-x 2-4x>x, 得x 2+5x<0,解得-5<x<0, 即原不等式组的解集为(-5,0). 7.答案 13解析 由正弦定理,条件可变形为tan x tan x=3sin x -sin x sin x,则sin x cos x cos x sin x=3sin x -sin x sin x.又sinB>0,则sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC=3sinCcosA.又sinC>0,则cosA=13. 8.答案5π12解析 将函数y=2cos (2x +π3)的图象向右平移φ(0<x <π2)个单位长度后,得到函数y=2cos (2x +π3-2φ)为奇函数,则π3-2φ=π2+kπ,k∈Z,即φ=-π12-12kπ,k∈Z,又0<φ<π2,则k=-1,φ=5π12.9.答案 8解析 设菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O 点,则AC⊥BD,且AO=12AC=2.由平面向量的数量积定义可知:xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×cos∠BAC=4×|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×cos∠BAO=4×|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4×2=8.10.解析 (1)因为向量a=(cosα,sin 2α),b=(sinα,t),a -b=(15,0),所以cosα-sinα=15,t=sin 2α.由cosα-sinα=15,得2sinαcosα=2425且α∈(0,π2),所以(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=4925. 因为α∈(0,π2),所以sinα+cosα=75, 所以sinα=35,则t=sin 2α=925.(2)因为t=1,a·b=1,所以sinαcosα+sin 2α=1,即sinαcosα=cos 2α. 当cosα=0时,因为α∈(0,π),所以α=π2,则tan (2x +π4)=1, 当cosα≠0时,tanα=1,因为α∈(0,π),所以α=π4,则tan (2x +π4)=-1. 综上,tan (2x +π4)的值为1或-1.。

考前强化练6解答题组合练（91.已知a, b, c分别是△如。

的内角A,B,C的对边,"/3.竺\<3~2⑴若，△/及?的面积为，求C；,n⑵若BW,求2a~c的取值范围.cosCsin^ sinH cosC 2.（2018山西太原一模，文17）/\ABC中的内角A, B,。

的对边分别为a, b, c,已知.(1)求角B;（2）若 2,求△/及?面积的最大值.3.某高校在2018年的自主招生笔试成绩(满分200分)中，随机抽取100名考生的成绩，按此成绩分成(1)求频率分布表中a, b, c的值，并估计全体考生的平均成绩；(2)用分层抽样的方法从第三、四、五组中共抽取〃名考生，已知从第五组中恰好抽取了两名考生.①求n的值；界该高校的三位考官每人都独立地从这〃名考生中随机抽取2名考生进行面试，记考生甲被抽到的次数为』；求I的分布列与数学期望.4.(2018河北石家庄一模，理19)小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作,该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案:底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案:底薪140元,每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元.(1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y(单位:元)与送货单数n的函数关系式；(2)根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数满足以下条件:在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在2(n~l) 2n(10，10J(77=1,2, 3,4, 5)时，日平均派送量为50+2刀单.若将频率视为概率，回答下列问题：⑦根据以上数据，设每名派送员的日薪为*(单位:元),试分别求出甲、乙两种方案的日薪X的分布列，数学期望及方差；舞合⑦中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由.(参考数据:0. 62=0. 36, I.#」.96 , 2 . 62=6. 76, 3.妒=11. 56, 3. 6'=12, 96, 4. 62=21. 16, 15. 62=243. 36, 20. 42-116.16, 44.妒=1 971.36)W xbxT得弟由余弦定理得c =a +1)~2abcos CM正3-2X2X V3X =13. .： c的V13.5.(2018河北唐山三模，理21)已知函数f{x) =ln(x+l) +ax,以.(1)讨论函数/'(x)的单调性；(2)若函数f(x)在区间(-1, 0)有唯一零点Ab,证明■.e^<x0+X<e1 2.参考答案考前强化练6解答题组合练(仔5lt y/31.解(1)：,。

2019届高考数学二轮复习检测穿插滚动练(一)1．已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9 答案 C解析 x －y ∈{}－2，－1，0，1，2.2．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,1) D ．(1，＋∞)答案 B解析 方法一 A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )，因为A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.应选B. 方法二 因为A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)， 取c ＝1，则B ＝(0,1)，所以A ⊆B 成立，故可排除C 、D ； 取c ＝2，则B ＝(0,2)，所以A ⊆B 成立， 故可排除A ，选B.3．命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是( )A ．若α＝π3，则cos α≠12B ．若α≠π3，则cos α≠12C ．若cos α＝12，则α＝π3D ．若cos α≠12，则α≠π3答案 C解析 命题“若α＝π3，则cos α＝12”的逆命题是“若cos α＝12，则α＝π3”．4．设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2－4x ＋4，则方程f (x )－g (x )＝0的实根个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 由f (x )－g (x )＝0，得f (x )＝g (x )．在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象，由图知f (x )，g (x )的图象有两个交点． 因此方程f (x )－g (x )＝0有两个不相等的实根． 5．已知a ＝2log 3.45，b ＝4log 3.65，c ＝3log 0.315，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b答案 C 解析 a ＝2log 3.45，b ＝4log 3.65，c ＝3log 0.315＝310log 35，又log 23.4>1，log 43.6<1，log 3103>1，故b <a ，b <c ，又log 23.4>log 3103，因此b <c <a .6．设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<b C ．a <ab <b <a ＋b2D.ab <a <a ＋b2<b答案 B解析 ∵0<a <b ，∴ab >a ·a ＝a ，ab <b ·b ＝b ，b ＝b ＋b 2>a ＋b2，又ab <a ＋b2，所以a <ab <a ＋b2<b ，故选B.7．下列关于函数f (x )＝(2x －x 2)·e x的判断正确的是( ) ①f (x )>0的解集是{x |0<x <2}； ②f (－2)是极小值，f (2)是极大值；③f(x)没有最小值，也没有最大值．A．①③ B．①②③ C．② D．①②答案 D解析f′(x)＝[(2x－x2)e x]′＝(2x－x2)e x＋e x(2－2x)＝e x(2－x2)，令f′(x)＝0，则x＝± 2.可得当x>2或x<－2时，f′(x)<0，当－2<x<2时，f′(x)>0，据极值概念可得①②是正确的，结合图象可知函数有最大值．8.如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是( )A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数B．函数f(x)在区间(－3,2)上是减函数C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数D．函数f(x)在区间(－3,2)上是单调函数答案 A解析当x∈(－3,0)时，f′(x)<0，则f(x)在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．9．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)答案 D解析利用极值的存在条件判定．当x<－2时，y＝(1－x)f′(x)>0，得f′(x)>0；当－2<x <1时，y ＝(1－x )f ′(x )<0，得f ′(x )<0； 当1<x <2时，y ＝(1－x )f ′(x )>0，得f ′(x )<0； 当x >2时，y ＝(1－x )f ′(x )<0，得f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，－2)上是增函数，在(－2,1)上是减函数，在(1,2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数， ∴函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)．10．设函数y ＝f (x )在R 上有意义，对于给定的正数M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x f x MM ，fx >M，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)的值为( ) A ．2 B ．1 C. 2 D ．－ 2 答案 B解析 由题意，当f (x )＝2－x 2≤1，即x ≤－1或x ≥1时，f M (x )＝2－x 2.当－1<x <1时，f M (x )＝1. ∴f M (0)＝1.11．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1， x <1，13x ， x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．答案 (－∞，8]解析 当x <1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2，∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，13x ≤2，x ≤23＝8,1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]．12．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． 答案 12解析 ∵(x ＋y ＋z )2＝x 2＋y 2＋z 2＋2xy ＋2yz ＋2zx ≤3(x 2＋y 2＋z 2)， ∴a 2＋4b 2＋9c 2≥13(a ＋2b ＋3c )2＝363＝12.∴a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12.13.设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________.答案 2解析 作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点(0,2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合题意．综上可知，k ＝2.14．设f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax ，若f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间，则a 的取值范围为________．答案 (－19，＋∞)解析 由f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－(x －12)2＋14＋2a ，得当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′(23)＝29＋2a .令29＋2a >0，得a >－19.所以a >－19时，f (x )在(23，＋∞)上存在单调递增区间．15．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝(12)x－1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是________． 答案 (34，2)解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，知f (x )是周期为4的周期函数，于是可得f (x )在(－2,6]上的草图如图中实线所示，而函数g (x )＝log a (x ＋2)(a >1)的图象如图中虚线所示，结合图象可知，要使得方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)在区间(－2,6]内恰有3个不同的实数根，必需且只需⎩⎪⎨⎪⎧g2<3，g 6>3.所以⎩⎪⎨⎪⎧log a 4<3，log a 8>3.解得34<a <2.16．设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a <0}．(1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ； (2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵A ＝{x |12≤x ≤3}，当a ＝－4时，B ＝{x |－2<x <2}， ∴A ∩B ＝{x |12≤x <2}，A ∪B ＝{x |－2<x ≤3}．(2)∁R A ＝{x |x <12或x >3}，当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝∅. ①当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅，即a <0时，B ＝{x |－－a <x <－a }， 要使B ⊆∁R A ，需－a ≤12，解得－14≤a <0.综上可得，实数a 的取值范围是[－14，＋∞)．17．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0， 得(x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a .当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时， 实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2，即2<x ≤3.所以q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，即綈p ⇒綈q 且綈q 綈p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}，则A B .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2]． 18．已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1－a x. (1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f ′(x )＝1－2x(x >0)，因而f (1)＝1，f ′(1)＝－1，所以曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.(2)由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax，x >0知：①当a ≤0时，f ′(x )>0，函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，函数f (x )无极值； ②当a >0时，由f ′(x )＝0，解得x ＝a .又当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而函数f (x )在x ＝a 处取得极小值，且极小值为f (a )＝a －a ln a ，无极大值． 综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a >0时，函数f (x )在x ＝a 处取得极小值a －a ln a ，无极大值．19．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解 (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＝0，过A (3,4)时，z 取最小值－2，过C (1,0)时，z 取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．20．某商店预备在一个月内分批购入每张价值为20元的书桌共36台，每批都购入x 台(x 为正整数)，且每批均需付运费4元，储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比，若每批购入4台，则该月需用去运费和保管费共52元，现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费． (1)求该月需用去的费用和保管费的总费用f (x )；(2)能否恰当地安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由． 解 (1)设题中比例系数为k ，若每批购入x 台， 则共需分36x批，每批价值为20x 元．由题意得f (x )＝36x·4＋k ·20x ，由x ＝4时，y ＝52得k ＝1680＝15，∴f (x )＝144x＋4x (0<x ≤36，x ∈N *)．(2)由(1)知f (x )＝144x＋4x (0<x ≤36，x ∈N *)，∴f (x )≥2144x×4x ＝48(元)．当且仅当144x＝4x ，即x ＝6时，上式等号成立．故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用． 21．已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a <0时，试讨论是否存在x 0∈(0，12)∪(12，1)，使得f (x 0)＝f (12)．解 (1)f ′(x )＝x 2＋2x ＋a 开口向上，Δ＝4－4a ＝4(1－a )． ①当1－a ≤0，即a ≥1时，f ′(x )≥0恒成立，f (x )在R 上单调递增． ②当1－a >0时，即a <1时，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2－41－a2＝－1－1－a ，x 2＝－1＋1－a .令f ′(x )>0，解得x <－1－1－a 或x >－1＋1－a ； 令f ′(x )<0，解得－1－1－a <x <－1＋1－a ；所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－1－1－a )和(－1＋1－a ，＋∞)；f (x )的单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a )．综上所述：当a ≥1时，f (x )在R 上单调递增；当a <1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－1－1－a )和(－1＋1－a ，＋∞)，f (x )的单调递减区间为(－1－1－a ，－1＋1－a )． (2)当a <0时，x 1＝－1－1－a <0，x 2＝－1＋1－a >0.①当－1＋1－a ≥1时，即a ≤－3时，f (x )在(0,1)上单调递减，不满足题意；②当－1＋1－a <1时，即－3<a <0时，f (x )在(0，－1＋1－a )上单调递减，在(－1＋1－a ，1)上单调递增，所以f (x )min ＝f (－1＋1－a )，由题意知－1＋1－a ≠12，所以a ≠－54.f (x )max ＝max{f (0)，f (1)}；f (0)＝1，f (1)＝a ＋73.a ．当a ＋73≥1时，即－43≤a <0时，f (x )max ＝f (1)．令f (12)<f (0)，解得a <－712，又因为－43≤a <0，所以－43≤a <－712且a ≠－54.b ．当a ＋73<1时，即a <－43时，f (x )max ＝f (0)．令f (12)<f (1)，解得－2512<a <－43.综上所述，当a ∈{a |－2512<a <－54或－54<a <－712}时，存在x 0∈(0，12)∪(12，1)，使得f (x 0)＝f (12)．。

2019-2020学年度最新高三高考数学二轮复习专题训练+12+Word 版含答案8、数列}{n a 的通项公式为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin 3cos 222ππn n n a n ，其前n 项和为n S 。

（1）求n S ； （2）设nnn n S b 43⋅=，求数列}{n b 的前n 项和n T 。

解：（1）由于222cos sin cos 333n n n πππ-=，故312345632313222222222()()()1245(32)(31)(3)(6)((3)))222k k k k S a a a a a a a a a k k k --=+++++++++++-+-=-++-+++-+1331185(94)2222k k k -+=+++=，3133(49),2k k kk k S S a --=-=2323131(49)(31)1321,22236k k k k k k k S S a k ------=-=+=-=--故1,3236(1)(13),316(34),36n n n k n n S n k n n n k⎧--=-⎪⎪+-⎪==-⎨⎪+⎪=⎪⎩，*k N ∈。

（2）394,424n n n nS n b n +==⋅⋅21132294[],2444n n n T +=+++1122944[13],244n n n T -+=+++两式相减得：12321991999419419443[13][13]8,12444242214nn n n n n n n n n T --+-++=+++-=+-=---故2321813.3322n n n n T -+=--⋅。

9、数列}{n a 满足}221221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22n n n n n a a a a a n ππ+===++=满足。

（1）求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式； （2）设21122,.n n n n na b S b b b a -==+++。

阶段滚动月考卷(六)算法、统计、计数原理、二项式定理、概率(时间:120分钟 分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2016·济南模拟)(滚动单独考查)若z=1−2i i(i 为虚数单位),则z 的共轭复数是 ( )A.-2-iB.2-iC.2+iD.-2+i2.(滚动交汇考查)已知命题p:∀x>0,x+4x≥4;命题q:∃x 0∈(0,+∞),0x 2=12.则下列判断正确的是 ( )A.p 是假命题B.q 是真命题C.p ∧(q)是真命题D.(p)∧q 是真命题3.(2016·青岛模拟)在“中学生歌手大赛”比赛现场上七位评委为某选手打出的分数的茎叶图如图所示,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为 ( )A.5和1.6B.85和1.6C.85和0.4D.5和0.44.已知bx n +1=a 0+a 1(x-1)+a 2(x-1)2+…+a n (x-1)n 对任意的x ∈R 恒成立,且a 1=18,a 2=72,则b 的值为 ( )A.1B.2C.12D.-25.某餐厅的原料费支出x 与销售额y(单位:万元)之间有如下数据,根据表中提供的全部数据,用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为=8.5x+7.5,则表中的m 的值为 ( )x24568y 25 35 m 55 75A.50B.55C.60D.656.(滚动单独考查)函数f(x)=(|x|+cosx)sinx 的大致图象为 ( )7.已知△ABC 的内角A,B,C 对的边分别为a,b,c,sinA+√2sinB=2sinC,b=3,当内角C 最大时,△ABC 的面积等于 ( ) A.9+3√34B.6+3√24C.3√2√6−√24D.3√6−3√248.(滚动单独考查)关于函数f(x)=2(sinx-cosx)cosx 的四个结论: P 1:最大值为√2;P 2:把函数g(x)=√2sin2x-1的图象向右平移π4个单位后可得到函数f(x)=2(sinx-cosx)cosx 的图象; P 3:单调递增区间为[k π+7π8,k π+11π8],k ∈Z;P 4:图象的对称中心为(k 2π+π8,−1),k ∈Z.其中正确的结论有 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个9.(2016·菏泽模拟)某班要从A,B,C,D,E 五人中选出三人担任班委中三种不同的职务,则上届任职的A,B,C 三人都不连任原职务的方法种数为 ( ) A.30 B.32 C.36 D.4810.(2016·兰州模拟)设点(a,b)是区域{x +y −4≤0,x >0,y >0内的随机点,函数y=ax 2-4bx+1在区间[1,+∞)上是增函数的概率为 ( ) A.13B.23C.14D.12二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.某校对高三年级1600名男女学生的视力状况进行调查,现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本,已知样本中女生比男生少10人,则该校高三年级的女生人数是 人.12.已知O,A,B 三地在同一水平面内,A 地在O 地正东方向2km 处,B 地在O 地正北方向2km 处,某测绘队员在A,B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点,用测绘仪进行测绘,O 地为一磁场,距离其不超过√3km 的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰,使测量结果不准确,则该测绘队员能够得到准确数据的概率是 .13.执行如图所示的程序框图,输出的k 值为 .14.(滚动交汇考查)(2016·武汉模拟)设二次函数f(x)=ax 2-4x+c(x ∈R)的值域为[0,+∞),则1c+1+9a+9的最大值为 .15.(2016·太原模拟)在正方形ABCD 中,点E 为AB 的中点,点P 是以点A 为圆心、AB 为半径的圆弧BD 上的任意一点.(1)若向正方形ABCD 内撒一枚幸运小花朵,则小花朵落在扇形ABD 内的概率为 .(2)设∠PAB=θ,向量AC →=λDE →+μAP →(λ,μ∈R),若μ-λ=1,则θ= . 三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:单价x(元)88.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y(件) 908483807568(1)求回归直线方程=x+,其中=-20,=y ̅-x ̅.(2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本)17.(12分)(滚动单独考查)如图1,在边长为2的正方形ABCD 中,点E 是边AB 的中点.将△ADE 沿DE 折起使得平面ADE ⊥平面BCDE,如图2,点F 是折叠后AC 的中点.(1)求证:BF ∥平面ADE.(2)求二面角E-AB-D 的平面角的余弦值.18.(12分)(滚动单独考查)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2=2,S n =n(a n +1)2.(1)证明:数列{a n+1-a n }是等差数列,并求出数列{a n }的通项公式. (2)设b n =1(2a n +1)(2a n −1),数列{b n }的前n 项和为T n ,求使不等式T n >k57对一切n ∈N *都成立的正整数k 的最大值.19.(12分)(2016·淄博模拟)某单位要从甲、乙、丙、丁四支球队中选拔两支参加上级比赛,选拔赛采用单循环制(即每两个队比赛一场),并规定积分前两名的队出线,其中胜一场积3分,平一场积1分,负一场积0分.在经过三场比赛后,目前的积分状况如下:甲队积7分,乙队积1分,丙和丁队各积0分. 根据以往的比赛情况统计:乙队胜的概率 乙队平的概率 乙队负的概率与丙队比赛14 14 12与丁队比赛13 13 13注:各队之间比赛结果相互独立. (1)选拔赛结束,求乙队积4分的概率.(2)设随机变量X 为选拔赛结束后乙队的积分,求随机变量X 的分布列与数学期望.(3)在目前的积分情况下,M 同学认为:乙队至少积4分才能确保出线,N 同学认为:乙队至少积5分才能确保出线.你认为谁的观点对?或是两者都不对?(直接写结果,不需证明)20.(13分)(滚动单独考查)已知抛物线C:x 2=2py(p>0)的焦点为F,抛物线上一点A 的横坐标为x 1(x 1>0),过点A 作抛物线C 的切线l 1交x 轴于点D,交y 轴于点Q,交直线l :y=p2于点M,当|FD|=2时,∠AFD=60°.(1)求证:△AFQ 为等腰三角形,并求抛物线C 的方程.(2)若B 位于y 轴左侧的抛物线C 上,过点B 作抛物线C 的切线l 2交直线l 1于点P,交直线l 于点N,求△PMN 面积的最小值,并求取到最小值时的x 1的值.21.(14分)(滚动单独考查)设函数f(x)=x 2+mln(x+1). (1)若函数f(x)是定义域上的单调函数,求实数m 的取值范围. (2)若m=-1,试比较当x ∈(0,+∞)时,f(x)与x 3的大小.(3)证明:对任意的正整数n,不等式e 0+e -1×4+e -2×9+…+2(1n)n e <n(n+3)2成立.答案解析1.D z=1−2i i=-2-i,故z ̅=-2+i.2.C 因为当x>0时,x+4x≥2√x ·4x=4,当且仅当x=2时等号成立,所以p 是真命题,当x>0时,2x 0>1,所以q 是假命题,所以 p ∧(﹁q)是真命题,(﹁p)∧q 是假命题.3.B 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数的个位数为4+4+4+6+75=5,所以平均数为85,方差为(84−85)2×3+(86−85)2+(87−85)25=1.6.【加固训练】一位篮球运动员在最近的5场比赛中得分的茎叶图如图,则他在这5场比赛中得分的方差为 .【解析】5场比赛中得分的平均值为10,所以方差为15[(-2)2+(-1)2+02+12+22]=2.答案:2 4.B因为bx n +1=b[1+(x-1)]n +1=a 0+a 1(x-1)+a 2(x-1)2+…+a n (x-1)n ,且a 1=18,a 2=72,所以b C n 1=18,b C n 2=72,解得b=2,n=9.5.C 由给定的表格可知x ̅=2+4+5+6+85=5,y ̅=25+35+m+55+755=38+m5;又回归直线y =8.5x+7.5过点(x̅,y ̅),故38+m 5=8.5×5+7.5,所以m=60. 6.【解题提示】根据函数的奇偶性及函数值在(0,π2)的符号来判断.A 函数f(x)的定义域为R,而且f(-x)=[|-x|+cos(-x)]sin(-x)= -(|x|+cosx)sinx=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,故排除B,D 两项;又当x ∈(0,π2)时,cosx>0,sinx>0,|x|>0,所以f(x)>0,故排除C.综上,选A.7.A 根据正弦定理及sinA+√2sinB=2sinC 得a+√2b=2c,c=a+3√22,cosC=a 2+b 2−c 22ab=a 2+9−a 2+6√2a+1846a=a 8+34a -√24≥2√a8·34a -√24=√6−√24,当且仅当a 8=34a,即a=√6时,等号成立,此时sinC=√6+√24,S △ABC =12absinC=12×√6×3×√6+√24=9+3√34.【加固训练】(滚动单独考查)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,若c=1,B=45°,cosA=35,则b 等于 ( )A.53B.107C.57D.5√214C 因为cosA=35,所以sinA=√1−cos 2A =√1−(35)2=45, 所以sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B) =sinAcosB+cosAsinB=45cos45°+35sin45°=7√210. 由正弦定理bsinB =csinC,得b=7√210×sin45°=57.8.B 因为f(x)=2sinxcosx-2cos 2x=sin2x-cos2x-1=√2sin (2x −π4)-1,所以最大值为√2-1,所以P 1错误.将g(x)=√2sin2x-1的图象向右平移π4个单位后得到h(x)=√2sin2(x −π4)-1=√2sin (2x −π2)-1的图象,所以P 2错误.由-π2+2k π≤2x-π4≤π2+2k π,k ∈Z,解得-π8+k π≤x ≤3π8+k π,k ∈Z,即增区间为[−π8+k π,3π8+k π],k ∈Z,所以P 3正确.由2x-π4=k π,k ∈Z,得x=k2π+π8,k ∈Z,所以图象的对称中心为(k2π+π8,−1),k ∈Z,所以P 4正确,所以选B.9.B 由题意可分三种情况,①A,B,C 三人都入选,则只有2种方法;②若A,B,C 三人只有两人入选,则一共有C 32×C 21×3=18种方法;③若A,B,C 三人只有一人入选,则一共有C 31×C 22×C 21×A 22=12种方法.所以一共有2+18+12=32种方法.【加固训练】(2015·沈阳模拟)如图所示,积木拼盘由A,B,C,D,E 五块积木组成,若每块积木都要涂一种颜色,且为了体现拼盘的特色,相邻的区域需涂不同的颜色(如:A 与B 为相邻区域,A 与D 为不相邻区域),现有五种不同的颜色可供挑选,则可组成的不同的积木拼盘的种数是 ( )A.780B.840C.900D.960D 先涂A,则A 有C 51=5种涂法,再涂B,因为B 与A 相邻,所以B 的颜色只要与A 不同即可,有C 41=4种涂法,同理C 有C 31=3种涂法,D 有C 41=4种涂法,E 有C 41=4种涂法,由分步乘法计数原理可知,可组成的不同的积木拼盘的种数为5×4×3×4×4=960.10.A 由题意可知,a>0,且b>0.由函数y=ax 2-4bx+1在区间[1,+∞)上是增函数,得{a >0,2b a ≤1,即{a >0,2b ≤a,易知不等式组{x +y −4≤0,x >0,y >0表示的平面区域的面积为8,解方程组{x +y =4,x −2y =0,得{x =83,y =43,故不等式组{a >0,b >0,2b ≤a,a +b −4≤0表示的平面区域的面积为12×4×43=83,所以所求概率为838=13.11.【解析】设样本中女生有x 人,则男生有(x+10)人,所以x+x+10=200,得x=95,设该校高三年级的女生有y 人,由分层抽样的定义可知y 1 600=95200,解得y=760.答案:76012.【解析】在等腰直角三角形OAB 中,以O 为圆心,√3为半径的圆截AB 所得的线段长为2,而|AB|=2√2,故该测绘队员能够得到准确数据的概率是1-2√2=1-√22. 答案:1-√2213.【解析】程序运行的过程:S=0,k=1, 不满足条件S<-1,S=lg 13,k=3; 不满足条件S<-1,S=lg 13+lg 35=lg 15,k=5; 不满足条件S<-1,S=lg 15+lg 57=lg 17,k=7; 不满足条件S<-1,S=lg 17+lg 79=lg 19,k=9; 不满足条件S<-1,S=lg 19+lg 911=lg 111,k=11;满足条件S<-1,退出循环,输出k 的值为11. 答案:1114.【解析】由题意知a>0,Δ=16-4ac=0,所以c=4a>0,所以1c+1+9a+9=14a+1+9a+9=aa+4+9a+9=a 2+18a+36a 2+13a+36=1+5a a 2+13a+36=1+5a+36a +13.因为a>0,所以a+36a≥12,当且仅当a=6时取等号. 所以1c+1+9a+9≤1+512+13=65.答案:6515.【解析】(1)所求概率为扇形ABD 的面积与正方形ABCD 的面积的比值,设正方形边长为a,则所求概率为P=14πa 2a 2=π4,故填π4.(2)不妨设正方形边长为1,以点A 为坐标原点,AB,AD 所在直线为x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,则DE →=(12,−1),AC →=(1,1),AP →=(cos θ,sin θ).由AC →=λDE →+μAP →,得{12λ+μcos θ=1,−λ+μsin θ=1,解得{λ=2sin θ−2cos θsin θ+2cos θ,μ=3sin θ+2cos θ.由μ-λ=1,求得sin θ=1,从而θ=π2.故填π2.答案:(1)π4(2)π216.【解析】(1)由于x ̅=16(x 1+x 2+x 3+x 4+x 5+x 6)=8.5,y ̅=16(y 1+y 2+y 3+y 4+y 5+y 6)=80.所以=y ̅-b x ̅=80+20×8.5=250. 从而回归直线方程为y =-20x+250. (2)设工厂获得的利润为L 元,依题意得 L=x(-20x+250)-4(-20x+250) =-20x 2+330x-1000=-20(x −334)2+361.25.当且仅当x=8.25时,L 取得最大值,故当单价定为8.25元时,工厂可获得最大利润. 17.【解析】(1)取AD 的中点G,连接EG,FG,因为点F 为AC 的中点, 所以FG12CD,又BE 12CD,所以FG BE,从而四边形EBFG 是平行四边形, 所以BF ∥EG,又BF ⊄平面ADE,EG ⊂平面ADE, 所以BF ∥平面ADE.(2)如图所示以点E 为坐标原点,建立空间直角坐标系, 则A (−15,25,√5),B(1,0,0),D(-1,2,0),设平面EAB 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),则11EA 0,EB 0⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ⇒ {−15x 1+25y 1+2√5z 1=0,x 1=0,解得一个法向量为n 1=(0,√5,-1). 设平面ABD 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则22BA 0,BD 0⎧=⎪⎨=⎪⎩n n ⇒ {−65x 2+25y 2+2√5z 2=0,−2x 2+2y 2=0,解得一个法向量为n 2=(√5,√5,2). 因为cos<n 1,n 2>=1212||||n n n n =√2114,所以二面角E-AB-D 的平面角的余弦值为√2114. 【加固训练】(2016·聊城模拟)已知几何体A-BCED 的三视图如图所示,其中俯视图和侧(左)视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正(主)视图为直角梯形.(1)求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值. (2)求二面角A-ED-B 的正弦值. (3)求此几何体的体积V 的大小.【解析】方法一:(1)取EC 的中点F,连接BF,AF,则BF ∥DE,所以∠FBA 或其补角即为异面直线DE 与AB 所成的角. 在△BAF 中,AB=4√2,BF=AF=2√5, 所以cos ∠ABF=√105, 所以异面直线DE 与AB 所成角的余弦值为√105.(2)AC ⊥平面BCE,过C 作CG ⊥DE 交DE 于G,连接AG. 可得DE ⊥平面ACG,从而AG ⊥DE. 所以∠AGC 为二面角A-ED-B 的平面角. 在△ACG 中,∠ACG=90°,AC=4,CG=8√55,所以tan ∠AGC=√52,所以sin ∠AGC=√53,所以二面角A-ED-B 的正弦值为√53. (3)V=13·S BCED ·AC=16,所以几何体的体积V 为16.方法二(坐标法):(1)以C 为原点,以CA,CB,CE 所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,2),E(0,0,4),DE →=(0,-4,2),AB →=(-4,4,0),所以cos<DE →,AB →>=-√105, 所以异面直线DE 与AB 所成的角的余弦值为√105.(2)平面BDE 的一个法向量为CA →=(4,0,0), 设平面ADE 的一个法向量为n =(x,y,z),n ⊥AD →,n ⊥DE →,AD →=(-4,4,2),DE →=(0,-4,2), 所以n ·AD →=0,n ·DE →=0, 从而-4x+4y+2z=0,-4y+2z=0, 令y=1,则n=(2,1,2),cos<CA →,n >=23,所以二面角A-ED-B 的正弦值为√53.(3)V=13·S BCED ·AC=16, 所以几何体的体积V 为16.18.【解析】(1)由题意知,当n=1时,a 1=S 1=a 1+12,所以a 1=1.又a 2=2,所以a 2-a 1=1. 当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n(a n +1)2-(n−1)(a n−1+1)2=12[na n −(n −1)a n−1+1],故a n+1=12[(n+1)a n+1-na n +1],则a n+1-a n =12[(n+1)a n+1-2na n +(n-1)a n-1], 则(n-1)a n+1-2(n-1)a n +(n-1)a n-1=0, 即a n+1-2a n +a n-1=0,a n+1-a n =a n -a n-1,则数列{a n+1-a n }是首项为1,公差为0的等差数列,从而a n -a n-1=1(n ≥2),则数列{a n }是首项为1,公差为1的等差数列. 所以a n =n(n ∈N *).(2)b n =1(2a n +1)(2a n −1)=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1),所以T n =b 1+b 2+…+b n =12[(1−13)+(13−15)+…+(12n−1−12n+1)]=12(1−12n+1)=n2n+1. 由于T n+1-T n =n+12n+3-n2n+1=1(2n+3)(2n+1)>0.因此T n 单调递增,故T n 的最小值为T 1=13, 令13>k57,得k<19,又k ∈N *,所以正整数k 的最大值为18.19.【解析】(1)设乙队胜、平、负丙队分别为事件A 1、A 2、A 3, 乙队胜、平、负丁队分别为事件B 1、B 2、B 3. 则P(A 1)=P(A 2)=14,P(A 3)=12;P(B 1)=P(B 2)=P(B 3)=13;设乙队最后积4分为事件C,则P(C)=P(A 1)P(B 3)+P(B 1)P(A 3)=14×13+12×13=14.(2)随机变量X 的可能值为:7,5,4,3,2,1. P(X=7)=P(A 1)P(B 1)=14×13=112;P(X=5)=P(A 1)P(B 2)+P(A 2)P(B 1)=14×13+14×13=16; P(X=4)=P(A 1)P(B 3)+P(A 3)P(B 1)=14×13+12×13=14;P(X=3)=P(A 2)P(B 2)=14×13=112;P(X=2)=P(A 2)P(B 3)+P(A 3)P(B 2)=14×13+12×13=14;P(X=1)=P(A 3)P(B 3)=12×13=16;随机变量X 的分布列为:E(X)=7×112+5×16+4×4+3×12+2×4+1×6=3.(3)N 同学的观点对,乙队至少积5分才能确保出线. 20.【解析】(1)设A (x 1,x 122p),则A 处的切线方程为l 1:y=x 1px-x 122p,所以D (x 12,0),Q (0,−x 122p),F (0,p 2).所以|AF|=x 12+p22p.所以|FQ|=p 2+x 122p=|AF|,即△AFQ 为等腰三角形.又D 为线段AQ 的中点,所以FD ⊥AQ, 又∠AFD=60°,|FD|=2, 所以|AF|=4,得{p2+x 122p=4,x 12+p 2=16,所以p=2,即抛物线C 的方程为x 2=4y.(2)设B(x 2,y 2)(x 2<0),则B 处的切线方程为y=x 22x-x 224,由{y =x 12x −x 124,y =x 22x −x 224得P (x 1+x 22,x 1x 24),由{y =x 12x −x 124,y =1得M (x 12+2x 1,1),同理N (x 22+2x 2,1),所以面积S=12(x 12+2x 1−x 22−2x 2)·(1−x 1x 24)=(x 2−x 1)(x 1x 2−4)216x 1x 2,①设AB 的方程为y=kx+b,则b>0,由{y =kx +b,x 2=4y 得x 2-4kx-4b=0, 得{x 1+x 2=4k,x 1x 2=−4b代入①得: S=√16k 2+16b(4+4b)264b=(1+b)2√k 2+bb,要使面积最小,则k=0, 得到S=(1+b)2√bb,②令√b =t,则由②得S(t)=(1+t 2)2t=t 3+2t+1t,S ′(t)=(3t 2−1)(t 2+1)t 2,所以当t ∈(0,√33)时,S(t)单调递减;当t ∈(√33,+∞)时,S(t)单调递增, 所以当t=√33时,S 取到最小值为16√39, 此时b=t 2=13,k=0,所以y 1=13,即x 1=2√33.故当△PMN 面积取到最小值时的x 1的值为2√33.21.【解析】(1)因为f ′(x)=2x+m x+1=2x 2+2x+mx+1,又函数f(x)在定义域上是单调函数,所以f ′(x)≥0或f ′(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立,若f ′(x)≥0在(-1,+∞)上恒成立,即函数f(x)是定义域上的单调递增函数,则m ≥-2x 2-2x=-2(x +12)2+12在(-1,+∞)上恒成立,由此可得m ≥12;若f ′(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立,即函数f(x)是定义域上的单调递减函数,则m ≤-2x 2-2x=-2(x +12)2+12在(-1,+∞)上恒成立.因为y=-2(x +12)2+12在(-1,+∞)上没有最小值,所以不存在实数m 使f ′(x)≤0在(-1,+∞)上恒成立. 综上所述,实数m 的取值范围是[12,+∞).(2)当m=-1时,函数f(x)=x 2-ln(x+1). 令g(x)=f(x)-x 3=-x 3+x 2-ln(x+1), 则g ′(x)=-3x 2+2x-1x+1=-3x 3+(x−1)2x+1,显然,当x ∈(0,+∞)时,g ′(x)<0, 所以函数g(x)在(0,+∞)上单调递减,又g(0)=0,所以当x ∈(0,+∞)时,恒有g(x)<g(0)=0, 即f(x)-x 3<0恒成立. 故当x ∈(0,+∞)时,f(x)<x 3.(3)由(2)可知x 2-x 3<ln(x+1)(x ∈(0,+∞)), 所以e (1−x)x 2<x+1(x ∈(0,+∞)), 所以e(1−n)n 2<n+1(n ∈N *),所以e 0+e -1×4+e -2×9+…+e (1−n)n 2<2+3+4+…+(n+1)=n(n+3)2.关闭Word 文档返回原板块。

规范答题示范一一函数与导数解答题【典例】(12分)(2017・全国III卷)已知函数» = ln x+ax + (2a + l)x.(1)讨论函数只尤)的单调性；. 3(2)当a<0时，证明fix) W —疝一 2.［信息提取］看到讨论/U)的单调性，想到先确定函数的定义域，然后对函数川)进行求导.3看到要证ROW一焉一2成立，想到利用导数求函数的最大值.［规范解答］⑴解只力的定义域(0, +oo),1 I | | (2QX+1) (x+1)f (x) =—+ 2ax+2。

+1 = ■. .....................................................................1分若aNO 时，则当xe(0, +oo)时，f(x)>0,故只x)在(0, +s)上单调递增，.....................................................................2分若。

<0时，则当对［。

，一土)时，/(x)>0；当好［一土，+』时，加<0.故只x)在［。

，一如上单调递增，在［一土，上单调递减. .....................................................................5分(2)证明由⑴知，当a<0时顼x)在》=一土处取得最大值，最大值为f ［—土)=mW\ laj 4a所以母)W 一土一2 等价于ln［一土)— 1 一土W 一土—2,即In［一新 +土+1W0,.....................................................................8分设g(x)=lnx—x+1,则g，(x)=?—1.当xG(o, 1)时，g‘a)>o；尤E(I, +oo)时，g，a)<o.所以g(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, +8)上单调递减.故当x=l时，g(x)取得最大值，最大值为g(l) = O. .....................................................................10分所以当x>0时，g(x)W0,从而当a<0时，In［—新+土+1W0,3即必)鞋—2. .....................................................................12分［高考状元满分心得］得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分.如第(1)问中，求导正确，分类讨论；第⑵问中利用单调性求g(x)的最大值和不等式性质的运用.得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(1)问中，求出只”的定义域,f(x)在(0, +co)上单调性的判断；第⑵问，式”在》=—土处最值的判定，y(x)W一土一2等价转化为In［一如+土+1W0等.得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问中，求导尹(” 准确，否则全盘皆输，第(2)问中，准确计算只》)在》=—土处的最大值.［解题程序］第一步：求函数式”的导函数/(%);第二步：分类讨论式”的单调性；第三步：利用单调性，求只X)的最大值；第四步：根据要证的不等式的结构特点，构造函数g(x);第五步：求g(x)的最大值，得出要证的不等式.第六步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范.【巩固提升】已知函数/(%) =x2—Mn%—a, g(x)=j—x.⑴当。

滚动检测六考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间120分钟，满分150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝2x 21－x ＋lg(3x ＋1)的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫－13，1 B.⎝⎛⎭⎫－13，13 C.⎝⎛⎭⎫－13，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13 2．(2018届广西桂林、柳州模拟)设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 3的值为( )A.154B.152C.74D.723．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的最小正周期为2π3，则f (x )图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π24．函数f (x )＝2x －2x －m 的一个零点在区间(2,3)内，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，3)B ．(1,3) C.⎝⎛⎭⎫3，223 D.⎝⎛⎭⎫223，＋∞ 5．(2018·深圳调研)已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是⎝⎛⎭⎫6，172，则|P A |＋|PM |的最小值是( ) A ．8 B.192 C ．10 D.2126．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．87．(2017·江西赣州期末)如图，有一建筑物OP ，为了测量它的高度，在地面上选一长度为40 m 的基线AB ，若在点A 处测得P 点的仰角为30°，在B 点处的仰角为45°，且∠AOB ＝30°，则建筑物的高度为( )A ．20 mB ．20 2 mC ．20 3 mD ．40 m8．已知|AB →|＝1，|AC →|＝2，AB →·AC →＝0，点D 在∠CAB 内，且∠DAB ＝30°，设AD →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λ等于( )A ．3 B.33 C.233D ．2 3 9．(2018届安徽合肥一中、马鞍山二中联考)如图，等边△ABC 的边长为2，顶点B ，C 分别在x 轴的非负半轴，y 轴的非负半轴上滑动，M 为AB 的中点，则OA →·OM →的最大值为( )A.7B.52＋7 C.72D ．3＋33210．(2018届江西赣州红色七校联考)已知圆C ：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－1＝0(a <0)的圆心在直线3x －y ＋3＝0上，且圆C 上的点到直线3x ＋y ＝0的距离的最大值为1＋3，则a 2＋b 2的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．411．(2018届湖南益阳、湘潭调研)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若点F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( )A ．5B ．6 C.163D.20312．若点M (a ，b )在函数y 1＝－x 2＋3ln x 的图象上，点N (c ，d )在函数y 2＝x －2的图象上，则(a ＋c )2＋(b ＋d )2 的最小值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2D ．3 2第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．(2018·梅州质检)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝AA 1＝2，E 为AB 上一点，且AE ＝2EB ，F 为CC 1的中点，P 为C 1D 1上的动点，则当EF ⊥CP 时，PC 1＝________.14．(2017·河南息县一中阶段测试)已知实数(x ，y )满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，－2x ＋y ＋m ≥0，若目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为3，则其最大值为________．15．在平面直角坐标系xOy 中，若圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线l ：kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为________．16．(2017·广西南宁金伦中学期末)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线C 上的一点，若|PF 1→＋PF 2→|＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2，|PF 1→|＝2|PF 2→|，则双曲线C的离心率是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)(2018届山东邹平双语中学月考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知a ＝(cos A ，cos B )，b ＝(a,2c －b )，a ∥b .(1)求角A 的大小；(2)若b ＝3，△ABC 的面积为33，求a 的值．18．(12分)(2018届湖北黄石三中阶段性检测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1,2S n ＝(n ＋1)a n ，n ∈N *，令b n ＝2a n －1. (1)求{b n }的通项公式；(2)若c n ＝b n log 2b n ＋1，且数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n .19.(12分)(2018届百校联盟联考)如图所示，菱形ABCD 与正三角形BCE 所在平面互相垂直，FD ⊥平面ABCD ，且AB ＝2，FD ＝ 3.(1)求证：EF ∥平面ABCD ；(2)若∠CBA ＝π3，求几何体EF ABCD 的体积．20．(12分)(2018届中原名校质量考评)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且过点⎝⎛⎭⎫1，32.若点M (x 0，y 0)在椭圆C 上，则点N ⎝⎛⎭⎫x 0a ，y 0b 称为点M 的一个“椭点”．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试求△AOB 的面积．21.(12分)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(0<b <a <3)的左、右焦点，点P (2，2)是椭圆G 上一点，且|PF 1|－|PF 2|＝a . (1)求椭圆G 的方程；(2)设直线l 与椭圆G 相交于A ，B 两点，若OA →⊥OB →，其中O 为坐标原点，判断O 到直线l 的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22．(12分)(2018·吉林省吉大附中摸底)设f (x )＝(4x ＋a )ln x3x ＋1，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直． (1)求a 的值；(2)若对于任意的x ∈[1，＋∞)，f (x )≤m (x －1)恒成立，求m 的取值范围；(3)求证：ln(4n ＋1)≤16∑n i＝1i(4i ＋1)(4i －3)(n ∈N *)．答案精析1．A [函数f (x )＝2x 21－x ＋lg(3x ＋1)的定义域满足⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，3x ＋1>0， 解得－13<x <1，故选A.]2．A [由等比数列的前n 项和公式得S 4＝a 1(1－q 4)1－q ，又a 3＝a 1q 2，∴S 4a 3＝1－q 4(1－q )q 2＝154.] 3．A [由T ＝2πω＝2π3得ω＝3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6－1， 所以由3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝π9＋k π3，k ∈Z ，令k ＝0，得f (x )图象的一条对称轴方程是x ＝π9.故选A.]4．C [由f (x )是(2,3)上的增函数及零点存在性定理得f (2)f (3)<0，解不等式可得C 正确．] 5．B [依题意可知焦点F ⎝⎛⎭⎫0，12，准线为y ＝－12，延长PM 交准线于点H ，则|PF |＝|PH |，|PM |＝|PH |－12＝|PF |－12，|P A |＋|PM |＝|PF |＋|P A |－12，即求|PF |＋|P A |的最小值． 因为|PF |＋|P A |≥|F A |， 又|F A |＝62＋⎝⎛⎭⎫172－122＝10，所以|PM |＋|P A |≥10－12＝192，故选B.]6．B [因为a >0，x >0，y >0，所以(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋axy ≥1＋a ＋2a ＝(1＋a )2，当且仅当y x ＝axy 时取等号，由题设可知(1＋a )2≥9， 所以1＋a ≥3，即a ≥4，故选B.]7．D [设高PO ＝h m ，则OA ＝h tan 60°＝3h m ， OB ＝OP tan 45°＝h m ， 在△AOB 中，由余弦定理得402＝(3h )2＋h 2－2×3h ×h ×cos 30°， 解得h ＝40.故选D.]8．D [由AB →·AC →＝0，知AB →⊥AC →， 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系， 则B (1,0)，C (0,2)，而∠DAB ＝30°， 设D (3y ，y )(y >0)，则由AD →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，得(3y ，y )＝(λ，2μ)， 则有λ＝3y ，μ＝12y ，故λμ＝2 3.]9．B [设∠OBC ＝θ，则B (2cos θ，0)，C (0,2sin θ)，A ⎝⎛⎭⎫2cos θ－2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3， M ⎝⎛⎭⎫2cos θ－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3， OA →·OM →＝⎣⎡⎦⎤2cos θ－2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3×⎣⎡⎦⎤2cos θ－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3 ＋2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3×sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3 ＝4cos 2θ＋2cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π3－6cos θcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＋2sin 2⎝⎛⎭⎫θ＋π3 ＝2＋4cos 2θ－6cos θcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3 ＝2＋4cos 2θ－6cos θ⎝⎛⎭⎫12cos θ－32sin θ＝2＋cos 2θ＋33sin θcos θ ＝52＋12cos 2θ＋332sin 2θ ＝52＋7sin(2θ＋φ)，tan φ＝39， ∴OA →·OM →的最大值为52＋7.故选B.]10．C [由题意知圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝1， 圆心为(a ，b )，则3a －b ＋3＝0，① 即b ＝3(a ＋1)，圆C 上的点到直线3x ＋y ＝0的距离的最大值为d ＝1＋|3a ＋b |2＝3＋1，解得|3a ＋b |＝23，②由①②得|2a ＋1|＝2，a <0，故得a ＝－32，a 2＋b 2 ＝a 2＋3(a ＋1)2＝3.]11．C [如图，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D .由抛物线定义知， |AF |＝|AD |＝4，由点F 是AC 的中点，有 |AF |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4， 解得p ＝2，抛物线为y 2＝4x . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，A (3,23)，F (1,0)，k AF ＝233－1＝ 3.直线AF ：y ＝3(x －1)，与抛物线y 2＝4x 联立得3x 2－10x ＋3＝0，x 1＋x 2＝103.|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝103＋2＝163.故选C.]12．C [由题意得点P (－c ，－d )在函数y 3＝x ＋2的图象上，(a ＋c )2＋(b ＋d )2＝|MP |，令y 1′＝－2x ＋3x ＝1，x >0，解得x ＝1，所以(a ＋c )2＋(b ＋d )2的最小值为点(1，－1)到直线y ＝x ＋2的距离，即1＋1＋22＝22，故选C.]13．214．7解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤4，－2x ＋y ＋m ≥0表示的区域如图，结合图形可知当动直线z ＝2x ＋y 经过点C (2,4－m )时，动直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距z 取得最小值3，即z min ＝2×2＋4－m ＝8－m ＝3，故m ＝5，所以动直线经过点N (3,1)时，动直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距z 取得最大值，即z max ＝2×3＋1＝7. 15．－43解析 方法一 圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝1关于x 轴对称的圆C ′的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1，则符合题意的k 的取值范围就是圆C ′与l 有公共点时k 的取值范围，∴|2k －2＋3|k 2＋1≤1，∴－43≤k ≤0，即k 的最小值为－43.方法二 ∵M 在圆C ：(x －2)2＋(y －2)2＝1上， ∴可设M (2＋cos θ，2＋sin θ)， 可得N (2＋cos θ，－2－sin θ)， 将N 的坐标代入kx ＋y ＋3＝0，可得sin θ－k cos θ＝2k ＋1，|2k ＋1|≤k 2＋1， 化简得3k 2＋4k ≤0，解得－43≤k ≤0，∴k 的最小值为－43.16. 5解析 设双曲线的半焦距为c ，因为|PF 1→＋PF 2→|＝|PF 1→|2＋|PF 2→|2，所以PF 1→⊥PF 2→，设|PF 1→|＝2t ，|PF 2→|＝t ，则根据双曲线的定义，得|PF 1→|－|PF 2→|＝t ＝2a ，又2c ＝t 2＋(2t )2＝5t ，所以e ＝2c2a＝ 5. 17．解 (1)∵a ∥b ，∴(2c －b )·cos A －a ·cos B ＝0，∴cos A ·(2sin C －sin B )－sin A ·cos B ＝0， 即2cos A sin C －cos A sin B －sin A ·cos B ＝0， ∴2cos A sin C ＝cos A sin B ＋sin A ·cos B ， ∴2cos A sin C ＝sin(A ＋B )， 即2cos A sin C ＝sin C ， ∵sin C ≠0，∴2cos A ＝1， 即cos A ＝12，又0<A <π，∴A ＝π3.(2)∵b ＝3，由(1)知，A ＝π3，S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3c ×32＝33，∴c ＝4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋42－2×3×4×12＝13，∴a ＝13.18．解 (1)当n ≥2时，2a n ＝2(S n －S n －1)＝(n ＋1)a n －na n －1， 得a n a n －1＝n n －1， ∴a n ＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1×a 1＝n n －1×n －1n －2×…×21×1＝n .∵a 1＝1，∴a n ＝n (n ∈N *)，∴b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)∵c n ＝b n log 2b n ＋1＝2n －1log 22n ＝n ·2n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ·2n －1，2T n ＝2＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ·2n ，作差得－T n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ，∴T n ＝(n －1)·2n ＋1.19．(1)证明 如图所示，过点E 作EH ⊥BC 于H ，连接HD ，∵△BCE 为正三角形，BC ＝2， ∴EH ＝ 3.∵平面ABCD ⊥平面BCE ，EH ⊂平面BCE ，平面ABCD ∩平面BEC ＝BC ，∴EH ⊥平面ABCD .又∵FD ⊥平面ABCD ，FD ＝3，∴FD 綊EH .∴四边形EHDF 为平行四边形，∴EF ∥HD .又∵EF ⊄平面ABCD ，HD ⊂平面ABCD ，∴EF ∥平面ABCD .(2)解 连接CF ，HA ，BF ，AC .由题意得△ABC 为正三角形，∴HA ⊥BC .∵平面ABCD ⊥平面BCE ，HA ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面BCE ＝BC ，∴HA ⊥平面BCE .∵FD ∥EH ，EH ⊂平面BCE ，FD ⊄平面BCE ，∴FD ∥平面BCE .同理由BC ∥AD 可证AD ∥平面BCE ，∵FD ∩AD ＝D ，FD ⊂平面ADF ，AD ⊂平面ADF ，∴平面BCE ∥平面ADF ，∴F 到平面BCE 的距离等于HA 的长．∵FD 为四棱锥F —ABCD 的高，∴V 几何体EF ABCD ＝V 三棱锥F —BCE ＋V 四棱锥F —ABCD＝13S △BCE ·HA ＋13S ABCD ·FD ＝13·3·3＋13·23·3＝3. 20．解 (1)由e ＝12，得a ＝2c ，又a 2＝b 2＋c 2，∴b ＝3c ， ∴椭圆C ：x 24c 2＋y 23c2＝1，∵点⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上， ∴14c 2＋943c2＝1，得c ＝1，∴a ＝2，b ＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P ⎝⎛⎭⎫x 12，y 13，Q ⎝⎛⎭⎫x 22，y 23，由以PQ 为直径的圆经过坐标原点，得OP →·OQ →＝0，即x 1x 24＋y 1y 23＝0.① 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，消去y ，整理得 (3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，由Δ＝64k 2m 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，得3＋4k 2－m 2>0，而x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2，② ∴y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2.③ 将②③代入①，得m 2－33＋4k 2＋m 2－4k 23＋4k 2＝0， 即2m 2－4k 2＝3.④又|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 248(4k 2－m 2＋3)3＋4k 2， 原点O 到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d ＝|m |k 2＋1， ∴S △AOB ＝12|AB |·d ＝121＋k 248(4k 2－m 2＋3)3＋4k 2·|m |1＋k2， 将④代入上式，得S △AOB ＝3，即△AOB 的面积为 3.21．解 (1)∵|PF 1|－|PF 2|＝a ，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝32a ＝3|PF 2|， 则(2＋c )2＋2＝3(2－c )2＋2，化简得c 2－5c ＋6＝0，又c <a <3，∴c ＝2，则|PF 1|＝32＝32a ，得a ＝22， 则b 2＝a 2－c 2＝4，∴椭圆G 的方程为x 28＋y 24＝1. (2)由题意知，直线l 不过原点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(ⅰ)当直线l ⊥x 轴时，直线l 的方程为x ＝m (m ≠0)且－22<m <22，则x 1＝m ，y 1＝ 4－m 22，x 2＝m ，y 2＝－ 4－m 22， ∵OA →⊥OB →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴m 2－⎝⎛⎭⎫4－m 22＝0，解得m ＝±263， 故直线l 的方程为x ＝±263， ∴原点O 到直线l 的距离为d ＝263. (ⅱ)当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋n ，联立直线和椭圆方程消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4knx ＋2n 2－8＝0，由Δ＝(4kn )2－4(1＋2k 2)(2n 2－8)>0，得－n 2＋4＋8k 2>0.∵x 1＋x 2＝－4kn 1＋2k 2，x 1x 2＝2n 2－81＋2k 2， ∴y 1y 2＝(kx 1＋n )(kx 2＋n )＝k 2x 1x 2＋nk (x 1＋x 2)＋n 2＝n 2－8k 21＋2k 2， ∵OA →⊥OB →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0，故2n 2－81＋2k 2＋n 2－8k 21＋2k 2＝0， 即3n 2－8k 2－8＝0,3n 2＝8k 2＋8，①原点O 到直线l 的距离为d ＝|n |1＋k 2， 则d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|n |1＋k 22＝n 21＋k 2＝3n 23(1＋k 2)，② 将①式代入②式，得d 2＝8k 2＋83(1＋k 2)＝83，∴d ＝263. 综上，点O 到直线l 的距离为定值263. 22．(1)解 f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫4x ＋a x ＋4ln x (3x ＋1)－3(4x ＋a )ln x (3x ＋1)2，f ′(1)＝1，解得a ＝0.(2)解 对于任意的x ∈[1，＋∞)，f (x )≤m (x －1)，即4ln x －m ⎝⎛⎭⎫3x －1x －2≤0恒成立， 设g (x )＝4ln x －m ⎝⎛⎭⎫3x －1x －2，x ∈[1，＋∞)， 即对任意的x ∈[1，＋∞)，g (x )≤0恒成立，则g ′(x )＝4x －m ⎝⎛⎭⎫3＋1x 2＝－3mx 2＋4x －m x 2，g ′(1)＝4－4m . ①若m ≤0，则g ′(x )>0，g (x )单调递增，g (x )≥g (1)＝0，这与g (x )≤0矛盾；②若m ∈(0,1)，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2＋4－3m 23m 时， g ′(x )>0，g (x )单调递增，g (x )>g (1)＝0，这与g (x )≤0矛盾； ③若m ≥1，当x ∈(1，＋∞)，g ′(x )≤0，g (x )单调递减， g (x )≤g (1)＝0，即g (x )≤0恒成立．综上所述，m ∈[1，＋∞)．(3)证明 由(2)知，当x ≥1，m ＝1时，ln x ≤14⎝⎛⎭⎫3x －1x －2成立． 不妨令x ＝4i ＋14i －3(i ∈N *)， 所以ln 4i ＋14i －3≤16i (4i ＋1)(4i －3)， 于是ln4×1＋14×1－3≤16×1(4×1＋1)(4×1－3)， ln4×2＋14×2－3≤16×2(4×2＋1)(4×2－3)， ln4×3＋14×3－3≤16×3(4×3＋1)(4×3－3)，…， ln 4×n ＋14×n －3≤16×n (4×n ＋1)(4×n －3)，n i＝1i(4i＋1)(4i－3)(n∈N*)．累加得ln(4n＋1)≤16∑。