新课标A版数学必修二模块综合测评模块综合测评(二)
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模块综合测试(满分120分,测试时间100分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.给出下列命题:①底面多边形内接于一个圆的棱锥的侧棱长相等,②棱台的各侧棱不一定相交于一点,③如果不在同一平面内的两个相似的直角三角形的对应边互相平行,则连结它们的对应顶点所围成的多面体是三棱台,④圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连线都是圆台的母线.其中正确的个数为( )A.3B.2C.1D.0解析:命题①中:底面多边形内接于一个圆,但并不能推测棱长相等;命题②中:由棱台的性质可知,棱台的各侧棱延长后相交于一点;命题③中:因两个直角三角形相似且对应边平行,可推出连结对应顶点后延长线交于一点,即此几何体可由一个平行于底面的平面所截,故命题③正确;命题④中:上底的圆周上一点与下底圆周上任一点连线有三种可能:在圆周上的曲线、侧面上的曲线或不在侧面上的线段.答案:C2.图1是一个物体的三视图,则此三视图所描述的物体是下列几何体中的( )图1解析:从三个角度看都是符合的,故选D.答案:D3.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是( )图2A.16πB.20πC.24πD.32π解析:由题意可得该正四棱柱的底面面积为4,边长为2.因正四棱柱属于长方体,因此所求球的球心在该长方体的中心,即球的直径为26,根据球的表面积公式可得球的表面积为24π.答案:C4.木星的体积约是地球体积的30240倍,则它的表面积约是地球表面积的( )A.60倍B.3060倍 C.120倍 D.30120倍解析:设木星的半径为r1,地球的半径为r2,由题意,得302403231rr,则木星的表面积∶地球的表面积=.120302403024013024032231232312221=⨯=⨯=•=rrrrrr答案:C5.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图3所示的直观图,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=23,那么原△ABC是一个( )图3A.等边三角形B.直角三角形C.三边中有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形解析:根据“斜二测画法”可得BC=B′C′=2,AO=2A′O′=3.故原△ABC是一个等边三角形. 答案:A6.已知直线m、n与平面α、β,给出下列三个命题:①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α,则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3解析:通过举例可证明①错误,可知②③命题为正确命题.答案:C7.点P(2,5)关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为( )A.(6,-3)B.(3,-6)C.(-6,-3)D.(-6,3)解析:根据两点关于直线对称的特点:两点的连线与对称轴垂直以及两点的中点在对称轴上,可得对称点为(-6,-3).答案:D8.点P在正方形ABCD所在平面外,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成角的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析:将图形补成一个正方体如图,则PA与BD所成角等于BC′与BD所成角即∠DBC′.在等边三角形DBC′中,∠DBC′=60°,即PA与BD所成角为60°.答案:C9.若l为一条直线,α、β、γ为三个互不重合的平面,给出下面三个命题:①α⊥γ,β⊥γ⇒α⊥β;②α⊥γ,β∥γ⇒α⊥β;③l∥α,l⊥β⇒α⊥β.其中正确的命题有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个解析:①中可由长方体的一角证明是错误的;②③易证明是正确的.答案:C10.已知实数x 、y 满足2x+y+5=0,那么22y x +的最小值为( )A.5B.10C.52D.102解析:22y x +表示点P(x,y)到原点的距离.根据数形结合得22y x +的最小值为原点到直线2x+y+5=0的距离,即d=555=.答案:A11.在坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条解析:与点A (1,2)的距离为1的直线即为以点A(1,2)为圆心,以1为半径的圆的切线.与点B (3,1)的距离为2的直线即为以点B(3,1)为圆心,以2为半径的圆的切线.所以到A 、B 两点距离为1和2的直线即为两圆的公切线,因|AB |=5)12()31(22=-+-,且125+<,所以两圆相交,故有两条公切线.答案:B12.矩形ABCD 中,AB=4,BC=3,沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角BACD ,则四面体ABCD 的四个顶点所在球的体积为( )A.π12125B.π9125C.π6125D.π3125 解析:连结矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ,则AO=BO=CO=DO ,翻折后仍然AO=BO=CO=DO ,则O 为四面体ABCD 四个顶点所在球的圆心,因此四面体ABCD 四个顶点所在球的半径为25,故球的体积为ππ6125)25(343=. 答案:C二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)13.圆台上、下底半径为2和3,则中截面面积为________________.解析:由圆台的性质可知中截面是一个圆,圆的直径为轴截面梯形的中位线,设中截面圆的半径为x ,故有4x=4+6,解得x=π425,25=S . 答案:π425 14.经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点,且平行于直线x+2y-3=0的直线方程是____________.解析:由已知可设经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点的直线方程为2x+3y-7+λ(7x+15y+1)=0,整理得(2+7λ)x+(3+15λ)y -7+λ=0.根据两直线平行关系得λ=1,代入得3x+6y-2=0.答案:3x+6y-2=0 15.过A(-3,0)、B(3,0)两点的所有圆中面积最小的圆的方程是___________________.解析:根据圆的性质,圆的半径最小时,面积最小,即以AB 为直径端点的圆满足条件,所求方程为x 2+y 2=9.答案:x 2+y 2=916.已知圆锥的侧面积是底面积的2倍,它的轴截面的面积为Q ,则圆锥的体积为___________.解析:设圆锥的高为h,半径为r,母线为l ,则S 侧=πr l ,S 底=πr 2,∵S 侧=2S 底,∴πr l =2πr 2,即l =2r.又l 2=r 2+h 2,解得h=r 3.又∵S 轴截面=rh=Q,∴r 2=3Q,即r=43Q.∴h=4333Qr =.故V 圆锥=31πr 2h=433Q Q π. 答案:433QQ π 17.已知圆柱的高为h ,底面半径为R ,轴截面为矩形A 1ABB 1,在母线AA 1上有一点P ,且PA=a ,在母线BB 1上取一点Q ,使B 1Q=b ,则圆柱侧面上P 、Q 两点的最短距离为____________.解析:如图甲,沿圆柱的母线AA 1剪开得矩形(如图乙),过P 作PE ∥AB 交BB 1于E ,则PE=AB=21·2πR=πR ,QE=h-a-b. ∴PQ=2222)()(b a h R QE PE --+=+π.答案:22)()(b a h R --+π18.过圆x 2+y 2=4外的一点A(4,0)作圆的割线,则割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程为________________.解析:设弦的中点是P(x 0,y 0),根据圆的几何性质得OP ⊥AP ,即点P(x 0,y 0)在以OA 为直径的圆上,即(x 0-2)2+y 02=4.因P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=4内,故弦的中点的轨迹方程为(x-2)2+y 2=4,x ∈[0,1).答案:(x-2)2+y 2=4,x ∈[0,1)三、解答题(本大题共4小题,共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19.(本小题满分10分)已知直线l 垂直于直线3x-4y-7=0,直线l 与两坐标轴围成的三角形的周长为10,求直线l的方程.解:设直线l方程为4x+3y+b=0,则l 与x轴、y轴的交点为A(4b-,0),B(0,3b-).∴|AB|=b125.由|OA|+|OB|+|AB|=10,得12||53||4||bbb++=10.∴b=±10.∴l方程为4x+3y+10=0,4x+3y-10=0.20.(本小题满分12分)圆锥底面半径为1 cm,高为2cm,其有一个内接正方体,求这个内接正方体的棱长.解:过圆锥的顶点和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面,得圆锥的轴截面SEF,正方体对角面CDD1C1,如图,设正方体棱长为x,则CC1=x,C1D1=2x.作SO⊥EF于O,则SO=2,OE=1,∵△ECC1∽△ESO,∴EOECSOCC11=.∴12212xx-=.∴x=22(cm).∴正方体棱长为22cm.21.(本小题满分12分)(2005江苏高考,19)如图4,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点),使得PM=2PN,试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程.图4解:如图,以直线O1O2为x轴,线段O1O2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则两圆心分别为O1(-2,0),O2(2,0).设P(x,y),则PM 2=O 1P 2-O 1M 2=(x+2)2+y 2-1.同理,PN 2=(x-2)2+y 2-1.∵PM=2PN ,∴(x+2)2+y 2-1=2[(x-2)2+y 2-1],即x 2-12x+y 2+3=0,即(x-6)2+y 2=33.这就是动点P 的轨迹方程.22.(本小题满分14分)如图5,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,P 、M 、N 分别为棱DD 1、AB 、BC 的中点.图5(1)求二面角B 1MNB 的正切值;(2)求证:PB ⊥平面MNB 1.(3)画出一个正方体表面展开图,使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件,并求出展开图中P 、B 两点间的距离.(1)解:连结BD 交MN 于F ,连结B 1F.∵平面DD 1B 1B ⊥平面ABCD,交线为BD ,AC ⊥BD,∴AC ⊥平面DD 1B 1B.又∵AC//MN ,∴MN ⊥平面DD 1B 1B.∵B 1F,BF ⊂平面DD 1B 1B ,∴B 1F ⊥MN,BF ⊥MN.∵B 1F ⊂平面B 1MN ,BF ⊂平面BMN ,则∠B 1FB 为二面角B 1-MN-B 的平面角.在Rt △B 1FB 中,设B 1B=1,则FB=42, ∴tan ∠B 1FB=22.(2)证明:过点P 作PE ⊥AA 1,则PE ∥DA ,连结BE.又DA ⊥平面ABB 1A 1,∴PE ⊥平面ABB 1A 1,即PE ⊥B 1M.又BE ⊥B 1M ,∴B 1M ⊥平面PEB.∴PB ⊥MB 1.由(1)中MN ⊥平面DD 1B 1B,得PB ⊥MN ,所以PB ⊥平面MNB 1.(3)解:PB=213,符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一:。
模块综合测评(教师独具)(满分:150分 时间:120分钟)一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若α∥β, a ⊂α, b ⊂β, 则a 与b 的位置关系是( ) A .平行或异面 B .相交 C .异面D .平行A [满足条件的情形如下:]2.直线y =kx 与直线y =2x +1垂直,则k 等于( ) A .-2 B .2 C .-12 D .13C [由题意,得2k =-1,∴k =-12.]3.两圆C 1:x 2+y 2=r 2与C 2:(x -3)2+(y +1)2=r 2(r >0)外切,则r 的值为( ) A .10-1 B .102C .10D .10-1或10+1B [因为两圆外切且半径相等,所以|C 1C 2|=2r .所以r =102.] 4.在空间直角坐标系中,O 为坐标原点,设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12,12,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,12,0,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫13,13,13, 则( )A .OA ⊥AB B .AB ⊥AC C .AC ⊥BCD .OB ⊥OCC [|AB |=12,|AC |=36,|BC |=66,因为|AC |2+|BC |2=|AB |2,所以AC ⊥BC .]5.圆(x +1)2+y 2=2的圆心到直线y =x +3的距离为( ) A .1 B .2 C . 2 D .2 2C [圆心(-1,0),直线x -y +3=0,所以圆心到直线的距离为|-1-0+3|12+(-1)2= 2.]6.直线2ax +y -2=0与直线x -(a +1)y +2=0互相垂直, 则这两条直线的交点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫-25,-65B .⎝ ⎛⎭⎪⎫25,-65C .⎝ ⎛⎭⎪⎫25,65D .⎝ ⎛⎭⎪⎫-25,65 C [由题意知:2a -(a +1)=0,得a =1,所以2x +y -2=0,x -2y +2=0,解得x =25,y =65.]7.如图, 在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中, P 为BD 上任意一点,则一定有( )A .PC 1与AA 1异面B .PC 1与A 1A 垂直 C .PC 1与平面AB 1D 1相交 D .PC 1与平面AB 1D 1平行D [当A ,P ,C 共线时,PC 1与AA 1相交不垂直,所以A ,B 错误;连接BC 1,DC 1(图略),可以证AD 1∥BC 1,AB 1∥DC 1,所以平面AB 1D 1∥平面BDC 1.又PC 1⊂平面BDC 1,所以PC 1与平面AB 1D 1平行.]8.在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中, AB =2, BC =4, AA 1=6, 则AC 1和底面ABCD 所成的角为( )A .30°B .45°C .60°D .75° A [如图所示,连接AC ,在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,CC 1⊥底面ABCD ,所以∠C 1AC 就是AC 1与底面ABCD 所成的角.因为AB =2,BC =4,AA 1=6,所以CC 1=AA 1=6,AC 1=2 6.所以在Rt △ACC 1中,sin ∠C 1AC =CC 1AC 1=626=12.所以∠C 1AC =30°.] 9.已知点A (-1,1),B (3,1),直线l 过点C (1,3)且与线段AB 相交,则直线l 与圆(x -6)2+y 2=2的位置关系是( )A .相交B .相离C .相交或相切D .相切或相离D [因为k AC =1,k BC =-1,直线l 的斜率的范围是(-∞,-1]∪[1,+∞),直线BC 方程为x +y -4=0,圆(x -6)2+y 2=2的圆心(6,0)到直线BC 的距离为2,因此圆(x -6)2+y 2=2与直线BC 相切,结合图象可知,直线l 与圆(x -6)2+y 2=2的位置关系是相切或相离.]10.设l ,m ,n 表示三条直线,α,β,γ表示三个平面,则下面命题中不成立的是( ) A .若l ⊥α,m ⊥α,则l ∥mB .若m ⊂β,m ⊥l ,n 是l 在β内的射影,则m ⊥nC .若m ⊂α,n ⊄α,m ∥n ,则n ∥αD .若α⊥γ,β⊥γ,则α∥βD [若l ⊥α,m ⊥α,则l ∥m ,A 正确;由直线与平面垂直的判定和性质定理,若m ⊂β,m ⊥l ,n 是l 在β内的射影,则m ⊥n ,B 正确;由直线与平面平行的判定定理,若m ⊂α,n ⊄α,m ∥n ,则n ∥α,C 正确;垂直于同一个平面的两个平面平行或相交, 即若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β或α∩β=a ,D 不正确.]11.如果圆x 2+(y -1)2=1上任意一点P (x ,y )都能使x +y +c ≥0成立,那么实数c 的取值范围是( )A .c ≥-2-1B .c ≤-2-1C .c ≥2-1D .c ≤2-1C [对任意点P (x ,y )能使x +y +c ≥0成立,等价于c ≥[-(x +y )]max . 设b =-(x +y ),则y =-x -b . 所以圆心(0,1)到直线y =-x -b 的距离d =|1+b |2≤1, 解得-2-1≤b ≤2-1.所以c ≥2-1.]12.如图, 在△ABC 中, AB =BC =6, ∠ABC =90°, 点D 为AC 的中点,将△ABD 沿BD 折起到△PBD 的位置, 使PC =PD ,连接PC, 得到三棱锥P BCD, 若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上, 则该球的表面积是( )A .πB .3πC .5πD .7πD [由题意得该三棱锥的面PCD 是边长为3的正三角形,且BD ⊥平面PCD, 设三棱锥P BDC 外接球的球心为O, △PCD 外接圆的圆心为O 1,则OO 1⊥平面PCD ,所以四边形OO 1DB 为直角梯形, 由BD =3,O 1D =1,及OB =OD ,得OB =72, 所以外接球半径为R =72,所以该球的表面积S =4πR 2=4π×74=7π.]二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.若直线(m +1)x -y -(m +5)=0与直线2x -my -6=0平行,则m =________. -2 [由题意知:m +1=2m,解得m =1或-2. 当m =1时,两直线方程均为2x -y -6=0,两直线重合,不合题意,舍去;当m =-2时,直线分别为x +y +3=0,x +y -3=0,两直线平行.]14.如图所示, 正方体的棱长为2, 以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________.43[平面ABCD 将多面体分成了两个以2为底面,边长、高为1的正四棱锥,所以其体积为2×2×1×13×2=43.]15.在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为________.x 2+y 2-2x =0 [设圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0, 又因为圆经过三点(0,0),(1,1),(2,0),所以⎩⎪⎨⎪⎧F =0,1+1+D +E +F =0,22+2D +F =0,解得D =-2,E =0,F =0,所以圆的方程为x 2+y 2-2x =0.]16.如图,在四棱锥P ABCD 中,底面ABCD 是边长为m 的正方形,PD ⊥底面ABCD ,且PD =m ,PA =PC =2m ,若在这个四棱锥内放一个球,则此球的最大半径是________.12(2-2)m [由PD ⊥底面ABCD ,得PD ⊥AD .又PD =m ,PA =2m ,则AD =m .设内切球的球心为O ,半径为R ,连接OA ,OB ,OC ,OD ,OP (图略),易知V P ABCD =V O ABCD +V O PAD +V O PAB +V O PBC +V O PCD ,即13·m 2·m =13·m 2×R +13×12·m 2·R +13×12·2m 2·R +13×12· 2 m 2·R +13·12·m 2·R ,解得R =12(2-2)m ,所以此球的最大半径是12(2-2)m .]三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知直线l 的方程为3x +4y -12=0,分别求下列直线l ′的方程,l ′满足:(1)过点(-1,3),且与l 平行; (2)与直线l 关于y 轴对称.[解] (1)因为l ∥l ′, 所以l ′的斜率为-34,所以直线l ′的方程为:y -3=-34(x +1),即3x +4y -9=0.(2)l 与y 轴交于点(0,3),该点也在直线l ′上,在直线l 上取一点A (4,0),则点A 关于y 轴的对称点A ′(-4,0)在直线l ′上,所以直线l ′经过(0,3)和(-4,0)两点,故直线l ′的方程为3x -4y +12=0.18.(本小题满分12分)已知圆C :x 2+y 2-8y +12=0,直线l 经过点D (-2,0),且斜率为k .(1)求以线段CD 为直径的圆E 的方程; (2)若直线l 与圆C 相离, 求k 的取值范围.[解] (1)将圆C 的方程x 2+y 2-8y +12=0配方得标准方程为x 2+(y -4)2=4,则此圆的圆心为C (0,4),半径为2.所以CD 的中点E (-1,2), |CD |=22+42=25,所以r =5,故所求圆E 的方程为(x +1)2+(y -2)2=5. (2)直线l 的方程为y -0=k (x +2),即kx -y +2k =0.若直线l 与圆C 相离,则有圆心C 到直线l 的距离|0-4+2k |k 2+1>2, 解得k <34.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫-∞,34.19.(本小题满分12分)如图,在三棱锥P ABC 中,AB =BC =22,PA =PB =PC =AC =4,O 为AC 的中点.(1)证明:PO ⊥平面ABC ;(2)若点M 在棱BC 上,且MC =2MB ,求点C 到平面POM 的距离.[解] (1)因为AP =CP =AC =4,O 为AC 的中点, 所以OP ⊥AC ,且OP =2 3. 连接OB .因为AB =BC =22AC ,所以△ABC 为等腰直角三角形,且OB ⊥AC ,OB =12AC =2. 由OP 2+OB 2=PB 2知,OP ⊥OB .由OP ⊥OB ,OP ⊥AC ,OB ⊂平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,OB ∩AC =O ,知PO ⊥平面ABC . (2)作CH ⊥OM ,垂足为H .又由(1)可得OP ⊥CH ,OP ⊂平面POM ,OM ⊂平面POM ,OP ∩OM =O ,所以CH ⊥平面POM . 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离.由题设可知OC =12AC =2,CM =23BC =423,∠ACB =45°.所以OM =253,CH =OC ·MC ·sin ∠ACB OM =455.所以点C 到平面POM 的距离为455.20.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆心在第二象限,半径为22的圆C 与直线y =x 相切于坐标原点O .(1)求圆C 的方程;(2)试探求圆C 上是否存在异于原点的点Q ,使Q 到定点F (4,0)的距离等于线段OF 的长?若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.[解] (1)设圆心为C (a ,b ),由OC 与直线y =x 垂直,知斜率k OC =ba=-1,故b =-a . 又|OC |=22,即a 2+b 2=22, 可解得a =-2,b =2或a =2,b =-2, 结合点C (a ,b )位于第二象限知a =-2,b =2. 故圆C 的方程为(x +2)2+(y -2)2=8. (2)假设存在点Q (m ,n )符合题意,则(m -4)2+n 2=16,m 2+n 2≠0, (m +2)2+(n -2)2=8,解得m =45,n =125,故圆C 上存在异于原点的点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫45,125符合题意. 21.(本小题满分12分)如图,矩形ABCD 所在平面与半圆弧CD ︵所在平面垂直,M 是CD ︵上异于C ,D 的点.(1)证明:平面AMD ⊥平面BMC ;(2)在线段AM 上是否存在点P ,使得MC ∥平面PBD ?说明理由.[解] (1)证明:由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .因为BC ⊥CD ,BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM .因为M 为CD ︵上异于C ,D 的点,且DC 为直径,所以DM ⊥CM . 又BC ∩CM =C ,所以DM ⊥平面BMC . 而DM ⊂平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC . (2)当P 为AM 的中点时,MC ∥平面PBD . 证明如下:如图,连接AC 交BD 于O .因为ABCD 为矩形,所以O 为AC 中点.连接OP ,因为P 为AM 中点,所以MC ∥OP .MC ⊄平面PBD ,OP ⊂平面PBD ,所以MC ∥平面PBD .22.(本小题满分12分)已知直线l :y =kx +b (0<b <1)和圆O :x 2+y 2=1相交于A ,B 两点.(1)当k =0时,过点A ,B 分别作圆O 的两条切线,求两切线的交点坐标;(2)对于任意的实数k ,在y 轴上是否存在一点N ,满足∠ONA =∠ONB ?若存在,请求出此点坐标;若不存在,说明理由.[解] (1)联立直线l :y =b 与圆O :x 2+y 2=1的方程, 得A ,B 两点坐标为A (-1-b 2,b ),B (1-b 2,b ).设过圆O 上点A 的切线l 1的方程是y -b =kl 1(x +1-b 2),由于k AO ·kl 1=-1,即-b1-b 2·kl 1=-1,也就是kl 1=1-b2b.所以l 1的方程是y -b =1-b2b(x +1-b 2).化简得l 1的方程为-1-b 2x +by =1. 同理得,过圆O 上点B 的切线l 2的方程为 1-b 2x +by =1.联立l 1与l 2的方程得交点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0,1b .因此,当k =0时,两切线的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0,1b .(2)假设在y 轴上存在一点N (0,t ),满足∠ONA =∠ONB , 则直线NA ,NB 的斜率k NA ,k NB 互为相反数, 即k NA +k NB =0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1x 2≠0),则y 1-t x 1+y 2-tx 2=0, 即x 2(kx 1+b -t )+x 1(kx 2+b -t )=0. 化简得2kx 1x 2+(b -t )(x 1+x 2)=0.①联立直线l :y =kx +b 与圆O :x 2+y 2=1的方程, 得(k 2+1)x 2+2kbx +b 2-1=0. 所以x 1+x 2=-2kb k 2+1,x 1x 2=b 2-1k 2+1.② 将②代入①整理得-2k +2kbt =0.③因为③式对于任意的实数k 都成立,因此,t =1b.故在y 轴上存在一点N ⎝⎛⎭⎪⎫0,1b ,满足∠ONA =∠ONB .。
模块综合评价(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知直线l1:2x+my=2,l2:m2x+2y=1,且l1⊥l2,则m的值为()A.0B.-1C.0或1 D.0或-1解析:因为l1⊥l2,所以2m2+2m=0,解得m=0或m=-1.答案:D2.若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形,则该圆锥的侧面积为()A.2π B.22πC.2π D.4π解析:设底面圆的半径为r,高为h,母线长为l,由题可知,r=h=22l,则12(2r)2=1,r=1,l= 2.所以圆锥的侧面积为πrl=2π.答案:A3.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成角的大小为()A.90° B.60°C.45° D.30°解析:当三棱锥DABC体积最大时,平面DAC⊥平面ABC.取AC的中点O,则∠DBO即为直线BD和平面ABC所成的角.易知△DOB是等腰直角三角形,故∠DBO=45°.答案:C4.设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线且|PA|=1,则点P的轨迹方程是()A.(x-1)2+y2=4 B.(x-1)2+y2=2C.y2=2x D.y2=-2x解析:由题意知,圆心(1,0)到点P的距离为2,所以点P在以(1,0)为圆心、2为半径的圆上.所以点P 的轨迹方程是(x -1)2+y 2=2.答案:B5.下列命题中,正确的是() A .任意三点确定一个平面 B .三条平行直线最多确定一个平面C .不同的两条直线均垂直于同一个平面,则这两条直线平行D .一个平面中的两条直线与另一个平面都平行,则这两个平面平行 解析:由线面垂直的性质,易知C 正确. 答案:C6.已知M (3,23),N (-1,23),F (1,0),则点M 到直线NF 的距离为() A.5B .2 2 C .23D .3 3解析:易知NF 的斜率k =-3, 故NF 的方程为y =-3(x -1), 即3x +y -3=0.所以M 到NF 的距离为|33+23-3|(3)2+12=2 3. 答案:C7.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形,且侧棱垂直于底面)高为4,体积为16,则这个球的表面积是()A .16π B.20π C .24π D.32π解析:由题意知正四棱柱的底面积为4,所以正四棱柱的底面边长为2,正四棱柱的底面对角线长为22,正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线,即2R =2 6.所以R = 6.所以S 球=4πR 2=24π. 答案:C8.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 与圆O :x 2+y 2=1外切,且与直线x -2y +5=0相切,则圆C 的面积的最小值为()A.45π B.3-5π C.3-52π D.(6-25)π 解析:由题可知,(0,0)到直线x -2y +5=0的距离为|5|12+22= 5.又因为圆C 与圆O :x 2+y 2=1外切,圆C 的直径的最小值为5-1,圆C 的面积的最小值为π(5-1)24=3-52π.答案:C9.已知α,β是不同的平面,m ,n 是不同的直线,则下列命题不正确的是() A .若m ⊥α,m ∥n ,n ⊂β,则α⊥β B .若m ∥n ,α∩β=m ,则n ∥α,n ∥β C .若m ∥n ,m ⊥α,则n ⊥α D .若m ⊥α,m ⊥β,则α∥β 解:由m ⊥α,m ∥n ,得n ⊥α. 又n ⊂β,所以α⊥β,故A 正确. 在B 项中,m ∥n ,α∩β=m ,则n ⊂α,n ∥β或n ∥α,n ⊂β或n ∥α,n ∥β. 所以选项B 不正确.由线面垂直,面面垂直的判定,C 、D 正确. 答案:B10.如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,则点B 到平面AB 1C 的距离是()A.32B. 3 C.33D .4 解析:由正方体的性质,易知AC =B 1C =AB 1=2,所以S △AB 1C =34×(2)2=32. 又S △ABC =12×12=12.知V 三棱柱B 1-ABC =13×12×1=16.设点B 到平面AB 1C 的距离为h , 从而V 三棱锥B-AB 1C =13·h ×32=16,所以h =13=33. 答案:C11.已知直线(1+k )x +y -k -2=0恒过点P ,则点P 关于直线x -y -2=0的对称点的坐标是()A .(3,-2)B .(2,-3)C .(1,3)D .(3,-1)解析:由(1+k )x +y -k -2=0得k (x -1)+(x +y -2)=0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x -1=0,x +y -2=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =1,故点P 的坐标为(1,1).设点P 关于直线x -y -2=0的对称点的坐标是(a ,b ),则⎩⎪⎨⎪⎧a +12-b +12-2=0,b -1a -1=-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =3,b =-1,所以点P 关于直线x -y -2=0的对称点的坐标是(3,-1). 答案:D12.如图,多面体ABCD-A 1B 1C 1D 1为正方体,则下面结论正确的是()A .A 1B ∥B 1CB .平面CB 1D 1⊥平面A 1B 1C 1D 1 C .平面CB 1D 1∥平面A 1BDD .异面直线AD 与CB 1所成的角为30°解析:若A 1B ∥B 1C ,因为A 1B ∥CD 1,所以B 1C ∥CD 1,矛盾,故A 错误.因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,所以平面BB 1D 1D ⊥平面A 1B 1C 1D 1,则平面CB 1D 1⊥平面A 1B 1C 1D 1也是错的,故B 错误.因为A 1B ∥CD 1,A 1D ∥CB 1,所以平面CB 1D 1∥平面A 1BD ,故C 正确.因为ABCDA 1B 1C 1D 1为正方体.所以∠BCB 1=45°,又AD ∥BC ,所以AD 与CB 1所成的角为45°,故D 错误.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.如图所示,在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点,则三棱锥P ABC 的正视图与侧视图的面积的比值为________.解析:三棱锥P ABC 的正视图与侧视图为底边和高均相等的三角形,故它们的面积相等,面积比值为1.答案:114.已知直线l 1的方程为y 1=-2x +3,l 2的方程为y 2=4x -2,直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同,则直线l 的斜截式方程为________________.解析:由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1=-2,又l ∥l 1,所以l 的斜率k =k 1=-2.由题意知l 2在y 轴上的截距为-2,所以l 在y 轴上的截距b =-2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y =-2x -2.答案:y =-2x -215.若直线l :y =kx 与曲线M :y =1+1-(x -3)2有两个不同交点,则k 的取值X 围是________.解析:曲线M :y =1+1-(x -3)2是以(3,1)为圆心,1为半径的,且在直线y =1上方的半圆.要使直线l 与曲线M 有两个不同交点,则直线l 在如图所示的两条直线之间转动,即当直线l 与曲线M 相切时,k 取得最大值34;当直线l 过点(2,1)时,k 取最小值12.故k 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,34.答案:⎣⎢⎡⎭⎪⎫12,34 16.(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,SC 是球O 的直径.若平面SCA ⊥平面SCB ,SA =AC ,SB =BC ,三棱锥S ABC 的体积为9,则球O 的表面积为________.解析:如图,连接OA ,OB .由SA =AC ,SB =BC ,SC 为球O 的直径,知OA ⊥SC ,OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ,平面SCA ∩平面SCB =SC ,知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ,则OA =OB =r ,SC =2r , 所以三棱锥S ABC 的体积为 V =13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12SC ·OB ·OA =r 33, 即r 33=9.所以r =3.所以S 球表=4πr 2=36π. 答案:36π三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x +2y -4=0,若l 2在x 轴上的截距为32,且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标;(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点,且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍,求l 3的方程.解:(1)设l 2的方程为2x -y +m =0, 因为l 2在x 轴上的截距为32,所以3-0+m =0,m =-3, 即l 2:2x -y -3=0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -4=0,2x -y -3=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =1. 所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2,1). (2)当l 3过原点时,l 3的方程为y =12x .当l 3不过原点时,设l 3的方程为x a +y2a =1.又直线l 3经过l 1与l 2的交点,所以2a +12a =1,得a =52,l 3的方程为2x +y -5=0.综上,l 3的方程为y =12x 或2x +y -5=0.18.(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形,AB ∥CD ,AB ⊥AD ,AB =12CD =1,PA ⊥平面ABCD ,PA =AD = 3. (1)求证:PD ⊥AB ;(2)求四棱锥P-ABCD 的体积.(1)证明:因为PA ⊥平面ABCD ,AB ⊂平面ABCD , 所以PA ⊥AB ,又因为AB ⊥AD ,AD ∩PA =A , 所以AB ⊥平面PAD ,又PD ⊂平面PAD ,所以AB ⊥PD .(2)解:S 梯形ABCD =12(AB +CD )·AD =332,又PA ⊥平面ABCD ,所以V 四棱锥P-ABCD =13×S 梯形ABCD ·PA =13×332×3=32.19.(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ,0),且圆C 与y 轴相切. (1)已知a =1,M (4,4),点N 是圆C 上的任意一点,求|MN |的最小值;(2)已知a <0,直线l 的斜率为43,且与y 轴交于点⎝⎛⎭⎪⎫0,-23.若直线l 与圆C 相离,求a 的取值X 围.解:(1)由题意可知,圆C 的方程为(x -1)2+y 2=1. 又|MC |=(4-1)2+(4-0)2=5, 所以|MN |的最小值为5-1=4.(2)因为直线l 的斜率为43,且与y 轴相交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-23,所以直线l 的方程为y =43x -23. 即4x -3y -2=0. 因为直线l 与圆C 相离,所以圆心C (a ,0)到直线l 的距离d >r . 则|4a -2|42+32>|a |. 又a <0,所以2-4a >-5a ,解得a >-2. 所以a 的取值X 围是(-2,0).20.(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB =5,AC =3,BC =4,点D 是线段AB 上的动点.(1)当点D 是AB 的中点时,求证:AC 1∥平面B 1CD ;(2)线段AB 上是否存在点D ,使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1?若存在,试求出AD 的长度;若不存在,请说明理由.(1)证明:如图,连接BC 1,交B 1C 于点E ,连接DE ,则点E 是BC 1的中点,又点D 是AB 的中点,由中位线定理得DE ∥AC 1, 因为DE ⊂平面B 1CD ,AC 1⊄平面B 1CD ,所以AC 1∥平面B 1CD .(2)解:当CD ⊥AB 时,平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1. 证明:因为AA 1⊥平面ABC ,CD ⊂平面ABC , 所以AA 1⊥CD .又CD ⊥AB ,AA 1∩AB =A , 所以CD ⊥平面ABB 1A 1, 因为CD ⊂平面CDB 1, 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1,故点D 满足CD ⊥AB 时,平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1. 因为AB =5,AC =3,BC =4,所以AC 2+BC 2=AB 2, 故△ABC 是以角C 为直角的三角形, 又CD ⊥AB ,所以AD =95.21.(本小题满分12分)已知圆C :x 2+y 2+2x -4y +3=0.(1)若直线l 过点(-2,0)且被圆C 截得的弦长为2,求直线l 的方程;(2)从圆C 外一点P 向圆C 引一条切线,切点为M ,O 为坐标原点,且|PM |=|PO |,求|PM |的最小值.解:(1)x 2+y 2+2x -4y +3=0可化为(x +1)2+(y -2)2=2,当直线l 的斜率不存在时,其方程为x =-2,易求得直线l 与圆C 的交点为A (-2,1),B (-2,3),|AB |=2,符合题意;当直线l 的斜率存在时,设其方程为y =k (x +2), 即kx -y +2k =0, 则圆心C 到直线l 的距离d =|-k -2+2k |k 2+1=( 2)2-12=1, 解得k =34,所以直线l 的方程为3x -4y +6=0.综上,直线l 的方程为x =-2或3x -4y +6=0. (2)如图,PM 为圆C 的切线,连接MC ,PC , 则CM ⊥PM ,所以△PMC 为直角三角形. 所以|PM |2=|PC |2-|MC |2.设点P 为(x ,y ),由(1)知点C 为(-1,2),|MC |=2, 因为|PM |=|PO |,所以(x +1)2+(y -2)2-2=x 2+y 2, 化简得点P 的轨迹方程为2x -4y +3=0.求|PM |的最小值,即求|PO |的最小值,也即求原点O 到直线2x -4y +3=0的距离,代入点到直线的距离公式可求得|PM |的最小值为3510.22.(本小题满分12分)如图,在四棱锥P ABCD 中,AD ⊥平面PDC ,AD ∥BC ,PD ⊥PB ,AD =1,BC =3,CD =4,PD =2.(1)求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值; (2)求证:PD ⊥平面PBC ;(3)求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.(1)解:由已知AD ∥BC ,故∠DAP 或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角. 因为AD ⊥平面PDC ,直线PD ⊂平面PDC , 所以AD ⊥PD .word - 11 - / 11 在Rt △PDA 中,由已知,得AP =AD 2+PD 2=5,故cos ∠DAP =ADAP =55. 所以异面直线AP 与BC 所成角的余弦值为55. (2)证明:如图,由(1)知AD ⊥PD .又因为BC ∥AD ,所以PD ⊥BC .又PD ⊥PB ,PB ∩BC =B ,所以PD ⊥平面PBC .(3)解:过点D 作DF ∥AB ,交BC 于点F ,连接PF ,则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角.因为PD ⊥平面PBC ,所以PF 为DF 在平面PBC 上的射影,所以∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角.由于AD ∥BC ,DF ∥AB ,故BF =AD =1.由已知,得CF =BC -BF =2.又AD ⊥DC ,所以BC ⊥DC .在Rt △DCF 中,可得DF =CD 2+CF 2=25;在Rt △DPF 中,可得sin ∠DFP =PDDF =55. 所以直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为55.。
模块综合测评(二) 必修2(A 版)(时间:90分钟 满分:120分) 第Ⅰ卷(选择题,共50分)一、选择题:本大题共10小题,共50分.1.如图所示,△ABC 为正三角形,AA ′∥BB ′∥CC ′,CC ′⊥平面ABC 且3AA ′=32BB ′=CC ′=AB ,则多面体ABC -A ′B ′C ′的正视图(左视时沿AB 方向)是A. B.C. D.解析:几何体的正视图是该几何体从前向后的正投影. 答案:D2.已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中B ′O ′=C ′O ′=1,A ′O ′=32,那么原△ABC 中∠ABC 的大小是A .30°B .45°C .60°D .90°解析:根据“斜二测画法”可得BC =B ′C ′=2,AO =2A ′O ′= 3. 故原△ABC 是一个等边三角形. 答案:C3.已知直线l 的倾斜角为α,若cos α=-45,则直线l 的斜率为A.34B.43 C .-34D .-43解析:由cos α=-45得sin α=35,所以tan α=-34,即直线l 的斜率为-34.答案:C4.点A (3,-2,4)关于点(0,1,-3)的对称点的坐标为 A .(-3,4,-10) B .(-3,2,-4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32,-12,12D .(6,-5,11)解析:设点A 关于点(0,1,-3)的对称点的坐标为A ′(x 0,y 0,z 0),则⎩⎪⎨⎪⎧3+x 02=0,-2+y2=1,4+z 02=-3,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0=-3,y 0=4,z 0=-10.∴A ′(-3,4,-10). 答案:A5.已知平面α,β和直线a ,b ,若α∩β=l ,a ⊂α,b ⊂β,且平面α与平面β不垂直,直线a 与直线l 不垂直,直线b 与直线l 不垂直,则A .直线a 与直线b 可能垂直,但不可能平行B .直线a 与直线b 可能垂直,也可能平行C .直线a 与直线b 不可能垂直,但可能平行D .直线a 与直线b 不可能垂直,也不可能平行解析:①当a ∥l ;b ∥l 时,a ∥b ;②当a 与b 在α内的射影垂直时a 与b 垂直. 答案:B6.如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别是棱BB 1、B 1C 1的中点,若∠CMN =90°,则异面直线AD 1和DM 所成角为A .30°B .45°C .60°D .90°解析:因为MN ⊥DC ,MN ⊥MC , 所以MN ⊥面DCM . 所以MN ⊥DM .因为MN ∥AD 1,所以AD 1⊥DM . 答案:D7.若某多面体的三视图(单位:cm)如图所示,则此多面体的体积是A .2 cm 3B .4 cm 3C .6 cm 3D .12 cm 3解析:由三视图知该几何体为三棱锥,它的高等于2,底面是等腰三角形,底边边长等于3,底边上的高为2,所以几何体的体积V =13×12×3×2×2=2(cm 3).答案:A8.若直线y =kx +1与圆x 2+y 2+kx -2y =0的两个交点恰好关于y 轴对称,则k = A .0 B .1 C .2 D .3解析:由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +1,x 2+y 2+kx -2y =0,得(1+k 2)·x 2+kx -1=0, ∵两交点恰好关于y 轴对称. ∴x 1+x 2=-k1+k 2=0.∴k =0. 答案:A9.已知球的直径SC =4,A ,B 是该球球面上的两点,AB =2,∠ASC =∠BSC =45°,则棱锥S-ABC 的体积为A.33B.233 C.433D.533解析:如图所示,连接OA ,OB (O 为球心).∵AB =2,∴△OAB 为正三角形.又∵∠BSC =∠ASC =45°,且SC 为直径, ∴△ASC 与△BSC 均为等腰直角三角形. ∴BO ⊥SC ,AO ⊥SC .又AO ∩BO =O ,∴SC ⊥面ABO . ∴V S -ABC =V C -OAB +V S -OAB =13·S △OAB ·(SO +OC ) =13×34×4×4 =433,故选C.答案:C10.若直线y =x +b 与曲线y =3-4x -x 2有公共点,则b 的取值范围是 A .[-1,1+22] B .[1-22,1+22] C .[1-22,3]D .[1-2,3]解析:曲线y =3-4x -x 2表示圆(x -2)2+(y -3)2=4的下半圆,如图所示,当直线y =x +b 经过点(0,3)时,b 取最大值3,当直线与半圆相切时,b 取最小值,由|2-3+b |2=2⇒b =1-22或1+22(舍),故b min =1-22,b 的取值范围为[1-22,3].答案:C第Ⅱ卷(非选择题,共70分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.11.已知两条平行直线的方程分别是2x +3y +1=0,mx +6y -5=0,则实数m =__________. 解析:由于两直线平行,所以2m =36≠1-5,∴m =4. 答案:412.将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体(使截面平行于底面),所得几何体的表面积为__________.解析:原正四面体的表面积为4×934=93,每截去一个小正四面体,表面减小三个小正三角形,增加一个小正三角形,故表面积减少4×2×34=23,故所得几何体的表面积为7 3. 答案:7 313.已知一个等腰三角形的顶点A (3,20),一底角顶点B (3,5),另一顶点C 的轨迹方程是__________.解析:设点C 的坐标为(x ,y ), 则由|AB |=|AC |得x -32+y -202=3-32+20-52,化简得(x -3)2+(y -20)2=225.因此顶点C 的轨迹方程为(x -3)2+(y -20)2=225(x ≠3). 答案:(x -3)2+(y -20)2=225(x ≠3)14.已知m ,l 是直线,α、β是平面,给出下列命题:①若l 垂直于α内的两条相交直线,则l ⊥α;②若l 平行于α,则l 平行α内所有直线;③若m ⊂α,l ⊂β,且l ⊥m ,则α⊥β;④若l ⊂β,且l ⊥α,则α⊥β;⑤若m ⊂α,l ⊂β,且α∥β,且m ∥l .其中正确命题的序号是__________(把你认为正确的命题的序号都填上). 解析:通过正方体验证. 答案:①④三、解答题:本大题共4小题,满分50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(12分)△ABC 中,A (0,1),AB 边上的高线方程为x +2y -4=0,AC 边上的中线方程为2x +y -3=0,求AB ,BC ,AC 边所在的直线方程.解:由题意知直线AB 的斜率为2, ∴AB 边所在的直线方程为2x -y +1=0. (4分)直线AB 与AC 边中线的交点为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,2, 设AC 边中点D (x 1,3-2x 1),C (4-2y 1,y 1),∵D 为AC 的中点,由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1=4-2y 1,23-2x 1=1+y 1,∴y 1=1,∴C (2,1),∴BC 边所在的直线方程为2x +3y -7=0, (8分)AC 边所在的直线方程为y =1.(12分)16.(12分)如图,在三棱锥S -ABC 中,已知点D 、E 、F 分别为棱AC ,SA ,SC 的中点.(1)求证:EF ∥平面ABC ;(2)若SA =SC ,BA =BC ,求证:平面SBD ⊥平面ABC . 证明:(1)∵EF 是△SAC 的中位线, ∴EF ∥AC .又∵EF ⊄平面ABC ,AC ⊂平面ABC , ∴EF ∥平面ABC .(6分)(2)∵SA =SC ,AD =DC ,∴SD ⊥AC , 又∵BA =BC ,AD =DC ,∴BD ⊥AC ,又∵SD ⊂平面SBD ,BD ⊂平面SBD ,SD ∩DB =D , ∴AC ⊥平面SBD ,(10分) 又∵AC ⊂平面ABC ,∴平面SBD ⊥平面ABC .(12分)17.(12分)已知点P (2,0),及圆C :x 2+y 2-6x +4y +4=0. (1)当直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1时,求直线l 的方程;(2)设过点P 的直线与圆C 交于A 、B 两点,当|AB |=4时,求以线段AB 为直径的圆的方程. 解:(1)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的斜率为k ,则方程为y -0=k (x -2),又圆C 的圆心为(3,-2),r =3,由|3k -2k +2|k 2+1=1⇒k =-34.(4分)所以直线l 的方程为y =-34(x -2),即3x +4y -6=0,当k 不存在时,l 的方程为x =2,符合题意. (6分)(2)由弦心距d =r 2-⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22=5,又|CP |=5,知P 为AB 的中点,故以AB 为直径的圆的方程为(x -2)2+y 2=4.(12分) 18.(14分)多面体P -ABCD 的直观图及三视图如图所示,其中正视图、侧视图是等腰直角三角形,俯视图是正方形,E 、F 、G 分别为PC 、PD 、BC 的中点.(1)求证:PA∥平面EFG;(2)求三棱锥P-EFG的体积.解:(1)方法一:如图,取AD的中点H,连接GH,FH. ∵E,F分别为PC,PD的中点,∴EF∥CD.(2分)∵G、H分别为BC、AD的中点,∴GH∥CD.∴EF∥GH.∴E,F,H,G四点共面.(4分)∵F,H分别为DP、DA的中点,∴PA∥FH.∵PA⊄平面EFG,FH⊂平面EFG,∴PA∥平面EFG.(6分)方法二:∵E,F,G分别为PC,PD,BC的中点.∴EF ∥CD ,EG ∥PB .(2分) ∵CD ∥AB , ∴EF ∥AB .∵PB ∩AB =B ,EF ∩EG =E , ∴平面EFG ∥平面PAB . ∵PA ⊂平面PAB , ∴PA ∥平面EFG .(6分)(2)由三视图可知,PD ⊥平面ABCD , 又∵GC ⊂平面ABCD , ∴GC ⊥PD .∵四边形ABCD 为正方形, ∴GC ⊥CD . ∵PD ∩CD =D , ∴GC ⊥平面PCD .(8分) ∵PF =12PD =1,EF =12CD =1,∴S △PEF =12EF ·PF =12.(10分)∵GC =12BC =1,∴V P -EFG =V G -PEF =13S △PEF ·GC =13×12×1 =16.(14分)。
2020-2021学年新教材人教A版数学必修第二册模块综合测评含解析模块综合测评(时间:120分钟,满分:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z等于()A.-2-i B.-2+iC.2-i D.2+iC[由(z-1)i=1+i,两边同乘以-i,则有z-1=1-i,所以z =2-i.]2.已知向量a与b的夹角为30°,且|a|=1,|2a-b|=1,则|b|等于()A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!C[由题意可得a·b=|b|cos 30°=错误!|b|,4a2-4a·b+b2=1,即4-2错误!|b|+b2=1,由此求得|b|=错误!,故选C.]3.设z=11+i+i,则|z|等于()A.12B.错误!C.错误!D.2B[∵z=错误!+i=错误!+i=错误!+i=错误!+错误!i,∴|z|=错误!=错误!.]4.某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是()A.45 B.50C.55 D.60B[由频率分布直方图,知低于60分的频率为(0.01+0.005)×20=0.3。
∴该班学生人数n=错误!=50。
]5.已知圆锥的表面积等于12π cm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为()A.1 cm B.2 cmC.3 cm D.错误!cmB[S=πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12π,∴r2=4,∴r=表2(cm).]6.已知向量a=(cos θ-2,sin θ),其中θ∈R,则|a|的最小值为()A.1 B.2 C. 5 D.3A[因为a=(cos θ-2,sin θ),所以|a|=错误!=错误!=错误!,因为θ∈R,所以-1≤cos θ≤1,故|a|的最小值为错误!=1。
模块综合测试(满分120分,测试时间100分钟)一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,共48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.给出下列命题:①底面多边形内接于一个圆的棱锥的侧棱长相等,②棱台的各侧棱不一定相交于一点,③如果不在同一平面内的两个相似的直角三角形的对应边互相平行,则连结它们的对应顶点所围成的多面体是三棱台,④圆台上底圆周上任一点与下底圆周上任一点的连线都是圆台的母线.其中正确的个数为( )A.3B.2C.1D.0解析:命题①中:底面多边形内接于一个圆,但并不能推测棱长相等;命题②中:由棱台的性质可知,棱台的各侧棱延长后相交于一点;命题③中:因两个直角三角形相似且对应边平行,可推出连结对应顶点后延长线交于一点,即此几何体可由一个平行于底面的平面所截,故命题③正确;命题④中:上底的圆周上一点与下底圆周上任一点连线有三种可能:在圆周上的曲线、侧面上的曲线或不在侧面上的线段.答案:C2.图1是一个物体的三视图,则此三视图所描述的物体是下列几何体中的( )图1解析:从三个角度看都是符合的,故选D.答案:D3.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积是( )图2A.16πB.20πC.24πD.32π解析:由题意可得该正四棱柱的底面面积为4,边长为2.因正四棱柱属于长方体,因此所求球的球心在该长方体的中心,即球的直径为26,根据球的表面积公式可得球的表面积为24π.答案:C4.木星的体积约是地球体积的30240倍,则它的表面积约是地球表面积的( )A.60倍B.3060倍 C.120倍 D.30120倍解析:设木星的半径为r1,地球的半径为r2,由题意,得302403231rr,则木星的表面积∶地球的表面积=.120302403024013024032231232312221=⨯=⨯=•=rrrrrr答案:C5.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图3所示的直观图,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=23,那么原△ABC是一个( )图3A.等边三角形B.直角三角形C.三边中有两边相等的等腰三角形D.三边互不相等的三角形解析:根据“斜二测画法”可得BC=B′C′=2,AO=2A′O′=3.故原△ABC是一个等边三角形. 答案:A6.已知直线m、n与平面α、β,给出下列三个命题:①若m∥α,n∥α,则m∥n;②若m∥α,n⊥α,则n⊥m;③若m⊥α,m∥β,则α⊥β.其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.3解析:通过举例可证明①错误,可知②③命题为正确命题.答案:C7.点P(2,5)关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为( )A.(6,-3)B.(3,-6)C.(-6,-3)D.(-6,3)解析:根据两点关于直线对称的特点:两点的连线与对称轴垂直以及两点的中点在对称轴上,可得对称点为(-6,-3).答案:D8.点P在正方形ABCD所在平面外,PD⊥平面ABCD,PD=AD,则PA与BD所成角的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析:将图形补成一个正方体如图,则PA与BD所成角等于BC′与BD所成角即∠DBC′.在等边三角形DBC′中,∠DBC′=60°,即PA与BD所成角为60°.答案:C9.若l为一条直线,α、β、γ为三个互不重合的平面,给出下面三个命题:①α⊥γ,β⊥γ⇒α⊥β;②α⊥γ,β∥γ⇒α⊥β;③l∥α,l⊥β⇒α⊥β.其中正确的命题有( )A.0个B.1个C.2个D.3个 解析:①中可由长方体的一角证明是错误的;②③易证明是正确的. 答案:C10.已知实数x 、y 满足2x+y+5=0,那么22y x +的最小值为( )A.5B.10C.52D.102解析:22y x +表示点P(x,y)到原点的距离.根据数形结合得22y x +的最小值为原点到直线2x+y+5=0的距离,即d=555=.答案:A11.在坐标平面内,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线共有( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条解析:与点A (1,2)的距离为1的直线即为以点A(1,2)为圆心,以1为半径的圆的切线.与点B (3,1)的距离为2的直线即为以点B(3,1)为圆心,以2为半径的圆的切线.所以到A 、B 两点距离为1和2的直线即为两圆的公切线,因|AB |=5)12()31(22=-+-,且125+<,所以两圆相交,故有两条公切线.答案:B12.矩形ABCD 中,AB=4,BC=3,沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角BACD ,则四面体ABCD 的四个顶点所在球的体积为( ) A.π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3125解析:连结矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ,则AO=BO=CO=DO ,翻折后仍然AO=BO=CO=DO ,则O 为四面体ABCD 四个顶点所在球的圆心,因此四面体ABCD 四个顶点所在球的半径为25,故球的体积为ππ6125)25(343=. 答案:C二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,共24分)13.圆台上、下底半径为2和3,则中截面面积为________________.解析:由圆台的性质可知中截面是一个圆,圆的直径为轴截面梯形的中位线,设中截面圆的半径为x ,故有4x=4+6,解得x=π425,25=S . 答案:π42514.经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点,且平行于直线x+2y-3=0的直线方程是____________.解析:由已知可设经过直线2x+3y-7=0与7x+15y+1=0的交点的直线方程为2x+3y-7+λ(7x+15y+1)=0,整理得(2+7λ)x+(3+15λ)y -7+λ=0.根据两直线平行关系得λ=1,代入得3x+6y-2=0.答案:3x+6y-2=015.过A(-3,0)、B(3,0)两点的所有圆中面积最小的圆的方程是___________________.解析:根据圆的性质,圆的半径最小时,面积最小,即以AB 为直径端点的圆满足条件,所求方程为x 2+y 2=9. 答案:x 2+y 2=916.已知圆锥的侧面积是底面积的2倍,它的轴截面的面积为Q ,则圆锥的体积为___________.解析:设圆锥的高为h,半径为r,母线为l ,则S 侧=πr l ,S 底=πr 2,∵S 侧=2S 底,∴πr l =2πr 2,即l =2r.又l 2=r 2+h 2,解得h=r 3.又∵S 轴截面=rh=Q,∴r 2=3Q ,即r=43Q.∴h=4333Qr =.故V 圆锥=31πr 2h=433Q Q π.答案:433QQ π17.已知圆柱的高为h ,底面半径为R ,轴截面为矩形A 1ABB 1,在母线AA 1上有一点P ,且PA=a ,在母线BB 1上取一点Q ,使B 1Q=b ,则圆柱侧面上P 、Q 两点的最短距离为____________.解析:如图甲,沿圆柱的母线AA 1剪开得矩形 (如图乙),过P 作PE ∥AB 交BB 1于E , 则PE=AB=21·2πR=πR ,QE=h-a-b. ∴PQ=2222)()(b a h R QE PE --+=+π.答案:22)()(b a h R --+π18.过圆x 2+y 2=4外的一点A(4,0)作圆的割线,则割线被圆截得的弦的中点的轨迹方程为________________.解析:设弦的中点是P(x 0,y 0),根据圆的几何性质得OP ⊥AP ,即点P(x 0,y 0)在以OA 为直径的圆上,即(x 0-2)2+y 02=4.因P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=4内,故弦的中点的轨迹方程为(x-2)2+y 2=4,x ∈[0,1).答案:(x-2)2+y 2=4,x ∈[0,1)三、解答题(本大题共4小题,共48分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19.(本小题满分10分)已知直线l 垂直于直线3x-4y-7=0,直线l 与两坐标轴围成的三角形的周长为10,求直线l的方程.解:设直线l方程为4x+3y+b=0,则l与x 轴、y轴的交点为A(4b-,0),B(0,3b-).∴|AB|=b125.由|OA|+|OB|+|AB|=10,得12||53||4||bbb++=10.∴b=±10.∴l方程为4x+3y+10=0,4x+3y-10=0.20.(本小题满分12分)圆锥底面半径为1 cm,高为2cm,其有一个内接正方体,求这个内接正方体的棱长.解:过圆锥的顶点和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面,得圆锥的轴截面SEF,正方体对角面CDD1C1,如图,设正方体棱长为x,则CC1=x,C1D1=2x.作SO⊥EF于O,则SO=2,OE=1,∵△ECC1∽△ESO,∴EOECSOCC11=.∴12212xx-=.∴x=22(cm).∴正方体棱长为22cm.21.(本小题满分12分)(2005江苏高考,19)如图4,圆O1与圆O2的半径都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点),使得PM=2PN,试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程.图4解:如图,以直线O1O2为x轴,线段O1O2的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则两圆心分别为O1(-2,0),O2(2,0).设P(x,y),则PM 2=O 1P 2-O 1M 2=(x+2)2+y 2-1.同理,PN 2=(x-2)2+y 2-1. ∵PM=2PN ,∴(x+2)2+y 2-1=2[(x-2)2+y 2-1],即x 2-12x+y 2+3=0,即(x-6)2+y 2=33.这就是动点P 的轨迹方程.22.(本小题满分14分)如图5,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,P 、M 、N 分别为棱DD 1、AB 、BC 的中点.图5(1)求二面角B 1MNB 的正切值; (2)求证:PB ⊥平面MNB 1.(3)画出一个正方体表面展开图,使其满足“有4个正方形面相连成一个长方形”的条件,并求出展开图中P 、B 两点间的距离.(1)解:连结BD 交MN 于F ,连结B 1F.∵平面DD 1B 1B ⊥平面ABCD,交线为BD ,AC ⊥BD, ∴AC ⊥平面DD 1B 1B.又∵AC//MN , ∴MN ⊥平面DD 1B 1B.∵B 1F,BF ⊂平面DD 1B 1B , ∴B 1F ⊥MN,BF ⊥MN. ∵B 1F ⊂平面B 1MN ,BF ⊂平面BMN ,则∠B 1FB 为二面角B 1-MN-B 的平面角. 在Rt △B 1FB 中,设B 1B=1,则FB=42, ∴tan ∠B 1FB=22.(2)证明:过点P 作PE ⊥AA 1,则PE ∥DA ,连结BE. 又DA ⊥平面ABB 1A 1,∴PE ⊥平面ABB 1A 1,即PE ⊥B 1M. 又BE ⊥B 1M ,∴B 1M ⊥平面PEB. ∴PB ⊥MB 1.由(1)中MN ⊥平面DD 1B 1B,得PB ⊥MN ,所以PB ⊥平面MNB 1. (3)解:PB=213,符合条件的正方体表面展开图可以是以下6种之一:。
点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1.设a、b为两条直线α、β为两个平面则正确的命题是()【09960089】A.若a、b与α所成的角相等则a∥bB.若a∥αb∥βα∥β则a∥bC.若a⊂αb⊂βa∥b则α∥βD.若a⊥αb⊥βα⊥β则a⊥b【解析】A中a、b可以平行、相交或异面;B中a、b可以平行或异面;C中α、β可以平行或相交.【答案】 D2.(2016·山西山大附中高二检测)如图1在正方体ABCD-A1B1C1D1中E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点则异面直线EF与GH所成的角等于()图1A.45°B.60°C.90°D.120°【解析】如图连接A1B、BC1、A1C1则A1B=BC1=A1C1且EF∥A1B、GH∥BC1所以异面直线EF与GH所成的角等于60°【答案】 B3.设l为直线αβ是两个不同的平面.下列命题中正确的是() A.若l∥αl∥β则α∥βB.若l⊥αl⊥β则α∥βC.若l⊥αl∥β则α∥βD.若α⊥βl∥α则l⊥β【解析】选项A平行于同一条直线的两个平面也可能相交故选项A错误;选项B垂直于同一直线的两个平面互相平行选项B正确;选项C由条件应得α⊥β故选项C错误;选项D l与β的位置不确定故选项D错误.故选B【答案】 B7.(2015·洛阳高一检测)如图2△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形且∠BAC=60°下列说法中错误的是()图2A.AD⊥平面BDCB.BD⊥平面ADCC.DC⊥平面ABDD.BC⊥平面ABD【解析】由题可知AD⊥BDAD⊥DC所以AD⊥平面BDC又△ABD与△ADC均为以D为直角顶点的等腰直角三角形所以AB=ACBD=DC=22AB又∠BAC=60°所以△ABC为等边三角形故BC=AB=2BD所以∠BDC=90°即BD⊥DC所以BD⊥平面ADC同理DC⊥平面ABD所以A、B、C项均正确.选D【答案】 D8.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12底面对角线的长为26则侧面与底面所成的二面角为() A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】由棱锥体积公式可得底面边长为23高为3在底面正方形的任一边上取其中点连接棱锥的顶点及其在底面的射影根据二面角定义即可判定其平面角在直角三角形中因为tan θ=3(设θ为所求平面角)所以二面角为60°选C【答案】 C9.将正方形ABCD沿BD折成直二面角M为CD的中点则∠AMD 的大小是()A.45°B.30°C.60°D.90°【解析】 如图设正方形边长为a 作AO ⊥BD 则AM =AO 2+OM 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2=32a又AD =aDM =a2∴AD 2=DM 2+AM 2∴∠AMD =90° 【答案】 D10.在矩形ABCD 中若AB =3BC =4P A ⊥平面AC 且P A =1则点P 到对角线BD 的距离为( )A 292B 135C 175D 1195【解析】 如图过点A 作AE ⊥BD 于点E 连接PE∵P A ⊥平面ABCDBD ⊂平面ABCD ∴P A ⊥BD ∴BD ⊥平面P AE ∴BD ⊥PE∵AE =AB ·AD BD =125P A =1 ∴PE =1+⎝ ⎛⎭⎪⎫1252=135 【答案】 B11.(2016·大连高一检测)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直体积为94底面是边长为3的正三角形.若P 为底面A 1B 1C 1的中心则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )【09960090】A.75°B.60°C.45°D.30°【解析】如图所示P为正三角形A1B1C1的中心设O为△ABC的中心由题意知:PO⊥平面ABC连接OA则∠P AO即为P A与平面ABC 所成的角.在正三角形ABC中AB=BC=AC= 3则S=34×(3)2=334VABC-A1B1C1=S×PO=94∴PO= 3又AO=33×3=1∴tan ∠P AO=POAO=3∴∠P AO=60°【答案】 B12.正方体ABCD-A1B1C1D1中过点A作平面A1BD的垂线垂足为点H以下结论中错误的是()A.点H是△A1BD的垂心B.AH⊥平面CB1D1C.AH的延长线经过点C1D.直线AH和BB1所成的角为45°【解析】因为AH⊥平面A1BDBD⊂平面A1BD所以BD⊥AH又BD⊥AA1且AH∩AA1=A所以BD⊥平面AA1H又A1H⊂平面AA1H所以A1H⊥BD同理可证BH⊥A1D所以点H是△A1BD的垂心A正确.因为平面A1BD∥平面CB1D1所以AH⊥平面CB1D1B正确.易证AC1⊥平面A1BD因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直所以AC1和AH重合.故C正确.因为AA1∥BB1所以∠A1AH为直线AH和BB1所成的角.因为∠AA1H≠45°所以∠A1AH≠45°故D错误.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题每小题5分共20分将答案填在题中的横线上)13.设平面α∥平面βA、C∈αB、D∈β直线AB与CD交于点S 且点S位于平面αβ之间AS=8BS=6CS=12则SD=________【解析】由面面平行的性质得AC∥BD ASBS=CSSD解得SD=9【答案】914.如图3四棱锥S-ABCD中底面ABCD为平行四边形E是SA上一点当点E满足条件:________时SC∥平面EBD图3【解析】当E是SA的中点时连接EBEDAC设AC与BD的交点为O连接EO∵四边形ABCD是平行四边形∴点O是AC的中点.又E是SA的中点∴OE是△SAC的中位线.∴OE∥SC∵SC⊄平面EBDOE⊂平面EBD∴SC∥平面EBD【答案】E是SA的中点15.如图4所示在正方体ABCD-A1B1C1D1中MN分别是棱AA1和AB上的点若∠B1MN是直角则∠C1MN等于________.图4【解析】∵B1C1⊥平面A1ABB1MN⊂平面A1ABB1∴B1C1⊥MN又∠B1MN为直角∴B1M⊥MN而B1M∩B1C1=B1∴MN ⊥平面MB 1C 1又MC 1⊂平面MB 1C 1 ∴MN ⊥MC 1∴∠C 1MN =90° 【答案】 90°16.已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是矩形P A ⊥底面ABCD 点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点则①棱AB 与PD 所在直线垂直; ②平面PBC 与平面ABCD 垂直; ③△PCD 的面积大于△P AB 的面积; ④直线AE 与直线BF 是异面直线.以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的序号) 【解析】 由条件可得AB ⊥平面P AD ∴AB ⊥PD 故①正确;若平面PBC ⊥平面ABCD 由PB ⊥BC得PB ⊥平面ABCD 从而P A ∥PB 这是不可能的故②错;S △PCD =12CD ·PDS △P AB =12AB ·P A由AB =CDPD >P A 知③正确; 由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点 可得EF ∥CD 又AB ∥CD∴EF ∥AB 故AE 与BF 共面④错. 【答案】 ①③三、解答题(本大题共6小题共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图5所示已知△ABC 中∠ACB =90°SA ⊥平面ABCAD ⊥SC 求证:AD ⊥平面SBC图5【证明】∵∠ACB=90°∴BC⊥AC又∵SA⊥平面ABC∴SA⊥BC∵SA∩AC=A∴BC⊥平面SAC∴BC⊥AD又∵SC⊥ADSC∩BC=C∴AD⊥平面SBC18.(本小题满分12分)如图6三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直AC=9BC=12AB=15AA1=12点D是AB的中点.图6(1)求证:AC⊥B1C;(2)求证:AC1∥平面CDB1【证明】(1)∵C1C⊥平面ABC∴C1C⊥AC∵AC=9BC=12AB=15∴AC2+BC2=AB2∴AC⊥BC又BC∩C1C=C∴AC⊥平面BCC1B1而B1C⊂平面BCC1B1∴AC⊥B1C(2)连接BC1交B1C于O点连接OD如图∵OD分别为BC1AB的中点∴OD∥AC1又OD⊂平面CDB1AC1⊄平面CDB1∴AC1∥平面CDB1 19.(本小题满分12分)(2016·德州高一检测)某几何体的三视图如图7所示P是正方形ABCD对角线的交点G是PB的中点.(1)根据三视图画出该几何体的直观图;(2)在直观图中①证明:PD∥面AGC;②证明:面PBD⊥面AGC图7【解】(1)该几何体的直观图如图所示:(2)证明:①连接ACBD交于点O连接OG因为G为PB的中点O为BD 的中点所以OG ∥PD②连接PO 由三视图知PO ⊥平面ABCD 所以AO ⊥PO又AO ⊥BO 所以AO ⊥平面PBD因为AO ⊂平面AGC所以平面PBD ⊥平面AGC20.(本小题满分12分)(2016·济宁高一检测)如图8正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直EF ∥ACAB =2CE =EF =1图8(1)求证:AF ∥平面BDE ;(2)求证:CF ⊥平面BDE【09960091】【证明】 (1)如图设AC 与BD 交于点G因为EF ∥AG 且EF =1AG =12AC =1所以四边形AGEF 为平行四边形.所以AF ∥EG因为EG⊂平面BDEAF⊄平面BDE所以AF∥平面BDE(2)连接FG∵EF∥CGEF=CG=1∴四边形CEFG为平行四边形又∵CE=EF=1∴▱CEFG为菱形∴EG⊥CF在正方形ABCD中AC⊥BD∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直∴BD⊥平面CEFG∴BD⊥CF又∵EG∩BD=G∴CF⊥平面BDE21.(本小题满分12分)(2015·山东高考)如图9三棱台DEF-ABC 中AB=2DEGH分别为ACBC的中点.图9(1)求证:BD∥平面FGH;(2)若CF⊥BCAB⊥BC求证:平面BCD⊥平面EGH【解】(1)证法一:连接DGCD设CD∩GF=M连接MH在三棱台DEF-ABC中AB=2DEG为AC的中点可得DF∥GCDF=GC所以四边形DFCG为平行四边形则M为CD的中点.又H为BC的中点所以MH∥BD又MH⊂平面FGHBD⊄平面FGH所以BD∥平面FGH 证法二:在三棱台DEF-ABC中由BC=2EFH为BC的中点可得BH∥EFBH=EF所以四边形BHFE为平行四边形可得BE∥HF在△ABC中G为AC的中点H为BC的中点所以GH∥AB又GH∩HF=H所以平面FGH∥平面ABED因为BD⊂平面ABED所以BD∥平面FGH(2)连接HE因为GH分别为ACBC的中点所以GH∥AB由AB⊥BC得GH⊥BC又H为BC的中点所以EF∥HCEF=HC因此四边形EFCH是平行四边形.所以CF∥HE又CF⊥BC所以HE⊥BC又HEGH⊂平面EGHHE∩GH=H所以BC⊥平面EGH又BC⊂平面BCD所以平面BCD⊥平面EGH22.(本小题满分12分)(2016·重庆高一检测)如图10所示ABCD是正方形O是正方形的中心PO⊥底面ABCD底面边长为aE是PC的中点.图10(1)求证:P A∥平面BDE;平面P AC⊥平面BDE;(2)若二面角E-BD-C为30°求四棱锥P-ABCD的体积.【解】(1)证明:连接OE如图所示.∵O、E分别为AC、PC的中点∴OE∥P A∵OE⊂平面BDEP A⊄平面BDE∴P A∥平面BDE∵PO⊥平面ABCD∴PO⊥BD在正方形ABCD中BD⊥AC又∵PO∩AC=O∴BD⊥平面P AC又∵BD⊂平面BDE∴平面P AC⊥平面BDE(2)取OC中点F连接EF∵E为PC中点∴EF为△POC的中位线∴EF∥PO又∵PO⊥平面ABCD∴EF⊥平面ABCD∵OF ⊥BD ∴OE ⊥BD∴∠EOF 为二面角E -BD -C 的平面角 ∴∠EOF =30°在Rt △OEF 中OF =12OC =14AC =24a∴EF =OF ·tan 30°=612a ∴OP =2EF =66a∴V P -ABCD =13×a 2×66a =618a 3。
【金版学案】2016-2017学年高中数学 模块综合评价 新人教A 版必修2(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.某几何体的正视图和侧视图均如图①所示(上面是一个圆,下面是个正方形),则下面四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )图① (1) (2) (3) (4) A .(1)(3) B .(1)(4) C .(2)(4)D .(1)(2)(3)(4)解析:由该几何体的正视图和侧视图,可知该几何体可以为一个正方体上面放着一个球,也可以是一个圆柱上面放着一个球,则其俯视图可以为(1)(3).答案:A2.(2015·陕西卷)已知直线l 的倾斜角为45°,直线l 1经过点A (3,2),B (-a ,1),且l 1与l 垂直,直线l 2:2x +by +1=0与直线l 1平行,则a +b = ( )A .-4B .-2C .0D .2解析:由题意知,直线l 的斜率为1,则直线l 1的斜率为-1,所以2-13+a =-1,所以a=-4,又l 1∥l 2,所以-2b=-1,所以b =2,所以a +b =-4+2=-2.答案:B3.(2015·陕西卷)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )A .3πB .4πC .2π+4D .3π+4解析:由三视图可知该几何体为半圆柱,其底面半径为1,高为2,从而该几何体的表面积为2×12π×12+2π+4=3π+4.答案:D4.直线l 通过两直线7x +5y -24=0和x -y =0的交点,且点(5,1)到l 的距离为10,则l 的方程是( )A .3x +y +4=0B .3x -y +4=0C .3x -y -4=0D .x -3y -4=0解析:由⎩⎪⎨⎪⎧7x +5y -24=0,x -y =0得交点(2,2),设l 的方程为y -2=k (x -2), 即kx -y +2-2k =0,所以|5k -1+2-2k |k 2+(-1)2=10,解得k =3.所以l 的方程为3x -y -4=0. 答案:C5.如图①所示,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 的中点,G 是EF 的中点,现在沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体,使B 、C 、D 三点重合,重合后的点记为H ,如图②所示,那么,在四面体A EFH 中必有( )图① 图②A .AH ⊥△EFH 所在平面B .AG ⊥△EFH 所在平面C .HF ⊥△AEF 所在平面D .HG ⊥△AEF 所在平面解析:折成的四面体中有AH ⊥EH ,AH ⊥FH , 所以AH ⊥面HEF . 答案:A6.(2015·重庆卷)已知直线l :x +ay -1=0(a ∈R)是圆C :x 2+y 2-4x -2y +1=0的对称轴.过点A (-4,a )作图C 的一条切线,切点为B ,则|AB |=( )A .2B .4 2C .6D .210解析:由题设得圆C 的标准方程为(x -2)2+(y -1)2=4,知圆C 的圆心为(2,1),半径为2,因为直线l 为圆C 的对称轴,所以圆心在直线l 上,则2+a -1=0,解得a =x -1,所以|AB |2=|AC |2-|BC |2=[(-4-2)2+(-1-1)2]-4=36,所以|AB |=6.答案:C7.一个球的内接正方体的表面积为54,则球的表面积为( ) A .27π B .18π C .9πD .54π解析:设正方体的棱长为a ,球的半径为r , 则6a 2=54,所以a =3. 又因为2r =3a 所以r =32a =332, 所以S 表=4πr 2=4π×274=27π.答案:A8.已知高为3的直棱柱ABC A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三角形(如图所示),则三棱锥B ′ABC 的体积为( )A.14B.12C.36D.34解析:V B ′ABC =13·S △ABC ·h =13×34×3=34.答案:D9.圆(x -3)2+(y -3)2=9上到直线3x +4y -11=0的距离等于1的点有( ) A .1个 B .2个 C .3个D .4个解析:因为圆心到直线的距离为|9+12-11|5=2,又因为圆的半径为3,所以直线与圆相交,由数形结合知,圆上到直线的距离为1的点有3个.答案:C10.直线x +ky =0,2x +3y +8=0和x -y -1=0交于一点,则k 的值是( ) A.12 B .-12C .2D .-2解析:解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x +3y +8=0,x -y -1=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =-2,则点(-1,-2)在直线x +ky =0上,得k=-12.答案:B11.在四面体A BCD 中,棱AB ,AC ,AD 两两互相垂直,则顶点A 在底面BCD 上的投影H 为△BCD 的( )A .垂心B .重心C .外心D .内心解析:因为AB ⊥AC ,AB ⊥AD ,AC ∩AD =A , 因为AB ⊥平面ACD ,所以AB ⊥CD .因为AH ⊥平面BCD ,所以AH ⊥CD ,AB ∩AH =A , 所以CD ⊥平面ABH ,所以CD ⊥BH .同理可证CH ⊥BD ,DH ⊥BC ,则H 是△BCD 的垂心. 答案:A12.若圆x 2+y 2-ax +2y +1=0与圆x 2+y 2=1关于直线y =x -1对称,过点C (-a ,a )的圆P 与y 轴相切,则圆心P 的轨迹方程为( )A .y 2-4x +4y +8=0 B .y 2+2x -2y +2=0 C .y 2+4x -4y +8=0D .y 2-2x -y -1=0解析:由圆x 2+y 2-ax +2y +1=0与圆x 2+y 2=1关于直线y =x -1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y =x -1上,故可得a =2,即点C (-2,2),所以过点C (-2,2)且与y 轴相切的圆P 的圆心的轨迹方程为(x +2)2+(y -2)2=x 2,整理即得y 2+4x -4y +8=0.答案:C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.已知点A (3,2),B (-2,a ),C (8,12)在同一条直线上,则a =________. 解析:根据题意可知k AC =k AB ,即12-28-3=a -2-2-3,解得a =-8.答案:-814.若函数y =ax +8与y =-12x +b 的图象关于直线y =x 对称,则a +b =________.解析:直线y =ax +8关于y =x 对称的直线方程为x =ay +8, 所以x =ay +8与y =-12x +b 为同一直线,故得⎩⎪⎨⎪⎧a =-2,b =4,所以a +b =2.答案:215.圆x 2+(y +1)2=3绕直线kx -y -1=0旋转一周所得的几何体的表面积为________. 解析:由题意,圆心为(0,-1),又直线kx -y -1=0恒过点(0,-1),所以旋转一周所得的几何体为球,球心即为圆心,球的半径即是圆的半径,所以S =4π(3)2=12π.答案:12π16.设a ,b ,c 是空间的三条直线,下面给出四个命题: ①若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ∥c;②若a 、b 是异面直线,b 、c 是异面直线,则a 、c 也是异面直线; ③若a 和b 相交,b 和c 相交,则a 和c 也相交; ④若a 和b 共面,b 和c 共面,则a 和c 也共面. 其中真命题的个数是________________. 解析:因为a ⊥b ,b ⊥c ,所以a 与c 可以相交、平行、异面,故①错. 因为a 、b 异面,b 、c 异面.则a 、c 可能导面、相交、平行,故②错. 由a 、b 相交,b 、c 相交, 则a 、c 可以异面、平行,故③错. 同理④错,故真命题个数为0. 答案:0三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图所示,在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中,AA 1=6,异面直线BC 1与AA 1所成角的大小为30°,求该三棱柱的体积.解:因为CC 1∥AA 1.所以∠BC 1C 为异面直线BC 1与AA 1所成的角,即∠BC 1C =30°. 在Rt △BCC 1中,BC =CC 1·tan ∠BC 1C =6×33=23, 从而S △ABC =34BC 2=33, 因此该三棱柱的体积V =S △ABC ·AA 1=33×6=18 3. 18.(本小题满分12分)已知一个几何体的三视图如图所示.(1)求此几何体的表面积;(2)如果点P ,Q 在正视图中所处的位置为:P 为三角形的顶点,Q 为四边形的顶点,求在该几何体的侧面上,从点P 到点Q 的最短路径的长.解:(1)由三视图可知,此几何体是一个圆锥和一个圆柱的组合体,其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积与圆柱的一个底面积之和.S 圆锥侧=12(2πa )·(2a )=2πa 2,S 圆柱侧=(2πa )·(2a )=4πa 2,S 圆柱底=πa 2,所以此几何体的表面积S 表=S 圆锥侧+S 圆柱侧+S 圆柱底=2πa 2+4πa 2+πa 2=(2+5)πa 2.(2)分别沿点P 与点Q 所在的母线剪开圆柱的侧面,并展开铺平,如图所示,则|PQ |=|AP |2+|AQ |2=(2a )2+(πa )2=a 4+π2.所以P ,Q 两点在该几何体的侧面上的最短路径的长为a 4+π2.19.(本小题满分12分)已知圆C :x 2+y 2-8y +12=0,直线l 经过点D (-2,0),且斜率为k .(1)求以线段CD 为直径的圆E 的方程; (2)若直线l 与圆C 相离,求k 的取值范围.解:(1)将圆C 的方程x 2+y 2-8y +12=0配方得标准方程为x 2+(y -4)2=4, 则此圆的圆心为C (0,4),半径为2.所以CD 的中点E (-1,2),|CD |=22+42=25, 所以r =5,故所求圆E 的方程为(x +1)2+(y -2)2=5.(2)直线l 的方程为y -0=k (x +2),即kx -y +2k =0.若直线l 与圆C 相离,则有圆心C 到直线l 的距离|0-4+2k |k 2+1>2,解得k <34.20.(本小题满分12分)已知圆x 2+y 2=4上一定点A (2,0),B (1,1)为圆内一点,P ,Q 为圆上的动点.(1)求线段AP 中点的轨迹方程;(2)若∠PBQ =90°,求线段PQ 中点的轨迹方程. 解:(1)设AP 中点为M (x ,y ),由中点坐标公式可知,P 点坐标(2x -2,2y ). 因为P 点在圆x 2+y 2=4上,所以(2x -2)2+(2y )2=4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x -1)2+y 2=1. (2)设PQ 的中点为N (x ,y ). 在Rt △PBQ 中,|PN |=|BN |, 设O 为坐标原点,连接ON (图略), 则ON ⊥PQ ,所以|OP |2=|ON |2+|PN |2=|ON |2+|BN |2, 所以x 2+y 2+(x -1)2+(y -1)2=4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2+y 2-x -y -1=0.21.(本小题满分12分)(2015·北京卷)如图所示,在三棱锥V ABC 中,平面VAB ⊥平面ABC ,△VAB 为等边三角形,AC ⊥BC 且AC =BC =2,O ,M 分别为AB ,VA 的中点.(1)求证:VB ∥平面MOC ; (2)求证:平面MOC ⊥平面VAB ; (3)求三棱锥V ABC 的体积.(1)证明:因为O ,M 分别AB ,VA 的中点, 所以OM ∥VB . 又因为VB ⊄平面MOC . 所以VB ∥平面MOC(2)证明:因为AC =BC ,O 为AB 的中点, 所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC ,且OC ⊂平面ABC , 所以OC ⊥平面VAB . 又OC ⊂平面MOC . 所以平面MOC ⊥平面VAB .(3)解:在等腰直角三角形ACB 中,AC =BC =2, 所以AB =2,OC =1.所以等边三角形VAB 的面积S △VAB = 3. 又因为OC ⊥平面VAB ,所以三棱锥C VAB 的体积等于13OC ·S △VAB =33.又因为三棱锥V ABC 的体积与三棱锥C VAB 的体积相等, 所以三棱锥V ABC 的体积为33. 22.(本小题满分12分)已知圆C :x 2+y 2-2x +4y -4=0,是否存在斜率为1的直线l ,使以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.解:圆C 化成标准方程为(x -1)2+(y +2)2=32, 假设存在以AB 为直径的圆M , 圆心M 的坐标为(a ,b ), 由于CM ⊥l ,所以k CM ·k l =-1,所以k CM =b +2a -1=-1, 即a +b +1=0,得b =-a -1.① 直线l 的方程为y -b =x -a , 即x -y +b -a =0,|CM |=|b -a +3|2. 因为以AB 为直径的圆M 过原点, 所以|MA |=|MB |=|OM |,|MB |2=|CB |2-|CM |2=9-(b -a +3)22,|OM |2=a 2+b 2,所以9-(b -a +3)22=a 2+b 2.②把①代入②得2a 2-a -3=0, 所以a =32或a =-1.当a =32时,b =-52,此时直线l 的方程为x -y -4=0;当a =-1时,b =0,此时直线l 的方程为x -y +1=0. 故这样的直线l 是存在的,方程为x -y -4=0或x -y +1=0.。
章末综合测评(二) 点、直线、平面之间的位置关系(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若a,b是异面直线,直线c∥a,则c与b的位置关系是() A.相交B.异面C.平行D.异面或相交【解析】根据空间两条直线的位置关系和公理4可知c与b异面或相交,但不可能平行.【答案】 D2.下列说法不正确的是()A.空间中,一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B.同一平面的两条垂线一定共面C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直【解析】A、B、C显然正确.易知过一条直线有无数个平面与已知平面垂直.选D.【答案】 D3.(2015·太原高二检测)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是()A.l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3B.l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3C.l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面D.l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面【解析】对于A,通过常见的图形正方体判断,从同一个顶点出发的三条棱两两垂直,故A错;对于B,因为l1⊥l2,所以l1,l2所成的角是90°,又因为l2∥l3,所以l1,l3所成的角是90°,所以l1⊥l3,故B对;对于C,例如三棱柱中的三侧棱平行,但不共面,故C错;对于D,例如三棱锥的三侧棱共点,但不共面,故D错.故选B.【答案】 B4.设a、b为两条直线,α、β为两个平面,则正确的命题是()【导学号:09960089】A.若a、b与α所成的角相等,则a∥bB.若a∥α,b∥β,α∥β,则a∥bC.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥βD.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,则a⊥b【解析】A中,a、b可以平行、相交或异面;B中,a、b可以平行或异面;C中,α、β可以平行或相交.【答案】 D5.(2016·山西山大附中高二检测)如图1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于()图1A.45°B.60°C.90°D.120°【解析】如图,连接A1B、BC1、A1C1,则A1B=BC1=A1C1,且EF∥A1B、GH∥BC1,所以异面直线EF与GH所成的角等于60°.【答案】 B6.设l为直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是() A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l⊥α,l⊥β,则α∥βC.若l⊥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β【解析】选项A,平行于同一条直线的两个平面也可能相交,故选项A错误;选项B,垂直于同一直线的两个平面互相平行,选项B正确;选项C,由条件应得α⊥β,故选项C错误;选项D,l与β的位置不确定,故选项D错误.故选B.【答案】 B7.(2015·洛阳高一检测)如图2,△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形,且∠BAC=60°,下列说法中错误的是()图2A.AD⊥平面BDCB.BD⊥平面ADCC.DC⊥平面ABDD.BC⊥平面ABD【解析】由题可知,AD⊥BD,AD⊥DC,所以AD⊥平面BDC,又△ABD与△ADC均为以D为直角顶点的等腰直角三角形,所以AB=AC,BD=DC=22AB.又∠BAC=60°,所以△ABC为等边三角形,故BC=AB=2BD,所以∠BDC=90°,即BD⊥DC.所以BD⊥平面ADC,同理DC⊥平面ABD.所以A、B、C项均正确.选D.【答案】 D8.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12,底面对角线的长为26,则侧面与底面所成的二面角为() A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】由棱锥体积公式可得底面边长为23,高为3,在底面正方形的任一边上,取其中点,连接棱锥的顶点及其在底面的射影,根据二面角定义即可判定其平面角,在直角三角形中,因为tan θ=3 (设θ为所求平面角),所以二面角为60°,选C.【答案】 C9.将正方形ABCD沿BD折成直二面角,M为CD的中点,则∠AMD 的大小是()A.45°B.30°C.60°D.90°【解析】 如图,设正方形边长为a ,作AO ⊥BD ,则AM =AO 2+OM 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2=32a , 又AD =a ,DM =a 2,∴AD 2=DM 2+AM 2,∴∠AMD =90°.【答案】 D10.在矩形ABCD 中,若AB =3,BC =4,P A ⊥平面AC ,且P A =1,则点P 到对角线BD 的距离为( )A.292B.135C.175D.1195【解析】 如图,过点A 作AE ⊥BD 于点E ,连接PE .∵P A ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,∴P A ⊥BD ,∴BD ⊥平面P AE ,∴BD ⊥PE .∵AE =AB ·AD BD =125,P A =1,∴PE =1+⎝ ⎛⎭⎪⎫1252=135. 【答案】 B11.(2016·大连高一检测)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为3的正三角形.若P 为底面A 1B 1C 1的中心,则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )【导学号:09960090】A .75°B .60°C .45°D .30°【解析】 如图所示,P 为正三角形A 1B 1C 1的中心,设O 为△ABC 的中心,由题意知:PO ⊥平面ABC ,连接OA ,则∠P AO 即为P A 与平面ABC 所成的角.在正三角形ABC 中,AB =BC =AC =3,则S =34×(3)2=334,VABC -A 1B 1C 1=S ×PO =94,∴PO = 3.又AO =33×3=1,∴tan ∠P AO =PO AO =3,∴∠P AO =60°.【答案】 B12.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,过点A 作平面A 1BD 的垂线,垂足为点H .以下结论中,错误的是( )A .点H 是△A 1BD 的垂心B .AH ⊥平面CB 1D 1C .AH 的延长线经过点C 1D .直线AH 和BB 1所成的角为45°【解析】 因为AH ⊥平面A 1BD ,BD ⊂平面A 1BD ,所以BD ⊥AH .又BD ⊥AA 1,且AH ∩AA 1=A .所以BD ⊥平面AA 1H .又A 1H ⊂平面AA 1H .所以A 1H ⊥BD ,同理可证BH ⊥A 1D ,所以点H 是△A 1BD 的垂心,A 正确.因为平面A 1BD ∥平面CB 1D 1,所以AH ⊥平面CB 1D 1,B 正确.易证AC 1⊥平面A 1BD .因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直,所以AC 1和AH 重合.故C 正确.因为AA 1∥BB 1,所以∠A 1AH 为直线AH 和BB 1所成的角. 因为∠AA 1H ≠45°,所以∠A 1AH ≠45°,故D 错误.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)13.设平面α∥平面β,A 、C ∈α,B 、D ∈β,直线AB 与CD 交于点S ,且点S 位于平面α,β之间,AS =8,BS =6,CS =12,则SD =________.【解析】 由面面平行的性质得AC ∥BD ,AS BS =CS SD ,解得SD =9.【答案】 914.如图3,四棱锥S -ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,E 是SA上一点,当点E满足条件:________时,SC∥平面EBD.图3【解析】当E是SA的中点时,连接EB,ED,AC.设AC与BD的交点为O,连接EO.∵四边形ABCD是平行四边形,∴点O是AC的中点.又E是SA的中点,∴OE是△SAC的中位线.∴OE∥SC.∵SC⊄平面EBD,OE⊂平面EBD,∴SC∥平面EBD.【答案】E是SA的中点15.如图4所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱AA1和AB上的点,若∠B1MN是直角,则∠C1MN等于________.图4【解析】∵B1C1⊥平面A1ABB1,MN⊂平面A1ABB1,∴B1C1⊥MN,又∠B1MN为直角,∴B1M⊥MN,而B1M∩B1C1=B1.∴MN⊥平面MB1C1,又MC1⊂平面MB1C1,∴MN⊥MC1,∴∠C1MN=90°.【答案】90°16.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,P A⊥底面ABCD,点E、F分别是棱PC、PD的中点,则①棱AB与PD所在直线垂直;②平面PBC与平面ABCD垂直;③△PCD的面积大于△P AB的面积;④直线AE与直线BF是异面直线.以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的序号)【解析】由条件可得AB⊥平面P AD,∴AB⊥PD,故①正确;若平面PBC⊥平面ABCD,由PB⊥BC,得PB⊥平面ABCD,从而P A∥PB,这是不可能的,故②错;S△PCD=12CD·PD,S△P AB=12AB·P A,由AB=CD,PD>P A知③正确;由E、F分别是棱PC、PD的中点,可得EF∥CD,又AB∥CD,∴EF∥AB,故AE与BF共面,④错.【答案】①③三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图5所示,已知△ABC中,∠ACB=90°,SA⊥平面ABC,AD⊥SC,求证:AD⊥平面SBC.图5【证明】∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.又∵SA⊥平面ABC,∴SA⊥BC,∵SA∩AC=A,∴BC⊥平面SAC,∴BC⊥AD.又∵SC⊥AD,SC∩BC=C,∴AD⊥平面SBC.18.(本小题满分12分)如图6,三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,AC=9,BC=12,AB=15,AA1=12,点D是AB的中点.图6(1)求证:AC⊥B1C;(2)求证:AC1∥平面CDB1.【证明】(1)∵C1C⊥平面ABC,∴C1C⊥AC.∵AC=9,BC=12,AB=15,∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC.又BC∩C1C=C,∴AC⊥平面BCC1B1,而B1C⊂平面BCC1B1,∴AC⊥B1C.(2)连接BC1交B1C于O点,连接OD.如图,∵O,D分别为BC1,AB的中点,∴OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1.∴AC1∥平面CDB1.19.(本小题满分12分)(2016·德州高一检测)某几何体的三视图如图7所示,P是正方形ABCD对角线的交点,G是PB的中点.(1)根据三视图,画出该几何体的直观图;(2)在直观图中,①证明:PD∥面AGC;②证明:面PBD⊥面AGC.图7【解】(1)该几何体的直观图如图所示:(2)证明:①连接AC,BD交于点O,连接OG,因为G为PB的中点,O为BD的中点,所以OG∥PD.②连接PO,由三视图知,PO⊥平面ABCD,所以AO⊥PO.又AO⊥BO,所以AO⊥平面PBD.因为AO⊂平面AGC,所以平面PBD⊥平面AGC.20.(本小题满分12分)(2016·济宁高一检测)如图8,正方形ABCD 和四边形ACEF所在的平面互相垂直,EF∥AC,AB=2,CE=EF=1.图8(1)求证:AF∥平面BDE;(2)求证:CF⊥平面BDE.【导学号:09960091】【证明】(1)如图,设AC与BD交于点G.因为EF ∥AG ,且EF =1, AG =12AC =1,所以四边形AGEF 为平行四边形. 所以AF ∥EG .因为EG ⊂平面BDE ,AF ⊄平面BDE , 所以AF ∥平面BDE . (2)连接FG ,∵EF ∥CG ,EF =CG =1, ∴四边形CEFG 为平行四边形, 又∵CE =EF =1,∴▱CEFG 为菱形, ∴EG ⊥CF .在正方形ABCD 中,AC ⊥BD .∵正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直, ∴BD ⊥平面CEFG .∴BD ⊥CF . 又∵EG ∩BD =G ,∴CF ⊥平面BDE .21.(本小题满分12分)(2015·山东高考)如图9,三棱台DEF -ABC 中,AB =2DE ,G ,H 分别为AC ,BC 的中点.图9(1)求证:BD∥平面FGH;(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求证:平面BCD⊥平面EGH.【解】(1)证法一:连接DG,CD,设CD∩GF=M,连接MH.在三棱台DEF-ABC中,AB=2DE,G为AC的中点,可得DF∥GC,DF=GC,所以四边形DFCG为平行四边形,则M为CD的中点.又H为BC的中点,所以MH∥BD.又MH⊂平面FGH,BD⊄平面FGH,所以BD∥平面FGH.证法二:在三棱台DEF-ABC中,由BC=2EF,H为BC的中点,可得BH∥EF,BH=EF,所以四边形BHFE为平行四边形,可得BE∥HF.在△ABC中,G为AC的中点,H为BC的中点,所以GH∥AB.又GH∩HF =H,所以平面FGH∥平面ABED.因为BD⊂平面ABED,所以BD∥平面FGH.(2)连接HE.因为G,H分别为AC,BC的中点,所以GH∥AB.由AB⊥BC,得GH⊥BC.又H为BC的中点,所以EF∥HC,EF=HC,因此四边形EFCH是平行四边形.所以CF∥HE.又CF⊥BC,所以HE⊥BC.又HE,GH⊂平面EGH,HE∩GH=H,所以BC⊥平面EGH.又BC⊂平面BCD,所以平面BCD⊥平面EGH.22.(本小题满分12分)(2016·重庆高一检测)如图10所示,ABCD 是正方形,O是正方形的中心,PO⊥底面ABCD,底面边长为a,E是PC的中点.图10(1)求证:P A∥平面BDE;平面P AC⊥平面BDE;(2)若二面角E-BD-C为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.【解】(1)证明:连接OE,如图所示.∵O、E分别为AC、PC的中点,∴OE∥P A.∵OE⊂平面BDE,P A⊄平面BDE,∴P A∥平面BDE.∵PO⊥平面ABCD,∴PO⊥BD.在正方形ABCD中,BD⊥AC,又∵PO∩AC=O,∴BD⊥平面P AC.又∵BD ⊂平面BDE ,∴平面P AC ⊥平面BDE . (2)取OC 中点F ,连接EF . ∵E 为PC 中点,∴EF 为△POC 的中位线,∴EF ∥PO . 又∵PO ⊥平面ABCD , ∴EF ⊥平面ABCD . ∵OF ⊥BD ,∴OE ⊥BD .∴∠EOF 为二面角E -BD -C 的平面角, ∴∠EOF =30°. 在Rt △OEF 中, OF =12OC =14AC =24a ,∴EF =OF ·tan 30°=612a ,∴OP =2EF =66a . ∴V P -ABCD =13×a 2×66a =618a 3.。
模块综合检测(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.过点A (3,-4),B (-2,m )的直线l 的斜率为-2,则m 的值为( ) A .6 B .1 C .2D .4解析:选A 由题意知k AB =m +4-2-3=-2,∴m =6. 2.圆x 2+y 2+2x -4y =0的圆心坐标和半径分别是( ) A .(1,-2),5 B .(1,-2), 5 C .(-1,2),5D .(-1,2), 5解析:选D 圆的方程化为标准方程为(x +1)2+(y -2)2=5,其圆心是(-1,2),半径为 5. 3.在空间直角坐标系O xyz 中,点A 在z 轴上,它到点(22,5,1)的距离是13,则点A 的坐标是( )A .(0,0,-1)B .(0,1,1)C .(0,0,1)D .(0,0,13)解析:选C 由点A 在z 轴上,可设A (0,0,z ),∵点A 到点(22,5,1)的距离是13,∴(22-0)2+(5-0)2+(z -1)2=13,解得z =1,故A 的坐标为(0,0,1),故选C.4.过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( ) A .x +2y -5=0 B .2x +y -4=0 C .x +3y -7=0D .x -2y +3=0解析:选A 结合图形可知,所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直的直线,其斜率为-12,直线方程为y -2=-12(x -1),即x +2y -5=0.5.若直线l 1和l 2是异面直线,l 1在平面α内,l 2在平面β内,l 是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是( )A .l 与l 1,l 2都不相交B .l 与l 1,l 2都相交C .l 至多与l 1,l 2中的一条相交D .l 至少与l 1,l 2中的一条相交解析:选D 由直线l 1和l 2是异面直线可知l 1与l 2不平行,故l 1,l 2中至少有一条与l 相交.6.若点P (2,-1)为圆(x -1)2+y 2=25的弦AB 的中点,则直线AB 的方程是( )A .x -y -3=0B .2x +y -3=0C .x +y -1=0D .2x -y -5=0解析:选A 设圆心为C (1,0),则AB ⊥CP ,∵k CP =-1,∴k AB =1,∴直线AB 的方程是y +1=x -2,即x -y -3=0.7.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )A .72πB .48πC .30πD .24π解析:选C 根据三视图知该几何体是由半球与圆锥构成,球的半径R =3,圆锥半径R =3,高为4,所以V 组合体=V 半球+V 圆锥=12×43π×33+13π×32×4=30π.8.直线l :y =kx -1与曲线y -2x -1=12不相交,则k 的取值是( ) A.12或3 B.12C .3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,3 解析:选A 曲线y -2x -1=12表示直线x -2y +3=0(去掉点(1,2)),则直线l :y =kx -1与曲线y -2x -1=12不相交,即直线l 与x -2y +3=0平行或直线l 过点(1,2),所以k 的取值为12或3.9.在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中,若AB =2,AA 1=1,则点A 到平面A 1BC 的距离为( ) A.34 B.32C.334D. 3解析:选B 因为ABC A 1B 1C 1是正三棱柱,AB =2,所以底面三角形ABC 的面积为3,所以VA 1ABC =13×3×1=33.如图,在△A 1BC 中,A 1B =A 1C=12+22=5,所以BC 边上的高为(5)2-1=2,所以S △A 1BC =12×2×2=2.设点A 到平面A 1BC 的距离为h ,所以13·S △A 1BC ·h =VA 1ABC ,解得h =32.10.过点P (-2,4)作圆(x -2)2+(y -1)2=25的切线l ,直线l 1:ax +3y +2a =0与l 平行,则l 1与l 间的距离是( )A.285B.125C.85D.25解析:选B 直线l 1的斜率k =-a3,l 1∥l ,又l 过P (-2,4),∴l 的直线方程为y -4=-a3(x +2),即ax +3y +2a -12=0.又直线l 与圆相切, ∴|2a +3×1+2a -12|a 2+9=5,∴a =-4,∴l 1与l 的距离为d =125.11.若圆C :x 2+y 2+2x -4y +3=0关于直线2ax +by +6=0对称,则由点(a ,b )所作的圆的切线长的最小值是( )A .2B .3C .4D .6解析:选C 将圆C :x 2+y 2+2x -4y +3=0化为标准方程为(x +1)2+(y -2)2=2,∴圆心C (-1,2),半径r = 2.∵圆C 关于直线2ax +by +6=0对称,∴直线2ax +by +6=0过圆心,将x =-1,y =2代入直线方程得-2a +2b +6=0,即a =b +3.∵点(a ,b )与圆心的距离d =(a +1)2+(b -2)2,∴由点(a ,b )向圆C 所作切线长l =d 2-r 2=(a +1)2+(b -2)2-2=(b +4)2+(b -2)2-2=2(b +1)2+16≥4,当且仅当b =-1时切线长最小,最小值为4. 12.圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r =( )A .1B .2C .4D .8解析:选B 由正视图和俯视图可知,该几何体是一个半球和一个半圆柱的组合体,圆柱的半径和球的半径都为r ,圆柱的高为2r ,其表面积为12×4πr 2+πr ×2r +πr 2+2r ×2r =5πr 2+4r 2=16+20π,解得r =2,故选B.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若直线l 1:ax +y +2a =0与l 2:x +ay +3=0互相平行,则实数a =________.解析:由两直线平行的条件A 1B 2-A 2B 1=0且A 1C 2-A 2C 1≠0得⎩⎨⎧a 2-1=0,3a -2a ≠0,得a =±1.答案:±114.(2018·全国卷Ⅰ)直线y =x +1与圆x 2+y 2+2y -3=0交于A ,B 两点,则|AB |=________.解析:由x 2+y 2+2y -3=0,得x 2+(y +1)2=4.∴圆心C (0,-1),半径r =2.圆心C (0,-1)到直线x -y +1=0的距离d =|1+1|2=2,∴|AB |=2r 2-d 2=24-2=2 2. 答案:2 215.若直线3x -4y +5=0与圆x 2+y 2=r 2(r >0)相交于A ,B 两点,且∠AOB =120°(O 为坐标原点),则r =________.解析:由直线与圆的位置及圆的性质,可求得圆心(0,0)到直线3x -4y +5=0的距离为r2,∴|5|32+42=r2,∴r =2. 答案:216.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C ,有如下三个结论. ①AC ⊥BD ;②△ACD 是等边三角形; ③AB 与平面BCD 成60°的角. 说法正确的命题序号是________.解析:如图所示,①取BD 中点E ,连接AE ,CE ,则BD ⊥AE ,BD ⊥CE ,而AE ∩CE =E ,∴BD ⊥平面AEC ,AC ⊂平面AEC ,故AC ⊥BD ,故①正确.②设正方形的边长为a ,则AE =CE =22a .由①知∠AEC 是直二面角A BD C 的平面角,∴∠AEC =90°,∴AC =a ,∴△ACD 是等边三角形,故②正确.③由题意及①知,AE ⊥平面BCD ,故∠ABE 是AB 与平面BCD 所成的角,而∠ABE =45°,所以③不正确.答案:①②三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知两条直线l 1:mx +8y +n =0和l 2:2x +my -1=0,试确定m 、n 的值,使(1)l 1与l 2相交于点(m ,-1); (2)l 1∥l 2;(3)l 1⊥l 2,且l 1在y 轴上的截距为-1. 解:(1)因为l 1与l 2相交于点(m ,-1),所以点(m ,-1)在l 1、l 2上,将点(m ,-1)代入l 2,得2m -m -1=0,解得m =1. 又因为m =1,把(1,-1)代入l 1,所以n =7. 故m =1,n =7.(2)要使l 1∥l 2,则有⎩⎪⎨⎪⎧m 2-16=0,m ×(-1)-2n ≠0,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =4,n ≠-2或⎩⎪⎨⎪⎧m =-4,n ≠2.(3)要使l 1⊥l 2,则有m ·2+8·m =0,得m =0. 则l 1为y =-n8,由于l 1在y 轴上的截距为-1, 所以-n8=-1,即n =8.故m =0,n =8.18.(本小题满分12分)如图,长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,AB =16,BC =10,AA 1=8,点E ,F 分别在A 1B 1,D 1C 1上,A 1E =D 1F =4.过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.解:(1)交线围成的正方形EHGF 如图所示.(2)作EM ⊥AB ,垂足为M ,则AM =A 1E =4,EB 1=12,EM =AA 1=8. 因为EHGF 为正方形,所以EH =EF =BC =10. 于是MH =EH 2-EM 2=6,AH =10,HB =6. 故S 四边形A 1EHA =12×(4+10)×8=56,S 四边形EB 1BH =12×(12+6)×8=72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱, 所以其体积的比值为97⎝ ⎛⎭⎪⎫79也正确. 19.(本小题12分)如图,在直三棱柱ABC A1B 1C 1中,已知AC ⊥BC ,BC=CC 1.设AB 1的中点为D ,B 1C ∩BC 1=E .求证:(1)DE ∥平面AA 1C 1C ; (2)BC 1⊥AB 1.证明:(1)∵B 1C 1CB 为正方形,∴E 为B 1C 的中点,又D 为AB 1中点,∴DE 为△B 1AC 的中位线,∴DE ∥AC ,又DE ⊄平面A 1C 1CA ,AC ⊂平面A 1C 1CA ,∴DE ∥平面AA 1C 1C .(2)在直三棱柱中,平面ACB ⊥平面B 1C 1CB ,又平面ACB ∩平面B 1C 1CB =BC ,AC ⊂平面ABC ,且AC ⊥BC ,∴AC ⊥平面B 1C 1CB , ∴AC ⊥BC 1, 又B 1C 1CB 为正方形, ∴B 1C ⊥BC 1,AC ∩B 1C =C ,∴BC 1⊥平面ACB 1,又AB 1⊂平面ACB 1,∴BC 1⊥AB 1.20.(本小题满分12分)已知直线x -y +1=0与圆C :x 2+y 2-4x -2y +m =0交于A ,B 两点.(1)求线段AB 的垂直平分线的方程; (2)若|AB |=22,求m 的值;(3)在(2)的条件下,求过点P (4,4)的圆C 的切线方程.解:(1)由题意,线段AB 的垂直平分线经过圆心(2,1),斜率为-1, ∴该直线方程为y -1=-(x -2),即x +y -3=0.(2)圆x 2+y 2-4x -2y +m =0可化为(x -2)2+(y -1)2=-m +5. ∵|AB |=22,∴圆心到直线的距离为-m +5-2=3-m . ∵圆心(2,1)到直线的距离为d =|2-1+1|2=2,∴3-m =2, ∴m =1.(3)由题意,知圆C :x 2+y 2-4x -2y +1=0,即(x -2)2+(y -1)2=4.则点P (4,4)在圆外,过点P 的圆C 的切线有两条.①当所求切线的斜率存在时,设切线方程为y -4=k (x -4),即kx -y -4k +4=0. 由圆心到切线的距离等于半径,得|2k -1-4k +4|k 2+1=2,解得k =512,所以所求切线的方程为5x -12y +28=0.②当所求切线的斜率不存在时,切线方程为x =4. 综上,所求切线的方程为x =4或5x -12y +28=0.21.(本小题满分12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.(1)请将字母F ,G ,H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由); (2)判断平面BEG 与平面ACH 的位置关系,并证明你的结论; (3)证明:直线DF ⊥平面BEG . 解:(1)点F ,G ,H 的位置如图所示.(2)平面BEG ∥平面ACH .证明如下:因为ABCD EFGH 为正方体,所以BC ∥FG ,BC =FG . 又FG ∥EH ,FG =EH ,所以BC ∥EH ,BC =EH , 于是四边形BCHE 为平行四边形, 所以BE ∥CH .又CH ⊂平面ACH ,BE ⊄平面ACH , 所以BE ∥平面ACH . 同理BG ∥平面ACH . 又BE ∩BG =B ,所以平面BEG ∥平面ACH .(3)证明:连接FH ,与EG 交于点O ,连接BD . 因为ABCD EFGH 为正方体, 所以DH ⊥平面EFGH .因为EG ⊂平面EFGH ,所以DH ⊥EG .又EG ⊥FH ,DH ∩FH =H ,所以EG ⊥平面BFH D. 又DF ⊂平面BFHD ,所以DF ⊥EG . 同理DF ⊥BG . 又EG ∩BG =G , 所以DF ⊥平面BEG .22.(本小题满分12分)已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ,3t (t ∈R ,t ≠0)为圆心的圆过原点O .(1)设直线3x +y -4=0与圆C 交于点M ,N ,若|OM |=|ON |,求圆C 的方程;(2)在(1)的条件下,设B (0,2),且P ,Q 分别是直线l :x +y +2=0和圆C 上的动点,求|PQ |-|PB |的最大值及此时点P 的坐标.解:(1)∵|OM |=|ON |,∴原点O 在线段MN 的垂直平分线上.设MN 的中点为H ,则CH ⊥MN ,∴C ,H ,O 三点共线. ∵直线MN 的方程是3x +y -4=0,∴直线OC 的斜率k =3t t =3t 2=13,解得t =3或t =-3,∴圆心为C (3,1)或C (-3,-1).∴圆C 的方程为(x -3)2+(y -1)2=10或(x +3)2+(y +1)2=10.由于当圆的方程为(x +3)2+(y +1)2=10时,圆心到直线3x +y -4=0的距离d >r ,此时不满足直线与圆相交,故舍去.∴圆C 的方程为(x -3)2+(y -1)2=10.(2)由题意可知|PQ |-|PB |≤|BQ |,当B ,P ,Q 三点共线时,等号成立. 又B ,C ,Q 三点共线且|BQ |=|BC |+|CQ |时|BQ |最大, 此时|BQ |=|BC |+10=210.∵B (0,2),C (3,1),∴直线BC 的方程为y =-13x +2,∴直线BC 与直线x +y +2=0的交点的坐标为(-6,4). 故|PQ |-|PB |的最大值为210,此时点P 的坐标为(-6,4).。
模块综合测评(二)必修2(A版)(时间:90分钟满分:120分)第Ⅰ卷(选择题,共50分)一、选择题:本大题共10小题,共50分.1.如图所示,△ABC为正三角形,AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面ABC且3AA′=32BB′=CC′=AB,则多面体ABC-A′B′C′的正视图(左视时沿AB方向)是A. B.C. D.解析:几何体的正视图是该几何体从前向后的正投影. 答案:D2.已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中B ′O ′=C ′O ′=1,A ′O ′=32,那么原△ABC 中∠ABC 的大小是A .30°B .45°C .60°D .90°解析:根据“斜二测画法”可得BC =B ′C ′=2,AO =2A ′O ′= 3. 故原△ABC 是一个等边三角形. 答案:C3.已知直线l 的倾斜角为α,若cos α=-45,则直线l 的斜率为A.34B.43 C .-34D .-43解析:由cos α=-45得sin α=35,所以tan α=-34,即直线l 的斜率为-34. 答案:C4.点A (3,-2,4)关于点(0,1,-3)的对称点的坐标为 A .(-3,4,-10) B .(-3,2,-4) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32,-12,12 D .(6,-5,11)解析:设点A 关于点(0,1,-3)的对称点的坐标为A ′(x 0,y 0,z 0),则⎩⎪⎨⎪⎧3+x 02=0,-2+y02=1,4+z2=-3,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0=-3,y 0=4,z 0=-10.∴A ′(-3,4,-10). 答案:A5.已知平面α,β和直线a ,b ,若α∩β=l ,a ⊂α,b ⊂β,且平面α与平面β不垂直,直线a 与直线l 不垂直,直线b 与直线l 不垂直,则A .直线a 与直线b 可能垂直,但不可能平行B .直线a 与直线b 可能垂直,也可能平行C .直线a 与直线b 不可能垂直,但可能平行D .直线a 与直线b 不可能垂直,也不可能平行解析:①当a ∥l ;b ∥l 时,a ∥b ;②当a 与b 在α内的射影垂直时a 与b 垂直.答案:B6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是棱BB1、B1C1的中点,若∠CMN=90°,则异面直线AD1和DM所成角为A.30°B.45°C.60°D.90°解析:因为MN⊥DC,MN⊥MC,所以MN⊥面DCM.所以MN⊥DM.因为MN∥AD1,所以AD1⊥DM.答案:D7.若某多面体的三视图(单位:cm)如图所示,则此多面体的体积是A.2 cm3B.4 cm3C .6 cm 3D .12 cm 3解析:由三视图知该几何体为三棱锥,它的高等于2,底面是等腰三角形,底边边长等于3,底边上的高为2,所以几何体的体积V =13×12×3×2×2=2(cm 3).答案:A8.若直线y =kx +1与圆x 2+y 2+kx -2y =0的两个交点恰好关于y 轴对称,则k =A .0B .1C .2D .3解析:由⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +1,x 2+y 2+kx -2y =0,得(1+k 2)·x 2+kx -1=0, ∵两交点恰好关于y 轴对称. ∴x 1+x 2=-k1+k 2=0.∴k =0. 答案:A9.已知球的直径SC =4,A ,B 是该球球面上的两点,AB =2,∠ASC =∠BSC =45°,则棱锥S -ABC 的体积为A.33 B.233 C.433D.533解析:如图所示,连接OA ,OB (O 为球心).∵AB =2,∴△OAB 为正三角形.又∵∠BSC =∠ASC =45°,且SC 为直径, ∴△ASC 与△BSC 均为等腰直角三角形. ∴BO ⊥SC ,AO ⊥SC .又AO ∩BO =O ,∴SC ⊥面ABO . ∴V S -ABC =V C -OAB +V S -OAB =13·S △OAB ·(SO +OC ) =13×34×4×4 =433,故选C. 答案:C10.若直线y =x +b 与曲线y =3-4x -x 2有公共点,则b 的取值范围是A .[-1,1+22]B .[1-22,1+22]C .[1-22,3]D .[1-2,3]解析:曲线y =3-4x -x 2表示圆(x -2)2+(y -3)2=4的下半圆,如图所示,当直线y =x +b 经过点(0,3)时,b 取最大值3,当直线与半圆相切时,b 取最小值,由|2-3+b |2=2⇒b =1-22或1+22(舍),故b min =1-22,b 的取值范围为[1-22,3].答案:C第Ⅱ卷(非选择题,共70分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.11.已知两条平行直线的方程分别是2x +3y +1=0,mx +6y -5=0,则实数m =__________.解析:由于两直线平行,所以2m =36≠1-5,∴m =4. 答案:412.将棱长为3的正四面体的各顶点截去四个棱长为1的小正四面体(使截面平行于底面),所得几何体的表面积为__________.解析:原正四面体的表面积为4×934=93,每截去一个小正四面体,3表面减小三个小正三角形,增加一个小正三角形,故表面积减少4×2×=23,故所得几何体的表面积为7 3.答案:7 313.已知一个等腰三角形的顶点A(3,20),一底角顶点B(3,5),另一顶点C的轨迹方程是__________.解析:设点C的坐标为(x,y),则由|AB|=|AC|得(x-3)2+(y-20)2=(3-3)2+(20-5)2,化简得(x-3)2+(y-20)2=225.因此顶点C的轨迹方程为(x-3)2+(y-20)2=225(x≠3).答案:(x-3)2+(y-20)2=225(x≠3)14.已知m,l是直线,α、β是平面,给出下列命题:①若l垂直于α内的两条相交直线,则l⊥α;②若l平行于α,则l平行α内所有直线;③若m⊂α,l⊂β,且l⊥m,则α⊥β;④若l⊂β,且l⊥α,则α⊥β;⑤若m⊂α,l⊂β,且α∥β,且m∥l.其中正确命题的序号是__________(把你认为正确的命题的序号都填上).解析:通过正方体验证.答案:①④三、解答题:本大题共4小题,满分50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(12分)△ABC中,A(0,1),AB边上的高线方程为x+2y-4=0,AC 边上的中线方程为2x+y-3=0,求AB,BC,AC边所在的直线方程.解:由题意知直线AB的斜率为2,∴AB 边所在的直线方程为2x -y +1=0. (4分)直线AB 与AC 边中线的交点为B ⎝⎛⎭⎪⎫12,2,设AC 边中点D (x 1,3-2x 1),C (4-2y 1,y 1),∵D 为AC 的中点,由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1=4-2y 1,2(3-2x 1)=1+y 1,∴y 1=1,∴C (2,1),∴BC 边所在的直线方程为2x +3y -7=0, (8分)AC 边所在的直线方程为y =1.(12分)16.(12分)如图,在三棱锥S -ABC 中,已知点D 、E 、F 分别为棱AC ,SA ,SC 的中点.(1)求证:EF ∥平面ABC ;(2)若SA =SC ,BA =BC ,求证:平面SBD ⊥平面ABC . 证明:(1)∵EF 是△SAC 的中位线, ∴EF ∥AC .又∵EF ⊄平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,∴EF ∥平面ABC .(6分)(2)∵SA =SC ,AD =DC ,∴SD ⊥AC , 又∵BA =BC ,AD =DC ,∴BD ⊥AC ,又∵SD ⊂平面SBD ,BD ⊂平面SBD ,SD ∩DB =D , ∴AC ⊥平面SBD ,(10分) 又∵AC ⊂平面ABC , ∴平面SBD ⊥平面ABC .(12分)17.(12分)已知点P (2,0),及圆C :x 2+y 2-6x +4y +4=0. (1)当直线l 过点P 且与圆心C 的距离为1时,求直线l 的方程; (2)设过点P 的直线与圆C 交于A 、B 两点,当|AB |=4时,求以线段AB 为直径的圆的方程.解:(1)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的斜率为k ,则方程为y -0=k (x -2),又圆C 的圆心为(3,-2),r =3,由|3k -2k +2|k 2+1=1⇒k =-34. (4分)所以直线l 的方程为y =-34(x -2),即3x +4y -6=0, 当k 不存在时,l 的方程为x =2,符合题意. (6分)(2)由弦心距d =r 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22=5,又|CP |=5,知P 为AB 的中点,故以AB 为直径的圆的方程为(x -2)2+y 2=4.(12分)18.(14分)多面体P -ABCD 的直观图及三视图如图所示,其中正视图、侧视图是等腰直角三角形,俯视图是正方形,E 、F 、G 分别为PC 、PD 、BC 的中点.(1)求证:P A∥平面EFG;(2)求三棱锥P-EFG的体积.解:(1)方法一:如图,取AD的中点H,连接GH,FH. ∵E,F分别为PC,PD的中点,∴EF∥CD.(2分)∵G、H分别为BC、AD的中点,∴GH∥CD.∴EF∥GH.∴E,F,H,G四点共面.(4分)∵F,H分别为DP、DA的中点,∴P A ∥FH .∵P A ⊄平面EFG ,FH ⊂平面EFG ,∴P A ∥平面EFG .(6分)方法二:∵E ,F ,G 分别为PC ,PD ,BC 的中点. ∴EF ∥CD ,EG ∥PB .(2分)∵CD ∥AB ,∴EF ∥AB .∵PB ∩AB =B ,EF ∩EG =E ,∴平面EFG ∥平面P AB .∵P A ⊂平面P AB ,∴P A ∥平面EFG .(6分)(2)由三视图可知,PD ⊥平面ABCD ,又∵GC ⊂平面ABCD ,∴GC ⊥PD .∵四边形ABCD 为正方形,∴GC ⊥CD .∵PD ∩CD =D ,∴GC ⊥平面PCD .(8分)∵PF =12PD =1,EF =12CD =1,∴S △PEF =12EF ·PF =12.(10分)∵GC =12BC =1,∴V P -EFG =V G -PEF=13S △PEF ·GC=13×12×1=16.(14分)。