2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理数(含答案)

2014年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•湖北）i为虚数单位，（）2=（）可先计算出的值，再计算平方的值．解：由于（2．（5分）（2014•湖北）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）2x+的展开式即（+2x，代入得：3．（5分）（2014•湖北）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”4．（5分）（2014•湖北）根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）5．（5分）（2014•湖北）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）6．（5分）（2014•湖北）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g （x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2，解：对于①：x cos x dx=（﹣对于②：（dx=（（）对于③：（7．（5分）（2014•湖北）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为B，面积为，解得（，S=，，8．（5分）（2014•湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）BL=（．9．（5分）（2014•湖北）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）B，cos）×+）=当且仅当，cos ，得，=m，的最大值为10．（5分）（2014•湖北）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x 222，]，，]，，解得：的取值范围是二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．（5分）（2014•湖北）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ=±3．解：∵向量=，||=3|，向量=3+λ）⊥（﹣λ+λ﹣λ12．（5分）（2014•湖北）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等四段弧，则a2+b2=2．）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的=，====13．（5分）（2014•湖北）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=495．三、解答题14．（2014•湖北）设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞0，对任意a＞0，b ＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为M f（a，b），例如，当f（x）=1（x＞0）时，可得M f（a，b）=c=，即M f（a，b）为a，b的算术平均数．（1）当f（x）=（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的几何平均数；（2）当f（x）=x（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可），，，﹣，x=c==，）的直线方程为，x=c=故答案为：的直线方程为=x=c=的调和平均数15．（2014•湖北）如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=4．16．（2014•湖北）已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为（，1）．（，求得交点的直角坐标为（，17．（11分）（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣，t∈[0，24）（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？t+（t+，即＜t+＜﹣（t+≤t+＜，故当t+=时，t+=时，即（t+）t+）（t+）＜﹣＜t+＜18．（12分）（2014•湖北）已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．=19．（12分）（2014•湖北）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N 分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．=2，可得===，=2=，则==•±．±20．（12分）（2014•湖北）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？，21．（14分）（2014•湖北）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y 轴的距离多1，记点M的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．的方程为；由方程组，解得．∈或时，直线或时，直线，解得﹣＜﹣＜或时，直线∈，时，直线22．（14分）（2014•湖北）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）=的单调区间；（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．，即，又由（Ⅱ）知，时，，ln＜，，π，∴，，，得=，即x=，又ln＜，π．①﹣﹣﹣。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理工类)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2014湖北,理1)i 为虚数单位,(1-i 1+i)2=( ). A .-1 B .1C .-iD .i答案:A解析:(1-i 1+i)2=(1-i )2(1+i )2=-2i2i=-1,故选A .2.(2014湖北,理2)若二项式(2x +a x )7的展开式中1x3的系数是84,则实数a=( ). A .2 B .√45C .1D .√24答案:C解析:二项式通项T r+1=C 7r (2x )7-r (ax -1)r =27-r a r C 7r x 7-2r.由题意知7-2r=-3,则r=5.令22a 5C 75=84,解得a=1.3.(2014湖北,理3)设U 为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A ⊆C ,B ⊆∁U C”是“A ∩B=⌀”的( ).A .充分而不必要的条件B .必要而不充分的条件C .充要条件D .既不充分也不必要的条件 答案:C解析:如图可知,存在集合C ,使A ⊆C ,B ⊆∁U C ,则有A ∩B=⌀.若A ∩B=⌀,显然存在集合C.满足A ⊆C ,B ⊆∁U C.故选C .4.(2014湖北,理4)根据如下样本数据:得到的回归方程为y ^=bx+a ,则( ). A .a>0,b>0 B .a>0,b<0 C .a<0,b>0D .a<0,b<0答案:B解析:由样本数据可知y 值总体上是随x 值的增大而减少的.故b<0,又回归直线过第一象限,故纵截距a>0.故选B . 5.(2014湖北,理5)在如图所示的空间直角坐标系O-xyz 中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( ).A .①和②B .③和①C .④和③D .④和②答案:D解析:如图所示A (0,0,2),B (2,2,0),C (1,2,1),D (2,2,2),B ,C ,D 点在面yOz 上的射影分别为B 1,C 1,D 1,它们在一条线上,且C 1为B 1D 1的中点.从前往后看时,看不到棱AC ,正视图中AC 1应为虚线.故正视图应为图④.点A ,D ,C 在面xOy 内的射影分别为O ,B ,C 2,俯视图为△OC 2B ,故选图②.综上选D .6.(2014湖北,理6)若函数f (x ),g (x )满足∫ 1-1f (x )g (x )d x=0,则称f (x ),g (x )为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:①f (x )=sin 12x ,g (x )=cos 12x ;②f (x )=x+1,g (x )=x-1;③f (x )=x ,g (x )=x 2. 其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( ). A .0 B .1 C .2 D .3答案:C解析:对于①,∫ 1-1sin 12x ·cos 12x d x=∫ 1-112sin x d x=12∫ 1-1sin x d x =12(-cos x )|-11=12{-cos 1-[-cos(-1)]}=12(-cos 1+cos 1) =0.故①为一组正交函数;对于②,∫ 1-1(x+1)(x-1)d x=∫ 1-1(x 2-1)d x =(13x 3-x)|-11=13-1-(-13+1) =23-2=-43≠0, 故②不是一组正交函数;对于③,∫ 1-1x ·x 2d x=∫ 1-1x 3d x=(14x 4)|-11=0. 故③为一组正交函数,故选C .7.(2014湖北,理7)由不等式组{x ≤0,y ≥0,y -x -2≤0确定的平面区域记为Ω1,不等式组{x +y ≤1,x +y ≥-2确定的平面区域记为Ω2,在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为( ). A .18B .14C .34D .78答案:D解析:如图,由题意知平面区域Ω1的面积S Ω1=S △AOM =12×2×2=2.Ω1与Ω2的公共区域为阴影部分,面积S 阴=S Ω1-S △ABC =2-12×1×12=74. 由几何概型得该点恰好落在Ω2内的概率P=S 阴S Ω1=742=78.故选D .8.(2014湖北,理8)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ,计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ). A .227B .258C .15750D .355113答案:B解析:由题意可知:L=2πr ,即r=L 2π,圆锥体积V=13Sh=13πr 2h=13π·(L 2π)2h=112πL 2h ≈275L 2h ,故112π≈275,π≈258,故选B . 9.(2014湖北,理9)已知F 1,F 2是椭圆和双曲线的公共焦点,P 是它们的一个公共点,且∠F 1PF 2=π3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ).A .4√33B .2√33C .3D .2答案:A解析:设椭圆长半轴为a 1,双曲线实半轴长为a 2,|F 1F 2|=2c.由余弦定理4c 2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|cos π3.而|PF 1|+|PF 2|=2a 1,||PF 1|-|PF 2||=2a 2可得a 12+3a 22=4c 2.令a 1=2c cos θ,a 2=√3sin θ,即a 1c +a 2c =2cos θ+√3sin θ =2(cosθ√3=4√33(√32cosθ+12sinθ) =4√33sin (θ+π3). 故最大值为4√33,故选A .10.(2014湖北,理10)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=12(|x-a 2|+|x-2a 2|-3a 2).若∀x ∈R ,f (x-1)≤f (x ),则实数a 的取值范围为( ).A .[-16,16]B .[-√66,√66]C .[-13,13]D .[-√33,√33]答案:B解析:由题意得,若a=0,f (x )=x ,显然成立;若a ≠0,当x ≥0时,f (x )={x -3a 2,x >2a 2,-a 2,a 2<x ≤2a 2,-x ,0≤x ≤a 2,作出x ≥0的图象 ,利用f (x )是奇函数作出整个定义域上的图象如图:而f (x-1)的图象是由f (x )的图象向右平移1个单位得到的,要满足对任意实数x ,都有f (x-1)≤f (x ),至少应向右平移6a 2个单位,所以6a 2≤1,解得-√66≤a ≤√66,且a ≠0.综上,实数a 的取值范围是[-√66,√66].二、填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11—14题)11.(2014湖北,理11)设向量a =(3,3),b =(1,-1).若(a +λb )⊥(a -λb ),则实数λ= . 答案:±3 解析:由题意得(a +λb )·(a -λb )=0,即a 2-λ2b 2=0,则a 2=λ2b 2.∴λ2=a 2b2=√222(√1+(-1))=182=9.∴λ=±3. 12.(2014湖北,理12)直线l 1:y=x+a 和l 2:y=x+b 将单位圆C :x 2+y 2=1分成长度相等的四段弧,则a 2+b 2= . 答案:2解析:由题意,得圆心(0,0)到两条直线的距离相等,且每段弧的长度都是圆周的14,即√2=√2√2=cos 45°=√22,所以a 2=b 2=1,故a 2+b 2=2.13.(2014湖北,理13)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数,将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a),按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a=815,则I(a)=158,D(a)=851).阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个a,输出的结果b=.答案:495解析:不妨取a=815,则I(a)=158,D(a)=851,b=693;则取a=693,则I(a)=369,D(a)=963,b=594;则取a=594,则I(a)=459,D(a)=954,b=495;则取a=495,则I(a)=459,D(a)=954,b=495.故输出结果b=495.14.(2014湖北,理14)设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0.对任意a>0,b>0,若经过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为M f(a,b).例如,当f(x)=1(x>0)时,可得M f(a,b)=c=a+b2,即M f(a,b)为a,b的算术平均数.(1)当f(x)=(x>0)时,M f(a,b)为a,b的几何平均数;(2)当f(x)=(x>0)时,M f(a,b)为a,b的调和平均数2aba+b.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)答案:(1)√x(2)x(或填(1)k1√x,(2)k2x,其中k1,k2为正常数均可)解析:经过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线方程为y+f(b)=f(a)+f(b)a-b(x-b).令x=c,y=0得c=af(b)+bf(a)f(a)+f(b);(1)令c=√ab,则得√a f(b)=√b f(a),可令f(x)=√x.前面等式成立.(2)令c=2aba+b,则得af(b)=bf(a),可令f(x)=x,前面等式成立.(二)选考题(请考生在第15,16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑.如果全选,则按第15题作答结果计分.)15.(2014湖北,理15)(选修4—1:几何证明选讲)如图,P为☉O外一点,过P点作☉O的两条切线,切点分别为A,B.过PA的中点Q作割线交☉O于C,D两点.若QC=1,CD=3,则PB=.答案:4解析:由题意知PA=PB.PA切☉O于点A,由切割线定理可得QA2=QC·QD=1×(1+3)=4.∴QA=2,∴PA=2×2=4=PB.16.(2014湖北,理16)(选修4—4:坐标系与参数方程)已知曲线C1的参数方程是{x=√t,y=√3t3(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为. 答案:(√3,1)解析:由曲线C 1的参数方程{x =√t ,y =√3t3,得y=√33x (x ≥0),①曲线C 2的极坐标方程为ρ=2,可得方程x 2+y 2=4,②由①②联立解得{x =√3,y =1,故C 1与C 2交点的直角坐标为(√3,1).三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分11分)(2014湖北,理17)某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:f (t )=10-√3cos π12t-sin π12t ,t ∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差;(2)若要求实验室温度不高于11 ℃,则在哪段时间实验室需要降温?分析:由函数f (t )为a cos t+b sin t 型,故可利用辅助角公式对f (t )化简为f (t )=10-2sin (π12t +π3),再根据t ∈[0,24),把π12t+π3的范围求出,再利用单位圆或者正弦函数的图象求出sin (π12t +π3)的范围,从而求得f (t )的最大与最小值.对于第(2)问,要求实验室温度不高于11 ℃,即满足不等式f (t )>11的t 的范围就是实验室需要降温的时间段,可利用正弦曲线或单位圆来解三角不等式. 解:(1)因为f (t )=10-2(√32cosπ12t +12sin π12t)=10-2sin (π12t +π3),又0≤t<24,所以π3≤π12t+π3<7π3,-1≤sin (π12t +π3)≤1. 当t=2时,sin (π12t +π3)=1;当t=14时,sin (π12t +π3)=-1.于是f (t )在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃. (2)依题意,当f (t )>11时实验室需要降温. 由(1)得f (t )=10-2sin (π12t +π3), 故有10-2sin (π12t +π3)>11, 即sin (π12t +π3)<-12.又0≤t<24,因此7π6<π12t+π3<11π6,即10<t<18.在10时至18时实验室需要降温.18.(本小题满分12分)(2014湖北,理18)已知等差数列{a n }满足:a 1=2,且a 1,a 2,a 5成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和,是否存在正整数n ,使得S n >60n+800?若存在,求n 的最小值;若不存在,说明理由.分析:(1)根据{a n }是等差数列,首项a 1已知,可设公差为d ,由a 1,a 2,a 5成等比数列,即a 22=a 1a 5建立关于d 的方程求出d 来,可得通项公式a n .第(2)问可由(1)问求出的a n ,求出数列{a n }的前n 项和S n ,解不等式S n >60n+800.若有解则存在正整数n ,若无解则不存在.解:(1)设数列{a n }的公差为d ,依题意,2,2+d ,2+4d 成等比数列,故有(2+d )2=2(2+4d ),化简得d 2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,a n =2;当d=4时,a n =2+(n-1)·4=4n-2,从而得数列{a n }的通项公式为a n =2或a n =4n-2. (2)当a n =2时,S n =2n.显然2n<60n+800, 此时不存在正整数n ,使得S n >60n+800成立. 当a n =4n-2时,S n =n [2+(4n -2)]2=2n 2. 令2n 2>60n+800,即n 2-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去),此时存在正整数n ,使得S n >60n+800成立,n 的最小值为41. 综上,当a n =2时,不存在满足题意的n ;当a n =4n-2时,存在满足题意的n ,其最小值为41.19.(本小题满分12分)(2014湖北,理19)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F ,M ,N 分别是棱AB ,AD ,A 1B 1,A 1D 1的中点,点P ,Q 分别在棱DD 1,BB 1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC 1∥平面EFPQ ;(2)是否存在λ,使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.分析:解决立体几何问题往往用两种方法来解决.一是几何法,二是向量法.对于第(1)问,欲证直线BC 1∥平面EFPQ ,首先想到的是利用线面平行的判定定理,即能否在平面EFPQ 内找到一条直线与BC 1平行,当λ=1时,由P ,F 分别是DD 1与AD 的中点,利用中位线定理可得FP ∥AD 1,从而得BC 1∥FP ,于是得证.对于第(2)问,研究是否存在λ的值使面EFPQ 与面PQMN 成直二面角,可根据条件利用几何法作出二面角的平面角,再令此平面角为90°,看λ是否有解.若有解就存在,若无解则不存在.若用向量法,由于是立方体,可建立空间直角坐标系,要把各点各向量的坐标写准确.第(1)问还可利用向量共线,在平面EFPQ 内找到一直线与BC 1平行来解决,或求出平面EFPQ 的法向量n 1,利用n 1·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0来证明BC 1∥平面EFPQ.对于第(2)问分别求面EFPQ 与平面MNPQ 的法向量n ,m ,若存在λ使两平面成直二面角,则m ·n =0有解,若不存在则无解.方法一(几何方法)(1)证明:如图①,连接AD 1,由ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体,知BC 1∥AD 1.当λ=1时,P 是DD 1的中点,又F 是AD 的中点,所以FP ∥AD 1.图①所以BC 1∥FP.而FP ⊂平面EFPQ ,且BC 1⊄平面EFPQ ,故直线BC 1∥平面EFPQ. (2)解:如图②,连接BD.图②因为E ,F 分别是AB ,AD 的中点, 所以EF ∥BD ,且EF=12BD. 又DP=BQ ,DP ∥BQ ,所以四边形PQBD 是平行四边形, 故PQ ∥BD ,且PQ=BD , 从而EF ∥PQ ,且EF=12PQ.在Rt △EBQ 和Rt △FDP 中,因为BQ=DP=λ,BE=DF=1, 于是EQ=FP=√1+λ2,所以四边形EFPQ 是等腰梯形.同理可证四边形PQMN 是等腰梯形.分别取EF ,PQ ,MN 的中点为H ,O ,G ,连接OH ,OG , 则GO ⊥PQ ,HO ⊥PQ ,而GO ∩HO=O ,故∠GOH 是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角.若存在λ,使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°. 连接EM ,FN ,则由EF ∥MN ,且EF=MN ,知四边形EFNM 是平行四边形. 连接GH ,因为H ,G 是EF ,MN 的中点, 所以GH=ME=2.在△GOH 中,GH 2=4,OH 2=1+λ2-(√22)2=λ2+12,OG 2=1+(2-λ)2-(√22)2=(2-λ)2+12,由OG 2+OH 2=GH 2,得(2-λ)2+12+λ2+12=4,解得λ=1±√22,故存在λ=1±√22,使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角.方法二(向量方法)以D 为原点,射线DA ,DC ,DD 1分别为x ,y ,z 轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系D-xyz.图③由已知得B (2,2,0),C 1(0,2,2),E (2,1,0),F (1,0,0),P (0,0,λ). BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,2),FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,λ),FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0).(1)证明:当λ=1时,FP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1), 因为BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,2), 所以BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2FP⃗⃗⃗⃗⃗ ,即BC 1∥FP. 而FP ⊂平面EFPQ ,且BC 1⊄平面EFPQ , 故直线BC 1∥平面EFPQ.(2)解:设平面EFPQ 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),则由{FE ⃗⃗⃗⃗ ·n =0,FP⃗⃗⃗⃗ ·n =0,可得{x +y =0,-x +λz =0,于是可取n =(λ,-λ,1).同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m =(λ-2,2-λ,1). 若存在λ,使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角, 则m ·n =(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0, 解得λ=1±√22.故存在λ=1±√22,使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角.20.(本小题满分12分)(2014湖北,理20)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量X (年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;(2)X 限制,并有如下关系:若某台发电机运行,则该台年利润为5 000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?分析:(1)根据题中所给数据分别求出不同年入流量对应的不同概率.用样本估计总体的方法估计未来的年入流量.因各年的年入流量相互独立,可利用二项分布求出至多有1年的年入流量超过120的概率.(2)分别求出安装1台,2台,3台发电机时,水电站年总利润的数学期望,比较它们的期望值,选择最佳方案. 解:(1)依题意,p 1=P (40<X<80)=1050=0.2,p 2=P (80≤X ≤120)=3550=0.7,p 3=P (X>120)=550=0.1.由二项分布,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p=C 40(1-p 3)4+C 41(1-p 3)3p 3=(910)4+4×(910)3×(110)=0.947 7.(2)记水电站年总利润为Y (单位:万元). ①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故1台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5 000,E (Y )=5 000×1=5 000. ②安装2台发电机的情形.依题意,当40<X<80时,1台发电机运行,此时Y=5 000-800=4 200,因此P (Y=4 200)=P (40<X<80)=p 1=0.2; 当X ≥80时,2台发电机运行,此时Y=5 000×2=10 000,因此P (Y=10 000)=P (X ≥80)=p 2+p 3=0.8;由此得Y 的分布列如下:Y4 200 10 000P 0.20.8所以,E (Y )=4 200×0.2+10 000×0.8=8 840.③安装3台发电机的情形.依题意,当40<X<80时,1台发电机运行,此时Y=5 000-1 600=3 400,因此P (Y=3 400)=P (40<X<80)=p 1=0.2;当80≤X ≤120时,2台发电机运行,此时Y=5 000×2-800=9 200,因此P (Y=9 200)=P (80≤X ≤120)=p 2=0.7;当X>120时,3台发电机运行,此时Y=5 000×3=15 000,因此P 由此得Y 的分布列如下所以,E (Y )=3 400×0.2+9 200×0.7+15 000×0.1=8 620.综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.21.(本小题满分14分)(2014湖北,理21)在平面直角坐标系xOy 中,点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C. (1)求轨迹C 的方程.(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (-2,1).求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围.分析:第(1)问求动点M 的轨迹C 的方程,就是找出动点M (x ,y )中x 与y 的关系,依据点M 到点F (1,0)的距离比它到y 轴距离多1建立等式|MF|=|x|+1,而|MF|可用两点间距离公式表示,化简整理可得轨迹C 的方程.而对于第(2)问,由于直线过定点(-2,1),可用点斜式得直线方程y-1=k (x+2),讨论直线l 与曲线C 公共点个数问题可转化为直线与曲线方程联立得到的方程组解的个数问题.由第(1)问知曲线C 的方程分为两段:一段是抛物线,一段为射线,而由直线与抛物线联立得到的是二次项含字母的方程,需对二次项系数以及根的判别式作出讨论,还要注意与抛物线联立后有解时x 的取值为非负这一条件.解:(1)设点M (x ,y ),依题意得|MF|=|x|+1,即√(x -1)2+y 2=|x|+1,化简整理得y 2=2(|x|+x ). 故点M 的轨迹C 的方程为y 2={4x ,x ≥0,0,x <0.(2)在点M 的轨迹C 中,记C 1:y 2=4x ,C 2:y=0(x<0). 依题意,可设直线l 的方程为y-1=k (x+2).由方程组{y -1=k (x +2),y 2=4x ,可得ky 2-4y+4(2k+1)=0.①ⅰ)当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹C 的方程,得x=14.故此时直线l :y=1与轨迹C 恰好有一个公共点(14,1). ⅱ)当k ≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k 2+k-1).② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0),则由y-1=k (x+2),令y=0,得x 0=-2k+1k.③ (a)若{Δ<0,x 0<0,由②③解得k<-1,或k>12.即当k ∈(-∞,-1)∪(12,+∞)时,直线l 与C 1没有公共点,与C 2有一个公共点,故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点.(b)若{Δ=0,x 0<0,或{Δ>0,x 0≥0,由②③解得k ∈{-1,12},或-12≤k<0.即当k ∈{-1,12}时,直线l 与C 1只有一个公共点,与C 2有一个公共点.当k ∈[-12,0)时,直线l 与C 1有两个公共点,与C 2没有公共点.故当k ∈[-12,0)∪{-1,12}时,直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点.(c)若{Δ>0,x 0<0,由②③解得-1<k<-12,或0<k<12.即当k ∈(-1,-12)∪(0,12)时,直线l 与C 1有两个公共点,与C 2有一个公共点,故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.综合ⅰ,ⅱ可知,当k ∈(-∞,-1)∪(12,+∞)∪{0}时,直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点; 当k ∈[-12,0)∪{-1,12}时,直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点; 当k ∈(-1,-12)∪(0,12)时,直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点.22.(本小题满分14分)(2014湖北,理22)π为圆周率,e =2.718 28…为自然对数的底数. (1)求函数f (x )=lnxx的单调区间; (2)求e 3,3e ,e π,πe ,3π,π3这6个数中的最大数与最小数;(3)将e 3,3e ,e π,πe ,3π,π3这6个数按从小到大的顺序排列,并证明你的结论.分析:第(1)问是求函数的单调递增递减区间,因此可求函数的导数f'(x ),令f'(x )>0求单调递增区间,令f'(x )<0求单调递减区间.第(2)问是研究给定数值大小关系问题,结合给定数的特点有的是底一样,指数不一样,有的指数一样而底不一样,因此可利用函数的单调性初步判断出3e <πe <π3,e 3<e π<3π.因此求6个数中的最大数就是比较π3与3π,最小数就是比较3e 与e 3,我们可借助于第(1)问中的结论来达到目的.而第(3)问是在(2)问的基础上转化为比较e 3与πe ,e π与π3的大小,充分利用第(1)问得到的结论.合理赋值使问题得到解决. 解:(1)函数f (x )的定义域为(0,+∞).因为f (x )=lnxx,所以f'(x )=1-lnxx 2. 当f'(x )>0,即0<x<e 时,函数f (x )单调递增; 当f'(x )<0,即x>e 时,函数f (x )单调递减. 故函数f (x )的单调递增区间为(0,e), 单调递减区间为[e,+∞).(2)因为e <3<π,所以eln 3<eln π,πln e <πln 3, 即ln 3e <ln πe ,ln e π<ln 3π.于是根据函数y=ln x ,y=e x ,y=πx 在定义域上单调递增, 可得3e <πe <π3,e 3<e π<3π.故这6个数的最大数在π3与3π之中,最小数在3e 与e 3之中. 由e <3<π及(1)的结论,得f (π)<f (3)<f (e),即ln ππ<ln33<ln ee. 由ln ππ<ln33,得ln π3<ln 3π,所以3π>π3; 由ln33<ln e e,得ln 3e <ln e 3,所以3e <e 3. 综上,6个数中的最大数是3π,最小数是3e . (3)由(2)知,3e <πe <π3<3π,3e <e 3. 又由(2)知,ln ππ<ln ee,得πe <e π,故只需比较e 3与πe 和e π与π3的大小. 由(1)知,当0<x<e 时,f (x )<f (e)=1e, 即lnx x<1e.在上式中,令x=e 2π,又e 2π<e, 则ln e 2π<e π,从而2-ln π<e π,即得ln π>2-eπ.①由①得,eln π>e (2-e π)>2.7×(2-2.723.1)>2.7×(2-0.88)=3.024>3, 即eln π>3,亦即ln πe >ln e 3,所以e 3<πe .又由①得,3ln π>6-3e π>6-e >π,即3lnπ>π,所以eπ<π3.综上可得,3e<e3<πe<eπ<π3<3π,即6个数从小到大的顺序为3e,e3,πe,eπ,π3,3π.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. i 为虚数单位，则=+-2)11(ii （ ） A. 1- B. 1 C. i - D.i3. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4.根据如下样本数据得到的回归方程为a bx y+=ˆ，则（ ）A.0,0>>b aB.0,0<>b aC.0,0><b aD.0.0<<b a5.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②7.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为 3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A.227 B.258C.15750D.35511310.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，)3|2||(|21)(222a a x a x x f --+-=，若R ∈∀x ，)()1(x f x f ≤-，则实数a 的取值范围为（ ）二．填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.（一）必考题（11—14题）11.设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ=________.13.设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为()I a ，按从大到小排成的三位数记为()D a （例如815a =，则()158I a =，()851D a =）.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b =________.14.设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ，对任意0,0>>b a ，若经过点()()()()b f b a f a ,,,的直线与x 轴的交点为()0,c ，则称c 为b a ,关于函数()x f 的平均数，记为),(b a M f ，例如，当())0(1>=x x f 时，可得2),(ba cb a M f +==，即),(b a M f 为b a ,的算术平均数.（1）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的几何平均数； （2）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f 为b a ,的调和平均数ba ab+2； （以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）（二）选考题15.（选修4-1：几何证明选讲）如图，P 为⊙O 的两条切线，切点分别为B A ,，过PA 的中点Q 作割线交⊙O 于D C ,两点，若,3,1==CD QC 则_____=PB.16.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线1C 的参数方程是⎪⎩⎪⎨⎧==33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为_______.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. i 为虚数单位，则=+-2)11(i i（ ）A.1-B. 1C. i -D. i2. 若二项式7)2(x a x +的展开式中31x 的系数是84，则实数=a （ ）A.2B. 54C. 1D. 423. 设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得C C B C A U ⊆⊆,是“∅=B A ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件得到的回归方程为a bx y +=ˆ，则（ ）1.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a5.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）1.①和② B.③和① C. ④和③ D.④和②6.若函数[]1,1)(),(,0)()()(),(11-=⎰-为区间则称满足x g x f dx x g x f x g x f 上的一组正交函数，给出三组函数： ①x x g x x f 21cos )(,21sin )(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f == 其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ）A.0B.1C.2D.37.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ） A.81 B.41 C. 43 D.878.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ） A.227 B.258 C.15750 D.3551139.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）C.3D.2。

2014年湖北省高考数学理科试题及解析1. i 为虚数单位，=+-2)11(ii A. －1 B.1 C. －i D. i 【解题提示】利用复数的运算法则进行计算 【解析】选A . 122)1)(1()1)(1()11(2-=-=++--=+-iii i i i i i 2.若二项式7)2(x a x +的展开式中31x 的系数是84，则实数a ＝ A. 2 B.34 C.1 D.42【解题提示】 考查二项式定理的通项公式 【解析】选C . 因为1r T += r r r r rrrx a C xa x C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅，令327-=+-r ，得2=r ，所以84227227=⋅⋅-a C ，解得a ＝1. 3.设U 为全集，B A ,是集合，则“存在集合C 使得,U A C B C ⊆⊆”是“∅=B A ”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【解题提示】考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断 【解析】选C . 依题意，若C A ⊆，则UUC A ⊆，当UB C ⊆，可得∅=B A ；若∅=B A ，不妨另C A = ，显然满足,UA CBC ⊆⊆，故满足条件的集合C 是存在的.4.得到的回归方程为a bx y +=ˆ，则A.0,0>>b aB.0,0<>b aC.0,0><b aD.0.0<<b a【解题提示】 考查根据已知样本数判绘制散点图，由散点图判断线性回归方程中的b 与a 的符号问题【解析】选B .画出散点图如图所示，y 的值大致随x 的增加而减小，因而两个变量呈负相关，所以0<b ，0>a5..在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2），（2,2,0），（1,2，1），（2,2,2），给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②【解题提示】 考查由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的大致形状，进一步得到正视图与俯视图 【解析】选D . 在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D . 6.若函数f(x)，()g x 满足11()g()d 0f x x x -=⎰，则称f(x)，()g x 为区间[-1,1] 上的一组正交函数，给出三组函数：①11()sin,()cos 22f x x g x x ==；②()1,g()1f x x x x =+=-；③2(),g()f x x x x ==其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3【解题提示】 考查微积分基本定理的运用【解析】选C . 对①，1111111111(sin cos )(sin )cos |02222x x dx x dx x ---⋅==-=⎰⎰，则)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的正交函数；对②，1123111114 (1)(1)(1)()|033x x dx x dx x x---+-=-=-=-≠⎰⎰，则)(x f、)(x g不为区间]1,1[-上的正交函数；对③，1341111()|04x dx x--==⎰，则)(x f、)(x g为区间]1,1[-上的正交函数.所以满足条件的正交函数有2组.7.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤2xyyx确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21yxyx，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（）A.81B.41C.43D.87【解题提示】首先根据给出的不等式组表示出平面区域，然后利用面积型的几何概型公式求解【解析】选D. 依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何概型概率公式知，该点落在2Ω内的概率为111221722218222BDF CEFBDFS SPS⨯⨯-⨯⨯-===⨯⨯.8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，另相乘也。

2014年湖北卷理科A 卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. i 为虚数单位，211i i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭( ) A ．-1 B ．1 C ．-i D ．i【解析】()()2221121121i i i i i i ---⎛⎫===- ⎪+⎝⎭+. 【答案】A .2. 若二项式72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是84，则实数a =( )A ．2 B．C ．1 D．4【解析】72a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的通项是()777217722k k k k k kk k a T C x a C x x ---+⎛⎫==⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令7-2k =-3得：k =5 ∴31x的系数是2527284a C ⋅⋅=，即a 5=1，∴a =1. 【答案】C .3. 设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆U C ð” 是“A ∩B =∅” 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】若存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆U C ð，则A ∩B =∅，否则有x ∈A ∩B ， 由A ⊆C ，得x ∈C ，由B ⊆U C ð，得x ∈U C ð，即x C ∉，矛盾；若A ∩B =∅，则取C =A ，有A ⊆C ，B ⊆U C ð，故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆U C ð” 是“A ∩B =∅” 的充要条件。

【答案】C .4． 根据如下样本数据x 3 4 5 6 7 8 y4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0得到的回归方程为y ^=bx+a ，则( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0 【解析】画出散点图知a >0，b <0 【答案】B .5． 在如图所示的空间直角坐标系O -xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和府视图分别为( ) A ．①和② B ．③和① C ．④和③ D ．④和②【解析】设A (0，0，2)，B (2，2，0)，C (1，2，1)，D (2，2，2)， 作出四面体ABCD ，四面体ABCD 的府视图是⊿OBC 1，即图② 正视图是Rt ⊿AEF 和AG ，即图④.【答案】D .6． 若函数f (x )，g (x )满足()()110f x g x dx -=⎰，则称f (x )，g (x )为区间[-1，1] 上的一组正交函数，给出三组函数：①f (x )=sin 12x ，g (x )=cos 12x ；②f (x )=x +1，g (x )=x -1；③f (x )=x ，g (x )=x 2. 其中为区间[-1，1]的正交函数的组数是( )A .0B .1C .2D .3【解析】对于①，()()()11111111022f xg x dx sin xdx cos x ---==-=⎰⎰；对于②，()()()11123111141033f x g x dx x dx x x ---⎛⎫=-=-=-≠ ⎪⎝⎭⎰⎰；对于③，113411104x dx x--==⎰； 【答案】C .7． 由不等式0020x y y x ⎧⎪⎨⎪--⎩≤≥≤确定的平面区域记为Ω1，不等式12x y x y +⎧⎨+-⎩≤≥，确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A ．18B ．14C ．34D ．78【解析】如右图，区域Ω1为⊿AOC 及其内部，面积为12×2×2=2；区域Ω2为直线x +y =1与直线x +y =-2之间的部分，Ω1与Ω2的公共部分是四边形AOBD ，面积为2-12×1×12=74，故所求概率为p =78.【答案】D .8． 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3. 那么近似公式2275V L h ≈. 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A ．227 B ．258 C ．15750 D ．355113【解析】∵2221133212L V r h h L hππππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，∴由2275V L h ≈得： 22217512L h L h π≈，即258π≈. 【答案】B .9． 已知F 1、F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )ABC ．3D ．2【解析】设椭圆和双曲线的方程分别为2222111x y a b +=、2222221x y a b -=，|PF 1|=m ，|PF 2|=n .则m +n =2a 1，|m -n |=2a 2，在中由余弦定理，(2c )2=m 2+n 2-2mncos 60°=m 2+n 2-mn∴4c 2=(m +n )2-3mn =2143a mn -，且4c 2=(m -n )2+mn =224a mn +，消去m 、n 得：2221234a a c +=，即2212134e e +=由柯西不等式得：22222121211111613e e e e ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥++⋅+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦≤ 可计算得当e 1=3e 2=3时，等号成立。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学理一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. i为虚数单位，()2=( )A. -1B. 1C. -iD. i解析：由于，所以()2=(-i)2=-1.答案：A.2.若二项式(2x+)7的展开式中的系数是84，则实数a=( )A. 2B.C. 1D.解析：二项式(2x+)7的展开式即(+2x)7的展开式中x-3项的系数为84，所以T r+1==，令-7+2r=-3，解得r=2，代入得：，解得a=1，答案：C.3.设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的( )A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解析：由题意A⊆C，则C U C⊆C U A，当B⊆∁U C，可得“A∩B=∅”；若“A∩B=∅”能推出存在集合C使得A⊆C，B⊆C U C，∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的充分必要的条件.答案：C.4.根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则( )A. a＞0，b＞0B. a＞0，b＜0C. a＜0，b＞0D. a＜0，b＜0解析：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b＜0，且回归方程经过(3，4)与(4，3.5)附近，所以a＞0.答案：B.5.在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)，给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A.①和②B. ③和①C. ④和③D. ④和②解析：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，答案：D.6.若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx=0，则f(x)，g(x)为区间[-1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f(x)=sin x，g(x)=cos x；②f(x)=x+1，g(x)=x-1；③f(x)=x，g(x)=x2，其中为区间[-1，1]上的正交函数的组数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3解析：对于①：[sin x•cos x]dx=(sinx)dx=cosx=0，∴f(x)，g(x)为区间[-1，1]上的一组正交函数；对于②：(x+1)(x-1)dx=(x2-1)dx=()≠0，∴f(x)，g(x)不为区间[-1，1]上的一组正交函数；对于③：x3dx=()=0，∴f(x)，g(x)为区间[-1，1]上的一组正交函数，∴正交函数有2组，答案：C.7.由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.B.C.D.解析：平面区域Ω1，为三角形AOB，面积为，平面区域Ω2，为四边形BDCO，其中C(0，1)，由，解得，即D(，)，则三角形ACD的面积S==，则四边形BDCO的面积S=，则在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为，答案：D.8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.B.C.D.解析：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=(2πr)2，∴=(2πr)2h，∴π= .答案：B.9.已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点.且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.B.C. 3D. 2解析：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，(a＞a1)，半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|-|PF2|=2a1，则|PF1|=a+a1|，|PF2|=a-a1，∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=(a+a1)2+(a-a1)2-2(a+a1)(a-a1)cos，即4c2=a2+3a12，则4-，即，利用基本不等式可得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为.答案：B10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2)，若∀x∈R，f(x-1)≤f(x)，则实数a的取值范围为( )A. [-，]B. [-，]C. [-，]D. [-，]解析：当x≥0时，f(x)=，由f(x)=x-3a2，x＞2a2，得f(x)＞-a2；当a2＜x＜2a2时，f(x)=-a2；由f(x)=-x，0≤x≤a2，得f(x)≥-a2.∴当x＞0时，.∵函数f(x)为奇函数，∴当x＜0时，.∵对∀x∈R，都有f(x-1)≤f(x)，∴2a2-(-4a2)≤1，解得：.故实数a的取值范围是.答案：B.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.11.设向量=(3，3)，=(1，-1)，若(+λ)⊥(-λ)，则实数λ=.解析：∵向量=(3，3)，=(1，-1)，∴向量||=3，||=，向量•=3-3=0，若(+λ)⊥((-λ))，则(+λ)•((-λ)=，即18-2λ2=0，则λ2=9，解得λ=±3，答案：±3，12.直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等四段弧，则a2+b2= . 解析：由题意可得，圆心(0，0)到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，∴==cos45°=，∴a2+b2=2，答案：2.13.设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a=815，则I(a)=158，D(a)=851)，阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b= .解析：由程序框图知：例当a=123，第一次循环a=123，b=321-123=198；第二次循环a=198，b=981-189=792；第三次循环a=792，b=972-279=693；第四次循环a=693，b=963-369=594；第五次循环a=594，b=954-459=495；第六次循环a=495，b=954-459=495，满足条件a=b，跳出循环体，输出b=495.答案：495.三、解答题14.设f(x)是定义在(0，+∞)上的函数，且f(x)＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点(a，f(a))，(b，-f(b))的直线与x轴的交点为(c，0)，则称c为关于函数f(x)的平均数，记为M f(a，b)，例如，当f(x)=1(x＞0)时，可得M f(a，b)=c=，即M f(a，b)为a，b 的算术平均数.(1)当f(x)= (x＞0)时，M f(a，b)为a，b的几何平均数；(2)当f(x)= (x＞0)时，M f(a，b)为a，b的调和平均数；(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)解析：(1)设f(x)=，(x＞0)，在经过点(a，)、(b，-)的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论.(2)设f(x)=x，(x＞0)，在经过点(a，a)、(b，-b)的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论.答案：(1)设f(x)=，(x＞0)，则经过点(a，)、(b，-)的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f(x)=，(x＞0)时，M f(a，b)为a，b的几何平均数，(2)设f(x)=x，(x＞0)，则经过点(a，a)、(b，-b)的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f(x)=x(x＞0)时，M f(a，b)为a，b的调和平均数，15.如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q 作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB= .解析：利用切割线定理可得QA2=QC•QD，可求QA，可得PA，利用圆的切线长定理，可得PB.答案：∵QA是⊙O的切线，∴QA2=QC•QD，∵QC=1，CD=3，∴QA2=4，∴QA=2，∴PA=4，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PB=PA=4.16.已知曲线C1的参数方程是(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为.解析：把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得C1与C2交点的直角坐标.答案：把曲线C1的参数方程是(t为参数)，消去参数化为直角坐标方程为x2=3y2 (x≥0，y≥0).曲线C2的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标方程为x2+y2=4.解方程组，求得，∴C1与C2交点的直角坐标为(，1)，17.(11分)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)=10-，t∈[0，24)(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差；(Ⅱ)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？解析：(Ⅰ)利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f(t)10-2sin(t+)，t∈[0，24)，利用正弦函数的定义域和值域求得f(x)的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差.(Ⅱ)由题意可得，当f(t)＞11时，需要降温，由f(t)＞11，求得sin(t+)＜-，即≤t+＜，解得t的范围，可得结论.答案：(Ⅰ)∵f(t)=10-=10-2sin(t+)，t∈[0，24)，∴≤t+＜，故当t-=时，函数取得最大值为10+2=12，当t+=时，函数取得最小值为10-2=8，故实验室这一天的最大温差为12-8=4℃.(Ⅱ)由题意可得，当f(t)＞11时，需要降温，由(Ⅰ)可得f(t)=10-2sin(t+)，由10-2sin(t+)＞11，求得sin(t+)＜-，即≤t+＜，解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温.18.(12分)(已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.解析：(Ⅰ)设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得.(Ⅱ)利用(Ⅰ)中数列的通项公式，表示出S n根据S n＞60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断.答案：(Ⅰ)设数列{a n}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有(2+d)2=2(2+4d)，化简得d2-4d=0，解得d=0或4，当d=0时，a n=2，当d=4时，a n=2+(n-1)•4=4n-2.(Ⅱ)当a n=2时，S n=2n，显然2n＜60n+800，此时不存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，当a n=4n-2时，S n==2n2，令2n2＞60n+800，即n2-30n-400＞0，解得n＞40，或n＜-10(舍去)，此时存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，n的最小值为41，综上，当a n=2时，不存在满足题意的正整数n，当a n=4n-2时，存在满足题意的正整数n，最小值为4119.(12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ(0＜λ＜2)(Ⅰ)当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；(Ⅱ)是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.解析：(Ⅰ)建立坐标系，求出=2，可得BC1∥FP，利用线面平行的判定定理，可以证明直线BC1∥平面EFPQ；(Ⅱ)求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论.答案：(Ⅰ)以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴，建立坐标系，则B(2，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，P(0，0，λ)，∴=(-2，0，2)，=(-1，0，λ)，=(1，1，0)λ=1时，=(-2，0，2)，=(-1，0，1)，∴=2，∴BC1∥FP，∵FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ，∴直线BC1∥平面EFPQ；(Ⅱ)设平面EFPQ的一个法向量为=(x，y，z)，则，∴取=(λ，-λ，1).同理可得平面MNPQ的一个法向量为=(λ-2，2-λ，1)，若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则•=λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0，∴λ=1±.∴存在λ=1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.20.(12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立.(Ⅰ)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解析：(Ⅰ)先求出年入流量X的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至少有1年的年入流量超过120的概率；(Ⅱ)分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到. 答案：(Ⅰ)依题意，p1=P(40＜X＜80)=，，，由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为=(Ⅱ)记水电站的总利润为Y(单位，万元)(1)安装1台发电机的情形，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5000，E(Y)=5000×1=5000，(2)安装2台发电机的情形，依题意，当 40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000-800=4200，因此P(Y=4200)=P(40＜X＜80)=p1=，当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=5000×2=10000，因此，P(Y=10000)=P(X≥80)=P2+P3=0.8，由此得Y的分布列如下所以E(Y)=4200×0.2+10000×0.8=8840.(2)安装3台发电机的情形，依题意，当 40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000-1600=3400，因此P(Y=3400)=P(40＜X＜80)=p1=0.2，当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=5000×2-800=9200，因此，P(Y=9200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7，当X＞120时，三台发电机运行，此时Y=5000×3=15000，因此，P(Y=15000)=P(X＞120)=p3=0.1，由此得Y的分布列如下所以E(Y)=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.21.(14分)在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1，记点M的轨迹为C.(Ⅰ)求轨迹C的方程；(Ⅱ)设斜率为k的直线l过定点P(-2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.解析：(Ⅰ)设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；(Ⅱ)设出直线l的方程为y-1=k(x+2)，和(Ⅰ)中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y-1=k(x+2)中取y=0得到.然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.答案：(Ⅰ)设M(x，y)，依题意得：|MF|=|x|+1，即，化简得，y2=2|x|+2x.∴点M的轨迹C的方程为；(Ⅱ)在点M的轨迹C中，记C1：y2=4x(x≥0)，C2：y=0(x＜0).依题意，可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组，可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得.故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点().②当k≠0时，方程ky2-4y+4(2k+1)=0的判别式为△=-16(2k2+k-1).设直线l与x轴的交点为(x0，0)，则由y-1=k(x+2)，取y=0得.若，解得k＜-1或k＞.即当k∈时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.若或，解得k=-1或k=或.即当k=-1或k=时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点.当时，直线l与C1有两个公共点，与C2无公共点.故当k=-1或k=或时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点.若，解得-1＜k＜-或0＜k＜.即当-1＜k＜-或0＜k＜时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点.此时直线l与C恰有三个公共点.综上，当k∈∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点；当k∪{-1，}时，直线l与C恰有两个公共点；当k∈时，直线l与轨迹C恰有三个公共点.点评：本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方22.(14分)π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数.(Ⅰ)求函数f(x)=的单调区间；(Ⅱ)求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；(Ⅲ)将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.解析：(Ⅰ)先求函数定义域，然后在定义域内解不等式f′(x)＞0，f′(x)＜0即可得到单调增、减区间；(Ⅱ)由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π.再根据函数y=lnx，y=e x，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，从而六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中.由e＜3＜π及(Ⅰ)的结论，得f(π)＜f(3)＜f(e)，即，由此进而得到结论；(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由(Ⅱ)知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小.由(Ⅰ)可得0＜x＜e时，.，令x=，有ln＜，从而2-lnπ，即得lnπ.①，由①还可得lnπe＞lne3，3lnπ＞π，由此易得结论；答案：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0，+∞)，∵f(x)=，∴f′(x)=，当f′(x)＞0，即0＜x＜e时，函数f(x)单调递增；当f′(x)＜0，即x＞e时，函数f(x)单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，+∞).(Ⅱ)∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π.于是根据函数y=lnx，y=e x，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，故这六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中.由e＜3＜π及(Ⅰ)的结论，得f(π)＜f(3)＜f(e)，即，由，得lnπ3＜ln3π，∴3π＞π3；由，得ln3e＜lne3，∴3e＜e3.综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e.(Ⅲ)由(Ⅱ)知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由(Ⅱ)知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小.由(Ⅰ)知，当0＜x＜e时，f(x)＜f(e)=，即.在上式中，令x=，又，则ln＜，从而2-lnπ，即得lnπ.①由①得，elnπ＞e(2-)＞2.7×(2-)＞2.7×(2-0.88)=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπe＞lne3，∴e3＜πe.又由①得，3lnπ＞6-＞6-e＞π，即3lnπ＞π，∴eπ＜π3.综上可得，3e＜e3＜πe＜eπ＜π3＜3π，即6个数从小到大顺序为3e，e3，πe，eπ，π3，3π.考试高分秘诀是什么？试试这四个方法，特别是中考和高考生谁都想在考试中取得优异的成绩，但要想取得优异的成绩，除了要掌握好相关的知识定理和方法技巧之外，更要学会一些考试技巧。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 为虚数单位，则⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i2．若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a ＝( ) A ．2 B.54 C ．1 D.243．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C 是“A ∩B ＝∅”的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件4得到的回归方程为y ^＝bx ＋a ，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0 D ．a <0，b <0 5.在如图所示的空间直角坐标系O -xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为 ( )A ．①和②B ．③和①C ．④和③D ．④和②6．若函数f (x )，g (x )满足＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1,1]上的一组正交函数．给出三组函数：其中为区间[－1,1]的正交函数的组数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．37．由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2.在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14 C.34 D.788．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.3551139．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.433B.233C ．3D ．210．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－16，16B.⎣⎡⎦⎤－66，66C.⎣⎡⎦⎤－13，13D.⎣⎡⎦⎤－33，33二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在题中的横线上．(一)必考题(11～14题)11．设向量a ＝(3,3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________.12．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.13．设a 是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I (a )，按从大到小排成的三位数记为D (a )(例如a ＝815，则I (a )＝158，D (a )＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a ，输出的结果b ＝________.14．设f (x )是定义在(0，＋∞)上的函数，且f (x )>0.对任意a >0，b >0，若经过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c,0)，则称c 为a ，b 关于函数f (x )的平均数，记为M f (a ，b )．例如，当f (x )＝1(x >0)时，可得M f (a ，b )＝c ＝a ＋b2，即M f (a ，b )为a ，b 的算术平均数．(Ⅰ)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的几何平均数； (Ⅱ)当f (x )＝________(x >0)时，M f (a ，b )为a ，b 的调和平均数2aba ＋b .(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)(二)选考题15．(选修4－1：几何证明选讲)如图，P 为⊙O 外一点，过P 点作⊙O 的两条切线，切点分别为A ，B .过P A 的中点Q 作割线交⊙O 于C ，D 两点．若QC ＝1，CD ＝3，则PB ＝________.16．(选修4－4：坐标系与参数方程)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝3t3(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.则C 1与C 2交点的直角坐标为________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分11分)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－ 3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(Ⅰ)求实验室这一天的最大温差；(Ⅱ)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n >60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．19．(本小题满分12分)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(Ⅰ)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(Ⅱ)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．20．(本小题满分12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年．入流量．．．X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(Ⅰ)求未来4年中，至多．．有1年的年入流量超过120的概率； (Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1，0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(Ⅰ)求轨迹C 的方程；(Ⅱ)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2,1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值范围．22．(本小题满分14分)π为圆周率，e ＝2.718 28…为自然对数的底数． (Ⅰ)求函数f (x )＝ln xx的单调区间；(Ⅱ)求e 3,3e ，e π，πe,3π，π3这6个数中的最大数与最小数；(Ⅲ)将e 3,3e ，e π，πe,3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．解析：选A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝－2i 2i ＝－1.2．解析：选C T k ＋1＝C k 7(2x )7－k ⎝⎛⎭⎫a x k ＝C k 727－k a k x 7－2k ，令7－2k ＝－3，得k ＝5，即T 5＋1＝C 5722a 5x －3＝84x －3，解得a ＝1.选C.3．解析：选C “存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”⇔“A ∩B ＝∅”．故C 正确． 4．解析：选B 根据题中表内数据画出散点图(图略)，由散点图可知b <0，a >0. 5.解析：选D 在空间直角坐标系O -xyz 中作出棱长为2的正方体，在该正方体中作出四面体，如图所示，由图可知，该四面体的正视图为④，俯视图为②.6．7．解析：选D 由题意作图，如图所示，Ω1的面积为12×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－12×22×22＝74，则所求的概率P ＝742＝78.8．解析：选B 由题意知275L 2h ＝13πr 2h ⇒275L 2＝13πr 2，而L ＝2πr ，代入得π＝258.9．解析：选A 假定焦点在x 轴上，点P 在第一象限，F 1，F 2分别为左、右焦点．设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，双曲线的方程为x 2m 2－y 2n 2＝1(m>0，n>0)，它们的离心率分别为e 1，e 2，则|PF 1|＝a ＋m ，|PF 2|＝a －m ，在△PF 1F 2中，4c 2＝(a ＋m)2＋(a －m)2－2(a ＋m)(a －m)cosπ3⇒a 2＋3m 2＝4c 2⇒⎝⎛⎭⎫a c 2＋3⎝⎛⎭⎫m c 2＝4，则⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a c 2＋3⎝⎛⎭⎫m c 2⎝⎛⎭⎫1＋13≥⎝⎛⎭⎫a c ＋m c 2⇒1e 1＋1e 2＝a c ＋m c ≤433，当且仅当a ＝3m 时，等号成立，故选A .10．解析：选B 当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2－a 2，a 2<x ≤2a2x －3a 2，x >2a 2，又f (x )为奇函数，可得f (x )的图象如图所示，由图象可得，当x ≤2a 2时，f (x )max ＝a 2，当x >2a 2时，令x －3a 2＝a 2，得x ＝4a 2，又∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，可知4a 2－(－2a 2)≤1⇒a ∈⎣⎡⎤－66，66，选B.二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在题中的横线上．(一)必考题(11～14题)11．解析：(a ＋λb )⊥(a －λb )⇒(a ＋λb )·(a －λb )＝a 2－λ2b 2＝0⇒18－2λ2＝0⇒λ＝±3. 答案：±312．解析：由题意得，直线l 1截圆所得的劣弧长为π2，则圆心到直线l 1的距离为22，即|a |2＝22⇒a 2＝1，同理可得b 2＝1，则a 2＋b 2＝2. 答案：213．解析：当a ＝123时，b ＝321－123＝198≠123； 当a ＝198时，b ＝981－189＝792≠198； 当a ＝792时，b ＝972－279＝693≠792； 当a ＝693时，b ＝963－369＝594≠693； 当a ＝594时，b ＝954－459＝495≠594；当a ＝495时，b ＝954－459＝495＝495＝a ，终止循环，输出b ＝495. 答案：49514．解析：过点(a ，f (a ))，(b ，－f (b ))的直线的方程为y －f (a )＝f (a )＋f (b )a －b (x －a )，令y ＝0得c ＝af (b )＋bf (a )f (a )＋f (b ).(Ⅰ)令几何平均数ab ＝af (b )＋bf (a )f (a )＋f (b )⇒abf (a )＋abf (b )＝bf (a )＋af (b )，可取f (x )＝x(x >0)；(Ⅱ)令调和平均数2ab a ＋b ＝af (b )＋bf (a )f (a )＋f (b )⇒ab ＋ba a ＋b ＝af (b )＋bf (a )f (a )＋f (b )，可取f (x )＝x (x >0)．答案：(Ⅰ)x ；(Ⅱ)x (或填(Ⅰ)k 1x ；(Ⅱ)k 2x ，其中k 1，k 2为正常数均可) (二)选考题15． 解析：由切割线定理，得QA 2＝QC ·QD ＝4⇒QA ＝2，则PB ＝P A ＝2QA ＝4. 答案：416．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t y ＝3t 3⇒x 2＝3y 2(x ≥0，y ≥0)，曲线C 2的普通方程为x 2＋y2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝4x 2＝3y 2，得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，即C 1与C 2的交点坐标为(3，1)．答案：(3，1)三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：(Ⅰ)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1. 当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1； 当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1. 于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (Ⅱ)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温． 由(Ⅰ)得f (t )＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3， 故有10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3>11， 即sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3<－12. 又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6，即10<t <18.在10时至18时实验室需要降温．18．解：(Ⅰ)设数列{a n }的公差为d ，依题意，2,2＋d,2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4. 当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2. (Ⅱ)当a n ＝2时，S n ＝2n . 显然2n <60n ＋800，此时不存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立． 当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋(4n －2)]2＝2n 2.令2n 2>60n ＋800，即n 2－30n －400>0， 解得n >40或n <－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n >60n ＋800成立，n 的最小值为41. 综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.19．解：解法一(几何法) (Ⅰ)证明：如图1，连接AD 1，由ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，知BC 1∥AD 1.当λ＝1时，P 是DD 1的中点，又F 是AD 的中点，所以FP ∥AD 1. 所以BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ， 故直线BC 1∥平面EFPQ .(Ⅱ)如图2，连接BD .因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，且EF ＝12BD .又DP ＝BQ ，DP ∥BQ ，所以四边形PQBD 是平行四边形，故PQ ∥BD ，且PQ ＝BD ， 从而EF ∥PQ ，且EF ＝12PQ .在Rt △EBQ 和Rt △FDP 中，因为BQ ＝DP ＝λ，BE ＝DF ＝1， 于是EQ ＝FP ＝1＋λ2，所以四边形EFPQ 是等腰梯形． 同理可证四边形PQMN 是等腰梯形．分别取EF ，PQ ，MN 的中点为H ，O ，G ，连接OH ，OG ， 则GO ⊥PQ ，HO ⊥PQ ，而GO ∩HO ＝O ，故∠GOH 是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则∠GOH ＝90°. 连接EM ，FN ，则由EF ∥MN ，且EF ＝MN ，知四边形EFNM 是平行四边形． 连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点， 所以GH ＝ME ＝2.在△GOH 中，GH 2＝4，OH 2＝1＋λ2－⎝⎛⎭⎫222＝λ2＋12，OG 2＝1＋(2－λ)2－⎝⎛⎭⎫222＝(2－λ)2＋12，由OG 2＋OH 2＝GH 2，得(2－λ)2＋12＋λ2＋12＝4，解得λ＝1±22，故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．解法二(向量方法) 以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系D -xyz .由已知得B (2,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,1,0)，F (1,0,0)，P (0,0，λ)．于是可取n ＝(λ，－λ，1)．同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m ＝(λ－2,2－λ，1)． 若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角， 则m ·n ＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0， 解得λ＝1±22.故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角．20． 解：(Ⅰ)依题意，p 1＝P (40<X <80)＝1050＝0.2，p 2＝P (80≤x ≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X >120)＝550＝0.1.由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝⎝⎛⎭⎫9104＋4×⎝⎛⎭⎫9103×⎝⎛⎭⎫110＝0.947 7. (Ⅱ)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． (1)安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5 000，E (Y )＝5 000×1＝5 000.(2)安装2台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－800＝4 200，因此P (Y ＝4 200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝p 2＋p ＝0.8.由此得Y 的分布列如下所以，E (Y )＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840.(3)安装3台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－1 600＝3 400，因此P (Y ＝3 400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2－800＝9 200，因此P (Y ＝9 200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5 000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1.因此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．21．解：(Ⅰ)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即(x －1)2＋y 2＝|x |＋1， 化简整理得y 2＝2(|x |＋x )． 故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝(Ⅱ)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x <0)．依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0. ① (1)当k ＝0时，此时y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14. 故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝⎛⎭⎫14，1.(2)当k ≠0时，方程①的判别式为Δ＝－16(2k 2＋k －1)． ② 设直线l 与x 轴的交点为(x 0,0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k. ③ (ⅰ)若由②③解得k <－1，或k >12. 即当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．(ⅱ)若由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，或－12≤k <0. 即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点，与C 2有一个公共点．当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点． 故当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．(ⅲ)若由②③解得－1<k <－12，或0<k <12. 即当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点， 故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综合(1)(2)可知，当k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎡⎭⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点． 22．解：(Ⅰ)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，因为f (x )＝ln x x， 所以f ′(x )＝1－ln x x 2. 当f ′(x )>0，即0<x <e 时，函数f (x )单调递增；当f ′(x )<0，即x >e 时，函数f (x )单调递减．故函数f (x )的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．(Ⅱ)因为e<3<π，所以eln 3<eln π，πln e<πln 3，即ln 3e <ln πe ，ln e π<ln 3π.于是根据函数y ＝ln x ，y ＝e x ，y ＝πx 在定义域上单调递增，可得3e <πe <π3，e 3<e π<3π. 故这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e 与e 3之中．由e<3<π及(Ⅰ)的结论，得f (π)<f (3)<f (e)，即ln ππ<ln 33<ln e e. 由ln ππ<ln 33，得ln π3<ln 3π，所以3π>π3； 由ln 33<ln e e ，得ln 3e <ln e 3，所以3e <e 3. 综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e .(Ⅲ)由(Ⅱ)知，3e <πe <π3<3π，3e <e 3.又由(Ⅱ)知，ln ππ<ln e e，得πe <e π. 故只需比较e 3和πe 和e π与π3的大小．由(Ⅰ)知，当0<x <e 时，f (x )<f (e)＝1e， 即ln x x <1e. 在上式中，令x ＝e 2π，又e 2π<e ，则ln e 2π<e π，从而2－ln π<e π， 即得ln π>2－e π. ①由①得，eln π>e ⎝⎛⎭⎫2－e π>2.7×⎝⎛⎭⎫2－2.723.1>2.7×(2－0.88)＝3.024>3， 即eln π>3，亦即ln πe >ln e 3，所以e 3<πe .又由①得，3ln π>6－3e π>6－e>π，即3ln π>π，所以e π<π3. 综上可得，3e <e 3<πe <e π<π3<3π，即6个数从小到大的顺序为3e ，e 3，πe ，e π，π3,3π.。

2014年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•湖北）i为虚数单位，（）2=（）A．﹣1 B．1C．﹣i D．i2．（5分）（2014•湖北）若二项式（2x+）7的展开式中的系数是84，则实数a=（）A．2B．C．1D．3．（5分）（2014•湖北）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2014•湖北）根据如下样本数据，得到回归方程=bx+a，则（）x 3 4 5 6 7 8y 4.0 2.5 ﹣0.5 0.5 ﹣2.0 ﹣3.0A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜05．（5分）（2014•湖北）在如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz中，一个四面体的顶点坐标分别为（0，0，2），（2，2，0），（1，2，1），（2，2，2），给出的编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②6．（5分）（2014•湖北）若函数f（x），g（x）满足f（x）g（x）dx=0，则f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f（x）=sin x，g（x）=cos x；②f（x）=x+1，g（x）=x﹣1；③f（x）=x，g（x）=x2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是（）A．0B．1C．2D．37．（5分）（2014•湖北）由不等式组确定的平面区域记为Ω1，不等式组确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）（2014•湖北）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．9．（5分）（2014•湖北）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3D．210．（5分）（2014•湖北）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，]二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．（5分）（2014•湖北）设向量=（3，3），=（1，﹣1），若（+λ）⊥（﹣λ），则实数λ=．12．（5分）（2014•湖北）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等四段弧，则a2+b2=．13．（5分）（2014•湖北）设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为D（a）（例如a=815，则I（a）=158，D（a）=851），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b=．三、解答题14．（2014•湖北）设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞0，对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a）），（b，﹣f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为关于函数f（x）的平均数，记为M f（a，b），例如，当f（x）=1（x＞0）时，可得M f（a，b）=c=，即M f（a，b）为a，b的算术平均数．（1）当f（x）=（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的几何平均数；（2）当f（x）=（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）15．（2014•湖北）如图，P为⊙O外一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过PA的中点Q作割线交⊙O于C，D两点，若QC=1，CD=3，则PB=．16．（2014•湖北）已知曲线C1的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2，则C1与C2交点的直角坐标为．17．（11分）（2014•湖北）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=10﹣，t∈[0，24）（Ⅰ）求实验室这一天的最大温差；（Ⅱ）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？18．（12分）（2014•湖北）已知等差数列{a n}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．19．（12分）（2014•湖北）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0＜λ＜2）（Ⅰ）当λ=1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．20．（12分）（2014•湖北）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立．（Ⅰ）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X 40＜X＜80 80≤X≤120 X＞120发电机最多可运行台数1 2 3若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？21．（14分）（2014•湖北）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F（1，0）的距离比它到y轴的距离多1，记点M 的轨迹为C．（Ⅰ）求轨迹C的方程；（Ⅱ）设斜率为k的直线l过定点P（﹣2，1），求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．22．（14分）（2014•湖北）π为圆周率，e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）求函数f（x）=的单调区间；（Ⅱ）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数和最小数；（Ⅲ）将e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论．2014年湖北省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：可先计算出的值，再计算平方的值．解答：解：由于，所以，（）2=（﹣i）2=﹣1故选A．点评：本题考查复数代数形式的计算，属于容易题2．（5分）考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：利用二项式定理的展开式的通项公式，通过x幂指数为﹣3，求出a即可．解答：解：二项式（2x+）7的展开式即（+2x）7的展开式中x﹣3项的系数为84，所以T r+1==，令﹣7+2r=﹣3，解得r=2，代入得：，解得a=1，故选：C．点评：本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，基本知识的考查．3．（5分）考点：充要条件；集合的包含关系判断及应用．专题：集合；简易逻辑．分析：通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果．解答：解：由题意A⊆C，则∁U C⊆∁U A，当B⊆∁U C，可得“A∩B=∅”；若“A∩B=∅”能推出存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的充分必要的条件．故选：C．点评：本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题．4．（5分）考点：线性回归方程．专题：概率与统计．分析：通过样本数据表，容易判断回归方程中，b、a的符号．解答：解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以b＜0，且回归方程经过（3，4）与（4，3.5）附近，所以a＞0．故选：B．点评：本题考查回归方程的应用，基本知识的考查．5．（5分）考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．解答：解：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②，故选：D．点评：本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题．6．（5分）考点：微积分基本定理．专题：综合题；导数的综合应用．分析：利用新定义，对每组函数求积分，即可得出结论．解答：解：对于①：[sin x•cos x]dx=（sinx）dx=cosx=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于②：（x+1）（x﹣1）dx=（x2﹣1）dx=（）≠0，∴f（x），g（x）不为区间[﹣1，1]上的一组正交函数；对于③：x3dx=（）=0，∴f（x），g（x）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，∴正交函数有2组，故选：C．点评：本题考查新定义，考查微积分基本定理的运用，属于基础题．7．（5分）考点：几何概型；简单线性规划．专题：概率与统计．分析：作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何槪型的概率公式即可得到结论．解答：解：平面区域Ω1，为三角形AOB，面积为，平面区域Ω2，为四边形BDCO，其中C（0，1），由，解得，即D（，），则三角形ACD的面积S==，则四边形BDCO的面积S=，则在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为，故选：D．点评：本题主要考查几何槪型的概率计算，利用线性规划的知识求出对应的区域和面积是解决本题的关键．8．（5分）考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得结论．解答：解：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则L=（2πr）2，∴=（2πr）2h，∴π=．故选：B．点评：本题考查圆锥体积公式，考查学生的阅读理解能力，属于基础题．9．（5分）考点：椭圆的简单性质；余弦定理；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线和椭圆的性质和关系，结合余弦定理即可得到结论．解答：解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分布为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a12+3r1r2，即，②在双曲线中，①化简为即4c2=4a22+r1r2，即，③联立②③得，=4，由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，即（）=即，d当且仅当时取等号，故选：A点评：本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．10．（5分）考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．解答：解：当x≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．∴当x＞0时，．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，．∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．故实数a的取值范围是．故选：B．点评：本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x）得到不等式2a2﹣（﹣4a2）≤1，是中档题．二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．11．（5分）（2014•湖北）考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：根据向量垂直与向量坐标之间的关系建立方程关系，即可得到结论．解答：解：∵向量=（3，3），=（1，﹣1），∴向量||=3，||=，向量•=3﹣3=0，若（+λ）⊥（（﹣λ）），则（+λ）•（（﹣λ）=，即18﹣2λ2=0，则λ2=9，解得λ=±3，故答案为：±3，点评：本题主要考查向量垂直的坐标公式的应用，比较基础．12．（5分）（2014•湖北）考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，即==cos45°，由此求得a2+b2的值．解答：解：由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，∴==cos45°=，∴a2+b2=2，故答案为：2．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，得到∴==cos45°=，是解题的关键，属于基础题．13．（5分）考点：程序框图．专题：计算题；算法和程序框图．分析：给出一个三位数的a值，实验模拟运行程序，直到满足条件，确定输出的a值，可得答案．解答：解：由程序框图知：例当a=123，第一次循环a=123，b=321﹣123=198；第二次循环a=198，b=981﹣189=792；第三次循环a=792，b=972﹣279=693；第四次循环a=693，b=963﹣369=594；第五次循环a=594，b=954﹣459=495；第六次循环a=495，b=954﹣459=495，满足条件a=b，跳出循环体，输出b=495．故答案为：495．点评：本题通过新定义题型考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．三、解答题14．（2014•湖北）考点：平均值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）设f（x）=，（x＞0），在经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论．（2）设f（x）=x，（x＞0），在经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程中，令y=0，求得x=c=，从而得出结论．解答：解：（1）设f（x）=，（x＞0），则经过点（a，）、（b，﹣）的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f（x）=，（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的几何平均数，故答案为：．（2）设f（x）=x，（x＞0），则经过点（a，a）、（b，﹣b）的直线方程为=，令y=0，求得x=c=，∴当f（x）=x（x＞0）时，M f（a，b）为a，b的调和平均数，故答案为：x．点评：本题主要考查新定义，用两点式求直线的方程，属于中档题．15．（2014•湖北）考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；几何证明．分析：利用切割线定理可得QA2=QC•QD，可求QA，可得PA，利用圆的切线长定理，可得PB．解答：解：∵QA是⊙O的切线，∴QA2=QC•QD，∵QC=1，CD=3，∴QA2=4，∴QA=2，∴PA=4，∵PA，PB是⊙O的切线，∴PB=PA=4．故答案为：4．点评：本题考查圆的切线长定理，考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（2014•湖北）考点：点的极坐标和直角坐标的互化；参数方程化成普通方程．专题：直线与圆．分析：把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，再把两曲线的方程联立方程组求得C1与C2交点的直角坐标．解答：解：把曲线C1的参数方程是（t为参数），消去参数化为直角坐标方程为x2=3y2（x≥0，y≥0）．曲线C2的极坐标方程是ρ=2，化为直角坐标方程为x2+y2=4．解方程组，求得，∴C1与C2交点的直角坐标为（，1），故答案为：（，1）．点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求两条曲线的交点，属于基础题．17．（11分）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）10﹣2sin（t+），t∈[0，24），利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的最大值及最小值，可得实验室这一天的最大温差．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由f（t）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即≤t+＜，解得t的范围，可得结论．解答：解：（Ⅰ）∵f（t）=10﹣=10﹣2sin（t+），t∈[0，24），∴≤t+＜，故当t+=时，函数取得最大值为10+2=12，当t+=时，函数取得最小值为10﹣2=8，故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃．（Ⅱ）由题意可得，当f（t）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f（t）=10﹣2sin（t+），由10﹣2sin（t+）＞11，求得sin（t+）＜﹣，即≤t+＜，解得10＜t＜18，即在10时到18时，需要降温．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．18．（12分）考点：等差数列的性质；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出数列的公差，利用等比中项的性质建立等式求得d，则数列的通项公式可得．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中数列的通项公式，表示出S n根据S n＞60n+800，解不等式根据不等式的解集来判断．解答：解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，依题意，2，2+d，2+4d成比数列，故有（2+d）2=2（2+4d），化简得d2﹣4d=0，解得d=0或4，当d=0时，a n=2，当d=4时，a n=2+（n﹣1）•4=4n﹣2．（Ⅱ）当a n=2时，S n=2n，显然2n＜60n+800，此时不存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，当a n=4n﹣2时，S n==2n2，令2n2＞60n+800，即n2﹣30n﹣400＞0，解得n＞40，或n＜﹣10（舍去），此时存在正整数n，使得S n＞60n+800成立，n的最小值为41，综上，当a n=2时，不存在满足题意的正整数n，当a n=4n﹣2时，存在满足题意的正整数n，最小值为41点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．要求学生对等差数列和等比数列的通项公式，求和公式熟练记忆．19．（12分）考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）建立坐标系，求出=2，可得BC1∥FP，利用线面平行的判定定理，可以证明直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）求出平面EFPQ的一个法向量、平面MNPQ的一个法向量，利用面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，建立方程，即可得出结论．解答：（Ⅰ）证明：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正半轴，建立坐标系，则B（2，2，0），C1（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，0），P（0，0，λ），∴=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，λ），=（1，1，0）λ=1时，=（﹣2，0，2），=（﹣1，0，1），∴=2，∴BC1∥FP，∵FP⊂平面EFPQ，BC1⊄平面EFPQ，∴直线BC1∥平面EFPQ；（Ⅱ）设平面EFPQ的一个法向量为=（x，y，z），则，∴取=（λ，﹣λ，1）．同理可得平面MNPQ的一个法向量为=（λ﹣2，2﹣λ，1），若存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角，则•=λ（λ﹣2）﹣λ（2﹣λ）+1=0，∴λ=1±．∴存在λ=1±，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查存在性问题，解题时要合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．20．（12分）考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）先求出年入流量X的概率，根据二项分布，求出未来4年中，至少有1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）分三种情况进行讨论，分别求出一台，两台，三台的数学期望，比较即可得到．解答：解：（Ⅰ）依题意，p1=P（40＜X＜80）=，，，由二项分布，未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为=（Ⅱ）记水电站的总利润为Y（单位，万元）（1）安装1台发电机的情形，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y=5000，E（Y）=5000×1=5000，（2）安装2台发电机的情形，依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣800=4200，因此P（Y=4200）=P（40＜X＜80）=p1=，当X≥80时，两台发电机运行，此时Y=5000×2=10000，因此，P（Y=10000）=P（X≥80）=P2+P3=0.8，由此得Y的分布列如下Y 4200 10000P 0.2 0.8所以E（Y）=4200×0.2+10000×0.8=8840．（2）安装3台发电机的情形，依题意，当40＜X＜80时，一台发电机运行，此时Y=5000﹣1600=3400，因此P（Y=3400）=P（40＜X＜80）=p1=0.2，当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y=5000×2﹣800=9200，因此，P（Y=9200）=P（80≤X≤120）=p2=0.7，当X＞120时，三台发电机运行，此时Y=5000×3=15000，因此，P（Y=15000）=P（X＞120）=p3=0.1，由此得Y的分布列如下Y 3400 9200 15000P 0.2 0.7 0.1所以E（Y）=3400×0.2+9200×0.7+15000×0.1=8620．综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．点评：本题主要考查了数学期望和二项分布，再求最大利润时，需要分类讨论，属于中档题．21．（14分）考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设出M点的坐标，直接由题意列等式，整理后即可得到M的轨迹C的方程；（Ⅱ）设出直线l的方程为y﹣1=k（x+2），和（Ⅰ）中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程，求出判别式，再在直线y﹣1=k（x+2）中取y=0得到．然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0＜0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），依题意得：|MF|=|x|+1，即，化简得，y2=2|x|+2x．∴点M的轨迹C的方程为；（Ⅱ）在点M的轨迹C中，记C1：y2=4x（x≥0），C2：y=0（x＜0）．依题意，可设直线l的方程为y﹣1=k（x+2）．由方程组，可得ky2﹣4y+4（2k+1）=0．①当k=0时，此时y=1，把y=1代入轨迹C的方程，得．故此时直线l：y=1与轨迹C恰好有一个公共点（）．②当k≠0时，方程ky2﹣4y+4（2k+1）=0的判别式为△=﹣16（2k2+k﹣1）．设直线l与x轴的交点为（x0，0），则由y﹣1=k（x+2），取y=0得．若，解得k＜﹣1或k＞．即当k∈时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．若或，解得k=﹣1或k=或．即当k=﹣1或k=时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．当时，直线l与C1有两个公共点，与C2无公共点．故当k=﹣1或k=或时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．若，解得﹣1＜k＜﹣或0＜k＜．即当﹣1＜k＜﹣或0＜k＜时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点．此时直线l与C恰有三个公共点．综上，当k∈∪{0}时，直线l与C恰有一个公共点；当k∪{﹣1，}时，直线l与C恰有两个公共点；当k∈时，直线l与轨迹C恰有三个公共点．点评：本题考查轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，重点是做到正确分类，是中档题．22．（14分）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先求函数定义域，然后在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可得到单调增、减区间；（Ⅱ）由e＜3＜π，得eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．再根据函数y=lnx，y=e x，y=πx 在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，从而六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由此进而得到结论；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）可得0＜x＜e时，．，令x=，有ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①，由①还可得lnπe＞lne3，3lnπ＞π，由此易得结论；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵f（x）=，∴f′（x）=，当f′（x）＞0，即0＜x＜e时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞e时，函数f（x）单调递减．故函数f（x）的单调递增区间为（0，e），单调递减区间为（e，+∞）．（Ⅱ）∵e＜3＜π，∴eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π．于是根据函数y=lnx，y=e x，y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，故这六个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e＜3＜π及（Ⅰ）的结论，得f（π）＜f（3）＜f（e），即，由，得lnπ3＜ln3π，∴3π＞π3；由，得ln3e＜lne3，∴3e＜e3．综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，3e＜πe＜π3＜3π，3e＜e3，又由（Ⅱ）知，，得πe＜eπ，故只需比较e3与πe和eπ与π3的大小．由（Ⅰ）知，当0＜x＜e时，f（x）＜f（e）=，即．在上式中，令x=，又，则ln＜，从而2﹣lnπ，即得lnπ．①由①得，elnπ＞e（2﹣）＞2.7×（2﹣）＞2.7×（2﹣0.88）=3.024＞3，即elnπ＞3，亦即lnπe＞lne3，∴e3＜πe．又由①得，3lnπ＞6﹣＞6﹣e＞π，即3lnπ＞π，∴eπ＜π3．综上可得，3e＜e3＜πe＜eπ＜π3＜3π，即6个数从小到大顺序为3e，e3，πe，eπ，π3，3π．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及其应用、数值的大小比较，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，难度较大．最新文件仅供参考已改成word文本。