3 迭代算法
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迭代算法举例范文
迭代算法举例范文迭代算法是一种重复执行一系列步骤，直到满足特定条件的算法。
它是解决问题的常见方法之一，广泛应用于计算机科学和数学领域。
下面将介绍几个迭代算法的例子。
1.计算阶乘：阶乘是指从1到给定数字之间所有整数的乘积。
迭代算法可以用来计算阶乘。
具体步骤如下：- 初始化一个变量factorial为1- 从1开始，迭代递增直到给定数字num。
- 在每次迭代中，将factorial乘以当前的迭代变量i。
- 最终，返回factorial作为结果。
这个算法的时间复杂度是O(n)，其中n是给定的数字。
2.查找元素：迭代算法还可以用来查找特定元素在一些数据结构中的位置。
比如，我们可以使用迭代算法在一个数组中查找指定的元素。
具体步骤如下：-迭代数组中的每个元素，直到找到目标元素。
-如果找到目标元素，返回其索引。
-如果遍历完整个数组还未找到目标元素，则返回-1表示不存在。
这个算法的时间复杂度是O(n)，其中n是数组的长度。
3.近似求解方程：迭代算法可以用于近似求解方程。
比如，我们可以使用迭代算法来求解平方根。
具体步骤如下：-首先，选择一个初始近似值x。
- 迭代计算x的新近似值，将其设为x_new。
- 重复上述步骤直到x_new与x之间的差的绝对值小于一些阈值。
- 返回x_new作为最终的近似解。
这个算法的时间复杂度取决于迭代的次数，通常称为收敛速度。
对于平方根的近似求解，通常需要多次迭代才能达到足够的精度。
4.图遍历算法：图遍历是一种迭代算法，在图中特定节点或执行一些操作。
常见的图遍历算法包括深度优先（DFS）和广度优先（BFS）。
具体步骤如下：-对于DFS，从图中的一些节点开始，迭代递归遍历该节点的邻居节点，并标记已访问过的节点。
-对于BFS，从图中的一些节点开始，使用一个队列来保存待访问的节点，并按照先进先出的顺序遍历节点。
这些图遍历算法的时间复杂度取决于图的大小和连接情况。
总结：迭代算法是一种重复执行步骤的算法，适用于解决各种问题。
迭代 算法
迭代算法迭代算法是一种重要的算法思想，它在计算机科学和算法设计中应用广泛。
本文将介绍迭代算法的基本概念、原理和应用，并通过举例解释其工作过程和优势。
一、迭代算法的基本概念迭代算法是一种通过重复计算来逐步逼近目标解的算法。
它通过不断迭代更新当前解，直到满足预设的停止条件。
迭代算法通常包括以下几个关键步骤：初始化、迭代更新和停止条件判断。
二、迭代算法的原理迭代算法的核心思想是通过重复执行特定的计算步骤来逐步改进解的质量。
在每一次迭代中，算法根据当前解的情况进行更新，使得解逐渐趋近于最优解。
迭代算法的效果取决于初始解的选择和迭代更新的策略。
三、迭代算法的应用迭代算法在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在数值计算中，迭代算法常用于求解方程、求解优化问题和模拟连续过程等。
在图像处理中，迭代算法可以用于图像增强、边缘检测和图像分割等。
此外，迭代算法还可以应用于机器学习、数据挖掘和人工智能等领域。
四、迭代算法的工作过程迭代算法的工作过程可以简单描述为以下几个步骤：1. 初始化：设置初始解，并初始化迭代次数。
2. 迭代更新：根据特定的更新策略，更新当前解。
3. 停止条件判断：判断当前解是否满足预设的停止条件。
如果满足，则停止迭代；否则，继续迭代更新。
4. 输出结果：输出最终的解。
五、迭代算法的优势相比于其他算法，迭代算法具有以下几个优势：1. 灵活性：迭代算法可以根据问题的特点灵活选择更新策略，适应不同类型的问题。
2. 收敛性：迭代算法通常能够收敛到最优解，尤其是在适当的停止条件下。
3. 可并行性：迭代算法的迭代过程通常可以并行计算，加快算法的收敛速度。
4. 适应性：迭代算法可以通过不断迭代更新来适应问题的变化，提高解的质量。
六、迭代算法的实例应用下面以求解线性方程组为例，介绍迭代算法的具体应用过程。
给定一个线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知向量，b 为已知向量。
要求解x的值。
迭代算法的基本思路是不断更新x的值，直到满足预设的停止条件。
3 迭代算法
500/5公里 <——— 500/3公里 ———> <——— <——— 500公里 第一 ———> 第二 ———> 第三 终点<——贮油点（500）<——贮油点（1000）<———贮油点（1500）……
图4-4
贮油点及贮油量示意
综上分析，从终点开始分别间隔 500，500/3，500/5， 500/7，……（公里）设立贮油点，直到总距离超过1000 公里。每个贮油点的油量为500，1000，1500，……。 算法设计：由模型知道此问题并不必用倒推算法解决（只 是分析过程用的是倒推法），只需通过累加算法就能解决 。变量说明：dis表示距终点的距离，1000- dis则表示距 起点的距离，k表示贮油点从后到前的序号。
A[1] = A[i]=1 A[j] = A[j] + A[j-1] i行 i-1行 i-1行 j=i-1，i-2，……，2
1 1 1 2 1 1
1
1
3
3
1
4 6 4 1 …………… 图4-1 杨辉三角形
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 ……………
1
图4-2 杨辉三角形存储格式
将新求得交点的x坐标命名为x1。如
图所示，通常x1会比x0更接近方
程f(x) = 0的解。接下来用x1开始下 一轮迭代 .
图4-5 牛顿迭代法 示意图
迭代公式可化简为：
此公式就是有名的牛顿迭代公式。已经证明, 如果f„是连 续的, 并且待求的零点x是孤立的, 那么在零点x周围存在 一个区域, 只要初始值x0位于这个邻近区域内, 那么牛顿 法必定收敛。 下面给出用牛顿迭代法，求形如ax3+bx2+cx+d=0方程根 的算法，系数a、b、c、d的值依次为1、2、3、4，由主 函数输入。求x在1附近的一个实根。求出根后由主函数输 出。
图4-4
贮油点及贮油量示意
综上分析，从终点开始分别间隔 500，500/3，500/5， 500/7，……（公里）设立贮油点，直到总距离超过1000 公里。每个贮油点的油量为500，1000，1500，……。 算法设计：由模型知道此问题并不必用倒推算法解决（只 是分析过程用的是倒推法），只需通过累加算法就能解决 。变量说明：dis表示距终点的距离，1000- dis则表示距 起点的距离，k表示贮油点从后到前的序号。
A[1] = A[i]=1 A[j] = A[j] + A[j-1] i行 i-1行 i-1行 j=i-1，i-2，……，2
1 1 1 2 1 1
1
1
3
3
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4 6 4 1 …………… 图4-1 杨辉三角形
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 ……………
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图4-2 杨辉三角形存储格式
将新求得交点的x坐标命名为x1。如
图所示，通常x1会比x0更接近方
程f(x) = 0的解。接下来用x1开始下 一轮迭代 .
图4-5 牛顿迭代法 示意图
迭代公式可化简为：
此公式就是有名的牛顿迭代公式。已经证明, 如果f„是连 续的, 并且待求的零点x是孤立的, 那么在零点x周围存在 一个区域, 只要初始值x0位于这个邻近区域内, 那么牛顿 法必定收敛。 下面给出用牛顿迭代法，求形如ax3+bx2+cx+d=0方程根 的算法，系数a、b、c、d的值依次为1、2、3、4，由主 函数输入。求x在1附近的一个实根。求出根后由主函数输 出。
√3的计算方法与原理
√3的计算方法与原理首先，我们需要明确√3的含义，即找到一个数x，使得x乘以自己等于3、这个数即为√3、在数学中，我们使用求解方程的方法来计算出√3的近似值。
下面将介绍三种常用的求解√3的方法以及其原理。
方法一：迭代法（牛顿法）牛顿法是一种用于优化问题的迭代算法，也可以用来求解方程。
对于求解√3，我们可以将方程x^2=3转化为x^2-3=0的形式。
然后，我们利用牛顿法进行迭代求解。
牛顿法的基本原理是利用切线逼近曲线，通过不断迭代求解方程的根。
具体步骤如下：1.选择一个初始值x0。
2.计算曲线（方程）在x0点的切线方程（斜率为f'(x0)）。
3.求解切线方程与x轴的交点，得到新的近似值x14.以x1为基础，重复第2步和第3步，得到下一个近似值，直到满足所需的精度。
对于方程x^2-3=0，其导数为2x。
根据牛顿法，得到迭代公式：x_n+1=x_n-(x_n^2-3)/(2*x_n)我们选择一个初始值x0，比如x0=1，然后进行迭代计算，直到满足所需的精度为止。
方法二：二分法二分法是一种根据函数的性质进行逼近求解的方法。
对于求解√3，我们可以利用二分法来逼近方程x^2-3=0的根。
具体步骤如下：1.确定一个区间[a,b]，使得a^2<3<b^22.计算区间的中点c=(a+b)/23.如果c^2-3≈0，则停止迭代；否则继续下一步。
4.判断c^2与3的大小关系，如果c^2>3，则新的区间为[a,c]；如果c^2<3，则新的区间为[c,b]。
5.重复3~4步骤，直到满足所需的精度。
对于方程x^2-3=0，我们选择区间[a,b]为[1,2]，然后进行二分法的迭代计算，直到满足所需的精度为止。
方法三：泰勒级数泰勒级数是一种将函数表示为无穷级数的方法。
对于求解√3，我们可以利用泰勒级数来逼近方程x^2-3=0的根。
具体步骤如下：1.将方程x^2-3=0展开为泰勒级数的形式。
2.截取级数中所需的项数，得到近似解。
几种迭代计算方法
几种迭代计算方法迭代计算方法是一种重要的计算技术，它是基于不断逼近的原理，通过多次迭代运算来逼近所要求解的问题的计算结果。
下面将介绍几种常见的迭代计算方法。
1.不动点迭代不动点迭代是指通过选择一个合适的迭代函数来不断逼近一个不动点的过程。
不动点指的是在迭代函数中，当迭代到其中一步时，迭代函数的值等于该迭代的值，即f(x)=x。
常见的不动点迭代有牛顿迭代法和迭代法求解方程。
牛顿迭代法通过选择一个初始值x0，利用迭代函数f(x)=x-f(x)/f'(x)来逼近方程f(x)=0的根。
每次迭代中，通过计算迭代函数的值来更新x的值，直至满足一定的精度要求。
迭代法求解方程是通过将方程f(x) = 0转化为x = g(x)的形式，并选择一个合适的g(x)来进行不断迭代求解的方法。
通过选择不同的g(x)，可以得到不同的迭代方法，如简单迭代法、Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法等。
2.逐次平方根法逐次平方根法是一种通过不断迭代计算来求解线性方程组的方法。
该方法通过对原始的线性方程组进行变换，将其转化为对角线元素全为1的上三角矩阵，并将方程组的解表示为逐次迭代的形式。
在每次迭代中，通过求解一个线性方程组来更新解的值，直至满足一定的精度要求。
逐次平方根法是一种迭代计算方法，其主要适用于对称正定矩阵，能够有效地求解大规模线性方程组。
3.迭代加权法迭代加权法是一种通过引入权重来加快迭代收敛速度的方法。
该方法在每次迭代更新解的时候，通过对解的不同分量引入不同的权重来控制更新的幅度。
通过合理选择权重，可以加快迭代收敛速度，提高求解效率。
迭代加权法是一种通用的迭代计算方法，在多个领域中有不同的应用，如求解矩阵特征值问题、求解最优化问题等。
以上介绍的是常见的几种迭代计算方法，它们在不同的问题中有着广泛的应用。
这些方法通过迭代运算不断逼近所要求解的问题的计算结果，具有较好的收敛性和计算效率，是一种重要的计算技术。
常用算法(一)——迭代法
常用算法——迭代法一、迭代法迭代法是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。
设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x=g(x)，然后按以下步骤执行：（1）选一个方程的近似根，赋给变量x0；（2）将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0；（3）当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤（2）的计算。
若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。
上述算法用C程序的形式表示为：【算法】迭代法求方程的根{ x0=初始近似根；do {x1=x0；x0=g(x1)；/*按特定的方程计算新的近似根*/} while ( fabs(x0-x1)>Epsilon)；printf(“方程的近似根是%f\n”，x0)；}迭代算法也常用于求方程组的根，令X=（x0，x1，…，xn-1）设方程组为：xi=gi(X) (I=0，1，…，n-1)则求方程组根的迭代算法可描述如下：【算法】迭代法求方程组的根{ for (i=0;i<n;i++)x=初始近似根;do {for (i=0;i<n;i++)y=x;for (i=0;i<n;i++)x=gi(X);for (delta=0.0,i=0;i<n;i++)if (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x)；} while (delta>Epsilon)；for (i=0;i<n;i++)printf(“变量x[%d]的近似根是%f”，I，x)；printf(“\n”)；}具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况：（1）如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制；（2）方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败。
机器学习中的迭代算法解析
机器学习中的迭代算法解析迭代算法是机器学习中常用的一种算法，并且在许多复杂的问题中取得了显著的效果。
迭代算法通过多次迭代来逐步优化模型的参数，从而使得模型能够更好地适应数据并取得更好的性能。
本文将对机器学习中的迭代算法进行详细解析。
一、什么是迭代算法迭代算法是一种通过多次迭代来逐步逼近最优解的方法。
在机器学习中，迭代算法通过反复调整模型参数来优化模型的性能。
迭代算法通常包括以下几个步骤：1. 初始化参数：首先，需要对模型的参数进行初始化。
这可以是随机初始化，也可以是根据经验值进行初始化。
2. 计算损失函数：在每一次迭代中，需要计算模型的损失函数。
损失函数衡量了模型预测值与真实值之间的差距，我们的目标是通过迭代来使得损失函数的值尽可能低。
3. 更新参数：根据损失函数的值，我们可以计算参数的梯度，并利用梯度下降的方法来更新参数。
梯度下降的方法可以使得参数向着损失函数下降最快的方向进行更新。
4. 判断终止条件：在每次迭代结束后，我们需要判断是否达到了终止条件。
终止条件可以是达到了最大迭代次数，或者损失函数的变化小于一个预设的阈值。
通过多次迭代，模型的参数会逐渐接近最优解，使得模型的预测能力不断提高。
二、迭代算法的常见模型在机器学习中，有许多常见的迭代算法。
以下是其中的几种：1. 逻辑回归：逻辑回归是一种二分类算法，它通过迭代来学习模型的权重参数。
在每次迭代中，逻辑回归算法根据当前参数计算模型的输出，并通过与真实标签进行比较来计算损失函数的值。
然后，根据损失函数的值来更新模型参数，直到达到终止条件。
2. 支持向量机：支持向量机是一种经典的分类算法，也是一种迭代算法。
支持向量机通过不断调整超平面的位置和间距，来找到一个最优的分类边界。
在每次迭代中，支持向量机算法会选择一个样本点，然后根据当前的超平面来判断该样本点是否分类错误。
如果分类错误，算法将调整超平面的位置和间距，直到达到终止条件。
3. K均值聚类：K均值聚类是一种常用的无监督学习算法，也是一种迭代算法。
数据结构及算法第12章 迭代算法
3.3推到法案例分析
代 码 实 现：
public void hzwt() { int i,a; a=1; for(i=9;i>=1;i--) { a=1+a*2; } Console.WriteLine("总的桃子个数为：{0}",a); }
4.1迭代法求解方程的解
迭代法求解方程：
在科学计算领域，人们时常会遇到求解方程f（x）=0 或微分方程的数值解计算问题。可是人们很难或无法 找到类似一元二次方程的求根公式那样的解析法（又 称直接求解法）去求解任意多项式方程。例如，一般 的一元五次或更高次方程，其解都无法用解析方法表 达出来。为此，已发明了很多数值算法（也称数值计 算方法），用来求解问题的近似解，这是一门专门的 学科。这里仅对迭代法进行介绍。 迭代法可分为精确迭代和近似迭代。前面的例子属于 精确迭代，而迭代法解方程一般属于近似迭代。
确定迭代模型 建立迭代关系
根据问题的描述，分析得出前一个（或几个）值与其下一个值的迭代关系数学 模型。当然这样的迭代关系，最终会迭代出解的目标。 递推数学模型一般是带下标的字母，算法设计中要将其转化为“循环不变式”---迭代关系式，迭代关系式就是一个直接或间接地不断由旧值推出新值的表达式， 存储新值的变量称为迭代变量。 迭代关系式的建立是迭代算法设计的主要工作。 确定在什么时候结束迭代过程，是设计迭代算法时必须考虑的问题。 迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是一致或可以计算处理所迭代次数， 这时可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制。另一种是所须的 迭代次数无法确定，需要分析出迭代构成的结束条件 。
第十二章 迭代算法
内容目标：
迭代算法基本概念。 递推算法案例分析 倒推算法案例分析 迭代算法求解方程案例分析
迭代算法初中信息技术教案
迭代算法初中信息技术教案教学目标：1. 了解迭代算法的概念和应用。
2. 学会使用迭代算法解决简单的问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和编程能力。
教学重点：1. 迭代算法的概念和原理。
2. 迭代算法的应用。
教学难点：1. 迭代算法的理解和应用。
教学准备：1. 电脑和投影仪。
2. 编程环境（如Python）。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生思考：在日常生活中，我们解决问题时是否会遇到重复做某件事情的情况？2. 学生回答后，教师总结：是的，我们在解决问题时往往会用到迭代的方法，比如计算总价、求解方程等。
3. 引入本节课的主题：迭代算法。
二、新课（20分钟）1. 讲解迭代算法的概念：迭代算法是一种通过重复执行某一段代码来解决问题的方法。
2. 讲解迭代算法的原理：通过不断的更新变量的值，逐步逼近问题的解。
3. 示例1：计算斐波那契数列的第n项。
a. 引导学生思考：如何通过迭代的方法来计算斐波那契数列的第n项？b. 学生思考后，教师展示代码示例：```pythondef fibonacci(n):if n <= 1:return nelse:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)```c. 解释代码示例：通过递归调用函数自身来计算斐波那契数列的第n项。
4. 示例2：求解一元一次方程ax + b = 0的解。
a. 引导学生思考：如何通过迭代的方法来求解一元一次方程ax + b = 0的解？b. 学生思考后，教师展示代码示例：```pythondef solve_equation(a, b):x = b / areturn x```c. 解释代码示例：通过迭代的方法，将方程转化为ax = -b，然后求解x的值。
5. 练习：让学生编写迭代算法，解决以下问题：a. 计算1到n的所有整数的和。
b. 计算n!（n的阶乘）。
三、巩固（15分钟）1. 让学生尝试解决实际问题，如：计算班级平均分、排序等。
数值分析3-牛顿迭代法
§3 牛顿迭代法Newton Iteration————切线法牛顿迭代法是最著名的方程求根方法。
已经通过各种方式把它推广到解其他更为困难的非线性问题。
【例如】非线性方程组、非线性积分方程和非线性微分方程。
虽然牛顿法对于给定的问题不一定总是最好的方法，但它的简单形式和快的收敛速度常常使得解非线性问题的人优先考虑它。
迭代一般理论告诉我们，构造好的迭代函数可使收敛速度提高。
然而迭代函数的构造方法又各不相同，方法多样。
牛顿法是受几何直观启发，给出构造迭代函数的一条重要途径。
牛顿迭代的基本思想:方程f(x)=0的根，几何意义是曲线y=f(x)与ox轴y=0的交点。
求曲线与y=0的交点没有普遍的公式，但直接与0x 轴的交点容易计算。
用直线近似曲线y=f(x)，从而用直线方程的根逐步代替f(x)=0的根。
即把非线性方程逐步线性化。
方法：设x k是f(x)=0的一个近似根，把f(x)在x k处作一阶Taylor 展开，得到))(()()(k k k x x x f x f x f -'+≈ （19）设)(k x f '≠0，由于0)())(()(=≈-'+x f x x x f x f k k k所以求得解记为1+k x ，有牛顿迭代公式：（20） 按牛顿迭代计算称为牛顿迭代法。
牛顿法的几何意义：选初值x k 以后，过))(,(k k x f x p 点，作曲线y=f(x)的切线，其切线方程为))(()()(k k k x x x f x f x f -'+= (21)切线与ox 轴的交点，为1+k x ，则)(/)(1k k k k x f x f x x '-=+（22）牛顿迭代法也称为切线法。
迭代法的收敛性：如果取)(/)()(k k x f x f x x g '-=，则有x=g(x)，从而牛顿迭代公式就是)(1k k x g x =+因此就可以由考察g(x)的性质，来讨论迭代法的收敛性及收敛速度。
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print(“storepoint”,k,”distance”,0,”oilquantity”,oil)；
}
3.3
迭代法解方程
迭代法解方程的实质是按照下列步骤构造一个序列 x0,x1,…,xn, 来 逐步逼近方程f(x)=0的解：
1）选取适当的初值x0；
2）确定迭代格式，即建立迭代关系，需要将方程f(x)=0改 写为x=φ (x)的等价形式；
图4-6 二分法求解 方程示意
依此做下去，当发现f(cn)=0时，或区间[an,bn]足够小， 比如| an-bn |<0.0001时，就认为找到了方程的根。
用二分法求一元非线性方程f(x)= x^3/2+2x^2-8=0（其中 ^表示幂运算）在区间[0，2]上的近似实根r，精确到0.0001. 算法如下：
A城雇用一人与探险家同带3天食物同行一天，然后被雇 人带一天食物返回，并留一天食物给探险家，这样探险 家正好有3天的食物继续前行，并于第三天打电话雇B城 人带3天食物出发，第四天会面他们会面，探险家得到一 天的食物赴B城。如图4-3主要表示了被雇用二人的行程。
A
B
图4-3 被雇用二人的行程
2）贮油点问题要求要以最少的耗油量穿越沙漠，即到达 终点时，沙漠中的各临时油库和车的装油量均为0。这样 只能从终点开始向前倒着推解贮油点和贮油量。
算法如下：
main( ) {int n,i,j,a[100]; input(n); print(“1”); print(“换行符”); a[1]=a[2]=1; print(a[1],a[2]); print(“换行符”); for (i=3;i<=n;i=i+1) {a[1]=a[i]=1; for (j=i-1，j>1，j=j-1) a[j]=a[j]+a[j-1]; for (j=1;j<=i;j=j+1) print(a[j]); print(“换行符”); } }
1）确定迭代模型 2）建立迭代关系式 3）对迭代过程进行控制
3.1
递推法
【例1】兔子繁殖问题 问题描述：一对兔子从出生后第三个月开始，每月生一对小兔 子。小兔子到第三个月又开始生下一代小兔子。假若兔子 只生不死，一月份抱来一对刚出生的小兔子，问一年中每 个月各有多少只兔子。 问题分析：因一对兔子从出生后第三个月开始每月生一对小兔 子，则每月新下小兔子的对儿数(用斜体数字表示)显然由前 两个月的小兔子的对儿数决定。则繁殖过程如下： 一月 二月 三月 四月 五月 六月 …… 1 1 1+1=2 2+1=3 3+2=5 5+3=8 ……
x1=x0-f0/f1;
} while(fabs(x1-x0)>=1e-4); return(x1); }
【例3】二分法求解方程f(x)=0根 用二 分法求解方程f(x)=0根的前提条件是： f(x)在求解的区间[a,b]上是连续的，且 已知f(a)与f(b)异号，即 f(a)*f(b)<0。
令[a0,b0]=[a,b]，c0=(a0+b0)/2，若f(c0)=0，则c0为 方 程 f(x)=0 的 根 ； 否 则 ， 若 f(a0) 与 f(c0) 异 号 ， 即 f(a0)*f(c0)<0，则令[a1,b1]=[a0,c0]；若f(b0)与f(c0)异 号，即 f(b0)*f(c0)<0，则令[a1,b1]=[c0,b0]。
float f(a,b,c,d)
main( ) { float a , b, c, d, fx; print("输入系数 a,b,c,d:"); input(a,b,c,d); fx=f(a,b,c,d); printf("方程的根为：",fx); }
float a,b,c,d; { float x1=1 , x0, f0 , f1; do { x0=x1; f0=((a*x0+b)*x0+c)*x0+d; f1=(3*a*x0+2*b)*x0+c;
main( ) { float x,x1=0,x2=2,f1,f2,f; print(“input x1,x2(f(x1)*f(x2)<0)”); input(x1,x2); f1=x1*x1*x1/2+2*x1*x1-8; f2=x2*x2*x2/2+2*x2*x2-8; if(f1*f2>0) { printf("No root"); return;} do { x=(x1+x2)/2; f=x*x*x/2+2*x*x-8; if(f=0) break; if(f1*f>0.0) {x1=x; f1=f;} else {x2=x; f2=f;} }while(fabs(f)>=1e-4); print("root=",x); }
500/5公里 <——— 500/3公里 ———> <——— <——— 500公里 第一 ———> 第二 ———> 第三 终点<——贮油点（500）<——贮油点（1000）<———贮油点（1500）……
图4-4
贮油点及贮油量示意
综上分析，从终点开始分别间隔 500，500/3，500/5， 500/7，……（公里）设立贮油点，直到总距离超过1000 公里。每个贮油点的油量为500，1000，1500，……。 算法设计：由模型知道此问题并不必用倒推算法解决（只 是分析过程用的是倒推法），只需通过累加算法就能解决 。变量说明：dis表示距终点的距离，1000- dis则表示距 起点的距离，k表示贮油点从后到前的序号。
desert（ ） { int dis，k，oil,k; dis=500;k=1;oil=500; do{
print(“storepoint”,k,”distance”,1000-dis,”oilquantity”,oil)；
k=k+1; dis=dis+500/(2*k-1); oil= 500*k; }while ( dis<1000) oil=500*(k-1)+(1000-dis)*( 2*k-1);
A[1] = A[i]=1 A[j] = A[j] + A[j-1] i行 i-1行 i-1行 j=i-1，i-2，……，2
1 1 1 2 1 1
1
1
3
3
1
4 6 4 1 …………… 图4-1 杨辉三角形
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 ……………
1
图4-2 杨辉三角形存储格式
数学模型：根据耗油量最少目标的分析，下面从后向前分段 讨论。 第一段长度为500公里且第一个加油点贮油为500加仑。 第二段中为了贮备油，吉普车在这段的行程必须有往返。下 面讨论怎样走效率高： 1）首先不计方向这段应走奇数次（保证最后向前走）。 2）每次向前行进时吉普车是满载。 3）要能贮存够下一加油点的贮油量，路上耗油又最少。
【例3】穿越沙漠问题 用一辆吉普车穿越1000公里的沙漠。吉普车的总装油量为 500加仑，耗油率为1加仑/公里。由于沙漠中没有油库， 必须先用这辆车在沙漠中建立临时油库。该吉普车以最少 的耗油量穿越沙漠，应在什么地方建油库，以及各处的贮 油量。 问题分析： 1 ）先看一简单问题：有一位探险家用 5 天的时间徒 步横穿 A 、 B 两村，两村间是荒无人烟的沙漠，如果一 个人只能担负3天的食物和水，那么这个探险家至少雇 几个人才能顺利通过沙漠。
3 迭代算法
1
主要内容
3.1 递推法 3.2 倒推法 3.3 迭代法解方程
迭代算法
迭代法（Iteration）也称“辗转法”，是一种不断用变量的 旧值递推出新值的解决问题的方法。迭代算法一般用于数
值计算。迭代法应该是我们早已熟悉的算法策略，程序设 计语言课程中所学的累加、累乘都是迭代算法策略的基础 应用。 利用迭代算法策略求解问题，设计工作主要有三步：
【例2】 输出如图4-1的杨辉三角形（限 定用一个一维数组完成）。 数学模型：上下层规律较明显，中间的数 等于上行左上、右上两数之和。 问题分析：题目中要求用一个一维数组即 完成。数组空间一定是由下标从小到大 利用的，这样其实杨辉三角形是按下图 4-2形式存储的。若求n层，则数组最多 存储n个数据。 算法设计：
将新求得交点的x坐标命名为x1。如
图所示，通常x1会比x0更接近方
程f(x) = 0的解。接下来用x1开始下 一轮迭代 .
图4-5 牛顿迭代法 示意图
迭代公式可化简为：
此公式就是有名的牛顿迭代公式。已经证明, 如果f„是连 续的, 并且待求的零点x是孤立的, 那么在零点x周围存在 一个区域, 只要初始值x0位于这个邻近区域内, 那么牛顿 法必定收敛。 下面给出用牛顿迭代法，求形如ax3+bx2+cx+d=0方程根 的算法，系数a、b、c、d的值依次为1、2、3、4，由主 函数输入。求x在1附近的一个实根。求出根后由主函数输 出。
构造序列x0，x1，……，xn，即先求得x1=φ (x0)，再求
x2=φ (x1)，……如此反复迭代，就得到一个数列x0， x1，……，xn，若这个数列收敛，即存在极值，且函数
φ (x)连续，则很容易得到这个极限值
x*就是方程f(x)=0的根。
【例1】迭代法求方程组根 算法说明：方程组解的初值X=（x0，x1，…，xn-1）,迭代关 系方程组为：xi=gi(X)(i=0,1,…,n-1),w为解的精度,则算法如 下： for (i=0;i<n;i++) x[i]=初始近似根; do { k=k+1; for (i=0;i<n;i ++) y[i]=x[i]; for (i=0;i<n;i++) x[i]=gi(X); for (i=0;i<n;i++) c=c+fabs(y[i]-x[i])； } while (c>w and k<maxn )； for (i=0;i<n;i++) print(i，“变量的近似根是”，x[i])； }
}
3.3
迭代法解方程
迭代法解方程的实质是按照下列步骤构造一个序列 x0,x1,…,xn, 来 逐步逼近方程f(x)=0的解：
1）选取适当的初值x0；
2）确定迭代格式，即建立迭代关系，需要将方程f(x)=0改 写为x=φ (x)的等价形式；
图4-6 二分法求解 方程示意
依此做下去，当发现f(cn)=0时，或区间[an,bn]足够小， 比如| an-bn |<0.0001时，就认为找到了方程的根。
用二分法求一元非线性方程f(x)= x^3/2+2x^2-8=0（其中 ^表示幂运算）在区间[0，2]上的近似实根r，精确到0.0001. 算法如下：
A城雇用一人与探险家同带3天食物同行一天，然后被雇 人带一天食物返回，并留一天食物给探险家，这样探险 家正好有3天的食物继续前行，并于第三天打电话雇B城 人带3天食物出发，第四天会面他们会面，探险家得到一 天的食物赴B城。如图4-3主要表示了被雇用二人的行程。
A
B
图4-3 被雇用二人的行程
2）贮油点问题要求要以最少的耗油量穿越沙漠，即到达 终点时，沙漠中的各临时油库和车的装油量均为0。这样 只能从终点开始向前倒着推解贮油点和贮油量。
算法如下：
main( ) {int n,i,j,a[100]; input(n); print(“1”); print(“换行符”); a[1]=a[2]=1; print(a[1],a[2]); print(“换行符”); for (i=3;i<=n;i=i+1) {a[1]=a[i]=1; for (j=i-1，j>1，j=j-1) a[j]=a[j]+a[j-1]; for (j=1;j<=i;j=j+1) print(a[j]); print(“换行符”); } }
1）确定迭代模型 2）建立迭代关系式 3）对迭代过程进行控制
3.1
递推法
【例1】兔子繁殖问题 问题描述：一对兔子从出生后第三个月开始，每月生一对小兔 子。小兔子到第三个月又开始生下一代小兔子。假若兔子 只生不死，一月份抱来一对刚出生的小兔子，问一年中每 个月各有多少只兔子。 问题分析：因一对兔子从出生后第三个月开始每月生一对小兔 子，则每月新下小兔子的对儿数(用斜体数字表示)显然由前 两个月的小兔子的对儿数决定。则繁殖过程如下： 一月 二月 三月 四月 五月 六月 …… 1 1 1+1=2 2+1=3 3+2=5 5+3=8 ……
x1=x0-f0/f1;
} while(fabs(x1-x0)>=1e-4); return(x1); }
【例3】二分法求解方程f(x)=0根 用二 分法求解方程f(x)=0根的前提条件是： f(x)在求解的区间[a,b]上是连续的，且 已知f(a)与f(b)异号，即 f(a)*f(b)<0。
令[a0,b0]=[a,b]，c0=(a0+b0)/2，若f(c0)=0，则c0为 方 程 f(x)=0 的 根 ； 否 则 ， 若 f(a0) 与 f(c0) 异 号 ， 即 f(a0)*f(c0)<0，则令[a1,b1]=[a0,c0]；若f(b0)与f(c0)异 号，即 f(b0)*f(c0)<0，则令[a1,b1]=[c0,b0]。
float f(a,b,c,d)
main( ) { float a , b, c, d, fx; print("输入系数 a,b,c,d:"); input(a,b,c,d); fx=f(a,b,c,d); printf("方程的根为：",fx); }
float a,b,c,d; { float x1=1 , x0, f0 , f1; do { x0=x1; f0=((a*x0+b)*x0+c)*x0+d; f1=(3*a*x0+2*b)*x0+c;
main( ) { float x,x1=0,x2=2,f1,f2,f; print(“input x1,x2(f(x1)*f(x2)<0)”); input(x1,x2); f1=x1*x1*x1/2+2*x1*x1-8; f2=x2*x2*x2/2+2*x2*x2-8; if(f1*f2>0) { printf("No root"); return;} do { x=(x1+x2)/2; f=x*x*x/2+2*x*x-8; if(f=0) break; if(f1*f>0.0) {x1=x; f1=f;} else {x2=x; f2=f;} }while(fabs(f)>=1e-4); print("root=",x); }
500/5公里 <——— 500/3公里 ———> <——— <——— 500公里 第一 ———> 第二 ———> 第三 终点<——贮油点（500）<——贮油点（1000）<———贮油点（1500）……
图4-4
贮油点及贮油量示意
综上分析，从终点开始分别间隔 500，500/3，500/5， 500/7，……（公里）设立贮油点，直到总距离超过1000 公里。每个贮油点的油量为500，1000，1500，……。 算法设计：由模型知道此问题并不必用倒推算法解决（只 是分析过程用的是倒推法），只需通过累加算法就能解决 。变量说明：dis表示距终点的距离，1000- dis则表示距 起点的距离，k表示贮油点从后到前的序号。
desert（ ） { int dis，k，oil,k; dis=500;k=1;oil=500; do{
print(“storepoint”,k,”distance”,1000-dis,”oilquantity”,oil)；
k=k+1; dis=dis+500/(2*k-1); oil= 500*k; }while ( dis<1000) oil=500*(k-1)+(1000-dis)*( 2*k-1);
A[1] = A[i]=1 A[j] = A[j] + A[j-1] i行 i-1行 i-1行 j=i-1，i-2，……，2
1 1 1 2 1 1
1
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3
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4 6 4 1 …………… 图4-1 杨辉三角形
1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 ……………
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图4-2 杨辉三角形存储格式
数学模型：根据耗油量最少目标的分析，下面从后向前分段 讨论。 第一段长度为500公里且第一个加油点贮油为500加仑。 第二段中为了贮备油，吉普车在这段的行程必须有往返。下 面讨论怎样走效率高： 1）首先不计方向这段应走奇数次（保证最后向前走）。 2）每次向前行进时吉普车是满载。 3）要能贮存够下一加油点的贮油量，路上耗油又最少。
【例3】穿越沙漠问题 用一辆吉普车穿越1000公里的沙漠。吉普车的总装油量为 500加仑，耗油率为1加仑/公里。由于沙漠中没有油库， 必须先用这辆车在沙漠中建立临时油库。该吉普车以最少 的耗油量穿越沙漠，应在什么地方建油库，以及各处的贮 油量。 问题分析： 1 ）先看一简单问题：有一位探险家用 5 天的时间徒 步横穿 A 、 B 两村，两村间是荒无人烟的沙漠，如果一 个人只能担负3天的食物和水，那么这个探险家至少雇 几个人才能顺利通过沙漠。
3 迭代算法
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主要内容
3.1 递推法 3.2 倒推法 3.3 迭代法解方程
迭代算法
迭代法（Iteration）也称“辗转法”，是一种不断用变量的 旧值递推出新值的解决问题的方法。迭代算法一般用于数
值计算。迭代法应该是我们早已熟悉的算法策略，程序设 计语言课程中所学的累加、累乘都是迭代算法策略的基础 应用。 利用迭代算法策略求解问题，设计工作主要有三步：
【例2】 输出如图4-1的杨辉三角形（限 定用一个一维数组完成）。 数学模型：上下层规律较明显，中间的数 等于上行左上、右上两数之和。 问题分析：题目中要求用一个一维数组即 完成。数组空间一定是由下标从小到大 利用的，这样其实杨辉三角形是按下图 4-2形式存储的。若求n层，则数组最多 存储n个数据。 算法设计：
将新求得交点的x坐标命名为x1。如
图所示，通常x1会比x0更接近方
程f(x) = 0的解。接下来用x1开始下 一轮迭代 .
图4-5 牛顿迭代法 示意图
迭代公式可化简为：
此公式就是有名的牛顿迭代公式。已经证明, 如果f„是连 续的, 并且待求的零点x是孤立的, 那么在零点x周围存在 一个区域, 只要初始值x0位于这个邻近区域内, 那么牛顿 法必定收敛。 下面给出用牛顿迭代法，求形如ax3+bx2+cx+d=0方程根 的算法，系数a、b、c、d的值依次为1、2、3、4，由主 函数输入。求x在1附近的一个实根。求出根后由主函数输 出。
构造序列x0，x1，……，xn，即先求得x1=φ (x0)，再求
x2=φ (x1)，……如此反复迭代，就得到一个数列x0， x1，……，xn，若这个数列收敛，即存在极值，且函数
φ (x)连续，则很容易得到这个极限值
x*就是方程f(x)=0的根。
【例1】迭代法求方程组根 算法说明：方程组解的初值X=（x0，x1，…，xn-1）,迭代关 系方程组为：xi=gi(X)(i=0,1,…,n-1),w为解的精度,则算法如 下： for (i=0;i<n;i++) x[i]=初始近似根; do { k=k+1; for (i=0;i<n;i ++) y[i]=x[i]; for (i=0;i<n;i++) x[i]=gi(X); for (i=0;i<n;i++) c=c+fabs(y[i]-x[i])； } while (c>w and k<maxn )； for (i=0;i<n;i++) print(i，“变量的近似根是”，x[i])； }