直线与平面的夹角

3.2.3直线与平面的夹角

教学目标

1.掌握直线和平面夹角的定义，会用定义、三余弦公式、法向量求线面角。

2.自主教学、合作交流，探究向量法解决直线和平面夹角的规律方法。

3.体验向量法解决立体几何问题的乐趣。

自学指导

预习课本106页至107页，填写下列内容：

1.斜线与平面夹角的定义：斜线和它在平面内的所成的角。

2.斜线与平面夹角的范围是；直线与平面夹角范围是。

两异面直线夹角的范围；两非零向量夹角的范围是。

3.三余弦公式21cos cos cos θθθ•=中，21,θθθ和分别是所成的角、

所成的角、所成的角；21,θθθ和的范围分别是、、。

问题1：三棱锥P-ABC ，PA ⊥面ABC ，∠ACB=90°，你能找到三余弦公式21cos cos cos θθθ•=中21,θθθ和吗？

问题2：如果21cos cos cos θθθ•=中0290θ=，你能得出什么结论？和三垂线定理有何关系？

问题3：PC PB PA ,,是从P 点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为0

60，若∠APB 的角平分线为AD ，那么在21cos cos cos θθθ•=中，21,θθθ和分别对应的角是、、，直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为 。

问题4：你能用三余弦公式21cos cos cos θθθ•=证明教材P107的例题吗

自学检测

1、平面的一条斜线段长是它在平面上射影长的3倍，则这条斜线段与平面所成角的余弦值是（ ）

A 、13 B

C

、2-

D 、23

2、一条直线与平面α所成的角为30°，则它和平面α内所有直线所成的角中最小的角是（ ）

A 、300

B 、600

C 、900

D 、1500

3、PA 、PB 、PC 是由P 点出发的三条射线，两两夹角均为60°，则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值是（ ）

A 、12 B

、2 C

、3

D 、

2 4、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=3，AD=4，AA 1=5，体对角线BD 1分别与平面AC 、平面BA 1、平面BC 1所成角的余弦值为、、

例题探究

例1、在正方体AC 1中，试求(1)直线A 1B 与平面ABCD 所成的角。(2)直线A 1B 与平面BCC1B 1所成的角

(3)直线A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角

思考：若直线AB 与平面α所成的角为θ，平面α的法向量为n r ，直线AB 与向量n r 所成的角为ϕ,则θ与ϕ有何关系？cos ϕ与sin θ有何关系？

讨论：如何利用法向量求线面角？

直线AB 与平面α所成的角θ，可看成是________________________，从而求线面角转化为求直线所在的向量与平面的法向量的所成的线线角，根据两个向量所成角的余弦公式，我们可以得到如下向量法求解线面角的公式：______________________。

变式：若E 是CC 1的中点，求BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值．

练习1：在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC 。求BD 与平面PAB

1 A B

所成的角。

练习2：如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，求直线1AB 和侧面1AC 所成的角.

练习3：如图所示，ABCD 是直角梯形，//AD BC ,ο90=∠ABC ,⊥SA 平面ABCD ，21=AD ，1===BC AB SA 。求：

（1）SB 与底面ABCD 所成的角；

（2）SC 与底面ABCD 所成角的正切值；

（3）SC 与平面ＳBD 所成角的正弦值。

课堂小结：

反思一下本节课，你收获到了什么啊?

当堂检测

1.设线段AB=l ,直线AB 与平面α所成的角为θ，线段AB 在平面α内的射影长为3的是（ ）

A. l=6，θ=0°

B. l =6，θ=90°

C. l=6θ=60°

D. l=6，θ=45°.

2.已知平面内的一条直线AB与平面的一条斜线AC的夹角为60°，直线AB与斜线AC在平面内的射影AD的夹角为45°，则斜线AC与平面所成角的大小为。

★3．已知平面α内的角∠APB＝60°，射线PC与PA、PB所成角均为135°，则PC与平面α所成角的余弦值是()

A．－

6

3 B.

6

3 C.

3

3D．－

3

3

4、正四棱锥S—ABCD，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC 所成的角是（）

A、300

B、450

C、600

D、750

★5、长为1的正方体A C1，E、F分别是B1C1、C1D的中点．求直线A1D与平面B DEF所成的角．