杭州建人高复2020级第一次月考数学试卷答案

浙江省建人高复2015届高三第一学期第一次月考数学（理）试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设{}2A log ,1y y x x ==>，则下列结论正确的是 （ ）A ． B.C ．D ．2.已知0log log ,10<<<<n m a a a ，则 ( )A.1＜n ＜mB.1＜m ＜nC.m ＜n ＜1D.n ＜m ＜13.下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是 （ ）A. B. C. D.4.下列命题错误．．的是 ( ) A ．命题“2320,1x x x -+==若则”的逆否命题为“21,320x x x ≠-+≠若则”B ．命题“”的否定是“”C ．“”是“或”的必要不充分条件D ．“若”的逆命题为真5.已知函数)(,||1)1()(2)(x f x x f x f x f 则满足=-的最小值是 （ ）A. B.2 C. D.6.是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且，则方程=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．27.设，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使的的取值范围是 （ ）A. B. C. D.8.如果函数2()(31)(01)x x f x a a a a a =-->≠且在区间上是增函数，那么实数的取值范围是（ ）Ａ． Ｂ．1⎫⎪⎪⎣⎭ Ｃ． Ｄ． 9..若使得方程0162=---m x x 有实数解，则实数m 的取值范围为 （ ）10.已知函数是定义在R 上的单调函数，对， 恒成立，则 （ ）A ．1B ．3C ．8D ．9二、填空题：本大题共7小题，共28分。

11.已知，且，则实数的值为 .12.已知命题p ：不等式的解集为R ，命题q ：是减函数，若“p 或q”为真命题，“p 且q”为假命题，则实数的取值范围是 .13.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y=f (x )的图象关于直线对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)= ____________.14.函数对于任意实数满足条件，若则_______________.15. 若 n-m表示的区间长度，函数()0)f x a =>的值域的区间长度为，则实数的值为_______.1,0,()01(),02.x f x x a f x x -≤++=->x 416.已知函数f(x)={若方程有两个大于0的实数根，则实数a 的取值范围是 17．若正实数满足，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数的取值范围是三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

浙江省杭州市建人高复2019届高三数学上学期第一次月考试题本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 参考公式：如果事件B A ,互斥，那么 柱体的体积公式)()()(B P A P B A P +=+； V Sh =如果事件B A ,相互独立，那么 椎体的体积公式)()()(B P A P B A P ⋅=⋅； 13V Sh =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 球的表面积公式n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 24S R π=k n kk n n P P C k P --=)1()((k = 0,1,…,n). 球的体积公式台体的体积公式 343V R π=1(+3V h S S =+下上选择题部分（共40分）一、 选择题 : 本大题共10小题, 每小题4分, 共40分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 设集合则},2,1,2{},2,1{},2,1,0,1,2{--==--=B A U ()U A C B =U （ ▲ ）A. {1}B. {1,2}C. {2}D. {0,1,2} 2. 复数)31(i i z -=的虚部是 （ ▲ ）A. －1B. 1C. iD. 33. 双曲线2213x y -=的离心率是 （ ▲ ）C. 24. 若变量x 、y 满足约束条件6321x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最大值为 （ ▲ ）A. 17B. 13C. 5D. 1 5. 下列函数为偶函数的是 （ ▲ ）A ．cos sin y x x =+B ．cos sin y x x =⋅C ．x x y e e -=-D ．x x y e e -=+6. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则670a a +>是93S S ≥的（ ▲ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7. 曲线y=2xe -+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为（ ▲ ）A ．13 B ．12 C ．23D ．1 8 . 已知向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝a •b ＝2，(a －c )•(b －2c )＝0，则|b －c |的最小值为（ ▲ ）A B C D 9. 等腰直角ABC V 斜边CB 上一点P 满足14CP CB ≤，将CAP V 沿着AP 翻折至C AP '∆，使二面角C AP B '--为60°，记直线,,C A C B C P '''与平面APB 所成角分别为,,αβγ，则（ ▲ ） A 、αβγ<<B 、αγβ<<C 、βαγ<<D 、γαβ<<10. 设f (x )是定义在(0,)+∞上的单调增函数，且对任意的正数x ，都有1(())f f x x +1()f x =， 则f (1) = （ ▲ ）(A) (B) (C)非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于_▲_，表面积等于 _▲__（第11题图） 12. 随机变量ξ的分布列如下：其中a b c ，，成等差数列，若3E ξ=，则D ξ的值是 ▲ ． 13、若正数,a b 满足2483log 1log log ()a b a b +=+=+，则__,__a b ==▲▲. 14、在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，其中222a bc cb =-+且321+=b c ，则A ∠__,=▲B tan __.=▲15、已知1021001210(1)(1)(1)(1),x a a x a x a x +=+-+-++-则08__,__a a ==▲▲.16、设6,,1≤≤z y x ，且自然数x ，y ，z 的乘积能被10整除，则有序自然数组(,,)x y z 共有 ▲ 组.17、已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为__▲__个三、简答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 18．（本小题14分）已知函数22sin c ()2cos os x x x x f +=（x R ∈）． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期，并求()f x 的最小值．（Ⅱ）令π()18g x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若()2g x a <-对于[,]63x ππ∈-恒成立，求实数a 的取值范围.19. （本小题15分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1 (Ⅰ) 证明：BC DC ⊥1(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.20. （本小题15分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，11=a ，)2(212≥⎪⎭⎫⎝⎛-=n S a S n n n .⑴求{}n a 的通项； ⑵设12+=n S b nn ，数列{}n b 的前n 项和nT21. （本小题15分）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；（1）若090=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值.22. （本小题15分）已知函数121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+. (Ⅰ) 求)(x f 的解析式及单调区间； (Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值数学答案一、 选择题 : 本大题共10小题, 每小题4分, 共40分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 59 13. 111616， 14. 132π， 15. 1024,180 16. 72 17. 4三、简答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.18、解（Ⅰ）()sin 2cos 21214f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， …..3分其最小正周期是22T ππ==， …..5分 又当2242x k πππ+=-+，即()38x k k Z ππ=-∈时，sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最小值1-，所以函数()x f 的最小值是1x 的集合为3|,8x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭． ….. 7分（Ⅱ）ππ()12()228842g x f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭….. 9分由[,]63x ππ∈-，得22[,]33x ππ∈-，则1cos 2[,1]2x ∈-， ….. 11分()2[2g x x ∴=∈-， ….. 12分若()2g x a <-对于[,]63x ππ∈-恒成立，则max 2()2a g x a ->> ….. 15分 19、解(Ⅰ) 证明：设112AC BC AA a ===， 直三棱柱111C B A ABC -，1DC DC ∴==， 12CC a =，22211DC DC CC ∴+=，1DC DC ∴⊥. …..3分又1DC BD ⊥，1DC DC D =I ，1DC ∴⊥平面BDC . 又BC ⊂平面BDC ,1DC BC ∴⊥. …..7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，1DC =，1BC ，又已知BD DC ⊥1，BD ∴=. 在Rt ABD △中，,,90BD AD a DAB ==∠=，AB ∴=.222AC BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥. …..9分法一：取11A B 的中点E ，则易证1C E ⊥平面1BDA ，连结DE ，则1C E ⊥BD ， 已知BD DC ⊥1，BD ∴⊥平面1DC E ，BD ∴⊥DE ，1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角. …..11分在1Rt C DE △中，1111sin 2C EC DE C D∠===，130C DE ∴∠=.即二面角11C BD A --的大小为30. …..15分法二：以点C 为坐标原点，为x 轴，CB 为y 轴,1CC 为z 轴,建立空间直角坐标系C xyz -.则()()()()11,0,2,0,,0,,0,,0,0,2A a a B aD a a C a . …..9分()()1,,,,0,DB a a a DC a a =--=-，设平面1DBC 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111100n DB ax ay az n DC ax az ⎧=-+-=⎪⎨=-+=⎪⎩,不妨令11x =,得112,1y z ==,故可取()11,2,1n =. 同理,可求得平面1DBA 的一个法向量()21,1,0n =. …..12分 设1n 与2n 的夹角为θ,则1212cos 26n n n n θ⋅===, 30θ∴=. 由图可知, 二面角的大小为锐角,故二面角11C BD A --的大小为30. ....15分1211(2)11()()()22n n n nn n n n n a S S n S a S S S S --=-≥∴=-=--Q 20、解（）由题意2111122n n n n n S S S S S --=--+ …..3分 化简得：1121n n n S S S --=+1112n n S S -∴=+ 即1{}n S 是公差为2 的等差数列，又11111S a ==， *1121,()21n n n S n N S n ∴=-=∈- …..6分 111,1,111,2,22123n n n n a n a S S n n n n -=⎧=⎧⎪∴==⎨⎨-≥-≥⎩⎪--⎩， …..9分 （2）1111()21(21)(21)22121n n S b n n n n n ===-+-+-+ …..11分 1211...(1)22121n n n T b b b n n ∴=+++=-=++ …..15分21、解: (Ⅰ)由对称性可知,BFD △为等腰直角三角形,斜边上的高为p ,斜边长2BD p =.点A 到准线l的距离d FB FD ===.由ABD S =△,11222BD d p ⨯⨯=⨯=....1分 2p ∴=. ....3分圆F 的方程为()2218x y +-=. ....6分(Ⅱ)由对称性,不妨设点(),A A A x y 在第一象限,由已知得线段AB 是圆F 的在直径,90o ADB ∠=,2AD p ∴=,32A y p ∴=,代入抛物线:C py x 22=得A x = .....7分直线m的斜率为AF k ==直线m的方程为0x +=. ....9分 由py x 22= 得22x y p=,x y p '=.由x y p '==, 3x p =.故直线n 与抛物线C的切点坐标为6p ⎫⎪⎪⎝⎭, ....11分直线n的方程为06x -=. ....12分 所以坐标原点到m ，n3=. ....15分22、解: (Ⅰ) 1()(1)(0)x f x f e f x -''=-+, ....1分 令1x =得,(0)1f =,再由121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+,令0x =得()1f e '=. 所以)(x f 的解析式为21()2xf x e x x =-+. ....3分()1x f x e x '=-+,易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数,且(0)0f '=.所以()00,()00,f x x f x x ''>⇔><⇔<所以函数)(x f 的增区间为()0,+∞,减区间为(),0-∞. ....6分(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(恒成立, 即()()21()102xh x f x x ax b e a x b =---=-+-≥恒成立，()()1x h x e a '=-+Q ,(1)当10a +<时,()0h x '>恒成立, ()h x 为R 上的增函数,且当x →-∞时, ()h x →-∞,不合题意;(2)当10a +=时,()0h x >恒成立, 则0b ≤,(1)0a b +=; ....8分 (3)当10a +>时, ()()1x h x e a '=-+为增函数,由()0h x '=得()ln 1x a =+, 故()()()0ln 1,()0ln 1,f x x a f x x a ''>⇔>+<⇔<+当()ln 1x a =+时, ()h x 取最小值()()()()ln 111ln 1h a a a a b +=+-++-. ....10分 依题意有()()()()ln 111ln 10h a a a a b +=+-++-≥, 即()()11ln 1b a a a ≤+-++,10a +>Q ,()()()()22111ln 1a b a a a ∴+≤+-++, ....12分令()()22ln 0 u x x x x x =->,则()()22ln 12ln u x x x x x x x '=--=-,()00()0u x x u x x ''>⇔<<<⇔>所以当x =, ()u x 取最大值2eu=.故当12a b +==时, ()1a b +取最大值2e .综上, 若b ax x x f ++≥221)(，则 b a )1(+的最大值为2e . ....15分。

浙江省杭州市建人高复学校2020届高三下学期5月模拟数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知全集{1,U =2，3，4，5，6}，集合{}1,4P =，{}3,5Q =，则()(UP Q ⋃=)A.{}2,6B.{2,3，5，6}C.{1,3，4，5}D.{1,2，3，4，5，6}2.已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“（a +bi ）2＝2i ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.88π+B.816π+C.168+πD.1616π+4.如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） A.ab c d ≤+，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 B.ab c d ≥+，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一C.ab c d ≤+，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一D.ab c d ≥+，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一5.设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则（ ） A. d <0 B. d >0 C. a 1d <0 D. a 1d >06.已知实数,x y 满足2246120x y x y +-++=则22x y --的最小值是（ ）A.5-B.4-1D.557.定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的(,)a m n =，(,)b p q =，令a b mq np =-.下面说法错误的是A.若a b 与共线，则0a b =B.ab b a =C.对任意的,()R a b a b λλλ∈=有（）D.2222()()ab a b a b +⋅=8.对于给定正数k ，定义(),()(),()k f x f x k f x k f x k≤⎧=⎨>⎩，设22()252f x ax ax a a =--++，对任意x ∈R 和任意(,0)a ∈-∞恒有()()k f x f x =，则（ ） A.k 的最大值为2B.k 的最小值为2C.k 的最大值为1D.k 的最小值为19.如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的表面上运动，且P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点P 的轨迹在展开图中的形状是（ ）A. B.C. D.10.设函数22sin 2()cos 2a a x f x a a x ++=++的最大值为()M a ，最小值为()m a ，则（ ）A.000,()()2a R M a m a ∃∈⋅=B.,()()2a R M a m a ∀∈+=C.000,()()1a R M a m a ∃∈+=D.,()()1a R M a m a ∀∈⋅=第II 卷（非选择题）二、解答题11.在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos sin a b C B =. （1）求角B 的大小；（2）求22sin sin A C +的取值范围.12.如图所示，ΔABC 和ΔBCD 所在平面互相垂直，且AB=BC =BD =2，∠ABC =∠DBC =120∘，E ，F 分别为AC ，DC 的中点.（1）求证：EF ⊥BC ；（2）求二面角E−BF −C 的正弦值.13.已知,A B 是抛物线2x y =-上位于y 轴两侧的不同两点（1）若CD 在直线4y x =+上，且使得以ABCD 为顶点的四边形恰为正方形，求该正方形的面积.（2）求过A 、B 的切线与直线1y =-围成的三角形面积的最小值；三、填空题14.已知方程()221+91x k k y --=，若该方程表示椭圆方程，则k 取值范围是_______；15.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过1F 的直线交双曲线左支于,A B 两点，且1||||OF OA =，延长AO 交双曲线右支于点C ，若11||2||CF BF =，则该双曲线的离心率为_________四、新添加的题型16.已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩，若4log 3a =，则()f a =___________；()1f a -=___________.17.已知2()3)n f x x =展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，则展开式中最大的二项式系数为______；展开式中系数最大的项为______.18.将字母,,,,,a a b b c c 放入32⨯的方表格，每个格子各放一个字母，则每一行的字母互不相同，每一列的字母也互不相同的概率为_______；若共有k 行字母相同，则得k 分，则所得分数ξ的数学期望为______；（注：横的为行，竖的为列；比如以下填法第二行的两个字母相同，第1，3行字母不同，该情况下1ξ=）19.已知,,a b c 都是单位向量，且12a b ⋅=-1b c +-⋅的最小值为_____；最大值为________参考答案1.A【解析】1.进行并集、补集的运算即可．P ∪Q={1，3，4，5}；∴∁U （P ∪Q ）={2，6}． 故选A ． 2.A【解析】2.利用充分必要条件的定义和复数的四则运算及两个复数相等的充要条件即可判断. 当“a ＝b ＝1”时，“（a +bi ）2＝（1+i ）2＝2i ”成立， 故“a ＝b ＝1”是“（a +bi ）2＝2i ”的充分条件；当“（a +bi ）2＝a 2﹣b 2+2abi ＝2i ”时，“a ＝b ＝1”或“a ＝b ＝﹣1”， 故“a ＝b ＝1”是“（a +bi ）2＝2i ”的不必要条件；综上所述，“a ＝b ＝1”是“（a +bi ）2＝2i ”的充分不必要条件； 故选：A 3.C【解析】3.由三视图知：该几何体是一个组合体，下面是一个半个圆柱，上面是一个长方体，然后分别由柱体体积公式求解.观察该几何体是一个组合体，下面是一个半个圆柱，上面是一个长方体， 如图所示，半个圆柱的体积等于211(2)482V ππ=⨯⨯=， 上面的长方体体积等于242216V =⨯⨯=，所以该几何体的体积等于12168V V V π=+=+. 故选：C. 4.A【解析】4.正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2()2c d cd +≤，∴ c+d≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d ≤+，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2，选A 。

2020-2021学年浙江省杭州某校高三（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题1. 已知集合A＝{−1, 0, 1, 2}，B＝{x|−1<x<2}，则A∩B＝（）A.{0, 1}B.{x|−1≤x≤2}C.{−1, 0, 1, 2}D.{−1, 2}2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−2, 1)，则i⋅z＝（）A.1+2iB.−2+iC.1−2iD.−1−2i3. 若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最大值为（）A.17B.13C.5D.1+ln|x|的图象大致为（）4. 函数f(x)=1xA. B.C. D.5. 若tanα＝−2，则sin(α−π)⋅cos(π+α)＝（）A. B. C. D.-6. 已知实数x>0，y>0，则“xy<1”是“”“的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 将函数f(x)=sin(x−π3)的图象横坐标变成原来的12（纵坐标不变），并向左平移π3个单位，所得函数记为g(x)．若x1,x2∈(0,π2),x1≠x2，且g(x1)＝g(x2)，则g(x1+x2)＝（）A.−12B.−√32C.0D.√328. 如图，地面四个5G中继站A、B、C、D，已知CD＝（）km，∠ADB ＝∠CDB＝30∘，∠DCA＝45∘，∠ACB＝60∘，则A、B两个中继站的距离是（）A.kmB.kmC.kmD.km9. 设双曲线Ω:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，Ω上存在关于y轴对称的两点P，Q（P在Ω的右支上），使得|PQ|+2|PF2|=2|PF1|，O为坐标原点，且△POQ为正三角形，则的离心率为（）A.√62B.√52C.√6D.√510. 已知a，b∈R，数列{a n}中，a1＝a，a n+1＝a−4a n+b，n∈N∗，则下列不正确的是（）A.当b>，∀a∈R时，数列{a n}为递增数列B.当b＝4，a>4时，数列{a n}为递增数列C.当b＝0，a＝5时，数列{a n}为常数列D.当b＝0，a＝时，数列{a n}为递减数列二、填空题双曲线x2−＝k的一个焦点为(0, −3)，则k的值为________，渐近线方程为________＝±2________．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是40cm3，表面积是32+16cm2．随机变量X的分布列如表：P a b c其中a，b，c成等差数列，则P(|x|＝1)＝________；若a＝，则方差D(X)＝________．二项展开式(1+x)(1+2x)5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则a4＝________，a1+a3+a5＝________．如图，已知△ABC是边长为2的正三角形，动点P在以BC为直径的半圆上，若，则2λ+μ的最小值为________．若存在两个正实数x，y使等式x+m(y−x)(ln y−ln x)＝0成立，（其中e＝2.71828…），则实数m的取值范围是________．一副三角板由一块有一个内角为60∘的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，∠B＝∠F＝90∘，∠A＝60∘，∠D＝45∘，BC＝DE，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F−CAB，取BC中点O与AC中点M，则下列判断中正确的是________（填正确判断的序号）．①直线BC⊥面OFM；②AC与面OFM所成的角为定值；③设面ABF∩面MOF＝l，则有l // AB；④三棱锥F−COM的体积为定值．三、解答题已知函数f(x)＝2√3sin x cos x+2cos2x−1，x∈(0, π)．△ABC中，角A，B，C所对a2．的边分别为a，b，c，△ABC的面积为2√35(Ⅰ)求函数f(x)的单调递减区间；(Ⅱ)若f(C)＝1，求b的值．c如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB // 平面AEC；（2）设PA＝1，∠ABC＝60∘，三棱锥E−ACD的体积为，求锐二面角D−AE−C的余弦值．已知数列{a n}是正数等差数列，其中a1＝1，且a2、a4、a6+2成等比数列；数列{b n}的前n项和为S n，满足2S n+b n＝1．(Ⅰ)求数列{a n}、{b n}的通项公式；(Ⅱ)如果c n＝a n b n，设数列{c n}的前n项和为T n，是否存在正整数n，使得T n>S n成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，说明理由．已知F(1, 0)，点P在第一象限，以PF为直径的圆与y轴相切，动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若曲线C在点P处的切线的斜率为k1，直线PF的斜率为k2，求满足k1+k2＝3的点P的个数．已知函数f(x)＝ae2x−(a+2)e x+x．（1）若a>0，求f(x)的单调递增区间；（2）若存在正实数x0，使得f(x0)＝−e，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年浙江省杭州某校高三（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】利用交集定义直接求解．【解答】∵集合A＝{−1, 0, 1, 2}，B＝{x|−1<x<2}，∴A∩B＝{0, 1}．2.【答案】D【考点】复数的运算【解析】由复数z对应的点的坐标是(−2, 1)，根据复数的几何意义得z＝−2+i，再利用复数的运算法则能求出i⋅z．【解答】∵复数z对应的点的坐标是(−2, 1)，∴z＝−2+i，∴i⋅z＝i(−2+i)＝−2i+i6＝−1−2i．3.【答案】∵ z＝2x+3y，即【考点】简单线性规划【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】由约束条件作出可行域如图所示：∵z＝2x+3y，即，可知，画出直线2x+3y＝2，并进行平移，z取得最大值，联立，解得A(1，故z max＝2×3+3×5＝17，故选：A．4.【答案】B【考点】函数图象的作法【解析】当x<0时，函数f(x)=1x+ln(−x)，由函数的单调性，排除CD；当x>0时，函数f(x)=1x+ln(x)，此时，代入特殊值验证，排除A，只有B正确，【解答】解：当x<0时，函数f(x)=1x+ln(−x)，由函数y=1x ，y=ln(−x)递减知函数f(x)=1x+ln(−x)递减，排除C,D；当x>0时，函数f(x)=1x +ln(x)，此时，f(1)=11+ln1=1，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确.故选B．5.【答案】D【考点】运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．【解答】因为tanα＝−2，则sin(α−π)⋅cos(π+α)＝(−sinα)(−cosα)＝＝＝-．6.【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】解不等式，根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】∵实数x>0，y>0．解得0<xy<6，∴由，可推出xy<4；∵实数x>0，y>0”．故“xy<1”是“”“的充要条件．7.【答案】D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由题意利用函数y＝A sin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得x1+x2的值，可得g(x1+x2)的值．【解答】将函数f(x)=sin(x−π3)的图象横坐标变成原来的12（纵坐标不变），可得y＝sin(2x−π3)的图象；再向左平移π3个单位，所得函数记为g(x)＝sin(2x+π3)的图象．若x1,x2∈(0,π2),x1≠x2，则2x1+π3∈(π3, 4π3)，2x2+π3∈(π3, 4π3)，∵g(x1)＝g(x2)，∴2x1+π3+2x2+π32=π2，∴x1+x2=π6，则g(x1+x2)＝sin(2⋅π6+π3)＝sin2π3=√32，8.【答案】C【考点】余弦定理正弦定理【解析】由题意及图可得∠DAC＝75∘，∠DBC＝45∘，再在两个三角形中由正弦定理求出AC，BC，再由余弦定理求出AB的值．【解答】由题意可得∠DAC＝75∘，∠DBC＝45∘，在△ADC中，由正弦定理可得AC＝＝，在△BCD中，由正弦定理可得BC＝＝＝，在△ACB中，由余弦定理AB2＝AC2+BC6−2AC×BC⋅cos∠ACB＝(2）2+（+3)2−2××+3)×，所以AB＝．9.【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】根据双曲线的定义可得4a=|PQ|，再根据△POQ为正三角形，求出点P的坐标，代入双曲线的方程可得b2=4a2，即可得到c2=5a2，离心率即可求出．【解答】由|PQ|+2|PF2|=2|PF1|，则2(|PF1|−|PF1|)=|PQ|，∴4a=|PQ|，∵△POQ为正三角形，Ω上存在关于y轴对称的两点P，Q（P在Ω的右支上），∴|PO|=4a，∠POF2=60∘，∴P(2a, 2√3a)，∴4a2a2−12a2b2=1，∴b2=4a2，∴c2=5a2，∴e=√5，10.【答案】D【考点】数列递推式【解析】将a n+1−a n＝a−5a n+b配方，再利用作差法判断数列的单调性，即可判断选项A，将已知等式变形为a n+1−a n＝a−5a n+4＝(a n−1)(a n−4)，由此可判断选项B，将b＝0，a＝5代入a n+1＝a−4a n，求出a2＝5，以此类推即可得到a n＝5，即可判断选项C，通过递推公式求出a2，a3，a4，即可判断选项D．【解答】对于B，当b＝4时，a n+1＝a−4a n+4，则a n+7−a n＝a−5a n+7＝(a n−1)(a n−4)，若a>62−a1＝(a5−1)(a1−3)>0，则a2>a2>4，同理a n>a n−1>a n−2> ...>a2>a1，所以数列{a n}为递增数列，故选项B正确（1）对于C，当b＝2，a n+1＝a−7a n，则a2＝a−4a1＝82−4×3＝5，设a k＝5，则a k+6＝a−4a k＝52−4×2＝5，所以数列{a n}为常数列，故选项C正确（2）对于D，当b＝0，a n+8＝a−4a n，则a2＝a−2a1＝，，，所以a4>a7，故数列{a n}不是递减数列，故选项D错误．故选：D．二、填空题【答案】−1,y,x【考点】双曲线的离心率【解析】由已知可得双曲线的焦点在y轴上，且c＝3，即可求出k的值，由此即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】由已知双曲线x2−＝k的一个焦点为(0双曲线的焦点在y轴上，所以k<0，则双曲线的标准方程为：，所以−8k−k＝c2＝5，解得k＝−1，令k＝0，解得双曲线的渐近线方程为：y＝，【答案】40，32+16．【考点】由三视图求体积【解析】由几何体的三视图知该几何体是三棱柱与两个相同的四棱锥的组合体，画出图形结合图形求出它的体积与表面积．【解答】由该几何体的三视图，知该几何体是三棱柱与两个相同的四棱锥的组合体，如图所示；该组合体的体积为VV三棱柱DEG−CFH(2×4)×3+(4×3)×4(2×4)×3＝8+24+8＝40(cm3)；它的表面积为+2S2S梯形ABCD＝8×4+2(4+8)24＝32+16cm2．【答案】,【考点】【解析】结合分布列的性质和等差中项公式可得b＝，a+c＝，从而求得P(|x|＝1)；由a＝，可得c＝，再根据数学期望的计算公式求得E(X)，进而得方差D(X)．【解答】由分布列的性质知，a+b+c＝1，∵a，b，c成等差数列，∴3b＝5，即b＝，∴P(|x|＝1)＝P(x＝3)+P(x＝−1)＝a+c＝．若a＝，则c＝，∴数学期望E(X)＝−1×+0×＝，方差D(X)＝(−3−）7×+(3−）7×+(6−）2×＝．【答案】240,243【考点】二项式定理及相关概念【解析】二项展开式(1+x)(1+2x)5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，可得a4＝1×+2××23；令x＝±1，可得：2×35＝a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6，0＝a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6，两式相减即可得出a1+a3+a5．【解答】二项展开式(1+x)(1+4x)5＝a0+a8x+a2x2+a4x3+a4x7+a5x5+a4x6，则a4＝5×+2×3＝240，令x＝±3，可得：2×37＝a0+a1+a8+a3+a4+a3+a6，0＝a6−a1+a2−a2+a4−a5+a2，两式相减可得：486＝2(a1+a7+a5)，解得：a1+a6+a5＝243，【答案】【考点】平面向量的基本定理建立坐标系，求出向量坐标，利用平面向量基本定理建立方程关系，利用三角函数的辅助角公式进行转化进行求解即可．【解答】设半圆的圆心为O，则以圆心O为坐标原点，AO所在直线为x，如图所示：设点P(cosθ, sinθ)，2π]，则A(0，），B(−1，C(1，则＝(cosθ），＝(−1，-），，-），∵，∴(cosθ）＝λ(−1，-，-），即cosθ＝−λ+μ，且sinθ−λ−μ，解得λ＝-sinθ−，μ＝-cosθ，则2λ+μ＝5−sinθ−cosθ+-cosθ＝-cosθ＝），∵θ∈[π, 6π]∈[，]，即当θ+＝，即当θ＝2π时-＝4，在图2中，设点P(cosθ，θ∈[0，则3λ+μ＝1−sinθ−cosθ+-cosθ＝-cosθ＝），∵θ∈[0, π]∈[，]，即当θ+＝，即当θ＝时−1＝，综上2λ+μ取得最小值为，故答案为：．【答案】(−∞, 0)【考点】函数与方程的综合运用【解析】问题可转化为有解，设且t≠1，构造函数g(t)＝(1−t)ln t，只需＝g(t)有解，即可得出答案．【解答】方程变形为，所以，设且t≠1，那么，恒成立，所以g′(t)是单调递减函数，当t＝8时，g′(1)＝0，当t∈(0, 2)时，函数单调递增，当t∈(1, +∞)，函数单调递减，所以g(t)在t＝1时，取得最大值，即，解得：m<0，故答案为：(−∞, 6)．【答案】①②③【考点】命题的真假判断与应用【解析】由三角形的中位线定理和线面垂直的判定定理可判断①，由线面角的定义可判断②，过F在平面OMF内作直线l // OM，结合平行公理可判断③，由三棱锥的体积公式可判断④．【解答】对于②，由BC⊥平面OFM，所以∠CMO＝∠CAB＝60∘，则AC与面OFM所成的角为定值60∘(1)对于③，如图所示，而OM // AB，l为平面OMF与平面ABF的交线，故选项③正确（2）对于④，在三棱锥F−COM中，由于CO为定值，而△OMF的面积不是定值，所以三棱锥F−COM的体积不是定值．故判断中正确的是①②③．故答案为：①②③．三、解答题【答案】（1）∵f(x)＝2√3sin x cos x+2cos2x−1∴f(x)=√3sin2x+cos2x＝2sin(2x+π6)，∵2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2，k∈Z．∴可解得：kπ+π6≤x≤kπ+2π3，k∈Z．∵x∈(0, π)，∴函数f(x)的单调递减区间是：[π6, 2π3]．（2）∵f(C)＝2sin(2C+π6)＝1，∴sin(2C+π6)=12，∴C=π3，∵由题意可得S△ABC=12ab sin C=√34ab=2√35a2，解得b=8a5，∴在△ABC中，由余弦定理可得：c2＝(8a5)2+a2−85a2=49252，解得c=7a5，∴bc =87．【考点】余弦定理正弦定理【解析】(Ⅰ)利用二倍角公式，辅角公式化简函数解析式可得f(x)＝2sin(2x+π6)，利用正弦函数的单调性即可求解f(x)的单调递减区间．(Ⅱ)由题意可得sin(2C+π6)=12，结合范围C∈(0, π)，可求C=π3，利用三角形的面积公式可求b=8a5，在△ABC中，由余弦定理可得c=7a5，即可得解bc的值．【解答】（1）∵f(x)＝2√3sin x cos x+2cos2x−1∴f(x)=√3sin2x+cos2x＝2sin(2x+π6)，∵2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2，k∈Z．∴可解得：kπ+π6≤x≤kπ+2π3，k∈Z．∵x∈(0, π)，∴函数f(x)的单调递减区间是：[π6, 2π3]．（2）∵f(C)＝2sin(2C+π6)＝1，∴sin(2C+π6)=12，又∵C∈(0, π)，∴C=π3，∵由题意可得S△ABC=12ab sin C=√34ab=2√35a2，解得b=8a5，∴在△ABC中，由余弦定理可得：c2＝(8a5)2+a2−85a2=49252，解得c=7a5，∴bc =87．【答案】证明：连接BD交AC于点O，连接OE，∵底面ABCD为菱形，∴O是BD中点，∵OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB // 面AEC．V P−ABCD＝2V P−ACD＝4V E−ACD＝，设菱形ABCD的边长为a，⋅PA＝×(2××a7＝，V P−ABCD＝S菱形ABCD得a2＝4，解得a＝5，连接AM．以点A为原点，以AM方向为x轴，以AP方向为z轴，建立如图所示坐标系．则D(0, 2, 8)，0，0)，6，1)，1，），C（，5，＝(0，−1，），，5，0)，设平面AEC的法向量＝(x，y，则，取x＝1，得，-，−5），平面ADE的法向量＝(1，2，设二面角D−AE−C的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴锐二面角D−AE−C的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面平行（1）连接BD交AC于点O，连接OE，推导出O是BD中点，PB // OE，由此能证明PB // 面AEC．（2）利用体积公式求出菱形的边长，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D−AE−C的余弦值．【解答】证明：连接BD交AC于点O，连接OE，∵底面ABCD为菱形，∴O是BD中点，在△PDB中，∵E为PD的中点，∵OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB // 面AEC．V P−ABCD＝2V P−ACD＝4V E−ACD＝，设菱形ABCD的边长为a，⋅PA＝×(2××a7＝，V P−ABCD＝S菱形ABCD得a2＝4，解得a＝5，连接AM．以点A为原点，以AM方向为x轴，以AP方向为z轴，建立如图所示坐标系．则D(0, 2, 8)，0，0)，6，1)，1，），C（，5，＝(0，−1，），，5，0)，设平面AEC的法向量＝(x，y，则，取x＝1，得，-，−5），平面ADE的法向量＝(1，2，设二面角D−AE−C的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴锐二面角D−AE−C的余弦值为．【答案】 （本题满分1（1）设数列{a n }的公差为d ，∵ a 1＝1，且a 2、a 4、a 6+2成等比数列， ∴ 依条件有a 42=a 2(a 6+2)，即(a 1+3d)2=(a 1+d)(a 1+5d +2)，解得d =−12（舍）或d ＝1，所以a n ＝a 1+(n −1)d ＝1+(n −1)＝n ． 由2S n +b n ＝1，得S n =12(1−b n )， 当n ＝1时，2S 1+b 1＝1，解得b 1=13，当n ≥2时，b n =S n −S n−1=12(1−b n )−12(1−b n−1)=−12b n +12b n−1， 所以b n =13b n−1，所以数列{b n }是首项为13，公比为13的等比数列， 故b n =13n ．（2）由（1）知，c n =a n b n =n3n ，所以T n =1×13+2×132+3×133+⋯+n ×13n ①13T n=1×132+2×133+3×134+⋯+n ×13n+1② 得T n =34−34×13n−n 2×13n=34−2n+34×13n．又S n =13(1−13n )1−13=12−12×3n ．所以T n −S n =14−2n+14×13n ，当n ＝1时，T 1＝S 1， 当n ≥2时，14−2n+14×13n >0，所以T n >S n ，故所求的正整数n 存在，其最小值是2． 【考点】等差数列的通项公式【解析】(Ⅰ)由已知得(a 1+3d)2=(a 1+d)(a 1+5d +2)，求出d ＝1，从而得到a n ＝n ．由2S n +b n ＝1，得S n =12(1−b n )，由此得到数列{b n }是首项为13，公比为13的等比数列，从而b n =13n．（2）c n =a n b n =n3n ，由此利用错位相减法求出T n −S n =14−2n+14×13n ，由此得到所求的正整数n 存在，其最小值是2． 【解答】 （本题满分1（1）设数列{a n }的公差为d ，∵ a 1＝1，且a 2、a 4、a 6+2成等比数列， ∴ 依条件有a 42=a 2(a 6+2)，即(a 1+3d)2=(a 1+d)(a 1+5d +2)，解得d =−12（舍）或d ＝1， 所以a n ＝a 1+(n −1)d ＝1+(n −1)＝n ． 由2S n +b n ＝1，得S n =12(1−b n )， 当n ＝1时，2S 1+b 1＝1，解得b 1=13，当n ≥2时，b n =S n −S n−1=12(1−b n )−12(1−b n−1)=−12b n +12b n−1， 所以b n =13b n−1，所以数列{b n }是首项为13，公比为13的等比数列， 故b n =13n ．（2）由（1）知，c n =a n b n =n3n ，所以T n =1×13+2×132+3×133+⋯+n ×13n ①13T n =1×132+2×133+3×134+⋯+n ×13n+1②得T n =34−34×13n −n 2×13n=34−2n+34×13n．又S n =13(1−13n )1−13=12−12×3n ．所以T n −S n =14−2n+14×13n ，当n ＝1时，T 1＝S 1， 当n ≥2时，14−2n+14×13n >0，所以T n >S n ，故所求的正整数n 存在，其最小值是2．设P(x, y)，y>0，又F(1, 5)，），因为以PF为直径的圆与y轴相切，所以，即，整理得C的方程为：y7＝4x(y>0)，由y3＝4x(y>0)，得，y′＝，设P（，y0)(y7>0)，则k1＝＝，k7＝＝，由k2+k2＝3，即+＝3①，令f(x)＝3x3−6x2−12x+7，由f′(x)＝9x2−12x−12＝6得，x＝-，因为当x∈(5, 2)时，当x∈(2, f′(x)>6，所以f(x)在(0, 2)上单调递减，+∞)上单调递增，又f(0)＝2>0，f(2)＝−16<0，f(x)的图象连续不断，所以f(x)在(3, +∞)内有且只有两个零点，所以方程①有且只有两个不同的正根，所以满足k1+k2＝6的点P的个数为2个．【考点】轨迹方程【解析】（1）设P(x, y)，则PF中点坐标为（，），由以PF为直径的圆与y轴相切得，化简即可得到曲线C的方程；（2）由y2＝4x(y>0)，得，y′＝，利用导数的几何意义得到k1＝，k2＝，由k1+k2＝3，得：①，令f(x)＝3x3−6x2−12x+8，利用导数得到函数f(x)在(0, +∞)内有且只有两个零点，所以方程①有且只有两个不同的正根，即满足k1+k2＝3的点P的个数为2个．【解答】设P(x, y)，y>0，又F(1, 5)，），因为以PF为直径的圆与y轴相切，所以，即，整理得C的方程为：y7＝4x(y>0)，由y3＝4x(y>0)，得，y′＝，设P（，y0)(y7>0)，则k1＝＝，k7＝＝，由k2+k2＝3，即+＝3①，令f(x)＝3x3−6x2−12x+7，由f′(x)＝9x2−12x−12＝6得，x＝-，因为当x∈(5, 2)时，当x∈(2, f′(x)>6，所以f(x)在(0, 2)上单调递减，+∞)上单调递增，又f(0)＝2>0，f(2)＝−16<0，f(x)的图象连续不断，所以f(x)在(3, +∞)内有且只有两个零点，所以方程①有且只有两个不同的正根，所以满足k1+k2＝6的点P的个数为2个．【答案】f′(x)＝2ae2x−(a+3)e x+1＝(2e x−3)(ae x−1)，①a＝2时，f′(x)＝(5e x−1)2≥2，∴f(x)在R上单调递增，②0<a<2时，令f′(x)>6得：或，∴或和，③a>2时，令f′(x)>0得：或，∴或和，综上可得：当a＝2时，f(x)在R上单调递增，0<a<2时，单调增区间为和，a>8时，单调增区间为和，f′(x)＝(2e x−1)(ae x−3)x>0，①当a≤0时，f′(x)<4，+∞)上单调递减，又x→+∞时f(x)→−∞0>0，使得f(x4)＝−e，②当a>0时，，若，即a≥1时，f(x)在(7,∴f(x)>f(0)＝−2>−e不满足题意，若，即0<a<1时是单减，在，∴，令(0<a<7)，，∴g(a)在(0, 1)上单增，且，∴时，，此时∃x5>0，使得f(x0)＝−e，时，，不满足题意，综上所述：．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】（1）首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调递增区间即可；（2）首先确定导函数的解析式，然后分类讨论a≤0和a>0两种情况即可确定实数a 的取值范围．【解答】f′(x)＝2ae2x−(a+3)e x+1＝(2e x−3)(ae x−1)，①a＝2时，f′(x)＝(5e x−1)2≥2，∴f(x)在R上单调递增，②0<a<2时，令f′(x)>6得：或，∴或和，③a>2时，令f′(x)>0得：或，∴或和，综上可得：当a＝2时，f(x)在R上单调递增，0<a<2时，单调增区间为和，a>8时，单调增区间为和，f′(x)＝(2e x−1)(ae x−3)x>0，①当a≤0时，f′(x)<4，+∞)上单调递减，又x→+∞时f(x)→−∞0>0，使得f(x4)＝−e，②当a>0时，，若，即a≥1时，f(x)在(7,∴f(x)>f(0)＝−2>−e不满足题意，若，即0<a<1时是单减，在，∴，令(0<a<7)，，∴g(a)在(0, 1)上单增，且，∴时，，此时∃x5>0，使得f(x0)＝−e，时，，不满足题意，综上所述：．。

浙江建人高复2015届第一学期第二次月考试卷理科数学一．选择题1.已知函数5()sin(2)6f x x π=-,则()f x 的单调递增区间是 （ ）A ．,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦2. 在首项为57,公差为5-的等差数列{}n a 中,最接近零的是第( ) 项.（ ）A ．14B ．12C ．13D ．113.在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定4. 若非零向量,a b 使得||||||||a b a b +=-成立的一个充分非必要条件是 （ ）A ．0a b +=B ．a b =C ．||||a ba b =D ．//a b 5设集合{}{}22|230,|210,0A x x x B x x ax a =+->=--≤>,若A B ⋂中恰有一个整数,则实数a 的取值范围是 （ ）A ．3(0,)4B ．34[,)43C ．3[,)4+∞D ．(1,)+∞6. 定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++(x y ∈R ，),(1)2f =,则(3)f -等于（ ）A ．2B ．3C ．6D ．97.已知全集U=R,设集合A={x|y=ln(2x-1)},集合B={y|y=sin(x-1)},则(∁U A)∩B 为（ ）A ．(12,+∞)B ．(0,12]C ．[-1,12]D ．φ8.函数22()xy x x R =-∈的图象为9.已知向量,a b 满足3,23a b ==,且()a ab ⊥+,则b 在a 方向上的投影为（ ）A ．3BC ．D ．-310.已知向量b a ,满足其夹角为 120,若对任意向量m ,总有( )（ ）A ．1B C D 二．填空题11.已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为_______. 12.若函数)34(log 2++=kx kx y a 的定义域是R, 则k 的取值范围是______13.设向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),其中0<α<β<π,若|2a+b|=|a-2b|,则β-α=___.14．函数21sin(),10(),0x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩，若(1)()2f f a +=，则实数a 的所有可能值为_______.15. 已知数列{a n }满足a 1=0,a 2=1,2132n n n a a a ++=-,则{a n }的前n 项和S n =_______________.16.△AB C 中,AB=AC=2,BC=点D 在BC 边上,∠ADC=45°,则AD 的长度等于___.17.对定义域为D 的函数，若存在距离为d 的两条平行直线l l ：y=kx+m l 和l 2：y=kx+m 2（m l <m 2），使得当x∈D 时，kx+m 1≤f（x ）≤kx+m 2恒成立，则称函数f （x ）在（x ∈D ）有一个宽度为d 的通道。

浙江省杭州市建人高复2019届高三数学上学期第一次月考试题本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 参考公式：如果事件B A ,互斥，那么 柱体的体积公式)()()(B P A P B A P +=+； V Sh =如果事件B A ,相互独立，那么 椎体的体积公式)()()(B P A P B A P ⋅=⋅； 13V Sh =如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 球的表面积公式n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 24S R π=kn k kn n P P C k P --=)1()((k = 0,1,…,n). 球的体积公式台体的体积公式 343V R π=1(+3V h S S =+下上选择题部分（共40分）一、 选择题 : 本大题共10小题, 每小题4分, 共40分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 设集合则},2,1,2{},2,1{},2,1,0,1,2{--==--=B A U ()U A C B =U （ ▲ ）A. {1}B. {1,2}C. {2}D. {0,1,2} 2. 复数)31(i i z -=的虚部是 （ ▲ ）A. －1B. 1C. iD. 33. 双曲线2213x y -=的离心率是 （ ▲ ）A.3C. 2D.34. 若变量x 、y 满足约束条件6321x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最大值为 （ ▲ ）A. 17B. 13C. 5D. 1 5. 下列函数为偶函数的是 （ ▲ ）A ．cos sin y x x =+B ．cos sin y x x =⋅C ．xxy e e -=- D ．xxy e e -=+6. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则670a a +>是93S S ≥的（ ▲ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7. 曲线y=2x e -+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为（ ▲ ）A ．13 B ．12 C ．23D ．1 8 . 已知向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝a •b ＝2，(a －c )•(b －2c )＝0，则|b －c |的最小值为（ ▲ ）A ．12B ．2C ．2D ．29. 等腰直角ABC V 斜边CB 上一点P 满足14CP CB ≤，将CAP V 沿着AP 翻折至C AP '∆，使二面角C AP B '--为60°，记直线,,C A C B C P '''与平面APB 所成角分别为,,αβγ，则（ ▲ ） A 、αβγ<<B 、αγβ<<C 、βαγ<<D 、γαβ<<10. 设f (x )是定义在(0,)+∞上的单调增函数，且对任意的正数x ，都有1(())f f x x +1()f x =， 则f (1) = （ ▲ ）(A)12 (B) 12(C) 12- (D) 12+ 非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于_▲_，表面积等于 _▲__（第11题图） 12. 随机变量ξ的分布列如下：其中a b c ，，成等差数列，若3E ξ=，则D ξ的值是 ▲ ． 13、若正数,a b 满足2483log 1log log ()a b a b +=+=+，则__,__a b ==▲▲. 14、在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，其中222a bc c b =-+且321+=b c ，则A ∠__,=▲B tan __.=▲ 15、已知1021001210(1)(1)(1)(1),x a a x a x a x +=+-+-++-则08__,__a a ==▲▲.16、设6,,1≤≤z y x ，且自然数x ，y ，z 的乘积能被10整除，则有序自然数组(,,)x y z 共有 ▲ 组.17、已知函数|ln |)(x x f =，⎩⎨⎧>--≤<=1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为__▲__个三、简答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤. 18．（本小题14分）已知函数22sin c ()2cos os x x x x f +=（x R ∈）． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期，并求()f x 的最小值．（Ⅱ）令π()18g x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若()2g x a <-对于[,]63x ππ∈-恒成立，求实数a 的取值范围.19. （本小题15分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1 (Ⅰ) 证明：BC DC ⊥1(Ⅱ) 求二面角11C BD A --的大小.20. （本小题15分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，11=a ，)2(212≥⎪⎭⎫⎝⎛-=n S a S n n n .⑴求{}n a 的通项； ⑵设12+=n S b nn ，数列{}n b 的前n 项和nT21. （本小题15分）设抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，A C ∈，已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点；（1）若090=∠BFD ，ABD ∆的面积为24；求p 的值及圆F 的方程；（2）若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到,m n 距离的比值.22. （本小题15分）已知函数121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+.(Ⅰ) 求)(x f 的解析式及单调区间； (Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值数学答案一、 选择题 : 本大题共10小题, 每小题4分, 共40分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. 59 13. 111616， 14. 132π， 15. 1024,180 16. 72 17. 4三、简答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.18、解（Ⅰ）()sin 2cos 21214f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， …..3分其最小正周期是22T ππ==， …..5分 又当2242x k πππ+=-+，即()38x k k Z ππ=-∈时，sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最小值1-，所以函数()x f 的最小值是1x 的集合为3|,8x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭． ….. 7分（Ⅱ）ππ()12()228842g x f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭….. 9分由[,]63x ππ∈-，得22[,]33x ππ∈-，则1cos 2[,1]2x ∈-， ….. 11分()2[2g x x ∴=∈-， ….. 12分若()2g x a <-对于[,]63x ππ∈-恒成立，则max 2()2a g x a ->=> ….. 15分 19、解(Ⅰ) 证明：设112AC BC AA a ===， 直三棱柱111C B A ABC -，1DC DC ∴=， 12CC a =，22211DC DC CC ∴+=，1DC DC ∴⊥. …..3分又1DC BD ⊥，1DC DC D =I ，1DC ∴⊥平面BDC . 又BC ⊂平面BDC ,1DC BC ∴⊥. …..7分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，1DC =，1BC =，又已知BD DC ⊥1，BD ∴=.在Rt ABD △中，,,90BD AD a DAB ==∠=，AB ∴=.222AC BC AB ∴+=，AC BC ∴⊥. …..9分法一：取11A B 的中点E ，则易证1C E ⊥平面1BDA ，连结DE ，则1C E ⊥BD ， 已知BD DC ⊥1，BD ∴⊥平面1DC E ，BD ∴⊥DE ，1C DE ∴∠是二面角11C BD A --平面角. …..11分在1Rt C DE △中，1111sin 2C EC DE C D∠===，130C DE ∴∠=.即二面角11C BD A --的大小为30. …..15分法二：以点C 为坐标原点，为x 轴，CB 为y 轴,1CC 为z 轴,建立空间直角坐标系C xyz -.则()()()()11,0,2,0,,0,,0,,0,0,2A a a B aD a a C a . …..9分()()1,,,,0,DB a a a DC a a =--=-，设平面1DBC 的法向量为()1111,,n x y z =，则11111100n DB ax ay az n DC ax az ⎧=-+-=⎪⎨=-+=⎪⎩,不妨令11x =,得112,1y z ==,故可取()11,2,1n =. 同理,可求得平面1DBA 的一个法向量()21,1,0n =. …..12分 设1n 与2n 的夹角为θ,则1212cos 6n n n n θ⋅===30θ∴=. 由图可知, 二面角的大小为锐角,故二面角11C BD A --的大小为30. ....15分1211(2)11()()()22n n n nn n n n n a S S n S a S S S S --=-≥∴=-=--Q 20、解（）由题意2111122n n n n n S S S S S --=--+ …..3分 化简得：1121n n n S S S --=+1112n n S S -∴=+ 即1{}n S 是公差为2 的等差数列，又11111S a ==， *1121,()21n n n S n N S n ∴=-=∈- …..6分 111,1,111,2,22123n n n n a n a S S n n n n -=⎧=⎧⎪∴==⎨⎨-≥-≥⎩⎪--⎩， …..9分 （2）1111()21(21)(21)22121n n S b n n n n n ===-+-+-+ …..11分 1211...(1)22121n n nT b b b n n ∴=+++=-=++ …..15分21、解: (Ⅰ)由对称性可知,BFD △为等腰直角三角形,斜边上的高为p ,斜边长2BD p =.点A 到准线l的距离d FB FD ===.由ABD S =△,11222BD d p ⨯⨯=⨯=....1分 2p ∴=. ....3分圆F 的方程为()2218x y +-=. ....6分(Ⅱ)由对称性,不妨设点(),A A A x y 在第一象限,由已知得线段AB 是圆F 的在直径,90o ADB ∠=,2AD p ∴=,32A y p ∴=,代入抛物线:C py x 22=得A x = .....7分直线m的斜率为AF k ==直线m的方程为02x -+=. ....9分 由py x 22= 得22x y p =,xy p'=.由3x y p '==得, x p =.故直线n 与抛物线C的切点坐标为,36p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭, ....11分直线n的方程为0x =. ....12分 所以坐标原点到m ，n312=. ....15分22、解: (Ⅰ) 1()(1)(0)x f x f ef x -''=-+, ....1分令1x =得,(0)1f =,再由121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+,令0x =得()1f e '=.所以)(x f 的解析式为21()2xf x e x x =-+. ....3分()1x f x e x '=-+,易知()1x f x e x '=-+是R 上的增函数,且(0)0f '=.所以()00,()00,f x x f x x ''>⇔><⇔<所以函数)(x f 的增区间为()0,+∞,减区间为(),0-∞. ....6分(Ⅱ) 若b ax x x f ++≥221)(恒成立, 即()()21()102xh x f x x ax b e a x b =---=-+-≥恒成立，()()1x h x e a '=-+Q ,(1)当10a +<时,()0h x '>恒成立, ()h x 为R 上的增函数,且当x →-∞时, ()h x →-∞,不合题意;(2)当10a +=时,()0h x >恒成立, 则0b ≤,(1)0a b +=; ....8分 (3)当10a +>时, ()()1x h x e a '=-+为增函数,由()0h x '=得()ln 1x a =+, 故()()()0ln 1,()0ln 1,f x x a f x x a ''>⇔>+<⇔<+当()ln 1x a =+时, ()h x 取最小值()()()()ln 111ln 1h a a a a b +=+-++-. ....10分 依题意有()()()()ln 111ln 10h a a a a b +=+-++-≥, 即()()11ln 1b a a a ≤+-++,10a +>Q ,()()()()22111ln 1a b a a a ∴+≤+-++, ....12分令()()22ln 0 u x x x x x =->,则()()22ln 12ln u x x x x x x x '=--=-,()00()0u x x u x x ''>⇔<<<⇔>所以当x =, ()u x 取最大值2eu=.故当12a b +==时, ()1a b +取最大值2e . 综上, 若b ax x xf ++≥221)(，则 b a )1(+的最大值为2e . ....15分。

建人高复2021学年第一学期月考〔十月〕考试数学〔文科〕试题卷本卷须知：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答。

答题前，请在答题卷的密封线内填写试场号、班级、考号和姓名。

2．本试题卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部。

总分值150分，考试时间120分钟。

参考公式：球的外表积公式 棱柱的体积公式 24S R π= V Sh =球的体积公式 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高334R V π=棱台的体积公式 其中R 表示球的半径 )(312211S S S S h V ++=棱锥的体积公式 其中S 1、S 2分别表示棱台的上、下底面积，13V Sh = h 表示棱台的高其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+第一卷 选择题〔共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．设集合 M ={x|260x x +-<}，N ={x|1≤x ≤3},那么M ∩N = ( ) A ． [1,2] B ． [1,2) C ．( 2,3] D ．[2,3] 2．设,,x y R ∈那么“2x ≥且2y ≥〞是“224x y +≥〞的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件3．设,a b 是向量，命题“假设a b =-，那么a b =〞的逆否命题是〔 〕 A ．假设a b ≠-那么a b ≠ B ．假设a b =-那么a b ≠ C ．假设a b ≠那么a b ≠- D ．假设a b =那么a b =-4．假设– 1≤ logx ≤ 2, 那么有 ( )A ．– 1≤ x ≤ 2B ．2 ≤ x ≤ 4C ．41≤ x ≤ 2 D ． 41 ≤ x ≤ 21 5．函数2()log 3+1xf x =（）的值域为 ( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞) 6．函数2()f x ax x c =--，且()0f x >的解集为〔－2，1〕那么函数()y f x =-的图象为〔 〕y x xx x e e e e--+=-7.函数的图象大致为〔 〕8．假设函数f(x)为偶函数,且在(0,＋)∞内是增函数,又 f (－2021)=0，那么不等式0)(<⋅x f x 的集合是〔 〕A ．|20132013x x x 或B ．|201302013x x x 或C ．|201302013x xx 或 D ．|2013002013x x x 或 9．函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，的图象和函数2()log g xx =的图象的交点个数是〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．410．定义在实数集R 上的函数f (x )满足：〔1〕f (-x )= f (x )；〔2〕f (4+x )= f (x )；假设当 x ∈[0，2]时，f (x )=-2x +1，那么当x ∈[-6，-4]时，f (x )等于 〔 〕 A ．2(6)1x B ．1)2(2+--x C ．1)2(2++-x D ．2(4)1x第二卷 非选择题局部〔共100分〕二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分．11．命题“存在实数x ，使1x >〞的否认是 ． 12．函数y =______________． 13．{15},{4}A x x x B x a x a =<->=≤<+或,假设B B A =⋂,那么实数a 的取值范围是 ．14．()()2(4),0,()(1)(2R f x f )0,3,log x x f x f x f x x -⎧=⎨--->⎩≤定义在上的函数满足则=_______．15．假设函数()()(2)f x x a bx a =++〔常数a b ∈R ，〕是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，那么该函数的解析式()f x = ． 16．函数()f x =的单调增区间为 ．17．函数⎩⎨⎧≥<+-=1log 15)13()(x xx ax a x f a ，现给出以下命题：① 当图象是一条连续不断的曲线时，那么a =81; ② 当图象是一条连续不断的曲线时，能找到一个非零实数a ，使得f (x)在R 上是增函数；③ 当a ∈{m|81< m <31, m ∈R}时，不等式f (1 + a )f(1 – a ) <0恒成立； ④ 函数y = f ( | x + 1| ) 是偶函数 . 其中正确的命题是 ．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．〔本小题总分值14分〕记函数)32(log )(2-=x x f 的定义域为集合M ，函数)1)(3()(--=x x x g 的定义域为集合N ．求：〔1〕集合M ，N ；〔2〕集合N M ，N M ． 19．〔本小题总分值14分〕命题p ：关于x 的不等式2240xax 对一切x R 恒成立；命题q ：()(32)xf x a是增函数，假设p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围。