广东省普宁二中2015-2016学年高二下学期期中考试数学文试卷

2016-2017学年度高二级下学期第一次月考文科数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卷上。

2.用2B铅笔将选择题答案在答题卷对应位置涂黑；答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；不准使用铅笔或涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卷的整洁。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x∈N|x2+2x﹣3≤0}，B={C|C⊆A}，则集合B中元素的个数为（）A．2 B．3 C．5 D．42．已知i为虚数单位，复数z满足iz=3+4i，则|z|=（）A．25 B．7 C．5 D．13．命题p：“非零向量，，若•＜0，则，的夹角为钝角”，命题q：“对函数f（x），若f′（x0）=0，则x=x0为函数的极值点”，则下列命题中真命题是（）A．p∧q B．p∨q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）4．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+5a1，a7=2，则a5=（）A．B．﹣ C．2 D．﹣25．已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（）A．4 B．﹣4 C．D．﹣6．《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布．A．B．C．D．7．若一个α角的终边上有一点P（﹣4，a）且sinα•cosα=，则a的值为（）A．4 B．±4C．﹣4或﹣D．8．已知f（x）=x2+sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（）A．B．C．D．9．已知函数：y=a n x2（a n≠0，n∈N*）的图象在x=1处的切线斜率为2a n﹣1+1（n≥2，n∈N*），且当n=1时其图象过点（2，8），则a7的值为（）A．B．7 C．5 D．610．函数f（x）=x3﹣3x﹣1，若对于区间[﹣3，2]上的任意x1，x2都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，则实数t的最小值是（）A．20 B．18 C．3 D．011．已知f（x）=则f（﹣2016）的值为（）A．810 B．809 C．808 D．80612．f（x），g（x）（g（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），且f（﹣3）=0，＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3） C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．若tan（α+）=2，则sin2α的值为．14．定义行列式运算： =a1a4﹣a2a3．若将函数f（x）=的图象向左平移m（m ＞0）个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则m的最小值是．15．设f（x）是定义在R上的奇函数，对任意x∈R有f（+x）=﹣f（﹣x），若f（1）=2，则f（2）+f（3）= ．16．已知函数f（x）=|x﹣2|+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不等实数根，则实数k 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知a，b为常数，且a≠0，f（x）=ax2+bx，f（2）=0．（1）若函数y=f（x）﹣x有唯一零点，求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值；（3）当x≥2时，不等式f（x）≥2﹣a恒成立，求实数a的取值范围．18．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x．（1）求f（）的值；（2）若函数f（x）在区间[﹣m，m]上是单调递增函数，求实数m的最大值．19．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN 上，且对角线MN过C点，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a（tanB﹣1）=．（1）求角C的大小；（2）若三角形的周长为20，面积为10，且a＞b，求三角形三边长．21．已知函数f（x）=xlnx+ax2﹣（2a+l）x+1，其中a＞0．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）对于任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥a3﹣a﹣，求实数a的取值范围．22．设函数f（x）=e x﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．数学参考答案1．D．2．C．3．D．4．A．5．B．6．D．7．C．8．A9．C．10．B．12．C．13．．14．．15．﹣2．16．．17．解：∵f（2）=0，∴2a+b=0，∴f（x）=a（x2﹣2x）（1）函数y=f（x）﹣x有唯一零点，即方程ax2﹣（2a+1）x=0有唯一解，∴（2a+1）2=0，解得a=﹣∴f（x）=﹣x2+x …（2）∵f（x）=a（x2﹣2x）=a[（x﹣1）2﹣1]，x∈[﹣1，2]…若a＞0，则f（x）ma x=f（﹣1）=3a …若a＜0，则f（x）max=f（1）=﹣a …（3）当x≥2时，不等式f（x）≥2﹣a成立，即：a≥在区间[2，+∞），设g（x）=，∵函数g（x）在区间[2，+∞）为减函数，g（x）max=g（2）=2当且仅当a≥g（x）max时，不等式f（x）≥2﹣a2在区间[2，+∞）上恒成立，因此a≥2 …18．解：（1）∵f（x）=sin2x+cos2x+1=2（sin2x+cos2x）+1=2sin（2x+）+1，∴f （）=2sin （+）+1=2sin +1=，（2）由2k π﹣≤2x+≤2k π+，k ∈Z ，得k ≤x ≤k π+，k ∈Z ，∴f （x ）在区间[k ，k π+]，k ∈Z 上是增函数，∴当k=0时，f （x ）在区间[﹣，]上是增函数，若函数f （x ）在区间[﹣m ，m]上是单调递增函数，则[﹣m ，m]⊆[﹣，]，∴，解得0＜m ≤，∴m 的最大值是．19．解：（Ⅰ）设DN 的长为x （x ＞0）米，则AN=（x+2）米∵DN ：AN=DC ：AM ，∴AM=，…∴S AMPN =AN •AM=．由S AMPN ＞32，得＞32，又x ＞0，得3x 2﹣20x+12＞0，解得：0＜x ＜1或x ＞4，即DN 长的取值范围是（0，1）∪（4，+∞）． …（Ⅱ）矩形花坛AMPN 的面积为y==3x++12≥2+12=24…当且仅当3x=，即x=2时，矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24．故DN 的长为2米时，矩形A MPN 的面积最小，最小值为24平方米．…20．解：（1）∵a （tanB ﹣1）=，∴可得：sinA （tanB ﹣1）=，∴tanA （tanB ﹣1）=tanB+tanC ，∴tanA+tanB+tanC=tanAtanB ，∴tanC=，∴C=60°．（2）由面积公式：S=absinC=10，解得ab=40，由余弦定理可得：a2+b2﹣c2=ab=40，而a+b+c=20，可得c=20﹣a﹣b，代入上式，化简整理可得a+b=13，所以a，b是方程x2﹣13x+40=0的两根，所以a=8，b=5，c=7．21．解：（1）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）=lnx+1+2ax﹣2a﹣1=lnx+2a（x﹣1），∵a＞0，∴当0＜x＜1时，lnx＜0，2a（x﹣1）＜0，此时f′（x）＜0，函数f（x）在（0，1）上单调递减，当x＞1时，lnx＞0，2a（x﹣1）＞0，此时f′（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），递减区间是（0，1）；（2）①当0＜a＜1时，由（1）知，f（x）在[a，1）上单调递减，f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴对任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥f（1）=﹣a，∵对于任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥a3﹣a﹣，∴﹣a≥a3﹣a﹣，即a3≤，得a≤，∴当0＜a≤时，对于任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥a3﹣a﹣，②求当a≥1时，[a，+∞）⊆[1，+∞），由（1）得f（x）在[a，+∞）上单调递增，∴对于任意的x∈[a，+∞），有f（x）≥f（a）=alna+a3﹣2a2﹣a+1，∵对于任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥a3﹣a﹣，∴alna+a3﹣2a2﹣a+1≥a3﹣a﹣，即alna﹣2a2+≥0设g（a）=alna﹣2a2+，a≥1，则g′（a）=lna﹣4a+1，设h（a）=lna﹣4a+1，a≥1，则h′（a）=﹣4＜0，∴h（a）在[1，+∞）上单调递减，则当a≥1时，g′（a）=h（a）≤h（1）=﹣3＜0，则g（a）在[1，+∞）上单调递减，∴当a≥1时，g（a）≤g（1）=﹣＜0，此时不等式alna﹣2a2+≥0不成立，综上①②，所求a的取值范围是（0，]．22．解：（I）函数f（x）=e x﹣ax﹣2的定义域是R，f′（x）=e x﹣a，若a≤0，则f′（x）=e x﹣a≥0，所以函数f（x）=e x﹣ax﹣2在（﹣∞，+∞）上单调递增．若a＞0，则当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）=e x﹣a＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）=e x﹣a＞0；所以，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）上单调递增．（II）由于a=1，所以，（x﹣k） f´（x）+x+1=（x﹣k）（e x﹣1）+x+1故当x＞0时，（x﹣k） f´（x）+x+1＞0等价于k＜（x＞0）①令g（x）=，则g′（x）=由（I）知，当a=1时，函数h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上单调递增，而h（1）＜0，h（2）＞0，所以h（x）=e x﹣x﹣2在（0，+∞）上存在唯一的零点，故g′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点，设此零点为α，则有α∈（1，2）当x∈（0，α）时，g′（x）＜0；当x∈（α，+∞）时，g′（x）＞0；所以g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（α）．又由g′（α）=0，可得eα=α+2所以g（α）=α+1∈（2，3）由于①式等价于k＜g（α），故整数k的最大值为2．。

2015-2016学年广东省揭阳市普宁二中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|y=ln（x﹣1）}，集合B={x|x2﹣3x＞0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，3）B．（1，3]C．[0，+∞）D．[3，+∞）2．已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）A．﹣2 B．1 C．D．23．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落人区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A．15 B．10 C．9 D．74．已知是非零向量且满足（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则与的夹角是（）A．30°B．60°C．90°D．120°5．执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，4，则输出的M=（）A．B．C．D．6．若实数x，y满足不等式组：，则该约束条件所围成的平面区域的面积是（）A．B．2 C．2D．37．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲、乙必须相邻且不能排在第一位，节目丙必须排在首尾，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．60种B．72种C．84种D．120种8．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长为（）A．B．2C．4 D．49．已知x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，） B．（，） C．（，π）D．（，π）10．如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y=x2图象下方的点构成的区域．在D内随机取一点，则该点在E中的概率为（）A．B．C．D．11．对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如：[﹣2.5]=﹣3，[1.5]=1，[5]=5，那么[log21]+[log22]+[log23]+…+[log21023]+[log21024]=（）A．8204 B．4102 C．2048 D．102412．设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使得|f（x）|≤M|x|对一切的实数x 都成立，则称f（x）为“倍约束函数”．现给出下列函数：①f（x）=2x，②f（x）=x2+1，③f（x）=sinx+cosx，④f（x）=，⑤f（x）是定义在实数集上的奇函数，且对一切的x1，x2均有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|．其中是“倍约束函数”的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分．13．在（3x2﹣）5的二项展开式中，常数项等于．14．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积V=．15．已知α是第三象限的角，cos2α=﹣，则tan（2α﹣）=．16．已知F 1、F 2分别是椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段PF 1的中点在y 轴上，若2∠PF 1F 2=∠F 1PF 2，那么椭圆的离心率为 ．三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知．（1）求f （x ）的周期及其图象的对称中心；（2）△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，满足（2a ﹣c ）cosB=bcosC ，求f （B ）的值．18．已知函数f （x ）=（x 2﹣x +1）•e x +2，x ∈R （1）求曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程；（2）若函数g （x ）=f （x ）﹣k 有且只有一个零点，求实数k 的取值范围．19．已知数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且，a n ，S n 成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n }满足b n =（log 2a 3n +1）×（log 2a 3n +4），求证：+++…+＜．20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点．（1）求PB 和平面PAD 所成的角的大小； （2）证明：AE ⊥平面PCD ；（3）求二面角A ﹣PD ﹣C 得到正弦值．21．设F 1、F 2分别为椭圆Γ：=1（a ＞b ＞0）的左、右两个焦点，若椭圆上一点M（1，）到两个焦点的距离之和等于4．又已知点A 是椭圆的右顶点，直线l 交椭圆Γ于E 、F 两点（E 、F 与A 点不重合），且满足AE ⊥AF ． （Ⅰ） 求椭圆的标准方程；（Ⅱ） O 为坐标原点，若点P 满足2=+，求直线AP 的斜率的取值范围．22．已知函数．（I ）当a=1时，求f （x ）在x ∈[1，+∞）最小值； （Ⅱ）若f （x ）存在单调递减区间，求a 的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．2015-2016学年广东省揭阳市普宁二中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|y=ln（x﹣1）}，集合B={x|x2﹣3x＞0}，则A∩（∁R B）=（）A．（1，3）B．（1，3]C．[0，+∞）D．[3，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A中函数的定义域，确定出集合A，求出集合B中不等式的解集，确定出集合B，找出R中不属于B的部分，求出B的补集，找出A与B补集的公共部分即可．【解答】解：由集合A中的函数y=ln（x﹣1），得到x﹣1＞0，即x＞1，∴A=（1，+∞）由集合B中的不等式x2﹣3x＞0，解得：x＜0或x＞3，∴B=（﹣∞，0）∪（3，+∞），∴C R B=[0，3]，则A∩（C R B）=（1，3]．故选B2．已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）A．﹣2 B．1 C．D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，然后由是纯虚数，列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：==，又是纯虚数，则，解得a=﹣2．故选：A．3．采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落人区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A．15 B．10 C．9 D．7【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的方法和步骤，我们可将960人分为32组，每组30个人，则由此可计算出做问卷AB的组数和做问卷C的组数，即相应的人数．【解答】解：用系统抽样方法从960人中抽取32人可将960人分为32组，每组30个人由于分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，故编号为[1，750]中共有750÷30=25组即做问卷C的有32﹣25=7组故做问卷C的人数为7人故选D4．已知是非零向量且满足（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则与的夹角是（）A．30°B．60°C．90°D．120°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量垂直的关系转化为向量数量积为0，结合向量数量积的应用进行求解即可．【解答】解：∵（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，∴（﹣2）•=0，（﹣2）•=0，即2﹣2•=0，2﹣2•=0，即2=2•，2=2•，则||=|=，则cos＜，＞==，即＜，＞=60°，故选：B5．执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，4，则输出的M=（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】根据题意，模拟执行程序框图，即可得出程序运行后输出的M值．【解答】解：执行程序框图，可得a=1，b=2，k=4，n=1；满足n≤k，M=1+=，a=2，b=，n=2；满足n≤k，M=2+=，a=，b=，n=3；满足n ≤k ，M=+=，a=，b=，n=4；满足n ≤k ，M=+=，a=，b=，n=5；不满足n ≤k ，退出循环，输出M=．故选：C ．6．若实数x ，y 满足不等式组：，则该约束条件所围成的平面区域的面积是（ ）A ．B ．2C ．2D ．3 【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据平面区域即可求出面积． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 则对应的平面区域为△ABC ． 其中A （2，3），C （1，0），B （0，1），则△ABC 的面积S=S 梯形OBAD ﹣S △OBC ﹣S △ACD =﹣=4﹣=2，故选：B ．7．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲、乙必须相邻且不能排在第一位，节目丙必须排在首尾，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） A ．60种 B ．72种 C ．84种 D ．120种 【考点】计数原理的应用． 【分析】第一类，丙排在首位，把甲乙捆绑在一起和其3个节目全排，第二类，丙排在末位，先从除甲、乙、丙之外的3人选一个排在首位，把甲乙捆绑在一起和其2个节目全排，根据分类计数原理得到结果．【解答】解：第一类，丙排在首位，把甲乙捆绑在一起和其3个节目全排，故有A 22A 44=48种，第二类，丙排在末位，先从除甲、乙、丙之外的3人选一个排在首位，把甲乙捆绑在一起和其2个节目全排，故有A31A22A33=36种，∴故编排方案共有48+36=84种，故选C．8．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4，则双曲线C的实轴长为（）A．B．2C．4 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|AB|=4，进行求解即可求得结论．【解答】解：设等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=λ．（λ＞0），①∵抛物线y2=16x，2p=16，p=8，∴=4．∴抛物线的准线方程为x=﹣4．设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣4的两个交点A（﹣4，y），B（﹣4，﹣y）（y＞0），则|AB|=|y﹣（﹣y）|=2y=4，∴y=2．将x=﹣4，y=2代入①，得（﹣4）2﹣（2）2=λ，∴λ=8∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=8，即∴a=，C的实轴长为2a=4．故选：D9．已知x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，） B．（，） C．（，π）D．（，π）【考点】正弦函数的图象．【分析】由sin（+φ）=1，求得φ的值，可得f（x）=sin（2x﹣），再利用正弦函数的单调性求得f（x）的一个单调递减区间．【解答】解：∵x0=是函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的一个极大值点，∴sin（+φ）=1，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣），令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，再令k=0，可得f（x）的一个单调递减区间为（，），故选：A．10．如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y=x2图象下方的点构成的区域．在D内随机取一点，则该点在E中的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】欲求图象恒在x轴上方的概率，则可建立关于a，b的直角坐标系，画出关于a和b的平面区域，再根据几何概型概率公式结合定积分求面积的方法易求解．【解答】解：本题是几何概型问题，区域E的面积为：S1=，∴“该点在E中的概率”事件对应的区域面积为，则质点落在区域M内的概率是=．故选C．11．对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如：[﹣2.5]=﹣3，[1.5]=1，[5]=5，那么[log21]+[log22]+[log23]+…+[log21023]+[log21024]=（）A．8204 B．4102 C．2048 D．1024【考点】函数的值．【分析】易知当2n≤x＜2n+1时，[log2x]=n，从而可得[log22n]=[log2（2n+1）]=…=[log2（2n+1﹣1]=n，即有2n个n，从而求和．【解答】解：由题意知，当2n≤x＜2n+1时，[log2x]=n，即[log22n]=[log2（2n+1）]=…=[log2（2n+1﹣1]=n，故有2n个n，故[log21]+[log22]+[log23]+…+[log21023]+[log21024]=0+2×1+4×2+8×3+16×4+32×5+64×6+128×7×256×8+512×9+10=8204，故选：A．12．设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使得|f（x）|≤M|x|对一切的实数x 都成立，则称f（x）为“倍约束函数”．现给出下列函数：①f（x）=2x，②f（x）=x2+1，③f（x）=sinx+cosx，④f（x）=，⑤f（x）是定义在实数集上的奇函数，且对一切的x1，x2均有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|．其中是“倍约束函数”的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】函数与方程的综合运用；函数的定义域及其求法；函数的值域．【分析】本题考查阅读题意的能力，根据“倍约束函数”，的定义进行判定：对①f（x）=2x，易知存在K=2符合题意；②由基本不等式，易得≥2恒成立；③令x=0时即可得出结论对；④中求出的值域，可得结论；⑤通过取x2=0，如此可得到正确结论．【解答】解：∵对任意x∈R，存在正数M，都有|f（x）|≤M|x|成立∴对任意x∈R，存在正数K，都有M≥成立∴对于①f（x）=2x，易知存在M=2符合题意；对于②，==|x|+≥2，故不存在满足条件的M值，故②错误；对于③，f（x）=sinx+cosx，由于x=0时，|f（x）|≤M|x|不成立，故③错误；对于④，=≤恒成立，故④正确；对于⑤，当x1=x，x2=0时，由|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|得到|f（x）|≤2|x|成立，这样的M存在，故⑤正确；故是“倍约束函数”的函数有3个故选C．二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分．13．在（3x2﹣）5的二项展开式中，常数项等于240．【考点】二项式系数的性质．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，再求常数项即可．【解答】解：（3x2﹣）5二项展开式的通项公式为：=•（3x2）5﹣r•=•35﹣r•（﹣2）r•，T r+1令10﹣r=0，解得r=4，故展开式中的常数项为：•35﹣4•（﹣2）4=240．故答案为：240．14．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积V=16．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体为四棱锥，画出其直观图，根据三视图的数据求底面面积与高，代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体为四棱锥，其直观图如图：四棱锥的高为4，底面为直角梯形的面积S=（2+4）×4=12，∴几何体的体积V=×12×4=16．故答案为：16．15．已知α是第三象限的角，cos2α=﹣，则tan（2α﹣）=﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正切函数．【分析】由α为第三象限的角，判断出2α可能的范围，再结合又cos2α=﹣＜0确定出2α在第二象限，利用同角三角函数关系求出其正弦，再由两角和的正切公式展开代入求值．【解答】解：∵α为第三象限的角，∴2α∈（2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），又cos2α=﹣＜0，所以2α∈（+2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），∴sin2α=﹣=﹣，tan2α==，∴tan（2α﹣）===﹣．故答案为：﹣．16．已知F1、F2分别是椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若2∠PF1F2=∠F1PF2，那么椭圆的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，结合三角形中位线定理可知PF2⊥x轴，又2∠PF1F2=∠F1PF2，则∠PF1F2=30°，再求解直角三角形可得椭圆的离心率．【解答】解：如图，设线段PF1的中点为M，则OM∥PF2，∴PF2⊥x轴，又2∠PF1F2=∠F1PF2，则∠PF1F2=30°，∴sin30°=，得．故答案为：．三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知．（1）求f（x）的周期及其图象的对称中心；（2）△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f （B）的值．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦定理．【分析】（1）利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简函数f（x）的解析式为sin（+）+1，由此可得f（x）的周期及其图象的对称中心．（2）△ABC中，由（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简可得得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，故有cosB=，由此求得B 的值．【解答】解：（1）∵已知=sin+cos+1=sin（+）+1，故f（x）的周期为=4π．由sin（+）=0 求得+=kπ，k∈z，即x=2kπ﹣，故函数的图象的对称中心为（2kπ﹣，0）．（2）△ABC中，∵（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理可得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，化简可得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，∴cosB=，∴B=．∴f（B）=sin（+）+1=+1．18．已知函数f（x）=（x2﹣x+1）•e x+2，x∈R（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数g（x）=f（x）﹣k有且只有一个零点，求实数k的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．【分析】（1）求出函数的导数，可得切线的斜率和切点坐标，运用点斜式方程可得切线的方程；（2）求出g（x）的解析式，求得导数，单调区间，可得极值，由题意可得两极值同号，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）函数f（x）=（x2﹣x+1）•e x+2的导数为f′（x）=（2x﹣1）e x+（x2﹣x+1）•e x=（x2+x）•e x，即有在点（1，f（1））处的切线的斜率为2e，切点为（1，e+2），可得切线的方程为y﹣（e+2）=2e（x﹣1），即为2ex﹣y﹣e+2=0；（2）函数g（x）=f（x）﹣k=（x2﹣x+1）•e x+2﹣k，导数g′（x）=（x2+x）•e x，由g′（x）=0，可得x=﹣1或x=0，当x∈（﹣∞，﹣1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．即有g （x ）在x=﹣1处取得极大值g （﹣1）=+2﹣k ， x=0处取得极小值g （0）=3﹣k ，由函数g （x ）=f （x ）﹣k 有且只有一个零点，可得g （﹣1）g （0）＞0，即（+2﹣k ）（3﹣k ）＞0， 解得k ＜3或k ＞2+，即有实数k 的取值范围为（﹣∞，3）∪（2+，+∞）．19．已知数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且，a n ，S n 成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n }满足b n =（log 2a 3n +1）×（log 2a 3n +4），求证： +++…+＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由，a n ，S n 成等差数列，可得2a n =，当n=1时，2a 1=，解得a 1．当n ≥2时，2a n ﹣2a n ﹣1=a n ，化为：a n =2a ．利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n =•log 2（3n +2）=（3n ﹣1）（3n ﹣2），可得==．利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可证明．【解答】（1）解：∵，a n ，S n 成等差数列，∴2a n =，当n=1时，2a 1=，解得a 1=．当n ≥2时，2a n ﹣2a n ﹣1=﹣=a n ，化为：a n =2a ．∴数列{a n }是等比数列，首项为，公比为2．∴a n ==2n ﹣2．（2）证明：b n =（log 2a 3n +1）×（log 2a 3n +4）=•log 2（3n +2）=（3n ﹣1）（3n﹣2），∴==．∴+++…+=+…+=＜．20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC=60°，PA=AB=BC ，E 是PC 的中点．（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；（2）证明：AE⊥平面PCD；（3）求二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（1）由线面垂直得PA⊥PB，又AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，进而∠APB是PB 与平面PAD所成的角，由此能求出PB和平面PAD所成的角的大小．（2）由线面垂直得CD⊥PA，由条件CD⊥PC，得CD⊥面PAC，由等腰三角形得AE⊥PC，由此能证明AE⊥平面PCD．（3）过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，由此得∠AME 是二面角A﹣PD﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．【解答】（1）解：在四棱锥P﹣ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∴∠APB是PB与平面PAD所成的角，在Rt△PAB中，AB=PA，∴∠APB=45°，∴PB和平面PAD所成的角的大小为45°．（2）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA，由条件AC⊥CD，PA⊥底面ABCD，利用三垂线定理得CD⊥PC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，又AE⊂面PAC，∴AE⊥CD，由PA=AB=BC，∠ABC=60°，得AC=PA，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，又PC∩CD=C，综上，AE⊥平面PCD．（3）解：过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，∴∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角，由已知得∠CAD=30°，设AC=a，得PA=a，AD=，PD=，AE=，在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM•PD=PA•AD，∴AM==，在Rt△AEM中，sin∠AME=．∴二面角A﹣PD﹣C得到正弦值为．21．设F1、F2分别为椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，若椭圆上一点M（1，）到两个焦点的距离之和等于4．又已知点A是椭圆的右顶点，直线l交椭圆Γ于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）O为坐标原点，若点P满足2=+，求直线AP的斜率的取值范围．【考点】椭圆的简单性质；直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2，c=1，由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程，运用韦达定理，可得E的坐标，由两直线垂直可得F的坐标，再由直线的斜率公式，结合基本不等式即可得到斜率的最值，进而得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意，可得2a=4，即a=2，又点在椭圆上，将点M（1，）代入椭圆方程可知，解得：b2=3，∴椭圆Γ的标准方程为；…（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（2，0），设直线AE的方程为y=k（x﹣2），，整理得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，由韦达定理可知：2+x E=，可得x E=，y E=k（x E﹣2）=，由于AE⊥AF，只要将上式的k换为﹣，可得x F=，y F=，由2=+，可得P为EF的中点，即有P（，），则直线AP的斜率为t==，当k=0时，t=0；当k≠0时，t=，再令s=，可得t=，当s=0时，t=0；当s＞0时，t=≤=，当且仅当4s=时，取得最大值；当s＜0时，t=≥﹣，综上可得：直线AP的斜率的取值范围是[﹣，]．22．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．【考点】数学归纳法；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得，若f（x）存在单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通过对a分a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，⇒，再构造函数，令，有，从而，问题可解决；（法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒，成立；设当n=k时，，再去证明n=k+1时，即可（需用好归纳假设）．【解答】解：（I），定义域为（0，+∞）．∵，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．当x≥1时，f（x）≥f（1）=1；（Ⅱ）∵，∵若f（x）存在单调递减区间，∴f′（x）＜0有正数解．即ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．①当a=0时，明显成立．②当a＜0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a﹣1）x+a＜0总有x＞0的解；③当a＞0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a开口向上的抛物线，即方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有正根．因为x1x2=1＞0，所以方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有两正根．，解得．综合①②③知：．（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，∴．∵，∴．（法二）当n=1时，ln（n+1）=ln2．∵3ln2=ln8＞1，∴，即n=1时命题成立．设当n=k时，命题成立，即．∴n=k+1时，．根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，则有，即n=k+1时命题也成立．因此，由数学归纳法可知不等式成立．2017年1月4日。

2)y5(0,0)）A ． ( x 2) 2 y 25 B ． x 2 ( y 2)25 C ． ( x 2)2 ( y 2)25D ． x 2( y 2)2 57. 一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A ．3B ．4C ．3 3D ．68. 若偶函数f ( x) 在 0,上单调递增，则满足 f (2 x1) f ( 1) 的 x 的取值范围是 （）3A ． (1,2)B ． 1,2C ．(1,2)D ． 1,23 33 3232 39. 若 yx 2 3x 4 的定义域为 0,m ，值域为25 , 4 ，则 m 的取值范围是（）4A ．0,4B ． 3, 4C ．3,3D ．3,22210. 一个光线从点 ( 2, 3) 射出，经 y 轴反射与圆 ( x 3)2 ( y 2)2 1相切，则反射光线所在的直线的斜率为（）A ． 5 或3 B ． 3或- 3 C ．5 或 4D ． 4 或335 22 4 53411. 已知三棱柱 ABC A 1 B 1C 1 的侧棱与底面边长都相等， A 1 在底面 ABC 内的射影为ABC 的中心，则 AB 1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于（）A ．1B ．2C ．3 D ．2333312. 函数 f ( x)x2x a ，若 f ( 1 ) 和 f (1) 都不是 f ( x) 的最小值，则 a 的取值范围是22（ ）A ．,1B ．1 , 1 C ．( 1,1) D ． 1,22 22 22二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 把答案填在答题卡内.)2)y5(0,0)）A ． ( x 2) 2 y 25 B ． x 2 ( y 2)25 C ． ( x 2)2 ( y 2)25D ． x 2( y 2)2 57. 一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A ．3B ．4C ．3 3D ．68. 若偶函数f ( x) 在 0,上单调递增，则满足 f (2 x1) f ( 1) 的 x 的取值范围是 （）3A ． (1,2)B ． 1,2C ．(1,2)D ． 1,23 33 3232 39. 若 yx 2 3x 4 的定义域为 0,m ，值域为25 , 4 ，则 m 的取值范围是（）4A ．0,4B ． 3, 4C ．3,3D ．3,22210. 一个光线从点 ( 2, 3) 射出，经 y 轴反射与圆 ( x 3)2 ( y 2)2 1相切，则反射光线所在的直线的斜率为（）A ． 5 或3 B ． 3或- 3 C ．5 或 4D ． 4 或335 22 4 53411. 已知三棱柱 ABC A 1 B 1C 1 的侧棱与底面边长都相等， A 1 在底面 ABC 内的射影为ABC 的中心，则 AB 1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于（）A ．1B ．2C ．3 D ．2333312. 函数 f ( x)x2x a ，若 f ( 1 ) 和 f (1) 都不是 f ( x) 的最小值，则 a 的取值范围是22（ ）A ．,1B ．1 , 1 C ．( 1,1) D ． 1,22 22 22二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 把答案填在答题卡内.)2)y5(0,0)）A ． ( x 2) 2 y 25 B ． x 2 ( y 2)25 C ． ( x 2)2 ( y 2)25D ． x 2( y 2)2 57. 一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A ．3B ．4C ．3 3D ．68. 若偶函数f ( x) 在 0,上单调递增，则满足 f (2 x1) f ( 1) 的 x 的取值范围是 （）3A ． (1,2)B ． 1,2C ．(1,2)D ． 1,23 33 3232 39. 若 yx 2 3x 4 的定义域为 0,m ，值域为25 , 4 ，则 m 的取值范围是（）4A ．0,4B ． 3, 4C ．3,3D ．3,22210. 一个光线从点 ( 2, 3) 射出，经 y 轴反射与圆 ( x 3)2 ( y 2)2 1相切，则反射光线所在的直线的斜率为（）A ． 5 或3 B ． 3或- 3 C ．5 或 4D ． 4 或335 22 4 53411. 已知三棱柱 ABC A 1 B 1C 1 的侧棱与底面边长都相等， A 1 在底面 ABC 内的射影为ABC 的中心，则 AB 1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于（）A ．1B ．2C ．3 D ．2333312. 函数 f ( x)x2x a ，若 f ( 1 ) 和 f (1) 都不是 f ( x) 的最小值，则 a 的取值范围是22（ ）A ．,1B ．1 , 1 C ．( 1,1) D ． 1,22 22 22二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 把答案填在答题卡内.)2)y5(0,0)）A ． ( x 2) 2 y 25 B ． x 2 ( y 2)25 C ． ( x 2)2 ( y 2)25D ． x 2( y 2)2 57. 一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A ．3B ．4C ．3 3D ．68. 若偶函数f ( x) 在 0,上单调递增，则满足 f (2 x1) f ( 1) 的 x 的取值范围是 （）3A ． (1,2)B ． 1,2C ．(1,2)D ． 1,23 33 3232 39. 若 yx 2 3x 4 的定义域为 0,m ，值域为25 , 4 ，则 m 的取值范围是（）4A ．0,4B ． 3, 4C ．3,3D ．3,22210. 一个光线从点 ( 2, 3) 射出，经 y 轴反射与圆 ( x 3)2 ( y 2)2 1相切，则反射光线所在的直线的斜率为（）A ． 5 或3 B ． 3或- 3 C ．5 或 4D ． 4 或335 22 4 53411. 已知三棱柱 ABC A 1 B 1C 1 的侧棱与底面边长都相等， A 1 在底面 ABC 内的射影为ABC 的中心，则 AB 1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于（）A ．1B ．2C ．3 D ．2333312. 函数 f ( x)x2x a ，若 f ( 1 ) 和 f (1) 都不是 f ( x) 的最小值，则 a 的取值范围是22（ ）A ．,1B ．1 , 1 C ．( 1,1) D ． 1,22 22 22二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 把答案填在答题卡内.)2)y5(0,0)）A ． ( x 2) 2 y 25 B ． x 2 ( y 2)25 C ． ( x 2)2 ( y 2)25D ． x 2( y 2)2 57. 一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A ．3B ．4C ．3 3D ．68. 若偶函数f ( x) 在 0,上单调递增，则满足 f (2 x1) f ( 1) 的 x 的取值范围是 （）3A ． (1,2)B ． 1,2C ．(1,2)D ． 1,23 33 3232 39. 若 yx 2 3x 4 的定义域为 0,m ，值域为25 , 4 ，则 m 的取值范围是（）4A ．0,4B ． 3, 4C ．3,3D ．3,22210. 一个光线从点 ( 2, 3) 射出，经 y 轴反射与圆 ( x 3)2 ( y 2)2 1相切，则反射光线所在的直线的斜率为（）A ． 5 或3 B ． 3或- 3 C ．5 或 4D ． 4 或335 22 4 53411. 已知三棱柱 ABC A 1 B 1C 1 的侧棱与底面边长都相等， A 1 在底面 ABC 内的射影为ABC 的中心，则 AB 1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于（）A ．1B ．2C ．3 D ．2333312. 函数 f ( x)x2x a ，若 f ( 1 ) 和 f (1) 都不是 f ( x) 的最小值，则 a 的取值范围是22（ ）A ．,1B ．1 , 1 C ．( 1,1) D ． 1,22 22 22二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 把答案填在答题卡内.)2)y5(0,0)）A ． ( x 2) 2 y 25 B ． x 2 ( y 2)25 C ． ( x 2)2 ( y 2)25D ． x 2( y 2)2 57. 一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A ．3B ．4C ．3 3D ．68. 若偶函数f ( x) 在 0,上单调递增，则满足 f (2 x1) f ( 1) 的 x 的取值范围是 （）3A ． (1,2)B ． 1,2C ．(1,2)D ． 1,23 33 3232 39. 若 yx 2 3x 4 的定义域为 0,m ，值域为25 , 4 ，则 m 的取值范围是（）4A ．0,4B ． 3, 4C ．3,3D ．3,22210. 一个光线从点 ( 2, 3) 射出，经 y 轴反射与圆 ( x 3)2 ( y 2)2 1相切，则反射光线所在的直线的斜率为（）A ． 5 或3 B ． 3或- 3 C ．5 或 4D ． 4 或335 22 4 53411. 已知三棱柱 ABC A 1 B 1C 1 的侧棱与底面边长都相等， A 1 在底面 ABC 内的射影为ABC 的中心，则 AB 1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于（）A ．1B ．2C ．3 D ．2333312. 函数 f ( x)x2x a ，若 f ( 1 ) 和 f (1) 都不是 f ( x) 的最小值，则 a 的取值范围是22（ ）A ．,1B ．1 , 1 C ．( 1,1) D ． 1,22 22 22二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 把答案填在答题卡内.)。

广东省普宁市第二中学2015-2016学年高二语文下学期期中试题不分版本普宁第二中学2015-2016学年度第二学期期中考高二语文试题考前须知：1．本试卷分第I卷(阅读题)和第二卷(表达题)两局部。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷阅读题一、现代文阅读〔共9分，每题3分〕和谐高于冲突与西方文化和西方价值观相比，中华文化和中华价值观更强调社会和谐、以和为贵，追求“和而不同〞。

春秋时期的史伯提出“和实生物，同那么不继〞，形成了中华文化“和而不同〞的思想。

“和〞所具有的“和谐合一〞的意义，在我国文明开展早期就有了。

《尚书•舜典》记载，帝舜命其乐官通过诗歌音乐，到达“八音克谐，无相夺伦，神人以和〞。

这说明我国古人已了解音乐促进和谐的作用，表达了早期智者对宇宙和谐的向往。

我国古人反复以声乐之和比喻世界各种事物之间的和谐，从而成为一种普遍追求。

如《左传》中说：“八年之中，九合诸侯，如乐之和，无所不谐。

〞可见，我国古人将音乐的和谐作为处理人与人、人与社会、族群与族群、人与天地等关系的模型，对“和〞的追求塑造了中华文明的思维方式、价值取向。

这一思想对儒家也产生了重要影响。

儒家经典《礼记•乐记》说：“乐者，天地之和也；礼者，天地之序也。

和故百物皆化，序故群物皆别。

〞这说明，人类的和谐在根本上来源于天地的和谐，即自然的和谐。

和谐是一切事物的生成原理，没有和谐就没有万物化生，和谐的实现有着深刻的宇宙论根源。

宋代哲学家张载曾说：“有象斯有对，对必反其为；有反斯有仇，仇必和而解。

〞显然，张载强调：从对立到和谐，不仅是天地的法那么，也是社会、人生中具有普遍意义的原理。

把追求永久和谐作为对待外部世界的态度，这在中华文化和中华价值观中同样源远流长。

《尚书•尧典》提出：“克明俊德，以亲九族。

九族既睦，平章百姓。

百姓昭明，协和万邦。

2015-2016学年广东省揭阳市普宁一中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）.1．（5分）有20位同学，编号从1至20，现从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样法所抽的编号为（）A．5、10、15、20B．2、6、10、14C．2、4、6、8D．5、8、11、14 2．（5分）圆x2+y2﹣8x+6y+16＝0与圆x2+y2＝64的位置关系是（）A．相交B．内切C．相离D．外切3．（5分）样本中共有5个个体．其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本的标准差为（）A．B．C．2D．4．（5分）某校1000名学生的高中数学学业水平考试成绩的频率分布直方图如图所示．规定90分为优秀等级，则该校学生优秀等级的人数是（）A．300B．150C．30D．155．（5分）若一口袋中装有4个白球3个红球，现从中任取两球，则取出的两球中至少有一个白球的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）过点P（4，2）作圆x2+y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为原点，则△OAB的外接圆方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5B．（x﹣4）2+（y﹣2）2＝20C．（x+2）2+（y+1）2＝5D．（x+4）2+（y+2）2＝207．（5分）从分别写上数字1，2，3，…，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数积是完全平方数的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）阅读如图的程序框图，若输出s的值为﹣7，则判断框内可填写（）A．i＜3B．i＜4C．i＜5D．i＜69．（5分）一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形内爬行，则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（）A．1﹣B．1﹣C．D．10．（5分）已知直线l过点（0，﹣4），P是l上的一动点，P A，PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形P ACB的最小面积是2，则直线的斜率为（）A．B．±C．±2D．±211．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y ﹣2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知2+＝22×，3+＝32×，4+＝42×，…，若9+＝92×（a，b为正整数），则a+b＝．14．（5分）已知函数f（x）＝ax2+blnx在x＝1处有极值．则则a+b＝．15．（5分）已知函数f（x）＝2lnx﹣xf′（1），则曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程是．16．（5分）若f（x）＝，则f（2014）＝．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量＝（，﹣），＝（sin x，cos x），x∈（0，）．（1）若⊥，求tan x的值；（2）若与的夹角为，求x的值．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面P AD（Ⅱ）求证：平面EFG⊥平面EMN．19．（12分）已知函数f（x）＝ax3+bx2﹣3x在x＝±1处取得极值．（Ⅰ）讨论f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值；（Ⅱ）过点A（0，16）作曲线y＝f（x）的切线，求此切线方程．20．（12分）已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为4，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l过该椭圆的左焦点，交椭圆于M、N两点，且，求直线l的方程．21．（12分）用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n＝3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n＝log3a n，求{b n}的前n项和T n．2015-2016学年广东省揭阳市普宁一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）.1．（5分）有20位同学，编号从1至20，现从中抽取4人作问卷调查，用系统抽样法所抽的编号为（）A．5、10、15、20B．2、6、10、14C．2、4、6、8D．5、8、11、14【解答】解：从20人中用系统抽样抽4个人，须把20人平均分成4组，每一组只抽1人，且所抽取的号码成等差数列只有A选项满足故选：A．2．（5分）圆x2+y2﹣8x+6y+16＝0与圆x2+y2＝64的位置关系是（）A．相交B．内切C．相离D．外切【解答】解：把圆x2+y2﹣8x+6y+16＝0化为标准方程得：（x﹣4）2+（y+3）2＝9，∴圆心A的坐标为（4，﹣3），半径r＝3，由圆x2+y2＝64，得到圆心B坐标为（0，0），半径R＝8，两圆心间的距离d＝|AB|＝5，∵8﹣3＝5，即d＝R﹣r，则两圆的位置关系是内切．故选：B．3．（5分）样本中共有5个个体．其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本的标准差为（）A．B．C．2D．【解答】解：∵样本a，0，1，2，3的平均值为1，∴＝1解得a＝﹣1则样本的标准差s＝＝故选：D．4．（5分）某校1000名学生的高中数学学业水平考试成绩的频率分布直方图如图所示．规定90分为优秀等级，则该校学生优秀等级的人数是（）A．300B．150C．30D．15【解答】解：根据频率分布直方图得，该校学生优秀等级的频率是0.015×（100﹣90）＝0.15；∴该校学生优秀等级的人数是1000×0.15＝150．故选：B．5．（5分）若一口袋中装有4个白球3个红球，现从中任取两球，则取出的两球中至少有一个白球的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵一口袋中装有4个白球3个红球，现从中任取两球，∴基本事件总数＝21，∵取出的两球中至少有一个白球的对立事件是取出的两个球都是红球，∴取出的两球中至少有一个白球的概率为：p＝1﹣＝．故选：C．6．（5分）过点P（4，2）作圆x2+y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为原点，则△OAB的外接圆方程是（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5B．（x﹣4）2+（y﹣2）2＝20C．（x+2）2+（y+1）2＝5D．（x+4）2+（y+2）2＝20【解答】解：由题意知，OA⊥P A，BO⊥PB，∴四边形AOBP有一组对角都等于90°，∴四边形AOBP的四个顶点在同一个圆上，此圆的直径是OP，∵OP的中点为（2，1），OP＝2，∴四边形AOBP的外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5，∴△AOB外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝5．故选：A．7．（5分）从分别写上数字1，2，3，…，9的9张卡片中，任意取出两张，观察上面的数字，则两数积是完全平方数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：所有的取法有C92＝36种，当取出的两个数是1和4，1和9，2和8，4和9时，两数积是完全平方数．故两数积是完全平方数的概率为＝，故选：A．8．（5分）阅读如图的程序框图，若输出s的值为﹣7，则判断框内可填写（）A．i＜3B．i＜4C．i＜5D．i＜6【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环S i循环前/2 1第一圈是 1 3第二圈是﹣2 5第三圈是﹣7 7第四圈否所以判断框内可填写“i＜6”，故选：D．9．（5分）一只蚂蚁在三边长分别为3，4，5的三角形内爬行，则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（）A．1﹣B．1﹣C．D．【解答】解：三角形ABC的面积为，离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为S＝，所以其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为P＝1﹣，故选：B．10．（5分）已知直线l过点（0，﹣4），P是l上的一动点，P A，PB是圆C：x2+y2﹣2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形P ACB的最小面积是2，则直线的斜率为（）A．B．±C．±2D．±2【解答】解：∵圆的方程为：x2+（y﹣1）2＝1，∴圆心C（0，1），半径r＝1．根据题意，若四边形面积最小，当圆心与点P的距离最小时，即距离为圆心到直线l的距离最小时，切线长P A，PB最小，切线长为2，∴P A＝PB＝2．∴圆心到直线l的距离为d＝，直线方程为y+4＝kx，即kx﹣y﹣4＝0，∴＝，解得k＝±2．则所求直线的斜率为：±2．故选：D．11．（5分）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y ﹣2）2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．﹣或﹣B．﹣或﹣C．﹣或﹣D．﹣或﹣【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y+3＝k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3＝0．∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2＝1相切，∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d＝＝1，化为24k2+50k+24＝0，∴k＝或﹣．故选：D．12．（5分）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）＝0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣1，0）∪（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（0，1）∪（1，+∞）【解答】解：设g（x）＝，则g（x）的导数为：g′（x）＝，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）＝为减函数，又∵g（﹣x）＝＝＝＝g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）＝＝0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知2+＝22×，3+＝32×，4+＝42×，…，若9+＝92×（a，b为正整数），则a+b＝89．【解答】解：由已知得出：若（a，b为正整数），a＝92﹣1＝80，b ＝9，所以a+b＝89，故答案为：8914．（5分）已知函数f（x）＝ax2+blnx在x＝1处有极值．则则a+b＝﹣．【解答】解：f（x）＝ax2+blnx，求导f′（x）＝2ax+，由x＝1处有极值，即f′（1）＝0，f（1）＝，∴2a+b＝0，f（1）＝a＝，∴b＝﹣1，∴，故答案为：﹣．15．（5分）已知函数f（x）＝2lnx﹣xf′（1），则曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程是x﹣y﹣2＝0．【解答】解：f′（x）＝2ln x﹣xf′（1），由题意可知，曲线在（1，f（1））处切线方程的斜率k＝f′（1），则f′（1）＝2﹣f′（1），解得f′（1）＝1，则f（1）＝﹣1，所以切点（1，﹣1），所以切线方程为：y+1＝x﹣1，化简得x﹣y﹣2＝0故答案为：x﹣y﹣2＝0．16．（5分）若f（x）＝，则f（2014）＝．【解答】解：∵x＞0，f（x）＝f（x﹣4），∴f（2014）＝f（503×4+2）＝f（2）＝f（﹣2），当x≤0时，f（x）＝2x+，则f（﹣2）＝2﹣2+（sin3t）|＝+sin﹣0＝．即f（2014）＝．故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知向量＝（，﹣），＝（sin x，cos x），x∈（0，）．（1）若⊥，求tan x的值；（2）若与的夹角为，求x的值．【解答】解：（1）若⊥，则•＝（，﹣）•（sin x，cos x）＝sin x﹣cos x＝0，即sin x＝cos xsin x＝cos x，即tan x＝1；（2）∵||＝，||＝＝1，•＝（，﹣）•（sin x，cos x）＝sin x﹣cos x，∴若与的夹角为，则•＝||•||cos＝，即sin x﹣cos x＝，则sin（x﹣）＝，∵x∈（0，）．∴x﹣∈（﹣，）．则x﹣＝即x＝+＝．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，AB⊥P A，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面P AD（Ⅱ）求证：平面EFG⊥平面EMN．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点，取P A的中点H，则由HE∥AB，HE＝AB，而且CD∥AB，CD＝AB，可得HE和CD平行且相等，故四边形CDHE为平行四边形，故CE∥DH．由于DH在平面P AD内，而CE不在平面P AD内，故有CE∥平面P AD．（Ⅱ）证明：由于AB⊥AC，AB⊥P A，而P A∩AC＝A，可得AB⊥平面P AC．再由AB∥CD可得，CD⊥平面P AC．由于MN是三角形PCD的中位线，故有MN∥CD，故MN⊥平面P AC．由于EF为三角形P AB的中位线，可得EF∥P A，而P A在平面P AC内，而EF不在平面P AC内，故有EF∥平面P AC．同理可得，FG∥平面P AC．而EF和FG是平面EFG内的两条相交直线，故有平面EFG∥平面P AC．∴MN⊥平面EFG，而MN在平面EMN内，故有平面EFG⊥平面EMN．19．（12分）已知函数f（x）＝ax3+bx2﹣3x在x＝±1处取得极值．（Ⅰ）讨论f（1）和f（﹣1）是函数f（x）的极大值还是极小值；（Ⅱ）过点A（0，16）作曲线y＝f（x）的切线，求此切线方程．【解答】（Ⅰ）解：f'（x）＝3ax2+2bx﹣3，依题意，f'（1）＝f'（﹣1）＝0，即解得a＝1，b＝0．∴f（x）＝x3﹣3x，f'（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1）．令f'（x）＝0，得x＝﹣1，x＝1．若x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），则f'（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，f（x）在（1，+∞）上是增函数．若x∈（﹣1，1），则f'（x）＜0，故f（x）在（﹣1，1）上是减函数．所以，f（﹣1）＝2是极大值；f（1）＝﹣2是极小值．（Ⅱ）解：曲线方程为y＝x3﹣3x，点A（0，16）不在曲线上．设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足y0＝x03﹣3x0．因f'（x0）＝3（x02﹣1），故切线的方程为y﹣y0＝3（x02﹣1）（x﹣x0）注意到点A（0，16）在切线上，有16﹣（x03﹣3x0）＝3（x02﹣1）（0﹣x0）化简得x03＝﹣8，解得x0＝﹣2．所以，切点为M（﹣2，﹣2），切线方程为9x﹣y+16＝0．20．（12分）已知椭圆的焦点在x轴上，短轴长为4，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l过该椭圆的左焦点，交椭圆于M、N两点，且，求直线l的方程．【解答】解：（1），椭圆的标准方程：（2）由题意知，直线l的斜率存在，所以设直线方程为：y＝k（x+1），，联立得：（5k2+4）x2+10k2x+5k2﹣20＝0，∴，则：＝＝，∵，∴即：即：，所以，k＝±1，所以直线方程为：y＝x+1或y＝﹣x﹣1．21．（12分）用总长14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．【解答】解：设容器底面短边长为xm，则另一边长为（x+0.5）m，高为由3.2﹣2x＞0和x＞0，得0＜x＜1.6，设容器的容积为ym3，则有y＝x（x+0.5）（3.2﹣2x）（0＜x＜1.6）整理，得y＝﹣2x3+2.2x2+1.6x，（4分）∴y'＝﹣6x2+4.4x+1.6（6分）令y'＝0，有﹣6x2+4.4x+1.6＝0，即15x2﹣11x﹣4＝0，解得x1＝1，（不合题意，舍去）．（8分）从而，在定义域（0，1.6）内只有在x＝1处使y'＝0．由题意，若x过小（接近0）或过大（接近1.6）时，y值很小（接近0），＝﹣2+2.2+1.6＝1.8，这时，高为3.2﹣2因此，当x＝1时y取得最大值，y最大值×1＝1.2．答：容器的高为1.2m时容积最大，最大容积为1.8m3．（12分）22．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n＝3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n＝log3a n，求{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）因为2S n＝3n+3，所以2a1＝31+3＝6，故a1＝3，＝3n﹣1+3，当n＞1时，2S n﹣1＝3n﹣3n﹣1＝2×3n﹣1，即a n＝3n﹣1，此时，2a n＝2S n﹣2S n﹣1所以a n＝．（Ⅱ）因为a n b n＝log3a n，所以b1＝，当n＞1时，b n＝31﹣n•log33n﹣1＝（n﹣1）×31﹣n，所以T1＝b1＝；当n＞1时，T n＝b1+b2+…+b n＝+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），所以3T n＝1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），两式相减得：2T n＝+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）＝+﹣（n﹣1）×31﹣n＝﹣，所以T n＝﹣，经检验，n＝1时也适合，综上可得T n＝﹣．。

普宁二中2012-2013学年高二下学期期中考文科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数(1+i)2=（ ）A ． 2iB ．－2iC ．－2D ．2+2i2. 若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a R ∈，结论是：20a >，那么这个演绎推理所得结论错误的原因是：（ ）.A ．小前提错误B ．大前提错误C ．推理形式错误D ．大前提小前提都错 3.已知0x >，函数16y x x =+的最小值是（ ）A ．5B ．4C ．8D ．64. 在ABC ∆中，若222b c a bc +-=，则角A 为（ ）A ．6πB ．3πC ．4πD ．2π5. 已知向量()1,2=a ，=b （x, －4），若a b 与共线，则x 的值为( )A ．2B ．8C ．2±D ．－26. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①9090180A B C C ++=︒+︒+>︒，这与三角形内角和为180︒相矛盾，90A B ==︒不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A 、B 、C 中有两个直角，不妨设90A B ==︒； 正确顺序的序号为 ( )A ．③①②B ．①②③C ．①③②D ．②③① 7. 函数y=x3+2x2－3在点（1，0）处的切线方程为（ ）A. y=3x －4B. y=7x －7C. y=－6x+5D. y=7x+6 8. 三棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是正方形，主视图 左视图左视图是等腰直角三角形）如图所示,则这个三棱柱的全面积等于 ( ) A．12+ B．6+C．8+ D．27+ 9．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（ ）A ．)32sin(2π-=x yB ．)32sin(2π+=x yC ．)322sin(2π+=x yD ．)32sin(2π-=x y10. 若定义运算ba ba b a a b<⎧⊕=⎨≥⎩，则函数()212log log f x x x=⊕的值域是（ ）A.[)0,+∞ B. [)1,+∞ C. R D. (]0,1第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．函数sin 2y x =的最小正周期是 .12. 命题“若b a >，则221a b≤-”的否命题为______________________________.13. 过原点且倾斜角为45的直线被圆2240x y x +-=所截得的弦长为__________． 14.依次有下列等式：222576543,3432,11=++++=++=，按此规律下第5个等式为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分）已知复数z=(m2+m －2)+(m2－2m)i （1）实数m 取什么值时，z 是实数；（2）实数m 取什么值时，与z 对应的点在第四象限．16．（本小题满分14分）某种产品的广告费用支出x （万元）与销售额y （万元）之间有如下的对应 数据：（1）在给出的直角坐标系中画出散点图；（2）求回归直线方程； （3）据此估计广告费用为10万元时，销售收入y 的值． 参考公式：回归直线的方程a bx y+=ˆ， 其中1122211()(),()nniii i i i nniii i x x y y x y nxyb a y bxx x xnx====---===---∑∑∑∑参考数据：521145ii x==∑，52113500ii y==∑，511380i ii x y==∑17. (本小题满分12分)如图, 四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是正方形, PA ⊥底面ABCD, E, F 分别是AC, PB 的中点. 求证：(Ⅰ) EF ∥平面PCD ； (Ⅱ) BD ⊥平面PAC.18.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足213(1,)22n S n n n n N *=+≥∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n T 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和，求使不等式20121005>n T 成立的n 的最小值.19．（本小题满分14分）ABCDPEF （第17题）已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5．过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M.（1）求抛物线的方程；（2）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；（3）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系.20．（本小题满分14分）已知函数323()31,f x ax x a=-+-（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）在0a >的情况下，若曲线()y f x =上两点,A B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实数a 的取值范围.高二下文科数学期中考参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.二.填空：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11.π 12. ,a b ≤若则221a b >- 13.14.5+6+7+…+13= 92三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（本小题满分12分） 解：（1）由题意，得m2－2m=0 解得m=0或m=2 ………………5分 ∴当m=0或m=2时，z 是实数. ………………6分 （2）由题意，得222020m m m m ⎧+->⎨-<⎩ 解得1<m<2 ………………11分∴当1<m<2时，与z 对应的点在第四象限. ………………12分 16. （本小题满分14分） 解：（1）作出散点图如下图所示：………………5分（2）1(24568)55x =⨯++++=，1(3040605070)505y =⨯++++=…………7分 222513805550 6.5145555i i ix y x y b x x --⨯⨯===-⨯-∑∑，50 6.5517.5a y bx =-=-⨯=…………11分因此回归直线方程为 6.517.5y x =+；………………12分（3）10x =时，预报y 的值为10 6.517.582.5y =⨯+=（万元）．………………14分17 .（本小题满分12分）证明: (Ⅰ)连结BD, 则E 是BD 的中点. 又F 是PB 的中点,所以EF ∥PD.因为EF ⊄平面PCD, P PCD D ⊂平面 所以EF ∥平面PCD.……6分(Ⅱ) ∵ABCD 是正方形， ∴BD ⊥AC.又PA ⊥平面ABC ，ABC BD ⊂面ABCDPEF （第17题）∴PA ⊥BD.又PA AC=A ⋂∴BD ⊥平面PAC. …12分 18. （本小题满分14分） 解：（1）111)1,2n a S ===当时 ……………………………………………2分22113132)2,(1)(1)2222 1n n n n a S S n n n n n -⎡⎤≥=-=+--+-⎢⎥⎣⎦=+当时……………6分12,1()n a a n n N *=∴=+∈ ……………………………………………………7分（2）)2(1)1(1)2)(1(111+-+=++=+n n n n a a n n，……………………………8分)2(221212111....41313121+=+-=+-+++-+-=∴n n n n n T n ………10分10051005,201020122(2)2012n n T n n >>∴>+又得 …………………12分2011n ∴的最小值为 ………………………………14分(19) （本小题满分14分）解：（1）抛物线.2,524,222=∴=+-==p pp x px y 于是的准线为∴抛物线方程为y2= 4x. ………………4分（2）∵点A 的坐标是（4，4）， 由题意得B （0，4），M （0，2），又∵F （1，0）， ∴,43,;34-=∴⊥=MN FA k FA MN k则FA 的方程为y=34（x －1），MN 的方程为.432x y -=- 解方程组).54,58(5458,432)1(34N y x x y x y ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=得 ………………9分（3）由题意得，圆M 的圆心是点（0，2），半径为2.当m=4时，直线AK 的方程为x=4，此时，直线AK 与圆M 相离，当m ≠4时，直线AK 的方程为),(44m x m y --=即为,04)4(4=---m y m x圆心M （0，2）到直线AK 的距离2)4(16|82|-++=m m d ，令1,2>>m d 解得1>∴m 当时，直线AK 与圆M 相离；当m=1时，直线AK 与圆M 相切；当1<m 时，直线AK 与圆M 相交. ………………14分 20. （本小题满分14分）解（1）由220,()363()a f x ax x ax x a '≠=-=- 令()0f x '=得1220,x x a==.………………1分当（i ）0a >时， 若(,0)x ∈-∞，则()0f x '>，所以()f x 在区间(,0)-∞上是增函数；…………2分若2(0,)x a ∈，则()0f x '<，所以()f x 在区间2(0,)a 上是减函数；………………3分 若2(,)x a ∈+∞，则()0f x '>，所以()f x 在区间2(,)a +∞上是增函数；…………4分（i i ）当0a <时，若2(,)x a ∈-∞，则()0f x '<，所以()f x 在区间)2,(a -∞上是减函数；……………5分 若2(,0)x a ∈，则()0f x '>，所以()f x 在区间2(,0)a 上是增函数；………………6分若(0,)x ∈+∞，则()0f x '<，所以()f x 在区间(0,)+∞上是减函数. …………7分（2）由（1）中（i ）的讨论及题设知，曲线()y f x =上的两点,A B 的纵坐标为函数的极值，且函数()y f x =在20,x x a ==处分别是取得极大值和极小值………………8分3(0)1f a =-，2243()1f a a a =--+.………………9分因为线段AB 与x 轴有公共点，所以(0)02()0f f a ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩并且两等号不能同时成立…………10分即23(1)043(1)0a a a -≥--+≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩并且两等号不能同时成立………………11分由已知0a >故304a a ≥⎧⎨<≤⎩.………………12分解得 34a ≤≤.………………13分 即所求实数a 的取值范围是[]3,4.………………14分。

2015-2016学年广东省揭阳市普宁二中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分共60分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，B＝{x|﹣2≤x＜2}，则A∩B＝（）A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1] 2．（5分）已知复数z＝，则z的虚部是（）A．B．﹣C．﹣i D．﹣3．（5分）已知向量＝（x，1），＝（3，6），∥，则实数x的值为（）A．B．﹣2C．2D．﹣4．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x+2x+b（b 为常数），则f（﹣1）＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．36．（5分）已知直线m、l与平面α、β、γ满足β∩γ＝l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则下列命题一定正确的是（）A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ7．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8＝16，则该数列前11项和S11＝（）A．58B．88C．143D．1768．（5分）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω的值是（）A．4B．2C．D．9．（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为（）A．±2B．C．D．10．（5分）如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+2）2＝1上，那么|PQ|的最大值为（）A．5B．+1C．2+1D．﹣1 11．（5分）[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]＝2，[﹣4.1]＝﹣5，已知f（x）＝x﹣[x]，（x∈R），g（x）＝log4（x﹣1），则函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的零点个数为（）A．4B．3C．2D．112．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣mx的图象为曲线C，若曲线C不存在与直线垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A．B．C．m≤2D．m＞2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数y＝的定义域为．14．（5分）抛物线y＝2x2的焦点坐标是．15．（5分）如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为．16．（5分）执行程序框图，输出的T＝．三、解答题17．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，cos B＝．（Ⅰ）求cos（A+B）的值；（Ⅱ）设a＝，求△ABC的面积．18．（12分）如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：AC⊥平面BCE；（3）求三棱锥E﹣BCF的体积．19．（12分）PM 2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）．为了探究车流量与PM 2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM 2.5的数据如表：（1）根据上表数据，请在如图坐标系中画出散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；（保留2位小数）（3）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时PM 2.5的浓度为多少（保留整数）？ 参考公式：＝，＝﹣．20．（12分）椭圆方程为+＝1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，2），离心率e＝．（1）求椭圆的方程；（2）直线l：y＝kx﹣2（k≠0）与椭圆相交于不同的两点M，N满足＝，•＝0，求k．21．（12分）已知函数f（x）＝x+alnx（1）若函数f（x）在x＝2处的切线与直线x﹣y+1＝0垂直，求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围．选做题：[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2 sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．2015-2016学年广东省揭阳市普宁二中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分共60分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，B＝{x|﹣2≤x＜2}，则A∩B＝（）A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A＝（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B＝[﹣2，2），∴A∩B＝[﹣2，﹣1]．故选：D．2．（5分）已知复数z＝，则z的虚部是（）A．B．﹣C．﹣i D．﹣【解答】解：由＝，则复数z的虚部是．故选：B．3．（5分）已知向量＝（x，1），＝（3，6），∥，则实数x的值为（）A．B．﹣2C．2D．﹣【解答】解：∵向量＝（x，1），＝（3，6），∥，∴存在非零实数μ，使＝μ，得，解之得x＝故选：A．4．（5分）从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从4个不同的数中随机的抽2个，共有C42＝6种结果，满足条件的事件是取出的数之差的绝对值等于2，有2种结果，分别是（1，3），（2，4），∴要求的概率是＝．故选：B．5．（5分）设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x+2x+b（b 为常数），则f（﹣1）＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【解答】解：因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）＝20+2×0+b＝0，解得b＝﹣1，所以当x≥0时，f（x）＝2x+2x﹣1，又因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（21+2×1﹣1）＝﹣3，故选：A．6．（5分）已知直线m、l与平面α、β、γ满足β∩γ＝l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则下列命题一定正确的是（）A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ【解答】解：∵m⊂α，m⊥γ，∴α⊥γ，∵β∩γ＝l，∴l⊂γ，∴l⊥m，故A一定正确．故选：A．7．（5分）在等差数列{a n}中，已知a4+a8＝16，则该数列前11项和S11＝（）A．58B．88C．143D．176【解答】解：∵在等差数列{a n}中，已知a4+a8＝16，∴a1+a11＝a4+a8＝16，∴S11＝＝88，故选：B．8．（5分）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω的值是（）A．4B．2C．D．【解答】解：由图象可得T＝＝．故可解得：T＝π．故有：ω＝＝＝2．故选：B．9．（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为（）A．±2B．C．D．【解答】解：∵双曲线的离心率为，∴，解得．∴其渐近线的斜率为．故选：B．10．（5分）如果点P在平面区域上，点Q在曲线x2+（y+2）2＝1上，那么|PQ|的最大值为（）A．5B．+1C．2+1D．﹣1【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则A（0，2），圆心D（0，2），∴由图象可知当P位于A，Q在E（0，﹣3）处，|PQ|的距离最大，最大为2﹣（﹣3）＝5．故选：A．11．（5分）[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]＝2，[﹣4.1]＝﹣5，已知f（x）＝x﹣[x]，（x∈R），g（x）＝log4（x﹣1），则函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的零点个数为（）A．4B．3C．2D．1【解答】解：当0＜x＜1时，[x]＝0，则f（x）＝x﹣[x]＝x，当1≤x＜2时，[x]＝1，则f（x）＝x﹣[x]＝x﹣1，当2≤x＜3时，[x]＝2，则f（x）＝x﹣[x]＝x﹣2，当3≤x＜4时，[x]＝3，则f（x）＝x﹣[x]＝x﹣3，当4≤x＜5时，[x]＝4，则f（x）＝x﹣[x]＝x﹣4，当5≤x＜6时，[x]＝5，则f（x）＝x﹣[x]＝x﹣5，此时f（x）∈[0，1），而g（x）log4（x﹣1）≥1，即当n≤x＜n+1，n≥6时，[x]＝n，则f（x）＝x﹣[x]＝x﹣n∈[0，1），而g（x）log4（x﹣1）≥1，由h（x）＝f（x）﹣g（x）＝0得f（x）＝g（x），分别作出函数f（x）和g（x）的图象如图：则两个函数图象有2个交点，故函数零点的个数为2个，故选：C．12．（5分）已知函数f（x）＝e x﹣mx的图象为曲线C，若曲线C不存在与直线垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A．B．C．m≤2D．m＞2【解答】解：∵曲线C：f（x）＝e x﹣mx，∴f′（x）＝e x﹣m，∵曲线C不存在与直线垂直的切线，∴f′（x）＝e x﹣m≠﹣2，∴m≠2+e x＞2，观察题设中的四个选项，C最符合，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数y＝的定义域为{x|0＜x＜1}．【解答】解：函数y＝的定义域为：{x|}，解得{x|0＜x＜1}．故答案为：{x|0＜x＜1}．14．（5分）抛物线y＝2x2的焦点坐标是（0，）．【解答】解：抛物线y＝2x2的方程即x2＝y，∴p＝，故焦点坐标为（0，），故答案为：（0，）．15．（5分）如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为．【解答】解：由三视图可知：原几何体是一个平行六面体，如图所示，底面是一个边长为3的正方形，平行六面体的高，＝＝．∴V平行六面体故答案为16．（5分）执行程序框图，输出的T＝30．【解答】解：按照程序框图依次执行为S＝5，n＝2，T＝2；S＝10，n＝4，T＝2+4＝6；S＝15，n＝6，T＝6+6＝12；S＝20，n＝8，T＝12+8＝20；S＝25，n＝10，T＝20+10＝30＞S，输出T＝30．故答案为：30．三、解答题17．（12分）已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，cos B＝．（Ⅰ）求cos（A+B）的值；（Ⅱ）设a＝，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵A，B，C为△ABC的内角，且，，，∴，．…（4分）∴cos（A+B）＝A cos B+cos A sin B＝＝…（6分）（Ⅱ）由（I）知，A+B＝45°∴C＝135°，…（7分）∵，由正弦定理得．…（10分）∴S＝．…（12分）△ABC18．（12分）如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD 为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：AC⊥平面BCE；（3）求三棱锥E﹣BCF的体积．【解答】解：（1）∵四边形ABEF为矩形，∴AF∥BE，BE⊂平面BCE，AF⊄平面BCE，∴AF∥平面BCE．（2）过C作CM⊥AB，垂足为M，∵AD⊥DC，∴四边形ADCM为矩形，∴AM＝MB＝2∵AD＝2，AB＝4．∴AC＝2，CM＝2，BC＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC，∵AF⊥平面ABCD，AF∥BE，∴BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，∵BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BC∩BE＝B，∴AC⊥平面BCE．（3）∵AF⊥平面ABCD，AF⊥CM，∵CM ⊥AB ，AF ⊂平面ABEF ，AB ⊂平面ABEF ，AF ∩AB ＝A ， ∴CM ⊥平面ABEF ， ∴V E ﹣BCF ＝V C ﹣BEF ＝＝×2×4×2＝．19．（12分）PM 2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）．为了探究车流量与PM 2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM 2.5的数据如表：（1）根据上表数据，请在如图坐标系中画出散点图；（2）根据上表数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；（保留2位小数）（3）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时PM 2.5的浓度为多少（保留整数）？参考公式：＝，＝﹣．【解答】解：（1）散点图如图所示．…（2分）（2），，…（6分）＝64，＝50，，，…（9分）故y关于x的线性回归方程是：8…（10分）（3）当x＝2.5时，y＝1.28×25+4.88＝36.88≈37所以可以预测此时PM2.5的浓度约为37…（12分）20．（12分）椭圆方程为+＝1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，2），离心率e＝．（1）求椭圆的方程；（2）直线l：y＝kx﹣2（k≠0）与椭圆相交于不同的两点M，N满足＝，•＝0，求k．【解答】解：（1）∵椭圆+＝1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，2），离心率e＝．∴b＝2，，又a2＝b2+c2，解得a2＝12，c2＝8．∴椭圆的方程为：．（2）如图所示，联立，化为（1+3k2）x2﹣12kx＝0．解得，或，取M（0，﹣2），N．∵M，N满足＝，•＝0，∴点P是线段MN的中点，AP⊥MN．∴P，∴k AP＝．∴＝﹣1，解得．21．（12分）已知函数f（x）＝x+alnx（1）若函数f（x）在x＝2处的切线与直线x﹣y+1＝0垂直，求a的值；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）＝x+alnx的导数为．由题意在x＝2处的切线与直线x﹣y+1＝0垂直，可得，解得a＝﹣4；（2）因，当a≥0时，在x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，可得f（x）的单调区间是（0，+∞）；当a＜0时，f（x）与f'（x）在定义域上的情况如下：f（x）的单调减区间是（0，﹣a），单调增区间是（﹣a，+∞）．（3）由（2）可知①当a＞0时，（0，+∞）是函数f（x）的单调增区间，且有，此时函数有零点，不符合题意；②当a＝0时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上没有零点；③当a＜0时，f（﹣a）是函数f（x）的极小值，也是函数f（x）的最小值，当f（﹣a）＝a（ln（﹣a）﹣1）＞0，即a＞﹣e时，函数f（x）没有零点．综上所述，当﹣e＜a≤0时，f（x）没有零点．选做题：[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2 sinθ．（Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．【解答】解：（I）由⊙C的极坐标方程为ρ＝2sinθ．∴ρ2＝2，化为x2+y2＝，配方为＝3．（II）设P，又C．∴|PC|＝＝≥2，因此当t＝0时，|PC|取得最小值2．此时P（3，0）．。

2015—2016学年广东省揭阳市普宁一中高二(下）期中数学试卷(文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）。

1．设集合A={x|x2﹣2x≤0｝,B=｛y｜y=x2﹣2x，x∈A｝，则A∪B=（）A．[﹣1，2］B．［0，2］C．（﹣∞，2]D．［0，+∞)2．已知函数f(x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点,则实数a的取值范围是(）A．(﹣∞，0）B．（0，）C．（0，1）D．(0,+∞）3．将函数y=cosx+sinx(x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（）A．B．C．D．4．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次,设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（）A．(￢p）∨(￢q）B．p∨（￢q) C．(￢p）∧（￢q）D．p∨q5．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：加以统计,得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（)A．588 B．480 C．450 D．1206．按照如图的程序运行，已知输入x的值为2+log23,则输出y的值为（）A．7 B．11 C．12 D．247．已知{a n｝是公差为的等差数列，S n为{a n}的前n项和，若a2，a6，a14成等比数列,则S5=(）A．B．35 C．D．258．设F1，F2是双曲线的两个焦点,P是双曲线上的一点，且3｜PF1|=4｜PF2｜，则△PF1F2的面积等于（)A． B． C．24 D．489．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ｜＜）的图象的相邻两对称中心的距离为π，且f（x+)=f(﹣x），则函数y=f（﹣x)是（）A．偶函数且在x=0处取得最大值B．偶函数且在x=0处取得最小值C．奇函数且在x=0处取得最大值D．奇函数且在x=0处取得最小值10．已知函数f（x）=2016x+log2016（+x）﹣2016﹣x+2,则关于x的不等式f(3x+1)+f(x)＞4的解集为（）A．（﹣,+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（0,+∞) D．（﹣∞,0）11．某学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A，B两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的学生，下星期一会有20％改选B种菜；而选B种菜的学生，下星期一会有30%改选A种菜．用a n，b n分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的学生人数，若a1=300，则a n+1与a n的关系可以表示为（）A．a n+1=+150 B．a n+1=+200C．a n+1=+300 D．a n+1=+18012．对任意的实数x都有f（x+2)﹣f（x）=2f（1)，若y=f（x﹣1）的图象关于x=1对称，且f （0）=2，则f=（）A．0 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,满分20分）13．由曲线y=，直线y=x﹣2及y轴所围成的图形的面积为．14．椭圆ax2+by2=1(a＞0，b＞0，a≠b）与直线y=1﹣2x交于A，B两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为．15．下列命题：①命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”；②命题“∀x≥0，x2+x+1＜0”的否定是“∃x＜0，x2+x+1≥0”③对于常数m，n，“mn＜0”是“方程mx2+ny2=1表示的曲线是双曲线”的充要条件；④“x＞1”是“|x｜＞0”的必要不充分条件；⑤已知向量不共面,则向量可以与向量和向量构成空间向量的一个基底．其中说法正确的有(写出所有真命题的编号）．16．设定义域为（0，+∞)的单调函数f（x)，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log3x]=4，若x0是方程f（x）﹣2f’（x)=3的一个解，且，则实数a=．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17．一款底面为正方形的长方体无盖金属容器（忽略其厚度），如图所示，当其容积为500cm3时,问容器的底面边长为多少时,所使用材料最省？18．如表是某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元）的几组对照数据x 3 4 5 6y 2。

2015-2016学年广东省揭阳市普宁二中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，集合B＝{x|x2﹣3x＞0}，则A∩（∁R B）＝（）A．（1，3）B．（1，3]C．[0，+∞）D．[3，+∞）2．（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）A．﹣2B．1C．D．23．（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落人区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A．15B．10C．9D．74．（5分）已知是非零向量且满足（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则与的夹角是（）A．30°B．60°C．90°D．120°5．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，4，则输出的M＝（）A．B．C．D．6．（5分）若实数x，y满足不等式组：，则该约束条件所围成的平面区域的面积是（）A．B．2C．2D．37．（5分）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲、乙必须相邻且不能排在第一位，节目丙必须排在首尾，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．60种B．72种C．84种D．120种8．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则双曲线C的实轴长为（）A．B．2C．4D．49．（5分）已知x0＝是函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，）B．（，）C．（，π）D．（，π）10．（5分）如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y＝x2图象下方的点构成的区域．在D内随机取一点，则该点在E中的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如：[﹣2.5]＝﹣3，[1.5]＝1，[5]＝5，那么[log21]+[log22]+[log23]+…+[log21023]+[log21024]＝（）A．8204B．4102C．2048D．1024 12．（5分）设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使得|f（x）|≤M|x|对一切的实数x都成立，则称f（x）为“倍约束函数”．现给出下列函数：①f（x）＝2x，②f（x）＝x2+1，③f（x）＝sin x+cos x，④f（x）＝，⑤f（x）是定义在实数集上的奇函数，且对一切的x1，x2均有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|．其中是“倍约束函数”的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在（3x2﹣）5的二项展开式中，常数项等于．14．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积V＝．15．（5分）已知α是第三象限的角，cos2α＝﹣，则tan（2α﹣）＝．16．（5分）已知F1、F2分别是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若2∠PF1F2＝∠F1PF2，那么椭圆的离心率为．三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知．（1）求f（x）的周期及其图象的对称中心；（2）△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，满足（2a﹣c）cos B＝b cos C，求f（B）的值．18．（12分）已知函数f（x）＝（x2﹣x+1）•e x+2，x∈R（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣k有且只有一个零点，求实数k的取值范围．19．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，首项为a1，且，a n，S n成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n＝（log2a3n+1）×（log2a3n+4），求证：+++…+＜．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．（1）求PB和平面P AD所成的角的大小；（2）证明：AE⊥平面PCD；（3）求二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．21．（12分）设F1、F2分别为椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，若椭圆上一点M（1，）到两个焦点的距离之和等于4．又已知点A是椭圆的右顶点，直线l交椭圆Γ于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）O为坐标原点，若点P满足2＝+，求直线AP的斜率的取值范围．22．（12分）已知函数．（I）当a＝1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．2015-2016学年广东省揭阳市普宁二中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|y＝ln（x﹣1）}，集合B＝{x|x2﹣3x＞0}，则A∩（∁R B）＝（）A．（1，3）B．（1，3]C．[0，+∞）D．[3，+∞）【解答】解：由集合A中的函数y＝ln（x﹣1），得到x﹣1＞0，即x＞1，∴A＝（1，+∞）由集合B中的不等式x2﹣3x＞0，解得：x＜0或x＞3，∴B＝（﹣∞，0）∪（3，+∞），∴∁R B＝[0，3]，则A∩（∁R B）＝（1，3]．故选：B．2．（5分）已知a是实数，是纯虚数，则a等于（）A．﹣2B．1C．D．2【解答】解：＝＝，又是纯虚数，则，解得a＝﹣2．故选：A．3．（5分）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查为此将他们随机编号为1，2…960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落人区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C．则抽到的人中，做问卷C的人数为（）A．15B．10C．9D．7【解答】解：用系统抽样方法从960人中抽取32人可将960人分为32组，每组30个人由于分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，故编号为[1，750]中共有750÷30＝25组即做问卷C的有32﹣25＝7组故做问卷C的人数为7人故选：D．4．（5分）已知是非零向量且满足（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，则与的夹角是（）A．30°B．60°C．90°D．120°【解答】解：∵（﹣2）⊥，（﹣2）⊥，∴（﹣2）•＝0，（﹣2）•＝0，即2﹣2•＝0，2﹣2•＝0，即2＝2•，2＝2•，则||＝|＝，则cos＜，＞＝＝，即＜，＞＝60°，故选：B．5．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，4，则输出的M＝（）A．B．C．D．【解答】解：执行程序框图，可得a ＝1，b ＝2，k ＝4，n ＝1；满足n ≤k ，M ＝1+＝，a ＝2，b ＝，n ＝2；满足n ≤k ，M ＝2+＝，a ＝，b ＝，n ＝3；满足n ≤k ，M ＝+＝，a ＝，b ＝，n ＝4；满足n ≤k ，M ＝+＝，a ＝，b ＝，n ＝5； 不满足n ≤k ，退出循环，输出M ＝． 故选：C ．6．（5分）若实数x ，y 满足不等式组：，则该约束条件所围成的平面区域的面积是（ ）A ．B ．2C ．2D ．3【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则对应的平面区域为△ABC ．其中A （2，3），C （1，0），B （0，1），则△ABC 的面积S ＝S 梯形OBAD ﹣S △OBC ﹣S △ACD ＝﹣＝4﹣＝2， 故选：B ．7．（5分）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲、乙必须相邻且不能排在第一位，节目丙必须排在首尾，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）A．60种B．72种C．84种D．120种【解答】解：第一类，丙排在首位，把甲乙捆绑在一起和其3个节目全排，故有A22A44＝48种，第二类，丙排在末位，先从除甲、乙、丙之外的3人选一个排在首位，把甲乙捆绑在一起和其2个节目全排，故有A31A22A33＝36种，∴故编排方案共有48+36＝84种，故选：C．8．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则双曲线C的实轴长为（）A．B．2C．4D．4【解答】解：设等轴双曲线C的方程为x2﹣y2＝λ．（λ＞0），①∵抛物线y2＝16x，2p＝16，p＝8，∴＝4．∴抛物线的准线方程为x＝﹣4．设等轴双曲线与抛物线的准线x＝﹣4的两个交点A（﹣4，y），B（﹣4，﹣y）（y ＞0），则|AB|＝|y﹣（﹣y）|＝2y＝4，∴y＝2．将x＝﹣4，y＝2代入①，得（﹣4）2﹣（2）2＝λ，∴λ＝8∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2＝8，即∴a＝，C的实轴长为2a＝4．故选：D．9．（5分）已知x0＝是函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（）A．（，）B．（，）C．（，π）D．（，π）【解答】解：∵x0＝是函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜）的一个极大值点，∴sin（+φ）＝1，∴φ＝﹣，f（x）＝sin（2x﹣），令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，再令k＝0，可得f（x）的一个单调递减区间为（，），故选：A．10．（5分）如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y＝x2图象下方的点构成的区域．在D内随机取一点，则该点在E中的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：本题是几何概型问题，区域E的面积为：S1＝，∴“该点在E中的概率”事件对应的区域面积为，则质点落在区域M内的概率是＝．故选：C．11．（5分）对于任意实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如：[﹣2.5]＝﹣3，[1.5]＝1，[5]＝5，那么[log21]+[log22]+[log23]+…+[log21023]+[log21024]＝（）A．8204B．4102C．2048D．1024【解答】解：由题意知，当2n≤x＜2n+1时，[log2x]＝n，即[log22n]＝[log2（2n+1）]＝…＝[log2（2n+1﹣1]＝n，故有2n个n，故[log21]+[log22]+[log23]+…+[log21023]+[log21024]＝0+2×1+4×2+8×3+16×4+32×5+64×6+128×7×256×8+512×9+10＝8204，故选：A．12．（5分）设函数f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使得|f（x）|≤M|x|对一切的实数x都成立，则称f（x）为“倍约束函数”．现给出下列函数：①f（x）＝2x，②f（x）＝x2+1，③f（x）＝sin x+cos x，④f（x）＝，⑤f（x）是定义在实数集上的奇函数，且对一切的x1，x2均有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|．其中是“倍约束函数”的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵对任意x∈R，存在正数M，都有|f（x）|≤M|x|成立∴对任意x∈R，存在正数K，都有M≥成立∴对于①f（x）＝2x，易知存在M＝2符合题意；对于②，＝＝|x|+≥2，故不存在满足条件的M值，故②错误；对于③，f（x）＝sin x+cos x，由于x＝0时，|f（x）|≤M|x|不成立，故③错误；对于④，＝≤恒成立，故④正确；对于⑤，当x1＝x，x2＝0时，由|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|得到|f（x）|≤2|x|成立，这样的M存在，故⑤正确；故是“倍约束函数”的函数有3个故选：C．二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在（3x2﹣）5的二项展开式中，常数项等于240．【解答】解：（3x2﹣）5二项展开式的通项公式为：T r+1＝•（3x2）5﹣r•＝•35﹣r•（﹣2）r•，令10﹣r＝0，解得r＝4，故展开式中的常数项为：•35﹣4•（﹣2）4＝240．故答案为：240．14．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则此几何体的体积V＝16．【解答】解：由三视图知几何体为四棱锥，其直观图如图：四棱锥的高为4，底面为直角梯形的面积S＝（2+4）×4＝12，∴几何体的体积V＝×12×4＝16．故答案为：16．15．（5分）已知α是第三象限的角，cos2α＝﹣，则tan（2α﹣）＝﹣．【解答】解：∵α为第三象限的角，∴2α∈（2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），又cos2α＝﹣＜0，所以2α∈（+2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），∴sin2α＝﹣＝﹣，tan2α＝＝，∴tan（2α﹣）＝＝＝﹣．故答案为：﹣．16．（5分）已知F1、F2分别是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF1的中点在y轴上，若2∠PF1F2＝∠F1PF2，那么椭圆的离心率为．【解答】解：如图，设线段PF1的中点为M，则OM∥PF2，∴PF2⊥x轴，又2∠PF1F2＝∠F1PF2，则∠PF1F2＝30°，∴sin30°＝，得．故答案为：．三、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知．（1）求f（x）的周期及其图象的对称中心；（2）△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，满足（2a﹣c）cos B＝b cos C，求f（B）的值．【解答】解：（1）∵已知＝sin+cos+1＝sin（+）+1，故f（x）的周期为＝4π．由sin（+）＝0 求得+＝kπ，k∈z，即x＝2kπ﹣，故函数的图象的对称中心为（2kπ﹣，0）．（2）△ABC中，∵（2a﹣c）cos B＝b cos C，由正弦定理可得（2sin A﹣sin C）cos B ＝sin B cos C，化简可得2sin A cos B＝sin（B+C）＝sin A，∴cos B＝，∴B＝．∴f（B）＝sin（+）+1＝+1．18．（12分）已知函数f（x）＝（x2﹣x+1）•e x+2，x∈R（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣k有且只有一个零点，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝（x2﹣x+1）•e x+2的导数为f′（x）＝（2x﹣1）e x+（x2﹣x+1）•e x＝（x2+x）•e x，即有在点（1，f（1））处的切线的斜率为2e，切点为（1，e+2），可得切线的方程为y﹣（e+2）＝2e（x﹣1），即为2ex﹣y﹣e+2＝0；（2）函数g（x）＝f（x）﹣k＝（x2﹣x+1）•e x+2﹣k，导数g′（x）＝（x2+x）•e x，由g′（x）＝0，可得x＝﹣1或x＝0，当x∈（﹣∞，﹣1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（﹣1，0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增．即有g（x）在x＝﹣1处取得极大值g（﹣1）＝+2﹣k，x＝0处取得极小值g（0）＝3﹣k，由函数g（x）＝f（x）﹣k有且只有一个零点，可得g（﹣1）g（0）＞0，即（+2﹣k）（3﹣k）＞0，解得k＜3或k＞2+，即有实数k的取值范围为（﹣∞，3）∪（2+，+∞）．19．（12分）已知数列{a n}前n项和为S n，首项为a1，且，a n，S n成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n＝（log2a3n+1）×（log2a3n+4），求证：+++…+＜．【解答】（1）解：∵，a n，S n成等差数列，∴2a n＝，当n＝1时，2a1＝，解得a1＝．当n≥2时，2a n﹣2a n＝﹣＝a n，化为：a n＝2a．﹣1∴数列{a n}是等比数列，首项为，公比为2．∴a n＝＝2n﹣2．（2）证明：b n＝（log2a3n+1）×（log2a3n+4）＝•log2（3n+2）＝（3n ﹣1）（3n﹣2），∴＝＝．∴+++…+＝+…+＝＜．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．（1）求PB和平面P AD所成的角的大小；（2）证明：AE⊥平面PCD；（3）求二面角A﹣PD﹣C得到正弦值．【解答】（1）解：在四棱锥P﹣ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴P A⊥AB，又AB⊥AD，P A∩AD＝A，∴AB⊥平面P AD，∴∠APB是PB与平面P AD所成的角，在Rt△P AB中，AB＝P A，∴∠APB＝45°，∴PB和平面P AD所成的角的大小为45°．（2）证明：在四棱锥P﹣ABCD中，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥P A，由条件AC⊥CD，P A⊥底面ABCD，利用三垂线定理得CD⊥PC，P A∩AC＝A，∴CD⊥面P AC，又AE⊂面P AC，∴AE⊥CD，由P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，得AC＝P A，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，又PC∩CD＝C，综上，AE⊥平面PCD．（3）解：过点E作EM⊥PD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AM⊥PD，∴∠AME是二面角A﹣PD﹣C的平面角，由已知得∠CAD＝30°，设AC＝a，得P A＝a，AD＝，PD＝a，AE＝，在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM•PD＝P A•AD，∴AM＝＝，在Rt△AEM中，sin∠AME＝．∴二面角A﹣PD﹣C得到正弦值为．21．（12分）设F1、F2分别为椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，若椭圆上一点M（1，）到两个焦点的距离之和等于4．又已知点A是椭圆的右顶点，直线l交椭圆Γ于E、F两点（E、F与A点不重合），且满足AE⊥AF．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）O为坐标原点，若点P满足2＝+，求直线AP的斜率的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意，可得2a＝4，即a＝2，又点在椭圆上，将点M（1，）代入椭圆方程可知，解得：b2＝3，∴椭圆Γ的标准方程为；…（3分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（2，0），设直线AE的方程为y＝k（x﹣2），，整理得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12＝0，由韦达定理可知：2+x E＝，可得x E＝，y E＝k（x E﹣2）＝，由于AE⊥AF，只要将上式的k换为﹣，可得x F＝，y F＝，由2＝+，可得P为EF的中点，即有P（，），则直线AP的斜率为t＝＝，当k＝0时，t＝0；当k≠0时，t＝，再令s＝，可得t＝，当s＝0时，t＝0；当s＞0时，t＝≤＝，当且仅当4s＝时，取得最大值；当s＜0时，t＝≥﹣，综上可得：直线AP的斜率的取值范围是[﹣，]．22．（12分）已知函数．（I）当a＝1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．【解答】解：（I），定义域为（0，+∞）．∵，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．当x≥1时，f（x）≥f（1）＝1；（3分）（Ⅱ）∵，∵若f（x）存在单调递减区间，∴f′（x）＜0有正数解．即ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．（5分）①当a＝0时，明显成立．②当a＜0时，y＝ax2+2（a﹣1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a﹣1）x+a＜0总有x＞0的解；③当a＞0时，y＝ax2+2（a﹣1）x+a开口向上的抛物线，即方程ax2+2（a﹣1）x+a＝0有正根．因为x1x2＝1＞0，所以方程ax2+2（a﹣1）x+a＝0有两正根．，解得．综合①②③知：．（9分）（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，∴．∵，∴．（12分）（法二）当n＝1时，ln（n+1）＝ln2．∵3ln2＝ln8＞1，∴，即n＝1时命题成立．设当n＝k时，命题成立，即．∴n＝k+1时，．根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，则有，即n＝k+1时命题也成立．因此，由数学归纳法可知不等式成立．（12分）。

普宁二中2012-2013学年高二下学期期中考理科数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共50分） 注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数(1+i)2=（ ）A ． 2iB ．－2iC ．－2D ．2+2i2. 若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a R ∈，结论是：20a >，那么这个演绎推理所得结论错误的原因是：（ ）.A ．小前提错误B ．大前提错误C ．推理形式错误D ．大前提小前提都错 3.已知0x >，函数16y x x =+的最小值是（ ）A ．5B ．4C ．8D ．64. 在ABC ∆中，若222b c a bc +-=，则角A 为（ ）A ．6πB ．3πC ．4πD ．2π5. 已知向量()1,2=a ，=b （x, －4），若a b 与共线，则x 的值为( )A ．2B ．8C ．2±D ．－26. 用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①9090180A B C C ++=︒+︒+>︒，这与三角形内角和为180︒相矛盾，90A B ==︒不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A 、B 、C 中有两个直角，不妨设90A B ==︒； 正确顺序的序号为 ( )A ．③①②B ．①②③C ．①③②D ．②③① 7. 函数y=x3+2x2－3在点（1，0）处的切线方程为（ ）A. y=3x －4B. y=7x －7C. y=－6x+5D. y=7x+6 8. 三棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是正方形，主视图 左视图左视图是等腰直角三角形）如图所示,则这个三棱柱的全面积等于 ( ) A．12+ B．6+C．8+ D．27+ 9．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（ ）A ．)32sin(2π-=x yB ．)32sin(2π+=x yC ．)322sin(2π+=x yD ．)32sin(2π-=x y10. 若定义运算ba ba b a a b<⎧⊕=⎨≥⎩，则函数()212log log f x x x=⊕的值域是（ ）A.[)0,+∞ B. [)1,+∞ C. R D. (]0,1第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．11．函数sin 2y x =的最小正周期是 . 12. 命题“若b a >，则221a b≤-”的否命题为______________________________.13. 过原点且倾斜角为45的直线被圆2240x y x +-=所截得的弦长为__________． 14.依次有下列等式：222576543,3432,11=++++=++=，按此规律下第5个等式为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分）已知复数z=(m2+m －2) +(m2－2m)i （1）实数m 取什么值时，z 是实数；（2）实数m 取什么值时，与z 对应的点在第四象限．16．（本小题满分14分）某种产品的广告费用支出x （万元）与销售额y （万元）之间有如下的对应 数据：（1）在给出的直角坐标系中画出散点图；（2）求回归直线方程； （3）据此估计广告费用为10万元时，销售收入y 的值． 参考公式：回归直线的方程a bx y+=ˆ， 其中1122211()(),()nniii i i i nniii i x x y y x y nx yb a y bxx x xnx====---===---∑∑∑∑参考数据： 521145ii x==∑，52113500ii y==∑，511380iii x y==∑17. (本小.题满分12分)如图, 四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是正方形, PA ⊥底面ABCD, E, F 分别是AC, PB 的中点. 求证：(Ⅰ) EF ∥平面PCD ； (Ⅱ) BD ⊥平面PAC.18.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足213(1,)22n S n n n n N *=+≥∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n T 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前n 项和，求使不等式20121005>n T 成立的n 的最小值.19．（本小题满分14分）ABCDPEF （第17题）已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5．过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M. （1）求抛物线的方程；（2）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；（3）以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，讨论直线AK 与圆M 的位置关系.20．（本小题满分14分）已知函数323()31,f x ax x a=-+-（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）在0a >的情况下，若曲线()y f x =上两点,A B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实数a 的取值范围.高二下理科数学期中考参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.二.填空：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11. π 12. ,a b ≤若则221a b>- 13.14.5+6+7+…+13= 92三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（本小题满分12分） 解：（1）由题意，得m2－2m=0 解得m=0或m=2 ………………5分 ∴当m=0或m=2时，z 是实数. ………………6分 （2）由题意，得222020m m m m ⎧+->⎨-<⎩ 解得1<m<2 ………………11分∴当1<m<2时，与z 对应的点在第四象限. ………………12分 16. （本小题满分14分） 解：（1）作出散点图如下图所示：………………5分（2）1(24568)55x =⨯++++=，1(3040605070)505y =⨯++++=…………7分 222513805550 6.5145555i i ix y x y b x x --⨯⨯===-⨯-∑∑，50 6.5517.5a y bx =-=-⨯=…………11分因此回归直线方程为6.517.5y x =+；………………12分（3）10x =时，预报y 的值为10 6.517.582.5y =⨯+=（万元）．………………14分17 .（本小题满分12分）证明: (Ⅰ)连结BD, 则E 是BD 的中点. 又F 是PB 的中点,所以EF ∥PD.因为EF ⊄平面PCD, P PCD D ⊂平面 所以EF ∥平面PCD.……6分(Ⅱ) ∵ABCD 是正方形， ∴BD ⊥AC.又PA ⊥平面ABC ，ABC BD ⊂面ABCDPEF （第17题）∴PA ⊥BD.又PA AC=A ⋂∴BD ⊥平面PAC. …12分 18. （本小题满分14分） 解：（1）111)1,2n a S ===当时 ……………………………………………2分22113132)2,(1)(1)2222 1n n n n a S S n n n n n -⎡⎤≥=-=+--+-⎢⎥⎣⎦=+当时……………6分12,1()n a a n n N *=∴=+∈ ……………………………………………………7分（2）)2(1)1(1)2)(1(111+-+=++=+n n n n a a n n，……………………………8分)2(221212111....41313121+=+-=+-+++-+-=∴n n n n n T n ………10分10051005,201020122(2)2012n n T n n >>∴>+又得 …………………12分2011n ∴的最小值为 ………………………………14分(19) （本小题满分14分）解：（1）抛物线.2,524,222=∴=+-==p pp x px y 于是的准线为∴抛物线方程为y2= 4x. ………………4分（2）∵点A 的坐标是（4，4）， 由题意得B （0，4），M （0，2），又∵F （1，0）， ∴,43,;34-=∴⊥=MN FA k FA MN k 则FA 的方程为y=34（x －1），MN 的方程为.432x y -=- 解方程组).54,58(5458,432)1(34N y x x y x y ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=得 ………………9分（3）由题意得，圆M 的圆心是点（0，2），半径为2.当m=4时，直线AK 的方程为x=4，此时，直线AK 与圆M 相离，当m ≠4时，直线AK 的方程为),(44m x m y --=即为,04)4(4=---m y m x圆心M （0，2）到直线AK 的距离2)4(16|82|-++=m m d ，令1,2>>m d 解得1>∴m 当时，直线AK 与圆M 相离；当m=1时，直线AK 与圆M 相切；当1<m 时，直线AK 与圆M 相交. ………………14分 20. （本小题满分14分）解（1）由220,()363()a f x ax x ax x a '≠=-=- 令()0f x '=得1220,x x a==.………………1分 当（i ）0a >时，若(,0)x ∈-∞，则()0f x '>，所以()f x 在区间(,0)-∞上是增函数；…………2分若2(0,)x a ∈，则()0f x '<，所以()f x 在区间2(0,)a 上是减函数；………………3分 若2(,)x a ∈+∞，则()0f x '>，所以()f x 在区间2(,)a +∞上是增函数；…………4分（i i ）当0a <时，若2(,)x a ∈-∞，则()0f x '<，所以()f x 在区间)2,(a -∞上是减函数；……………5分 若2(,0)x a ∈，则()0f x '>，所以()f x 在区间2(,0)a 上是增函数；………………6分 若(0,)x ∈+∞，则()0f x '<，所以()f x 在区间(0,)+∞上是减函数. …………7分（2）由（1）中（i ）的讨论及题设知，曲线()y f x =上的两点,A B 的纵坐标为函数的极值，且函数()y f x =在20,x x a ==处分别是取得极大值和极小值………………8分3(0)1f a =-，2243()1f a a a =--+.………………9分因为线段AB 与x 轴有公共点，所以(0)02()0f f a ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩并且两等号不能同时成立…………10分即23(1)043(1)0a a a -≥--+≤⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩并且两等号不能同时成立………………11分由已知0a >故304a a ≥⎧⎨<≤⎩.………………12分 解得 34a ≤≤.………………13分 即所求实数a 的取值范围是[]3,4.………………14分。