2020年三省三校(辽宁实验、东北师大附中、哈师大附中)一模考试文科数学试卷(含答案解析)

2020年高三第一次联合模拟考试文科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0322<--=x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=11x xB 则=)(B AC R Y （ ） A.),3()1,(+∞--∞Y B.),3[]1,(+∞--∞Y C.),3[+∞ D.),1[]1,(+∞--∞Y 2.已知复数),(R b a bi a z ∈+=，1+i z是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为（ ）A.0=+b aB.0=-b aC.02=-b aD.02=+b a 3.已知βα,是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是（ ） A.若βα⊥，则β∥m B.若βα⊥，则β⊥m C.若β∥m ，则βα∥ D.若β⊥m ，则βα⊥4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取13=n ，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（ ）A.9B.10C.11D.12 5.下列说法中正确的是（ ）A.若“b a >”是“c a >”的充分条件，则“c b ≥”B.若“b a >”是“c a >”的充分条件，则“c b ≤”C.若“b a >”是“c a >”的充要条件，则“c b >”D.若“b a <”是“c a >”的充要条件，则“c b <”6.已知在边长为3的等边ABC ∆的中，DC BD 21=，则AC AD ⋅=（ ） A.6 B.9 C.12 D.6-7.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且87cos 21=∠AF F ，则椭圆的离心率e =（ ） A.21 B.23 C.41D.478.已知函数x x x f 2cos 32sin )(+=的图像向右平移)20(πϕϕ<<个单位后，其图像关于y 轴对称，则=ϕ（ ）A.12π B.6π C.3π D.125π9.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，⊥ED 平面ABCD ，⊥FC 平面ABCD ，22==FC ED ，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（ ）A.31 B.55 C.10103 D.3210.已知双曲线1322=-y x 的左、右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，且ο12021=∠PF F ，21PF F ∆的面积为（ ）A.32B.3C.52D.5 11.已知数{}n a 列的通项公式为22+=n a n ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前6项和为（ ）A.125 B.65 C.76 D.73 12.已知)(x f 满足⎪⎩⎪⎨⎧<-≤--=0),2(210,84)(2x x f x x x x f ，若在区间)3,1(-内，关于x 的方程)()(R k k kx x f ∈+=有4个根，则实数k 的取值范围是（ ）A.410≤<k 或1528-=k B.410≤<k C.15280-≤<k D.410<<k第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.已知向量)1,2sin 2(cos ),2,2sin2(cos -+=-=αααααn m ρρ，其中),0(πα∈，若n m ρρ⊥，则=α .14.已知函数xx ae e x f -+=)(在]1,0[上不单调，则实数a 的取值范围为 .15.数列{}n a 满足11=a ，),2(2)12(*2N n n S S a n n n ∈≥=-，则n a = .16.已知函数5)(,ln )(23--=+=x x x g x x x a x f ，若对于任意的]2,21[,21∈x x ，都有2)()(21≥-x g x f 成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c a C b +=2cos 2（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=a ，D 为AC 的中点，且3=BD ，求c .18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC C B A -111中，⊥1BB 平面ABC ，BC AB ⊥，2=AB ，1=BC ，31=BB ，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点.（Ⅰ）证明：DE ∥平面11BA C ；（Ⅱ）F 是线段1CC 上一点，且12FC CF =，求1A 到平面ABF 的距离.19.（本小题满分12分）2020年2月1日0：00时，英国顺利“脱欧”.在此之前，英国“脱欧”这件国际大事被社会各界广泛关注，英国大选之后，曾预计将会在2020年1月31日完成“脱欧”，但是因为之前“脱欧”一直被延时，所以很多人认为并不能如期完成，某媒体随机在人群中抽取了100人做调查，其中40岁以上的55人中有10人认为不能完成，40岁以下的人中认为能完成的占32. （Ⅰ）完成22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“预测国际大事的准确率与年龄有关”？能完成 不能完成合计 40岁以上 40岁以下 合计（Ⅱ）从上述100人中，采用按年龄分层抽样的方法，抽取20人，从这20人中再选取40岁以下的2人做深度调查，则2人中恰有1人认为英国能够完成“脱欧”的概率为多少？附表：参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=20.（本小题满分12分）已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线21:-=x l 相切，与定圆⊙：F 41)1(22=+-y x 相外切.（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点N M 、（MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为11N M 、，直线l 交x 轴于点A ，记11ANN AMN AMM ∆∆∆、、的面积分别为321S S S 、、，且31224S S S =，证明：直线MN 过定点.21.（本小题满分12分） 已知函数)0(2ln )(2>-+-=a xxa x a x x f . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）记函数)(x f 的最小值为)(a g .证明：1)(<a g .。

高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数（1-i）（3+i）的虚部是（）A. 4B. -4C. 2D. -22.若集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|log3x≤1}，则A∩B=（）A. {x|-1≤x≤2}B. {x|0＜x≤2}C. {x|1≤x≤2}D. {x|x≤-1或x＞2}3.已知向量，的夹角为60°，，，则（）A. B. C. D.4.设直线y=x-与圆O：x2+y2=a2相交于A，B两点，且|AB|=2，则圆O的面积为（）A. πB. 2πC. 4πD. 8π5.等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a10=16，a8=11，则S7=（）A. 30B. 35C. 42D. 566.已知α∈（0，），tan（）=-3，则sinα=（）A. B. C. D.7.执行两次下图所示的程序框图,若第一次输入的x的值为4，第二次输入的x的值为5,记第一次输出的a的值为,第二次输出的a的值为,则=（）A. 0B. -1C. 1D. 28.设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系为（）A. a＜b＜cB. b＜c＜aC. a＜c＜bD. c＜a＜b9.已知α，β是不重合的平面，m，n是不重合的直线，则m⊥α的一个充分条件是（）A. m⊥n，n⊂αB. m∥β，α⊥βC. n⊥α，n⊥β，m⊥βD. α∩β=n，α⊥β，m⊥n10.圆周率是圆的周长与直径的比值,一般用希腊字母π表示.早在公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之就得出精确到小数点后7位的结果，他是世界上第一个把圆周率的数值计算到小数点后第七位的人,这比欧洲早了约1000年.在生活中，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值:从区间[-1,1]内随机抽取200个数，构成100个数对(x,y),其中满足不等式的数对(x,y)共有11个,则用随机模拟的方法得到的π的近似值为（）A. B. C. D.11.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F（-，0），点A的坐标为（0，2），点P为双曲线右支上的动点，且△APF周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 2 D.12.若函数f（x）=e x-ax2在区间（0，+∞）上有两个极值点x1，x2（0＜x1＜x2），则实数a的取值范围是（）A. aB. a＞eC. a≤eD. a二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x，y满足约束条件：，则z=2x+y的最大值是______．14.甲、乙、丙三人中,只有一个会弹钢琴.甲说:“我会”,乙说:“我不会”,丙说:“甲不会”.如果这三句话只有一句是真的,那么会弹钢琴的是_____.15.等比数列中各项均为正数,是其前n项和,且满足,,则______．16.四面体A-BCD中，AB⊥底面BCD，AB=BD=，CB=CD=1，则四面体A-BCD的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.设函数f（x）=sin（2x-）+2cos2x．（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）=，a=，b=2，求△ABC的面积．18.世界卫生组织的最新研究报告显示，目前中国近视患者人数多达6亿，高中生和大学生的近视率均已超过七成，为了研究每周累计户外暴露时间（单位：小时）与近视发病率的关系，对某中学一年级200名学生进行不记名问卷调查，得到如下数据：（Ⅰ）在每周累计户外暴露时间不少于28小时的4名学生中，随机抽取2名，求其中恰有一名学生不近视的概率；（Ⅱ）若每周累计户外暴露时间少于14个小时被认证为“不足够的户外暴露时间”，根据以上数据完成如下列联表，并根据（Ⅱ）中的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系？附：K2=19.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，P在平面ABCD上的射影为G，且G在AD上，且AG=GD，BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，四面体P-BCG的体积为．（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成的角余弦值；（Ⅱ）求点D到平面PBG的距离；（Ⅲ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值．20.已知F1，F2分别是椭圆E：=1（a＞b＞0）的左，右焦点，点P（-1，）在椭圆E上，且抛物线y2=4x的焦点是椭圆E的一个焦点．（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；（Ⅱ）过点F2作不与x轴重合的直线l，设l与圆x2+y2=a2+b2相交于A，B两点，且与椭圆E相交于C，D两点，当=1时，求△F1CD的面积．21.已知函数f（x）=e x（e为自然对数的底数），g（x）=ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=e时，求函数t（x）=f（x）-g（x）的极小值；（Ⅱ）若当x≥1时，关于x的方程f（x）+ln x-e=g（x）-a有且只有一个实数解，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），直线l的方程为y=kx，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C与直线l交于A，B两点，若|OA|+|OB|=2，求k的值．23.已知函数f（x）=|x-4a|+|x|，a∈R．（Ⅰ）若不等式f（x）≥a2对∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设实数m为（Ⅰ）中a的最大值，若实数x，y，z满足4x+2y+z=m，求（x+y）2+y2+z2的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵（1-i）（3+i）=4-2i．∴复数（1-i）（3+i）的虚部是-2．故选：D．再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.【答案】B【解析】解：B={x|0＜x≤3}；∴A∩B={x|0＜x≤2}．故选：B．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法的定义，对数函数的单调性，以及交集的运算．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了向量数量积的定义及性质的简单应用，属于基础试题．由已知结合向量数量积的定义可求，然后根据向量数量积的性质|3+|=，展开后可求．【解答】解：∵向量，的夹角为60°，||=1，||=2，∴==1，则|3+|====，故选：C．4.【答案】C【解析】解：根据题意，圆O：x2+y2=a2的圆心为（0，0），半径r=|a|，圆心到直线y=x-的距离d==1，又由弦长|AB|=2，则有a2=1+（）2=4，则圆O的面积S=πa2=4π；故选：C．根据题意，求出圆O的圆心与半径，求出圆心O到直线的距离，由直线与圆的位置关系可得a2=1+（）2=4，结合圆的面积公式计算可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于基础题．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查等差数列的前7项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．利用等差数列通项公式列方程组，能求出a1和d由此再利用等差数列前n项和公式能求出S7．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2+a10=16，a8=11，∴，解得a1=，d=，∴S7=7a1+=35．故选：B．6.【答案】A【解析】解：∵利用两角和的正切公式得tan（）==-3，∴tanα=2．∵α∈（0，），∴．再根据sin2α+cos2α=1，解得．故选：A．利用两角和的正切公式求出tanα，再结合角的范围及同角三角函数基本关系即可求出sinα．本题考查两角和的正切公式，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查的知识点是程序框图，属于基础题．根据已知中的程序框图，模拟程序的执行过程，可得答案．【解答】解：当输入的x值为4时，b=2，第一次，不满足b2＞x，满足x能被b整除，故输出a=0；当输入的x值为5时，第一次，不满足b2＞x，也不满足x能被b整数，故b=3；第二次，满足b2＞x，故输出a=1；即第一次输出的a的值为a1的值为0，第二次输出的a的值为a2的值为1，则a1-a2=0-1=-1．故选：B．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了指数函数和幂函数的单调性，属于基础题．根据指数函数和幂函数的单调性即可求出．【解答】解：由函数y=（）x为减函数，可知b＜c，由函数y=x为增函数，可知a＞c，即b＜c＜a，故选B．9.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面垂直的位置关系是解决本题的关键．根据空间直线和平面垂直的判定定理以及性质结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】解：当n⊥β，m⊥β时，m∥n，当n⊥α时，m⊥α，即充分性成立，即m⊥α的一个充分条件是C，故选C．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查了几何概型中的面积型，及不等式表示的平面区域，属于中档题.由不等式表示的平面区域得：不等式y＞的平面区域为正方形内位于第一，二象限圆x2+y2=1外的区域，由几何概型中的面积型得：=，即π==，得解．【解答】解：从区间[-1，1]内随机抽取200个数，构成100个数对（x，y），其中满足不等式y＞的数对（x，y）共有11个，即从区间[-1，1]内随机抽取200个数，构成100个数对（x，y），其中满足不等式y≤的数对（x，y）共有100-2×11=78个，由几何概型中的面积型可得：=，所以π==，故选：A.11.【答案】D【解析】【分析】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查三点共线取得最小值的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．由题意可得|AF|=3，可得|PA|+|PF|的最小值为5，由双曲线的定义可得|PA|+|PF'|+2a的最小值为5，当A，P，F'三点共线时，取得最小值，可得a=1，由离心率公式可得所求值．【解答】解：由题意可画下图，则|AF|==3，又因为三角形APF的周长的最小值为8，可得|PA|+|PF|的最小值为5，又F'为双曲线的右焦点，可得|PF|=|PF'|+2a，当A，P，F'三点共线时，|PA|+|PF'|取得最小值，即|PA|+|PF'|=|AF'|=3，则有3+2a=5，即a=1，c=，可得e==．故选：D．12.【答案】D【解析】解：f′（x）=e x-2ax，若f（x）在（0，+∞）上有两个极值点x1，x2（0＜x1＜x2），则y=e x和y=2ax在（0，+∞）上有2个交点，设直线y=2ax和y=e x相切时切点是A（m，e m），则y′=e x，y′|x=m=e m，故y-e m=e m（x-m），即y=e m x+（1-m）e m=2ax，故（1-m）e m=0，解得：m=1，故A（1，e），故2a=e，a=，故直线y=2ax和y=e x相交时，a＞，故选：D．求出函数的导数，问题转化为y=e x和y=2ax在（0，+∞）上有2个交点，设直线y=2ax和y=e x相切时切点是A（m，e m），求出临界值，求出a的范围即可．本题考查了切线方程，考查函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．13.【答案】3【解析】解：作出x，y满足约束条件：对应的平面区域如图：（阴影部分），由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（，），代入目标函数z=2x+y得z=3．即目标函数z=2x+y的最大值为3．故答案为：3．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14.【答案】乙【解析】【分析】本题考查了进行简单的合情推理，属于基础题．先理解题意，再进行简单的合情推理，逐一进行检验即可得解．【解答】解：①设会弹钢琴的是甲，则甲、乙说的是真话，与题设矛盾，故会弹钢琴的不是甲，②设会弹钢琴的是乙，则丙说的是真话，与题设相符，故会弹钢琴的是乙，③设会弹钢琴的是丙，则乙、丙说的时真话，与题设矛盾，故会弹钢琴的不是丙，综合①②③得：会弹钢琴的是乙，故答案为：乙.15.【答案】30【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，q＞0，∵2S3=8a1+3a2，a4=16，∴2a1（1+q+q2）=a1（8+3q），=16，解得a1=q=2．则S4==30．故答案为：30．16.【答案】4π【解析】【分析】本题考查多面体外接球表面积的求法，补形是关键，是中档题．由题意画出图形，补形为长方体，求其对角线长，可得四面体外接球的半径，则表面积可求．【解答】解：如图，在四面体A-BCD中，AB⊥底面BCD，AB=BD=，CB=CD=1，可得∠BCD=90°，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，，则长方体的对角线长为，则三棱锥A-BCD的外接球的半径为1，其表面积为4π×12=4π．故答案为4π．17.【答案】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）f（x）=sin（2x-）+2cos2x=sin2x+cos2x+1=sin（2x+）+1，…………………（2分）∵x∈[0，]，∴≤2x+≤，…………………（4分）∴sin（2x+）+1≤2，∴函数f（x）的值域为[，2]；…………………（6分）（Ⅱ）∵f（A）=sin（2A+）+1=，∴sin（2A+）=，∵0＜A＜π，∴＜2A+＜，∴2A+=，即A=，…………………（8分）由余弦定理，a2=b2+c2-2bc cos A，∴6=4+c2-2c，即c2-2c-2=0，又c＞0，∴c=1+，…………………（10分）∴S△ABC=bc sin A==+．…………………（12分）【解析】（Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+）+1，由已知可求范围≤2x+≤，利用正弦函数的性质可求其值域．（Ⅱ）由已知可求sin（2A+）=，可求范围＜2A+＜，从而可求A=，由余弦定理解得c的值，即可根据三角形的面积公式计算得解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设“随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视”为事件A，则P （A）==故随机抽取2名，其中恰有一名学生不近视的概率为．所以K2的观测值k2==8.000＞6.635，故能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为不足够的户外暴露时间与近视有关系．【解析】（Ⅰ）根据古典概型概率公式计算可得；（Ⅱ）先得2×2列联表，再根据表格中数据计算k2，再根据临界值表作答．本题考查了独立性检验，属中档题．19.【答案】解：（I）由已知，∴PG=4．在平面ABCD内，过C点作CH∥EG交AD于H，连接PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角．在△PCH中，，由余弦定理得，cos∠PCH=，∴异面直线GE与PC所成的角的余弦值为．（II）∵PG⊥平面ABCD，PG⊂平面PBG∴平面PBG⊥平面ABCD，在平面ABCD内，过D作DK⊥BG，交BG延长线于K，则DK⊥平面PBG∴DK的长就是点D到平面PBG的距离．∵．在△DKG，DK=DG sin45°=，∴点D到平面PBG的距离为．（III）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连接MF，又因为DF⊥GC，∴GC⊥平面MFD，∴GC⊥FM．由平面PGC⊥平面ABCD，∴FM⊥平面ABCD∴FM∥PG；由GM⊥MD得：GM=GD•cos45°=．∵，∴由DF⊥GC可得．【解析】（1）先利用等体积法求出PG的长，在平面ABCD内，过C点作CH∥EG交AD于H，连接PH，则∠PCH（或其补角）就是异面直线GE与PC所成的角，在△PCH 中利用余弦定理求出此角即可；（2）在平面ABCD内，过D作DK⊥BG，交BG延长线于K，则DK⊥平面PBG，DK 的长就是点D到平面PBG的距离，在△DKG利用边角关系求出DK长；（3）在平面ABCD内，过D作DM⊥GC，M为垂足，连接MF，先证明FM∥PG，然后利用三角形相似对应边成比例建立等量关系即可．本题主要考查四棱锥的有关知识，以及求异面直线所成角的问题，以及分析问题与解决问题的能力．简单几何体是立体几何解答题的主要载体，特别是棱柱和棱锥．20.【答案】解：（Ⅰ）y2=4x焦点为F（1，0），则F1（-1，0），F2（1，0），2a=|PF1|+|PF2|=2解得a=，c=1，b=1，所以椭圆E的标准方程为+y2=1，（Ⅱ）由已知，可设直线l方程为x=ty+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立得（t2+1）y2+2ty-2=0 易知△＞0，则y1+y2=-，y1y2=-，所以•=（x1+1）（x2+1）+y1y2=（ty1+2）（ty2+2）+y1y2=（t2+1）y1y2+2t（y1+y2）+4=因为=1，所以=1，解得t2=．联立，得（t2+2）y2+2ty-1=0 易知△=8（t2+1）＞0，设C（x3，y3），B（x4，y4），则y3+y4=-，y1y2=-，∴|y3-y4|==∴△F1CD的面积S=|F1F2|•|y3-y4|===【解析】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查三角形的面积计算公式，把面积比转化为长度比是解题的关键，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．（Ⅰ）y2=4x焦点为F（1，0），则F1（-1，0），F2（1，0），2a=|PF1|+|PF2|=2，求解a，b即可得到椭圆方程．（Ⅱ）设直线l的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），利用联立可得（t2+1）y2+2ty-2=0，通过韦达定理以及向量的数量积推出解得t2=．联立，得（t2+2）y2+2ty-1=0．设C（x3，y3），D（x4，y4），利用韦达定理，求解三角形的面积．21.【答案】解：（Ⅰ）当a=e时，t（x）=e x-ex，t′（x）=e x-e，………（1分）令t′（x）=0，则x=1，………（分）所以t（x）极小值=t（1）=e-e=0……………（5分）（Ⅱ）设F（x）=f（x）-g（x）+ln x-e+a=e x-ax+ln x-e+a，（x≥1），F′（x）=e x-a+，（x≥1），设h（x）=e x-a+，h′（x）=，………（7分）由x≥1得，x2≥1，x2e x-1＞0，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）单调递增，即F′（x）在（1，+∞）单调递增，F′（1）=e+1-a，①当e+1-a≥0，即a≤e+1时，x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）在（1，+∞）单调递增，又F（1）=0，故当x≥1时，关于x的方程f（x）+ln x-e=g（x）-a有且只有一个实数解…（9分）②当e+1-a＜0，即a＞e+1时，由（Ⅰ）可知e x≥ex，所以F′（x）=e x+-a≥ex+-a，F′（）≥e•+-a=＞0，又＞=1，故∃x0∈（1，），F′（x0）=0，当x∈（1，x0）时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，又F（1）=0，故当x∈（1，x0]时，F（x）＜0，在[1，x0）内，关于x的方程f（x）+ln x-e=g（x）-a有一个实数解1．又x∈（x0，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增，且F（a）=e a+ln a-a2+a-e＞e a-a2+1，令k（x）=e x-x2+1（x≥1），s（x）=k′（x）=e x-2x，s′（x）=e x-2≥e-2＞0，故k′（x）在（1，+∞）单调递增，又k′（1）＞0，故x＞1时，k′（x）＞0，k（x）在（1，+∞）单调递增，故k（a）＞k（1）＞0，故F（a）＞0，又a＞＞x0，由零点存在定理可知，∃x1∈（x0，a），F（x1）=0，故在（x0，a）内，关于x的方程f（x）+ln x-e=g（x）-a有一个实数解x1，又在[1，x0）内，关于x的方程f（x）+ln x-e=g（x）-a有一个实数解1．综上，a≤e+1…（12分）【解析】（Ⅰ）代入a的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极小值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，结合方程的解的个数确定a的范围即可．本题考查了函数的单调性，极值，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22.【答案】解：（Ⅰ）∵，∴x2-4x+y2+1=0∴曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ+1=0．（Ⅱ）设直线l的极坐标方程为θ=θ1（ρ∈，θ1∈[0，）(π）），其中θ1为直线l的倾斜角，代入曲线C得ρ2-4ρcosθ1+1=0，设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2．ρ1+ρ2=4cosθ1，ρ1ρ2=1＞0，=16cos2θ1-4＞0,∴|OA|+|OB|=|ρ1|+|ρ2|=|ρ1+ρ2|=2，∴cosθ1=±满足＞0,∴θ1=或,∴l的倾斜角为或，则k=tanθ1=或-．【解析】本题考查了参数方程化成普通方程，属于中档题．（Ⅰ）先消去α得C的普通方程，再化成极坐标方程；（Ⅱ）设直线l的极坐标方程为θ=θ1（ρ∈，θ1∈[0，）(π）），其中θ1为直线l的倾斜角，代入C的极坐标方程，利用韦达定理可求得．23.【答案】解：（Ⅰ）因为f（x）=|x-4a|+|x|≥|x-4a-x|=4|a|，所以a2≤4|a|，解得：-4≤a≤4．故实数a的取值范围为[-4，4]；（Ⅱ）由（1）知，m=4，即4x+2y+z=4，根据柯西不等式（x+y）2+y2+z2=[（x+y）2+y2+z2]•[42+4+1]≥[4（x+y）-2y+z]2=等号在==z即x=，y=-，z=时取得．所以（x+y）2+y2+z2的最小值为．【解析】（Ⅰ）根据基本不等式的性质得到关于a的不等式，解出即可；（Ⅱ）根据柯西不等式的性质求出代数式的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式，考查基本不等式以及柯西不等式的性质，是一道常规题．。

1 一模文数参考答案二、填空题13.3π14.),1(2e 15.992- 16.),1[+∞三、解答题17.（本小题满分12分）（I ）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =++，又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，得2cos sin sin 0B C C +=， ……3分 因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =-．因为0B π<<，所以23B π=． ……6分（II ）因为D 为AC 的中点，所以2BA BC BD +=u u u r u u u r u u u r ，所以22()(2)BA BC BD +=u u u r u u u r u u u r ，又23B π=，所以1222=-+ac c a因为2a =，解方程0822=--c c ，得4c =． ……………………12分18. （本小题满分12分）（1）设B A 1中点为M ，连M C EM 1,1BAA ∆中M 是B A 1中点，E 是AB 的中点，则1//AA EM 且121AA EM =，棱柱中侧棱11//AA CC ，且D 是1CC 的中点，则11//AA DC 且1121AA DC =，所以1//DC EM ，1DC EM =，所以M C DE 1//，又⊄ED 平面11BA C 且⊂1MC 平面11BA C ，所以//DE 平面11BA C …… …… ……4分（2）F 在线段1CC 上，且12FC CF =，棱柱中311==BB CC ，所以2=CF侧面11A ABB 中AB B A //11，且⊂AB 平面ABF ，⊄11B A 平面ABF ，所以//11B A 平面ABF ，11,B A 到平面ABF 的距离相等. …… …… …… …… …… ………… …… ……6分 在平面11B BCC 中作⊥H B 1直线BF 于H ①⊥1BB 平面ABC 得⊥1BB AB ，又BC AB ⊥，所以⊥AB 平面11B BCC ，因为⊂H B 1平面11B BCC ，。

2024届东北三省三校第一次联考数学试题
+答案
2024年2月东北三省三校高三一模数学试题
2024年2月东北三省三校高三一模数学试题及参考答案
东北三省三校联考的意义
东北地区最具影响力的高考联合模拟考试，一个是三省四市联合模拟考试，另一个是三省三校联合模拟考试，三省四市模考由东北F4市教研院组织，参加学校基本为四市市重点高中。

三省三校联考由东北排名第一的高中东北师大附中，哈尔滨市排名第二的高中哈师大附中以及辽宁省实验中学联合举办，参加学校多为省重点高中，两类考试在东北享有很高的声誉，为莘莘学子备考提供重要参考!
高三模拟考试和高考哪个更难
这个回答没有绝对的答案，因为每年的模拟卷内容不通、高考的考卷难度也不同。

而且因为考生的成绩不同，对于考卷的难易程度判断也不同。

所以这个问题没有确切的答案。

如果按照总体的水平来评估，高考试卷的难度不会高于模拟卷，高考中基础部分和中级难度的题目占比在80%左右，只有20%是拔高题。

所以如果基础知识打的好，那么对于考生来说，高考题目不难。

高考的题目的难度是在问法、提问方式上，而并不是运用了超纲的知识点，与大家传统意义上的难度不通。

相比高考的难度，模拟考要更难一点。

因为模拟考的目的是希望通过考试来判断学生对知识点的掌握情况，如果过于简单就起不到探底的目的。

2020年高三第一次联合模拟考试文科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0322<--=x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=11x xB 则=)(B AC R （ ） A.),3()1,(+∞--∞ B.),3[]1,(+∞--∞ C.),3[+∞ D.),1[]1,(+∞--∞ 2.已知复数),(R b a bi a z ∈+=，1+i z是实数，那么复数z 的实部与虚部满足的关系式为（ ）A.0=+b aB.0=-b aC.02=-b aD.02=+b a 3.已知βα,是两个不同的平面，直线α⊂m ，下列命题中正确的是（ ） A.若βα⊥，则β∥m B.若βα⊥，则β⊥m C.若β∥m ，则βα∥ D.若β⊥m ，则βα⊥4.大约在20世纪30年代，世界上许多国家都流传着这样一个题目：任取一个正整数n ，如果它是偶数，则除以2；如果它是奇数，则将它乘以3加1，这样反复运算，最后结果必然是1，这个题目在东方称为“角谷猜想”，世界一流的大数学家都被其卷入其中，用尽了各种方法，甚至动用了最先进的电子计算机，验算到对700亿以内的自然数上述结论均为正确的，但却给不出一般性的证明，例如取13=n ，则要想算出结果1，共需要经过的运算步数是（ ）A.9B.10C.11D.12 5.下列说法中正确的是（ ）A.若“b a >”是“c a >”的充分条件，则“c b ≥”B.若“b a >”是“c a >”的充分条件，则“c b ≤”C.若“b a >”是“c a >”的充要条件，则“c b >”D.若“b a <”是“c a >”的充要条件，则“c b <”6.已知在边长为3的等边ABC ∆的中，DC BD 21=，则AC AD ⋅=（ ） A.6 B.9 C.12 D.6-7.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21F F 、，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且87cos 21=∠AF F ，则椭圆的离心率e =（ ） A.21 B.23 C.41D.478.已知函数x x x f 2cos 32sin )(+=的图像向右平移)20(πϕϕ<<个单位后，其图像关于y 轴对称，则=ϕ（ ）A.12π B.6π C.3π D.125π9.如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，⊥ED 平面ABCD ，⊥FC 平面ABCD ，22==FC ED ，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（ ）A.31 B.55 C.10103 D.3210.已知双曲线1322=-y x 的左、右焦点分别为21F F 、，点P 在双曲线上，且 12021=∠PF F ，21PF F ∆的面积为（ ）A.32B.3C.52D.5 11.已知数{}n a 列的通项公式为22+=n a n ，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记n b 为数阵从左至右的n 列，从上到下的n 行共2n 个数的和，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b n 的前6项和为（ ）A.125 B.65 C.76 D.73 12.已知)(x f 满足⎪⎩⎪⎨⎧<-≤--=0),2(210,84)(2x x f x x x x f ，若在区间)3,1(-内，关于x 的方程)()(R k k kx x f ∈+=有4个根，则实数k 的取值范围是（ ）A.410≤<k 或1528-=k B.410≤<k C.15280-≤<k D.410<<k第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上. 13.已知向量)1,2sin 2(cos ),2,2sin2(cos -+=-=αααααn m，其中),0(πα∈，若n m⊥，则=α .14.已知函数xx ae e x f -+=)(在]1,0[上不单调，则实数a 的取值范围为 .15.数列{}n a 满足11=a ，),2(2)12(*2N n n S S a n n n ∈≥=-，则n a = .16.已知函数5)(,ln )(23--=+=x x x g x x x a x f ，若对于任意的]2,21[,21∈x x ，都有2)()(21≥-x g x f 成立，则实数a 的取值范围是 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （一）必考题：共60分. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c a C b +=2cos 2（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=a ，D 为AC 的中点，且3=BD ，求c .18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC C B A -111中，⊥1BB 平面ABC ，BC AB ⊥，2=AB ，1=BC ，31=BB ，D 是1CC 的中点，E 是AB 的中点.（Ⅰ）证明：DE ∥平面11BA C ；（Ⅱ）F 是线段1CC 上一点，且12FC CF =，求1A 到平面ABF 的距离.19.（本小题满分12分）2020年2月1日0：00时，英国顺利“脱欧”.在此之前，英国“脱欧”这件国际大事被社会各界广泛关注，英国大选之后，曾预计将会在2020年1月31日完成“脱欧”，但是因为之前“脱欧”一直被延时，所以很多人认为并不能如期完成，某媒体随机在人群中抽取了100人做调查，其中40岁以上的55人中有10人认为不能完成，40岁以下的人中认为能完成的占32. （Ⅰ）完成22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“预测国际大事的准确率与年龄有关”？能完成 不能完成合计 40岁以上 40岁以下 合计（Ⅱ）从上述100人中，采用按年龄分层抽样的方法，抽取20人，从这20人中再选取40岁以下的2人做深度调查，则2人中恰有1人认为英国能够完成“脱欧”的概率为多少？附表：参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=20.（本小题满分12分）已知以动点P 为圆心的⊙P 与直线21:-=x l 相切，与定圆⊙：F 41)1(22=+-y x 相外切.（Ⅰ）求动圆圆心P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）过曲线C 上位于x 轴两侧的点N M 、（MN 不与x 轴垂直）分别作直线l 的垂线，垂足记为11N M 、，直线l 交x 轴于点A ，记11ANN AMN AMM ∆∆∆、、的面积分别为321S S S 、、，且31224S S S =，证明：直线MN 过定点.21.（本小题满分12分） 已知函数)0(2ln )(2>-+-=a xxa x a x x f . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）记函数)(x f 的最小值为)(a g .证明：1)(<a g .（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任取一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.本题满分10分. 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos y x （其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy xx 2：ϕ得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2103)4sin(=+πθρ. （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设N M 、分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求MN 的最小值.23.[选修4-5：不等式选将] 设函数32)(-++=x x x f （Ⅰ）求不等式9)(>x f 的解集；（Ⅱ）过关于x 的不等式23)(-≤m x f 有解，求实数m 的取值范围.一模文数参考答案一、选择题二、填空题13.3π 14.),1(2e 15.992- 16.),1[+∞三、解答题17.（本小题满分12分）（I ）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =++，又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，得2cos sin sin 0B C C +=，……3分因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =-．因为0B π<<，所以23B π=．……6分（II ）因为D 为AC 的中点，所以2BA BC BD +=， 所以22()(2)BA BC BD +=，又23B π=，所以1222=-+ac c a 因为2a =，解方程0822=--c c ，得4c =． ……………………12分18. （本小题满分12分）（1）设B A 1中点为M ，连M C EM 1,1BAA ∆中M 是B A 1中点，E 是AB 的中点，则1//AA EM 且121AA EM =， 棱柱中侧棱11//AA CC ，且D 是1CC 的中点，则11//AA DC 且1121AA DC =，所以1//DC EM ，1DC EM =，所以M C DE 1//，又⊄ED 平面11BA C 且⊂1MC 平面11BA C ，所以//DE 平面11BA C …… …… ……4分（2）F 在线段1CC 上，且12FC CF =，棱柱中311==BB CC ，所以2=CF侧面11A ABB 中AB B A //11，且⊂AB 平面ABF ，⊄11B A 平面ABF ，所以//11B A 平面ABF ，11,B A 到平面ABF的距离相等. …… …… …… …… …… ………… …… ……6分在平面11B BCC 中作⊥H B 1直线BF 于H ①⊥1BB 平面ABC 得⊥1BB AB ，又BC AB ⊥，所以⊥AB 平面11B BCC ，因为⊂H B 1平面11B BCC ，所以⊥AB H B 1②，又①②及B BF AB = ，得⊥H B 1平面ABF ， 故线段HB 1长为点11,B A 到平面ABF的距离. …… …… …… …… …… ………… …… …10分BCF Rt ∆中2,1==CF BC ，2π=∠C ，得5=BFH B BF BC BB S FBB 1121211⋅=⋅=∆，得5531=H B …… …… …… …… …… ………… …12分 19. （本小题满分12分） （1）由题意可得列联表：……2分22100(45151030)100 3.0305545752533K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯由附表知：100.0)706.2(2=>K P ，且706.2030.3>，所以有90%的把握认为“预测国际大事的准确率与年龄有关” ………… …… …… …… …… …………6分（II ）40岁以上人数为55，,40岁以下为45，比例为11:9，抽取的20人中，40岁以下为9人，其中有6人是认为可以完成的，记为a,b,c,d,e,f ，3人认为不能完成,记为A,B,C ， 从这9人中抽取2人共有：（a,b ），（a,c ），（a,d ），（a,e ），（a,f ），（a,A ），（a,B ），（a,C ），（b,c ），（b,d ），（b,e ），（b,f ），（b,A ），（b,B ），（b,C ）， （c,d ），（c,e ），（c,f ），（c,A ），（c,B ），（c,C ）， （d,e ），（d,f ），（d,A ），（d,B ），（d,C ） （e,f ），（e,A ），（e,B ），（e,C ） （f,A ），（f,B ），（f,C ） （A,B ），（A,C ）（B,C ）36个基本事件 …… ………… 8分设事件M ：从20人中抽取2位40 岁以下的,2人中恰有1人认为应该能够完成“脱欧”. 事件M 共包括：（a,A ），（a,B ），（a,C ），（b,A ），（b,B ），（b,C ），（c,A ），（c,B ），（c,C ），（d,A ），（d,B ），（d,C ）（e,A ），（e,B ），（e,C ），（f,A ），（f,B ），（f,C ）18个基本事件， …… ………… 10分213618)(==M P 所以从20人中抽取2位40 岁以下的作深度调查,2人中恰有1人认为应该能够完成“脱欧”的概率为21. …… ………… 12分20. （本小题满分12分） （1）设(),P x y ，P 半径为R ，则11,22R x PF R =+=+，所以点P 到直线1x =-的距离与到()1,0F 的距离相等，即1)1(22+=+-x y x 故点P 的轨迹方程C 为24y x = …… … …… …… ……… ……4分 （2）设直线t x my MN -=:t y y m y y t m t mt y xy tx my 4,4),(1604442121222-==++=∆⇒=--⇒⎩⎨⎧=-= ……… ……6分22212221212121212131223111)41816()412()21)(21(4)21(21)21(21y y y y y y y x x x x y y x x S S yx S y x S +++=+++=++=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=[]2222318)12()418816(44m t t t m t t S S ++=+++=⇒ ……… ……8分)()12()(16)21(41)21(41)21(212222221222212t m t t m t y y t S y y t S ++=++=-+=⇒-+=……… …10分由31224S S S =得[]22228)12()()12(m t t t m t ++=++，化简为t t 8)12(2=+所以0)12(2=-t 即21=t 所以直线MN 经过⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21 ……… …………… …………… …………… ……12分 21. （本小题满分12分） （1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()224322221x a x x x a x a f x x x x -+---'=-+=……2分 令()0f x '=，得x a =；当()0,x a ∈时，()0f x '<；当(),x a ∈+∞时，()0f x '>； 所以，()f x 的单调减区间为()0,a ，单调增区间为(),a +∞．……4分（2）由（1）可知，函数()f x 的最小值()()1ln g a f a a a a a==--； 012)(,ln 1)(32<--=''-='aa a g a a a g ，故)(a g '在),0(+∞单调递减，…………6分 又02ln 41)2(,01)1(<-='>='g g ，故存在)2,1(0∈a ，0ln 1)(0200=-='a a a g ，2001ln a a =0)(),,(;0)(),,0(00<'+∞∈>'∈∴a g a a a g a a ，故)(a g 在),0(0a 单调递增，在),(0+∞a 单调递减……………………………………………………8分000200000000max 2111ln )()(a a a a a a a a a a a g a g -=-⋅-=--== 000002000)2)(1(212a a a a a a a a -+=--=--， ……………………10分)2,1(0∈a ，所以0)2)(1(000<-+a a a ，所以1200<-a a ，即1)(max <a g ，所以1)(<a g ……12分22. （本小题满分10分）（1）曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（其中θ为参数）， 因此，曲线C 的普通方程为2214x y +=； …………………………2分曲线D sin cos )ρθρθ+，因此，曲线D 的直角坐标方程为0x y +-=． (5)分（2）设(2cos ,sin )M θθ，则||MN 的最小值为M 到直线0x y +-=的距离d 的最小值，d ==当sin()1θϕ+=时，||MN ………………………10分23. （本小题满分10分）（1）()21,25,2321,3x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩，当2x <-时，219x -+>，解得4x <-，所以4x <-； 当23x -≤<时，59>，解得x ∈∅；当3x ≥时，219x ->，解得5x >，所以5x >， 综上所述，不等式()9f x >的解集为{|5x x >或4}x <-． ………………5分（2）2x ++()()230x x +-≤即23x -≤≤时取等） 3251m m ∴-≥⇒≤-或73m ≥……………………………10分。

一模文数参考答案一、选择题 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B D A A A C D C B D A二、填空题13.3π 14.),1(2e 15.992− 16.),1[+∞三、解答题17.（本小题满分12分）（I ）由正弦定理得2sin cos 2sin sin B C A C =++，又由sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，得2cos sin sin 0B C C +=，……3分 因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =−．因为0B π<<，所以23B π=． ……6分 （II ）因为D 为AC 的中点，所以2BA BC BD +=uuu r uuu r uuu r ，所以22()(2)BA BC BD +=uuu r uuu r uuu r ，又23B π=，所以1222=−+ac c a 因为2a =，解方程0822=−−c c ，得4c =． ……………………12分18. （本小题满分12分）（1）设B A 1中点为M ，连M C EM 1,1BAA ∆中M 是B A 1中点，E 是AB 的中点，则1//AA EM 且121AA EM =， 棱柱中侧棱11//AA CC ，且D 是1CC 的中点，则11//AA DC 且1121AA DC =， 所以1//DC EM ，1DC EM =，所以M C DE 1//，又⊄ED 平面11BA C 且⊂1MC 平面11BA C ，所以//DE 平面11BA C …… …… ……4分（2）F 在线段1CC 上，且12FC CF =，棱柱中311==BB CC ，所以2=CF侧面11A ABB 中AB B A //11，且⊂AB 平面ABF ，⊄11B A 平面ABF ，所以//11B A 平面ABF ，11,B A 到平面ABF 的距离相等. …… …… …… …… …… ………… …… ……6分 在平面11B BCC 中作⊥H B 1直线BF 于H ①⊥1BB 平面ABC 得⊥1BB AB ，又BC AB ⊥，所以⊥AB 平面11B BCC ，因为⊂H B 1平面11B BCC ， 所以⊥AB H B 1②，又①②及B BF AB =I ，得⊥H B 1平面ABF ，故线段H B 1长为点11,B A 到平面ABF 的距离. …… …… …… …… …… ………… …… …10分BCF Rt ∆中2,1==CF BC ，2π=∠C ，得5=BF H B BF BC BB S FBB 1121211⋅=⋅=∆，得5531=H B …… …… …… …… …… ………… …12分 19. （本小题满分12分）（1）由题意可得列联表：能完成 不能完成 合计 40岁以上45 10 55 40岁以下30 15 45 合计 75 25 100……2分22100(45151030)100 3.0305545752533K ××−×==≈××× 由附表知：100.0)706.2(2=>K P ，且706.2030.3>，所以有90%的把握认为“预测国际大事的准确率与年龄有关” ………… …… …… …… …… ………… 6分（II ）40岁以上人数为55，,40岁以下为45，比例为11:9，抽取的20人中，40岁以下为9人， 其中有6人是认为可以完成的，记为a,b,c,d,e,f ，3人认为不能完成,记为A,B,C ，从这9人中抽取2人共有：（a,b ），（a,c ），（a,d ），（a,e ），（a,f ），（a,A ），（a,B ），（a,C ），（b,c ），（b,d ），（b,e ），（b,f ），（b,A ），（b,B ），（b,C ），（c,d ），（c,e ），（c,f ），（c,A ），（c,B ），（c,C ），（d,e ），（d,f ），（d,A ），（d,B ），（d,C ）（e,f ），（e,A ），（e,B ），（e,C ）（f,A ），（f,B ），（f,C ）（A,B ），（A,C ）（B,C ）36个基本事件 …… ………… 8分设事件M ：从20人中抽取2位40 岁以下的,2人中恰有1人认为应该能够完成“脱欧”.事件M 共包括：（a,A ），（a,B ），（a,C ），（b,A ），（b,B ），（b,C ），（c,A ），（c,B ），（c,C ），（d,A ），（d,B ），（d,C ）（e,A ），（e,B ），（e,C ），（f,A ），（f,B ），（f,C ）18个基本事件， …… ………… 10分213618)(==M P 所以从20人中抽取2位40 岁以下的作深度调查,2人中恰有1人认为应该能够完成“脱欧”的概率为21. …… ………… 12分。

2021年东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={y|y=2x,x∈R}，集合N={x|y=lg(3−x)}，则M∩N=()A. {y|y≥3}B. {y|y≤0}C. {y|0<y<3}D. ⌀2.设z=1−2i(i是虚数单位)，则|5z|=()A. √5B. 2C. √3D. 13.“log3a<log3b”是“1a >1b”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.中国古代几何中的勾股容圆，是阐述直角三角形中内切圆问题.此类问题最早见于《九章算术》“勾股”章，该章第16题为：“今有勾八步，股十五步.问勾中容圆，径几何？”意思是“直角三角形的两条直角边分别为8和15，则其内切圆直径是多少？”若向上述直三角形内随机抛掷100颗米粒(大小忽略不计，取π=3)，落在三角形内切圆内的米粒数大约为()A. 55B. 50C. 45D. 405.如图的茎叶图是甲、乙两位学生在学校举办的知识竞赛几轮比赛中的得分，则下列说法正确的是()A. 甲的平均数大于乙的平均数B. 甲的中位数大于乙的中位数C. 甲的方差大于乙的方差D. 甲的方差小于乙的方差6.函数y=ln|x|+12x2−12的图象大致为()A.B.C.D.7. 已知菱形ABCD 的边长为2，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∠ABC =120°，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 43B. −43C. 23D. −238. 如图，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则下列命题中错误的是( )A. 直线PC 1和平面AA 1D 1D 所成的角为定值B. 点P 到平面C 1BD 的距离为定值C. 异面直线C 1P 和CB 1成的角为定值D. 直线CD 和平面BPC 1平行9. 已知等差数列{a n }中，a 1+a 3+2a 8=4，则2 a 1⋅2 a 2⋅2 a 3……⋅2 a 9=( )A. 32B. 256C. 512D. 102410. 已知双曲线C ：y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)满足条件：(1)虚轴长为4；(2)离心率为√5，求得双曲线方程为f(x,y)=0.若去掉条件(2)，另加一个条件求得双曲线方程仍为f(x,y)=0，则下列四个条件中，符合添加的条件的个数为( ) ①双曲线C 上任意的点P 到焦点F 1，F 2的距离都满||PF 1|−|PF 2||=2； ②双曲线C 的焦点为F 1(0,−√5)，F 2(0,√5)； ③双曲线C 的渐近线方程为2x ±y =0；④双曲线C 的一个顶点与抛物线y 2=8x 的焦点重合．A. 1B. 2C. 3D. 411. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n a n+1=2n (n ∈N ∗)，则S 2021=( )A. 3(21011−1)B. 21011−3C. 3(21010−1)D. 21012−312. 球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两个点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度(大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆)，我们把这个弧长叫做两点的球面距离.已知正△ABC 的顶点都在半径为2的球面上，球心到△ABC 所在平面距离为2√63，则A ，B 两点间的球面距离为( )A. πB. π2C. 2π3D. 3π4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若实数x ，y 满足约束条件{x +y ≤1x −y ≤1x ≥0，则z =x −3y 的最大值是______ ．14. 已知函数f(x)={2x+1,x ⩽0log 12x,x >0，则不等式f(x)>1的解集为______ ．15. 已知M 是抛物线y 2=4x 上一动点，N 是圆x 2+(y −4)2=4关于直线x −y =0对称的曲线C 上任意一点，则|MN|的最小值为______ ．16. 定义在(0,+∞)的函数f(x)满足f(x)+xf′(x)=1x ，f(1)=1，则f(x)的零点是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知asin2B =bsinA ．(1)若a =3，b =√7，求c ； (2)求acosC−ccosAb的取值范围；18. 如图(1)，在等边三角形ABC 中，AB =12，点D 在线段AC 上，DE ⊥AB 于E ，现将△ADE 沿DE 折起到△PDE 的位置(如图(2))． (1)求证：平面PBE ⊥平面PED ；(2)若PB =4√5，PE =4，求PB 与平面PEC 成角的正弦值．19. 据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜，因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，越来越多的小学生家长选择角膜塑形镜控制孩子的近视发展.A 市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人(其中佩戴角膜塑形镜的6人中，2名是男生，4名是女生)(1)若从样本中选一位学生，那么该同学是戴角膜塑形镜的近视者概率是多大？ (2)从这6名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生至少一人的概率．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率是12，椭圆C 过点(1,32). (1)求椭圆C 的方程；(2)已知F 1，F 2是椭圆C 的左、右焦点，过点F 2的直线l(不过坐标原点)与椭圆C 交于A ，B 两点，求F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．21. 已知函数f(x)=e x x，g(x)=a(x −lnx)(a ∈R)．(1)求函数g(x)的极值；(2)若ℎ(x)=f(x)−g(x)在x ∈[1,+∞)上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =3cosαy =sinα(α为参数)，以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，射线：θ=φ与曲线C 交于点T ，将射线OT 绕极点逆时针方向旋转90°交曲线C 于点N ． (1)求曲线C 的极坐标方程； (2)求△TON 面积的范围．23. 已知函数f(x)=|x −2|+|x +1|．(1)解关于x 的不等式f(x)≥4−x ；(2)a ，b ∈{y|y =f(x)}，试比较2(a +b)与ab +4的大小．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵M={y|y>0}，N={x|x<3}，∴M∩N={y|0<y<3}．故选：C．可求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，指数函数的值域，对数函数的定义域，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：∵z=1−2i(i是虚数单位)，∴51−2i =5(1+2i)(1−2i)(1+2i)=1+2i，∴|5z|=√12+22=√5．故选：A．利用复数的运算法则直接求解．本题考查复数的运算，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由log3a<log3b得0<a<b，此时1a >1b成立，即充分性成立，当a=1，b=−1时，满足1a >1b，但log3a<log3b不成立，即必要性不成立，即“log3a<log3b”是“1a >1b”的充分不必要条件，故选：A．根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质和充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，是基础题．4.【答案】C【解析】解：如图，设AC =8，BC =15，可得AB =17， 设其内切圆的半径为r ，则由等面积法，可得12×8×15=12(8+15+17)×r ，解得r =3，则其内切圆的直径为6步；现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是P =S 圆S△ABC=9π12×8×15=n100⇒n =45．故选：C ．由题意画出图形，利用等面积法求出三角形内切圆的半径，再由测度比为面积比即可求得答案．本题考查几何概型概率的求法，训练了利用等面积法求三角形内切圆的半径，是中档题．5.【答案】C【解析】解：由茎叶图中的数据可得，x 甲−=19×(59+45+32+38+24+26+11+12+14)=29， x 乙−=19×(51+43+30+34+20+25+27+28+12)=30，s 甲2=19×[302+162+32+92+(−5)2+(−3)2+(−18)2+(−17)2+(−15)2]≈235.3，s 乙2=19×[212+132+02+42+(−10)2+(−5)2+(−3)2+(−2)2+(−18)2]≈120.9， 又甲的中位数为26，乙的中位数为28，所以甲的平均数小于乙的平均数，故选项A 不正确； 甲的中位数小于乙的中位数，故选项B 不正确；甲的方差大于乙的方差，故选项C 正确，选项D 不正确． 故选：C ．根据茎叶图中的数据分别求出甲和乙的平均数、方差、中位数，然后通过比较可得正确的结论．本题考查了茎叶图的理解和应用，主要考查了平均数、中位数以及方差的求解，解题的关键是正确读取茎叶图，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：函数的定义域为{x|x ≠0}，函数f(−x)=f(x)，即函数是偶函数，图象关于y 轴对称，排除D ， 当x =e 时，f(e)=lne +12e 2−12=1++12e 2−12=12e 2+12>0，排除B ， 当x →+∞，f(x)→0，排除A ， 故选：C ．根据函数的奇偶性，对称性以及函数值的对应性，以及极限思想，进行排除即可． 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性，对称性以及特殊值法进行排除是解决本题的关键．7.【答案】B【解析】解：如图，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,∠ABC =120°，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =43−4−23×2×2×(−12) =−43．故选：B ．根据条件画出图形，根据EC⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，并且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，然后进行数量积的运算即可． 本题考查了向量加法和数乘的几何意义，向量加法的平行四边形法则，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：对于A：因为CC1⊥平面AA1D1D，所以直线PC1和平面AA1D1D所成的角为∠C1PD，，因为sin∠C1PD=C1D1C1P因为C1P不是定值，所以直线C1P和平面AA1D1D所成的角不是定值，故A错误，对于B：因为A1D//平面BDC1，P∈AD1，所以点P到平面BDC1的距离为定值，故B正确，对于C：因为棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段AD1上，运动易得CB1⊥平面ABC1D1，所以CB1⊥C1P，所以这两个异面直线所成的角为定值，故C正确，对于D：平面BPC1即为平面ABC1D1，因为CD//AB，AB⊂平面ABC1D1，CD⊄平面ABC1D1，所以CD//平面ABC1D1，即CD//平面BPC1，故D正确，故选：A．利用直线与平面的位置关系，逐个判断即可得出答案．本题考查直线与平面的位置关系，解题中需要理清思路，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：等差数列{a n}中，a1+a3+2a8=4，∴a1+a3+2a8=4a1+16d=4，∴a1+4d=a5=1，∴a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a9=9a5=9．则2 a1⋅2 a2⋅2 a3……⋅2 a9=2a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a9=29=512．故选：C．由等差数列通项公式求出a5=1，从而a1+a2+a3+⋅⋅⋅+a9=9a5=9.由此能求出2 a1⋅2 a2⋅2 a3……⋅2 a9的值．本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质、指数运算法则等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．10.【答案】B【解析】解：由(1)得b=2，由(2)得c2=5a2=a2+b2，得a=1，∴C:y2−x24=1，即f(x,y)=y2−x24−1=0，①由双曲线的性质，||PF1|−|PF2||=2a=2，故①正确；②焦点为(0,√5)，(0,−√5)，所以c=√5，与(1)(2)的情况一样，故②正确；③由(1)(2)所得渐近线方程为y=±12x，即2y±x=0，与③不符，故③错误；④由(1)(2)知双曲线的2个顶点为(0,±a)，即(0,1)，(0,−1)，而y2=8x的焦点为(2,0)不符合，故④错误．故选：B．由题中的条件和双曲线的性质，进行逐一判断，即可得出答案．本题考查了双曲线的性质，学生的逻辑推理能力，数学运算能力，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：根据题意，数列{a n}满足a1=1，a n a n+1=2n，即有a1a2=2，则a2=2，若a n a n+1=2n，则a n−1a n=2n−1，变形可得：a n a n+1a n−1a n =a n+1a n−1=2，则数列{a n}的奇数项是首项a1=1，公比为2的等比数列，数列{a n}的偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，则S2021=a1+a3+⋯…+a2021+a2+a4+⋯…+a2020=1×(1−21011)1−2+2×(1−21010)1−2=21012−3，故选：D．根据题意，将a n−1a n=2n−1，变形可得：a n a n+1a n−1a n =a n+1a n−1=2，分析可得数列{an}的奇数项是首项a1=1，公比为2的等比数列，其偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，又由S2021=a1+a3+⋯…+a2021+a2+a4+⋯…+a2020，由等比数列的前n项和公式计算可得答案．本题考查数列的递推公式，涉及等比数列的求和，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：设正△ABC 的中心为O 1，连结O 1A ，OA ，∵O 1是正△ABC 的中心，A 、B 、C 三点都在球面上， ∴O 1O ⊥平面ABC ，∵球的半径R =2，球心O 到平面ABC 的距离为2√63，得O 1O =2√63， ∴AO 1=√AO 2−OO 12=√22−(2√63)2=2√33， ∵AB sin60∘=2AO 1=4√33， ∴AB =2，∠AOB =π3，∴A ，B 两点间的球面距离为：2×π3=2π3．故选：C ．设正△ABC 的中心为O 1，连结O 1A .根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，求出AB 的长，进而求解结论．本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题．13.【答案】3【解析】解：由约束条件作出可行域如图，由图可得，A(0,−1)，由z =x −3y ，得y =x3−z3，由图可知，当直线y =x3−z3过A 时， 直线在y 轴上的截距最小，z 有最大值为3． 故答案为：3．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．14.【答案】(−1,12)【解析】解：函数f(x)={2x+1,x ⩽0log 12x,x >0，则由不等式f(x)>1可得 {x ≤02x+1>1 ①，或 {x >0log 12x >1 ②．解①求得−1<x ≤0，解求得0<x <12． 综上可得，不等式的解集为(−1,12)， 故答案为：(−1,12).由题意利用分段函数，解对数不等式，求得x 的范围．本题主要考查分段函数的应用，对数不等式的解法，属于中档题．15.【答案】2√3−2【解析】解：圆x 2+(y −4)2=4关于直线x −y =0对称的圆的圆心坐标C(4,0)，半径为2，设点M 的坐标为(y 24,y)，则圆心C 与点M 的距离为d =√(y 24−4)2+y 2=√y 416−y 2+16=√116(y 2−8)2+12，所以当y 2=8时，d min =2√3， 此时|MN|的最小值为2√3−2， 故答案为：2√3−2．先求出对称的圆的圆心与半径，设出点M 的坐标，求出圆心与点M 的距离的关系式，根据二次函数的性质求出最小值，进而可以求解．本题考查了对称性问题以及圆的性质，涉及到两点间的距离公式的应用以及二次函数的性质，考查了学生的运算能力，属于中档题．16.【答案】1e【解析】解：令F(x)=xf(x)−lnx ，则F′(x)=f(x)+xf′(x)−1x ， 又f(x)+xf′(x)=1x ，所以F′(x)=f(x)+xf′(x)−1x =0， 则函数F(x)为常数函数，又F(1)=1×f(1)−ln1=1，所以F(x)=xf(x)−lnx =1， 解得f(x)=1+lnx x，令f(x)=0，即1+lnx x =0，解得x =1e ，所以f(x)的零点是1e ． 故答案为：1e ．构造函数F(x)=xf(x)−lnx ，结合已知条件，得到F′(x)=0，从而F(x)为常数函数，求出F(x)，解得f(x)，由零点的定义求解即可．本题考查了函数零点的求解，解题的难度是构造函数F(x)=xf(x)−lnx ，考查了学生分析问题和解决问题的能力，考查了逻辑推理能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由asin2B =bsinA ，得sinA ⋅2sinBcosB =sinBsinA ，则cosB =12，即B =π3，由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ，得7=c 2+9−2c ×3×cos π3=c 2−3c +9， 即c 2−3c +2=0，解得c =1或c =2．当c =1时，b 2+c 2−a 2=−2<0，则cosA <0，即A 为钝角(舍)， 故c =2符合．(2)由(1)得B =π3，所以C =2π3−A ， 则acosC−ccosAb=sinAcosC−cosAsinCsinB=√32=√3−2π3)，∵△ABC 为锐角三角形，∴π6<A <π2，∴−π3<2A −2π3<π3，∴sin(−π3)<sin(2A −2π3)<sin π3，即−√32<sin(2A −2π3)<√32， 则−√32×√3<√3−2π3)<√32√3，即−1<acosC−ccosAb<1，故acosC−ccosAb的取值范围是(−1,1)．【解析】(1)利用正弦定理，余弦定理进行转化求解即可． (2)利用正弦定理，结合三角函数的图像和性质进行求解即可．本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理了，余弦定理以及三角函数的图像和性质是解决本题的关键，是中档题． 18.【答案】(1)证明：因为DE ⊥AB ，所以DE ⊥PE ，DE ⊥BE ， 又因为PE ∩BE =E ，所以DE ⊥平面PEB ， 又因为DE ⊂PDE ，所以平面PDE ⊥平面PBE ， 故平面PBE ⊥平面PED ．(2)解：因为PE =4，AB =12，所以EB =8， 又因为PB =4√5，所以PB 2=PE 2+EB 2， 所以PE ⊥EB ，所以ED 、EB 、EP 两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，各点坐标如下： P(0,0，4)，B(0,8，0)，E(0,0，0)，C(6√3,2，0)， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,8，−4)，EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，4)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(6√3,2，0)， 设平面PEC 的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)， {EP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =4z =0EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =6√3x +2y =0，令x =1，n ⃗ =(1,−3√3,0)， 所以PB 与平面PEC 成角的正弦值为|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=24√34√5⋅√28=3√10535．【解析】(1)根据平面与平面垂直的判定定理证明；(1)用向量数量积计算二面角的正弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角的计算问题，属于中档题．19.【答案】解：(1)因为样本容量为100，佩戴角膜塑形镜的6人，若从样本中选一位学生，那么该同学是戴角膜塑形镜的近视者概率P =6100=0.06． (2)两名男生用a ，b 表示，名女生用1，2，3，4表示， 记“选3个人，其中男生至少一人”为事件A ，总事件有ab 1，ab 2，ab 3，ab 4，a 12，a 13，a 14，a 23，a 24，a 34，b 12，b 13，b 14，b 23，b 24，b 34，123，124，134，234，共20种，满足条件的有ab 1，ab 2，ab 3，ab 4，a 12，a 13，a 14，a 23，a 24，a 34，b 12，b 13，b 14，b 23，b 24，b 34，共16种， 则P(A)=1620=45．【解析】(1)利用古典概型概率公式计算即可得解； (2)利用列举法，求出基本事件数，计算所求的概率值． 本题主要考查古典概型的概率计算问题，属于基础题．20.【答案】解：(1)由条件知{ca=121a 2+94b 2=1a 2=b 2+c 2，解得{a 2=4b 2=3， 因此椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1)，F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+1,y 2)， 设直线l 的方程为x =my +1，代入椭圆C 的方程消去x ，得(3m 2+4)y 2+6my −9=0， 由韦达定理得y 1+y 2=−6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=(my 1+2)(my 2+2)+y 1y 2 =(1+m 2)y 1y 2+2m(y 1+y 2)+4=(1+m 2)⋅−93m 2+4+2m ⋅−6m3m 2+4+4=−9m 2+73m 2+4=−3+193m 2+4，∵3m 2+4≥4，∴0<193m 2+4≤194，则−3<−3+193m 2+4≤74， ∴F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∈(−3,74].【解析】(1)由条件列关于a ，b ，c 的方程组，解得a 与b 的值，则椭圆方程可求； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，再设直线l 的方程为x =my +1，代入椭圆C 的方程，化为关于y 的一元二次方程，由数量积公式结合根与系数的关系即可求解F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查向量数量积运算，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)当a =0时，g(x)=0，无极值，当a ≠0时，g′(x)=a(1−1x )=a(x−1)x，令g′(x)=0，解得：x =1，当a >0时，当x ∈(0,1)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈[1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，∴g(x)的极小值是g(1)=a，无极大值；当a<0时，当x∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈[1,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，∴g(x)的极大值是g(1)=a，无极小值；综上，a=0时，g(x)无极值；a>0时，g(x)的极小值是a，无极大值；a<0时，g(x)的极大值是a，无极小值．(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)=e xx −a(x−lnx)(x≥1)，ℎ′(x)=(x−1)(exx−a)x(x≥1)，而f′(x)=e x(x−1)x2，x∈[1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故f(x)≥f(1)=e，①a<e时，ℎ′(x)≥0，ℎ(x)在[1,+∞)递增，ℎ(x)min=ℎ(1)=e−a>0，ℎ(x)没有零点；②a=e时，ℎ′(x)≥0，ℎ(x)在[1,+∞)递增，ℎ(x)min=ℎ(1)=e−a=0，故ℎ(x)的唯一零点是x=1；③a>e时，y=e xx−a是增函数，x=1时，y min=e−a<0，故存在x0∈[1,+∞)，使得e x0x0−a=0，在[1,x0)上，ℎ′(x)<0，ℎ(x)是减函数，在(x0,+∞)上，ℎ′(x)>0，ℎ(x)是增函数，ℎ(1)=e−a<0，在[1,x0)上，ℎ(x)<0，ℎ(e a)=e e ae a −a(e a−a)=e ea−ae2ae a+a2，下面证明e e a>ae2a即证明e a>lna+2a，令m(a)=e a−lna−2a，则m′(a)=e a−1a−2为增函数，a>e时，m′(a)>0，m(a)是增函数，m(e)=e e−1−2e>0，故m(a)>0，ℎ(e a)>0，ℎ(x)在(x0,+∞)上存在唯一零点，综上：a的取值范围是[e,+∞)．【解析】(1)通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；(2)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，根据函数的单调性求出ℎ(x)是增函数，通过讨论a的范围，判断函数ℎ(x)的零点个数，令m(a)=e a−lna−2a，结合函数的单调性求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值，零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是难题．22.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =3cosαy =sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 29+y 2=1，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为极坐标方程为ρ2=9cos 2θ+9sin 2θ．(2)由(1)知：曲线C 的极坐标方程为ρ2=9cos 2θ+9sin 2θ， 设T(ρ1,α)N(ρ2,α+π2)， 所以ρ1=√1cos 2θ+9sin 2θ，ρ2=√1cos 2(θ+π2)+9sin 2(θ+π2)，则：S △TON =12|OM||ON|=12⋅ρ1⋅ρ2=12√1cos 2θ+9sin 2θ⋅√1cos 2(θ+π2)+9sin 2(θ+π2)，=812⋅19+16sin 22α，由于sin 22α∈[0,1]， 所以S △TON ∈[8150,92]．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用三角函数的关系式的变换和三角形的面积公式，极径的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，极径的应用，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(Ⅰ)当x <−1时，f(x)=1−2x ，f(x)≥4−x 即为1−2x ≥4−x ，解得x ≤−3，即为x ≤−3；当−1≤x ≤2时，f(x)=3，f(x)≥4−x 即为3≥4−x ，解得x ≥1，即为1≤x ≤2； 当x >2时，f(x)=2x −1，f(x)≥4−x 即为2x −1≥4−x ，解得x ≥53，即为x >2． 综上可得，x ≥1或x ≤−3． 则解集为(−∞,−3]∪[1,+∞)； (Ⅱ)由于f(x)≥3，则a ≥3，b ≥3，2(a +b)−(ab +4)=2a −ab +2b −4=(a −2)(2−b)， 由于a ≥3，b ≥3，则a −2>0，2−b <0， 即有(a −2)(2−b)<0，则2(a+b)<ab+4．【解析】(Ⅰ)对x讨论，当x<−1时，当−1≤x≤2时，当x>2时，去掉绝对值，解不等式，即可得到解集；(Ⅱ)由于f(x)≥3，则a≥3，b≥3，作差比较，注意分解因式，即可得到结论．本题考查绝对值不等式的解法，主要考查分类讨论的思想方法和作差法比较两数的大小，属于中档题．。

2020年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高三第二次联合模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且（∁U A）∩B＝{3}，（∁U B）∩A＝{6}，A∩B＝{1，2}，则集合B＝（）A．{1，2，3}B．{1，2，6}C．{1，2}D．{1，2，3，4，5} 2．若a+2i＝（1﹣i）（1+bi）（a，b∈R，i为虚数单位），则复数a﹣bi在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．若实数x、y满足，则y﹣x的最大值为（）A．3B．0C．﹣3D．﹣94．已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m∥βB．若α⊥β，则m⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则α⊥β5．课堂上数学老师和同学们做游戏，随机询问甲、乙、丙、丁4位同学的作业完成情况，甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；乙说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作业了”；丁说：“我完成作业了”．他们中恰有一个人说了谎话，请问：是谁说了谎话？（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．已知正项等比数列{a n}，若向量，则log2a1+log2a2+…+log2a9＝（）A．12B．8+log25C．5D．187．我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术》将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图所示的阳马三视图，则它的体积为（）A．B．1C．2D．38．已知两个不相等的非零向量，满足，且与的夹角为45°，则的取值范围是（）A．B．C．（0，2]D．9．已知，则sin（60°+α）的值为（）A．B．C．D．10．设函数f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1，则下列说法中正确的是（）A．f（x）关于（0，1）中心对称B．f（x）的极小值为C．f（x）的最小正周期为πD．f（x）图象的一条对称轴为11．已知双曲线上存在一点M，过点M向圆x2+y2＝1做两条切线MA、MB，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）•xlnx+3（3﹣a）x2有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜1＜x2＜x3，则的值为（）A．81B．﹣81C．﹣9D．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为．14．已知实数a、c满足c＜1＜a，关于x的不等式的解集为．15．直线l经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与直线交于点M，若，且，则抛物线的方程为．16．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，则B＝；若边AC上的点D满足BD＝CD＝2AD＝2，则△ABC的面积S＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．17．已知数列是公差不为0的等差数列，且a1＝1，a2•a3＝a8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面P AD，AD∥BC，AB＝BC AD＝1，∠APD＝∠BAD＝90°．（Ⅰ）求证：PD⊥PB；（Ⅱ）当P A＝PD时，求三棱锥P﹣BCD的体积．19．2022年冬奥会将由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛将在改造一新的水立方进行．女子冰壶比赛将由来自全球的十支最优秀的队伍参加，中国女子冰壶队作为东道主，将对奥运冠军发起冲击．（Ⅰ）已知参赛球队包括来自亚洲的中国队、日本队和韩国队，来自美洲的加拿大对和美国队，以及来自欧洲的瑞士队、英国对、瑞典队、丹麦队和德国队．每支球队有四名参赛队员．若赛前安排球员代表合影，需要以分层抽样的方式从三个大洲的运动员中抽取10名运动员，则每个大洲各需要抽取多少运动员？（Ⅱ）此次参赛的夺冠热门队伍包括加拿大对、瑞士队、英国对、瑞典队和东道主中国队，若比赛的揭幕战随机的从这五支球队中选择两支球队出站，求中国队被选中的概率．20．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，若函数f（x）与g（x）图象交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x2＞x1）两点，求实数a的取值范围21．已知椭圆，动直线l与椭圆E交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且△AOB的面积为1，其中O为坐标原点．（Ⅰ）为定值；（Ⅱ）设线段AB的中点为M，求|OM|•|AB|的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y＝2，曲线C的参数方程是（φ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若A（ρ1，α）是曲线C上一点，是直线l上一点，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a、b、c∈R+，且a+b+c＝6．（Ⅰ）当c＝5时，求的最小值；（Ⅱ）证明：a2+b2﹣2b+c2﹣4c≥﹣2．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A、B均为集合U＝{1，2，3，4，5，6}的子集，且（∁U A）∩B＝{3}，（∁U B）∩A＝{6}，A∩B＝{1，2}，则集合B＝（）A．{1，2，3}B．{1，2，6}C．{1，2}D．{1，2，3，4，5}选：A．2．若a+2i＝（1﹣i）（1+bi）（a，b∈R，i为虚数单位），则复数a﹣bi在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限选：D．3．若实数x、y满足，则y﹣x的最大值为（）A．3B．0C．﹣3D．﹣9选：B．4．已知α，β是两个不同的平面，直线m⊂α，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m∥βB．若α⊥β，则m⊥βC．若m∥β，则α∥βD．若m⊥β，则α⊥β选：D．5．课堂上数学老师和同学们做游戏，随机询问甲、乙、丙、丁4位同学的作业完成情况，甲说：“丙未完成作业或丁未完成作业”；乙说：“丁未完成作业”；丙说：“我完成作业了”；丁说：“我完成作业了”．他们中恰有一个人说了谎话，请问：是谁说了谎话？（）A．甲B．乙C．丙D．丁选：D．6．已知正项等比数列{a n}，若向量，则log2a1+log2a2+…+log2a9＝（）A．12B．8+log25C．5D．18选：D．7．我国古代劳动人民在筑城、筑堤、挖沟、挖渠、建仓、建囤等工程中，积累了丰富的经验，总结出了一套有关体积、容积计算的方法，这些方法以实际问题的形式被收入我国古代数学名著《九章算术》中．《九章算术》将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，如图所示的阳马三视图，则它的体积为（）A．B．1C．2D．3选：C．8．已知两个不相等的非零向量，满足，且与的夹角为45°，则的取值范围是（）A．B．C．（0，2]D．选：D．9．已知，则sin（60°+α）的值为（）A．B．C．D．选：A．10．设函数f（x）＝sin x+cos x+sin x cos x+1，则下列说法中正确的是（）A．f（x）关于（0，1）中心对称B．f（x）的极小值为C．f（x）的最小正周期为πD．f（x）图象的一条对称轴为选：D．11．已知双曲线上存在一点M，过点M向圆x2+y2＝1做两条切线MA、MB，若，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．选：B．12．已知函数f（x）＝9（lnx）2+（a﹣3）•xlnx+3（3﹣a）x2有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜1＜x2＜x3，则的值为（）A．81B．﹣81C．﹣9D．9故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．我校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“智慧课堂”的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1800名学生中抽取一个容量为36的样本．若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则我校高三年级的学生人数为700．设从高三年级抽取的学生人数为2x人，由题意利用分层抽样的定义和方法，求出x的值，可得高三年级的学生人数．设从高三年级抽取的学生人数为2x人，则从高二、高一年级抽取的人数分别为2x﹣2，2x﹣4．由题意可得2x+（2x﹣2）+（2x﹣4）＝36，∴x＝7．设我校高三年级的学生人数为N，再根据，求得N＝700，故答案为：700．本题主要考查分层抽样，属于基础题．14．已知实数a、c满足c＜1＜a，关于x的不等式的解集为{x|x≥a或x≤c}．由已知可转化为二次不等式即可求解．由题意可得（x﹣a）（x﹣c）≥0且x≠1，因为c＜1＜a，所以x≥a或x≤c，故不等式的解集为{x|x≥a或x≤c}．故答案为：{x|x≥a或x≤c}．本题主要考查了分式不等式的求解，体现了转化思想的应用．15．直线l经过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，与抛物线交于A，B两点，与直线交于点M，若，且，则抛物线的方程为y2＝4x．由抛物线的方程可得焦点F的坐标，由向量的关系可得F为AM的中点，可得A的横坐标，代入抛物线的方程可得A的纵坐标，进而求出直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和，再由抛物线的性质可得AB的值，由题意可得p的值，进而求出抛物线的方程．由题意如图所示，因为，F为AM的中点，所以AF＝AA'＝NF＝2p，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以2p＝x1，所以x1，代入抛物线的方程可得y1p即A（，p）所以k AB，所以直线AB的方程为：y（x），直线与抛物线的方程联立可得：，整理可得：3x2﹣5px0，x1+x2，由抛物线的性质可得AB＝x1+x2+p p，解得p＝2，所以抛物线的方程为：y2＝4x，故答案为：y2＝4x．本题考查向量与点的位置关系，以及抛物线的性质，属于中档题．16．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，则B＝；若边AC上的点D满足BD＝CD＝2AD＝2，则△ABC的面积S＝．（l）利用余弦定理容易求出B的大小；（2）引入角α＝∠DBC，根据BD＝DC得α＝C，再利用内角和定理将A用α表示出来，最后在△ABD中利用正弦定理可求出α，问题迎刃而解．（1）根据题意（a+b+c）（a﹣b+c）＝3ac，化简得a2+c2﹣b2＝ac，所以cos B，∵B∈（0，π），∴B；（2）做出图形如下：由题意不妨设∠DBC＝α，则∠ABDα，∠C＝α，所以Aα，在△ABD中由正弦定理得，将AD＝1，BD＝2代入化简得，∴．∴A，C，易得AB．∴．故答案为：．本题考查三角形中的几何计算问题，涉及内角和定理、正余弦定理的应用，属于中档题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．17．已知数列是公差不为0的等差数列，且a1＝1，a2•a3＝a8．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．本题第（Ⅰ）题先根据数列是公差不为0的等差数列可知1，再列出、、关于d的表达式，根据a2•a3＝a8有•，代入表达式可得关于d的方程，解出d的值，即可得到等差数列的通项公式，进一步可得数列{a n}的通项公式；第（Ⅱ）题先根据第（Ⅰ）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法计算前n项和S n．（Ⅰ）由题意，可知1，1+d，1+2d，1+7d，∵a2•a3＝a8，∴•，即（1+d）（1+2d）＝（1+7d），整理，得d2﹣2d＝0，解得d＝0（舍去），或d＝2．∴1+2（n﹣1）＝2n﹣1，∴a n＝（2n﹣1）2，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，[]，∴S n＝b1+b2+…+b n（1）（）[][1][1]．本题主要考查数列求通项公式的计算，以及运用裂项相消法计算前n项和．考查了转化与化归思想，方程思想，裂项相消法的运用，以及逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面P AD，AD∥BC，AB＝BC AD＝1，∠APD＝∠BAD＝90°．（Ⅰ）求证：PD⊥PB；（Ⅱ）当P A＝PD时，求三棱锥P﹣BCD的体积．（Ⅰ）推导出BA⊥AD，BA⊥PD，AP⊥PD，从而PD⊥平面P AB，由此能证明PD⊥PB；（Ⅱ）取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD，证明PO⊥平面ABCD，再由棱锥体积公式求解．证明：（Ⅰ）∵∠BAD＝90°，∴BA⊥AD，∵平面ABCD⊥平面P AD，交线为AD，∴BA⊥平面P AD，从而BA⊥PD，∵∠APD＝90°，∴AP⊥PD，∵BA∩AP＝A，∴PD⊥平面P AB，∵PB⊂平面P AB，∴PD⊥PB；解：（Ⅱ）∵P A＝PD，取AD中点O，连接PO，则PO⊥AD，由平面ABCD⊥平面P AD，交线为AD，得PO⊥平面ABCD．又∠APD＝90°，AD＝2，得PO＝1，∴．即三棱锥P﹣BCD的体积为．本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19．2022年冬奥会将由北京和张家口联合举办，其中冰壶比赛将在改造一新的水立方进行．女子冰壶比赛将由来自全球的十支最优秀的队伍参加，中国女子冰壶队作为东道主，将对奥运冠军发起冲击．（Ⅰ）已知参赛球队包括来自亚洲的中国队、日本队和韩国队，来自美洲的加拿大对和美国队，以及来自欧洲的瑞士队、英国对、瑞典队、丹麦队和德国队．每支球队有四名参赛队员．若赛前安排球员代表合影，需要以分层抽样的方式从三个大洲的运动员中抽取10名运动员，则每个大洲各需要抽取多少运动员？（Ⅱ）此次参赛的夺冠热门队伍包括加拿大对、瑞士队、英国对、瑞典队和东道主中国队，若比赛的揭幕战随机的从这五支球队中选择两支球队出站，求中国队被选中的概率．（Ⅰ）利用分层抽样法求出从亚洲、美洲、欧洲运动员中抽取的人数；（Ⅱ）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．（Ⅰ）利用分层抽样法从亚洲运动员中抽取103（人），从美洲运动员中抽取102（人），从欧洲运动员中抽取105（人）；（Ⅱ）从“加拿大队、瑞士队、英国队、瑞典队和中国队”中任选两队，基本事件是{加拿大队，瑞士队}，{加拿大队，英国队}，{加拿大队，瑞典队}，{加拿大队，中国队}，{瑞士队，英国队}，{瑞士队，瑞典队}，{瑞士队，中国队}，{英国队，瑞典队}，{英国队，中国队}，{瑞典队，中国队}共有10种不同取法；其中中国队被选中的基本事件有4种，故所求的概率为P．本题考查了分层抽样方法与列举法求古典概型的概率问题，是基础题．20．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，若函数f（x）与g（x）图象交于P（x1，y1）、Q（x2，y2）（x2＞x1）两点，求实数a的取值范围（1）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调区间；（2）由已知分离参数可得a在（0，+∞）上有2个不同的零点，构造函数h（x），x∈（0，+∞），然后结合导数及函数的性质可求．（I），当x＞1时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＜1时，f′（x）＞0，函数单调递增，故f（x）的单调递增区间（﹣∞，1），单调递减区间（1，+∞）；（II）由题意可得在（0，+∞）上有2个不同的零点，即a在（0，+∞）上有2个不同的零点，令h（x），x∈（0，+∞），则，当0＜x＜1时，h′（x）＞0，函数单调递增，当x＞1时，h′（x）＜0，函数单调递减，且h（0）＝﹣1，x→+∞时，h（x）＜0，h（x）max＝h（1），故﹣1．本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间及函数的零点个数的求解，体现了转化思想的应用．21．已知椭圆，动直线l与椭圆E交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且△AOB的面积为1，其中O为坐标原点．（Ⅰ）为定值；（Ⅱ）设线段AB的中点为M，求|OM|•|AB|的最大值．（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，设l：x＝m，代入椭圆方程求解|AB|，结合△AOB的面积为1求得m值，可得为定值4，当直线l的斜率存在时，设y＝kx+t，联立椭圆方程，可得A，B横坐标的和与积，利用弦长公式求弦长，再由点到直线的距离公式求得|OM|，结合△AOB的面积为1，可得1+4k2＝2t2，则的值可求，从而说明为定值；（Ⅱ）设M（x0，y0），当直线的斜率不存在时，|OM|，|AB|，则|OM|•|AB|＝2；当直线的斜率存在时，由（Ⅰ）可得M的坐标，求得|OM|，写出|OM|•|AB|，结合1+4k2＝2t2转化为关于的二次函数求最值．（Ⅰ）当直线l的斜率不存在，设l：x＝m，代入椭圆方程可得y2＝1，由△AOB的面积为1，可得|m|•21，解得m＝±，则；当直线l的斜率存在，设y＝kx+t，联立椭圆方程可得（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2，x1x2，|AB|•••，由△AOB的面积为1，可得••|AB|＝1，化简可得1+4k2＝2t2，则（）2﹣2•4，而4，综上可得，为定值4；（Ⅱ）设M（x0，y0），当直线的斜率不存在时，|OM|，|AB|，则|OM|•|AB|＝2；当直线的斜率存在时，由（Ⅰ）可得x0，y0＝kx0+t，则|OM|，可得|OM|•|AB|•．∵，∴0．可知|OM|•|AB|＜2．综上，|OM|•|AB|的最大值为2．本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用二次函数求最值，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y＝2，曲线C的参数方程是（φ为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若A（ρ1，α）是曲线C上一点，是直线l上一点，求的最大值．（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（Ⅰ）直线l的方程是y＝2，转换为极坐标方程为ρsinθ＝2，曲线C的参数方程是（φ为参数）．转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．（Ⅱ）点A（ρ1，α）是曲线C上一点，所以：，所以，点是直线l上一点，所以，所以，，当时，最大值为．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a、b、c∈R+，且a+b+c＝6．（Ⅰ）当c＝5时，求的最小值；（Ⅱ）证明：a2+b2﹣2b+c2﹣4c≥﹣2．（Ⅰ）依题意，a+b＝1，将目标式化简可得，再利用基本不等式求最值即可；（Ⅱ）将不等式左边化简可得a2+b2﹣2b+c2﹣4c＝a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2﹣5，运用柯西不等式即可得证．（Ⅰ）当c＝5时，a+b＝1，∴，又（当且仅当a＝b时取等号），则，∴，即的最小值为9；（Ⅱ）证明：a2+b2﹣2b+c2﹣4c＝a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2﹣5，由柯西不等式有，[a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2]•（1+1+1）≥（a+b﹣1+c﹣2）2（当且仅当a ＝b﹣1＝c﹣2时取等号），∴，又a+b+c＝6，∴a2+（b﹣1）2+（c﹣2）2≥3，即a2+b2﹣2b+c2﹣4c≥﹣2（当且仅当a＝1，b＝2，c＝3时取等号）．本题考查利用基本不等式求最值，以及柯西不等式的运用，考查不等式的证明，考查推理能力，属于基础题．。

东北三省三校哈师大附中2020年高三第三次模拟考试文 科 数 学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60 分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的．1．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则集合A∩B 的子集的个数为A ．2B ．4C ．8D ．162．小赵到哈尔滨南岗区7个小区和道里区8个小区调查空置房情况，将调查得到的小区空置房的套数绘成了如图所示的茎叶图，则调查中的南岗区空置房套数的中位数与道里区空置房套数的中位数之差为A ．4B ．3C ．2D ．13．已知复数i z )31(cos 323sin -+-=θθ为纯虚数，则θtan = A ．22 B ．22- C ．42 D ．42-4．事件的控制需要根据大数据进行分析，并有针对性的采取措施．下图是甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周内的新增人数的折线图，根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，下列说法错误的是A ．2月7日到2月13日甲省的平均新增人数低于乙省B ．2月7日到2月13日甲省的单日新增人数最大值小于乙省C ．2月7日到2月13日乙省相对甲省的新增人数的波动大D ．后四日（2月10日至13日）乙省每日新增人数均比甲省多5．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为A ．32B ．34C ．35D ．376．如图是关于秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 的值为A ．))((0320100x a a x a x a +++的值B ．))((0010203x a a x a x a +++的值C ．))((0200301x a a x a x a +++的值D ．))((0130002x a a x a x a +++的值7．已知M 为△ABC 的边AB 的中点，N 为△ABC 内一点，13AN AM BC =+，则BCNAMN S S ∆∆= A ．61 B ．31 C ．21 D ．32 8．已知6π-=x 为函数()sin 3cos f x a x x =-的图象的一条对称轴，若0)()(21=+x f x f ，且()f x 在)(21x x ，单调，则)(21x x f +=A ．0B ．1C ．3D ．29．已知112=，32122-=-，6321222=+-，1043212222-=-+-，……照此规律=-++-+-+-22222222109654321A ．45B ．－45C ．55D ．－5510．已知F 为双曲线C ：122=-y x 的右焦点，M 为双曲线C 上一点，且MF 与x 轴垂直，点M 关于双曲线的渐近线的对称点为N ，则△MNP 的面积为A ．212+B ．212-或223-C ．212+或212-D ．212+或223- 11．已知A 、B 为半径为2的球O 表面上的两点，且2=AB ．平面⊥α平面β，βα =直线AB ，若平面βα、截球O 所得的截面分别为1OO 和2OO ，则21O O =A ．3B ．32C ．2D ．2212．已知函数)()(R a x ae x f x ∈-=有两个零点21x x ，，且21x x <则下列结论中不正确的是A ．ea 10<< B ．101<<x C ．221>+x x D ．2211ln ln x x x x -<-第Ⅱ卷（非选择题 共90 分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题纸相应位置上．13．随着国内形势好转，暂停的中国正在重启，为了尽快提升经济、吸引顾客，哈西某商场举办购物抽奖活动，凡当日购物满1000元的顾客，可参加抽奖，规则如下：盒中有大小质地均相同5个球，其中2个红球和3个白球，不放回地依次摸出2个球，若在第一次和第二次均摸到红球则获得特等奖，否则获得纪念奖，则顾客获得特等奖的概率是 ．14．设函数()xf x e =在x=0处的切线与x ，y 轴围成的区域为Ω，点P 是Ω内一动点，点Q是函数3y =上的动点，则线段｜PQ ｜的最小值为 ．15．已知函数3ln(),0()3,0x x f x x x x -<⎧=⎨-≥⎩，则不等式(1)(0)f x f +≤的解集为 ．16．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足2tan (tan tan )c B b A B ⋅=⋅+，则A = ；若O 是△ABC 外接圆的圆心，则22cos cos 2sin 2sin B AB AO C AC AO C B AO AO ⋅⋅⋅+⋅= ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．。

哈师大附中、东北师大附中、实验中学2021年高三数学文科第一次结合模拟考试卷本套试卷分选择题和非选择题两局部，一共22小题，一共150分，一共8页。

第I 卷〔选择题 一共60分〕一. 选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一个是符合题目要求的。

〕 1. 函数1)62sin(2x y ++=π的最小正周期是〔 〕A.4πB.2π C. π D. π22. 满足条件{}{}3,2,1M 1,2= 的所有集合M 的个数是〔 〕 A ． 1B. 2C. 3D. 43. 函数f(x)y =与函数x log y 2=的图象关于直线x=0对称，那么〔 〕A. x 2)x (f -=B. x 2)x (f =C. )x (log )x (f 2-=D. x log )x (f 2-=4. 设α、β是两个不同平面，m 、n 是两条不同的直线，那么以下命题正确的选项是〔 〕A. 假设m//n ，且m ⊥α，n ⊥β，那么βα//B. 假设m//n ,//,n ,m 则且βαβα⊂⊂C. 假设βαββα//,n//,m//,n m 则且、⊂D. 假设n m ,n ,m ,⊥⊂⊂⊥则βαβα 5. 假设6)x 1x x (-的展开式中的第五项等于215，那么x=〔 〕 A. 1 B.21 C. 2D. 46. 假设+∈R m ,b ,a ，那么a>b 是ma mb a b ++<成立的〔 〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 向量)5y ,2x (a =，向量)5y ,2x(b -=，曲线1b a =⋅上一点P 到F 〔3，0〕的间隔 为6，Q 为PF 的中点，O 为坐标原点，那么|OQ|=〔 〕A. 1B. 2C. 1或者5D. 58. 抛物线)0a (ax y 2≠=的准线与x 轴交于点P ，直线l 经过点P ，且与抛物线有公一共点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是〔 〕A. ]4,0[πB. ],43[]4,0[πππ⋃ C. ]43,4[ππ D. ]43,2(]2,4[ππππ⋃9. 假设得到函数cosx -sinx y =的图象，只要将函数x cos x sin y +=的图象按向量a 平移，那么a 可以等于〔 〕 A. )0,2(πB. )0,2(π-C. )0,4(πD. )0,4(π-10. 正三棱锥底面边长为a ，侧棱与底面成角为︒60，过底面一边作一截面使其与底面成30°的二面角，那么此截面的面积为〔 〕 A.2a 43 B.2a 33 C.2a 31 D.2a 83 11. 定义在R 上的函数)x (f y =满足：)x 1(f )x 1(f ),x (f )x (f -=+-=-，当]1,1[x -∈时，3x )x (f =，那么f(2021)的值是〔 〕A. 1-B. 0C. 1D. 212. 对于任意的R x ∈，不等式031x a x 222>++-恒成立，那么实数a 的取值范围是〔 〕A. 22a <B. 22a ≤C. 3a <D. 3a ≤第II 卷〔非选择题 一共90分〕二. 填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分。