平行四边形中考试题集锦

平行四边形一选择题:1.下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A.AB∥CD，AD=BCB.∠A=∠C，∠B=∠DC.AB∥CD，AD∥BC D.AB=CD，AD=BC2.能判定四边形是平行四边形的条件是( )A.一组对边平行，另一组对边相等；B.一组对边相等，一组邻角相等；C.一组对边平行，一组邻角相等；D.一组对边平行，一组对角相等。

3.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD 4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD、AC的和为18cm，CD：DA=2：3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长是（）A．6cm B．9cm C．3cm D．12cm 5、如图,平行四边形ABCD中，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若□ABCD的周长为48，DE=5，DF=10，则□ABCD的面积等于( )A．87.5 B．80 C．75 D．72.56.如图，任意四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC、BD的长都为20cm，则四边形EFGH的周长是 ( )A.80cmB.40cmC.20cmD.10cm7.如图,在□ABCD中,AE⊥BC于E,AE=EB=EC=a,且a是一元二次方程x2+2x﹣3=0根,则□ABCD周长为( )A.4+2B.12+6C.2+2D.2+或12+68.如图，在▱ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，BD=6cm，则AD的长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm9.如图,在△ABC中,AB=5，BC=6,AC=7,点D,E,F分别是△ABC三边的中点，则△DEF周长为（）A.9B.10C.11D.1210.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为（）A.16B.14C.12D.1011.如图，E为▱ABCD外一点，且EB⊥BC，ED⊥CD，若∠E=65°，则∠A的度数为（）A.65°B.100°C.115°D.135°12.如图，在□ABCD中，BM是∠ABC的平分线交CD于点M,且MC=2，□ABCD的周长是14,则DM等于（）A．1 B．2 C.3 D．413.如图，在□ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC的值为（）A.2：5B.2：3C.3：5D.3：214.如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（）A．4s B．3s C．2sD．1s15.如图，□ABCD的周长为20cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△CDE的周长为（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm16.如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐减小C．线段EF的长不变D．线段EF的长与点P的位置有关17.如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转300，得到平行四边形AB′C′D′(点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点)，点B′恰好落在BC边上，则∠C=（）A．155° B.170° C．105°D.145°18.如图1，平行四边形纸片ABCD的面积为120，AD=20，AB=18．今沿两对角线将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片．若将甲、丙合并（AD、CB 重合）形成一线对称图形戊，如图2所示，则图形戊的两对角线长度和（）A．26 B．29 C．24D．2519.根据如图所示的(1)，(2)，（3)三个图所表示的规律，依次下去第个图中平行四边形的个数是( )A．3n B．3n(n+1) C．6n D．6n(n+1)20、如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E 在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是（）①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④二填空题:21.如图，□ABCD中，点E是边BC上一点，AE交BD于点F，若BE=2，EC=3，则的值为22.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点．若∠ABE=∠EBC，AB=2，则□ABCD周长是．23.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，P是BC边中点，AP交BD 于点Q. 则的值为________．24.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF= 厘米．25.如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且CE：BC=2：3，AC与DE 相交于点F，若S△AFD=9，则S△EFC= ．26.E为□ABCD边AD上一点，将ABE沿BE翻折得到FBE，点F在BD上,且EF=DF．若∠C=52°，则∠ABE=______27.在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C(4，0)，B(6，2),直线y=2x+1以每秒1个单位的速度向下平移，经过秒该直线可将平行四边形OABC的面积平分.28.如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的最大内角等于29.如图,在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AD、BC的中点，AC分别交BE、DF于点M、N. 给出下列结论:①△ABM≌△CDN；②AM=AC；③DN=2NF；④S△AMB=S △ABC.其中正确的结论是_______________(只填番号)30.一个四边形四条边顺次是a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，则这个四边形是_________.三简答题：31.如图，在平行四边形ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE=12cm，CE=5cm，求平行四边形ABCD的周长．32.如图，已知□ABCD中，、分别是、上的点，，、分别是、的中点，求证:四边形是平行四边形｡33.如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的两点，∠1=∠2．（1）求证：AE=CF；（2）求证：四边形EBFD是平行四边形．34.如图，已知AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．求证：四边形BECF是平行四边形．35.△ABC中，中线BE、CF相交于O，M是BO的中点，N是CO的中点.求证：四边形MNEF是平行四边形．36.如图，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连结AE分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：AB=2OF．37.在△ABC中,AB=AC,点D在边BC所在的直线上,过点D作DF∥AC交直线AB于点F,DE∥AB交直线AC于点E．（1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC．（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．（3）若AC=6，DE=4，则DF= ．38.如图，长方形ABCD，AB=9，AD=4.E为CD边上一点，CE=6.（1）求AE的长．（2）点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为t秒，则当t为何值时，△PAE为等腰三角形？39.如图，已知在等边△ABC中，D、F分别为CB、BA上的点，且CD＝BF，以AD 为边作等边三角形ADE．求证：(1)△ACD≌△CBF；(2)四边形CDEF为平行四边形．40.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．（1）求证：△AEF≌△BEC；（2）判断四边形BCFD是何特殊四边形，并说出理由；（3）如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，若BC=1，求AH 的长．参考答案1、A2、D；3、D4、A5、B；6、B；7、A8、A．9、A 10、C 11、C 12、C； 13、B14、B． 15、C 16、C 17、A 18、A 19、B；20、C 21、． 22、12 23、24、3； 25、 4 ． 26、51 27、6 28、150° 29、①②③； 30、平行四边形；31、【解答】解：在平行四边形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵∠ABE=∠EBC，∠BCE=∠ECD．，∴∠EBC+∠BCE=90°，∴∠BEC=90°，∴BC2=BE2+CE2=122+52=132∴BC=13cm，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE，同理CD=ED，∵AB=CD，∴AB=AE=CD=ED=0.5BC=6.5cm，∴平行四边形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（6.5+13）=39cm32、略； 33、略34、证明：∵BE⊥AD，BE⊥AD，∴∠AEB=∠DFC=90°，∵AB∥CD，∴∠A=∠D，在△AEB与△DFC中，，∴△AEB≌△DFC（ASA），∴BE=CF．∵BE⊥AD，BE⊥AD，∴BE∥CF．∴四边形BECF是平行四边形．35、【解答】证明：∵BE，CF是△ABC的中线，∴EF∥BC且EF=0.5BC，∵M是BO的中点，N是CO的中点，∴MN∥BC且MN=0.5BC，∴EF∥MN且EF=MN，∴四边形MNEF是平行四边形．36、连结BE，CE //且=AB□ABEC BF＝FC．□ABCD AO＝OC，∴AB＝2OF．37、【解答】解：（1）证明：∵DF∥AC，DE∥AB，∴四边形AFDE是平行四边形．∴AF=DE，∵DF∥AC，∴∠FDB=∠C又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠FDB=∠B∴DF=BF∴DE+DF=AB=AC；（2）图②中：AC+DE=DF．图③中：AC+DF=DE．（3）当如图①的情况，DF=AC﹣DE=6﹣4=2；当如图②的情况，DF=AC+DE=6+4=10．故答案是：2或10．38、（1） 5 （2）或或39、提示：(1)∵△ABC为等边三角形，∴AC＝CB，∠ACD＝∠CBF＝60°．又∵CD＝BF，∴△ACD≌△CBF．(2)∵△ACD≌△CBF，∴AD＝CF，∠CAD＝∠BCF．∵△AED为等边三角形，∴∠ADE＝60°，且AD＝DE．∴FC＝DE．∵∠EDB＋60°＝∠BDA＝∠CAD＋∠ACD＝∠BCF＋60°，∴∠EDB＝∠BCF．∴ED∥FC．∵ED FC，∴四边形CDEF为平行四边形.40、（1）证明：①在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°．在等边△ABD中，∠BAD=60°，∴∠BAD=∠ABC=60°．∵E为AB的中点，∴AE=BE．又∵∠AEF=∠BEC，∴△AEF≌△BEC．（2）在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，∴CE=AB，BE=AB．∴CE=AE，∴∠EAC=∠ECA=30°，∴∠BCE=∠EBC=60°．又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE=∠BCE=60°．又∵∠D=60°，∴∠AFE=∠D=60°．∴FC∥BD．又∵∠BAD=∠ABC=60°，∴AD∥BC，即FD∥BC．∴四边形BCFD是平行四边形（3）解：∵∠BAD=60°，∠CAB=30°，∴∠CAH=90°．在Rt△ABC中，∠CAB=30°，BC=1，∴AB=2BC=2．∴AD=AB=2．设AH=x，则HC=HD=AD﹣AH=2﹣x，在Rt△ABC中，AC2=22﹣12=3，在Rt△ACH中，AH2+AC2=HC2，即x2+3=（2﹣x）2，解得x=，即AH=．。

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．四边形ABCD是正方形，AC与BD，相交于点O，点E、F是直线AD上两动点，且AE=DF，CF所在直线与对角线BD所在直线交于点G，连接AG，直线AG交BE于点H．（1）如图1，当点E、F在线段AD上时，①求证：∠DAG=∠DCG；②猜想AG与BE的位置关系，并加以证明；（2）如图2，在（1）条件下，连接HO，试说明HO平分∠BHG；（3）当点E、F运动到如图3所示的位置时，其它条件不变，请将图形补充完整，并直接写出∠BHO的度数．【答案】（1）①证明见解析；②AG⊥BE．理由见解析；（2）证明见解析；（3）∠BHO=45°．【解析】试题分析：（1）①根据正方形的性质得DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，则可根据“SAS”证明△ADG≌△CDG，所以∠DAG=∠DCG；②根据正方形的性质得AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，根据“SAS”证明△ABE≌△DCF，则∠ABE=∠DCF，由于∠DAG=∠DCG，所以∠DAG=∠ABE，然后利用∠DAG+∠BAG=90°得到∠ABE+∠BAG=90°，于是可判断AG⊥BE；（2）如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，证明△AON≌△BOM，可得四边形OMHN为正方形，因此HO平分∠BHG结论成立；（3）如答图2所示，与（1）同理，可以证明AG⊥BE；过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，构造全等三角形△AON≌△BOM，从而证明OMHN为正方形，所以HO 平分∠BHG，即∠BHO=45°．试题解析：（1）①∵四边形ABCD为正方形，∴DA=DC，∠ADB=∠CDB=45°，在△ADG和△CDG中，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DAG=∠DCG；②AG⊥BE．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=DC，∠BAD=∠CDA=90°，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠ABE=∠DCF，∵∠DAG=∠DCG，∴∠DAG=∠ABE，∵∠DAG+∠BAG=90°，∴∠ABE+∠BAG=90°，∴∠AHB=90°，∴AG⊥BE；（2）由（1）可知AG⊥BE．如答图1所示，过点O作OM⊥BE于点M，ON⊥AG于点N，则四边形OMHN为矩形．∴∠MON=90°，又∵OA⊥OB，∴∠AON=∠BOM．∵∠AON+∠OAN=90°，∠BOM+∠OBM=90°，∴∠OAN=∠OBM．在△AON与△BOM中，∴△AON≌△BOM（AAS）．∴OM=ON，∴矩形OMHN为正方形，∴HO平分∠BHG．（3）将图形补充完整，如答图2示，∠BHO=45°．与（1）同理，可以证明AG ⊥BE ．过点O 作OM ⊥BE 于点M ，ON ⊥AG 于点N ，与（2）同理，可以证明△AON ≌△BOM ，可得OMHN 为正方形，所以HO 平分∠BHG ，∴∠BHO=45°．考点：1、四边形综合题；2、全等三角形的判定与性质；3、正方形的性质2．问题发现：（1）如图①，点P 为平行四边形ABCD 内一点，请过点P 画一条直线l ，使其同时平分平行四边形ABCD 的面积和周长．问题探究：（2）如图②，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴正半轴上，点B 坐标为(8,6)．已知点(6,7)P 为矩形外一点，请过点P 画一条同时平分矩形OABC 面积和周长的直线l ，说明理由并求出直线l ，说明理由并求出直线l 被矩形ABCD 截得线段的长度．问题解决：（3）如图③，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABCD 的边OA 、OD 分别在x 轴、y 轴正半轴上，DC x ∥轴，AB y ∥轴，且8OA OD ==，2AB CD ==，点(1052,1052)P --为五边形内一点．请问：是否存在过点P 的直线l ，分别与边OA 与BC 交于点E 、F ，且同时平分五边形OABCD 的面积和周长?若存在，请求出点E 和点F 的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】（1）作图见解析；（2）25y x =-，35；（3）(0,0)E ，(5,5)F ．【解析】试题分析：（1）连接AC 、BD 交于点O ，作直线PO ，直线PO 将平行四边形ABCD 的面积和周长分别相等的两部分．（2）连接AC ，BD 交于点O '，过O '、P 点的直线将矩形ABCD 的面积和周长分为分别相等的两部分．（3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长．试题解析：（1）作图如下：（2）∵(6,7)P ，(4,3)O '，∴设:6PO y kx =+'，67{43k b k b +=+=，2{5k b ==-， ∴25y x =-，交x 轴于5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 交BC 于11,62M ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 2211563522MN ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭．（3）存在，直线y x =平分五边形OABCD 面积、周长．∵(1052,102)P --在直线y x =上，∴连OP 交OA 、BC 于点E 、F ，设:BC y kx b =+，(8,2)(2,8)B C ，82{28k b k +=+=，1{10k b =-=，∴直线:10BC y x =-+，联立10{y x y x =-+=，得55x y =⎧⎨=⎩， ∴(0,0)E ，(5,5)F ．3．已知：如图，在平行四边形ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，过点O 的直线EF 分别交AD ，BC 于E ，F 两点，连结BE ，DF ．（1）求证：△DOE ≌△BOF ．（2）当∠DOE 等于多少度时，四边形BFDE 为菱形？请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）当∠DOE =90°时，四边形BFED 为菱形，理由见解析.【解析】试题分析：（1）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法得出△DOE ≌△BOF （ASA ）；（2）首先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EBFD 是平行四边形，进而利用垂直平分线的性质得出BE=ED ，即可得出答案．试题解析：（1）∵在▱ABCD 中，O 为对角线BD 的中点，∴BO=DO ，∠EDB=∠FBO ，在△EOD 和△FOB 中，∴△DOE ≌△BOF （ASA ）；（2）当∠DOE=90°时，四边形BFDE 为菱形，理由：∵△DOE ≌△BOF ，∴OE=OF ，又∵OB=OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形， ∵∠EOD=90°，∴EF ⊥BD ，∴四边形BFDE 为菱形．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．4．已知矩形纸片OBCD 的边OB 在x 轴上，OD 在y 轴上，点C 在第一象限，且86OB OD ==，.现将纸片折叠，折痕为EF （点E ，F 是折痕与矩形的边的交点），点P 为点D 的对应点，再将纸片还原。

一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．（1）如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；（2）如图2，当b＞2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；（3）如图3，当b＜2a时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在，理由见解析;（3）不成立．理由如下见解析.【解析】试题分析：（1）由b=2a，点M是AD的中点，可得AB=AM=MD=DC=a，又由四边形ABCD 是矩形，即可求得∠AMB=∠DMC=45°，则可求得∠BMC=90°；（2）由∠BMC=90°，易证得△ABM∽△DMC，设AM=x，根据相似三角形的对应边成比例，即可得方程：x2﹣bx+a2=0，由b＞2a，a＞0，b＞0，即可判定△＞0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；（3）由（2），当b＜2a，a＞0，b＞0，判定方程x2﹣bx+a2=0的根的情况，即可求得答案．试题解析：（1）∵b=2a，点M是AD的中点，∴AB=AM=MD=DC=a，又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，∴∠AMB=∠DMC=45°，∴∠BMC=90°．（2）存在，理由：若∠BMC=90°，则∠AMB+∠DMC=90°，又∵∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠DMC，又∵∠A=∠D=90°，∴△ABM∽△DMC，∴AM ABCD DM=，设AM=x，则x aa b x =-，整理得：x2﹣bx+a2=0，∵b＞2a，a＞0，b＞0，∴△=b2﹣4a2＞0，∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，∴当b＞2a时，存在∠BMC=90°，（3）不成立．理由：若∠BMC=90°，由（2）可知x2﹣bx+a2=0，∵b＜2a，a＞0，b＞0，∴△=b2﹣4a2＜0，∴方程没有实数根，∴当b＜2a时，不存在∠BMC=90°，即（2）中的结论不成立．考点：1、相似三角形的判定与性质；2、根的判别式；3、矩形的性质2．如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF，则图中的两个三角形就是互补三角形．（1）用尺规将图1中的△ABC分割成两个互补三角形；（2）证明图2中的△ABC分割成两个互补三角形；（3）如图3，在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI．①已知三个正方形面积分别是17、13、10，在如图4的网格中（网格中每个小正方形的边长为1）画出边长为、、的三角形，并计算图3中六边形DEFGHI的面积．②若△ABC的面积为2，求以EF、DI、HG的长为边的三角形面积．【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析（3）①62；②6【解析】试题分析：（1）作BC边上的中线AD即可．（2）根据互补三角形的定义证明即可．（3）①画出图形后，利用割补法求面积即可．②平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，只要证明S△EFM=3S△ABC即可．试题解析：（1）如图1中，作BC边上的中线AD，△ABD和△ADC是互补三角形．（2）如图2中，延长FA到点H，使得AH=AF，连接EH．∵四边形ABDE，四边形ACGF是正方形，∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，∴∠EAF+∠BAC=180°，∴△AEF和△ABC是两个互补三角形．∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90°，∴∠EAH=∠BAC，∵AF=AC，∴AH=AB，在△AEH和△ABC中，∴△AEH≌△ABC，∴S△AEF=S△AEH=S△ABC．（3）①边长为、、的三角形如图4所示．∵S△ABC=3×4﹣2﹣1.5﹣3=5.5，∴S六边形=17+13+10+4×5.5=62．②如图3中，平移△CHG到AMF，连接EM，IM，则AM=CH=BI，设∠ABC=x，∵AM∥CH，CH⊥BC，∴AM⊥BC，∴∠EAM=90°+90°﹣x=180°﹣x，∵∠DBI=360°﹣90°﹣90°﹣x=180°﹣x，∴∠EAM=∠DBI，∵AE=BD，∴△AEM≌△DBI，∵在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180°，∴△DBI和△ABC是互补三角形，∴S△AEM=S△AEF=S△AFM=2，∴S△EFM=3S△ABC=6．考点：1、作图﹣应用与设计，2、三角形面积3．如图，△ABC是等边三角形，AB=6cm，D为边AB中点．动点P、Q在边AB上同时从点D出发，点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动．点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动，回到点D停止．以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN．将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ．设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0＜t＜3）．（1）当点N落在边BC上时，求t的值．（2）当点N到点A、B的距离相等时，求t的值．（3）当点Q沿D→B运动时，求S与t之间的函数表达式．（4）设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值．【答案】（1）（2）2（3）S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2；（4）t=1或【解析】试题分析：（1）由题意知：当点N落在边BC上时，点Q与点B重合，此时DQ=3；（2）当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，此时PD=DQ；（3）当0≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN；当≤t≤时，四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN．（4）MN、MQ与边BC的有交点时，此时＜t＜，列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后，即可求出t的值．试题解析：（1）∵△PQN与△ABC都是等边三角形，∴当点N落在边BC上时，点Q与点B重合．∴DQ=3∴2t=3．∴t=；（2）∵当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上，∴PD=DQ，当0＜t＜时，此时，PD=t，DQ=2t∴t=2t∴t=0（不合题意，舍去），当≤t＜3时，此时，PD=t，DQ=6﹣2t∴t=6﹣2t，解得t=2；综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2；（3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t当点M在BC边上时，∴MN=BQ∵PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t∴3t=3﹣2t∴解得t=如图①，当0≤t≤时，S△PNQ=PQ2=t2；∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2，如图②，当≤t≤时，设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，∵MN=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t，∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3，∵△EMF是等边三角形，∴S△EMF=ME2=（5t﹣3）2．；（4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，此时＜t＜，t=1或．考点：几何变换综合题4．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数．【答案】(1)见解析；（2）18°.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定得出四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出∠FDC的度数，根据三角形内角和定理求出∠DCO，根据矩形的性质得出OD=OC，求出∠CDO，即可求出答案．【详解】（1）证明：∵AO=CO，BO=DO∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=54°∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形．5．已知矩形纸片OBCD的边OB在x轴上，OD在y轴上，点C在第一象限，且，.现将纸片折叠，折痕为EF（点E，F是折痕与矩形的边的交点），点P ==OB OD86为点D的对应点，再将纸片还原。

2024中考数学全国真题分类卷第十七讲平行四边形与多变形命题点1平行四边形的判定1.(2023河北)依据所标数据，下列一定为平行四边形的是()2.(2023达州)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，BC 边的中点，点F 在DE 的延长线上．添加一个条件，使得四边形ADFC 为平行四边形，则这个条件可以是()第2题图A.∠B ＝∠FB.DE ＝EFC.AC ＝CFD.AD ＝CF3.(新趋势)·注重学习过程(2023永州)如图，BD 是平行四边形ABCD 的对角线，BF 平分∠DBC ，交CD 于点F .(1)请用尺规作∠ADB 的角平分线DE ，交AB 于点E (要求保留作图痕迹，不写作法)；第3题图(2)根据图形猜想四边形DEBF 为平行四边形，请将下面的证明过程补充完整．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠________(两直线平行，内错角相等).又∵DE 平分∠ADB ，BF 平分∠DBC ，∴∠EDB ＝12∠ADB ，∠DBF ＝12∠DBC ，∴∠EDB ＝∠DBF .∴DE ∥__________(______________________)(填推理的依据).又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BE ∥DF .∴四边形DEBF为平行四边形(________________________)(填推理的依据).4.(2023贺州)如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O.(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)若AC平分∠FAE，AC＝8，tan∠DAC＝34，求四边形AFCE的面积．第4题图5.(2023毕节)如图①，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，AO＝CO，∠BCA＝∠CA D.(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)如图②，E，F，G分别是BO，CO，AD的中点，连接EF，GE，GF，若BD＝2AB，BC ＝15，AC＝16，求△EFG的周长．第5题图命题点2平行四边形性质的相关证明与计算6.(2023广东省卷)如图，在▱ABCD中，一定正确的是()第6题图A.AD＝CDB.AC＝BDC.AB＝CDD.CD＝BC7.(2023湘潭)如图，在▱ABCD 中，连接AC ，已知∠BAC ＝40°，∠ACB ＝80°，则∠BCD ＝()第7题图A.80°B.100°C.120°D.140°8.(2023内江)如图，在▱ABCD 中，已知AB ＝12，AD ＝8，∠ABC 的平分线BM 交CD 边于点M ，则DM 的长为()第8题图A.2B.4C.6D.89.(2023赤峰)如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD ，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是()第9题图A.四边形ABCD 周长不变B.AD ＝CDC.四边形ABCD 面积不变D.AD ＝BC源自人教八下P 43第2题10.(2023无锡)如图，在▱ABCD 中，AD ＝BD ，∠ADC ＝105°，点E 在AD 上，∠EBA ＝60°，则ED CD 的值是()第10题图A.23B.12C.32D.2211.(2023泰安)如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为________.第11题图12.(2023邵阳)如图，在等腰△ABC中，∠A＝120°，顶点B在▱ODEF的边DE上，已知∠1＝40°，则∠2＝________．第12题图13.(2022青海省卷)如图，在▱ABCD中，对角线BD＝8cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE＝3cm,BC＝4cm.则AD与BC之间的距离为________.第13题图14.(2022嘉兴)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝23，则AH的长为________．第14题图15.(2022哈尔滨)四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，∠BAD的平分线交直线BC于点E，若CE＝2，则▱ABCD的周长为________．16.(2023烟台)如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E.若∠A＝40°，求∠ABE的度数．第16题图17.(2023扬州)如图，在▱ABCD中，BE，DG分别平分∠ABC，∠ADC，交AC于点E，G.(1)求证：BE∥DG，BE＝DG；(2)过点E作EF⊥AB，垂足为F.若▱ABCD的周长为56，EF＝6，求△ABC的面积．第17题图18.(挑战题)(2023包头)如图，在▱ABCD中，AC是一条对角线，且AB＝AC＝5，BC＝6，E，F是AD边上两点，点F在点E的右侧，AE＝DF，连接CE，CE的延长线与BA的延长线相交于点G.(1)如图①，M是BC边上一点，连接AM，MF，MF与CE相交于点N.①若AE ＝32，求AG 的长；②在满足①的条件下，若EN ＝NC ，求证：AM ⊥BC ；(2)如图②，连接GF ，H 是GF 上一点，连接EH .若∠EHG ＝∠EFG ＋∠CEF ，且HF ＝2GH ，求EF 的长．第18题图命题点3多边形及其性质类型一多边形的计算19.(2023柳州)如图，四边形ABCD 的内角和等于()第19题图A.180°B.270°C.360°D.540°20.(2022扬州)如图，点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内，连接AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，若∠BCD ＝100°，则∠A ＋∠B ＋∠D ＋∠E ＝()第20题图A.220°B.240°C.260°D.280°21.(2023河北)如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为α，β，，则正确的是()第21题图A.α－β＝0B.α－β＜0C.α－β＞0D.无法比较α与β的大小22.(2023眉山)一个多边形外角和是内角和的29，则这个多边形的边数为______．类型二正多边形的性质及计算23.(2023烟台)一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3∶1，则这个正多边形是()A.正方形B.正六边形C.正八边形D.正十边形24.(2023甘肃省卷)大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图①，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图②，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为()第24题图A.2mmB.22mmC.23mmD.4mm25.(2023舟山)正八边形一个内角的度数是________．26.(2023株洲)如图所示，已知∠MON＝60°，正五边形ABCDE的顶点A、B在射线OM上，顶点E在射线ON上，则∠AEO＝________度．第26题图27.(2022上海)六个带30度角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，中间正六边形的面积为________．第27题图28.(2023宿迁)如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝6，点M在边AF上，且AM＝2.若经过点M的直线l将正六边形面积平分，则直线l被正六边形所截的线段长是________．第28题图类型三平面镶嵌29.(2023青岛)图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是________°.第29题图参考答案与解析1.D【解析】A选项只能得到上下一组对边平行，不能判定为平行四边形；B选项只能得到左右一组对边平行，不能判定为平行四边形；C选项只能得到左右一组对边相等，不能判定为平行四边形；D选项可以得到上下一组对边平行且相等，可以判定为平行四边形．2.B【解析】∵在△ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AC且DE＝12AC.当∠B＝∠F时，不能判定CF∥AD，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故选项A不符合题意，当DE＝EF时，DF＝AC，∴四边形ADFC为平行四边形，故选项B符合题意；当AC＝CF时，不能判定CF∥AD，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故选项C不符合题意；根据AD＝CF，DF∥AC不能判定四边形ADFC为平行四边形，故选项D不符合题意．3.解：(1)如解图，DE即为所求作的角平分线；第3题解图(2)DBC；BF；内错角相等，两直线平行；两组对边分别平行的四边形是平行四边形．4.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AE∥FC.∵ED＝BF，∴AD－ED＝BC－BF，即AE＝FC，∴四边形AFCE是平行四边形；(2)解：∵AE∥FC，∴∠EAC＝∠ACF.∵AC平分∠FAE，∴∠EAC＝∠FAC，∴∠ACF＝∠FAC，∴AF＝FC，由(1)知四边形AFCE是平行四边形，∴平行四边形AFCE是菱形，∴AO ＝12AC ＝4，AC ⊥EF ，在Rt △AOE 中，AO ＝4，tan ∠DAC ＝34，∴EO ＝3，∴S △AOE ＝12AO ·EO ＝12×4×3＝6，∴S 菱形AFCE ＝4S △AOE ＝24.5.(1)证明：在△AOD 和△COB 中，DAO ＝∠BCO ，＝CO ，AOD ＝∠COB ，∴△AOD ≌△COB ，∴DO ＝BO ，∴四边形ABCD 是平行四边形；(2)解：如解图，连接DF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ＝DC .∵BD ＝2AB ，∴DO ＝DC .∵E ，F 分别是BO ，CO 的中点，∴DF ⊥OC ，EF ∥12BC ，EF ∥12AD ，∴∠DFA ＝90°.∵G 是AD 的中点，∴GF ＝12AD ＝EF ＝GD ，∴四边形EFDG 是平行四边形，∴GE ＝DF .∵AC ＝16，∴AF ＝12，∵BC ＝15，∴EF ＝GF ＝7.5，∴在Rt △ADF 中，DF ＝AD 2－AF 2＝152－122＝9，∴△EFG 的周长为EF ＋GF ＋GE ＝7.5＋7.5＋9＝24.第5题解图6.C7.C 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ACD ＝∠BAC ＝40°，∴∠BCD ＝∠ACB ＋∠ACD ＝80°＋40°＝120°.8.B 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ＝12，AD ＝BC ＝8，∴∠CMB ＝∠ABM ，∵BM 平分∠ABC ，∴∠ABM ＝∠CBM ，∴∠CMB ＝∠CBM ，∴CM ＝CB ＝8，∴DM ＝CD －CM ＝12－8＝4.9.D 【解析】∵两张纸条对边平行，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，但长度在改变，∴周长、面积都会改变．10.D 【解析】如解图，过点B 作BF ⊥AD 于点F ，则∠BFD ＝∠BFA ＝90°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＋∠ADC ＝180°，AB ＝CD ，∵∠ADC ＝105°，∴∠A ＝75°，∵AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝75°，∴∠ADB ＝30°，设BF ＝x ，则BD ＝2x ，DF ＝3x ，∴AF ＝AD －DF ＝BD －DF ＝2x －3x ，∴AB ＝BF 2＋AF 2＝x 2＋（2x －3x ）2＝(6－2)x ，即CD ＝(6－2)x ，∵∠EBA ＝60°，∠A ＝75°，∴∠BEF ＝45°，∴∠EBF ＝90°－45°＝45°，∴∠BEF ＝∠EBF ，∴EF ＝BF ＝x ，∴ED ＝DF －EF ＝3x －x ＝(3－1)x ，∴ED CD＝（3－1）x（6－2）x ＝22.第10题解图11.(－2，－1)【解析】∵A (－1，2)，D (3，2)，∴AD ∥x 轴，AD ＝4.∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ∥BC ，BC ＝AD ，∴BC ∥x 轴，BC ＝4，∵C (2，－1)，点C 在点B 右边，∴点B 的坐标为(－2，－1).12.110°【解析】∵在等腰△ABC 中，∠A ＝120°，∴∠ABC ＝∠C ＝30°，∵∠1＝40°，∴∠ABE ＝70°，∵四边形ODEF 是平行四边形，∴OF ∥DE ，∴∠2＋∠ABE ＝180°，∴∠2＝110°.13.6cm【解析】设AD 与BC 之间的距离为h cm ，∵BD ＝8cm ，AE ＝3cm ，AE ⊥BD ，∴S △ABD ＝12BD ·AE ＝12×8×3＝12(cm 2)，∴S ▱ABCD ＝2S △ABD ＝24(cm 2)，又∵S ▱ABCD ＝BC ·h ＝24，BC ＝4cm ，∴h ＝244＝6(cm).14.233【解析】∵AB ⊥AC ，BC ＝23，AB ＝2，∴在Rt △ABC 中，AC ＝BC 2－AB 2＝22，∴在▱ABCD 中，AO ＝12AC ＝2.在Rt △ABO 中，BO ＝AO 2＋AB 2＝6，∵AB ⊥AC ，AH ⊥BD ，∴∠OAB ＝∠AHB ＝90°.又∵∠ABO ＝∠HBA ，∴△ABO ∽△HBA ，∴AH AO ＝AB BO ，即AH 2＝26，解得AH ＝233.15.20或28【解析】如解图①，当点E 在线段BC 上时，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BC ∥AD ，∴∠BEA ＝∠EAD .∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠EAD ，∴∠BEA ＝∠BAE ，∴BE ＝AB ＝6，∵CE ＝2，∴BC ＝BE ＋CE ＝6＋2＝8，∴▱ABCD 的周长为2×(6＋8)＝28；如解图②，当点E 在线段BC 延长线上时，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BC ∥AD ，∴∠BEA ＝∠EAD .∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE ＝∠EAD ，∴∠BEA ＝∠BAE ，∴BE ＝AB ＝6，∵CE ＝2，∴BC ＝BE －CE ＝6－2＝4，∴▱ABCD 的周长为2×(6＋4)＝20，∴▱ABCD 的周长为20或28.第15题解图16.解：如解图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠1＝∠2.又∵DF 平分∠ADC ，第16题解图∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.∵∠A ＝40°，∴∠2＝∠3＝70°.又∵BE ∥DF ，∴∠ABE ＝∠2＝70°.17.(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC ＝∠ADC ，AD ＝BC ，AD ∥BC ，∵BE ，DG 分别平分∠ABC ，∠ADC ，∴∠CBE ＝12∠ABC ，∠ADG ＝12∠ADC ，∴∠CBE ＝∠ADG ，∵AD ∥BC ，∴∠DAG ＝∠BCE ，∴△ADG ≌△CBE ，∴∠AGD ＝∠BEC ，BE ＝DG ，∴∠CGD ＝∠AEB ，∴BE ∥DG ；(2)解：如解图，过点E 作EM ⊥BC 于点M ，第17题解图∵▱ABCD 的周长为56，∴AB ＋BC ＝28，∵BE 为∠ABC 的平分线，∴EF ＝EM ＝6，∴S △ABC ＝S △ABE ＋S △BCE ＝12AB ·EF ＋12BC ·EM ＝12×6(AB ＋BC )＝84.18.(1)①解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，DC ＝AB ＝5，AD ＝BC ＝6，∴∠GAE ＝∠CDE ，∠AGE ＝∠DCE ，∴△AGE ∽△DCE ，∴AG DC ＝AE DE，∴AG ·DE ＝DC ·AE .∵AE ＝32，∴DE ＝AD －AE ＝6－32＝92，∴92AG ＝5×32，∴AG ＝53；②证明：∵AD ∥BC ，∴∠EFN ＝∠CMN ，∵EN ＝NC ，∠ENF ＝∠CNM ，∴△ENF ≌△CNM ，∴EF ＝CM ，∵AE ＝32，AE ＝DF ，∴EF ＝AD －AE －DF ＝3，∴CM ＝3，∴BM ＝BC －CM ＝3，∴BM ＝CM ，∵AB ＝AC ，∴AM ⊥BC ；(2)解：如解图，连接CF ，第18题解图∵AB ＝AC ，AB ＝DC ，∴AC ＝DC ，∴∠CAD ＝∠CDA ，∵AE ＝DF ，∴△AEC ≌△DFC ，∴CE ＝CF ，∴∠CEF ＝∠CFE .∵∠EHG ＝∠EFG ＋∠CEF ，∴∠EHG ＝∠EFG ＋∠CFE ＝∠CFG ，∴EH ∥CF ，∴GH HF ＝GE EC，∵HF ＝2GH ，∴GE EC ＝12.由(1)①知△AGE ∽△DCE ，∴AE DE ＝GE CE ＝12，∴DE ＝2AE .∵AD ＝6，∴AE ＝2，∴DF ＝2，∴EF ＝AD －AE －DF ＝2.19.C20.D 【解析】如解图，连接BD ，∵∠BCD ＝100°，∴∠CBD ＋∠CDB ＝180°－100°＝80°，∴∠A ＋∠ABC ＋∠CDE ＋∠E ＝360°－(∠CBD ＋∠CDB )＝360°－80°＝280°.第20题解图21.A 【解析】任意多边形外角和度数均为360°，∴△ABC 与四边形BCDE 的外角和度数都为360°，∴α＝β＝360°，∴α－β＝0.22.11【解析】∵外角和等于内角和的29，多边形的外角和为360°，∴内角和等于360°÷29＝1620°，设多边形的边数为n ，由题意得(n －2)×180°＝1620°，解得n ＝11，故该多边形的边数是11.23.C 【解析】∵该正多边形每个内角与它相邻的外角的度数比为3∶1，∴可设该正多边形每个内角与它相邻的外角的度数分别为3x ，x ，∴x ＋3x ＝180°，解得x ＝45°.∵正多边形的外角和为360°，∴该多边形的边数为360°÷45°＝8，∴这个正多边形是正八边形．24.D 【解析】如解图，分别过点B ，C 作BM ⊥AD ，CN ⊥AD 于点M ，N ，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAM ＝60°，∠ABM ＝30°，∴AM ＝12AB ，同理DN ＝12AB ，由作图可知四边形BCNM 是矩形，∴MN ＝BC ＝AB ，∴AD ＝AM ＋MN ＋DN ＝2AB ＝8，∴AB ＝4.第24题解图【一题多解】取AD 的中点O ，构造出△ABO ，△CBO ，△CDO ，易得均为等边三角形，即可求解．25.135°【解析】正八边形的内角和为(8－2)×180°＝1080°，所以它的一个内角的度数是1080°÷8＝135°.26.48【解析】由正多边形内角和定理可知，∠EAB ＝（5－2）×180°5＝108°，又∵∠EAB ＝∠MON ＋∠AEO ，∠MON ＝60°，∴∠AEO ＝48°.27.332【解析】由对称性及直角三角形的性质可知，中间小正六边形的边长为1.根据正六边形的面积公式可得，S ＝6×34×12＝332.28.47【解析】如解图，设正六边形ABCDEF 的中心为O ，连接MO 并延长交边CD 于点N ，∵正六边形是中心对称图形，∴MN 将正六边形ABCDEF 的面积平分，点M 和点N 关于点O 对称，∴OM ＝ON ，即MN ＝2OM ，连接OA ，OF ，过点O 作OP ⊥AF 于点P ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，AB ＝6，∴AB ＝AF ＝6，OA ＝OF ，∠AOF ＝60°，∴△OAF是等边三角形，∴OA ＝6，∵OP ⊥AF ，∴PA ＝PF ＝12AF ＝3，∴OP ＝OA 2－PA 2＝33，∵AM ＝2，∴PM ＝PA －AM ＝3－2＝1，∴OM ＝OP 2＋PM 2＝27，∴MN ＝2OM ＝47，即直线l 被正六边形所截的线段长是47.第28题解图29.60【解析】如解图，∵BC ∥AE ，∴∠ABC ＋∠BAE ＝180°，∴∠BAE ＝180°－∠ABC .∵图④是由有3个大小相同的图③镶嵌得到的，∴∠BAF ＝∠EAF ＝∠BAE ，∵∠BAF ＋∠EAF＋∠BAE＝360°，∴∠BAE＝120°，∴∠ABC＝60°.第29题解图。

中考数学模拟题汇总《平行四边形的判定与证明》专项练习(附答案解析)一、综合题1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC的延长线上，∠FEC=∠B．（1）求证：DE=CF；（2）若AC=6cm，AB=10cm，求四边形DCFE的面积．2．已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，OD∥AC，AD＝OC.（1）求证：四边形OCAD是平行四边形；（2）若AD与⊙O相切，求∠B.3．已知：如图，点D在ΔABC的边AB上，CF//AB，DF交AC于E，EA=EC．（1）如图1，求证：CD=AF；（2）如图2，若AD=BD，请直接写出和ΔBDC面积相等的三角形．4．如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE=CF，DF=BE，且DF//BE，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若tan∠CAB=25，∠CBG=45°，BC=4√2，则▱ABCD的面积是．5．已知，如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．（1）求证：△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．6．如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点.（1）求证：BE=DF；（2）设ACBD=k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由.7．如图，在ΔABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE // BC，EF // AB．（1）求证：ΔADE∽ΔEFC；（2）如果AB=6，AD=4，求SΔADESΔEFC的值．8．如图，已知平行四边形ABCD，过A点作AM⊥BC于M，交BD于E，过C点作CN⊥AD于N，交BD于F，连接AF、CE．（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（2）当AECF为菱形，M点为BC的中点时，求AB：AE的值．BC，9．如图，等边△ABC的边长是4,D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=12连接CD和EF .（1）求证：DE=CF；（2）求EF的长.10．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD交于点H.（1）求证：四边形DEBC是平行四边形；（2）若BD＝9，求DH的长.11．已知锐角△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D，连接AO．（1）如图1，求证：∠BAO＝∠CAD；（2）如图2，CE⊥AB于点E，交AD于点F，过点O作OH⊥BC于点H，求证：AF＝2OH；，BC＝2√15，求AC的长．（3）如图3，在（2）的条件下，若AF＝AO，tan∠BAO＝1312．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(−1，0)，B(5，0)，与y轴交于点C.（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标.（2）连结AD，点E是对称轴与x轴的交点，过E作EF∥AD交抛物线于点F（F在E的右侧），过点F作FG∥x轴交ED于点H，交AD于点G，求HF的长.13．如图，CD是⊙O的直径，点A是⊙O外一点，AD与⊙O相切于点D，点B是⊙O上一点（点B不与点C，D重合），连接AO，AB，BC .（1）当BC与AO满足什么位置关系时，AB是⊙O的切线？请说明理由；（2）在（1）的条件下，当∠DAO=度时，四边形AOCB是平行四边形.（x＞0）的图象经过点A、B，点B的坐标为（2，2）．过点A作AC⊥x轴，垂足14．如图，已知函数y= kx为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F．一次函数y=ax+b的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点EOD，求a、b的值；（1）若AC= 32（2）若BC∥AE，求BC的长．15．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO．16．如图.在一次数学研究性学习中，小华将两个全等的直角三角形纸片Rt△ABC和Rt△DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图），其中∠ACB=∠DFE=90°，发现四边形ABDE是平行四边形.如图，小华继续将图中的纸片Rt△DEF沿AC方向平移，连结AE，BD，当点F与点C重合时停止平移.（1）请问：四边形ABDE是平行四边形吗？说明理由.cm时，请判断四边形ABDE的形（2）如图，若BC=EF=6cm，AC=DF=8cm，当AF=92状，并说明理由.参考答案与解析1．【答案】（1）证明：在△CDE 和△ECF 中，∵∠ACB=∠ECF=90°，点D 、E 是分别是AB 、BC 的中点．∴CD=BD=AD ，∴∠B=∠DCE ，∠CED=∠ECF=90°， 又∵∠FEC=∠B ．．∠FEC=∠DCE ，又∵CE=EC ．∴△CDE ≌△ECF （ASA ），∴DE=CF ；（2）解：在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，∴BC=√AB 2−AC 2=√102−62=8cm ， ∵点D 、E 分别是AB 、BC 的中点，∴DE ∥CF ，又DE=CF ， ∴四边形DCFE 是平行四边形，∴DE=12AC=12×6=3cm ，CE=12BC=12×8=4cm ， ∴S 四边形DCFE =DE ×CE=3×4=12cm ． 2．【答案】（1）证明：∵OA ＝OC ＝AD ， ∴∠OCA ＝∠OAC ，∠AOD ＝∠ADO ， ∵OD ∥AC ， ∴∠OAC ＝∠AOD ，∴180°﹣∠OCA ﹣∠OAC ＝180°﹣∠AOD ﹣∠ADO ， 即∠AOC ＝∠OAD ， ∴OC ∥AD ， ∵OD ∥AC ，∴四边形OCAD 是平行四边形；（2）解：∵AD 与⊙O 相切，OA 是半径， ∴∠OAD ＝90°， ∵OA ＝OC ＝AD ， ∴∠AOD ＝∠ADO ＝45°，∵OD∥AC，∴∠OAC＝∠AOD＝45°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝45°.3．【答案】（1）证明：∵CF//AB∴∠DFC=∠ADF，∠DAC=∠ACF又∵EA=EC∴ΔADE≌ΔCFE(AAS)∴CF=AD又∵CF//AD∴四边形ADCF为平行四边形∴DC=AF（有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）（2）解：ΔADC，ΔADF，ΔCFD，ΔCFA∵AD=BD，∴SΔADC=SΔBDC (等底等高面积相等)∵四边形ADCF是平行四边形，∴SΔADC=SΔCDF=SΔADF=SΔACFF (等底等高面积相等) ．故与ΔBDC面积相等的三角形为：ΔADC，ΔADF，ΔCFD，ΔCFA．4．【答案】（1）证明：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，∵DF//BE，∴∠DFA=∠BEC，∵DF=BE，∴ΔADF≅ΔCBE(SAS)，∴AD=CB，∠DAF=∠BCE，∴AD//CB，四边形ABCD是平行四边形（2）245．【答案】（1）证明：∵DF∥BE，∴∠DFA=∠BEC，在△ADF和△CBE中{DF=BE∠DFA=∠BECAF=CE，∴△AFD≌△CEB（SAS).（2）解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下：∵△AFD≌△CEB，∴AD=CB，∠DAF=∠BCE，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．6．【答案】（1）证明：如图，连接DE，BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵E，F分别是OA，OC的中点，∴OE=12OA=12OC=OF，∴四边形DEBF是平行四边形，∴BE=DF .（2）解：由（1）已证：四边形DEBF是平行四边形，要使平行四边形DEBF是矩形，则BD=EF，∵OE=12OA=12OC=OF，∴EF=OE+OF=12OA+12OC=OA=12AC，即AC=2EF，∴k=ACBD =2EFEF=2，故当k=2时，四边形DEBF是矩形. 7．【答案】（1）证明：∵DE//BC，EF//AB，∴∠A＝∠CEF，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△EFC．（2）解：∵AB＝6，AD＝4，∴DB＝6－4＝2，∵DE//BC，EF//AB，∴四边形DBFE是平行四边形，∴EF＝DB=2，∵△ADE∽△EFC，SΔADE SΔEFC =(ADEF)2=(42)2=4．8．【答案】（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形（已知），∴BC∥AD（平行四边形的对边相互平行）。

九年级中考数学平行四边形专题复习一、选择题:1.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC；②∠ABC=90°；③AC=BD；④AC⊥BD.四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ） A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④2.如图,把矩形纸片ABCD纸沿对角线折叠,设重叠部分为△EBD,那么下列说法错误的是（ ）A．△EBD是等腰三角形，EB=ED B．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等C.折叠后得到的图形是轴对称图形 D．△EBA和△EDC一定是全等三角形3.有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形(边数为n)的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成(n－2)个三角形；④半圆是扇形．其中正确的结论有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4.如图，四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数为( )95°D D．85°105°C C．95°A．115°115°B B．105°5.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内点F处,连接CF,则CF的长为（ ）A．1.8B．2.4C．3.2D．3.66.现有纸片：4张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，8张宽为a、长为b的长方形，用这15张纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形的长为( )A．2a＋3b B．2a＋b C．a＋3b D．无法确定7.如图，菱形ABCD的对角线AC=3cm，把它沿对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形 ENCM 的面积之比为( )A．9:4 B．12:5 C．3:1 D．5:28.如图,正方形ABCD的面积为1,则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为（ ）A． B．2 C． +1 D．2+19.如图,在周长为12的菱形ABCD中,AE=1,AF=2,若P为对角线BD上一动点,则EP+FP的最小值为（ ）A．1 B．2 C．3 D．410.如图,已知矩形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此矩形折叠,使点D与点B重合,折痕为EF,则△ABE的面积为（ ）A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2二、填空题：11.如图，矩形ABCD中，点E在线段AD延长线上，AD=DE，连接BE与DC相交于点F，连接AF，请从图中找出一个等腰三角形______．12.如图，在▱ABCD中，点E在BC边上，且AE⊥BC于点E，ED平分∠CDA，若BE：EC=1：2，则∠BCD度数为 ．13.如图，为一块面积为1.5m2的直角三角形模板，其中∠B=90°，AB=1.5m，现要把它加工成正方形DEFG 木板（EF在AC上，点D和点G分别在AB和BC上），则该正方形木板的边长为______m．14.如图，正方形ABCD的长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且AE=BF=CG=DH，则四边形EFGH面积的最小值是 cm2．15.在中，，其面积为，则的最大值是．16.已知平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+0.5m-0.25=0的两个实数根．当m= 时，四边形ABCD是菱形．三、解答题：17.如图,在平行四边形ABCD中,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,E在AD上，BE=12cm,CE=5cm.求平行四边形ABCD的周长．18.如图,已知在□ABCD中,E是CD的中点,F是AE的中点,FC与BE交于G.求证：GF＝GC．19.如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上， 顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．（1）求证：△AEH∽△ABC；（2）求这个正方形的边长与面积．20.如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的九分之一？（2）是否存在时刻t，使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．21.下列网格中的六边形ABCDEF是由边长为6的正方形左上角剪去边长为2的正方形所得，该六边形按一定的方法可剪拼成一个正方形.(1)根据剪拼前后图形的面积关系求出拼成的正方形的边长为 ；（2）在图中画出两条裁剪线，并画出将此六边形剪拼成的正方形.22.如图，在正方形ABCD中，E为直线AB上的动点（不与A，B重合），作射线DE并绕点D逆时针旋转45°，交直线BC边于点F，连结EF．探究：当点E在边AB上，求证：EF=AE+CF．应用：（1）当点E在边AB上，且AD=2时，则△BEF的周长是 ．（2）当点E不在边AB上时，EF，AE，CF三者的数量关系是 ．参考答案1.B2.B3.B4.C5.D6.A7.D8.B9.C10.A11.答案为：△AFE（答案不唯一）．12.答案为：120°．13.答案为：．14.答案为：32．15.答案为：16.答案为：1．17.解：在平行四边形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵∠ABE=∠EBC，∠BCE=∠ECD．，∴∠EBC+∠BCE=90°，∴∠BEC=90°， ∴BC22=BE22+CE22=1222+522=1322∴BC=13cm，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE，同理CD=ED，∵AB=CD，∴AB=AE=CD=ED=0.5BC=6.5cm，∴平行四边形ABCD的周长=2（AB+BC）=2（6.5+13）=39cm18.提示：取BE的中点P，证明四边形EFPC是平行四边形．19.（1）证明：∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥BC，∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，∴△AEH∽△ABC．（2）解：如图设AD与EH交于点M．∵∠EFD=∠FEM=∠FDM=90°，∴四边形EFDM是矩形，∴EF=DM，设正方形EFGH的边长为x，∵△AEH∽△ABC，∴=，∴=，∴x=，∴正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2．20.21.答案为：（1）；（2）如图：22.探究：证明：如图，延长BA到G，使AG=CF，连接DG，∵四边形ABCD 是正方形，∴DA=DC ，∠DAG=∠DCF=90°， ∴△DAG ≌△DCF （SAS ），∴∠1=∠3，DG=DF ，∵∠ADC=90°，∠EDF=45°，∴∠EDG=∠1+∠2=∠3+∠2=45°2=45°==∠EDF ， ∵DE=DE ，∴△GDE ≌△FDE （SAS ），∴EF=EG=AE+AG=AE+CF ； 应用：解：（1）△BEF 的周长=BE+BF+EF ，由探究得：EF=AE+CF ， ∴△BEF 的周长=BE+BF+AE+CF=AB+BC=2+2=4，故答案为：4； （2）当点E 不在边AB 上时，分两种情况：①点E 在BA 的延长线上时，如图2，EF=CF ﹣AE ，理由是：在CB 上取CG=AE ，连接DG ， ∵∠DAE=∠DCG=90°，AD=DC ，∴△DAE ≌△DCG （SAS ）∴DE=DG ，∠EDA=∠GDC ∵∠ADC=90°，∴∠EDG=90°∴∠EDF+∠FDG=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDG=90°﹣45°45°=45°=45°，∴∠EDF=∠FDG=45°， 在△EDF 和△GDF 中，∵，∴△EDF ≌△GDF （SAS ），∴EF=FG ，∴EF=CF ﹣CG=CF ﹣AE ；②当点E 在AB 的延长线上时，如图3，EF=AE ﹣CF ，理由是：把△DAE 绕点D 逆时针旋转90°至△DCG ，可使AD 与DC 重合，连接DG ， 由旋转得：DE=DG ，∠EDG=90°，AE=CG ，∵∠EDF=45°，∴∠GDF=90°﹣45°45°=45°=45°，∴∠EDF=∠GDF ， ∵DF=DF ，∴△EDF ≌△GDF ，∴EF=GF ，∴EF=CG ﹣CF=AE ﹣CF ；综上所述，当点E 不在边AB 上时，EF ，AE ，CF 三者的数量关系是：EF=CF ﹣AE 或EF=AE ﹣CF ；故答案为：EF=CF ﹣AE 或EF=AE ﹣CF ．。

中考题集：特殊的平行四边形专题练习1．如图：∠MON=90°，在∠MON的内部有一个正方形AOCD，点A、C分别在射线OM、ON上，点B1是ON上的任意一点，在∠MON的内部作正方形AB1C1D1．（1）连续D1D，求证：∠D1DA=90°；（2）连接CC1，猜一猜，∠C1CN的度数是多少？并证明你的结论；（3）在ON上再任取一点B2，以AB2为边，在∠MON的内部作正方形AB2C2D2，观察图形，并结合（1）、（2）的结论，请你再做出一个合理的判断．答案：1、解答：（1）证明：∵∠D1AD+∠B1AD=90°，∠OAB1+∠B1AD=90°，∴∠B1AO=∠D1AD，∵AD1=AB1，AO=AD，∴△OAB1≌△DAD1，∴∠D1DA=∠O=90°；（D1，D，C在同一条直线上）．（2）解：猜想∠C1CN=45°．证明：作C1H⊥ON于H．作C1G⊥CD1于G；则有C1G=CH．∵∠C1D1C+∠C1ED1=90°，∠CB1H+∠B1EC=90°，∴∠C1D1C=∠C1B1E，∵C1D1=B1C1，∠D1C1E=∠C1HB1=90°，∴△C1GD1≌△C1B1H，∴C1G=C1H，又由CH=C1G，因此直角三角形CHC1是个等腰直角三角形，∴∠C1CN=45°．（3）解：作图；得∠ADD2=90°（∠ADD2=90°、∠C2CN=45°均可）．2．七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，如图是一副七巧板，若已知S=1，请你△BPC根据七巧板制作过程的认识，解决下列问题：（1）求一只妈蚁从点A沿A⇒B⇒C⇒H⇒E所走的路线的总长（结果精确到0.01）；（2）求平行四边形EFGH的面积．2、解答：解：（1）由七巧板性质可知，BI=IC=CH=HE．（字母I就是字母P）=1，∠BIC=90°，∴BI•IC=1，∴BI=IC=，∴．又∵S△BIC∴AB+BC+CH+HE=2BC+BC+BI+BI=3BC+2BI=3×2+2×=6+2≈6+2.828≈8.83．即蚂蚁沿A→B→C→H→E所走的路线的总长为8.83．（2）方法一：∵EF=BC=2，FG=EH=BI=，∴点G到EF的距离为：sin45°，∴平行四边形EFGH的面积=EF•sin45°=2×=2．=2．方法二：连接GE，则可知平行四边形EFGH的面积为=2S△BIC3．如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连接EB，过点A作AM ⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．（1）求证：OE=OF；（2）如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由．3、解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE，∴∠MEA=∠AFO．∴Rt△BOE≌Rt△AOF．∴OE=OF．（2）解：OE=OF成立．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOE=∠AOF=90°，OB=OA．又∵AM⊥BE，∴∠F+∠MBF=90°，∠E+∠OBE=90°，又∵∠MBF=∠OBE，∴∠F=∠E．∴Rt△BOE≌Rt△AOF．∴OE=OF．4．已知正方形ABCD．（1）如图1，E是AD上一点，过BE上一点O作BE的垂线，交AB于点G，交CD于点H，求证：BE=GH；（2）如图2，过正方形ABCD内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交AD，BC于点E，F，交AB，CD于点G，H，EF与GH相等吗？请写出你的结论；（3）当点O在正方形ABCD的边上或外部时，过点O作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形ABCD外一点O 作互相垂直的两条直线m，n，m与AD，BC的延长线分别交于点E，F，n与AB，DC的延长线分别交于点G，H，试就该图形对你的结论加以证明．4、解答：（1）证明：在图1中，过点A作GH的平行线，交DC于点H′，交BE于点O'．∵ABCD是正方形，∴∠D=90°，∠H′AD+∠AH′D=90°．∵GH⊥BE，AH′∥GH，∴AH′⊥BE．∴∠H′AD+∠BEA=90°．∴∠BEA=∠AH′D．在△BAE和△ADH′中，∴△BAE≌△ADH′，∴BE=AH′=GH；（2）解：EF=GH，理由如下：过E作EM⊥BC，过G作GN⊥CD，∴∠EMF=∠GNH=90°，又GH⊥EF，∴∠EOG=∠GOF=90°，∴∠E+∠EQG=90°，∠G+∠EQG=90°，∴∠E=∠G，又GN=EM，∴△EMF≌△GNH，∴EF=GH；（3）解：相等．证明：在图3中，过点A作m的平行线交BC于点F′，过点D作n的平行线交AB于点G′．则有EF=AF′，G′D=GH，由（1）可知，Rt△ABF′≌Rt△DAG′，∴AF′=DG′．从而可证明EF=GH．5．如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD．（1）观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；（2）若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题（1）中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由．5、解答：解：（1）猜想：AF=BD且AF⊥BD．证明：设AF与DC交点为G．∵FC=DC，AC=BC，∠BCD=∠BCA+∠ACD，∠ACF=∠DCF+∠ACD，∠BCA=∠DCF=90°，∴∠BCD=∠ACF．∴△ACF≌△BCD．∴AF=BD．∴∠AFC=∠BDC．∵∠AFC+∠FGC=90°，∠FGC=DGA，∴∠BDC+∠DGA=90度．∴AF⊥BD．∴AF=BD且AF⊥BD．（2）结论：AF=BD且AF⊥BD．图形不惟一，只要符合要求即可．画出图形得，写出结论得，此题共．如：①CD边在△ABC的内部时；②CF边在△ABC的内部时．6．如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形．6、解答：解：参考图如下图：7．已知：如图，点E为正方形ABCD的边AD上一点，连接BE，过点A作AH⊥BE，垂足为H，延长AH交CD于点F．求证：DE=CF．7、解答：证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=CD，∠D=∠BAE=90°，∴∠EAH+∠BAH=90°∵AH⊥BE，∴∠AHB=90°，∴∠ABH+∠BAH=90°，∴∠DAF=∠ABE．在△ADF与△BAE中，有，∴△ADF≌△BAE．∴AE=DF．∴AD﹣AE=CD﹣DF，即DE=CF．8．已知正方形ABCD的边长AB=k（k是正整数），正△PAE的顶点P在正方形内，顶点E在边AB上，且AE=1．将△PAE在正方形内按图1中所示的方式，沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB、…连续地翻转n次，使顶点P第一次回到原来的起始位置．（1）如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上，那么这一翻转过程可以看作是△PAE在直线上作连续的翻转运动．图2是k=1时，△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图．请你探索：若k=1，则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数n= 12 时，顶点P第一次回到原来的起始位置；（2）若k=2，则n= 24 时，顶点P第一次回到原来的起始位置；若k=3，则n= 12 时，顶点P 第一次回到原来的起始位置；（3）请你猜测：使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系（请用含k的代数式表示n）．8、解答：解：正△PAE的顶点P在正方形内按图1中所示的方式连续地翻转，顶点P第一次回到原来的起始位置，实际上正方形周长和与三角形的周长和相等，正方形的周长=4k，三角形的周长=3，即找4k，3的最小公倍数；（1）当k=1时，4k，3的最小公倍数是12，故n=12；（2）当k=2时，4k，3的最小公倍数是24，故n=24；当k=3时，4k，3的最小公倍数是12，故n=12；（3）当k是3的倍数时n=4k，当k不是3的倍数时n=12k．9．如图，正方形ABCD的边长为1 cm，AC是对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC．（1）BE是否等于CF？（填“是”或“否”）．（2）BE的长为cm．9、解答：解：（1）∵EF⊥AC，AB⊥BC，AE平分∠BAC，∴BE=EF；∵在Rt△CEF中，∠ECF=45°，∴FE=CF，∴BE=CF．故答案为：是．（2）正方形ABCD的边长为1cm，对角线AC=cm，由（1）得，BE=EF=CF=AC﹣AF=AC﹣AB=（﹣1）cm．故答案为：．10．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠OCF=∠OBE．求证：OE=OF．10、解答：证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，即∠AOB=∠BOC=90°，∴BO=OC，∵∠OCF=∠OBE，∴△OCF≌△OBE，∴OE=OF．11．如图所示，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．（1）如图1所示，当点E在AB边的中点位置时：①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；③请证明你的上述两个猜想；（2）如图2所示，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系．11、解答：解：（1）①DE=EF；②NE=BF；③∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，∵N，E分别为AD，AB中点，∴AN=DN=AD，AE=EB=AB，∴DN=BE，AN=AE，∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEB=90°，又∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FEB=∠ADE，又∵AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，又∵∠A=90°，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°﹣∠ANE=135°，又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），连接NE，则点N可使得NE=BF．此时DE=EF．证明方法同（1），证△DNE≌△EBF．12．如图，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程后，可以从下列①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分．①DM的延长线交CE于点N，且AD=NE；②将正方形CGEF6绕点C逆时针旋转45°（如图），其他条件不变；③在②的条件下，且CF=2AD．附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图），其他条件不变．探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．12、解答：证明：关系是：MD=MF，MD⊥MF如图，延长DM交CE于点N，连接FD、FN∵正方形ABCD，∴AD∥BE，AD=DC，∴∠1=∠2又∵AM=EM，∠3=∠4∴△ADM≌△ENM∴AD=EN，MD=MN∵AD=DC，∴DC=NE又∵正方形CGEF，∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°又∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°．∴∠DCF=∠NEF=45°∴△FDC≌△FNE∴FD=FN，∠5=∠6∵∠CFE=90°，∴∠DFN=90°又∵DM=MN=DN，∴M为DN的中点，∴FM=DN，∴MD=MF，DM⊥MF思路一：∵四边形ABCD、CGEF是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°CF=EF=EG=CG，∠G=∠GEF=∠EFC=∠FCG=90°，∠FCE=∠FEC=45°∴∠DCF=∠FEC思路二：延长DM交CE于N，∵四边形ABCD、CGEF是正方形∴AD∥CE，∴∠DAM=∠NEM 又∵∠DMA=∠NME，AM=EM，∴△ADM≌△ENM思路三：∵正方形CGEF，∴∠FCE=∠FEC=45°又∵正方形ABCD，∴∠DCB=90°．∴∠DCF=180°﹣∠DCB﹣∠FCE=45°，∠DCF=∠FEC=45°选取条件①证明：如图∵正方形ABCD，∴AD∥BE，AD=DC，∴∠1=∠2∵AD=NE，∠3=∠4，∴△ADM≌△ENM∴MD=MN又∵AD=DC，∴DC=NE又∵正方形CGEF，∴FC=FE，∠FCE=∠FEN=45°．∴∠FCD=∠FEN=45°∴△FDC≌△FNE∴FD=FN，∠5=∠6，∴∠DFN=∠CFE=90°∴MD=MF，MD⊥MF选取条件②证明：如图，延长DM交FE于N∵正方形ABCD、CGEF∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE．∴∠1=∠2又∵MA=ME，∠3=∠4，∴△AMD≌△EMN∴MD=MN，AD=EN．∵AD=DC，∴DC=NE又∵FC=FE，∴FD=FN又∵∠DFN=90°，∴FM⊥MD，MF=MD．选取条件③证明：如图，延长DM交FE于N．∵正方形ABCD、CGEF∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE∴∠1=∠2又∵MA=ME，∠3=∠4，∴△AMD≌△EMN ∴AD=EN，MD=MN．∵CF=2AD，EF=2EN∴FD=FN．又∵∠DFN=90°，∴MD=MF，MD⊥MF附加题：证明：如图过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN∴∠ADC=∠H，∠3=∠4．∵AM=ME，∠1=∠2，∴△ADM≌△ENM∴DM=NM，AD=EN．∵正方形ABCD、CGEF∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°，CG∥FE∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°∴∠DCF=∠5=∠NEF∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．∵∠CFE=90°∴∠DFN=90°．∴DM=FM，DM⊥FM．13．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点．（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．13、解答：（1）证明：连接AD∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点∴AD⊥BC，AD=BD=DC，∠DAQ=∠B，又∵BP=AQ，∴△BPD≌△AQD（SAS），∴PD=QD，∠ADQ=∠BDP，∵∠BDP+∠ADP=90°∴∠ADP+∠ADQ=90°，∴△PDQ为等腰直角三角形；（2）解：当P点运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形；理由如下：由（1）知△ABD为等腰直角三角形，当P为AB的中点时，DP⊥AB，即∠APD=90°，又∵∠A=90°，∠PDQ=90°，∴四边形APDQ为矩形，又∵DP=AP=AB，∴四边形APDQ为正方形（邻边相等的矩形为正方形）．14．在□ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连接EG、GF、FH、HE．（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是菱形；（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．14、解答：解：（1）四边形EGFH是平行四边形；证明：∵▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，∴点O是▱ABCD的对称中心；∴EO=FO，GO=HO；∴四边形EGFH是平行四边形；（2）菱形；（3）菱形；（4）四边形EGFH是正方形；证明：∵AC=BD，∴▱ABCD是矩形；又∵AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形；∴▱ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF=90°；∴∠BOG=∠COF；∴△BOG≌△COF；∴OG=OF，∴GH=EF；由（1）知四边形EGFH是平行四边形，又∵EF⊥GH，EF=GH；∴四边形EGFH是正方形．（1分）15．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？15、。

AE BCF D1.在□ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连接AF 、CE ．(1)求证：△BEC ≌△DFA ；(2)连接AC ，当CA ＝CB 时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．2. 已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE = AF ．（1）求证：BE = DF ；（2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，连接EM 、FM ．判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论．3.已知：如图，在ABCD Y 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △．（1）求证：BE DG =；（2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．4.已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并延长交DE 于F ．（1）求证：BCG DCE △≌△；（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90o 得到DAE '△，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说明理由．5.（2014枣庄）如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，已知O 是AC 的中点，AE=CF ，DF∥BE．（1）求证：△BOE≌△DOF； （2）若OD=1/2AC ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？请证明你的结论．ADB E FO CMA B CD E F E ' G A D G C B F E6.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥AB，AB=2，且AC：BD=2：3．（1）求AC的长；（2）求△AOD的面积．7.如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．8.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1) 求证：△ADF∽△DEC(2) 若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.9、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D′处，折痕为EF ．（1）求证：△ABE ≌△AD ′F ；（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．1．如图，在△ABC 中，∠ABC =90°，过点B 作AC 的平行线交∠CAB的平分线于点D ，过点D 作AB 的平行线交AC 于点E ，交BC 于点F ，连接BE ，交AD 于点G ．（1）求证：四边形ABDE 是菱形；（2）若BD =14，cos ∠GBH =87，求GH 的长．2．如图：在平行四边形ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线交BC 于点E （尺规作图的痕迹保留在图中了）， 连接EF ．（1）求证：四边形ABEF 为菱形；（2）AE ，BF 相交于点O ，若BF =6，AB =5，求AE 的长．H GF EDC BA3．如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在BC 边上，点F 在BC 延长线上，且∠CDF =∠BAE ． （1）求证：四边形AEFD 是平行四边形； （2）若DF =3，DE =4，AD =5，求CD 的长度．4. 如图，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，∠ABC 的平分线交AD 于点F ，AE 与BF 相交于点O ，连接EF ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若AE = 6，BF = 8，CE = 3， 求□ABCD 的面积．5．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点B 作AC 的平行线交DC 的延长线于点E .（1）求证：BD=BE ； （2）若BE =10，CE =6，连接OE ，求tan ∠OED 的值.O ED ABC6、．如图，在ABCD Y 中，过点A 作AE DC ⊥交DC 的延长线于点E ，过点D 作DF EA P 交BA 的延长线于点F ．（1）求证：四边形AEDF 是矩形；（2）连接BD ，若2AB AE ==，25tan FAD ∠=，求BD 的长． EFDACBFEDCB AOFEDCB AABCDoAD O F 12ABCEF12oEDABCM NCABMNCAB 已知：O 是正方形ABCD 对角线的交点，AE 为∠BAC 的平分线，交BC 于E ，DH ⊥AE 于H ，交AB 于F ，交AO 于G ．求证：BF=2OG如图1，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3厘米，BC ＝4厘米．现将A ，C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ．试确定重叠部分△AEF 的面积．在四边形ABCD 中，∠ADC ＝∠ABC ＝90°，AD ＝CD ，DP ⊥AB 于P ．若四边形ABCD 的面积是18，求DP 的长△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，M ，N 为斜边AB 上两点，如果∠MCN ＝45°．求证 AM 2＋BN 2＝MN 2△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°， M ，N 为斜边AB 上两点，满足AM 2＋BN 2＝MN 2．求∠MCN 的度数．在正方形ABCD 中，∠1=∠2．求证：AE=BF ＋DE ．正方形ABCD 的边长为1,E 、F 分别在BC 和CD 上，S S EAF CEF ==∠∆,450求AEF S ∆点O 为正方形ABCD 内一点，如果OA:OB:OC=1:2:3,求∠AOB 的度数在正方形ABCD 中，∠1=∠2．求证：BE OF 21=提示：注意到基本图形中的AE=AF. 1， 两次应用内角平分线定理和CE=CF ABCDFE12A B C D E FMEAB CD可证2， 过点O 作OG‖DE 和CO=CG,CF=CE 可证.3， 过点O 作OH‖BE, OF= OH=BE 21例11在正方形ABCD 中，∠1=∠2．AE ⊥DF,求证：CE OG 21（提示：一条线段的一半或2倍这两者的位置关系有哪两种）例12 在正方形ABCD 中,点E 、F 分别为BC 和AB 的中点 求证：AM=ADABCD FOEG H 12G A BC E FDA B E D 图15C MN A B ED 图16C FA BE D图17C 例13 正方形ABCD 中,点E 为AD 的中点，BD 和CE 相交于点F ， 求证：AF⊥BE如图13，点E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点, EF ⊥BC, EG ⊥CD 求证：AE ⊥FG （提示：延长AE 交GF 于点M ，DC,使CH=DG,连接HF,证四边形对角互补,法2：延长FE ，AE 证全等三角形）如图，等腰直角△ABC 中，AC =BC, 点E 在BC 上，以AE 为边长作正方形AEMN ，EM 交AB 于F, 连BM. 求证：BM ⊥AB点E 为正方形ABCD 的边BC 上一点, MN ⊥DE 分别交AB 、CD 于点M 、N. 求证：MN=DE正方形ABCD 中, ∠DAF=250,AF 交BD 于点E.求∠BEC 的度数.正方形ABCD 的边长为1cm, △ BCE 是等边三角形 求△ BCE 的面积 。