高等数学 复变函数导论
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复变函数第4讲PPT课件
§2.1 解析函数的概念
1.复变函数的导数
1)导数概念：
设函数f (z)在点z0及其邻域内有定义,如果极限
lim f (z0 z) f (z0 )
z 0
z
存在, 那么就说f (z)在点z0可导. 这个极限值称
为f (z)在点z0的导数.
记作
f
'(z0 )
dw dz
z z0
lim
z 0
f
( z0
u e x cos y, x v e x si n y, x
u e x si ny u v
y v
e x cos y
x y v u
y
x y
故 f (z) e x (cos y i siny)在 全 平 面 可 导 ， 解 析 。
f '(z) u i v e x cos y ie x si ny f (z). x x
条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且
满足Cauchy-Rieman方程
u v ,
v
u .
x y x y
并且在解析的条件下
f (z) ux ivx vy iuy
第18页/共26页
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
(1) f (z) ex (cosy i siny)； 解：(1) u e x cos y, v e x siny，
第7页/共26页
例如
f
(z)
1 z2
z
,则当z
0,
1时 ，f
'(z)
2z 1 (z2 z)2
.
思考题
实 函 数 中, f ( x) x 2 在( , )内 可 导;
1.复变函数的导数
1)导数概念：
设函数f (z)在点z0及其邻域内有定义,如果极限
lim f (z0 z) f (z0 )
z 0
z
存在, 那么就说f (z)在点z0可导. 这个极限值称
为f (z)在点z0的导数.
记作
f
'(z0 )
dw dz
z z0
lim
z 0
f
( z0
u e x cos y, x v e x si n y, x
u e x si ny u v
y v
e x cos y
x y v u
y
x y
故 f (z) e x (cos y i siny)在 全 平 面 可 导 ， 解 析 。
f '(z) u i v e x cos y ie x si ny f (z). x x
条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且
满足Cauchy-Rieman方程
u v ,
v
u .
x y x y
并且在解析的条件下
f (z) ux ivx vy iuy
第18页/共26页
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
(1) f (z) ex (cosy i siny)； 解：(1) u e x cos y, v e x siny，
第7页/共26页
例如
f
(z)
1 z2
z
,则当z
0,
1时 ，f
'(z)
2z 1 (z2 z)2
.
思考题
实 函 数 中, f ( x) x 2 在( , )内 可 导;
复变函数 全套课件
w1
8
2cos
9 16
i
sin
9 16
,
23
w2
8
2
cos
17 16
i sin 1176,
w3
8
2cos
25 16
i sin 2156.
y
w1
这四个根是内接于中
心在原点半径为8 2 的 圆的正方形的四个顶点.
w2
o
w0 x
w3
24
三、典型例题
例1 对于映射 w z 1 , 求圆周 z 2的象. z
3
三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
r r
cos , sin ,
复数可以表示成 z r(cos i sin )
指数表示法
利用欧拉公式 ei cos i sin ,
复数可以表示成 z rei 称为复数 z 的指数表示式.
4
方根
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
6
2cos
12
i
sin
12 ,
w1
6
2cos
7 12
i sin 712,
w2
6
2cos
5 4
i
sin
5 4
.
22
例 计算 4 1 i 的值.
解
1i
2cos
4
i
sin
4
4
1
i
8
2cos 4
2k 4
i sin
4
2k
4
即
w0
8
复变函数_第1讲49页PPT
z 1 z 2 ( x 1 x 2 ) i ( y 1 y 2 ). 2. 两复数的积:
z 1 z 2 ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 2 y 1 x 1 y 2 ). 3. 两复数的商:
z z1 2x1 x x 22 2 y y1 22 y2ixx 2y 22 1 x y1 22 y2.
3
复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.Cauchy （1789-1866)和 K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研 究复变函数，G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复 变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。 经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理 论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学， 流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。
8
两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小.
9
二、复数的代数运算
设z 两 1 x 1 i1 复 ,yz 2 x 2 数 i2 , y 1. 两复数的和:
计算 argz(z≠0)
arg
z
arctan , y 0
的公式
arctan
y x
x 0, y 0
x 0, y 0
18
当z落于一,四象限时，不变。
当z落于第二象限时，加 。 当z落于第三象限时，减 。
平 面 —复 平z面 平或 面
点的表示：zxiy复平面上 P(x， 的 y)点
数z与点z同义.
16
z 1 z 2 ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 2 y 1 x 1 y 2 ). 3. 两复数的商:
z z1 2x1 x x 22 2 y y1 22 y2ixx 2y 22 1 x y1 22 y2.
3
复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.Cauchy （1789-1866)和 K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研 究复变函数，G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复 变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。 经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理 论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学， 流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。
8
两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小.
9
二、复数的代数运算
设z 两 1 x 1 i1 复 ,yz 2 x 2 数 i2 , y 1. 两复数的和:
计算 argz(z≠0)
arg
z
arctan , y 0
的公式
arctan
y x
x 0, y 0
x 0, y 0
18
当z落于一,四象限时，不变。
当z落于第二象限时，加 。 当z落于第三象限时，减 。
平 面 —复 平z面 平或 面
点的表示：zxiy复平面上 P(x， 的 y)点
数z与点z同义.
16
复变函数导数与高等数学中一元函数导数的区别与联系
复变函数导数与高等数学中一元函数导数的区别与联系摘要：1.引言2.复变函数导数的定义及性质3.复变函数导数与一元函数导数的区别4.复变函数导数与一元函数导数的联系5.实例分析6.结论正文：**引言**在高等数学中，导数是一个重要的概念。
无论是为一元函数还是复变函数，导数都有着相似的定义和性质。
然而，它们之间也存在着一些明显的区别。
本文将探讨复变函数导数与一元函数导数的区别与联系，并通过实例进行分析。
**复变函数导数的定义及性质**首先，我们来回顾一下复变函数的导数定义。
设函数f(z)在区域D及其边界上连续，z0在D内，那么复变函数f(z)在z0处的导数定义为：f"(z0) = lim (f(z) - f(z0)) / (z - z0) （z趋近于z0）复变函数的导数具有以下性质：1.线性性质2.微分公式3.链式法则4.反函数定理5.隐函数定理6.泰勒公式**复变函数导数与一元函数导数的区别**1.定义上的区别：一元函数导数是在实数域上进行的计算，而复变函数导数是在复数域上进行的计算。
2.计算方法的区别：一元函数导数可以使用求导公式、链式法则等进行计算，而复变函数导数则需要使用复数的求导法则，如微分公式、链式法则等。
3.应用领域的区别：一元函数导数广泛应用于物理、工程等领域，而复变函数导数则主要应用于复分析、调和分析等领域。
**复变函数导数与一元函数导数的联系**1.基本概念的联系：复变函数导数和一元函数导数都是描述函数在某一点变化率的数学概念。
2.求导法则的联系：无论是复变函数还是一元函数，求导时都需要遵循求导法则，如线性性质、链式法则等。
3.泰勒公式的联系：在泰勒公式中，一元函数和复变函数的导数都可以用来表示函数在某一点附近的近似值。
**实例分析**假设我们有一个复变函数f(z) = z^2 + 2z + 1，我们可以计算其在z = 1处的导数。
f"(1) = lim (f(z) - f(1)) / (z - 1) （z趋近于1）通过计算，我们得到f"(1) = 4。
高等数学课件：chap5_9复变函数的导数与解析函数
（2） u( x, y), v( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处满足C R 条件：
u v ，v u . x y x y
u x
,
u y
,
v x
,
v y
在点 ( x0 ,
y0 )
处连续。 (得到推论
9.1)
证明：（必要性）设 f (z) 在 z0 可导，即有
f (z0 )
lim
u , u , v , v 在 D 内连续。(得到推论 9.2) x y x y
例 4 判断下列函数何处可导？何处解析？
（1） f (z) e x (cos y i sin y)
解： u( x, y) e x cos y, v( x, y) e x sin y，
ux ex cos y, uy ex sin y,
f z g z f z g(z) f (z)g z
f
z
g
z
f
(
z
)
g
z
f g2 z
z
g
z
(
g
z
0)
f (g(z)) f (g(z))g z
f (z) 1
( w )
（z
(w), w
f (z) 互为反函数，
且(w) 0 ）
注意：复变函数和一元实函数的导数定义，虽然在形式 上类似，但在本质上有很大的不同．因为一元实函数的 导数定义中的极限是一元实函数的极限，而复变函数的 导数定义中的极限对应于二元实函数的极限．
第9节 复变函数的导数与解析函数
9.1 复变函数导数的概念与性质
定义 9.1 设复变函数 w f (z) 在z0 的某邻域 N (z0 ) 内有定义， 如果在点 z0 x0 iy0 处存在一个关于 z x iy 的线性函数 Lz ，使 z0 z N (z0 ) ，有
u v ，v u . x y x y
u x
,
u y
,
v x
,
v y
在点 ( x0 ,
y0 )
处连续。 (得到推论
9.1)
证明：（必要性）设 f (z) 在 z0 可导，即有
f (z0 )
lim
u , u , v , v 在 D 内连续。(得到推论 9.2) x y x y
例 4 判断下列函数何处可导？何处解析？
（1） f (z) e x (cos y i sin y)
解： u( x, y) e x cos y, v( x, y) e x sin y，
ux ex cos y, uy ex sin y,
f z g z f z g(z) f (z)g z
f
z
g
z
f
(
z
)
g
z
f g2 z
z
g
z
(
g
z
0)
f (g(z)) f (g(z))g z
f (z) 1
( w )
（z
(w), w
f (z) 互为反函数，
且(w) 0 ）
注意：复变函数和一元实函数的导数定义，虽然在形式 上类似，但在本质上有很大的不同．因为一元实函数的 导数定义中的极限是一元实函数的极限，而复变函数的 导数定义中的极限对应于二元实函数的极限．
第9节 复变函数的导数与解析函数
9.1 复变函数导数的概念与性质
定义 9.1 设复变函数 w f (z) 在z0 的某邻域 N (z0 ) 内有定义， 如果在点 z0 x0 iy0 处存在一个关于 z x iy 的线性函数 Lz ，使 z0 z N (z0 ) ，有
复变函数的导数
求导公式： (1) (C) 0 , (2) (zn ) nz n1 .
一、复变函数的导数
（二）复变函数的导数的运算法则
例3
设 f (z) 3z , 求 f (0) 和 f (i) . 1 z
例 4 设 f (z) (z2 2z 4)2 , 求 f (i) .
一、复变函数的导数
（二）复变函数的导数的运算法则
w
如果极限
lim z0 z
存在。 则称 f (z) 在点 z0 处可导。
此极限值称为 f (z) 在点 z0 处的导数。
记ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ f (z0 ) 或 w zz0或
dw . 即
dz zz0
f
(
z0
)
lim
z0
w z
lim z0
f (z0
z) z
f (z0)
如果函数f（z）在区域D内每一点都可导，则称f（z）在 D 内可导.
（三）解析函数的运算性质
（1） 若函数 f (z) 与 g(z) 在 z0 处解析, 则
f (z) g(z) ,
f (z) g(z) ,
f (z) g(z)
(g(z) 0) 在 z0 处解析。
（2） 若函数 w f (h) 在 区域G内解析, 而 h (z)
在 区域D内解析, 且 (D) G , 则复合函数 w f [(z)]
在 区域D内解析, 且 d f [(z)] d f (h) d (z) .
dz
dh dz
（3） 所有多项式函数在全复平面内处处解析。
任意分式有理函数
P(z) Q(z)
在不含分母为0的点的区域内解析。
（四）解析函数的判定
1. 函数可导性的判别
复变函数课件--复变函数1绪论
引 言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次 方程 x 10 x 40时引进了复数。他发现这个方程没有根，并 把这个方程的两个根形式地表为 5 15与5 15。在当时， 包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上， 复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪， 随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler 的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的 i e cos i sin 揭示了复指数函数与三角函数之 Euler公式 间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand (法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865) 定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性 的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 1 课件 和 发展。
8
加减法与平行四边形
法则的几何意义:
z2
z1 z2
z1 z2
z1
乘、除法的几何意义:
z1 r 1e
i1
,
z2 r2e
i2
,
z1 z2 r1r2e
i (1 2 )
,
z1 z2 r1r2 z1 z2 Argz1 z2 A rg z1 Argz2
Argz1 z2 Argz1 Argz2
p
2
2kp
k, m , n Z
若取 k 1, 则 n 1, m 1,
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次 方程 x 10 x 40时引进了复数。他发现这个方程没有根，并 把这个方程的两个根形式地表为 5 15与5 15。在当时， 包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上， 复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪， 随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler 的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的 i e cos i sin 揭示了复指数函数与三角函数之 Euler公式 间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand (法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865) 定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性 的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 1 课件 和 发展。
8
加减法与平行四边形
法则的几何意义:
z2
z1 z2
z1 z2
z1
乘、除法的几何意义:
z1 r 1e
i1
,
z2 r2e
i2
,
z1 z2 r1r2e
i (1 2 )
,
z1 z2 r1r2 z1 z2 Argz1 z2 A rg z1 Argz2
Argz1 z2 Argz1 Argz2
p
2
2kp
k, m , n Z
若取 k 1, 则 n 1, m 1,
数学物理方法第一章-复变函数导论
24
1． 多项式：
f ( z ) = c0 + c1 z + c2 z 2 + …… + cn z n = ∑ ck z k
k =0
n
Ck: 复 常 数
n：正整数 2． 有理函数：
P( z ) f ( z ) = b +b z +b z 2 +……+b z n = 0 1 2 n Q( z ) n：正整数,且分母 Q(z)不为 0 ak，bk 为复常数
(2) 周期：2πi (3) chz：偶函数 shz：奇函数
(4) 实变函数有关公式可推广：
Z = Z1 ×Z2 = x1+iy） x2+iy） 1 2-yy2)+i(xy2+x2y1) （ ⋅ 1（ 2 =(xx 1 1
Z1 × Z 2 = ρ1eiϕ1 ρ 2 eiϕ2 = ρ1 ρ 2 ei (ϕ1 +ϕ2 )
(模相乘, 辐角相加)
12
4.除法:
Z= Z1 x1 +iy1 （x1 +iy1） 2 -iy2） (x1x2 +y1y2 ) （x ⋅ x y1 -x y = = = + +i 2 2 1 2 2 Z 2 x2 +iy2 （x2 +iy2） 2 -iy2） x22 +y22 （x x2 +y2 ⋅
8
(2)极坐标表示：
复平面上的点用极坐标 ( ρ , ϕ ) 表示 ⎧ x = ρ cos ϕ ⇒ z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) ⎨ y = ρ sin ϕ ⎩ （ ρ ：z的模， ϕ ：z的辐角） 注：用极坐标表示一个复数z时，辐角Argz的值不唯一：
1． 多项式：
f ( z ) = c0 + c1 z + c2 z 2 + …… + cn z n = ∑ ck z k
k =0
n
Ck: 复 常 数
n：正整数 2． 有理函数：
P( z ) f ( z ) = b +b z +b z 2 +……+b z n = 0 1 2 n Q( z ) n：正整数,且分母 Q(z)不为 0 ak，bk 为复常数
(2) 周期：2πi (3) chz：偶函数 shz：奇函数
(4) 实变函数有关公式可推广：
Z = Z1 ×Z2 = x1+iy） x2+iy） 1 2-yy2)+i(xy2+x2y1) （ ⋅ 1（ 2 =(xx 1 1
Z1 × Z 2 = ρ1eiϕ1 ρ 2 eiϕ2 = ρ1 ρ 2 ei (ϕ1 +ϕ2 )
(模相乘, 辐角相加)
12
4.除法:
Z= Z1 x1 +iy1 （x1 +iy1） 2 -iy2） (x1x2 +y1y2 ) （x ⋅ x y1 -x y = = = + +i 2 2 1 2 2 Z 2 x2 +iy2 （x2 +iy2） 2 -iy2） x22 +y22 （x x2 +y2 ⋅
8
(2)极坐标表示：
复平面上的点用极坐标 ( ρ , ϕ ) 表示 ⎧ x = ρ cos ϕ ⇒ z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) ⎨ y = ρ sin ϕ ⎩ （ ρ ：z的模， ϕ ：z的辐角） 注：用极坐标表示一个复数z时，辐角Argz的值不唯一：
02-2.1复变函数的导数与微分教学课件
复变函数与积分变换沈阳工业大学理学院第一节解析函数的概念一、复变函数的导数与微分二、解析函数的概念三、解析函数的充要条件记Δw=f(z0+Δz)−f(z0)，Δz=z−z0，有等价定义f′(z0)=limΔz→0ΔwΔz=limΔz→0f(z0+Δz)−f(z0)Δz注：本定义在形式上与一元实变函数的导数定义一样，但复变函数若f(z)在D内处处可导，称f(z)在D内可导.导数的定义要求z→z0(∆z→0)的方式是任意的，比实变函数导数的限制严格得多.例1．求函数f(z)=z2的导数.解：limΔz→0f(z+Δz)−f(z)Δz=limΔz→0(z+Δz)2−z2Δz=limΔz→0(2z+Δz)=2z所以f′(z)=2z.2．可导与连续的关系由例2可看出，函数f(z)=3x处处连续，但处处不可导函数w=f(z)在z0可导，则在z0处必连续，反之不成立.结论：证明：∀ε>0,∃δε>0,当0<Δz<δ时，都有f(z0+Δz)−f(z0)Δz −f′(z0)<ε由导数的定义可知f′(z0)=limΔz→0f(z+Δz)−f(z0)Δz存在⇔3．求导法则若f′(z)，g′(z)，φ‘w存在.(1)(C)′=0,（其中C为常数）(2)(z n)′=nz n−1,（其中n为正整数）(3)[f(z)±g(z)]′=f′(z)±g′(z)(4)[f(z)⋅g(z)]′=f′(z)⋅g(z)+f(z)⋅g′(z)(5)f(z)g(z)′=1[g(z)]2[f′(z)⋅g(z)−f(z)⋅g′(z)],g(z)≠06[f(g(z))]′=f′(g(z))g′(z)7f′z=1φ‘w,其中w=f z与z=φw是互为反函数的单值函数，φ‘w≠0. 3．求导法则4．微分的概念复变函数的微分在形式上与一元实函数的微分概念一样，有：若Δw=f(z0+Δz)−f(z0)=f′(z0)Δz+o(Δz),Δz→0称f(z)在z0处可微,f′z0Δz是函数w=f z在点z0处的微分,记作dw.若f(z)在D内处处可微，称f(z)在D内可微.谢谢观看！。
2-12复变函数的导数和解析函数
f (z) u i v 1 u v . x x i y y
函数在区域 D内解析的充要条件 定理二 函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在其定义 域 D内解析的充要条件是: u( x, y)与 v( x, y) 在 D内可微, 并且满足柯西－黎曼方程.
27
解析函数的判定方法: (1) 如果能用求导公式与求导法则证实复变函 数 f (z) 的导数在区域 D内处处存在, 则可根据 解析函数的定义断定 f (z) 在 D内是解析的.
z0
令 f (z z) f (z) u iv,
f (z) a ib, (z) 1 i2 ,
13
所以 u iv
f (z) a ib u i v x x
(a ib) (x iy) (1 i2 ) (x iy) (ax by 1x 2y)
i(bx ay 2x 1y)
u e x cos y, x v e x sin y, x
u e x sin y,
y
四个偏导数
v e x cos y, 均连续 y
即 u v , u v . x y y x
故 f (z) 在复平面内处处可导, 处处解析.
且 f (z) ex (cos y i sin y) ff((zz)).
黎曼介绍
12
证 (1) 必要性. 设 f (z) u( x, y) iv( x, y) 定义在区域 D内, 且 f (z) 在 D内一点 z x yi 可导, 则对于充分小的z x iy 0,
有 f (z z) f (z) f (z)z (z)z, 其中 lim (z) 0,
解 (1) w z, u x, v y,
u 1, u 0, v 0, v 1.
x
函数在区域 D内解析的充要条件 定理二 函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在其定义 域 D内解析的充要条件是: u( x, y)与 v( x, y) 在 D内可微, 并且满足柯西－黎曼方程.
27
解析函数的判定方法: (1) 如果能用求导公式与求导法则证实复变函 数 f (z) 的导数在区域 D内处处存在, 则可根据 解析函数的定义断定 f (z) 在 D内是解析的.
z0
令 f (z z) f (z) u iv,
f (z) a ib, (z) 1 i2 ,
13
所以 u iv
f (z) a ib u i v x x
(a ib) (x iy) (1 i2 ) (x iy) (ax by 1x 2y)
i(bx ay 2x 1y)
u e x cos y, x v e x sin y, x
u e x sin y,
y
四个偏导数
v e x cos y, 均连续 y
即 u v , u v . x y y x
故 f (z) 在复平面内处处可导, 处处解析.
且 f (z) ex (cos y i sin y) ff((zz)).
黎曼介绍
12
证 (1) 必要性. 设 f (z) u( x, y) iv( x, y) 定义在区域 D内, 且 f (z) 在 D内一点 z x yi 可导, 则对于充分小的z x iy 0,
有 f (z z) f (z) f (z)z (z)z, 其中 lim (z) 0,
解 (1) w z, u x, v y,
u 1, u 0, v 0, v 1.
x
复变函数论：全程导学及习题全解
复变函数论：全程导学及习题全解
复变函数论是数学中一门重要的分支，它研究的是复变函数的性质和应用。
复变函数是指在复平面上的函数，它的定义域和值域都是复数集合。
复变函数的定义域和值域可以是实数集合，也可以是复数集合。
复变函数的定义域和值域可以是实数集合，也可以是复数集合。
复变函数的定义域和值域可以是实数集合，也可以是复数集合。
复变函数论的研究内容包括复变函数的性质、复变函数的极限、复变函数的导数、复变函数的积分、复变函数的变换等。
复变函数的性质是指复变函数的定义域和值域的性质，复变函数的极限是指复变函数在某一点的极限，复变函数的导数是指复变函数在某一点的导数，复变函数的积分是指复变函数在某一区间的积分，复变函数的变换是指复变函数的变换。
复变函数论的应用非常广泛，它可以用来解决复杂的数学问题，如求解复变函数的极限、导数、积分等。
复变函数论也可以用来解决物理问题，如电磁学、热力学、力学等。
复变函数论还可以用来解决工程问题，如机械工程、电子工程、计算机工程等。
复变函数论的学习需要全面掌握复变函数的定义、性质、极限、导数、积分、变换等，并熟练掌握复变函数的应用。
学习复变函数论时，可以通过实例分析、习题解答等方式，加深对复变函数的理解，提高复变函数的应用能力。
高等数学课件：复变函数第5讲(初等函数)
即 将满足方程
ew=z (z0)
的函数w=f(z)称为对数函数Lnz
下面要求w
. 令w=u+iv, z=reiq, 则
eu+iv=reiq,
所以 u=ln r, v=2kp+q.
因此 w=ln|z|+iArg z= ln|z|+i(2kp+q)
5
Ln z=ln|z|+iArg z 如果规定上式中的Arg z取主值arg z, 则Ln z 为一单值函数, 记作ln z, 称为Ln z的主值, 因 此
复变函数
1
初等函数
2
1, 指数函数
函数 exp z=eZ=ex(cos y+i sin y)
. 等价于关系式:
|exp z|=ex,
Arg(exp z)=Байду номын сангаас+2kp
3
exp z的周期性是2kpi, 即
ez+2kpi=eze2kpi=ez 其中k为任何整数.
4
2.对数函数 对数函数定义为:指数函数的反 函数.
ln z = ln|z|+iarg z 而其余各值可由
Ln z=ln z+2kpi (k=1,2,...) 表达.
6
例1 求Ln 2, Ln(-1)以及它们相应的主值.
7
3. 乘幂zb与幂函数 设z为不等于0的一个复数, b为任意一个复
数, 定义乘幂zb为ebLnz, 即 ab=ebLnz Ln z=ln|z|+i(arg z+2kp)
8
例2 求1 2 和ii的值.
[解] 1 2 e 2 Ln1 e2kpi 2
cos(2kp 2) + i sin( 2kp 2).
ew=z (z0)
的函数w=f(z)称为对数函数Lnz
下面要求w
. 令w=u+iv, z=reiq, 则
eu+iv=reiq,
所以 u=ln r, v=2kp+q.
因此 w=ln|z|+iArg z= ln|z|+i(2kp+q)
5
Ln z=ln|z|+iArg z 如果规定上式中的Arg z取主值arg z, 则Ln z 为一单值函数, 记作ln z, 称为Ln z的主值, 因 此
复变函数
1
初等函数
2
1, 指数函数
函数 exp z=eZ=ex(cos y+i sin y)
. 等价于关系式:
|exp z|=ex,
Arg(exp z)=Байду номын сангаас+2kp
3
exp z的周期性是2kpi, 即
ez+2kpi=eze2kpi=ez 其中k为任何整数.
4
2.对数函数 对数函数定义为:指数函数的反 函数.
ln z = ln|z|+iarg z 而其余各值可由
Ln z=ln z+2kpi (k=1,2,...) 表达.
6
例1 求Ln 2, Ln(-1)以及它们相应的主值.
7
3. 乘幂zb与幂函数 设z为不等于0的一个复数, b为任意一个复
数, 定义乘幂zb为ebLnz, 即 ab=ebLnz Ln z=ln|z|+i(arg z+2kp)
8
例2 求1 2 和ii的值.
[解] 1 2 e 2 Ln1 e2kpi 2
cos(2kp 2) + i sin( 2kp 2).
复变函数导论
定理1（Cauchy-Riemann定理）函数f(z)=u(x,y)+i v(x,y)∈H(Ω)⇔u(x,y),v(x,y)∈D(Ω)，在Ω上满足C-R方程：∂u ∂x =∂v∂y,∂v∂x=−∂u∂y定理2（解析函数实部、虚部关系）若f(z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则在区域D内v(x,y)是u(x,y)的共轭调和函数。
定理3（Cauchy积分定理）设D是C中的单连通域，f∈H(D)，且f′∈C(D)，则对D 中任意可求长曲闭曲线γ，均有∫γf(z)d z=0定理3加强形式（Cauchy-Goursat1900）设D是C中的单连通域，如果f∈H(D)，那么对D中任意的可求长闭曲线γ，均有∫γf(z)d z=0定理4（Cauchy积分公式）设区域D的边界是周线（或复周线）C，函数f(z)∈H(D◦)∩C(¯D)，则f(z)=12πi∫Cf(ζ)ζ−zdζ,(z∈D)定理5（Cauchy积分公式导数形式）设区域D的边界是周线（或复周线）C，f(z)∈H(D)∩C(¯D)，则f(z)在D内有各阶导数，且有f n(z)=n!2πi∫Cf(ζ)(ζ−z)n+1dζ,(z∈D)定理6（Cauchy积分定理的复周线形式）设D是由复周线C=C0+C−1+C−2+···+C−n所围成的有界n+1连通区域，函数f(z)在D内解析，在¯D=D+C上连续，则∫C f(z)d z=0,or∫C0f(z)d z=∫C1f(z)d z+···+∫C nf(z)d z（即沿外边界积分等于沿内边界积分之和）1定理7（解析函数的平均值定理）若函数f(z)在圆|ζ−z0|<R内解析，在闭圆|ζ−z0|⩽R 上连续，则f(z0)=12π∫2πf(z0+R e iφ)dφ即f(z)在圆心z0的值等于它在圆周上的值的算术平均值。
复变函数及其导数与积分1-3
' ' f z f z ' f z f 1 2 z 1 2 ' ' f z f z ' f z f z f 1 2 2 z f1 z 1 2
f1 z f1' z f 2 z f 2' z f1 z ' 2 f z 2 f2 z
思考题：
实函数中 , f ( x ) x 在( , )内 可 导 ; 复函数中 , f (z) z 的 可 导 性 ?
8
2
2
解： w f ( z z ) f ( z ) z z z z z z
2
2
w z 0 (z 0) f (0) 0 z 0: z w zz z 0 : 取z x 0 z w zz 取z iy 0 z
v u x y
称为Cauchy-Riemann条件(简称C-R条件).
20
C-R方程等价于 f 0.
z
证明:
1 1 x ( z z ), y ( z z ), f ( z ) u ( x, y ) v( x, y ). 2 2i
f f x f y u v 1 u v 1 ( i ) ( i ) ( ) z x z y z x x 2 y y 2i 1 u v i v v ( ) ( ) 0. 2 x x 2 y y
容易证明： 可导 可导 可微 ； 连续。
10
1.5.2 解析函数的概念及其简单性质
一、解析函数的概念
则称f (z)在z0解析；如果f (z)在区域D内每一点都解析，
f1 z f1' z f 2 z f 2' z f1 z ' 2 f z 2 f2 z
思考题：
实函数中 , f ( x ) x 在( , )内 可 导 ; 复函数中 , f (z) z 的 可 导 性 ?
8
2
2
解： w f ( z z ) f ( z ) z z z z z z
2
2
w z 0 (z 0) f (0) 0 z 0: z w zz z 0 : 取z x 0 z w zz 取z iy 0 z
v u x y
称为Cauchy-Riemann条件(简称C-R条件).
20
C-R方程等价于 f 0.
z
证明:
1 1 x ( z z ), y ( z z ), f ( z ) u ( x, y ) v( x, y ). 2 2i
f f x f y u v 1 u v 1 ( i ) ( i ) ( ) z x z y z x x 2 y y 2i 1 u v i v v ( ) ( ) 0. 2 x x 2 y y
容易证明： 可导 可导 可微 ； 连续。
10
1.5.2 解析函数的概念及其简单性质
一、解析函数的概念
则称f (z)在z0解析；如果f (z)在区域D内每一点都解析，
国外通俗易懂高等数学教材
国外通俗易懂高等数学教材在国外，高等数学教育一直被视为培养学生分析和解决复杂问题的重要学科。
而与国内相比，国外的高等数学教材通常更注重直观解释和简明易懂的表达。
在本文中，将介绍一些国外通俗易懂的高等数学教材，帮助读者更好地理解和学习数学知识。
一、《微积分入门》《微积分入门》是一本非常受欢迎的高等数学教材。
该教材通过大量的图形和实际应用案例，向读者介绍微积分的基本概念和理论。
作者以通俗易懂的语言，结合示意图和实际事例，将抽象复杂的微积分内容解释得浅显易懂。
读者在阅读过程中，很容易理解微积分的核心思想和应用方法。
二、《线性代数导论》《线性代数导论》是另一本值得推荐的高等数学教材。
线性代数作为高等数学不可或缺的一部分，却常常被学生认为晦涩难懂。
然而，《线性代数导论》通过实例以及直观的图表，循序渐进地进行讲解，使读者逐渐掌握线性代数的基本概念和运算规则。
作者还通过生动的例子和应用案例，提高了读者对线性代数的学习兴趣。
三、《概率论与数理统计》《概率论与数理统计》是一本在国外广泛使用的高等数学教材。
该教材注重理论与实践的结合，通过丰富的例子和实际问题的分析，让读者更好地理解概率论和数理统计的概念和应用。
教材还提供了大量的例题和习题，帮助读者巩固所学知识，提高问题解决能力。
四、《复变函数导论》《复变函数导论》是一本专注于复变函数理论的高等数学教材。
复变函数是数学中的重要分支，常常涉及到复数和复平面的运算。
而该教材通过图表和实际案例，引导读者一步步理解复变函数的性质和运算规则。
教材还特别注重培养读者的几何直观和空间想象力，从而更好地理解复变函数的概念和应用。
五、《偏微分方程导论》《偏微分方程导论》是一本系统介绍偏微分方程的高等数学教材。
偏微分方程在数学中的应用非常广泛，涉及到物理、工程等多个领域。
然而，由于偏微分方程的复杂性，许多学生在学习中感到困惑。
而该教材通过通俗易懂的语言和大量的实例，向读者解释偏微分方程的各种类型和解法。
复变函数的导数与积分
复变函数的导数与积分复变函数是数学领域中重要的研究对象之一。
在复变函数中，我们可以定义导数和积分。
本文将探讨复变函数的导数和积分以及它们的性质和应用。
首先是复变函数的导数。
与实数函数的导数类似，复变函数的导数也表示函数在某一点的变化率。
设f(z)是定义在复平面上某个开集D上的复变函数，如果存在复数w，使得当z趋近于z0时，有f(z) - f(z0) = w(z - z0) + o(z - z0)其中o(z - z0)是当z趋近于z0时比(z - z0)更高阶的无穷小量，则称f(z)在z0处可导，并记作f'(z0) = w。
如果f(z)在D上的每一点都可导，那么f(z)在D上可导，这样的函数称为全纯函数。
全纯函数具有一些性质，如可导函数的导函数也是可导函数，并且导数连续。
如果f(z)和g(z)是复变函数，那么它们的和、差、积、商（除以非零函数）仍然是可导函数。
此外，复变函数导数的Cauchy-Riemann方程给出了全纯函数和它的共轭函数之间的关系。
接下来是复变函数的积分。
与实数函数的积分类似，复变函数的积分也表示函数在某一区域上的累积效应。
设f(z)是定义在闭曲线C上的连续函数，那么函数f(z)沿闭曲线C的积分定义为∮C f(z)dz = ∫C f(z)dz其中dz表示积分路径上的无穷小位移，积分路径可以是简单闭合曲线、多重曲线或者无穷远曲线。
复变函数的积分还可以表示为对多变量实数函数的积分。
根据Cauchy-Goursat定理，如果f(z)是区域D内的全纯函数，那么对于任何闭合曲线C，沿C对f(z)的积分都为零。
这个定理给出了计算某些复变函数积分的方法。
复变函数的导数和积分在数学和物理学中有广泛的应用。
在数学领域，它们被用于解析数论、复杂动力系统等领域的研究。
在物理学中，它们被用于解决电磁学、流体力学等领域的问题。
比如，复变函数的导数和积分被用来计算电磁场的势函数和场线，从而解决各种电磁场问题。
复变函数第二章(1)导数
几何意义:
y
z
v f(z)
z0
O
A lim f ( z )
z z0
x O
意味着：
A u
当z从平面上任一方向、沿任何路径、以任意 方式趋近于 ( z ) e z 在 z 0时极限不存在。
证明: 当 z 沿实轴从
1
0的右方趋于
解： u ( x , y ) x 3 3 xy 2
v( x, y ) 3 x y y
2
3
u x
3x 3 y
2
2
u
v x
6 xy
v y
y
6 xy
2 2
3x 3 y
都是初等函数，在复平
面内处处连续；
针对柯西
v u x y 黎曼方程 在复平面内处处成立 u v y x
D 内，
则 f ( z ) 在 D 内一点 z x iy 可导的充要条件；
（1 u ( x , y ), v ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微； ） v u x y （2）在点 ( x , y )满足柯西 黎曼方程 u v y x
f ( z )在
性质： (1)连续函数的四则运算仍然连续(定理2.3)； (2)连续函数的复合函数仍然连续(定理2.4)；
( 3 ) 设 f ( z ) u ( x , y ) iv ( x , y ), z 0 x 0 iy 0 ,
则 例3
f ( z )在点z0连续 u ( x, y ), v( x, y )在点( x0 , y0 )连续。
例5 解
讨论对数函数
Ln z 的连续性
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x0
z
lim f ( z ) = f ( z0 ) →
z0
Δf ( x) = f ' ( x0 ) lim → x0 x Δx
Δf ( z ) = f ' ( z0 ) lim z → z0 Δz
复变函数的导数
可导条件
分析
x → x0 y = y0
C-R条件
ux = vy vx = -uy
lim
Δf ( z ) Δf ( z ) = f ' ( z 0 ) = lim x = x0 Δz Δz y→ y
2000 1000 0 -1000 -2000 -10 -5 0 5 10 -10 -5 10 5 0
复变函数
指数函数
定义
w = exp(z)
5 2.5 0 -2.5 -5 -2 0 -1 0 1 2 -5 -2.5 5 2.5
分析
u + iv = exp(x+iy) = exp(x)[cosy +i siny] u = exp(x) cos y , v = exp(x) sin y
复变函数
基本函数
二次函数
定义
w = z2
100 50 0 -50 -100 -10 -5 0 5 -10 -5 10 5 0
分析
u + iv = +2ixy -y2 u = x2 -y2 , v = 2xy (x+iy)2 = x2
10
性质
对称性 无周期性 无界性 单值性
200 100 0 -100 -200 -10 -5 0 5 10 -10 -5 10 5 0
复变函数的分类
复 变 函 数
整式
复变函数（广义）
复数数列
复变函数（狭义）
初等函数
非初等函数
代数函数
超越函数
无限次运算
无限次复合
有理函数
无理函数
级数
无穷乘积
分式
幂级数
傅立叶级数
复变函数
分析与比较
定义域和值域
相同点：
都是数集
不同点：
实数集是一维的，可以在(直)线上表示； 复数集是二维的，必须在(平)面上表示。
0
充要条件
偏导数 ux ，vy ， vx ，uy 连续 满足C-R条件
x → x0 y = y0
lim
Δf ( z ) Δ u + iΔ v u v +i = lim = x → x0 Δz Δx x x
意义
可导函数的虚部与 实部不是独立的， 而是相互紧密联系 的。
Δf ( z ) Δ u + iΔ v v u i = lim = lim x = x0 y → y0 Δz y y iΔ y y→ y
解析函数
例2：已知平面电场的等势线为x2+y2=C，求电势 u(x,y)。 分析：等势线方程的左边不一定恰好是电势表达式， 电势必须有调和性，可看成某个解析函数的实部。 解：设电势为 u=f(x2+y2) ux=2xf’, uxx=2f’+4x2f” uy=2yf’, uyy=2f’+4y2f” uxx+uyy=4f’+4(x2+y2)f”=0 令 t = x2+y2, g = f’(t) g +t g’ = 0 g = -ln t +C f=
复变函数
三次函数
定义
w= z3 (x+iy)3 = x3
2000 1000 0 -1000 -2000 -10 -5 0 -5 5 10 -10 10 5 0
分析
u + iv = +3ix2y-3xy2 -iy3 u = x3 – 3xy2 , v = 3x2y - y3
性质
对称性 无周期性 无界性 单值性
矢量性
复数有方向
复数
运算
加减法
(x1+ iy1)±(x2+ iy2) = (x1±x2) + i(y1±y2)
乘除法
r1exp(iφ1)× r2exp(iφ2) = r1r2 exp[i(φ1+φ2)]
幂和开方
[r exp(iφ)]n = rn exp(inφ) [r exp(iφ)]1/n = r1/n exp(iφ/n)
复变函数的导数
导数的意义
微商表示
f’(z) = dw/dz
模：
|f’(z)|= |dw|/|dz|
幅角：
Arg[f’(z)] = Arg(dw) - Arg(dz)
返 回
解析函数
定义
点解析
函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导
区域解析
函数f(z)在区域B上每一点都解析
性质
调和性
解析函数的实部与虚部都是调和函数， 即 △u=uxx + uyy = 0, △v=vxx + vyy = 0
性质
对称性 周期性 无界性 单值性
20 4 0 -20 -5 -2.5 0 2.5 5 -4 -2 0 2
返 回
复变函数的导数
基本概念
实变函数 极限 连续 导数
x x → x0
复变函数
z → z0
lim f ( x) = A
lim f ( z ) = A
lim f ( x) = f ( x0 ) →
数学物理方法
复变函数论
复变函数
§1-1 §1-2 §1-3 §1-4 复数 复变函数 导数 解析函数 本章小结
复数
数的扩张（完善化）
自然数 减法不封闭→整数 除法不封闭→有理数 不完备√2 →实数 方程可解性→复数
复数
复数的表示
代数表示
z = x + iy
x = Real(z), y = Imagine(z)
三角表示
z = r (cosφ + i sinφ)
r = |z|, φ= Arg(z)
指数表示
z = r exp(iφ)
exp(iφ) = cosφ + i sinφ
复数
几何表示 关系
x = r cosφ y = r sinφ r = √(x2+y2) φ= Arctan(y/x)
特点
无序性
复数无大小
0
复变函数的导数
典型情况
初等函数在定义域内都可导； 函数Re(z),Im(z),|z|, Arg(z), z*不可导。
导数的计算
法则：
复变函数的求导法则与实变函数完全相同；
例子：
(sin2z)’ = 2 sin z cos z [exp(z2 )]’ = 2 z exp(z2 ) (z3)” = 6 z
解析函数
例3：已知平面温度场的温度分布为u=x2-y2，求热流 量函数。 分析：热流的方向与等温线相互正交，对应的函数组 成一个解析函数的实部与虚部，满足C-R条件。 解：设热流量函数为v(x,y)=C,由C-R条件得 vx=-uy=2y, vy=ux =2x dv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy) v = 2xy 注意：热流线方程的一般形式为 f(2xy)=C
复变函数
更多的例子
w = az2 w = az2 + bz +c w = 1/(az + b) w = √(az + b) w = ln(az + b) w = sin z w = arccos z w = ∑ an zn w = ∑ an sin(nωz) w = ∏(1-z2/n2π2) w = ∫exp(-z2)dz
联系
u = u(x,y), v = v(x,y) 可以用两个曲面分别表示复变函数的实部与虚部。
复变函数
结构
相同点：
复杂函数都可以分解为简单的基本函数组成。
不同点：
基本实变函数 xn, x1/n,exp(x),ln(x),sin(x),arctan(x) 基本复变函数 zn, z1/n,exp(z),ln(z) 原因 cos(z)=(eiz +e-iz)/2, sin(z)=(eiz -e-iz)/2i
性质
不对称性 周期性 exp(z+2πi)= exp(z) 无界性 单值性
4 2 0 -2 -4 -2 -1 0 1 2 -5 0 -2.5 5 2.5
复变函数
对数函数
定义
w = Ln(z)
2 1.5 1 0.5 0 3 1 2 3 4 5 1 2 5 4
分析
u + iv = Ln [ r × exp(iφ)] = ln r + iφ u = ln r, v=φ
典型例子：
|x|<2 是连通的， 1<|x|是不连通的； |z|<2是单连通的， 1<|z|是复连通的。
复变函数
映射
相同点
在形式上：y = f(x), w = f(z)
不同点
在变量上：z = x+iy, w = u+iv 在描述上： 实变函数可以用两个数轴组成的平面上的曲线表 示； 复变函数不能用一个图形完全表示。
性质
对称性 非周期性 无界性 多值性：|φ| ≤ π
1 2 0 -1 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1
复变函数
三角函数
定义
w = sin(z)
20 4 0 -20 -5 -2.5 0 2.5 5 -4 -2 0 2
分析
u + iv = sin(x+iy) = sin(x)ch(y) + i cos(x)sh(y) u = sin(x)ch(y) , v = cos(x)sh(y)
正交性
解析函数的实部与虚部梯度正交， 即 u v=（uxi+uyj)（vxi+vyj)= uxvx+uyvy = 0 或曲线 u(x,y)=C1, v(x,y)=C2 相互垂直。
z
lim f ( z ) = f ( z0 ) →
z0
Δf ( x) = f ' ( x0 ) lim → x0 x Δx
Δf ( z ) = f ' ( z0 ) lim z → z0 Δz
复变函数的导数
可导条件
分析
x → x0 y = y0
C-R条件
ux = vy vx = -uy
lim
Δf ( z ) Δf ( z ) = f ' ( z 0 ) = lim x = x0 Δz Δz y→ y
2000 1000 0 -1000 -2000 -10 -5 0 5 10 -10 -5 10 5 0
复变函数
指数函数
定义
w = exp(z)
5 2.5 0 -2.5 -5 -2 0 -1 0 1 2 -5 -2.5 5 2.5
分析
u + iv = exp(x+iy) = exp(x)[cosy +i siny] u = exp(x) cos y , v = exp(x) sin y
复变函数
基本函数
二次函数
定义
w = z2
100 50 0 -50 -100 -10 -5 0 5 -10 -5 10 5 0
分析
u + iv = +2ixy -y2 u = x2 -y2 , v = 2xy (x+iy)2 = x2
10
性质
对称性 无周期性 无界性 单值性
200 100 0 -100 -200 -10 -5 0 5 10 -10 -5 10 5 0
复变函数的分类
复 变 函 数
整式
复变函数（广义）
复数数列
复变函数（狭义）
初等函数
非初等函数
代数函数
超越函数
无限次运算
无限次复合
有理函数
无理函数
级数
无穷乘积
分式
幂级数
傅立叶级数
复变函数
分析与比较
定义域和值域
相同点：
都是数集
不同点：
实数集是一维的，可以在(直)线上表示； 复数集是二维的，必须在(平)面上表示。
0
充要条件
偏导数 ux ，vy ， vx ，uy 连续 满足C-R条件
x → x0 y = y0
lim
Δf ( z ) Δ u + iΔ v u v +i = lim = x → x0 Δz Δx x x
意义
可导函数的虚部与 实部不是独立的， 而是相互紧密联系 的。
Δf ( z ) Δ u + iΔ v v u i = lim = lim x = x0 y → y0 Δz y y iΔ y y→ y
解析函数
例2：已知平面电场的等势线为x2+y2=C，求电势 u(x,y)。 分析：等势线方程的左边不一定恰好是电势表达式， 电势必须有调和性，可看成某个解析函数的实部。 解：设电势为 u=f(x2+y2) ux=2xf’, uxx=2f’+4x2f” uy=2yf’, uyy=2f’+4y2f” uxx+uyy=4f’+4(x2+y2)f”=0 令 t = x2+y2, g = f’(t) g +t g’ = 0 g = -ln t +C f=
复变函数
三次函数
定义
w= z3 (x+iy)3 = x3
2000 1000 0 -1000 -2000 -10 -5 0 -5 5 10 -10 10 5 0
分析
u + iv = +3ix2y-3xy2 -iy3 u = x3 – 3xy2 , v = 3x2y - y3
性质
对称性 无周期性 无界性 单值性
矢量性
复数有方向
复数
运算
加减法
(x1+ iy1)±(x2+ iy2) = (x1±x2) + i(y1±y2)
乘除法
r1exp(iφ1)× r2exp(iφ2) = r1r2 exp[i(φ1+φ2)]
幂和开方
[r exp(iφ)]n = rn exp(inφ) [r exp(iφ)]1/n = r1/n exp(iφ/n)
复变函数的导数
导数的意义
微商表示
f’(z) = dw/dz
模：
|f’(z)|= |dw|/|dz|
幅角：
Arg[f’(z)] = Arg(dw) - Arg(dz)
返 回
解析函数
定义
点解析
函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导
区域解析
函数f(z)在区域B上每一点都解析
性质
调和性
解析函数的实部与虚部都是调和函数， 即 △u=uxx + uyy = 0, △v=vxx + vyy = 0
性质
对称性 周期性 无界性 单值性
20 4 0 -20 -5 -2.5 0 2.5 5 -4 -2 0 2
返 回
复变函数的导数
基本概念
实变函数 极限 连续 导数
x x → x0
复变函数
z → z0
lim f ( x) = A
lim f ( z ) = A
lim f ( x) = f ( x0 ) →
数学物理方法
复变函数论
复变函数
§1-1 §1-2 §1-3 §1-4 复数 复变函数 导数 解析函数 本章小结
复数
数的扩张（完善化）
自然数 减法不封闭→整数 除法不封闭→有理数 不完备√2 →实数 方程可解性→复数
复数
复数的表示
代数表示
z = x + iy
x = Real(z), y = Imagine(z)
三角表示
z = r (cosφ + i sinφ)
r = |z|, φ= Arg(z)
指数表示
z = r exp(iφ)
exp(iφ) = cosφ + i sinφ
复数
几何表示 关系
x = r cosφ y = r sinφ r = √(x2+y2) φ= Arctan(y/x)
特点
无序性
复数无大小
0
复变函数的导数
典型情况
初等函数在定义域内都可导； 函数Re(z),Im(z),|z|, Arg(z), z*不可导。
导数的计算
法则：
复变函数的求导法则与实变函数完全相同；
例子：
(sin2z)’ = 2 sin z cos z [exp(z2 )]’ = 2 z exp(z2 ) (z3)” = 6 z
解析函数
例3：已知平面温度场的温度分布为u=x2-y2，求热流 量函数。 分析：热流的方向与等温线相互正交，对应的函数组 成一个解析函数的实部与虚部，满足C-R条件。 解：设热流量函数为v(x,y)=C,由C-R条件得 vx=-uy=2y, vy=ux =2x dv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy) v = 2xy 注意：热流线方程的一般形式为 f(2xy)=C
复变函数
更多的例子
w = az2 w = az2 + bz +c w = 1/(az + b) w = √(az + b) w = ln(az + b) w = sin z w = arccos z w = ∑ an zn w = ∑ an sin(nωz) w = ∏(1-z2/n2π2) w = ∫exp(-z2)dz
联系
u = u(x,y), v = v(x,y) 可以用两个曲面分别表示复变函数的实部与虚部。
复变函数
结构
相同点：
复杂函数都可以分解为简单的基本函数组成。
不同点：
基本实变函数 xn, x1/n,exp(x),ln(x),sin(x),arctan(x) 基本复变函数 zn, z1/n,exp(z),ln(z) 原因 cos(z)=(eiz +e-iz)/2, sin(z)=(eiz -e-iz)/2i
性质
不对称性 周期性 exp(z+2πi)= exp(z) 无界性 单值性
4 2 0 -2 -4 -2 -1 0 1 2 -5 0 -2.5 5 2.5
复变函数
对数函数
定义
w = Ln(z)
2 1.5 1 0.5 0 3 1 2 3 4 5 1 2 5 4
分析
u + iv = Ln [ r × exp(iφ)] = ln r + iφ u = ln r, v=φ
典型例子：
|x|<2 是连通的， 1<|x|是不连通的； |z|<2是单连通的， 1<|z|是复连通的。
复变函数
映射
相同点
在形式上：y = f(x), w = f(z)
不同点
在变量上：z = x+iy, w = u+iv 在描述上： 实变函数可以用两个数轴组成的平面上的曲线表 示； 复变函数不能用一个图形完全表示。
性质
对称性 非周期性 无界性 多值性：|φ| ≤ π
1 2 0 -1 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1
复变函数
三角函数
定义
w = sin(z)
20 4 0 -20 -5 -2.5 0 2.5 5 -4 -2 0 2
分析
u + iv = sin(x+iy) = sin(x)ch(y) + i cos(x)sh(y) u = sin(x)ch(y) , v = cos(x)sh(y)
正交性
解析函数的实部与虚部梯度正交， 即 u v=（uxi+uyj)（vxi+vyj)= uxvx+uyvy = 0 或曲线 u(x,y)=C1, v(x,y)=C2 相互垂直。