2017届内蒙古包头市高三三模数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 已知{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+===12|,|222y x x N x y y M ，则=⋂N M （ ）A ． {})1,1(),1,1(-B ．{}1 C ．]2,0[ D ．[]1,0 2.若复数z 满足()1i 1i i z -=-+,则z 的实部为（ ）A1 C.13.位于西部地区的A 、B 两地,据多年的资料记载：A 、B 两地一年中下雨天仅占6%和8%,而同时下雨的比例为2%, 则A 地为雨天时,B 地也为雨天的概率为（ ） A ．17 B ．14 C ．13 D ．344.正四棱锥P －ABCD 的底面积为3，体积为22，E 为侧棱PC 的中点，则PA 与BE 所成的角为( )A.π6B.π4C.π3D.π25.若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是( )A ．2B ．3C ．4D ．56. 已知y x ,满足约束条件34y x y x x y ≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则下列目标函数中，在点(3,1)处取得最小值的是（ ）A ．2z x y =-B ．2z x y =-+C ．y x z --=21D ．2z x y =+ 7．若圆221:0C x y ax ++=与圆222:2tan 0C x y ax y θ+++=都关于直线210x y --=对称,则sin cos θθ=（ ）A ．25 B. 25- C.637- D. 23- 8.已知函数()x f =⎪⎩⎪⎨⎧>≤)1(log )1(331x x x x ，则函数()x f y -=1的大致图像是（ ）9.将5名学生分到A ，B ，C 三个宿舍，每个宿舍至少1人至多2人，其中学生甲不到A 宿舍的不同分法有( ) A ．18种 B ．36种 C ．48种D ．60种10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A．7．7+．4+ D．4+11．已知12,F F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的左右两支分别交于,A B 两点,若22::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的离心率为（ ）ABC ．2 D12. 已知函数()()2ln x x b f x x +-=（b ∈R ）．若存在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得)(x f ＞－)(x f x '⋅,则实数b 的取值范围是（ ）A．(-∞ B ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ．9,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),3-∞第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上）13.若e11d ,x a x =⎰展开式中的常数项是 ． 14. 已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ,过点F 且倾斜角为︒60的直线l 与抛物线C 在第一、四象限分别交于B A ,两点,则=||||BF AF ． 15．正四棱锥P ABCD -中，底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，若直线PC 与平面PDB 所成角的为30，则正四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为16. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,,3sin ,cos 5a b c a B c B D ==是AC 的中点，且BD =ABC ∆的面积为三、解答题 （本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （本小题满分12分）已知等差数列}{n a 中公差0d ≠,有1414a a +=,且127,,a a a 成等比数列. （1）求}{n a 的通项公式n a 与前n 项和公式n S ； （2）令n n S b n k =+,若}{n b 是等差数列,求数列}1{1+n n b b 的前n 项和n T ．１８．（本小题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来发展的新机遇,2015年双11期间,某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时,相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易,并对其评价进行统计,对商品的好评率为0.6,对服务的好评率为0.75,其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.(1)是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为商品好评与服务好评有关？(2)若将频率视为概率,某人在该购物平台上进行的5次购物中,设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列（概率用组合数算式表示）；②求X 的数学期望和方差.2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k ≥（22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++）１９．（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中,侧面PCD ⊥底面ABCD ,PD CD ⊥,底面ABCD 是直角梯形,//AB CD ,90ADC ∠=,1AB AD PD ===,2CD =．（1）求证：BC ⊥平面PBD ；（2）在线段PC 上是否存在一点Q ,使得二面角Q BD P --为45？若存在,求PQPC的值；若不存在,请说明理由．２０．（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为36,以原点O 为圆心,椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线0622=+-y x 相切. （1）求椭圆C 的标准方程;（2）已知点A ,B 为动直线)0)(2(≠-=k x k y 与椭圆C 的两个交点,问:在x 轴上是否存在定点E ,使得2EA EA AB +⋅为定值?若存在,试求出点E 的坐标和定值;若不存在,请说明理由.．21. （本小题满分12分）已知函数221()xax bx f x e ++=（e 为自然对数的底数）.（I ） 若21=a ，求函数)(x f 的单调区间； （II ） 若1)1(=f ，且方程1)(=x f 在)1,0(内有解，求实数a 的取值范围.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22.（本题满分10分） 选修41-：几何证明选讲如图，O 的半径OC 垂直于直径AB ，M 为BO 上一点，CM 的延长线交O 于N ，过N 点的切线交AB 的延长线于P ．（I ）求证：2PM PB PA =⋅；（II ）若O 的半径为OB =，求：MN 的长． 23. （本题满分10分） 选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程是8y =，圆C 的参数方程是22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求直线l 和圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）射线:OM θα=（其中02πα<<）与圆C 交于O ，P 两点，与直线l 交于点M ，射线:2ON πθα=+与圆C 交于O ，Q 两点，与直线l 交于点N ，求OP OQ OMON⋅的最大值．24. （本题满分10分）选修4－5：不等式选讲（I ）已知函数()13f x x x =-++，求x 的取值范围，使()f x 为常函数；（II ）若222,,z R,x 1x y y z ∈++=，求m =的最大值.2017届内蒙古包头市高三三模试题数学（理）参考答案1.Ｃ【解析】根据题意有[0,)M =+∞，[N =，所以M N = ，故选C ． ２．Ａ ３．Ａ４．答案 C 解析 连接AC ，BD 交于点O ，连接OE ，易得OE ∥PA .∴所求角为∠BEO . 由所给条件易得OB ＝62，OE ＝12PA ＝22，BE ＝ 2. ∴cos ∠OEB ＝12，∴∠OEB ＝60°，选C.５．Ｃ６．Ｂ７．Ｂ８．Ｄ９．Ｄ 当甲一人住一个寝室时有：C12×C 24＝12种，当甲和另一人住一起时有：C12×C 14×C 23×A 2＝48. 所以有12＋48＝60种．１０．Ａ【解析】由三视图知该几何体是一个棱长为2的正方体中的一个三棱椎P ABC -，如图所示，PAC S ∆＝12222⨯⨯=，12222ABC S ∆=⨯⨯=．又AB =所以122ABP S ∆=⨯=在PBC ∆中，BC =，PC =3PB =，则由余弦定理，得cos BCP ∠==，所以sin BCP ∠＝10，所以13210BCP S ∆=⨯=，所以该三棱锥的表面积为223+＝7+选A ． １１．Ａ１２．Ｃ１３．２０１４．３【解析】设()()1122,,B ,A x y x y ,则12122285,=,sin 6033p p pAB x x p x x =++==∴+又212,4p x x =解得123,,26p p x x ==12||23||2px AF pBF x +∴==+ １５．323ππ １６．6１７．【命题意图】本题考查等差数列通项及前n 项和的求法,裂项求和的方法,意在考查方程思想求（2）由（1）知kn n n b n +-=22为等差数列, ∴3122b b b +=代入解得21-=k ,或0=k （8分） 当21-=k ,即n b n 2=,则)111(4111+-=+n n b b n n∴)1(4)11131212111(41+=+-++-+-=n nn n T n （10分）)12)(12(11,12,01+-=-==+n n b b n b k n n n 即时当)121121(21+--=n n 12)12112151313111(21+=+--++-+-=n n n n T n .（12分） １８．【命题意图】本小题主要考查统计与概率的相关知识,包括独立性检验、离散型随机变量的分布列以及数学期望和方差的求法. 本题主要考查学生对数据处理的能力.(2) 每次购物时,对商品和服务都好评的概率为25,且X 的取值可以是0,1,2,3,4,5. 其中53(0)()5P X ==；14523(1)()()55P X C ==；223523(2)()()55P X C ==；332523(3)()()55P X C ==；441523(4)()()55P X C ==；52(5)()5P X ==.X 的分布列为：由于~(5,)5X B ,则525EX =⨯=；2265(1)555DX =⨯⨯-=. (12分)１９．【命题意图】本题主要考查空间向量的应用、线面垂直的判断及二面角的求法．意在考查逻辑推理能力及运算能力（2）平面PBD 的法向量为(1,1,0)BC =-,(0,2,1)PC =- ,设PQ PC λ= ,(0,1)λ∈所以(0,2,1)Q λλ-,２０．【命题意图】本题主要考查圆与椭圆的方程、直线与椭圆位置关系及向量数量积的应用,意在考查运算求解能则()()()21212211)(,,y y m x m x y m x y m x +--=-⋅-=⋅=()()()()()()22222221221231610123421km k m m m k x x m k x x k +-++-=++++-+, 要使上式为定值,即与k 无关,()631012322-=+-m m m , （10分） 得37=m . 此时, 22569EA EA AB m +⋅=-=- , 所以在x 轴上存在定点E (37,0) 使得2EA EA AB +⋅ 为定值,且定值为95-. ２１．【命题意图】本题考查导数的几何意义和导数的应用等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力，逻辑思维能力（2）由1)1(=f 得e b a =++12，a e b 21--=，由1)(=x f 得122++=bx ax e x ，设12)(2---=bx ax e x g x ，则)(x g 在)1,0(内有零点.设0x 为)(x g 在)1,0(内的一个零点，则由0)1(,0)0(==g g 知)(x g 在区间),0(0x 和)1,(0x 上不可能单调递增，也不可能单调递减，设)()(x g x h '=，则)(x h 在区间),0(0x 和)1,(0x 上均存在零点，即)(x h 在)1,0(上至少有两个零点. b ax e x g x --='4)(，a e x h x 4)(-='. 当41≤a 时，0)(>'x h ，)(x h 在区间)1,0(上递增，)(x h 不可能有两个及以上零点；.6分 当4e a ≥时，0)(<'x h ，)(x h 在区间)1,0(上递减，)(x h 不可能有两个及以上零点；.7分２２．【命题意图】本题考查相交弦定理和切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．２３．【命题意图】本题考查普通方程、参数方程和极坐标方程的转化、三角函数的最值等基础知识，意在考查数形结合思想的运用和运算求解的能力．【解析】（Ⅰ）直线l 的极坐标方程分别是8sin =θρ．圆C 的普通方程分别是22(2)4x y +-=，所以圆C 的极坐标方程分别是=4cos ρθ． （Ⅱ）()()()24cos 4cos 2sin ()1122088sin s n 6)2(i OP OQ OM ON πααααππαα-+=⋅=∈+⋅，． ∴OPOQOM ON ⋅的最大值为116． ２４．【命题意图】本题考查零点分段法、柯西不等式等基础知识，意在考查转化与化归、基本运算能力．。
