三角函数图像与性质讲义

sin y x =，x R ∈ππ- 2π- cos y x =，x R ∈2π32π2π-32π-1.3.2 三角函数的图像与性质1．利用单位圆中正弦线作正弦函数图象作法：（几何作法） （1）在直角坐标系的x 轴上任取一点O 1，以O 1为圆心作单位圆，从⊙O 1与x 轴的交点A 起，把⊙O 1分成12等份，过⊙O 1上各点作x 轴的垂线，可得对应于0,,,,,2632ππππ等角的正弦线； （2）把x 轴上0~2π这一段分成12等份，把角x 的正弦线向右平行移动，使正弦线的起点与x 轴上的点x 重合；（3）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象。

因为终边相同的角的函数值相同，所以，函数sin y x =，[2,2(1)]x k k ππ∈+（k Z ∈）且0k ≠的图象与函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象的形状完全相同，只是位置不同，于是只要将函数sin y x =，[0,2]x π∈的图象向左、右平移，就可得到函数sin y x =，x R ∈的图象。

2．余弦函数的图象由于cos cos()sin[()]sin()22y x x x x ππ==-=--=+，所以余弦函数cos y x =，x R ∈与函数sin()2y x π=+,x R ∈是同一个函数；这样，余弦函数的图象可由：正弦曲线向左平移2π个单位得到，即：3．五点法作图（1）sin y x =，[0,2]x π∈；自变量 x2π π32π 2π函数值y1－1（2）sin 1y x =+，[0,2]x π∈． 自变量x0 2π π 32π 2πsin x11-函数值y12114．正弦、余弦函数的定义域、值域 函 数 sin y x =cos y x = 函 数 sin y x = cos y x =定义域x R ∈x R ∈值 域[1,1]-[1,1]-5．正切函数tan y x =的定义域是什么？ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππyx O 32π12π 2π向左平移2π个单位 32π2ππ 2π6．正切函数是不是周期函数？()tan tan ,,2x x x R x k k z πππ⎛⎫+=∈≠+∈ ⎪⎝⎭且， ∴π是tan ,,2y x x R x k k z ππ⎛⎫=∈≠+∈ ⎪⎝⎭且的一个周期。

π是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。

7．作tan y x =，x ∈⎪⎫⎛-,ππ的图象 说明：（1（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”。

（3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线()2x k k Z ππ=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。

8（1）定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ； （2）值域：R观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ，2π+π−→−k x 时，tan x −−→+∞ 当x 从大于()z k k ∈+ππ2，ππk x +−→−2时，-∞−→−x tan 。

（3）周期性：π=T ；（4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数；（5）单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。

例1：求下列函数的定义域：（1）cos()3y x π=+； （2）sin y x = （3）225lgsin y x x =-+例2：求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么？ （1）cos 1y x =+，x R ∈； （2）sin 2y x =，x R ∈． 例3：求下列函数的值域： （1）21sin 1y x =+； （2）sin sin 2xy x =+． 例4：求函数sin cos y x x =+的值域。

例5：求函数3cos sin y x x =-的值域。

例6：求函数234sin 4y x cos x =--的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x 的值。

例7：求函数sin cos sin cos y x x x x =++⋅的值域。

例8：如图，有一快以点O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 辟为绿地，使其一边AD 落在半圆的直径上，另两点B 、C 落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a ，如何选择关于点O 对称的点A 、D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？ 例9：已知函数cos3y a b x =-（0b >）的最大值为32，最小值为12-，求函数4sin3y a bx =-⋅ 的最大值和最小值。

例10：已知函数22sin cos 2y a x a x a b =-++的定义域是[0,]2π，值域是[5,1]-，求常数,a b ．例11：求下列函数的周期：（1）3tan 5y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）tan 36y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭例12：求函数⎪⎭⎫⎝⎛-=33tan πx y 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。

例13：用图象求函数tan 3y x =-的定义域。

例14．“tan 0x >”是“0x >”的 条件。

例15．与函数tan 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象不相交的一条直线是（ ） ()2A x π=()2B x π=-()4C x π=()8D x π=例16．函数1tan y x =-的定义域是（ ）． 例17．函数2tan tan 1,2y x x x k k Z ππ⎛⎫=++≠+∈ ⎪⎝⎭的值域是（ ）． 例18．函数tan cot y x x =-的奇偶性是（ ），周期是（ ）．ADOCBθ1．sin y A x =型函数的图象一般地，函数sin y A x =，x R ∈(0,1)A A >≠的图象可看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（1A >时）或缩短（1A <时）到原来的A 倍（横坐标不变的情况下）而得到，因此，sin y A x =，x R ∈的值域是[,]A A -，最大值为A ，最小值为A -．2．sin y x ω=型函数的图象一般地，函数sin y x ω=，x R ∈（0,1ωω>≠）的图象可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（1ω>时）或伸长（01ω<<时）到原来的1ω倍（纵坐标不变的情况下）而得到的。

3．sin()y x ϕ=+型的函数图象一般地，函数sin()y x ϕ=+（0ϕ≠），x R ∈的图象，可看作把正弦曲线上所有点向左（0ϕ>时）或向右（0ϕ<时）平行移动||ϕ个单位而得到。

4．,,A ωϕ的物理意义当sin()y A x ωϕ=+，[0,)x ∈+∞（其中0A >，0ω>）表示一个振动量时，A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间2T πω=称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数12f T ωπ==，称为振动的频率。

x ωϕ+称为相位，0x =时的相位ϕ称为初相。

5．图象的变换一般地，函数sin()y A x ωϕ=+，x R ∈的图象（其中0A >，0ω>）的图象，可看作由下面的方法得到： ①把正弦曲线上所有点向左（当0ϕ>时）或向右（当0ϕ<时）平行移动||ϕ个单位长度；②再把所得各点横坐标缩短（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的1ω倍（纵坐标不变）； ③再把所得各点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当01A <<时）到原来的A 倍（横坐标不变）。

即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。

例1 画出函数2sin y x =，x R ∈，1sin 2y x =，x R ∈，的简图。

例2 画出函数sin 2y x =，x R ∈，1sin 2y x =，x R ∈的函数简图。

例3 画出函数sin()3y x π=+，x R ∈，sin()4y x π=-，x R ∈的简图。

例4 画出函数3sin(2)3y x π=+的简图。

1．根据函数图象求解析式例1：已知函数sin()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式。

2．由已知条件求解析式例2： 已知函数cos()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，0ϕπ<<）的最小值是5-，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差4π，且图象经过点5(0,)2-，求这个函数的解析式。

例3：已知函数sin()y A x B ωϕ=++（0A >，0ω>，||ϕπ<）的最大值为22，最小值为2-，周期为23π，且图象过点2(0,)4-，求这个函数的解析式。

x33π56π3O例1解： （1）3x R π+∈， ∴x R ∈； （2）sin 0x ≥， ∴[2,2]x k k πππ∈+()k Z ∈；（3）2250sin 0x x ⎧-≥⎨>⎩ ∴5522()x k x k k Z πππ-≤≤⎧⎨<<+∈⎩ ∴ [5,)[0,)x ππ∈--．例2解：（1）使函数cos 1y x =+，x R ∈取得最大值的x 的集合，就是使函数cos y x =，x R ∈ 取得最大值的x 的集合{|2,}x x k k Z π=∈，所以，函数cos 1y x =+，x R ∈的最大值是112+=．（2）令2z x =，那么x R ∈必须并且只需z R ∈，且使函数sin y z =，z R ∈取得最大值的z 的集合是{|2,}2z z k k Z ππ=+∈，由222x z k ππ==+，得4x k ππ=+，即：使函数sin 2y x =，x R ∈取得最大值的x的集合是{|,}4x x k k Z ππ=+∈，函数的最大值是1． 例3解：（1）∵20sin 1x ≤≤，∴21sin 12x ≤+≤， ∴112y ≤≤所以，值域为1{|1}2y y ≤≤． （2）2sin 1y x y =-， ∴1sin 1x -≤≤， ∴2111y y -≤≤-，解得113y -≤≤， 所以，值域为1{|1}3y y -≤≤．例4解：sin cos y x x =+)4x π=+，∵1sin()14x π-≤+≤，∴)4x π≤+≤sin cos y x x =+的值域是[．例5解：1sin sin )22y x x x x =-=- 2sin()3x π=--∵1sin()14x π-≤-≤，∴22sin()24x π-≤--≤，所以，函数sin y x x =-的值域为[2,2]-．例6解： 234sin 4y x cos x =--24sin 4sin 1x x =--214(sin )22x =--令sin t x =，则11t -≤≤，∴214()22y t =--（11t -≤≤），∴当12t =，即26x k ππ=+或526x k ππ=+（k Z ∈）时，min 2y =-，当1t =-，即322x k ππ=+（k Z ∈）时，max 7y =． 例7解：令sin cos x x t +=，则21sin cos 2t x x -⋅=，又∵sin cos )4t x x x π=+=+，∴t ≤当1t =-时，min1y =-，当t =时，2max 111222y =⨯=所以，函数sin cos sin cos y x x x x =++⋅的值域为[1,2-．例8解：设AOB θ∠=，则sin AB a θ=，cos OA a θ=，∴sin 2cos S a a θθ=⋅22sin cos a θθ=⋅⋅2sin 2a θ=⋅，∴当sin 2θ取得最大值1时，S 取得最大值2a ，此时，4πθ=，OA OD ==，答：A 、D 应该选在离O处，才能使矩形ABCD 的面积最大，最大面积为2a ．例9解：cos3y a b x =-（0b >） 当cos31x =-时，max 32y a b =+=， ① 当cos31x =时，min 12y a b =-=-， ② 由①②得121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴14sin 32sin 32y x x =-⨯⋅=-，所以，当sin31x =-时，2max y =，当sin31x =时，min 2y =-． 例10解： 22sin cos 2y a x a x a b =-++(1cos 2)cos 2a x a x a b =--++22cos2a a x b =-+∵[0,]2x π∈，∴2[0,]x π∈， ∴1cos21x -≤≤，若0a >，则当cos21x =-时函数取得最大值1，当cos21x =时函数取得最小值5-， ∴415a b b +=⎧⎨=-⎩，解得：325a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，若0a <时，则当cos21x =时函数取得最大值1，当cos21x =-时函数取得最小值5-，∴145b a b =⎧⎨+=-⎩，解得：321a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 所以，325a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩或321a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩． 例11（1） 答：T π=。