2018年高三一轮复习典型例题剖析：三角函数的恒等变换

(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值.
解 (1)因为 tan α＝43，tan α＝csoins αα，所以 sin α＝43cos α. 因为 sin2α＋cos2α＝1，所以 cos2α＝295， 因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－275. (2)因为 α，β 为锐角，所以 α＋β∈(0，π).又因为 cos(α＋β)＝－ 55， 所以 sin(α＋β)＝ 1－cos2（α＋β）＝255，因此 tan(α＋β)＝－2.
真题演练
1.对于三角函数的求值，需关注：
(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用； (3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口， 对于很难入手的问题，可利用分析法.
感谢同学们的聆听
Thanks for Listening
(1)解析 由 α，β 为锐角，则－π2<α－β<π2，由 sin(α－β)＝－ 1100，得 cos(α－β)＝31010， 又 sin α＝ 55，所以 cos α＝255， 所以 sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝
55×3
1010－2
因为 tan α＝43，所以 tan 2α＝1－2tatnanα2α＝－274， 因 此 ， tan(α － β) ＝ tan[2α － (α ＋ β)] ＝ 1t＋ant2anα－2αttaann（（αα＋＋ββ））＝思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角变换的关键在于 对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和 灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联 系. 2.求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然 后结合角的取值范围，求出角的大小.求解时，尽量缩小角的取值范围，避免产生 增解.

0 2x
（ 2）当
6 3 时，有
3
，从而
5
0 2x
当
3
2 时,即 6
x
12 时， f (x) 单调递增，
当 2x
2
3
5
2
时 ,即
x
时， f ( x) 单调递减，
12
3
综上可知， f ( x) 在 [
5 ,
] 上单调递增；
f ( x) 在 [ 5
2 ,
] 上单调递减 .
6 12
12 3
（ 2014·全国卷）直线 l 1 和 l 2 是圆 x2＋ y2＝ 2 的两条切线．若 l1 与 l 2 的交点为 (1， 3)，则 l 1 与 l2 的夹角
的正切值等于 ________．
【答案】 4 3
【解析】 如图所示，根据题意， OA⊥ PA，OA＝ 2， OP＝ 10，所以 PA＝ OP2－ OA2＝ 2
2，所以
专题 21 简单的三角恒等变换
tan∠
OPA＝
OA PA
＝ 2
2 ＝ 1，故 22
tan∠
APB
＝
2tan∠ OPA 1－ tan2∠OPA＝
例 3、已知函数
f( x)＝ sin(x＋ θ)＋ acos(x＋ 2θ)，其中
a∈ R ，θ∈
－
2π，
π 2
.
(1)当 a＝ 2，θ＝ π4时，求 f( x)在区间 [0， π上］的最大值与最小值；
(2)若
f
π 2
＝
0，
f
(
π＝）1，求
a， θ的值．
解
(1) f(x)＝ sin x＋ π4 ＋

高三一轮复习：三角函数恒等变换(二)1、已知函数)cos(3)(ϕω+=x x f （02<<-ϕπ，0>ω）的最小正周期为π，且其图象经过点)0,125(π （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若函数)62()(π+=x f x g ，)2,0(,πβα∈，且,423)(,1)(==βαg g 求)(βα-g 的值.2、已知函数)(2cos cos sin 2)(R x x x x x f ∈+=（1）求)(x f 的最小正周期和最大值；（2）若θ为锐角，且32)8(=+πθf ，求θ2tan 的值.3、设函数()sin cos f x m x x =+()x R ∈的图象经过点,12π⎛⎫⎪⎝⎭． （1）求()f x 的解析式，并求函数的最小正周期；（2）若32()45f πα+=且(0,)2πα∈，求(2)4f πα-的值.4、已知函数()2sin 22cos2,f x x x x R =+∈.（1）求38f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2） 求()f x 的最大值和最小正周期； （3）若3282f απ⎛⎫-=⎪⎝⎭，α是第二象限的角，求sin 2α.【参考答案】1、解：（1）π=T ，πωπ=∴2，2=∴ω 0)1252cos(3)125(=+⋅=ϕππf ，即0)65cos(3=+ϕπ 又 02<<-ϕπ，65653πϕππ<+<∴，265πϕπ=+∴，解得3πϕ-= )32cos(3)(π-=∴x x f （2）x x x f x g cos 3)33cos(3)62()(=-+=+=πππ 1c o s 3)(==ααg ，31cos =∴α 423c o s 3)(==ββg ，42cos =∴β 又 )2,0(,πβα∈322c o s 1s i n 2=-=∴αα，414cos 1sin 2=-=ββ )s i n s i n c o s (c o s 3)c o s(3)(βαβαβαβα+=-=-∴g 4742)4143224231(3+=⋅+⋅⋅= 2、解：（1） )4sin 2cos 4cos 2(sin 2)222cos 222(sin 22cos 2sin )(ππx x x x x x x f +=⋅+⋅=+=)42sin(2π+=x ∴最小正周期ππ==22T ，最大值为2 （2） 322cos 2)22sin(2)442sin(2)8(==+=++=+θπθππθπθf 312cos =∴θ 20πθ<< ，πθ<<∴20 ∴3222cos 12sin 2=-=θθ，222cos 2sin 2tan ==∴θθθ3、解：（1）函数()sin cos f x m x x =+()x R ∈的图象经过点π2⎛⎫ ⎪⎝⎭，1 sin cos 122m ππ∴+= ，1m ∴= …………………….2分()sin cos 2sin()4f x x x x π∴=+=+ …………………….3分 ∴函数的最小正周期2T π= ……………………4分（2）32()2sin()2sin()2cos 44425f ππππαααα+=++=+==………6分 3cos 5α∴= 又因为(0,)2πα∈ 24sin 1cos 5αα∴=-=…………………………………………………………9分 242(2)2sin(2)2sin 222sin cos 44425f πππααααα∴-=-+===………12分 4、解：(1))42sin(2)2cos 4sin 2sin 4(cos 2)2cos 222sin 22(2)(πππ+=+=+=x x x x x x f 0sin 2)4832sin(2)83(==+⨯=∴ππππf ……… 3分 (2))42sin(2)2cos 4sin 2sin 4(cos 2)2cos 222sin 22(2)(πππ+=+=+=x x x x x x f )(x f ∴的最大值为2，最小正周期为ππ==22T ．……… 7分 (3) 由(2)知: )42sin(2)(π+=x x f,23sin 2)82(==-∴απαf 即,43sin =α……… 9分 又因为α是第二象限的角, 413)43(1sin 1cos 22-=--=--=∴αα…11分.839)413(432cos sin 22sin -=-⨯⨯==∴ααα……… 13分。

RJA第20讲　PART 03简单的三角恒等变换教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题考试说明考情分析教 学 参 考考点考查方向考例考查热度三角函数式的化简三角函数式的化简2013·新课标全国卷Ⅱ6★☆☆三角函数式的求值给值求值、给值求角、给角求值2016·全国卷Ⅲ6★☆☆真题在线真题在线真题在线真题在线真题在线知识梳理课前双基巩固对点演练课前双基巩固课前双基巩固对点演练对点演练课前双基巩固对点演练课前双基巩固◆索引：忽视角的范围出错；用错公式出错．对点演练课前双基巩固对点演练课前双基巩固对点演练课前双基巩固课堂考点探究探究点一　三角函数式的化简课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究探究点二　三角函数式的求值课堂考点探究考向1 给值求值课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究考向2 给角求值课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究考向3 给值求角课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究探究点三　三角恒等变换的综合应用课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究课堂考点探究教师备用例题[备选理由]例1 是三角函数与基本不等式的综合问题，例2是三角函数定义与给值求角问题，例3是三角函数的综合问题．希望通过练习提高学生分析问题和解决问题的能力．教师备用例题教师备用例题教师备用例题教师备用例题。

答案：2
1．几个三角恒等式 (1)用 cosα 表示 sin2α2，cos2α2.sin2α2＝1－2cosα；cos2α2＝1＋2cosα. (2)注意“1”的妙用
1＝sin2α＋cos2α，1＝2cos2α－cos2α， 1＝cos2α＋2sin2α，1＝tanπ4. 2．形如 asinx＋bcosx 的化简 asinx＋bcosx＝ a2＋b2sin(x＋φ)，其中 tanφ＝ba.
①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少； ③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽 量使被开方数不含三角函数． (3)三角函数化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异 角化同角．
2．三角函数式的求值 已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般 思路为：
(1)先化简所求式子； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及
解：(1)因为 f(x)＝2[1－cos(π2＋2x)]－2 3cos2x＋t＝2sin2x－2 3cos2x
＋2＋t＝4sin(2x－π3)＋2＋t，由 P＝{x|x2－34πx＋π82≤0}，可得π4≤x≤π2，
所以π6≤2x－π3≤23π，则有21≤sin(2x－π3)≤1. 因为函数 f(x)＝4sin2(π4＋x)－2 3cos2x＋t(x∈P)的最小值为 3，所以
＝－22csoisn222αα·＋co2s2coαs2α＝1－sinco2sα2α
＝2s2insiαnc2oαsα＝csionsαα＝tanα.
(2)原式＝csionsθθ＋－csoinsθθ＝11－ ＋ttaannθθ，
又 tan2θ＝1－2tatannθ2θ＝－2 2.
解得
tanθ＝－
1或 2
α cos2
＝cosα2－csoisnα2α2＋csionsα2α2＋2 sinα2 ＝cos12＋α2－sinsiαn2α2

考点16 三角恒等变换1．和与差的三角函数公式（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. 2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.一、两角和与差的三角函数公式 1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）()C αβ-：cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+ （2）()C αβ+：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- （3）()S αβ+：sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ （4）()S αβ-：sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ- （5）()T αβ+：tan()αβ+=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ++≠+∈-Z（6）()T αβ-：tan()αβ-=tan tan π(,,π,)1tan tan 2k k αβαβαβαβ--≠+∈+Z2．二倍角公式（1）2S α：sin2α=2sin cos αα（2）2C α：cos2α=2222cos sin 12sin 2cos 1αααα-=-=-（3）2T α：tan 2α=22tan πππ(π,)1tan 224k k k αααα≠+≠+∈-Z 且3．公式的常用变形（1）tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±；tan tan tan tan tan tan 11tan()tan()αβαβαβαβαβ+-=-=-+-（2）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=；21cos 2cos 2αα+=；1sin cos sin 22ααα= （3）升幂公式：21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；21sin 2(sin cos )ααα+=+；21sin 2(sin cos )ααα-=-（4）辅助角公式：sin cos a x b x +)x ϕ=+，其中cos ϕϕ==tan baϕ=二、简单的三角恒等变换 1．半角公式（1）sin2α=（2）cos2α=（3）tan2α=sin 1cos 1cos sin αααα-==+【注】此公式不用死记硬背，可由二倍角公式推导而来，如下图：2．公式的常见变形（和差化积、积化和差公式） （1）积化和差公式：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-；1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--；1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++-；1cos sin [sin()sin()]2αβαβαβ=+--.（2）和差化积公式：sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=；sin sin 2cos sin22αβαβαβ+--=； cos cos 2cos cos22αβαβαβ+-+=； cos cos 2sin sin22αβαβαβ+--=-.考向一 三角函数式的化简1．化简原则（1）一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式； （2）二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；（3）三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等． 2．化简要求（1）使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数名称的种类最少；（2）式子中的分母尽量不含根号.3．化简方法（1）切化弦；（2）异名化同名；（3）异角化同角；（4）降幂或升幂．典例1 化简：ππsin sin33ππcos cos33αααα⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=.【答案】【方法技巧】(1)三角化简的常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．学.(2)三角化简的标准：三角函数名称尽量少，次数尽量低，最好不含分母，能求值的尽量求值．(3)在化简时要注意角的取值范围.1________．考向二三角函数的求值问题1．给角求值给角求值中一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察会发现非特殊角与特殊角之间总有一定的关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数，从而得解. 2．给值求值已知三角函数值，求其他三角函数式的值的一般思路： （1）先化简所求式子．（2）观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)． （3）将已知条件代入所求式子，化简求值． 3．给值求角通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则： （1）已知正切函数值，则选正切函数．（2）已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是π(0,)2，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为ππ(,)22-，则选正弦较好. 4．常见的角的变换 （1）已知角表示未知角 例如：()()ααββ=+-=，()()()()2,2ααβαββαβαβ=++-=+--，(2)αβαβα+=++，(2)αβαβα-=-+，22αβαβα+-=+，22αβαββ+-=-.（2）互余与互补关系 例如：π3π()()π44αα++-=，πππ()()362αα++-=. （3）非特殊角转化为特殊角例如：15°=45°−30°，75°=45°＋30°.典例2 cos15cos30cos105sin30︒︒+︒︒的值是A B C ．12D ．1【答案】A【名师点睛】把所求式子中的角105°变为90°+15°，利用诱导公式cos （90°+α）=−sin α化简后，再利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，即可求出值．“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式.2A ．1-B ．2C ．12D ．1典例3 已知tan(α−β)=,tan β=−,且α,β∈(0,π),则2α−β=A ．π4B ．π4- C ．3π4-D ．π4或3π4- 【答案】C又α∈(0,π),所以0<α<.又<β<π,所以−π<2α−β<0,所以2α−β=−.故选C.【名师点睛】在解决给值求角问题时，不仅要注意已经明确给出的有关角的范围，还要结合有关角的三角函数值尽可能地缩小角的范围.302βαπ<<<. （1）求α2tan 的值． （2）求β的值.典例4 已知324βαπ<<<π，12cos()13αβ-=，3sin(),5αβ+=-则sin 2α=A BC D【答案】B【名师点睛】解给值求值型问题的一般思路是：先看公式中的量,哪些是已知的,哪些是待求的,再利用已知条件结合同角三角函数的基本关系求出待求值,注意根据角的象限确定符号. 这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.4．已知角α,β均为锐角，且3cos5α=,tan(α−β)=，则tanβ=A． B．C． D．3考向三三角恒等变换的综合应用1．与三角函数的图象及性质相结合的综合问题（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式转化成y=A sin(ωx＋φ)＋t或y=A cos(ωx＋φ)＋t的形式．（2）利用公式2π(0)Tωω=>求周期．（3）根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．（4）根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y=A sin(ωx＋φ)＋t或y=A cos(ωx＋φ)＋t的单调区间．2．与向量相结合的综合问题三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两向量平行或垂直的计算，即令a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2＋y1y2，a∥b⇔x1y2=x2y1，a⊥b⇔x1x2＋y1y2=0，把向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数、解三角形等知识的运用.3．与解三角形相结合的综合问题（1）利用正弦定理把边的关系化成角，因为三个角之和等于π，可以根据此关系把未知量减少，再用三角恒等变换化简求解；（2）利用正、余弦定理把边的关系化成角的关系再用三角恒等变换化简求解．【注】此类题中的角是在三角形中，每个角范围限制在(0，π)内，如果是锐角三角形，则需要限制各个角均在π(0,)2内．角的范围在解题中至关重要，做题时要特别注意.典例5 设函数f(x)=sin2ωx−sin ωx cosωx(ω>0),且y=f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.（1）求ω的值；（2）求f(x)在区间π,]上的最大值和最小值.【答案】（1）1；（2）f(x)在区间π,]上的最大值和最小值分别为,−1.【解析】（1）f (x )=sin 2ωx −sin ωx cos ωx =·sin 2ωx =cos2ωx −sin 2ωx =−sin(2ωx −).因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,且ω>0,所以=4×,因此ω=1.（2）由（1）知f (x )=−sin(2x −).当π≤x ≤时,≤2x −≤.所以−≤sin(2x −)≤1.因此−1≤f (x )≤.故f (x )在区间π,]上的最大值和最小值分别为,−1.5．已知向量a =1cos ,2x ⎛⎫-⎪⎝⎭，b x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )=a ·b . （1）求f (x )的最小正周期；（2）求f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．1．cos9π·cos 29π ·cos 23()9π-= A ．−18B ．−116 C ．116D ．182．已知1sin cos 5αα-=-，则的值为A ．1225B ．2425-C ．2425D ．1225-3．已知锐角,αβ满足，则αβ+的值为ACD 4．设，，且，则A ．B ．C ．D ．5．已知向量a =(sin(),1)6απ+，b =(4,4cos α)，若a ⊥b ，则sin 4()3απ+=A ．4-B ．14-C ．4D ．146，则sin β= A ．0C7A B CD 8．已知α为锐角，若，则sin α=ABC D 9．若()()sin 603cos 90θθ+︒=︒-，则tan θ=__________．10．在斜三角形ABC 中，tan tan tan tan 1A B A B ++=，则C ∠=_____________.11．已知函数，若为函数()f x 的一个零点，则0cos2x =__________．12（1）求sin2β的值；（213．已知函数.（1）求的最小正周期和最值；（2）设是第一象限角，且求的值.1．（2016年高考新课标Ⅱ卷）若cos(4π−α)=53，则sin 2α= A ．725B ．15C ．−15D ．−7252．（2016年高考新课标Ⅲ卷）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= A ．6425B ．4825C ．1D ．16253．（2017年高考北京卷）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 4．（2017年高考江苏卷）若π1tan(),46α-=则tan α=___________.5．（2016年高考四川卷）cos 2π8–sin 2π8= . 6．（2016年高考浙江卷）已知22cos sin 2sin()(0)x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______，b =________．1．【答案】−2sin42．【答案】C【解析】由()sin47sin 3017sin30cos17sin17cos30︒=︒+︒=︒︒+︒︒知，原式3．【答案】（1（2【解析】（1）由1cos ,072ααπ=<<（2）由0βαπ<<<，得0.2αβπ<-<由)(βααβ--=得)](cos[cos βααβ--=.3βπ∴=4．【答案】D5．【答案】（1）π；（2）f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1，最小值是12-.【解析】f (x )=1cos ,2x ⎛⎫-⎪⎝⎭x ，cos 2x )cos x sin x −12cos 2x=2sin 2x −12cos 2x =ππcossin 2sin cos 266x x -=πsin 26x ⎛⎫-⎪⎝⎭. （1）f (x )的最小正周期为2π2ππ2T ω===，即函数f (x )的最小正周期为π.（2）∵0≤x ≤π2，∴ππ5π2666x -≤-≤.由正弦函数的性质，当ππ262x -=，即π3x =时，f (x )取得最大值1. 当ππ266x -=-，即x =0时，f (0)=12-，当π52π66x -=，即π2x =时，π122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴f (x )的最小值为12-. 因此，f (x )在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1，最小值是12-.1．【答案】A2．【答案】C 【解析】由题意得，两边同时平方得故选C. 3．【答案】B【解析】因为锐角,αβ，所以因为()0,παβ+∈，所以 B. 4．【答案】B【解析】根据三角函数的基本关系可 得,,因为，，所以，所以（舍）或，得，故选B.5．【答案】B6．【答案】B，0⨯=，不合题意，舍去；，525=，应选B. 7．【答案】DD. 8．【答案】C【解析】∵α为锐角且 则，故本题选C.9．10．【解析】在ABC△ 中，tan tan tan tan 1A B A B ++⋅=，则t a n t a n 1A B A B+=-⋅0πC <<11．【答案】3512．【答案】（1（2【解析】（1（2【名师点睛】在三角化简求值类题目中，常常考“给值求值”的问题，遇见这类题目一般的方法是配凑角：即将要求的式子通过配凑，得到与已知角的关系，进而用两角和与差的公式展开求值即可.13．【答案】（1）的最小正周期是，最大值为，最小值为；（2）.【解析】（1）.的最小正周期是，最大值为，最小值为. （2），则，即，又为第一象限的角，则，.1．【答案】D【解析】2237cos22cos12144525αα⎡π⎤π⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又cos2cos2sin242ααα⎡π⎤π⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以7sin225α=-，故选D.【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．2．【答案】A【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．3．【答案】79- 【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1sin sin 3βα==，cos cos αβ=-=（或cos cos βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则π2π,k k αβ+=+∈Z ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2π,k k αβ+=∈Z ，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z .4．【答案】75【解析】11tan()tan 7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---．故答案为75． 【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．5．【答案】2【名师点睛】本题也可以看作来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题都是通过三角函数公式把一般的三角函数求值转化为特殊角的三角函数求值而得解．6．，1【解析】22cos sin 2)14x x x π+=++，所以 1.A b ==【思路点睛】解答本题时先用降幂公式化简2cos x ，再用辅助角公式化简cos2sin 21x x ++，进而对照()sin Αx b ωϕ++可得Α和b 的值．。

考点35
考点36
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高手必备 萃取高招 对点精练
典例导引 1(1)(2017 广东汕头模拟)设 α,β∈
1 且 tan α-tan β= ,则( cos������ π π A.3α+β= B.2α+β= 2 2 π π C.3α-β= D.2α-β= 2 2
π 0, 2
,
)
(2)(2017 山西临汾一中等五校三联)若 tan α则 sin 2������ +
专题十六
三角恒等变换
考点35
考点36
试做真题
高手必备 萃取高招 对点精练
考点35三角函数式的化简与求值
1.(2016 课标Ⅱ,理 9)若 cos A.
7������ 4
3 5 1 C.5
= ,则 sin 2α=( D.2
)
3 2 7 -1=- , 5 25
7 25
【答案】 D 方法一:cos 2 且 cos 2
,所以 α-β= -α,即 2α-β= ,故选 D.
π 2
=
2 . 10
π tan(α±β)= ,α,β,α±β≠ +kπ(k∈Z); 2 1∓tan������tan������ tan������±tan������
(4)两角和与差的正切公式的逆用: tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β); tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β).
考点35
考点36
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2.二倍角公式 (1)二倍角的正弦公式:sin 2α=2sin αcos α; (2)二倍角的余弦公式:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α; (3)二倍角的正切公式:tan 2α= (4)降幂公式:sin αcos

高考数学三角恒等变换历年真题解析2024版2018年天津高考数学试卷（文科）解析：该题是一道典型的三角恒等变换题，考查了学生对三角函数的熟练运用能力。

具体题目如下：已知 $\cos A - 2 \sin A = \sqrt{5} \cos(\pi/4 + A)$，求 $\sin A$ 的值。

我们可以从已知条件入手，分别对$\cos A$ 和 $\sin A$ 进行化简。

首先，对 $\cos(\pi/4 + A)$ 进行展开，使用三角和差化积公式可以得到：$\cos(\pi/4 + A) = \cos(\pi/4)\cos A - \sin(\pi/4)\sin A =\frac{1}{\sqrt{2}}\cos A - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin A$将其代入已知条件中，可以得到：$\cos A - 2 \sin A = \sqrt{5} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos A -\frac{1}{\sqrt{2}}\sin A\right)$化简上式，整理得：$\left(\cos A - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\cos A\right) -\left(\frac{2}{\sqrt{2}}\sin A + \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\sin A\right) = 0$进一步整理，化简得：$\left(1 - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\right)\cos A - \left(\frac{2}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\right)\sin A = 0$我们可以发现，该式可以通过因式分解得到一个等式：$(1 - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}})\cos A - (\frac{2}{\sqrt{2}} +\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}})\sin A = 0$$(\cos A - \sin A)\left(1 - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}}- \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}\right) = 0$根据零因子法则，要使得上式等于0，要么 $\cos A - \sin A = 0$，要么 $1 - \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{2}} -\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = 0$。

高考数学
第四章 三角函数
§4.3 三角恒等变换
五年高考
考点一
7 A. 25 1 B. 5 1 C.- 5 7 D.- 25
和与差的三角函数
( )
3 α = ,则sin 2α= 1.(2016课标全国Ⅱ,9,5分)若cos 4 5
答案 D
解法一:sin 2α=cos 2α =cos2 α 2 4
=
2 2 5 2 5 10 × × =. + 5 2 2 5 10 5
2 5 4 (2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2× 5 × =- , 5
1 7
6.(2015江苏,8,5分)已知tan α=-2,tan(α+β)= ,则tan β的值为
.
答案 3
1 (2) tan(α β ) tan α 7 tan β=tan[(α+β)-α]= = =3. 1 tan(α β ) tan α 1 1 (2) 7
解析
7.(2015四川,12,5分)sin 15°+sin 75°的值是


(1)求sin α 的值; 4

(2)求cos 解析
5 2α 的值. 6 5 (1)因为α∈ , ,sin α= , 5 2
2 5 . 5
所以cos α=- 1 sin 2 α =
故sin α =sin 4 cos α+cos 4 sin α 4
2
7 3 =2cos2 α -1=2× -1=- 25 .故选D. 4 5 3 18 7 2 3 2 解法二:cos α = (cos α+sin α)= ⇒cos α+sin α= ⇒1+sin 2α= ,∴sin 2α=- .故选D. 5 25 25 2 5 4

第六节 简单的三角恒等变换【考点点知】知己知彼，百战不殆新课标高考对三角恒等变换的要求有所降低，但三角函数求值、化简及恒等式证明仍是高考的热点．需要掌握的公式有两角和差、倍角的三角函数公式.新课标主要要求“能用上述公式进行简单的三角函数恒等变换”，这说明备考重点是掌握变换的基本思想方法.而不是盲目地训练繁难的偏题、怪题，应重视通性、通法的运用．考点一: 简单的三角恒等变换1.巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，2αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等）.2.三角函数次数的降升(降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=与升幂公式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=).利用倍角公式或半角公式，可对三角式中某些项进行升降幂处理 ( 1±sin α 可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-±απ2cos 1，再用升次公式) ；22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ααα，22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-ααα等．从右到左为升幂，这种变形有利用根式的化简或通分、约分；从左到右是降幂，有利于加、减运算或积和（差）互化．3.辅助角公式中辅助角的确定：()，ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a )sin ,(cos 2222ba b ba a s +=+=ϕϕ在求最值、化简时起着重要作用.【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.(基础·2007宁夏卷理科9文科9)若cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭则c o s s i n αα+的值为（ ）Ａ．Ｂ．12-Ｃ．12思路透析:解法一: sin(2)sin 2()cos 224sin()sin()sin()444ππαααπππααα--==---2sin()cos()442cos()4sin()4ππααπαπα--==---)αα=-sin )αα=+= ∴1cos sin 2αα+=, 故应选C. 解法二:22cos 2sin()4απα=-sin )2αα=+=-∴1cos sin 2αα+=, 故应选C. 点评:部分考生不能识别2α角与4πα±角间的二倍角关系,致使化简过程出现错误或不能化至最简式,而对余弦二倍角公式的平方差公式的应用既可降低化简过程中的运算量,也简化了思维过程,展示了该题考查了本质问题.例2.(基础·求证：︒=︒-︒20cos 3210cos 310sin 122 =32cos20°. 思路透析: 证法一：左边=︒+-︒-=︒+-︒-20cos 1620cos 12220cos 13220cos 11 右边=︒=︒︒⋅︒=︒︒︒=︒︒+︒-︒-︒=︒︒-︒=︒-︒=︒--︒=20cos 3220sin 20sin 20cos 3220sin 20sin 40sin 1620sin )]2040cos()2040[cos(820sin )60cos 20(cos 820sin )2120(cos 820cos 1420cos 82222222 ∴原式成立.证法二：左边=︒⋅︒︒-︒10cos 10sin 10sin 310cos 2222221116(cos10)(cos10)2222sin 2016sin(3010)sin(3010)16sin 4032cos 20.sin 20sin 20=︒+︒︒-︒=︒︒+︒⋅︒-︒︒===︒=︒︒右边 ∴原式成立.点评:证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.例3.(综合·设3sin β=sin(2α+β),α≠k π+2π,α+β≠k π+2π.(k ∈Z ) 求证：tan(α+β)=2tan α.思路透析:证明: 由3sin β=sin(2α+β），得3sin ［(α+β)－α］=sin ［(α+β)+α］, 即3sin(α+β)cos α－3cos(α+β)sin α=sin （α+β)cos α+cos(α+β)·sin α. 整理得sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α. 因为α≠k π+2π,α+β≠k π+2π(k ∈Z ).将上式两边同除以cos αcos(α+β). 得tan(α+β)=2tan α.点评:要注意观察条件和结论之间的差异.主要是看角，看函数的名称、次数、式子的结构特征.如从角的差异入手，将角变形为2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)－α.从已知条件变形入手，可证得结论.例4.(综合·已知7sin α=3sin （α+β）,求证：2tan22βα+=5tan 2β. 思路透析:证明：由已知7sin α=3sin （α+β），即7sin （22βα+－2β）=3sin （22βα++2β）.∴7sin 22βα+cos 2β－7cos 22βα+sin 2β=3sin 22βα+cos 2β+3cos 22βα+sin 2β,即2sin 22βα+cos 2β=5cos 22βα+sin 2β.两边同除以cos 22βα+cos 2β,即得2tan 22βα+=5tan 2β.点评:盯住欲证等式的左、右两边，根据它们的状况（一般要看角、函数名称、结构特征），采取恰当的措施来对条件等式进行变形，直到目标.例5.(创新探究·求证：αβαsin 2sin ）（+－2cos （α+β）=αβsin sin .思路透析:证明：sin （2α+β）－2cos （α+β）sin α =sin ［（α+β）+α］－2cos （α+β）sin α=sin （α+β）cos α+cos （α+β）sin α－2cos （α+β）sin α =sin （α+β）cos α－cos （α+β）sin α=sin ［（α+β）－α］=sin β.两边同除以sin α得αβαsin 2sin ）（+－2cos （α+β）=αβsin sin .点评:证明三角恒等式，可先从两边的角入手——变角，将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中较多的函数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略.例6.(创新探究· P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆上一点，且∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=2α，求证：椭圆的离心率为e =2cos α－1.思路透析:证明：在△PF 1F 2中，由正弦定理知α2sin ||1PF =αsin ||2PF =）（α3πsin||21-F F .由比例的性质得α3sin ||21F F =ααsin 2sin ||||21++PF PF⇒e =||||||2121PF PF F F +=αααsin 2sin 3sin +=ααααααα2cos sin 2sin 2sin cos 2cos sin ++ =）（）（αααααcos 21sin cos sin 2cos 2sin 22+⋅+1-=1+-ααcos 21cos 42=2cos α－1. 点评:依据椭圆的定义2a =|PF 1|+|PF 2|，2c =|F 1F 2|，∴e =ac22.在△PF 1F 2中解此三角即可得证.恰当地利用比例的性质有事半功倍之效.【画龙点睛】探索规律，豁然开朗 1.规律总结:(1)证明三角恒等式的基本思路，是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更命题等方法，使等式两端的“异”化为“同”.(2)条件等式的证明，通过认真观察，发现已知条件和待证等式之间的关系，选择适当的途径把条件用上去.常用方法有代入法、消去法、综合法（即从已知条件出发，以待证式为目标进行代数或三角恒等变形，逐步推出待证式）、分析法等.(3)三角函数的应用主要是借用三角函数的值域求最值，这首先应将原函数通过降幂、辅助角公式等化成y =A sin （ωx +ϕ）（A ≠0，ω＞0）的形式，或者通过换元转化成二次函数，然后再求之.2.学以致用:(1)如果tan312=α，那么cos α的值是 ( ) A.53 B.54 C.－53 Ｄ.－54(2)若tan θ＋cot θ＝ｍ，则sin2θ等于 ( ) A.m 1 B.m 2 C.2ｍ Ｄ.21m(3)化简cos2α+6sin 22α－8sin 42α的结果是________.(4)给出下列三角函数式：①)4sin(2x +π; ②2tan 12tan 2tan21)3(),4cos(222xxx x +--+π③22cos 122cos 1xx --+, 当x ∈R 时与cos x －sin x 恒等的是___________.答案:(1) B 解析:cos α＝549119112tan 12tan 122=+-=+-αα. (2)B 解析:∵tan θ＋cot θ＝tan θ＋θtan 1＝ｍ即：m =+θθtan 1tan 2 , 又∵sin2θ＝m 2tan 1tan 22=+θθ.(3)cos α解析:原式=cos2α+3(1－cos α)－2(1－cos α)2=cos2α+3－3cos α－2(1－2cos α+cos 2α) =cos2α+3－3cos α－2+4cos α－2cos 2α=cos2α+cos α+1－2cos 2α=cos2α+cos α－cos2α=cos α(4)②解析: ①原式=cos x +sin x ;②原式=cos x －sin x .③原式=2tan 12tan 22tan 12tan 1222x xx x +-+-=cos x －sin x ，（x ≠2k π+π,k ∈Z ）, ④原式=|cos x |－|sin x |=cos x －sin x ，（2k π≤x ≤2k π+2π,k ∈Z ）.3.易错分析:(1)三角恒等式的证明实际上就是三角函数式的化简过程.(2)有条件的三角函数求值有两个关键：①三角函数各关系式及常用公式的熟练应用.②条件的合理应用：注意条件的整体功能，注意将条件适当简化、整理或重新改造组合，使其与所计算的式子更加吻合(3)注意方程思想的应用.【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.满足cos αcos β=23+sin αsin β的一组α、β的值是 A.α=12π13，β=4π3 B.α=2π，β=3πC.α=2π，β=6π D.α=3π，β=6π2.已知tan α和tan （4π－α）是方程ax 2+bx +c =0的两个根，则a 、b 、c 的关系是 A.b =a +c B.2b =a +c C.c =b +a D.c =ab 3.下列等式中不正确．．．的是 A.sin αcos β＝21［sin （α＋β）＋sin （α－β）］ B.cos αsin β＝21［sin （α－β）－sin （α－β）］C.cos αcos β＝21［cos （α＋β）＋cos （α－β）］D.sin αsin β＝21［cos （α＋β）－cos （α－β）］4.若2π<α<π，且cos α＝a ,则sin2α等于A.21a- B.±21a - C.21a+ D.±21a+ 5.若－2π<α<－23π,则2)cos(1πα--等于A.sin2αB.cos2αC.－sin2αD.－cos2α6.若sin α＝135，α在第二象限，则tan 2α的值为 ( ) A.5 B.－5 C.51 Ｄ.－51二、填空题: 7.已知sin θ＝－53，3π＜θ＜27π，则tan 2θ＝____________. 8.αβαsin 2sin ）（+－2cos （α+β）= .9.化简x x x x 2cos cos sin 2cos 44-++的结果是________. 10.周长为定值L （L ＞0）的直角三角形的面积的最大值为 . 三、解答题: 11.证明:cos 2A +cos 2（3π－A ）+cos 2（3π+A ）32=.12.(1)若A ＋B ＋Ｃ＝n π(n ∈Ｚ), 证明tan A ＋tan B ＋tan Ｃ＝tan A ·tan B ·tan Ｃ. (2) 若tan A ＋tan B ＋tan Ｃ＝tan A ·tan B ·tan Ｃ,证明A ＋B ＋Ｃ＝nπ(n ∈Ｚ) . 13.求证：.2tan 2sin )1cos )(sin 1cos (sin xx x x x x =+--+14.在△ABC 中，求证：sin 2.2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 222C B A C B A -=++【能力训练】参考答案 一、选择题:1. A2. C3. D4. A5. D6. A 二、填空题:7. －38. αβsin sin 9. 1 10. 4223-L 2三、解答题:11.证明: 原式=2)232cos(12)232cos(122cos 1A A A+++-+++ππ 312322[cos 2(cos cos 2sin sin 2)(cos cos 2sin sin 2)]2233333123113(cos 22cos cos 2)[cos 22()cos 2]2232222A A A A A A A A A πππππ=+++⋅+-=++=++⨯-=12.证明：(1)由A ＋B ＋Ｃ＝n π即A ＋B ＝n π－Ｃ 得tan （A ＋B ）＝－tan Ｃtan A ＋tan B ＋tan Ｃ＝tan （A ＋B ）（1－tanAtan B ）＋tan Ｃ ＝－tan Ｃ（1－tan A tan B ）＋tan Ｃ ＝tan A tan B tan Ｃ.(2)tan tan tan tan()tan 1tan tan tan()1tan()tan 1tan()tan A BCA B C A BA B C A B C A B C++++-++==-+-+tan tan tan tan tan tan 0(1tan tan )[1tan()tan ]A B C A B CA B A B C ++-==--+.πn C B A =++∴（n ∈Z ）13.证明：左边=x x x x x x x x cos sin 2)2sin 22cos 2sin 2)(2sin 22cos 2sin 2(22+- xx x x x x x cos sin 2)2sin 2)(cos 2sin 2(cos 2sin 42+-=2222sin (cos sin )sin cos 2222tan 22sin cos cos cos cos 222x x x xxx x x x x x -⋅====⋅右边.14.证明：左边=2cos 12cos 12cos 1CB A -+-+- 31(cos cos cos )22A B C =-++31[cos()cos()cos ]222222A B A B A B A B C +-+-=-++-+ 231(2cos cos 12sin )22222A B A B C +-=-+- 211(2sin cos 2sin )2222C A B C -=--1sin (cos cos )1sin 2sin sin 222222C A B A B C A B-+=--=-⋅12sinsin sin .222A B C =-。

.
2sin 20。
tan 5。
解析： (2)原式= 2cos210。 -sin 10°· cos2 5。 sin2 5。
4 sin 10。cos10。
sin 5。cos 5。
= cos10。 - sin 20。 = cos10。 2sin 20。
2sin10。 sin10。
2 sin 10。
cos10。 2sin
②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是
0,
π 2
,选正、余
弦函数皆可;若角的范围是(0,π),选余弦函数较好;若角的范围为
π 2
,
π 2
,
选正弦函数较好.
【即时训练】(1)(2016 金华模拟)设α,β为钝角,且 sin α= 5 ,cos β 5
=- 3 10 ,则α+β的值为( ) 10
解:(1)因为 sin +cos = 6 ,
2
22
两边同时平方,得 sin α= 1 . 2
又 π <α<π,所以 cos α=- 3 .
2
2
(2)若 sin(α-β)=- 3 ,β∈( π ,π),求 cos β的值.
5
2
解:(2)因为 π <α<π, π <β<π,所以-π<-β<- π ,
(A) 3π (B) 5π (C) 7π (D) 5π 或 7π
4
4
4
44
解析:(1)因为α,β为钝角,sin α= 5 ,cos β=- 3 10 ,
5
10
所以 cos α=- 2 5 ,sin β= 10 ,
5
10
所以 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β= 2 >0. 2

题型1 同角求值例1.（2016全国丙理5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ）. A.6425 B.4825 C.1 D.1625【解题技巧】本题考查三角恒等变换，齐次化切. 变式1．（2013四川理13）设sin 2sin αα=-，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan 2α的值是____________． 解析：sin 22sin cos sin αααα==-，因为π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以1cos 2α=-，23πα=，所以4tan 2tan3πα==. 题型2 公式运用例2（2015全国1）sin 20cos10cos160sin10-=（ ）A ．． 12- D ．12解析 原式sin 20cos10cos 20sin10=+=1sin 302=.故选D ．变式1.（2016四川理11）22ππcossin 88-= . 解析 由倍角得22πππcos sin cos 28842-=⨯=变式2.（2015四川理）sin15sin 75+的值是 _____________. 解析 依据题意可得：sin15sin 75+=sin15cos15+=645)+=. 题型3 化简求值例3.（2015江苏）已知tan 2α=-，()1tan 7αβ+=，则tan β的值为 ．解法三：()tan tan αβαβ=+-()()tan tan 1tan tan αββαββ+-=++⋅1tan 7211tan 7ββ-==-+，故tan 3β=． 变式1.（2016全国甲理9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）. A.725 B.15C.15-D.725-解析 因为π3cos 45α⎛⎫-=⎪⎝⎭，)3cos sin 5αα+=，所以cos sin αα+181+sin 225α=，即7sin 225α=.故选D ．变式1.（2016全国甲理9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）. A.725 B.15C.15- D.725-解析 因为π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，)3cos sin 5αα+=， 所以cos sin αα+ 1871+sin2sin22525αα=⇒=.故选D ．题型4 三角恒等变换与三角函数的值域例4.（2015天津）已知函数()22πsin sin 6f x x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭，x ∈R . （1）求()f x 最小正周期；（2）求()f x 在区间ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 分析 (1) 利用两角和与差的正余弦公式及二倍角的正余弦公式化简函数的解析式，由三角函数性质可求最小正周期；(2)先写出函数的单调区间，即可求函数的最大值与最小值.(2)解法一：因为()f x 在区间ππ36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上是减函数，在区间ππ64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数， π134f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π162f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π4f ⎛⎫=⎪⎝⎭()f x 在区间ππ34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最大值是4，最小值是12-.解法二：由ππ34x -剟，得2ππ232x -剟，5πππ2663x --剟，π1sin 262x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭剟， ()12f x -剟当π6x =-时，()f x 取得最小值1-，当π4x =时，()f x【高考真题链接】1.(2017北京理12)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，()cos αβ-=___________.解析 由题作出图形，如图所示，1sin 3α=，则cos α=，由于α与β关于y 轴对称，则()1sin sin 3βα=π-=，cos 3β=-，故()117cos 339αβ⎛-=+⨯=- ⎝⎭.2.. (2013全国新课标卷理15） 设θ为第二象限的角，若π1tan 42θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则s i n c o s θθ+= .3.（2015重庆）若πtan 2tan 5α=，则3πcos 10πsin 5αα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 44.（17江苏05）若π1tan 46α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α= ． 解析 解法一（角的关系）：tan tan 44ααππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭7tan 1746551tan 64ααπ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===π⎛⎫-- ⎪⎝⎭．故填75． 解法二（直接化简）：πtan 11tan 41tan 6ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，所以7tan 5α=．故填75． 5.（2017全国2理14）函数()23sin 0,42f x x x x ⎛π⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是 ．解析()2233πsin 1cos 0442f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-=-+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，令cos x t =且[]01t ∈，，214y t =-++21t ⎛=-+ ⎝⎭，当t =，即6x π=时，()f x 取最大值为1．6.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R . （1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.7.（2015北京）已知函数()2cos 222x x x f x =-.（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间[]π,0-的最小值.解析 （1）()1cos cos 222x x x f x x x -=-==πsin 4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，函数()f x 的最小正周期2πT =.（2）当π0x -剎?时，3πππ444x -+剟，π1sin 42x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭剟，函数()f x 在区间[]π,0-的最小值为12--.。

真题再现1.【2017课标3，文4】已知错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

=（）A．错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

【答案】A【解析】错误！未找到引用源。

.所以选A.【考点】二倍角正弦公式【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.2. 【2017山东，文4】已知错误！未找到引用源。

,则错误！未找到引用源。

A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

【答案】D【考点】二倍角公式【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．3.【2017课标II，文13】函数错误！未找到引用源。

的最大值为_______ .【答案】错误！未找到引用源。

【解析】错误！未找到引用源。

【考点】三角函数有界性【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为错误！未找到引用源。

的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．一般可利用错误！未找到引用源。

求最值.4.【2017江苏，5】若错误！未找到引用源。

则错误！未找到引用源。

.【答案】错误！未找到引用源。

【考点】两角和正切公式5.【2017课标1，文15】已知错误！未找到引用源。

，tan α=2，则错误！未找到引用源。

=__________．【答案】错误！未找到引用源。

专题4.2三角恒等变真题再现一41.【2017 课标 3,文 4】已知 sin 二「cos，则sin2「=(3【答案】A所以选A.【考点】二倍角正弦公式【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度(1) 变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2) 变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幕与 降幂”等.(3) 变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通等.2.【2017山东，文4】已知cosx_ 3 5贝U cos2x 二4八1 1 1A.B.C.D.448【答案】D【解析】 试题分析：宙 cosx-—得 coe2jc = 2co/jc —1 =4【考点】二倍角公式【名师点睛】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系 互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点.2 - 9 G2 - 9 - B7 - 9【解析】 sin 2： 二2sin ：sin ： - cos 1常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”=售，故选D.(和、差、倍、互余、3.【2017课标II ，文13】函数f （x ）=2cosx+sin x 的最大值为-2 -【答案】、_5 【解析】【考点】三角函数有界性【名师点睛】通过配角公式把三角函数化为y = As in （••「） B 的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征.一般可利用|asin x bcosx|乞 一 a 2 b 2 求最值.4.【2017江苏，5】若 tan （: 一4）=6,则tan:二【答案】-5述（优一？）十远仝【解析】血优二血［（反_兰）+勻二 ------ 卫一 4 4 4 l-tan （a-^）【考点】两角和正切公式n n5.【2017 课标 1,文 15】已知 a^(0,—) , tan a =2，则 cos©——)=2 4【答案】10【解析】-+ 1 6_ 1-i 671 tan —4试题分析：由tan a = 2得= y sin 3 cr+cos^ GC — 1 所以cos' a=—w7T因为 Exe(O :-)因为 cos (£K - ) = costx cos — sin 比 sin —4 4 4 所以曲Z-S 迺X 返+座x^ =迺 45 25 2 10【考点】三角函数求值【名师点睛】三角函数求值的三种类型(1) 给角求值：关键是正确选用公式， 以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数. (2) 给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.① 一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；② 变换待求式，便 于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.(3) 给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.1tan，则 cos2 -( 3/A 、 41 1仆、4 (A )(B )(C )(D )5 55 5【答案】D7.【2016高考新课标1文数】已知0是第四象限角，且sin( 0 +上)=3,则45ntan( 0 - — )= _______ . _____4所以oos a - 6.【2016高考新课标川文数】若【解析】cos 2 丁 -sin 2二cos 2 二 sin 2 二 1 - tan 2二1 tan2 v1 (1)2【答案】--3加兀+理后+2兀（氏E Z ）,所以25+匹比&-兰＜:沏+凹（比巨£）,从而曲|24 448.【2015高考广东，文16】已知tan 】=2.（1）求 tan •—的值;I 4丿(2)求一2的值.sin a +sinotcosa —cos2。