高中数学第二章基本初等函数测试题(含答案)人教版

指数函数性质及应用1．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(0,1)∪(1，＋∞) D ．(－∞，－1) 2．下列判断正确的是( )A ．1.72.5＞1.73B ．0.82＜0.83C ．0.9－0.3＜1 D ．1.90.3＞0.92.53．已知f (x )＝3x －b (2≤x ≤4，b 为常数)的图象经过点(2,1)，则f (x )的值域是( ) A ．[9,81] B ．[3,9] C ．[1,9] D ．[1，＋∞)4．函数y ＝(12)1－x 的单调递增区间为( )A ．(－∞，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)5．若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上( )A ．单调递减且无最小值B ．单调递减且有最小值C ．单调递增且无最大值D ．单调递增且有最大值6．若1>n >m >0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为()7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，(x <0)(a －3)x ＋4a ，(x ≥0)，满足对任意的x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则a 的取值范围是( )A ．(0，14]B ．(0,1)C ． [14，1) D ．(0,3)8．函数f (x )＝4x ＋12x 的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称9．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则y 1，y 2，y 3的大小关系为________．10．若函数f (x )＝(13)ax 2－(a ＋2)x ＋3在区间[－1,＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是____________．11．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x <0，a x ， x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是________．12．已知函数f (x )＝12x +1+a 是奇函数，则a =_____．13．函数y ＝2x2+4x +2的值域为 ，增区间为 ． 14．已知函数f (x )＝13x ＋1＋a 为奇函数，则常数a ＝______.15．已知指数函数f (x )＝(2a －1)x 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是 ．16．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则a ，b ，c 的大小关系是____________．17．不等式0.52x >4x －1的解集为____________．(用区间表示)18．已知函数f (x )＝(a －2)a x (a ＞0，且a ≠1)，若对任意x 1，x 2∈R ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，则a 的取值范围是______________．19．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝a x －a －x ＋2(a >0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)＝________.20.比较下列各组数的大小．(1)2.30.6和2.31.2； (2)(35)0..5和(35)0..8；(3)1.91.5和31.5； (4)3.10.6和0.63.1；21．比较大小：a ＝1.50.6，b ＝0.60.2，c ＝0.61.5．22.已知函数f (x )＝(12)x 2－2x ，求f (x )的值域和单调区间．23．已知函数y ＝2－x 2＋4x －1，求其单调区间及值域．24.已知函数f (x )＝2x －b2x ＋a是定义在R 上的奇函数．(1)求a 、b 的值；(2)判断并证明函数f (x )的单调性； (3)求函数f (x )在R 上的值域．25．已知函数f (x )＝2x －12x ．(1)判断函数f (x )的奇偶性； (2)证明：f (x )为R 上的增函数；(3)若对于任意m ∈[－2，2]，不等式f (m 2－3m )＋f (m －k )<0恒成立，求k 的取值范围．26．设函数f (x )＝1－22x +1，(1)证明：f (x )为奇函数． (2)求f (x )的值域．27．求函数f (x )＝4－2x 2+2x －2的值域和单调区间．28．已知函数f (x )＝3x，f (a ＋2)＝81，g (x )＝1－a x1＋a x.(1)求g (x )的解析式并判断g (x )的奇偶性；(2)用定义证明：函数g (x )在R 上是单调递减函数； (3)求函数g (x )的值域.29．已知函数f (x )＝(13)ax 2－4x +3.．(1)若f (x )有最大值3，求a 的值；(2)若f (x )在(－∞，1)上单调递增，求a 的取值范围．30．已知函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在[－1，1]上有最大值14，试求a 的值．。

新课程标准数学必修1第二章课后习题解答第二章 基本初等函数（I ） 2．1指数函数 练习（P54）1. a 21=a ,a 43=43a ,a53-=531a,a32-=321a.2. (1)32x =x 32, (2)43)(b a +=(a +b )43, (3)32n)-(m =(m -n )32, (4)4n)-(m =(m -n )2,(5)56q p =p 3q 25,(6)mm 3=m213-=m 25.3. (1)(4936)23=［(76)2］23=(76)3=343216;(2)23×35.1×612=2×321×(23)31×(3×22)61=231311--×3613121++=2×3=6;(3)a 21a 41a 81-=a814121-+=a 85; (4)2x31-(21x 31-2x 32-)=x 3131+--4x 3221--=1-4x -1=1x4-. 练习（P58）1.如图图2-1-2-142.(1)要使函数有意义,需x -2≥0,即x ≥2,所以函数y =32-x 的定义域为｛x |x ≥2｝;(2)要使函数有意义,需x ≠0,即函数y =(21)x 1的定义域是｛x ∣x ≠0｝.3.y =2x (x ∈N *)习题2.1 A 组（P59）1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x -y .2解：(1)623b a ab=212162122123)(⨯⨯⨯b a a b =23232121--⨯b a =a 0b 0=1. (2)a aa2121=212121a a a⨯=2121a a ⨯=a 21.(3)415643)(mm m m m •••=4165413121mm m m m ••=4165413121+++mm=m 0=1.点评：遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行. 3.解：对于（1）,可先按底数5,再按键,再按12,最后按,即可求得它的值.答案：1.710 0; 对于（2）,先按底数8.31,再按键,再按12,最后按即可. 答案：2.881 0; 对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按键,再按键,再按2,最后按即可.答案：4.728 8;对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按键,再按π键,最后按即可.答案：8.825 0.4.解：(1)a 31a 43a127=a 1274331++=a 35; (2)a 32a 43÷a 65=a654332-+=a 127;(3)(x 31y43-)12=12431231⨯-⨯yx =x 4y -9;(4)4a 32b 31-÷(32-a 31-b 31-)=(32-×4)31313132+-+b a =-6ab 0=-6a ;(5))2516(462r t s -23-=)23(4)23(2)23(6)23(2)23(452-⨯-⨯-⨯--⨯-⨯rts=6393652----rt s =36964125s r r ;(6)(-2x 41y31-)(3x21-y 32)(-4x 41y 32)=［-2×3×(-4)］x 323231412141++-+-yx=24y ;(7)(2x 21+3y41-)(2x 21-3y41-)=(2x 21)2-(3y 41-)2=4x -9y 21-;(8)4x 41 (-3x 41y31-)÷(-6x21-y32-)=3231214141643+-++-⨯-y x =2xy 31. 点评：进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.5.（1）要使函数有意义,需3-x ∈R ,即x ∈R ,所以函数y =23-x 的定义域为R . （2）要使函数有意义,需2x +1∈R ,即x ∈R ,所以函数y =32x +1的定义域为R .(3)要使函数有意义,需5x ∈R,即x ∈R,所以函数y =(21)5x的定义域为R . (4)要使函数有意义,需x ≠0,所以函数y =0.7x1的定义域为{x |x ≠0}.点评：求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0的0次幂没有意义.6.解：设经过x 年的产量为y ,一年内的产量是a (1+100p ),两年内产量是a (1+100p )2,…,x 年内的产量是a (1+100p )x ,则y =a (1+100p )x(x ∈N *,x ≤m ). 点评：根据实际问题,归纳是关键,注意x 的取值范围.7.(1)30.8与30.7的底数都是3,它们可以看成函数y =3x ,当x =0.8和0.7时的函数值；因为3>1,所以函数y =3x 在R 上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8.(2)0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y =0.75x ,当x =-0.1和0.1时的函数值； 因为1>0.75,所以函数y =0.75x 在R 上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.(3)1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y =1.01x ,当x =2.7和3.5时的函数值； 因为1.01>1,所以函数y =1.01x 在R 上是增函数.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5.(4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y =0.99x ,当x =3.3和4.5时的函数值； 因为0.99<1,所以函数y =0.99x 在R 上是减函数.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.8.(1)2m ,2n 可以看成函数y =2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为2>1,所以函数y =2x 在R 上是增函数.因为2m <2n ,所以m <n .(2)0.2m ,0.2n 可以看成函数y =0.2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0.2<1, 所以函数y =0.2x 在R 上是减函数.因为0.2m <0.2n ,所以m >n . (3)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0<a <1, 所以函数y =a x 在R 上是减函数.因为a m <a n ,所以m >n . (4)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为a >1, 所以函数y =a x 在R 上是增函数.因为a m >a n ,所以m >n .点评：利用指数函数的单调性是解题的关键.9.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P 与时间t 的函数解析式为P=(21)57301.当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=(21)573057309⨯=(21)9≈0.002. 答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰, 因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.(2)设大约经过t 万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么(21)537010000t <0.001,解得t >5.7.答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的.B 组1. 当0＜a ＜1时,a 2x -7＞a 4x -12⇒x -7＜4x －1⇒x ＞－3;当a ＞1时,a 2x -7＞a 4x -1⇒2x －7＞4x －1⇒x ＜－3. 综上,当0＜a ＜1时,不等式的解集是{x |x ＞－3}；当a ＞1时,不等式的解集是{x |x ＜－3}.2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用. 解：(1)设y =x 21+x21-,那么y 2=(x 21+x21-)2=x +x -1+2.由于x +x -1=3,所以y =5.(2)设y =x 2+x -2,那么y =(x +x -1)2-2.由于x +x -1=3,所以y =7.(3)设y =x 2-x -2,那么y =(x +x -1)(x -x -1),而(x -x -1)2=x 2-2+x -2=5,所以y =±35. 点评：整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口. 3.解：已知本金为a 元.1期后的本利和为y 1=a +a ×r =a (1+r ),2期后的本利和为y 2=a (1+r )+a (1+r )×r =a (1+r )2, 3期后的本利和为y 3=a (1+r )3, …x 期后的本利和为y =a (1+r )x .将a =1 000,r =0.022 5,x =5代入上式得y =a (1+r )x =1 000×(1+0.022 5)5=1 000×1.02255≈1118. 答:本利和y 随存期x 变化的函数关系式为y =a (1+r )x ,5期后的本利和约为1 118元. 4.解：(1)因为y 1=y 2,所以a 3x +1=a -2x .所以3x +1=-2x .所以x =51-. (2)因为y 1>y 2,所以a 3x +1>a -2x . 所以当a >1时,3x +1>-2x .所以x >51-. 当0<a <1时,3x +1<-2x .所以x <51-.2．2对数函数 练习（P64）1.（1）2log 83=； （2）2log 325=； （3）21log 12=-； （4）2711log 33=- 2.（1）239=； （2）35125=； （3）2124-=； （4）41381-=3.（1）设5log 25x =，则25255x ==，所以2x =；（2）设21log 16x =，则412216x -==，所以4x =-； （3）设lg1000x =，则310100010x==，所以3x =； （4）设lg 0.001x =，则3100.00110x-==，所以3x =-；4.（1）1； （2）0； （3）2； （4）2； （5）3； （6）5.练习（P68）1.（1）lg()lg lg lg xyz x y z =++；（2）222lg lg()lg lg lg lg lg 2lg lg xy xy z x y z x y z z =-=++=++；（3）33311lg()lg lg lg lg 3lg lg22xy x y z x y z =-=+-=+-；（4）2211lg()lg (lg lg )lg 2lg lg 22y z x y z x y z ==-+=--. 2.（1）223433333log (279)log 27log 9log 3log 3347⨯=+=+=+=；（2）22lg1002lg1002lg104lg104====；（3）5lg 0.00001lg105lg105-==-=-; （4）11ln 22e ==3. (1)22226log 6log 3log log 213-===; (2)lg5lg 2lg101+==; (3)555511log 3log log (3)log 1033+=⨯==;(4)13333351log 5log 15log log log 31153--====-.4.(1)1; (2)1; (3)54练习（P73）1.函数3log y x =及13log y x =的图象如右图所示.相同点：图象都在y 轴的右侧，都过点(1,0) 不同点：3log y x =的图象是上升的，13log y x =的图象是下降的关系：3log y x =和13log y x =的图象是关于x 轴对称的.2. (1)(,1)-∞； (2)(0,1)(1,)+∞; （3）1(,)3-∞； （4）[1,)+∞3. (1)1010log 6log 8< (2)0.50.5log 6log 4< (3)2233log 0.5log 0.6> (4) 1.5 1.5log 1.6log 1.4>习题2.2 A 组（P74） 1. (1)3log 1x =； (2)41log 6x =; （3）4log 2x =； （4）2log 0.5x = (5) lg 25x = (6)5log 6x =2. (1)527x = (2) 87x = (3) 43x = (4)173x=(5) 100.3x= (6) 3xe =3. (1)0; (2) 2; (3) 2-; (4)2; (5) 14-; (6) 2. 4. (1)lg6lg 2lg3a b =+=+; (2) 3lg 42lg 22log 4lg3lg3ab===; (3) 2lg122lg 2lg3lg3log 1222lg 2lg 2lg 2b a +===+=+; (4)3lg lg3lg 22b a =-=- 5. (1)x ab =; (2) mx n=; (3) 3n x m =; (4)b x =.6. 设x 年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番，则(10.073)4x+=解得 1.073log 420x =≈. 答：设20年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番.7. (1)(0,)+∞; (2) 3(,1]4.8. (1)m n <; (2) m n <; (3) m n >; (4)m n >. 9. 若火箭的最大速度12000v =，那么62000ln 112000ln(1)61402M M M M e mm m m ⎛⎫+=⇒+=⇒+=⇒≈ ⎪⎝⎭答：当燃料质量约为火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12km/s.10. (1)当底数全大于1时，在1x =的右侧，底数越大的图象越在下方.所以，①对应函数lg y x =，②对应函数5log y x =，③对应函数2log y x =. (2)略. (3)与原函数关于x 轴对称. 11. (1)235lg 25lg 4lg92lg52lg 22lg3log 25log 4log 98lg 2lg3lg5lg 2lg3lg5⋅⋅=⨯⨯=⨯⨯= (2)lg lg lg log log log 1lg lg lg a b c b c a b c a a b c⋅⋅=⨯⨯= 12. (1)令2700O =，则312700log 2100v =，解得 1.5v =. 答：鲑鱼的游速为1.5米/秒. (2)令0v =，则31log 02100O=，解得100O =. 答：一条鱼静止时的耗氧量为100个单位.B 组1. 由3log 41x =得：143,43xx-==，于是11044333x x -+=+= 2. ①当1a >时，3log 14a<恒成立； ②当01a <<时，由3log 1log 4a a a <=，得34a <，所以304a <<.综上所述：实数a 的取值范围是3{04a a <<或1}a >3. (1)当1I = W/m 2时，112110lg 12010L -==；(2)当1210I -= W/m 2时，121121010lg 010L --==答：常人听觉的声强级范围为0120dB .4. (1)由10x +>，10x ->得11x -<<，∴函数()()f x g x +的定义域为(1,1)- (2)根据(1)知：函数()()f x g x +的定义域为(1,1)-∴ 函数()()f x g x +的定义域关于原点对称又∵ ()()log (1)log (1)()()a a f x g x x x f x g x -+-=-++=+ ∴()()f x g x +是(1,1)-上的偶函数.5. (1)2log y x =，0.3log y x =； (2)3xy =，0.1x y =.习题2.3 A 组（P79） 1.函数y =21x是幂函数. 2.解析:设幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为点（2,2）在图象上,所以2=2α.所以α=21,即幂函数的解析式为f （x ）=x 21,x ≥0.3.（1）因为流量速率v 与管道半径r 的四次方成正比,所以v =k ·r 4； （2）把r =3,v =400代入v =k ·r 4中,得k =43400＝81400,即v =81400r 4； （3）把r =5代入v =81400r 4,得v =81400×54≈3 086（cm 3/s ）, 即r =5 cm 时,该气体的流量速率为3 086 cm 3/s .第二章 复习参考题A 组（P82）1.（1）11； （2）87； （3）10001； （4）259. 2.（1）原式=))(()()(212121212212122121b a b a b a b a -+++-=b a b b a a b b a a -++++-2121212122=ba b a -+)(2;（2）原式=))(()(1121----+-a a a a a a =aa a a 11+-=1122+-a a . 3.（1）因为lg 2=a ,lg 3=b ,log 125=12lg 5lg =32lg 210lg2•=3lg 2lg 22lg 1+-,所以log 125=ba a +-21. （2）因为2log 3a =，3log 7b =37147log 27log 56log 27⨯=⨯=2log 112log 377++=7log 2log 11)7log 2(log 33333÷++÷=b ab a ÷++÷111)1(3=13++ab ab . 4.（1）（-∞,21）∪（21,+∞）;（2）［0,+∞）.5.（32,1）∪（1,+∞）;（2）（-∞,2）;（3）（-∞,1）∪（1,+∞）.6.（1）因为log 67>log 66=1,所以log 67>1.又因为log 76<log 77=1,所以log 76<1.所以log 67>log 76. （2）因为log 3π>log 33=1,所以log 3π>1.又因为log 20.8<0,所以log 3π>log 20.8.7.证明：（1）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）·f （y ）=3x ×3y =3x +y .又因为f （x +y ）=3x +y ,所以f （x ）·f （y ）=f （x +y ）. （2）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）÷f （y ）=3x ÷3y =3x -y . 又因为f （x -y ）=3x -y ,所以f （x ）÷f （y ）=f （x -y ）.8.证明:因为f （x ）=lgxx+-11,a 、b ∈（-1,1）, 所以f （a ）+f （b ）=lgbb a a +-++-11lg11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--, f （ab b a ++1）=lg （ab b a ab ba +++++-1111）=lg b a ab b a ab +++--+11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--. 所以f （a ）+f （b ）=f （abba ++1）.9.（1）设保鲜时间y 关于储藏温度x 的函数解析式为y =k ·a x （a >0,且a ≠1）.因为点（0,192）、（22,42）在函数图象上,所以022192,42,k a k a ⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩解得⎪⎩⎪⎨⎧≈==.93.0327,19222a k 所以y =192×0.93x ,即所求函数解析式为y =192×0.93x . （2）当x =30 ℃时,y ≈22（小时）；当x =16 ℃时,y ≈60（小时）,即温度在30 ℃和16 ℃的保鲜时间约为22小时和60小时. （3）图象如图：图2-210.解析：设所求幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为f （x ）的图象过点（2,22）, 所以22=2α,即221-=2α.所以α=21-.所以f （x ）=x 21-（x >0）.图略,f (x )为非奇非偶函数；同时它在（0,+∞）上是减函数.B 组1.A2.因为2a =5b =10,所以a =log 210,b =log 510,所以a 1+b 1=10log 12+10log 15=lg 2+lg 5=lg 10=1. 3.（1）f （x ）=a 122+-x在x ∈（-∞,+∞）上是增函数.证明：任取x 1,x 2∈（-∞,+∞）,且x 1<x 2.f （x 1）-f （x 2）=a 122+-x -a +1222+x =1222+x -1221+x =)12)(12()22(21221++-x x x x . 因为x 1,x 2∈（-∞,+∞）, 所以.012.01212>+>+x x又因为x 1<x 2, 所以2122x x <即2122x x <<0.所以f （x 1）-f （x 2）<0,即f （x 1）<f （x 2）.所以函数f （x ）=a 122+-x在（-∞,+∞）上是增函数. （2）假设存在实数a 使f （x ）为奇函数,则f （-x ）+f （x ）=0,即a 121+--x +a 122+-x =0⇒a =121+-x +121+x =122+x +121+x=1, 即存在实数a =1使f （x ）=121+--x 为奇函数.4.证明:（1）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以［g （x ）］2-［f （x ）］2=［g （x ）+f （x ）］［g （x ）-f （x ）］=)22)(22(xx x x x x x x e e e e e e e e -----++++ =e x ·e -x =e x -x =e 0=1, 即原式得证.（2）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以f （2x ）=222x x e e -+,2f （x ）·g （x ）=2·2x x e e --·2x x e e -+=222xx e e --.所以f （2x ）=2f （x ）·g （x ）.（3）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以g （2x ）=222x x e e -+,［g （x ）］2+［f （x ）］2=（2x x ee -+）2+（2xx e e --）2=4222222x x x x e e e e --+-+++=222xx e e -+.所以g （2x ）=［f （x ）］2+［g （x ）］2.5.由题意可知,θ1=62,θ0=15,当t =1时,θ=52,于是52=15+(62-15)e -k ,解得k ≈0.24,那么θ=15+47e -0.24t . 所以,当θ=42时,t ≈2.3;当θ=32时,t ≈4.2.答:开始冷却2.3和4.2小时后,物体的温度分别为42 ℃和32 ℃.物体不会冷却到12 ℃.6.(1)由P=P 0e -k t 可知,当t =0时,P=P 0;当t =5时,P=(1-10%）P 0.于是有(1-10%)P 0=P 0e -5k ,解得k =51-ln 0.9,那么P=P 0e t )9.0ln 51(.所以,当t =10时,P=P 0e 9.01051n I ⨯⨯=P 0e ln 0.81=81%P 0.答:10小时后还剩81%的污染物. (2)当P=50%P 0时,有50%P 0=P 0et )9.0ln 51(,解得t =9.0ln 515.0ln ≈33.答:污染减少50%需要花大约33h . (3)其图象大致如下:图2-3。

课时作业(二十) 对数函数的图象及性质一、选择题1．如图是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 值取5，53，45，18，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的a 的值依次是( )A.18，45，53， 5 B.5，53，45，18C.53，5，45，18D.5，53，18，45答案：B2．函数y ＝ln(1－x )的图象大致为( )答案：C 解析：函数的定义域为(－∞，1)且在定义域上单调递减，故选C.3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2，log 3x 2－，x ≥2，则f (f (2))＝( )A ．2B ．3C ．9D ．18答案：A 解析：由题意可知，f (2)＝log 3(22－1)＝log 33＝1. 所以f (f (2))＝f (1)＝2e1－1＝2.4．设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A ．c >b >a B ．b >c >a C ．a >c >bD ．a >b >c答案：D 解析：∵log 36＝1＋log 32＝1＋1log 23，log 510＝1＋log 52＝1＋1log 25，log 714＝1＋log 72＝1＋1log 27，又1<log 23<log 25<log 27，∴1log 23>1log 25>1log 27， 即a >b >c ，故选D. 5．函数y ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21＋x －1的图象关于( )A ．原点对称B ．y 轴对称C ．x 轴对称D ．直线y ＝x 对称答案：A 解析：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21＋x －1＝lg 1－x 1＋x 的定义域(－1,1)关于原点对称，且f (－x )＝lg 1－－x 1＋－x ＝lg 1＋x 1－x ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－lg 1－x 1＋x ＝－f (x )，所以该函数为奇函数，其图象关于原点对称．6．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a 14＝log a 14，且|log b a |＝－log b a ，则a ，b 满足的关系式是 ( )A ．a >1，且b >1B ．a >1，且0<b <1C ．b >1，且0<a <1D ．0<a <1，且0<b <1答案：C 二、填空题7．函数f (x )＝lg(x －1)＋5－x 的定义域为________．答案：(1,5] 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，5－x ≥0，解得1<x ≤5.8．设函数f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·lg x ＋1，则f (10)＝________. 答案：1 解析：令x ＝10，得f (10)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＋1，①令x ＝110，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝f (10)·(－1)＋1，② 由①②，得f (10)＝1.9．若定义在区间(－1,0)内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1)满足f (x )＞0，则a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：当－1＜x ＜0时，0＜x ＋1＜1， 又f (x )＝log 2a (x ＋1)＞0， ∴0＜2a ＜1，则0＜a ＜12.10．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数．若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是________．答案：(－1,0)∪(1，＋∞) 解析：由已知条件可得函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，>0，0，x ＝0，－－x ，x <0，其图象如图所示．由函数图象可得，不等式f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)． 三、解答题11．求下列函数的值域： (1)y ＝log 2(x 2＋4)； (2)y ＝log 12(3＋2x －x 2)．解：(1)y ＝log 2(x 2＋4)的定义域为R ， ∵x 2＋4≥4，∴log 2(x 2＋4)≥log 24＝2. ∴y ＝log 2(x 2＋4)的值域为{y |y ≥2}．(2)设u ＝3＋2x －x 2，则u ＝－(x －1)2＋4≤4. ∵u ＞0，∴0＜u ≤4，又∵y ＝log 12 u 在(0，＋∞)上是减函数，∴log 12 u ≥log 124＝－2，∴y ＝log 12 (3＋2x －x 2)的值域为{y |y ≥－2}． 12．已知f (x )＝log a 1＋x1－x (a >0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性并证明．解：(1)∵函数f (x )＝log a 1＋x 1－x (a ＞0，且a ≠1)，可得1＋x1－x ＞0，即(1＋x )(1－x )＞0，解得－1＜x ＜1，故函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)f (x )为奇函数．证明如下：由于函数f (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称， 且f (－x )＝log a 1－x 1＋x ＝－log a 1＋x1－x ＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数．13．作出函数y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象． 解：第一步：作出y ＝log 2x 的图象，如图①.第二步：将y ＝log 2x 的图象沿x 轴向左平移1个单位得到y ＝log 2(x ＋1)的图象，如图②.第三步：将log 2(x ＋1)的图象在x 轴下方的图象以x 轴为对称轴翻折到x 轴的上方得y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图③.第四步：将y ＝|log 2(x ＋1)|的图象沿y 轴方向向上平移2个单位，得到y ＝|log 2(x ＋1)|＋2的图象，如图④.尖子生题库14．已知函数f (x )＝ln(ax 2＋2x ＋1)，g (x )＝log 12(x 2－4x －5)．(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为R ，则实数a 的取值范围； (3)求函数g (x )的递减区间．解：(1)若f (x )的定义域为R ，则y ＝ax 2＋2x ＋1的图象恒在x 轴的上方，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0，∴a >1.(2)若f (x )的值域为R ，则y ＝ax 2＋2x ＋1的图象一定要与x 轴有交点，∴a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，∴0≤a ≤1.(3)函数g (x )的定义域为{x ︱x <－1或x >5}，由复合函数单调性的“同增异减”法则，可知函数g (x )的单调递减区间为(5，＋∞)．。

第二章 基本初等函数 单元测试卷（B ）时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．有下列各式：①na n＝a ；②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1；③3x 4＋y 3＝x 43 ＋y ；④3－5＝6(－5)2.其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．32．三个数log 215，20.1,20.2的大小关系是( ) A ．log 215<20.1<20.2B ．log 215<20.2<20.1C ．20.1<20.2<log 215D ．20.1<log 215<20.23．(2016·山东理，2)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)4．已知2x＝3y，则xy ＝( )A.lg2lg3B.lg3lg2 C ．lg 23 D ．lg 325．函数f (x )＝x ln|x |的图象大致是( )6．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则( ) A ．f (x )与g (x )均为偶函数 B ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数 C ．f (x )与g (x )均为奇函数 D ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数7．函数y ＝(m 2＋2m －2)x 1m -1 是幂函数，则m ＝( ) A ．1 B ．－3 C ．－3或1D ．28．下列各函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝2－x2B ．y ＝1－2xC ．y ＝x 2＋x ＋1D ．y ＝31x +19．已知函数：①y ＝2x；②y ＝log 2x ；③y ＝x －1；④y ＝x 12 ；则下列函数图象(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是( )A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①②10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x ) (x <1)2x －1 (x ≥1)，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．1211．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(a －2)x ，x ≥2，(12)x－1，x ＜2满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，138] C ．(－∞，2]D ．[138，2)12．(2016·汉中高一检测)如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M (1,1)，N (1,2)，P (2,1)，Q (2,2)，G (2，12)中，可以是“好点”的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知a 12 ＝49(a ＞0)，则log 23a ＝________.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，则f (f (14))＝________. 15．若函数y ＝log 12 (3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________.16．(2016·邵阳高一检测)如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log 22 x ，y ＝x 12 ，y ＝(22)x 的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(本小题满分10分)计算：10.25＋(127)－13 ＋(lg3)2－lg9＋1－lg 13＋810.5log 35.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(12)ax，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2). (1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x －2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，(a ＞0，a ≠1). (1)设a ＝2，函数f (x )的定义域为[3,63]，求f (x )的最值； (2)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值范围．20．(本小题满分12分)求使不等式(1a )x 2－8>a －2x 成立的x 的集合(其中a >0，且a ≠1).21．(本小题满分12分)(2016·雅安高一检测)已知函数f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)， (1)求g (x )的解析式及定义域； (2)求函数g (x )的最大值和最小值．22．(本小题满分12分)若函数f (x )满足f (log a x )＝a a 2－1·(x －1x )(其中a ＞0且a ≠1).(1)求函数f (x )的解析式，并判断其奇偶性和单调性；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )－4的值恒为负数，求a 的取值范围．第二章 基本初等函数 单元综合测试二 答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分) 1．[答案] B [解析] ①na n＝⎩⎪⎨⎪⎧|a |，n 为偶数，a ，n 为奇数(n >1，且n ∈N *)，故①不正确．②a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34>0，所以(a 2－a ＋1)0＝1成立．③3x 4＋y 3无法化简．④3－5<0，6(－5)2>0，故不相等．因此选B. 2．[答案] A[解析] ∵log 215<0,0<20.1<20.2， ∴log 215<20.1<20.2，选A. 3．[答案] C[解析] A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y >0}．B ＝{x |x 2－1<0}＝{x |－1<x <1}，∴A ∪B ＝{x |x >0}∪{x |－1<x <1}＝{x |x >－1}，故选C. 4．[答案] B[解析] 由2x ＝3y 得lg2x ＝lg3y ，∴x lg2＝y lg3， ∴x y ＝lg3lg2. 5．[答案] A[解析] 由f (－x )＝－x ln|－x |＝－x ln|x |＝－f (x )知，函数f (x )是奇函数，故排除C ，D ，又f (1e )＝－1e <0，从而排除B ，故选A.6．[答案] D[解析]因为f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，所以f(x)是偶函数，g(x)为奇函数，故选D.7．[答案] B[解析]因为函数y＝(m2＋2m－2)x 1m-1是幂函数，所以m2＋2m－2＝1且m≠1，解得m＝－3.8．[答案] A[解析]A，y＝2－x2＝(22)x的值域为(0，＋∞)．B，因为1－2x≥0，所以2x≤1，x≤0，y＝1－2x的定义域是(－∞，0]，所以0＜2x≤1，所以0≤1－2x＜1，所以y＝1－2x的值域是[0,1)．C，y＝x2＋x＋1＝(x＋12)2＋34的值域是[34，＋∞)，D，因为1x＋1∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以y＝31x+1的值域是(0,1)∪(1，＋∞)．9．[答案] D[解析]根据幂函数、指数函数、对数函数的图象可知选D. 10．[答案] C[解析]f(－2)＝1＋log2(2－(－2))＝3，f(log212)＝2log212－1＝2log26＝6，∴f(－2)＋f(log212)＝9，故选C.11．[答案] B[解析]由题意知函数f(x)是R上的减函数，于是有⎩⎨⎧a －2＜0，(a －2)×2≤(12)2－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是(－∞，138]，选B. 12．[答案] C[解析] 设指数函数为y ＝a x (a >0，a ≠1)，显然不过点M 、P ，若设对数函数为y ＝log b x (b >0，b ≠1)，显然不过N 点，选C.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分) 13．[答案] 4[解析] ∵a 12 ＝49(a ＞0)， ∴(a 12)2＝[(23)2]2，即a ＝(23)4， ∴log 23 a ＝log 23 (23)4＝4.14．[答案] 19[解析] ∵14＞0，∴f (14)＝log 214＝－2. 则f (14)＜0，∴f (f (14))＝3－2＝19. 15．[答案] (－8，－6][解析] 令g (x )＝3x 2－ax ＋5，其对称轴为直线x ＝a6，依题意，有⎩⎨⎧a 6≤－1，g (－1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－6，a ＞－8.∴a ∈(－8，－6]． 16．[答案] (12，14)[解析] 由图象可知，点A (x A,2)在函数y ＝log 22 x 的图象上，所以2＝log 22 x A ，x A ＝(22)2＝12. 点B (x B,2)在函数y ＝x 12 的图象上， 所以2＝x B 12 ，x B ＝4.点C (4，y C )在函数y ＝(22)x的图象上， 所以y C ＝(22)4＝14. 又x D ＝x A ＝12，y D ＝y C ＝14， 所以点D 的坐标为(12，14)．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．[解析] 原式＝10.5＋(3－1)－13 ＋(lg3－1)2－lg3－1＋(34)0.5log 35 ＝2＋3＋(1－lg3)＋lg3＋32log 35 ＝6＋3log 325＝6＋25＝31.18．[解析] (1)由已知得(12)－a＝2，解得a ＝1. (2)由(1)知f (x )＝(12)x，又g (x )＝f (x )，则4－x－2＝(12)x ，即(14)x －(12)x－2＝0，即[(12)x ]2－(12)x－2＝0，令(12)x ＝t ，则t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0， 又t >0，故t ＝2，即(12)x ＝2，解得x ＝－1. 19．[解析] (1)当a ＝2时，f (x )＝log 2(1＋x )， 在[3,63]上为增函数，因此当x ＝3时，f (x )最小值为2. 当x ＝63时f (x )最大值为6. (2)f (x )－g (x )＞0即f (x )＞g (x ) 当a ＞1时，log a (1＋x )＞log a (1－x ) 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x ＞1－x 1＋x ＞01－x ＞0∴0＜x ＜1当0＜a ＜1时，log a (1＋x )＞log a (1－x ) 满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜1－x 1＋x ＞01－x ＞0∴－1<x ＜0综上a ＞1时，解集为{x |0＜x ＜1} 0＜a ＜1时解集为{x |－1<x ＜0}． 20．[解析] ∵(1a )x 2－8＝a 8－x 2， ∴原不等式化为a 8－x 2>a －2x . 当a >1时，函数y ＝a x 是增函数， ∴8－x 2>－2x ，解得－2<x <4； 当0<a <1时，函数y ＝a x 是减函数，∴8－x2<－2x，解得x<－2或x>4.故当a>1时，x的集合是{x|－2<x<4}；当0<a<1时，x的集合是{x|x<－2或x>4}．21．[解析](1)∵f(x)＝2x，∴g(x)＝f(2x)－f(x＋2)＝22x－2x＋2.因为f(x)的定义域是[0,3]，所以0≤2x≤3,0≤x＋2≤3，解得0≤x≤1.于是g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}．(2)设g(x)＝(2x)2－4×2x＝(2x－2)2－4.∵x∈[0,1]，∴2x∈[1,2]，∴当2x＝2，即x＝1时，g(x)取得最小值－4；当2x＝1，即x＝0时，g(x)取得最大值－3.22．[解析](1)令log a x＝t(t∈R)，则x＝a t，∴f(t)＝aa2－1(a t－a－t)．∴f(x)＝aa2－1(a x－a－x)(x∈R)．∵f(－x)＝aa2－1(a－x－a x)＝－aa2－1(a x－a－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．当a＞1时，y＝a x为增函数，y＝－a－x为增函数，且a2a2－1＞0，∴f(x)为增函数．当0＜a＜1时，y＝a x为减函数，y＝－a－x为减函数，且a2a2－1＜0，∴f(x)为增函数．∴f(x)在R上为增函数．(2)∵f(x)是R上的增函数，∴y＝f(x)－4也是R上的增函数．由x＜2，得f(x)＜f(2)，要使f(x)－4在(－∞，2)上恒为负数，只需f(2)－4≤0，即aa2－1(a2－a－2)≤4.∴aa2－1(a4－1a2)≤4，∴a2＋1≤4a，∴a2－4a＋1≤0，∴2－3≤a≤2＋ 3.又a≠1，∴a的取值范围为[2－3，1)∪(1,2＋3]．。

课时23 对数的运算(2)换底公式的应用a b c abc A ．1 B ．2 C ．3 D ．5答案 A解析 ∵log a x ＝1log x a ＝2，∴log x a ＝12. 同理log x c ＝16，log x b ＝13. ∴log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c＝1. 2．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________.答案 9解析 由换底公式，得lg 4lg 3×lg 8lg 4×lg m lg 8＝lg m lg 3＝log 416＝2，∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，∴m ＝9.3．设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值． 解 由已知分别求出x 和y ，∵3x ＝36,4y＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得： x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364， ∴1x ＝log 363，1y＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝log 3636＝1. 4．计算：(1)log 89×log 2732；(2)log 927；(3)log 21125×log 3132×log 513； (4)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)．解 (1)log 89×log 2732＝lg 9lg 8×lg 32lg 27＝lg 32lg 23×lg 25lg 33＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3＝109； (2)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32； (3)log 21125×log 3132×log 513＝log 25－3×log 32－5×log 53－1＝－3log 25×(－5log 32)×(－log 53)＝－15×lg 5lg 2×lg 2lg 3×lg 3lg 5＝－15； (4)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3 ＝12＋14＋13＋16＝54.运用换底公式不熟练致误23A.14 B.12C ．2D ．4 易错分析 本题易在使用对数的运算公式时，尤其换底公式的使用过程中发生错误． 答案 D正解 log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝2×2＝4.一、选择题1.log 29log 23＝( )A.12 B ．2 C.32 D.92答案 B解析 由换底公式log 39＝log 29log 23.∵log 39＝2，∴log 29log 23＝2.2．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝() A ．a ＋b B ．a －b C ．ab D.ab答案 C解析 log 27＝log 23×log 37＝ab .3．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( ) A.10 B ．10 C ．20 D ．100答案 A解析 ∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m .1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10.又∵m >0，∴m ＝10，选A.4.1log 1419＋1log 1513等于( )A ．lg 3B ．－lg 3C.1lg 3 D ．－1lg 3答案 C解析 原式＝log 1914＋log 1315＝log 1312＋log 1315＝log 13110＝log 310＝1lg 3.选C. 5．已知2a ＝3b ＝k (k ≠1)，且2a ＋b ＝ab ，则实数k 的值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18答案 D解析 a ＝log 2k ，b ＝log 3k ，由2a ＋b ＝ab 得2log 2k ＋log 3k ＝log 2k ·log 3k ，即2lg k lg 2＋lg k lg 3＝k2lg 2lg 3，得2lg 3＋lg 2＝lg k ，即k ＝18.二、填空题6．方程log 3(x －1)＝log 9(x ＋5)的解是________．答案 4解析 由换底公式得log 9(x ＋5)＝12log 3(x ＋5)．∴原方程可化为2log 3(x －1)＝log 3(x ＋5)，即log 3(x －1)2＝log 3(x ＋5)，∴(x －1)2＝x ＋5.∴x 2－3x －4＝0，解得x ＝4或x ＝－1.又∵⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，x ＋5>0，∴x >1，故x ＝4.7．若log a b ·log 3a ＝4，则b 的值为________．答案 81解析 log a b ·log 3a ＝4，即log 3a ·log a b ＝4，即log 3b ＝4，∴34＝b ，∴b ＝81.8．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y ＝1，则A 的值是________．答案 98解析 ∵2x ＝72y ＝A ，∴x ＝log 2A,2y ＝log 7A .∴1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A＝log A 2＋2log A 7＝log A 2＋log A 49＝log A 98＝1.∴A ＝98.三、解答题9．计算下列各式的值：(1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 5－lg 4；(2)lg 5(lg 8＋lg 1000)＋(lg 23)2＋lg 16＋lg 0.06. 解 (1)原式＝1－3lg 2lg 5－2lg 2＝1－3lg 21－3lg 2＝1； (2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2＝3lg 5×lg 2＋3lg 5＋3lg 22－2＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3(lg 2＋lg 5)－2＝3－2＝1.10．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z,2x ＝py .(1)求p ；(2)求证：1z －1x ＝12y. 解 (1)设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k >0，且k ≠1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k .由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3k log 34. ∵log 3k ≠0，∴p ＝2log 34.(2)证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12y ，∴1z －1x ＝12y.►2.2.2 对数函数及其性质。

课时21 对数对数的意义①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A ．①与② B ．②与④ C ．② D ．①②③④ 答案 C解析 对于①，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 无意义，因此①不正确；对于②，对数值相等，底数相同，因此，真数相等，所以②正确；对于③，有M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但不一定有M ＝N ，③错误；对于④，当M ＝N ＝0时，log a M 2与log a N 2无意义，所以④错误，由以上可知，只有②正确．2．求下列各式中x 的取值范围： (1)lg (x －10)； (2)log (x －1)(x ＋2)； (3)log (x ＋1)(x －1)2.解 (1)由题意有x －10>0，即x >10，即为所求； (2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，x －1>0且x －1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x >1且x ≠2，∴x >1且x ≠2；(3)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x ＋1>0且x ＋1≠1，解得x >－1且x ≠0，x ≠1.3答案507解析 因为m ＝log 37，所以3m ＝7，则3m ＋3－m ＝7＋7－1＝507.4．将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式： (1)35＝243；(2)2－5＝132；(3)log 1381＝－4；(4)log 2128＝7.解 (1)log 3243＝5；(2)log 2132＝－5；(3)13－4＝81；(4)27＝128.对数性质的应用(1)log 8x ＝－23；(2)log x 27＝34；(3)log 3(2x ＋2)＝1.解 (1)由log 8x ＝－23，得x ＝8－23＝(23)－23＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝2－2＝14；(2)由log x 27＝34，得x 34＝27.∴x ＝2743＝(33)43＝34＝81；(3)由log 3(2x ＋2)＝1，得2x ＋2＝3， 所以x ＝12.对数恒等式的应用(2)计算23＋log23＋35－log39.解(1)令t＝10x，则x＝lg t，∴f(t)＝lg t，即f(x)＝lg x，∴f(3)＝lg 3；(2)23＋log23＋35－log39＝23·2log23＋353log39＝23×3＋359＝24＋27＝51.一、选择题1．下列四个命题，其中正确的是( )①对数的真数是非负数；②若a>0且a≠1，则log a1＝0；③若a>0且a≠1，则log a a＝1；④若a>0且a≠1，则a log a2＝2.A．①②③ B．②③④C．①③ D．①②③④答案 B解析①对数的真数为正数，①错误；②∵a0＝1，∴log a1＝0，②正确；③∵a1＝a，∴log a a＝1，③正确；④由对数恒等式a log a N＝N，得a log a2＝2，④正确．2．2x＝3化为对数式是( )A．x＝log32 B．x＝log23C．2＝log3x D．2＝log x3答案 B解析由2x＝3得x＝log23，选B.3．化简：0.7log 0.78等于( ) A ．2 2 B ．8 C.18 D ．2答案 B解析 由对数恒等式a log aN ＝N ，得0.7log 0.78＝8.∴选B. 4．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝( ) A ．3 B ．±3 C．9 D ．2 答案 A解析 ∵log 2(log x 9)＝1，∴log x 9＝2，即x 2＝9， 又∵x >0，∴x ＝3.5．若log a 3＝m ，log a 2＝n ，则a m ＋2n的值是( )A ．15B ．75C ．12D ．18 答案 C解析 由log a 3＝m ，得a m＝3，由log a 2＝n ，得a n＝2， ∴am ＋2n＝a m ·(a n )2＝3×22＝12.二、填空题6．已知log 2x ＝2，则x －12＝________.答案 12解析 ∵log 2x ＝2，∴x ＝22＝4， 4－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12.7．若lg (ln x )＝0，则x ＝________. 答案 e解析 ∵lg (ln x )＝0，∴ln x ＝1，∴x ＝e.8．若集合{x ，xy ，lg xy }＝{0，|x |，y }，则log 8(x 2＋y 2)＝________. 答案 13解析 ∵x ≠0，y ≠0，∴lg xy ＝0，∴xy ＝1， 则{x,1,0}＝{0，|x |，y }，∴x ＝y ＝－1， log 8 (x 2＋y 2)＝log 82＝log 8813＝13.三、解答题9．(1)已知log 189＝a ，log 1854＝b ，求182a －b的值；(2)已知log x 27＝31＋log 32，求x 的值．解 (1)18a ＝9,18b＝54，182a －b＝a218b＝9254＝8154＝32； (2)∵log x 27＝31×3log 32＝31×2＝6， ∴x 6＝27，∴x ＝2716＝(33)16＝ 3.10．求下列各式中x 的值：(1)log 4(log 3x )＝0；(2)lg (log 2x )＝1； (3)log 2[log 12(log 2x )]＝0.解 (1)∵log 4(log 3x )＝0，∴log 3x ＝40＝1， ∴x ＝31＝3；(2)∵lg (log 2x )＝1，∴log 2x ＝10，∴x ＝210＝1024；(3)由log 2[log 12(log 2x )]＝0，得log 12(log 2x )＝1，log 2x ＝12，x ＝ 2.。

高中数学基本初等函数课后练习题（含答案）人教必修一第二章基本初等函数课后练习题（含答案）2．1 指数函数2．1.1 根式与分数指数幂1．27的平方根与立方根分别是()A．3 3，3 B．3 3，3C．3 3，3 D．3 3，32. 的运算结果是()A．2 B．－2C．2 D．不确定3．若a2－2a＋1＝a－1，则实数a的取值范围是() A．[1，＋) B．(－，1)C．(1，＋) D．(－，1]4．下列式子中，正确的是()A. ＝2B. ＝－4C. ＝－3D．＝25．下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是()A．－x＝ (x0)B. ＝ (y0)C．＝ (x0)D．＝－ (x0)6．设a，bR，下列各式总能成立的是()A．( － )3＝a－bB. ＝a2＋b2C. －＝a－bD. ＝a＋b7．计算：＋ (a0，n1，nN*)．8．化简：6＋4 2＋6－4 2＝__________.9．化简：＋＋＝()A．1 B．－1 C．3 D．－310．已知a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a＞b＞0，求a－ba＋b的值．2.1.2 指数幂的运算1．化简的结果是()A.35B.53C．3 D．52．计算[(－2)2] 的值为()A.2 B．－2C.22 D．－223．若(1－2x) 有意义，则x的取值范围是()A．xR B．xR，且x12C．x D．x124．设a0，计算( )2( )2的结果是()A．a8 B．a4C．a2 D．a5．的值为()A.103 B．3C．－13 D．66．计算：(－1.8)0＋(1.5)－2 ＋＝________.7．化简： .8．化简：ab3 ba3 a2b＝__________.9．若x0，则(2x ＋3 )(2x －3 )－4x (x－x )＝__________. 10．已知f(x)＝ex－e－x，g(x)＝ex＋e－x(e＝2.718…)．(1)求[f(x)]2－[g(x)]2的值；(2)设f(x)f(y)＝4，g(x)g(y)＝8，求gx＋ygx－y的值．2.1.3 指数函数及其图象1．下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是()A．y＝(－4)x B．y＝x(1)C．y＝－4x D．y＝ax＋2(a0，且a1)2．y＝2x＋2－x的奇偶性为()A．奇函数B．偶函数C．既是偶函数又是奇函数D．既不是奇函数也不是偶函数3．函数f(x)＝1－2x的定义域是()A．(－，0] B．[0，＋)C．(－，0) D．(－，＋)4．已知0＜a＜1，b＜－1，则函数f(x)＝ax＋b的图象不经过()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．如图K21所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分所表示的集合．若x，yR，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝3x(x0)}，则A#B为()图K21A．{x|02}B．{x|12}C．{x|01或x2}D．{x|01或x2}6．函数y＝a|x|(a1)的图象是()A B C D7．求函数y＝16－4x的值域．8．已知f(x)是偶函数，且当x0时，f(x)＝10x，则当x0时，f(x)＝()A．10x B．10－xC．－10x D．－10－x9．对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2(x1x2)，有如下结论：①f(x1＋x2)＝f(x1)f(x2)；②f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)；③fx1－fx2x1－x20；④fx1－1x10)；⑤f(－x1)＝1fx1.当f(x)＝12x时，上述结论中，正确结论的序号是____________．10．(1)当x＞0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，求实数a的取值范围；(2)对于任意实数a，函数y＝ax－3＋3的图象恒过哪一点？2.1.4 指数函数的性质及其应用1.13 ，34，13－2的大小关系是()A.13 13－2B.13 －132C.13－234D.13－2132．若122a＋1123－2a，则实数a的取值范围为() A．(1，＋) B.12，＋C．(－，1) D.－，123．下列选项中，函数y＝|2x－2|的图象是()4．函数y＝ax在[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则函数y＝3ax－1在[0,1]上的最大值为()A．6 B．1 C．3 D.325．(2019年四川泸州二模)已知在同一直角坐标系中，指数函数y＝ax和y＝bx的图象如图K22，则下列关系中正确的是()图K22A．a＜b＜1 B．b＜a＜1C．a＞b＞1 D．b＞a＞16．下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋)上单调递增的函数是()A．y＝x3 B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|7．已知函数f(x)＝12xx4，fx＋1 x＜4，求f(3)的值．8．设函数f(x)＝2－x， x－，1，x2，x[1，＋.若f(x)4，则x的取值范围是________________．9．函数f(x)＝的值域为__________．10．已知f(x)＝10x－10－x10x＋10－x.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)证明f(x)是定义域内的增函数；(3)求f(x)的值域．2.2 对数函数2．2.1 对数与对数运算1．下列各组指数式与对数式互化，不正确的是()A．23＝8与log28＝3B．＝13与log2713＝－13C．(－2)5＝－32与log－2(－32)＝5D．100＝1与lg1＝02．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，若f(a)＝1，则a＝() A．0 B．1C．2 D．33．以下四个命题：①若logx3＝3，则x＝9；②若log4x＝12，则x＝2；③若＝0，则x＝3；④若＝－3，则x＝125.其中是真命题的个数是()A．1个 B．2个C．3个 D．4个4．方程＝14的解是()A．x＝19 B．x＝33C．x＝3 D．x＝95．若f(ex)＝x，则f(e)＝()A．1 B．eeC．2e D．06．设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若PQ＝{0}，则PQ ＝()A．{3,0} B．{3,0,1}C．{3,0,2} D．{3,0,1,2}7．求下列各式中x的取值范围：(1)log(x－1)(x＋2)；(2)log(x＋3)(x＋3)．8．设f(x)＝lgx，x0，10x，x0，则f[f(－2)]＝__________. 9．已知＝49(a0) ，则＝__________.10．(1)若f(log2x)＝x，求f12的值；(2)若log2[log3(log4x)]＝0，log3[log4(log2y)]＝0，求x＋y的值．2.2.2 对数的性质及其应用1．计算log23log32的结果为()A．1 B．－1C．2 D．－22.(2019年陕西)设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()A．logablogcb＝logcaB．logablogca＝logcbC．logabc＝logablogacD．loga(b＋c)＝logab＋logac3．(2019年四川泸州一模)2lg2－lg125的值为()A．1 B．2C．3 D．44．lg12.5－lg58＋lg0.5＝()A．－1 B．1C．2 D．－25．若log513log36log6x＝2，则x＝()A．9 B.19C．25 D.1256．设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝()A.10 B．10C．20 D．1007．计算：lg2lg52＋lg0.2lg40.8．已知lg2＝a，lg3＝b，用a，b表示log1245＝______________.9．已知log83＝p，log35＝q，以含p，q的式子表示lg2. 10．已知lga和lgb是关于x的方程x2－x＋m＝0的两个根，而关于x的方程x2－(lga)x－(1＋lga)＝0有两个相等的实根．求实数a，b和m的值．2.2.3 对数函数及其性质(1)1．若log2a＜0，12b＞1，则()A．a＞1，b＞0 B．a＞1，b＜0C．0＜a＜1, b＞0 D．0＜a＜1, b＜02．(2019年广东揭阳一模)已知集合A＝{x|y＝lg(x＋3)}，B＝{x|x2}，则下列结论正确的是()A．－3A B．3BC．AB＝B D．AB＝B3．函数y＝log2x与y＝log x的图象关于()A．x轴对称 B．y轴对称B．原点对称 D．直线y＝x对称4．函数y＝1log0.54x－3的定义域为()A.34，1B.34，＋C．(1，＋)D.34，1(1，＋)5．若函数f(x)＝loga(x＋1)(a0，a1)的定义域和值域都是[0,1]，则a＝()A.13B.2C.22 D．26．已知a0，且a1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象只能是图中的()7．若函数y＝loga(x＋b)(a0，a1)的图象过点(－1,0)和(0,1)，求a，b的值．8．已知A＝{x|2}，定义在A上的函数y＝logax(a＞0，且a1)的最大值比最小值大1，则底数a的值为()A.2B.2C．－2 D.2或29．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则()A．ab B．baC．ac D．bc10．已知函数f(x)＝lnkx－1x－1(k0)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)在区间[10，＋)上是增函数，求实数k的取值范围．2.2.4 对数函数及其性质(2)1．已知函数y＝ax与y＝logax(a＞0，且a1)，下列说法不正确的是()A．两者的图象都关于直线y＝x对称B．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域C．两函数在各自的定义域内的增减性相同D．y＝ax的图象经过平移可得到y＝logax的图象2．若函数y＝f(x)的反函数图象过点(1,5)，则函数y＝f(x)的图象必过点()A．(1,1) B．(1,5)C．(5,1) D．(5,5)3．点(4,16)在函数y＝logax的反函数的图象上，则a＝() A．2 B．4C．8 D．164．已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则() A．ac B．abC．bc D．cb5．若0y1，则()A．3y B．logx3logy3C．log4xlog4y D.14x14y6．设loga23＜1，则实数a的取值范围是()A．0＜a＜23 B.23＜a＜1C．0＜a＜23或a＞1 D．a＞237．在下面函数中，与函数f(x)＝lg1＋x1－x有相同奇偶性的是()A．y＝x3＋1B．y＝e0－1e0＋1C．y＝|2x＋1|＋|2x－1|D．y＝x＋1x8．函数y＝ln(4＋3x－x2)的单调递增区间是___________．9．对于函数f(x)定义域中的任意x1，x2(x1x2)，有如下结论：①f(x1＋x2)＝f(x1)② f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)；③fx1－fx2x1－x20；④fx1＋x22fx1＋fx22.当f(x)＝lgx时，上述结论中，正确结论的序号是____________．10．设f(x)＝log 1－axx－1为奇函数，a为常数，(1)求a的值；(2)证明f(x)在(1，＋)上单调递增；(3)若对于[3,4]上的每一个x值，不等式f(x)＞12x＋m恒成立，求实数m的取值范围．2.2.5 对数函数及其性质(3)1．设a＝log 2，b＝log 3，c＝120.3，则()A．ac B．abC．ba D．bc2．将函数y＝3x－2的图象向左平移2个单位，再将所得图象关于直线y＝x对称后，所得图象的函数解析式为() A．y＝4＋log3x B．y＝log3(x－4)C．y＝log3x D．y＝2＋log3x3．方程log2x＝x2－2的实根有()A．3个 B．2个C．1个 D．0个4．设函数f(x)＝loga(x＋b)(a0，a1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a＋b＝()A．3 B．4C．5 D．65．如图K21，给出函数y＝ax，y＝logax，y＝log(a＋1)x，y＝(a－1)x2的图象，则与函数y＝ax，y＝logax，y＝log(a ＋1)x，y＝(a－1)x2依次对应的图象是()图K21A．①②③④ B．①③②④C．②③①④ D．①④③②6．函数y＝e|lnx|－|x－1|的图象大致是()7．已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a0，a1)的图象如图K22，则a，b满足的关系是()图K22A．0a－11B．0a－11C．0b－11D．0a－1b－118．下列函数的图象中，经过平移或翻折后不能与函数y＝log2x的图象重合的函数是()A．y＝2x B．y＝log xC．y＝4x2 D．y＝log21x＋19．若函数f(x)＝loga(x＋x2＋2a2)是奇函数，求a的值．10．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(01)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)求方程f(x)＝0的解；(3)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．2.3 幂函数1．所有幂函数的图象都经过的定点的坐标是()A．(0,0) B．(0,1)C．(1,1) D．(－1，－1)2．下列说法正确的是()A．y＝x4是幂函数，也是偶函数B．y＝－x3是幂函数，也是减函数C．y＝x是增函数，也是偶函数D．y＝x0不是偶函数3．已知幂函数f(x)的图象经过点2，22，则f(4)的值为() A．16 B.116C.12 D．24．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋)上单调递减的函数为()A．y＝x－2 B．y＝x－1C．y＝x2 D．y＝x5．当x(1，＋)时，下列函数的图象全在直线y＝x下方的偶函数是()A．y＝x B．y＝x－2C．y＝x2 D．y＝x－16．设a＝0.7 ，b＝0.8 ，c＝log30.7，则()A．ca B．cbC．ac D．bc7．若幂函数y＝(m2－3m＋3)x 的图象不经过坐标原点，求实数m的取值范围．8．给出函数的一组解析式如下：①y＝；②y＝；③y＝；④y＝；⑤y＝；⑥y＝；⑦y＝；⑧y＝x3；⑨y＝x－3；⑩y＝ .回答下列问题：(1)图象关于y轴对称的函数有__________；(2)图象关于原点对称的函数有__________．9．请把相应的幂函数图象代号填入表格．①y＝；②y＝x－2；③y＝；④y＝x－1；⑤y＝；⑥y＝；⑦y＝；⑧y＝ .函数代号① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧图象代号10．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，当m为何值时，f(x)是：(1)幂函数；(2)幂函数，且是(0，＋)上的增函数；(3)正比例函数；(4)反比例函数；(5)二次函数．第二章基本初等函数(Ⅰ)2．1 指数函数2．1.1 根式与分数指数幂1．B 2.A 3.A4．B 解析：A错，＝2；C错，＝|－3|＝3；D错，( )5＝－2.5．C 解析：A错，－x＝－x (x0)；B错，＝(－y) (y0)；D错，x ＝ (x0)．6．B7．解：当n为奇数时，原式＝a－b＋a＋b＝2a；当n为偶数时，原式＝b－a－a－b＝－2a.8．4 解析：原式＝22＋222＋22＋22－222＋22＝2＋22＋2－22＝2＋2＋2－2＝4.9．B 解析：∵3.1410，＝－3.143.14－＝－1，＝10－－10＝－1，而＝1.故原式＝－1＋1－1＝－1.10．解：∵a，b是方程x2－6x＋4＝0的两根，a＋b＝6，ab＝4.∵a＞b＞0，a－ba＋b2＝a＋b2－4aba＋b＋2ab＝2019＝2.a－ba＋b＝2.2．1.2 指数幂的运算1．B2．C 解析：[(－2)2] ＝(2) ＝(2)－1＝22.3．D4．C 解析：原式＝＝a2.5．A 解析：原式＝310 ＝103.6．29 解析：原式＝1＋23232 ＋＝1＋1＋27＝29. 7．解：原式＝＝＝ .8. 解析：原式＝ab3 ba3 a2b＝a b ba3 a2b ＝a b b a a2b＝a b a b ＝a b＝a0b ＝ .9．－23 解析：(2x ＋3 )(2x －3 )－4x (x－x )＝4x －33－4x ＋4＝－23.10．解：(1)[f(x)]2－[g(x)]2＝[f(x)＋g(x)][f(x)－g(x)]＝2ex(－2e－x)＝－4e0＝－4.(2)f(x)f(y)＝(ex－e－x)(ey－e－y)＝ex＋y＋e－(x＋y)－ex－y－e－(x－y)＝g(x＋y)－g(x－y)＝4，①同法可得g(x)g(y)＝g(x＋y)＋g(x－y)＝8. ②由①②解方程组gx＋y－gx－y＝4，gx＋y＋gx－y＝8.解得g(x＋y)＝6，g(x－y)＝2，gx＋ygx－y＝62＝3.2．1.3 指数函数及其图象1．B 2.B 3.A4．A 解析：g(x)＝ax的图象经过一、二象限，f(x)＝ax＋b是将g(x)＝ax的图象向下平移|b|(b＜－1)个单位而得，因而图象不经过第一象限．5．D 解析：A＝{x|y＝2x－x2}＝{x|2x－x20}＝{x|02}，B ＝{y|y＝3x(x0)}＝{y|y1}，则AB＝{x|x0}，AB＝{x|12}，根据新运算，得A#B＝AB(AB)＝{x|01或x2}．故选D. 6．B 解析：函数关于y轴对称．7．解：∵4x0，016－4x16，016－4x4.8．B 解析：设x0，则－x0，f(－x)＝10－x，∵f(x)为偶函数．f(x)＝f(－x)＝10－x.9．①③④⑤解析：因为f(x)＝12x，f(x1＋x2)＝＝＝f(x1)f(x2)，所以①成立，②不成立；显然函数f(x)＝12x单调递减，即fx1－fx2x1－x20，故③成立；当x10时，f(x1)1，fx1－1x10，当x10时，0f(x1)1，fx1－1x10，故④成立；f(－x1)＝12 ＝＝1fx1，故⑤成立．10．解：(1)∵当x＞0时，f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，a2－1＞1.a2＞2.a＞2或a＜－2.(2)∵函数y＝ax－3的图象恒过定点(3,1)，函数y＝ax－3＋3的图象恒过定点(3,4)．2．1.4 指数函数的性质及其应用1．A 2.B3．B 解析：由y＝|2x－2|＝2x－2， x1，－2x＋2， x1，分两部分：一部分为y1＝2x－2(x1)，只须将y＝2x的图象沿y轴的负半轴平移2个单位即可，另一部分为y2＝－2x＋2(x1)，只须将y＝2x的图象对称于x轴的图象y＝－2x，然后再沿y轴的正半轴平移2个单位，即可得到y＝－2x＋2的图象．故选B.4．C 解析：由于函数y＝ax在[0,1]上是单调的，因此最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝3ax－1在[0,1]上是单调递增函数，最大值当x ＝1时取到，即为3.5．C 解析：很显然a，b均大于1；且y＝bx函数图象比y ＝ax变化趋势小，故b＜a，综上所述，a＞b＞1.6．B7．解：f(3)＝f(3＋1)＝f(4)＝124＝116.8．(－，－2)(2，＋)9．(0,3] 解析：设y＝13u，u＝x2－2x，∵函数y＝13u是单调减函数，函数y＝f(x)与u＝x2－2x增减性相反．∵u有最小值－1，无最大值，y有最大值13－1＝3，无最小值．又由指数函数值域y0知所求函数的值域为(0,3]．10．(1)解：∵f(x)的定义域是R，且f(－x)＝10－x－10x10－x＋10x＝－f(x)，f(x)是奇函数．(2)证法一：f(x)＝10x－10－x10x＋10－x＝102x－1102x＋1＝1－2102x＋1.令x2＞x1，则f(x2)－f(x1)＝－∵y＝10x为增函数，当x2＞x1时，－＞0.又∵ ＋1＞0, ＋1＞0，故当x2＞x1时，f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)．f(x)是增函数．证法二：考虑复合函数的增减性．由f(x)＝10x－10－x10x＋10－x＝1－2102x＋1.∵y＝10x为增函数，y＝102x＋1为增函数，y＝2102x＋1为减函数，y＝－2102x＋1为增函数，y＝1－2102x＋1为增函数．f(x)＝10x－10－x10x＋10－x在定义域内是增函数．(3)解：令y＝f(x)．由y＝102x－1102x＋1，解得102x＝1＋y1－y.∵102x＞0，1＋y1－y＞0，解得－1＜y＜1.即f(x)的值域为(－1,1)．2．2 对数函数2．2.1 对数与对数运算1．C 2.B 3.B 4.A5．A 解析：令ex＝t，则x＝lnt，f(t)＝lnt.f(e)＝lne ＝1.6．B 解析：log2a＝0，a＝1.从而b＝0，PQ＝{3,0,1}．7．解：(1)由题意知x＋20，x－10，x－11，解得x1，且x2. 故x的取值范围为(1,2)(2，＋)．(2)由题意知x＋30，x＋31，解得x－3，且x－2.故x的取值范围为(－3，－2)(－2，＋)．8．－2 解析：∵x＝－20，f(－2)＝10－2＝11000，f(10－2)＝lg10－2＝－2，即f[f(－2)]＝－2.9．3 解析：(a ) ＝232 a＝233log a＝log 233＝3. 10．解：(1)令log2x＝t，则2t＝x.因为f(log2x)＝x，所以f(t)＝2t.所以f12＝2 ＝2.(2)因为log2[log3(log4x)]＝0，所以log3(log4x)＝1.所以log4x＝3，所以x＝43＝64.又因为log3[log4(log2y)]＝0.所以log4(log2y)＝1.所以log2y＝4.所以y＝24＝16.所以x＋y＝64＋16＝80.2．2.2 对数的性质及其应用1．A 2.B 3.B4．B 解析：方法一：原式＝lg10023－lg1024＋lg12＝lg100－lg23－lg10＋lg24＋lg1－lg2＝lg102－3lg2－1＋4lg2－lg2＝2－1＝1.方法二：原式＝lg12.51258＝lg10＝1.5．D6．A 解析：∵1a＋1b＝logm2＋logm5＝logm10＝2，m2＝10.又∵m0，m＝10.7．解：原式＝lg2lg1022＋lg210lg(2210)＝lg2(1－2lg2)＋(lg2－1)(2lg2＋1)＝lg2－2(lg2)2＋2(lg2)2－2lg2＋lg2－1＝－1.8.2b＋1－a2a＋b 解析：log1245＝lg45lg12＝2lg3＋lg52lg2＋lg3＝2b＋1－a2a＋b.9．解：由log83＝p，得lg3lg8＝p，即lg3＝3lg2p.①由log35＝q，得lg5lg3＝q，即1－lg2＝lg3q.②①代入②中，得1－lg2＝3lg2pq.(3pq＋1)lg2＝1.∵3pq＋10，lg2＝13pq＋1.10．解：∵lga和lgb是关于x的方程x2－x＋m＝0的两个根，lga＋lgb＝1，①lgalgb＝m. ②∵关于x的方程x2－(lga)x－(1＋lga)＝0有两个相等的实根，＝(lga)2＋4(1＋lga)＝0.lga＝－2，即a＝1100.将lga＝－2代入①，得lgb＝3.b＝1000.再将lga＝－2，lgb＝3代入②，得m＝－6.综上所述，a＝1100，b＝1000，m＝－6.2．2.3 对数函数及其性质(1)1．D 解析：由log2a0，得01.由12b1，得b0.故选D. 2．D3．A 解析：y＝log x＝－log2x.4．A 解析：由log0.54x－30，4x－30，解得341.5．D6．B 解析：y＝loga(－x)与y＝logax关于y轴对称．7．a＝2，b＝28．D9．D 解析：∵log45log54log531，(log53)2log54log45.bc.故选D.10．解：(1)由kx－1x－10，得(kx－1)(x－1)0.又∵k0，x－1k(x－1)0.当k＝1时，函数f(x)的定义域为{x|x1}；由01时，函数f(x)的定义域为xx1或x1k，当k1时，函数f(x)的定义域为xx1k或x1.(2)f(x)＝lnkx－1＋k－1x－1＝lnk＋k－1x－1，∵函数f(x)在区间[10，＋)上是增函数，k－10，即k1.又由10k－110－10，得k110.综上所述，实数k的取值范围为1101.2．2.4 对数函数及其性质(2)1．D 2.C 3.A4．B 解析：∵a＝log23.6log22＝1.又∵y＝log4x，x(0，＋)为单调递增函数，log43.2log43.6log44＝1，ba.5．C6．C 解析：由loga23＜1＝logaa，得(1)当0＜a＜1时，由y＝logax是减函数，得0＜a＜23；(2)当a＞1时，由y＝logax是增函数，得a＞23，a＞1.综合(1)(2)，得0＜a＜23或a＞1.7．D 解析：f(x)的定义域为(－1,1)，且对定义域内任意x，f(－x)＝lg1－x1＋x＝lg1＋x1－x－1＝－lg1＋x1－x＝－f(x)；又可以验证f－12f12，因此，f(x)是奇函数但不是偶函数．用同样的方法可有：y＝x3＋1既不是奇函数又不是偶函数；y＝e0－1e0＋1＝0(xR)既是奇函数又是偶函数；y＝|2x＋1|＋|2x－1|是偶函数而不是奇函数，只有y＝12x－1＋12是奇函数但不是偶函数．故选D.8.－1，32 解析：令u(x)＝4＋3x－x2，又∵4＋3x－x2＞0x2－3x－4＜0，解得－1＜x＜4.又u(x)＝－x2＋3x＋4＝－x－322＋254，对称轴为x＝32，开口向下的抛物线；u(x)在－1， 32上是增函数，在32，4上是减函数，又y＝lnu(x)是定义域上的增函数，根据复合函数的单调性，y＝ln(4＋3x－x2)在－1， 32上是增函数．9．②③10．(1)解：∵f(x)是奇函数，f(－x)＝－f(x)．log 1＋ax－x－1＝－log 1－axx－11＋ax－x－1＝x－11－ax＞01－a2x2＝1－x2a＝1.检验a＝1(舍)，a＝－1.(2)证明：任取x1＞x2＞1，x1－1＞x2－1＞0.0＜2x1－1＜2x2－10＜1＋2x1－1＜1＋2x2－10＜x1＋1x1－1＜x2＋1x2－1log x1＋1x1－1＞log x2＋1x2－1，即f(x1)＞f(x2)．f(x)在(1，＋)内单调递增．(3)解：f(x)－12x＞m恒成立．令g(x)＝f(x)－12x.只需g(x)min＞m，用定义可以证g(x)在[3,4]上是增函数，g(x)min＝g(3)＝－98.当m＜－98时原式恒成立．2．2.5 对数函数及其性质(3)1．D 解析：c＝120.30，a＝log 20，b＝log 30，并且log 2log 3，所以cb.2．C 解析：y＝3x－2的图象向左平移2个单位得到y＝3x 的图象，其反函数为y＝log3x.3．B 4.B 5.B 6.D 7.A8．C 解析：将A项函数沿着直线y＝x对折即可得到函数y ＝log2x.将B沿着x轴对折，将D向下平移1个单位再沿x 轴对折即可．9.22 提示：利用奇函数的定义或f(0)＝0.10．解：(1)要使函数有意义，则有1－x0，x＋30，解得－31.所以函数f(x)的定义域为(－3,1)．(2)函数可化为f(x)＝loga(1－x)(x＋3)＝loga(－x2－2x＋3)，由f(x)＝0，得－x2－2x＋3＝1，即x2＋2x－2＝0，x＝－13.∵－13(－3,1)，方程f(x)＝0的解为－13.(3)函数可化为f(x)＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]，∵－31，0－(x＋1)2＋44.∵01，loga[－(x＋1)2＋4]loga4，即f(x)min＝loga4.由loga4＝－4，得a－4＝4.a＝4－14＝22.2．3 幂函数1．C 2.A3．C 解析：设f(x)＝x，则有2＝22，解得＝－12，即f(x)＝x ，所以f(4)＝4 ＝12.4．A 5.B 6.B7．解：m2－3m＋3＝1，m2－m－20，解得m＝1或m＝2. 8．(1)②④(2)①⑤⑧⑨9．依次是E，C，A，G，B，D，H，F10．解：(1)若f(x)是幂函数，故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0.解得m＝2或m＝－1.(2)若f(x)是幂函数且又是(0，＋)上的增函数，则m2－m－1＝1，－5m－30.所以m＝－1.(3)若f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1，解得m＝－45.此时m2－m－10，故m＝－45.(4)若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，则m＝－25，此时m2－m－10，故m＝－25.(5)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，即m＝－1，此时m2－m－10，故m＝－1.综上所述，当m＝2或m＝－1时，f(x)是幂函数；当m＝－1时，f(x)既是幂函数，又是(0，＋)上的增函数；当m＝－45时，f(x)是正比例函数；当m＝－25时，f(x)是反比例函数；当m＝－1时，f(x)是二次函数．。

word1 / 7第二章 基本初等函数（Ⅰ）注意事项：1．答题前，先将自己的某某、某某号填写在试题卷和答题卡上，并将某某号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．()0a a >可以化简为（ ）A ．32aB ．18a C ．34aD ．38a2．三个数21log 5，0.12，0.22的大小关系是（ ）A ．0.10.221log <2<25B ．0.20.121log <225<C ．0.10.2212<2log 5< D ．0.10.2212<log 25< 3．设集合2R {|}x A y y x ∈＝＝，，21{|}0B x x <＝－，则A B ＝（ ）A ．()1,1-B ．()0,1C ．()1-∞，+D ．(0)∞，+4．已知23xy＝，则xy=（ ）A ．lg 2lg 3B ．lg 3lg 2C ．2lg 3D ．3lg 25．函数()ln f x x x ＝的图象大致是（ ）6．若函数()33x x f x －＝＋与()33x x g x －＝－的定义域均为R ，则（ ） A ．()f x 与()g x 均为偶函数 B ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数 C ．()f x 与()g x 均为奇函数 D ．()f x 为偶函数，()g x 为奇函数 7．函数121(22)m y m m x -=+-是幂函数，则m ＝（ ）A ．1B ．3-C ．3-或1D ．28．下列各函数中，值域为(0)∞，+的是（ ） A ．22x y -=B ．12y x =-C ．21y x x =++D ．113x y +=9．已知函数：①2xy ＝；②2log y x ＝；③1y x －＝；④12y x =；则下列函数图象（第一象限部分）从左到右依次与函数序号的对应顺序是（ ）A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①②10．设函数()()211log 2121x x x f x x -⎧+-<⎪=⎨≥⎪⎩，则()22log ()12f f -＋＝（ ）A ．3B ．6C ．9D ．1211．已知函数()22()1122xa xx f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩满足对任意的实数12x x ≠都有word2 / 7()()1212f x f x x x -<0-成立，则实数a 的取值X 围为（ ）A ．()2-∞，B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(2]-∞，-D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点()1,1M ，()1,2N ，()2,1P ，()2,2Q ，1G 2,2⎛⎫⎪⎝⎭中，可以是“好点”的个数为（ ） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．已知124(0)9a a =>，则23log a =________．14．已知函数2log 0()30xxx f x x >⎧⎪⎨≤⎪⎩，则14f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________． 15．若函数212log (35)y x ax =-+在[)1-∞，+上是减函数，则实数a 的取值X 围是________．16．如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数22logy x =，12y x =，22xy ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2， 则点D 的坐标为________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．(10分)()31320.5log 511lg3lg91lg 812730.25-⎛⎫++-+-+ ⎪⎝⎭．18．(12分)已知函数1()=2axf x ⎛⎫⎪⎝⎭，a 为常数，且函数的图象过点()1,2-．（1）求a 的值；（2）若()42x g x -－＝，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．word3 / 719．(12分)已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，(a ＞0，a ≠1)． （1）设a ＝2，函数f (x )的定义域为[3,63]，求f (x )的最值； （2）求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值X 围．20．(12分)求使不等式2821x x a a --⎛⎫> ⎪⎝⎭成立的x 的集合(其中a >0，且a ≠1)．word4 / 721．(12分)已知函数f (x )＝2x的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)， （1）求g (x )的解析式及定义域； （2）求函数g (x )的最大值和最小值．22．(12分)若函数f (x )满足21(log )1a a f x x x a ⎛⎫=⋅- ⎪-⎝⎭ (其中a ＞0且a ≠1)．（1）求函数f (x )的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）当x ∈(－∞，2)时，f (x )－4的值恒为负数，求a 的取值X 围．word1 / 72018-2019学年必修一第二章训练卷基本初等函数（二）答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B【解析】因为0a >，所以B ．2．【答案】A【解析】∵21log <05，0.10.2022<<，∴0.10.221log <2<25，故选A ．3．【答案】C【解析】{}2R {|}0|x A y y x y y ∈>＝＝，＝．2{|}{1011|}B x x x x <<<＝－＝－， ∴{}0111|{|}{|}AB x x x x x x ><<>＝－＝－，故选C ．4．【答案】B【解析】由23x y ＝得lg 2lg3x y ＝，∴lg2lg3x y ＝，∴lg3lg 2x y =，故选B ． 5．【答案】A【解析】由()ln l ()n ||f x x x x x f x --＝-＝-＝-知，函数()f x 是奇函数，故排除C ，D ，又110f e e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，从而排除B ，故选A ．6．【答案】D【解析】因为()()33x x f x f x --＝＋＝，()()33x x g x g x ---＝＝-，所以()f x 是偶函数， ()g x 为奇函数，故选D ．7．【答案】B【解析】因为函数121(22)m y m m x -=+-是幂函数，所以2221m m -+＝且1m ≠，解得3m ＝-．故选B ．8．【答案】A 【解析】A，22xy x -==⎝⎭的值域为(0)∞，+． B ，因为120x -≥，所以21x ≤，0x ≤，y =(0],-∞， 所以021x <≤，所以0121x ≤-<，所以y =[)0,1． C ，2213124y x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭的值域是3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ，因为()()1,00,1x ∈-∞+∞+，所以113x y +=的值域是()0,11()∞，+．故选A ．9．【答案】D【解析】根据幂函数、指数函数、对数函数的图象可知选D ． 10．【答案】C【解析】221log ()(())223f -+--=＝，()221216log log 2log 12226f －＝＝＝， ∴()22log (19)2f f -＋＝，故选C ．11．【答案】B【解析】由题意知函数()f x 是R 上的减函数，于是有()22012212a a -<⎧⎪⎨⎛⎫-⨯≤-⎪ ⎪⎝⎭⎩由此解得138a ≤，即实数a 的取值X 围是13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，选B ．12．【答案】C【解析】设指数函数为()01x y a a a >≠＝，，显然不过点M 、P ，若设对数函数为()log 01b y x b b >≠＝，，显然不过N 点，故选C ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）word2 / 713．【答案】4【解析】∵124(0)9a a =>，∴2221223a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即423a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴422332log log 4.3a ⎛⎫== ⎪⎝⎭14．【答案】19【解析】∵14>0，∴211log 244f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．则104f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴211349f f -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．15．【答案】(]86-，-【解析】令()235g x x ax ＝－＋，其对称轴为直线6a x =，依题意，有()1610ag ⎧≤-⎪⎨⎪->⎩，即68a a ≤-⎧⎨>-⎩，∴86(]a ∈-，-． 16．【答案】11,24⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由图象可知，点(),2A A x在函数y x =的图象上，所以2A x =，212A x ==⎝⎭， 点(),2B B x 在函数12y x =的图象上，所以122B x =，4B x ＝． 点()4C C y ，在函数xy =⎝⎭的图象上，所以414C y ==⎝⎭． 又12D A x x ==，14D C y y ==，所以点D 的坐标为11,24⎛⎫⎪⎝⎭．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【答案】见解析． 【解析】原式3310.5log 5253log 1431(3)231lg3lg3lg3(3()03).5---++＝＋＋－＋＋325log 6362531＝＋＝＋＝．18．【答案】（1）1；（2）－1． 【解析】（1）由已知得122a-⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得a ＝1．（2）由（1）知1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又g (x )＝f (x )，则1422xx -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即112=42xx⎛⎫⎛⎫--0 ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2112022x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，令12xt ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0，又t >0，故t ＝2，即122x⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得x ＝－1．19．【答案】（1）最小值为2，最大值为6；（2）见解析．【解析】（1）当a ＝2时，f (x )＝log 2(1＋x )，在[3,63]上为增函数，因此当x ＝3时，f (x )最小值为2．当x ＝63时f (x )最大值为6． （2）f (x )－g (x )＞0即f (x )＞g (x )当a ＞1时，log a (1＋x )＞log a (1－x )，满足111010x xx x +>-⎧⎪+>⎨⎪->⎩∴0＜x ＜1当0＜a ＜1时，log a (1＋x )＞log a (1－x )，满足111010x x x x +<-⎧⎪+>⎨⎪->⎩∴－1<x ＜0综上a ＞1时，解集为{x |0＜x ＜1}，0＜a ＜1时解集为{x |－1<x ＜0}． 20．【答案】见解析． 【解析】∵22881x x a a --⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴原不等式化为282x x a a -->，当a >1时，函数y ＝a x是增函数，∴8－x 2>－2x ，解得－2<x <4； 当0<a <1时，函数y ＝a x是减函数，∴8－x 2<－2x ，解得x <－2或x >4．故当a >1时，x 的集合是{x |－2<x <4}；当0<a <1时，x 的集合是{x |x <－2或x >4}．word3 / 721．【答案】（1）g (x )＝2222x x -＋，{x |0≤x ≤1}（2）－3，－4． 【解析】（1）∵f (x )＝2x，∴g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)＝2222x x -＋．因为f (x )的定义域是[0,3]，所以0≤2x ≤3，0≤x ＋2≤3，解得0≤x ≤1． 于是g (x )的定义域为{x |0≤x ≤1}． （2）设g (x )＝(2x )2－4×2x＝(2x－2)2－4．∵x ∈[0,1]，∴2x∈[1,2]，∴当2x＝2，即x ＝1时，g (x )取得最小值－4； 当2x＝1，即x ＝0时，g (x )取得最大值－3． 22．【答案】（1）2()()1x x a f x a a a -=-- (x ∈R )，见解析；（2）)(21,23⎡+⎣．【解析】（1）令log a x ＝t (t ∈R )，则x ＝a t，∴2()()1t ta f t a a a -=--． ∴2()()1x xa f x a a a -=-- (x ∈R )． ∵()22()()()11x xx x a a f x a a a a f x a a ---=-=--=---，∴f (x )为奇函数． 当a ＞1时，y ＝a x为增函数，x y a -=-为增函数，且201aa >-，∴f (x )为增函数．当0＜a ＜1时，y ＝a x为减函数x y a -=-为减函数，且201aa <-， ∴f (x )为增函数．∴f (x )在R 上为增函数．（2）∵f (x )是R 上的增函数，∴y ＝f (x )－4也是R 上的增函数． 由x ＜2，得f (x )＜f (2)，要使f (x )－4在(－∞，2)上恒为负数， 只需f (2)－4≤0，即2224()1a a a a --≤-，∴422141a a a a ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭，∴a 2＋1≤4a ，∴a 2－4a＋1≤0，∴22a ≤≤a ≠1， ∴a的取值X 围为)(21,23⎡+⎣．。

函数的应用1．题型为选择题或填空题，主要考查零点个数的判断及零点所在区间．2．函数的零点与方程的根的关系：方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点．[典题示例] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≤0，x －2＋ln x ，x ＞0的零点个数为________．[解析] 令f (x )＝0，得到⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x ≤0，解得x ＝－1；或⎩⎪⎨⎪⎧x －2＋ln x ＝0，x ＞0，在同一个直角坐标系中画出y ＝2－x 和y ＝ln x 的图象，观察交点个数，如图所示．函数y ＝2－x 和y ＝ln x ，x ＞0，在同一个直角坐标系中交点个数是1，所以函数f (x )在x ＜0时的零点有一个，在x ＞0时零点有一个，所以f (x )的零点个数为2.[答案] 2 [类题通法]确定函数零点个数的方法(1)解方程f (x )＝0有几个根．(2)利用图象找y ＝f (x )的图象与x 轴的交点或转化成两个函数图象的交点个数． (3)利用f (a )·f (b )与0的关系进行判断．[题组训练]1．函数f (x )＝lg x －9x 的零点所在的大致区间是( ) A ．(6,7) B ．(7,8) C ．(8,9)D ．(9,10)解析：选D ∵f (6)＝lg 6－96＝lg 6－32＜0，f (7)＝lg 7－97＜0，f (8)＝lg 8－98＜0，f (9)＝lg 9－1＜0，f (10)＝lg 10－910＞0， ∴f (9) · f (10)＜0.函数的零点问题∴f (x )＝lg x －9x的零点的大致区间为(9,10)．2．已知函数f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析：选C ∵f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2在(0，＋∞)是增函数， 又f (1)＝ln 1－⎝⎛⎭⎫12－1＝ln 1－2＜0， f (2)＝ln 2－⎝⎛⎭⎫120＜0， f (3)＝ln 3－⎝⎛⎭⎫121＞0， ∴x 0∈(2,3)．3．函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－m 有两个零点，则m 的取值范围是________． 解析：在同一直角坐标系内，画出y 1＝⎝⎛⎭⎫12|x |和y 2＝m 的图象，如图所示，由于函数有两个零点，故0＜m ＜1.答案：(0,1)1．通过对近几年高考试题的分析可以看出，对函数的实际应用问题的考查，更多地以实际生活为背景，设问新颖、灵活；题型以解答题为主，难度中等偏上；主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力．2．函数实际应用的示意图[典题示例] 某网店经营的某消费品的进价为每件12元，周销售量p (件)与销售价格x (元)的关系，如图中折线所示，每周各项开支合计为20元．(1)写出周销售量p (件)与销售价格x (元)的函数关系式； (2)写出利润周利润y (元)与销售价格x (元)的函数关系式；函数的应用(3)当该消费品销售价格为多少元时，周利润最大？并求出最大周利润． [解] (1)由题设知，当12≤x ≤20时，设p ＝ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝26，20a ＋b ＝10，∴a ＝－2，b ＝50. ∴p ＝－2x ＋50，同理得，当20＜x ≤28时，p ＝－x ＋30，所以p ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋50，12≤x ≤20，－x ＋30，20＜x ≤28.(2)当12≤x ≤20时，y ＝(x －12)(－2x ＋50)－20＝－2x 2＋74x －620； 当20＜x ≤28时，y ＝(x －12)(－x ＋30)－20＝－x 2＋42x －380.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋74x －620，12≤x ≤20，－x 2＋42x －380，20＜x ≤28. (3)当12≤x ≤20时，y ＝－2x 2＋74x －620， ∴x ＝372时，y 取得最大值1292. 当20＜x ≤28时，y ＝－x 2＋42x －380， ∴x ＝21时，y 取得最大值61. ∵1292＞61，∴该消费品销售价格为372时，周利润最大，最大周利润为1292. [类题通法]建立恰当的函数模型解决实际问题的步骤(1)对实际问题进行抽象概括，确定变量之间的主被动关系，并用x ，y 分别表示． (2)建立函数模型，将变量y 表示为x 的函数，此时要注意函数的定义域． (3)求解函数模型，并还原为实际问题的解．[题组训练]1.某工厂8年来某种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快； ②前三年产量增长的速率越来越慢； ③第三年后这种产品停止生产； ④第三年后产量保持不变． 其中说法正确的是序号是________．解析：由t ∈[0,3]的图象联想到幂函数y ＝x α(0＜α＜1)，反映了C 随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t ∈[3,8]的图象可知，总产量C 没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．答案：②③2．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m 分钟后甲桶中的水只有a8升，则m的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选D 令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，由已知得12＝e 5n ，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.3．某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种投资生产，打入国际市场，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：时需上交0.05x 2万美元的特别关税．(1)写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y 1，y 2与生产相应产品的件数x (x ∈N)之间的函数关系式；(2)分别求出投资生产这两种产品的最大年利润．解：(1)由题知y 1＝10x －(20＋ax )＝(10－a )x －20,0≤x ≤200且x ∈N ；y 2＝18x －(40＋8x )－0.05x 2＝－0.05x 2＋10x －40＝－0.05(x－100)2＋460,0≤x ≤120且x ∈N.(2)∵3≤a ≤8，∴10－a ＞0， ∴y 1＝(10－a )x －20为增函数． 又0≤x ≤200，x ∈N ，∴x ＝200时y 1取最大值，即生产甲产品的最大年利润为(10－a )×200－20＝1 980－200a (万美元)．又y 2＝－0.05(x －100)2＋460,0≤x ≤120，x ∈N ，∴x ＝100时y 2取最大值，即生产乙产品的最大年利润为460万美元．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋4)，x ＜0，x (x －4)，x ≥0，则该函数的零点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C 当x ＜0时，令x (x ＋4)＝0，解得x ＝－4；当x ≥0时，令x (x －4)＝0，解得x ＝0或4.综上，该函数的零点有3个．2．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x 的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(0,1)C ．(2，e)D ．(3,4)解析：选A f (1)＝ln 2－2＝ln 2e 2＜ln 1＝0，f (2)＝ln 3－1＝ln 3e＞ln 1＝0，所以函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是(1,2)．3．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元解析：选D 设该家具的进货价是x 元，由题意得132(1－10%)－x ＝x ·10%，解得x ＝108元．4．下列函数：①y ＝lg x ；②y ＝2x ；③y ＝x 2；④y ＝|x |－1，其中有2个零点的函数是( ) A ．①② B ．③④ C ．②③D ．④解析：选D 分别作出这四个函数的图象，其中④y ＝|x |－1的图象与x 轴有两个交点，即有2个零点，选D.5．已知函数f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )＝0在区间[a ，b ]内( )A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一实根解析：选B 由于f (a )f (b )＜0，则f (a )＜0＜f (b )或f (b )＜0＜f (a )，又函数f (x )在区间[a ，b ]上是单调函数，则至多有一个实数x 0∈[a ，b ]，使f (x 0)＝0，即方程f (x )＝0在区间[a ，b ]内至多有一实根．6．已知0＜a ＜1，则方程a |x |＝|log a x |的实根个数为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．与a 的值有关解析：选A 设y 1＝a |x |，y 2＝|log a x |，分别作出它们的图象如图所示．由图可知，有两个交点，故方程a |x |＝|log a x |有两个根．故选A.7．长为4，宽为3的矩形，当长增加x ，宽减少x2时，面积达到最大，此时x 的值为________．解析：由题意，S ＝(4＋x )⎝⎛⎭⎫3－x 2，即S ＝－12x 2＋x ＋12，∴当x ＝1时，S 最大． 答案：18．某学校要装备一个实验室，需要购置实验设备若干套，与厂家协商，同意按出厂价结算，若超过50套就可以每套比出厂价低30元给予优惠．如果按出厂价购买应付a 元，但再多买11套就可以按优惠价结算，恰好也付a 元(价格为整数)，则a 的值为________．解析：设按出厂价y 元购买x (x ≤50)套应付a 元， 则a ＝xy .再多买11套就可以按优惠价结算恰好也付a 元，则a ＝(x ＋11)(y －30)，其中x ＋11＞50.∴xy ＝(x ＋11)(y －30)(39＜x ≤50)．∴3011x ＝y －30.又x ∈N ，y ∈N(因价格为整数)，39＜x ≤50， ∴x ＝44，y ＝150，a ＝44×150＝6 600. 答案：6 6009．若函数f (x )＝a x －x －a (a ＞0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围为________． 解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，如下图，由函数的图象可知a ＞1时两函数图象有两个交点，0＜a ＜1时两函数图象有唯一交点，故a ＞1.答案：(1，＋∞)10．某产品按质量分为10个档次，生产第一档(即最低档次)的利润是每件8元，每提高一个档次，利润每件增加2元，但每提高一个档次，在规定的时间内，产量减少3件．如果在规定的时间内，最低档次的产品可生产60件．(1)请写出规定时间内产品的总利润y 与档次x 之间的函数关系式，并写出x 的定义域； (2)在规定的时间内，生产哪一档次产品的总利润最大？并求出最大利润．解：(1)由题意知，生产第x 个档次的产品每件的利润为8＋2(x －1)元，该档次的产量为60－3(x －1)件．则规定时间内第x 档次的总利润y ＝(2x ＋6)(63－3x )＝－6x 2＋108x ＋378，其中x ∈{x ∈N *|1≤x ≤10}．(2)y ＝－6x 2＋108x ＋378＝－6(x －9)2＋864，则当x ＝9时，y 有最大值为864.故在规定的时间内，生产第9档次的产品的总利润最大，最大利润为864元．11．A 、B 两城相距100 km ，在两地之间距A 城x km 处D 地建一核电站给A 、B 两城供电，为保证城市安全．核电站与城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月．(1)求x 的范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电费用最小． 解：(1)x 的取值范围为[10,90]．(2)y ＝0.25×20x 2＋0.25×10(100－x )2＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)由y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝⎛⎭⎫x －10032＋50 0003. 则当x ＝1003km 时，y 最小． 故当核电站建在距A 城1003km 时，才能使供电费用最小．12．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解：设该单位每月获利为S 元， 则S ＝100x －y＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是( ) A ．A ⊆B B ．A ∩B ＝{2} C ．A ∪B ＝{1,2,3,4,5}D ．A ∩(∁U B )＝{1}解析：选D A 显然错误；A ∩B ＝{2,3}，B 错；A ∪B ＝{1,2,3,4}，C 错，故选D. 2．(2017·山东高考)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)解析：选D 由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x <1}．3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2，log 3(2x－1)，x ≥2，则f (f (2))＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选C ∵f (2)＝log 3(22－1)＝1. ∴f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2.4．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2－2D ．y ＝log 12x解析：选A ∵y ＝x－1是奇函数，y ＝log 12x 不具有奇偶性，故排除B 、D ，又函数y ＝x 2－2在区间(0，＋∞)上是单调递增函数，故排除C ，只有选项A 符合题意．5．函数y ＝log 2|1－x |的图象是( )解析：选D 函数y ＝log 2|1－x |可由下列变换得到： y ＝log 2x →y ＝log 2|x |→y ＝log 2|x －1|→y ＝log 2|1－x |.故选D.6．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则log 2f (2)的值为( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：选A 设f (x )＝x α，则22＝⎝⎛⎭⎫12α，∴α＝12，f (2)＝212，所以log 2f (2)＝log 2212＝12. 7．函数f (x )＝lg x －1x 的零点所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,10) C ．(10,100)D ．(100，＋∞)解析：选B ∵f (1)＝－1＜0，f (10)＝1－110＝910＞0，f (100)＝2－1100＞0， ∴f (1)·f (10)＜0，由函数零点存在性定理知，函数f (x )＝lg x －1x 的零点所在的区间为(1,10)．8．设a ＝60.4，b ＝log 0.40.5，c ＝log 80.4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <b <a C ．c <a <bD ．b <c <a解析：选B ∵a ＝60.4>1，b ＝log 0.40.5∈(0,1)，c ＝log 80.4<0，∴a >b >c .故选B. 9．如右图，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中整体水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系大致是下列图象中的( )解析：选B 开始一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后，水槽中水面上升先快后慢．故选B.10．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，则有( )A ．f (x )是奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x ) B ．f (x )是奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝f (x ) C ．f (x )是偶函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x ) D ．f (x )是偶函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＝f (x ) 解析：选C ∵f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数，排除A 、B.又f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1＋⎝⎛⎭⎫1x 21－⎝⎛⎭⎫1x 2＝1＋x 2x 2－1＝－f (x )，故选C. 11．已知函数f (x )＝m ＋log 2x 2的定义域是[1,2]，且f (x )≤4，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，2) C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选A 因为f (x )＝m ＋2log 2x 在[1,2]是增函数，且由f (x )≤4，得f (2)＝m ＋2≤4，得m ≤2.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析：选C 作出f (x )的大致图象．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ，则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6.于是lg a ＋lg b ＝0. 故ab ＝1.因而abc ＝c .由图知10<c <12，故abc ∈(10,12)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．设U ＝R ，已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x ＞a }，且(∁U A )∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵A ＝{x |x ＞1}， ∴∁U A ＝{x |x ≤1}．由B ＝{x |x ＞a }，(∁U A )∪B ＝R 可知a ≤1. 答案：(－∞，1]14．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定，驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.2 mg/mL.某人喝酒后，其血液中酒精含量将上升到3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中酒精含量以每小时50%的速度减少，则至少经过________小时他才可以驾驶机动车．(精确到小时)解析：设n 小时后他才可以驾驶机动车，由题意得3(1－0.5)n ≤0.2，即2n ≥15，解得n ≥log 215，故至少经过4小时他才可以驾驶机动车．答案：415．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于________． 解析：∵0＜1，∴f (0)＝20＋1＝2.∵2＞1，∴f (2)＝4＋2a ，∴f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，∴a ＝2.答案：216．已知函数f (x )＝lg(2x －b )(b 为常数)，若x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥0恒成立，则b 的取值范围是________．解析：∵要使f (x )＝lg(2x －b )在x ∈[1，＋∞)上，恒有f (x )≥0，∴有2x －b ≥1在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即2x ≥b ＋1恒成立．又∵指数函数g (x )＝2x 在定义域上是增函数．∴只要2≥b ＋1成立即可，解得b ≤1.答案：(－∞，1]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |2＜2x ＜8}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}．(1)当a ＝2时，求A ∩B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，A ＝{x |2＜2x ＜8}＝(1,3)，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}＝[2,5]，故A ∩B ＝[2,3)．(2)∁R A ＝(－∞，1]∪[3，＋∞)．故由B ⊆∁R A 知，a ＋3≤1或a ≥3，故实数a 的取值范围为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．18．(本小题满分12分)已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4,2)．(1)求a 的值；(2)若g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )，求g (x )的解析式及定义域；(3)在(2)的条件下，求g (x )的单调减区间．解：(1)由已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(4,2)，则2＝log a 4，即a 2＝4，又a ＞0且a ≠1，所以a ＝2.(2)g (x )＝f (1－x )＋f (1＋x )＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )．由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，1＋x ＞0，得－1＜x ＜1，定义域为(－1,1)．(3)g (x )＝log 2(1－x )＋log 2(1＋x )＝log 2(1－x 2)，其单调减区间为[0,1)．19．(本小题满分12分)若f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x ，y >0，满足f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )．(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫13<2.解：(1)在f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )－f (y )中，令x ＝y ＝1，则有f (1)＝f (1)－f (1)，∴f (1)＝0.(2)∵f (6)＝1，∴f (x ＋3)－f ⎝⎛⎭⎫13<2＝f (6)＋f (6)．∴f (3x ＋9)－f (6)<f (6)，即f ⎝⎛⎭⎫x ＋32<f (6)．∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3>0，x ＋32<6.解得－3<x <9， 即不等式的解集为(－3,9)．20．(本小题满分12分)随着新能源的发展，电动汽车在全社会逐渐普及开来，据某报记者了解，某市电动汽车国际示范区运营服务公司逐步建立了全市乃至全国的分时租赁服务体系，为新能源汽车分时租赁在全国的推广提供了可复制的市场化运营模式．现假设该公司有750辆电动汽车供租赁使用，管理这些电动汽车的费用是每日1 725元．调查发现，若每辆电动汽车的日租金不超过90元，则电动汽车可以全部租出；若超过90元，则每超过1元，租不出的电动汽车就增加3辆．设每辆电动汽车的日租金为x (元)(60≤x ≤300，x ∈N *)，用y (元)表示出租电动汽车的日净收入(日净收入等于日出租电动汽车的总收入减去日管理费用)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问当每辆电动汽车的日租金为多少元时，才能使日净收入最多？解：(1)当60≤x ≤90，x ∈N *时，y ＝750x －1 725；当90＜x ≤300，x ∈N *时，y ＝[750－3(x －90)]x －1 725，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧750x －1 725，60≤x ≤90，x ∈N *，－3x 2＋1 020x －1 725，90＜x ≤300，x ∈N *. (2)对于y ＝750x －1 725,60≤x ≤90，x ∈N *，∵y 在[60,90](x ∈N *)上单调递增，∴当x ＝90时，y max ＝65 775.对于y ＝－3x 2＋1 020x －1 725＝－3(x －170)2＋84 975，90＜x ≤300，x ∈N *，当x ＝170时，y max ＝84 975.∵84 975＞65 775，∴当每辆电动汽车的日租金为170元时，日净收入最多．21．(本小题满分12分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －1.(1)求f (3)＋f (－1)；(2)求f (x )的解析式；(3)若x ∈A ，f (x )∈[－7,3]，求区间A .解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (3)＋f (－1)＝f (3)－f (1)＝23－1－2＋1＝6.(2)设x ＜0，则－x ＞0，∴f (－x )＝2－x －1， ∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x ＋1， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，－2－x ＋1，x ＜0.(3)作出函数f (x )的图象，如图所示．根据函数图象可得f (x )在R 上单调递增，当x ＜0时，－7≤－2－x ＋1＜0， 解得－3≤x ＜0；当x ≥0时，0≤2x －1≤3，解得0≤x ≤2；∴区间A 为[－3,2]．22．(本小题满分12分)对于函数f (x )＝a －2b x＋1(a ∈R ，b ＞0，且b ≠1)． (1)探索函数y ＝f (x )的单调性；(2)求实数a 的值，使函数y ＝f (x )为奇函数；(3)在(2)的条件下，令b ＝2，求使f (x )＝m (x ∈[0,1])有解的实数m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为R ，设x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫a －2bx 1＋1－⎝⎛⎭⎫a －2bx 2＋1＝2(bx 1－bx 2)(bx 1＋1)(bx 2＋1).当b ＞1时，由x 1＜x 2，得bx 1＜bx 2，从而bx 1－bx 2＜0，于是f (x 1)－f (x 2)＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，此时函数f (x )在R 上是单调增函数； 当0＜b ＜1时，由x 1＜x 2，得bx 1＞bx 2，从而bx 1－bx 2＞0，于是f (x 1)－f (x 2)＞0，所以f (x 1)＞f (x 2)， 此时函数f (x )在R 上是单调减函数．(2)函数f (x )的定义域为R ，由f (0)＝0得a ＝1. 当a ＝1时，f (x )＝1－2b x ＋1＝b x －1b x ＋1， f (－x )＝1－2b －x ＋1＝b －x －1b －x ＋1＝1－b x 1＋b x . 满足条件f (－x )＝－f (x )，故a ＝1时，函数f (x )为奇函数．(3)f (x )＝1－22x＋1， ∵x ∈[0,1]，∴2x ∈[1,2]，2x ＋1∈[2,3]，22x＋1∈⎣⎡⎦⎤23，1， ∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤0，13， 要使f (x )＝m (x ∈[0,1])有解，则0≤m ≤13，即实数m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，13.。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作高中同步创优单元测评A 卷 数 学班级：________ 姓名：________ 得分：________第二章 基本初等函数(Ⅰ)(一)(指数与指数函数) [名师原创·基础卷](时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．计算[(－2)2]－ 12的结果是( )A.2 B ．－2 C.22D ．－222.⎝ ⎛⎭⎪⎫1120－(1－0.5－2)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫278 23的值为( )A ．－13 B.13 C.43 D.733．若a >1，则函数y ＝a x 与y ＝(1－a )x 2的图象可能是下列四个选项中的()4．下列结论中正确的个数是( )①当a <0时，(a 2 23＝a 3；②na n ＝|a |(n ≥2，n ∈N )； ③函数y ＝(x －2) 12 －(3x －7)0的定义域是[2，＋∞)； ④6(－2)2＝32.A ．1B ．2C ．3D ．45．指数函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14，那么f (4)·f (2)等于( )A ．8B ．16C ．32D ．64 6．函数y ＝21x的值域是( ) A ．(0，＋∞) B ．(0,1) C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(1，＋∞)7．函数y ＝|2x －2|的图象是( )8．a ，b 满足0<a <b <1，下列不等式中正确的是( ) A ．a a <a b B ．b a <b b C ．a a <b a D ．b b <a b9．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e －x ＋1D ．e －x －110．若函数y ＝a x ＋m －1(a >0，a ≠1)的图象在第一、三、四象限内，则( )A ．a >1B ．a >1，且m <0C ．0<a <1，且m >0D ．0<a <111．函数f (x )＝2x ＋2－4x ，若x 2－x －6≤0，则f (x )的最大值和最小值分别是( )A ．4，－32B ．32，－4 C.23，0D.43，112．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则( )A ．f (x )与g (x )均为偶函数B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数C ．f (x )与g (x )均为奇函数D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．已知a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系为________．14．若方程⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋a ＝0有正数解，则实数a 的取值范围是________．15．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|，则f (x )的单调递增区间是________．16．定义区间[x 1，x 2](x 1<x 2)的长度为x 2－x 1，已知函数y ＝2|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,2]，则区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)解不等式a 2x ＋7<a 3x －2(a >0，a ≠1)．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝3x ，且f (a )＝2，g (x )＝3ax －4x . (1)求g (x )的解析式；(2)当x ∈[－2,1]时，求g (x )的值域．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)．(1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x －2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 为实数． (1)当a >0，b >0时，判断并证明函数f (x )的单调性； (2)当ab <0时，求f (x ＋1)>f (x )时x 的取值范围．21．(本小题满分12分)设a ∈R ，f (x )＝a －22x ＋1(x ∈R )．(1)证明：对任意实数a ，f (x )为增函数； (2)试确定a 的值，使f (x )≤0恒成立．22．(本小题满分12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋2是奇函数．(1)求b 的值；(2)判断函数f (x )的单调性；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．详解答案第二章 基本初等函数(Ⅰ)(一)(指数与指数函数) [名师原创·基础卷]1．C 解析：[(－2)2]－ 12＝2－12＝12＝22.2．D 解析：原式＝1－(1－22)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1－(－3)×49＝73.故选D. 3．C 解析：a >1，∴y ＝a x 在R 上单调递增且过(0,1)点，排除B ，D ，又∵1－a <0，∴y ＝(1－a )x 2的开口向下．4．A 解析：在①中，a <0时，(a 2) 32>0，而a 3<0，∴①不成立．在②中，令a ＝－2，n ＝3，则3(－2)3＝－2≠|－2|，∴②不成立． 在③中，定义域应为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫73，＋∞，∴③不成立． ④式是正确的，∵6(－2)2＝622＝32，∴④正确． 5．D 解析：设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)， 由已知得14＝a －2，a 2＝4，所以a ＝2， 于是f (x )＝2x ，所以f (4)·f (2)＝24·22＝64.解题技巧：已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法，即先把函数设出来，再利用方程或方程组解出系数．6．C 解析：∵1x ≠0，∴21x≠1， ∴函数y ＝21x 的值域为(0,1)∪(1，＋∞)．7．B 解析：找两个特殊点，当x ＝0时，y ＝1，排除A ，C.当x ＝1时，y ＝0，排除D.故选B.8．C 解析：∵0<a <b <1，∴a a >a b ，故A 不成立，同理B 不成立，若a a <b a ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a <1，∵0<ab <1,0<a <1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a<1成立，故选C. 9．D 解析：与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线为y ＝e －x ，函数y ＝e －x 的图象向左平移一个单位长度即可得到函数f (x )的图象，即f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.解题技巧：函数图象的平移变换，要注意平移的方向和平移量．平移规律为：10．B 解析：由函数y ＝a x ＋m －1(a >0，a ≠1)的图象在第一、三象限知，a >1.知函数在第四象限，∴a 0＋m －1<0，则有m <0.11．A 解析：f (x )＝2x ＋2－4x ＝－(2x )2＋4·2x ＝－(2x －2)2＋4，又∵x 2－x －6≤0，∴－2≤x ≤3，∴14≤2x ≤8.当2x ＝2时，f (x )max ＝4，当2x ＝8时，f (x )min ＝－32. 12．B 解析：因为f (－x )＝3－x ＋3－(－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )， g (－x )＝3－x －3－(－x )＝3－x －3x ＝－g (x )，所以f (x )为偶函数，g (x )为奇函数．13．c >a >b 解析：由指数函数y ＝a x 当0<a <1时为减函数知， 0．80.7>0.80.9，又1.20.8>1,0.80.7<1， ∴1.20.8>0.80.7>0.80.9，即c >a >b .14．(－3,0) 解析：令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝t ，∵方程有正根，∴t ∈(0,1)．方程转化为t 2＋2t ＋a ＝0， ∴a ＝1－(t ＋1)2.∵t ∈(0,1)，∴a ∈(－3,0)．15．(－∞，1] 解析：解法一：由指数函数的性质可知，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在定义域上为减函数，故要求f (x )的单调递增区间，只需求y ＝|x －1|的单调递减区间．又y ＝|x －1|的单调递减区间为(－∞，1]，所以f (x )的单调递增区间为(－∞，1]．解法二：f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ≥1，2x －1，x <1.可画出f (x )的图象，并求其单调递增区间．解题技巧：既可以利用复合函数的“同增异减”法则求解，也可以去绝对值符号，转化为分段函数求解．16．1 解析：作出函数y ＝2|x |的图象(如图所示)．当x ＝0时，y ＝20＝1， 当x ＝－1时，y ＝2|－1|＝2， 当x ＝1时，y ＝21＝2，所以当值域为[1,2]时，区间[a ，b ]的长度的最大值为2，最小值为1，它们的差为1.17．解：当a >1时，a 2x ＋7<a 3x －2等价于2x ＋7<3x －2， ∴x >9；当0<a <1时，a 2x ＋7<a 3x －2等价于2x ＋7>3x －2. ∴x <9.综上，当a >1时，不等式的解集为{x |x >9}； 当0<a <1时，不等式的解集为{x |x <9}． 解题技巧：注意按照底数进行分类讨论． 18．解：(1)由f (a )＝2，得3a ＝2，a ＝log 32， ∴g (x )＝(3a )x －4x ＝(3log 32)x －4x ＝2x －4x ＝－(2x )2＋2x . ∴g (x )＝－(2x )2＋2x . (2)设2x ＝t ，∵x ∈[－2,1]， ∴14≤t ≤2.g (t )＝－t 2＋t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，由g (t )在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2上的图象可得，当t ＝12，即x ＝－1时，g (x )有最大值14； 当t ＝2，即x ＝1时，g (x )有最小值－2. 故g (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14.19．解：(1)由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a ＝2，解得a ＝1. (2)由(1)知，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，又g (x )＝f (x )，则4－x －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝0，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2＝0. 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t ，则t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0. 又t >0，故t ＝2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝2，解得x ＝－1. 20．解：(1)函数f (x )在R 上是增函数．证明如下： a >0，b >0，任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，(2)∵f (x ＋1)>f (x )，∴f (x ＋1)－f (x )＝(a ·2x ＋1＋b ·3x ＋1)－(a ·2x ＋b ·3x ) ＝a ·2x ＋2b ·3x >0，当a <0，b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x >－a 2b ，则x >log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ， 当a >0，b <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x <－a 2b ，则x <log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b .综上，当a <0，b >0时，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ，＋∞； 当a >0，b <0时，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b . 21．(1)证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，故对于任意实数a ，f (x )为增函数．(2)解：f (x )＝a －22x ＋1≤0恒成立，只要a ≤22x ＋1恒成立，问题转化为只要a 不大于22x ＋1的最小值． ∵x ∈R,2x >0恒成立，∴2x ＋1>1.∴0<12x ＋1<1,0<22x ＋1<2，∴a ≤0. 故当a ∈(－∞，0]时，f (x )≤0恒成立．22．解：(1)因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0， 即b －12＋2＝0，解得b ＝1.(3)因为f (x )是奇函数，f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0，则f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)，因f (x )为减函数，由上式推得，t 2－2t >k －2t 2. 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13.。

第1课时对数A 级 基础巩固一、选择题1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( B ) A ．e 0＝1与ln1＝0 B ．log 39＝2与912 ＝3 C ．8－13 ＝12与log 812＝－13D ．log 77＝1与71＝7[解析] log 39＝2化为指数式为32＝9，故选B ． 2．将对数式log 5b ＝2化为指数式是( C ) A ．5b＝2 B ．b 5＝2 C ．52＝bD ．b 2＝5[解析]∵log 5b ＝2，∴b ＝52，故选C ． 3．已知log 12x ＝3，则x 13＝( C )A ．18B ．14C ．12D ．32[解析]∵log 12x ＝3，∴x ＝(12)3＝18，∴x 13 ＝(18)13 ＝12.4．(12)－1＋log 0.54的值为( C )A ．6B ．72C ．8D ．37[解析] (12)－1＋log 0.54＝(12)－1·(12)log 0.54＝(12)－1·(12)log 124＝2×4＝8.5．方程2log 3x ＝14的解是( A )A ．x ＝19B ．x ＝33C ．x ＝ 3D ．x ＝9[解析]∵2log 3x ＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝19.6．已知f (e x)＝x ，则f (3)＝( B ) A ．log 3e B ．ln3 C ．e 3D ．3e[解析] 令e x＝3，∴x ＝ln3，∴f (3)＝ln3，故选B ． 二、填空题7．若log π[log 3(ln x )]＝0，则x ＝__e 3__. [解析] 由题意，得log 3(ln x )＝1， ∴ln x ＝3，∴x ＝e 3.8．log 2 －1(2＋1)＋ln1－lg 1100＝__1__.[解析] 设log 2 －1(2＋1)＝x ，则(2－1)x ＝2＋1＝12－1＝(2－1)－1，∴x ＝－1；设lg 1100＝y ，则10y ＝1100＝10－2，∴y ＝－2； 又ln1＝0，∴原式＝－1＋0－(－2)＝1. 三、解答题9．求下列各式的值：(1)log 464； (2)log 31； (3)log 927. [解析] (1)设log 464＝x ，则4x＝64， ∵64＝43，∴x ＝3，∴log 464＝3. (2)设log 31＝x ，则3x＝1， ∵1＝30，∴x ＝0， ∴log 31＝0.(3)设log 927＝x ，则9x＝27即32x＝33，∴2x ＝3即x ＝32，∴log 927＝32.B 级 素养提升一、选择题1．在b ＝log (3a －1)(3－2a )中，实数a 的取值X 围是( B ) A ．a ＞32或a ＜13B ．13＜a ＜23或23＜a ＜32C ．13＜a ＜32D ．23＜a ＜32[解析] 要使式子b ＝log (3a －1)(3－2a )有意义，则 ⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＞03a －1≠13－2a ＞0，即13＜a ＜23或23＜a ＜32，故选B ．2．log 5[log 3(log 2x )]＝0，则x －12等于( C )A ．66 B ．39C ．24D ．23[解析]∵log 5[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1， ∴log 2x ＝3，∴x ＝23＝8，∴x －12 ＝8－12 ＝18＝122＝24，故选C ．3．若log a 3＝2log 230，则a 的值为( B ) A ．2 B ．3 C ．8D ．9[解析]∵log a 3＝2log 230＝20＝1，∴a ＝3，故选B ．4．已知lg a ＝2.31，lg b ＝1.31，则b a等于( B ) A ．1100 B ．110 C ．10D ．100[解析]∵lg a ＝2.31，lg b ＝1.31，∴a ＝102.31，b ＝101.31，∴b a ＝101.31102.31＝10－1＝110. 二、填空题5．若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a2m ＋n＝__12__.[解析]∵log a 2＝m ，∴a m＝2，∴a 2m＝4， 又∵log a 3＝n ，∴a n＝3， ∴a2m ＋n＝a 2m ·a n＝4×3＝12.6．log 333＝__3__.[解析] 令log333＝x ，∴(3)x＝33＝(3)3， ∴x ＝3，∴log 333＝3.三、解答题7．求下列各式中的x ： (1)log x 27＝32；(2)log 2x ＝－23；(3)log x (3＋22)＝－2； (4)log 5(log 2x )＝0； (5)x ＝log 2719.[解析] (1)由log x 27＝32，得x 32 ＝27，∴x ＝2723 ＝9.(2)由log 2x ＝－23，得x ＝2－23 ＝322.(3)由log x (3＋22)＝－2，得3＋22＝x －2， ∴x ＝(3＋22)－12 ＝2－1.(4)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1，∴x ＝21＝2.(5)由log 2719＝x ，得27x＝19，33x ＝3－2，∴3x ＝－2，∴x ＝－23.8．求下列各式中x 的值： (1)x ＝log224；(2)x ＝log 93； (3)log x 8＝－3；(4)log 12x ＝4.[解析] (1)由已知得(22)x＝4， ∴2－x2 ＝22，－x2＝2，x ＝－4.(2)由已知得9x ＝3，即32x＝312.∴2x ＝12，x ＝14.(3)由已知得x －3＝8， 即(1x )3＝23，1x ＝2，x ＝12. (4)由已知得x ＝(12)4＝116.9．设x ＝log 23，求23x－2－3x2x －2－x 的值．[解析] 由x ＝log 23，得2－x＝13，2x ＝3，∴23x－2－3x2x －2－x ＝2x 3－2－x 32x －2－x＝(2x )2＋1＋(2－x )2＝32＋1＋(13)2＝919.。

第1课时对数［A 基础达标]1．如果a3＝N(a＞0,a≠1),则有（)A．log3N＝a B．log3a＝NC．log a N＝3 D．log a3＝N答案：C2．对数式M＝log(a－3）(10－2a)中，实数a的取值范围是( ) A．（－∞，5)B．（3，5)C．(3,＋∞）D．(3，4）∪(4,5)解析：选D.由题意得错误!解得3〈a〈4或4<a〈5，即a的取值范围是（3，4)∪(4，5)．3．已知log2x＝3,则x错误!等于（)A。

错误!B。

错误!C.错误!D。

错误!解析：选D。

因为log2x＝3,所以x＝23＝8。

所以x错误!＝8错误!＝错误!＝错误!.故选D.4．已知log a错误!＝m，log a3＝n，则a m＋2n等于（）A．3 B.错误!C．9 D.错误!解析:选D.由已知得a m＝错误!，a n＝3.所以a m＋2n＝a m×a2n＝a m×（a n)2＝错误!×32＝错误!。

故选D. 5．3log34－27错误!－lg 0。

01＋ln e3等于( ）A．14 B．0C．1 D．6解析:选B.原式＝4－(33)错误!－（－2）＋3＝4－9－(－2)＋3＝0. 6．ln 1＋log（错误!－1)（错误!－1)＝________．解析：ln 1＋log(错误!－1)（错误!－1)＝0＋1＝1.答案:17．若log2错误!＝1,则x＝________．解析：因为log2错误!＝1，所以错误!＝2.即2x－5＝6.解得x＝错误!。

答案：错误!8．已知f （x ）＝错误!则满足f （x ）＝错误!的x 的值为________． 解析:由题意得①错误!或②错误!解①得x ＝2，与x ≤1矛盾，故舍去，解②得x ＝3，符合x ＞1.所以x ＝3。

答案:39．求下列各式中x 的值：（1）log x 27＝错误!；(2)4x ＝5×3x ；(3)52－log 53＝x ；（4）错误!错误!＝x （a ＞0，b ＞0，c＞0，a ≠1，b ≠1）． 解：（1)因为log x 27＝错误!，所以x 32＝27＝33＝9错误!，故x ＝9。