微积分期末复习重点纲要zhaoshuyuan
- 格式：docx
- 大小：366.15 KB
- 文档页数：11
下载文档原格式
合集下载
(完整版)赵树嫄微积分第四版第二章极限与连续
x从右侧无限趋近x0 , 记作x x0 (或x x0 0 ) .
左极限：
0, 0,使当x0 x x0时, 恒有 | f ( x) A | .
记作 lim f ( x) A 或 x x0
f ( x0 0) A .
x0
x0
x
左极限：
0, 0,使当x0 x x0时, 恒有 | f ( x) A | .
定义无限接近于无限增大时sinlimsinlim为中心线直线图形完全落在以函数lim不存在arctanlim不存在lim的一条水平渐近线就是那么的距离趋于零这时我们称直线lim的一条水平渐近线就是那么为常数二自变量趋于有限点处时函数的极限问题
第二章 极限与连续
本章介绍极限的概念、性质和运算法则，以及与极 限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作 用的无穷小量的概念和性质。此外还给出了两个极 其有用的重要极限。随后，运用极限引入了函数的 连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化 这一现象的数学描述，微积分学中讨论的函数主要 是连续函数。
x
x
故 lim ex 不存在. x
o
x
一条伸展到无穷远的曲线 y f ( x) ,当点P( x, f ( x)) 沿 曲线无限远离原点时,点 P 到直线 y A 的距离趋于零, 这时我们称直线 y A 是曲线 y f ( x) 的水平渐近线.
如果 lim f ( x) A 或 lim f ( x) A ( A 为常数)，
性质2 有界性
对于数列{an } ，如果存在常数 M 0 ，使对一切 n，有
| an | M , 则称数列{an } 是有界的。
定理2 收敛的数列必定有界。 注1 有界性是数列收敛的必要条件，不是充分条件。
《微积分赵树嫄》课件
微分的性质
微分具有一些基本的性质，如线性性 质、可加性、可乘性和微分中值定理 等，这些性质在研究函数的近似计算 、泰勒展开和极值问题等方面有重要 应用。
导数在几何中的应用
求切线方程
通过导数可以求出函数在某一点 的切线方程，从而了解函数在该 点的几何意义。
研究曲线的形状
通过导数可以研究曲线的单调性 、极值点和拐点等，从而了解曲 线的整体形状和变化趋势。
详细描述
如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值，则函 数在该点连续。连续性具有一些重要性质，如零点定理、介 值定理等，这些性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
无穷小量与无穷大量
总结词
无穷小量和无穷大量是微积分中的重要概念，它们描述了函数在某点附近的变化趋势。
详细描述
无穷小量是指当自变量趋近于某点时，函数值趋近于零的量。而无穷大量则是当自变量趋近于某点时 ，函数值趋近于无穷大的量。了解无穷小量和无穷大量的性质对于理解微积分的概念和运算方法非常 重要。
02 极限与连续性
极限的定义与性质
总结词
极限是微积分中的基本概念，它描述了函数在某一点的变化趋势。
详细描述
极限的定义为，对于函数在某点的极限，当自变量趋近于这个点时，函数值趋 近于一个确定的常数。极限具有一些基本性质，如唯一性、有界性、局部保号 性等。
连续性的概念与性质
总结词
连续性是函数的一种特性，描述了函数图像在某点的连接方 式。
金融市场分析
微积分可以用于研究金融市场的变化 规律，如股票价格、利率等变量的导 数和积分，帮助投资者进行风险评估 和决策。
供需关系分析
经济增长与收敛
微积分可以用于研究经济增长的收敛 性和差异性，分析不同经济体的增长 路径和趋势。
微分具有一些基本的性质，如线性性 质、可加性、可乘性和微分中值定理 等，这些性质在研究函数的近似计算 、泰勒展开和极值问题等方面有重要 应用。
导数在几何中的应用
求切线方程
通过导数可以求出函数在某一点 的切线方程，从而了解函数在该 点的几何意义。
研究曲线的形状
通过导数可以研究曲线的单调性 、极值点和拐点等，从而了解曲 线的整体形状和变化趋势。
详细描述
如果函数在某点的左右极限相等且等于该点的函数值，则函 数在该点连续。连续性具有一些重要性质，如零点定理、介 值定理等，这些性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
无穷小量与无穷大量
总结词
无穷小量和无穷大量是微积分中的重要概念，它们描述了函数在某点附近的变化趋势。
详细描述
无穷小量是指当自变量趋近于某点时，函数值趋近于零的量。而无穷大量则是当自变量趋近于某点时 ，函数值趋近于无穷大的量。了解无穷小量和无穷大量的性质对于理解微积分的概念和运算方法非常 重要。
02 极限与连续性
极限的定义与性质
总结词
极限是微积分中的基本概念，它描述了函数在某一点的变化趋势。
详细描述
极限的定义为，对于函数在某点的极限，当自变量趋近于这个点时，函数值趋 近于一个确定的常数。极限具有一些基本性质，如唯一性、有界性、局部保号 性等。
连续性的概念与性质
总结词
连续性是函数的一种特性，描述了函数图像在某点的连接方 式。
金融市场分析
微积分可以用于研究金融市场的变化 规律，如股票价格、利率等变量的导 数和积分，帮助投资者进行风险评估 和决策。
供需关系分析
经济增长与收敛
微积分可以用于研究经济增长的收敛 性和差异性，分析不同经济体的增长 路径和趋势。
微积分期末复习重点纲要 zhaoshuyuan
欢迎共阅09-10年微积分(高数(三))（下）期末复习指导第六章定积分一．本章重点定积分的基本性质，定积分的计算， 变上限定积分的求导法。
二．复习要求1.理解定积分的概念，知道定积分与不定2.3.4.(F x 5.法。
无需还元；若是凑微分而不显示“换元”，则积分限不作变换。
定积分适用分部积分的类型及u 、dv 的选择都与不定积分类似，唯一的区别是定积分的分部积分公式中每一项都带着积分上、下限，而且为了减少出错，要及时计算出a uv b的值。
6.熟记奇偶函数在对称区间上的积分的性质。
7．熟练掌握用定积分求平面图形的面积及平面图形绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积。
三．例题选解4arcsin x ⎰能用直接积分法和凑微分求解，适用第二类换元法。
令t =则2,2x t dx tdt ==；当1=x 时，1=t ，当4x =时2t =.dx x x ⎰+411=tdt t t 21212⋅+⎰=dt t t ⎰+212212=dt t t ⎰+-+21221222=dt t ⎰+-212122 =21)arctan 22(t t -（3）显然本题积分21e xdx ⎰属适用分步积分的类型.,根据)11(1++=αααx d dx x ，可=12⑴-⎰⑵0⎰（3）4cos 2x xdx π⎰.3、求由曲线sin y x =，直线2y x =以及2x π=围成的平面区域D 的面积，及区域D 绕X 轴旋转一周而成的旋转体的体积。
参考答案：1、3.42、⑴0；⑵11615；（3）1.84π-3、⑴21;4π-⑵4264ππ-.自我复习习题六(A)4.(3)、(5).5.(3)、（6）、(8)、(10).6.（1）、(3).12.(1)、(3)、(5).14.(1)、(2).21.(2)、； 1n =3.熟记p 级数11p n n ∞=∑的敛散性： 当p>1时，p 级数11p n n ∞=∑收敛； 当p ≤1时，p 级数11p n n ∞=∑发散。
赵树嫄-《微积分(第四版)》第三章 导数与微分
x0 x( x x)
x2
( 1 ) x
1 x2
22
例5 求函数 y x 的导数。 解 y x x x ,
( x ) 1 2x
y x x x
x
x
x
x( x x x )
1
,
x x x
y lim y lim
都不存在(指摆动不定)，则x0 处不可导。
例如,
f
(
x)
x
sin
1 x
,
x 0,
y
1
0, x 0
1
－1/π 0
1/π
x
lim f ( x) lim x sin 0 f (0) ,
x0
x0
x
所以 f ( x) 在 x 0 处连续.
1
但
lim
x0
f ( x) f (0)
第三章
1
第一节 导数引例
(一) 物体作变速直线运动的瞬时速度问题
设变速直线运动的路程函数为s(t) ,
求 t0时刻的瞬时速度,
t0
t
取一邻近于t
的时刻
0
t
,
运动时间t t t0 ,
t
平均速度 v s s(t0 t) s(t0 )
t
t
当 t 0时, 取极限得
y y x
例如, f ( x) | x |
x2, x 0
f (x)
,
x, x 0
o
y x2
y
x
yx
O
x
f(0) 0 , f(0) 1 , 在 x 0处不可导.
08微积分复习小结11页word文档
《微积分》（下）（赵树嫄）总结第七章 无穷级数一、内容提要：１．常数项级数的概念 Ｐ271（1） 级数的定义 级数 通项 部分和 余项 （2）级数收敛的定义２．常数项级数基本性质Ｐ274５条 和 k 倍 加减有限项 加括号 收敛的必有条件３．几个重要的数项级数1º 等比级数 ∑∞1=n n aq 1-，当q <1时收敛；当≥q 1时发散；2º 调和级数 ∑∞1=n n1 发散； 3º p-级数 ∑∞11=n pn（p>0）,当0<p ≤1时发散；当p>1时收敛。
４．正项级数审敛法设∑∞1=n n u 与∑∞1=n n v 均为正项级数，（１）∑∞1=n n u 收敛 充要条件 {}n s 有界。
Ｐ279 定理7.6（２）比较审敛法 Ｐ279若∑∞1=n n u 收敛（发散）且)(n n n n v u u v ≤≤，则∑∞1=n n v 收敛（发散）。
比较法的极限形式：Ｐ282推论若)0(lim +∞<<=∞→l l v u n nn ,则∑∞1=n n u 与∑∞1=n n v 同时收敛或同时发散；当l =0时，可由∑∞1=n n v 收敛推出∑∞1=n n u 也收敛当+∞=l 可由∑∞1=n n v 发散推出∑∞1=n n u 也发散。
（３）比值审敛法 Ｐ283若l u u nn n =+1lim∞→，当l <1时，则∑∞1=n n u 收敛；当l >1时，则∑∞1=n n u 发散；当l =1时，待定。
５． 交错级数审敛法(莱布尼兹审敛法) Ｐ286若交错级数)0(,-1)(1-n ≥=n n n u u ∑∞1满足①0lim =∞→n n u ，且②)(1N n u u n n ∈≥+，则∑∞11-n -1)=n n u (收敛；且1u S ≤ 。
６．任意项级数审敛法① 若0∞→≠n n u lim ，则∑∞1=n nu 发散；② 若∑∞1=n nu收敛，则∑∞1=n n u 绝对收敛；③ 若∑∞1=n nu发散，但∑∞1=n n u 收敛，则∑∞1=n n u 条件收敛。
(完整版)赵树嫄微积分第四版第九章微分方程与差分方程简介
dx
2
2
22
dy 2 sin
y
sin
x 2
dx,
2
ln | csc y cot y | 2cos x C
22
2
为所求通解.
dx sin x
csc
x
dx
ln
|
csc
x
cot
x
|
C
例
求方程
y
1 y2 xy(1 x2 )
满足 y(1)
2
的特解.
解
y
1
分离变量， 1
y2
dy
x(1
x2 ) dx
两边积分
的通解.
解
分离变量：
e
ey y
1
dy
ex ex
1ln(e y 1) ln(ex 1) lnC ,
即所求通解为 (ex 1)(e y 1) C .
例 求方程 dy cos x y cos x y 的通解.
dx
2
2
解 dy cos x y cos x y 2sin x sin y ,
由初始条件 y(0) 1 , C 1 ,
即所求特解为 y e x2 ( x 2 1) .
例 x ln x dy ( y ln x)dx 0 ，且 y(e) 1 。
解 方程改写为 y 1 y 1 , 一阶线性方程， x ln x x
y
e
dx x ln x
(
1
e
dx x ln x
y 积分 ln y x2 lnC ,
则通解为 y C ex2 .
练习 求方程 dy y 的通解. dx x
解 分离变量, dy dx , yx
赵树嫄-《微积分(第四版)》第八章 多元函数微积分(1)
36
例6
求
lim
( x, y)(0,0)
x2 y x2 y2
.
解 由基本不等式 | xy | 1 ( x2 y2 ) , 知 2
(2) 单叶双曲面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
z
(3) 双叶双曲面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
o
y
x
o
y
x
21
(4) 椭圆锥面
x2 a2
y2 b2
z2
z
特殊情况：a b ,
x2 y2 a2z2 --圆锥面.
o
y
z
x
z x2 y2
y
o
x
28
函数 z ln( x y) 的定义域为
{( x, y) | x y 0}
y
o
x
29
例3 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) 的定义域． x y2
解 | 3 x2 y2 | 1
y
x
y2
0
2 x2 y2 4
例如： x y 0 ,
z
x yz2,
z (0,0,2)
x yz2
oy
o
y
x
(0,2,0) x (2,0,0)
14
2º 柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面。 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
15
例4 考虑方程 x2 + y2 = R2 所表示的曲面。
y
Q(0, y,0) A( x, y,0)
2-5微分--经济数学--赵树嫄
关于△x 的 x 0时为
线性主部 高阶无穷小
x0 A x02
故
2019年8月19日星期一
称为函数在 x0 的微分
蚌埠学院 高等数学
x0x
3
定义:若函数
在点 x0 的增量可表示为
Ax o(x)
( A 为不依赖于△x 的常数)
则称函数 y f (x) 在点 可微,而 A x 称为
蚌埠学院 高等数学
6
可导 可微. A f ( x0 ).
注1：函数 y f (x)在任意点 x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或 df (x), 即 dy f (x)dx.
注2：函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于
该函数的导数. 导数也叫"微商".
dy f (x)dx, dy f (x). dx
dy
y cos x sin(x y) sin(x y) sin x
dx
2019年8月19日星期一
蚌埠学院 高等数学
12
例2. 在下列括号中填入适当的函数使等式成立:
(1)
d(
1 2
x2
C)
xdx
(2)
d(
1
sin
t
C
)
cost
d
t
说明: 上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.
5. 复合函数的微分
分别可微 ,
则复合函数
的微分为
f (u) (x) dx du
dy f (u) du
微分形式不变性
结论：无论u是自变量还是中间变量, 函数 y f (u)的微分形式总是不变。
赵树嫄微积分第四版第五章 不定积分
csc
2
x dx cot x C
(sec 2 x csc 2 x ) dx tan x cot x C
2 2 tan x d x (sec x 1) dx tan x x C 例
21
cos 2 x cos2 x sin2 x dx dx 例 cos x sin x cos x sinx
2
问题：(1) 原函数是否存在？ (2) 是否唯一？
原函数存在定理：
如果函数 f ( x ) 在区间 I 内连续，
那么在区间 I 内存在可导函数F ( x ) ， 使x I ，都有F ( x ) f ( x ) .
简言之：连续函数一定有原函数。 因此初等函数在其定义域内都有原函数 。 (但原函数不一定是初等函数)
13
第三节
(1)
基本积分公式
(k是常数)
k dx k x C
(2)
x
dx
x
1
1
C ( 1)
dx ( 3) ln | x | C x x a x C ( 4 ) a dx ln a
1 dx 2 x C x 1 1 dx C 2 x x
(cos x sin x ) dx sin x cos x C
1 x 1 cos x dx ( x si n x ) C 例 cos dx 2 2 2
2
dx 1 sinx 1 si n x 例 dx dx 2 1 sinx cos x (1 sinx )(1 sinx )
(sec 2 x sec x tan x ) dx
微积分(赵树嫄)第一章函数
微积分
链接目录
第二章 极限与连续
第一章 函数
第三章 导数与微分
第五章 不定积分 第七章 无穷级数(不要求) 第九章 微分方程
第四章 中值定理,导数的应用
第六章 定积分 第八章 多元函数 复习
微积分
参考书
[1]赵树嫄. 微积分. 中国人民出版社 [2]同济大学. 高等数学. 高等教育出版社
微积分
xபைடு நூலகம்
-M
-M
微积分
函数-函数的性质
例1:f(x)=sinx在(-∞,+∞)内是有界的。 因为|sinx| ≦1。 例2:f(x)=1/x在(0 ,1)内是无界的。在[1,+∞)内有界。
x 例3: f ( x) 2 在( , )内有界 x 1
2 1 x ( x 1) 1 x 2 f ( x) 2 2 2 x 1 x 1 x 1 2
为邻域的半径。
a- δ a a+ δ
x
邻 域
例：Ｕ(2 ,1 )={ x | |x-2|<1 }={x | 1<x<3 }=( 1, 3)
δ=1 1 2 δ=1 3 x
微积分
函数-集合
Ｕ( a , δ)={ x | 0<|x-a|< δ}
={ x | a- δ <x<a 或 a<x<a+δ} =(a- δ, a)U(a , a+ δ) 称为点a的δ空心邻域。
R={x|x为实数}
微积分
函数-集合
子集 如果集合 A 的元素都是集合 B 的元素，即若 xA 则 必 xB ， 就 说 A 是 B 的 子 集 ， 记 作 AB(读作A包含于B)或BA(读作B包含A)
赵树嫄微积分第四版第四章-中值定理与导数的应用
24
练习 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f (t) ln(1 t),
f (t)在[0, x]上满足拉格朗日定理的条件 ,
f ( x) f (0) f ( )(x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x ,
(2) 若 M m. f (a) f (b),
所以最大值和最小值不可能同时在端点取得。
设 M f (a), 则 M f (b),
(a,b)，使 f ( ) M. 由费马引理, 条件有一个不满足，则定理的结 论就可能不成立。
y
y
y
B
A
B
A
B
A
f ( x) 是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1, 2) 及 (2, 3) 内。
思考： f ( x) 的零点呢？
11
例4 证明：可导函数 f ( x) 的两个零点之间必有 f ( x) f ( x) 的零点. 证 对 g( x) ex f ( x) 使用罗尔定理,
g( x) ex[ f ( x) f ( x)]，
C2
该点处的切线平
A
行 于 弦 AB.
O a
hbx
证明 作辅助函数 F(x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a)， ba
F(x) 在 [a, b]上连续，在 (a, b)内可导，
F(a) F(b) 0， 由罗尔定理， (a, b) ,使
F ( ) f ( ) f (b) f (a) 0 ，
ba
即
f ( ) f (b) f (a) .
ba
17
例7 f (x) ln x ,在[1,e] 上满足拉格朗日定理的条件,
练习 证明当x 0时, x ln(1 x) x. 1 x
证 设 f (t) ln(1 t),
f (t)在[0, x]上满足拉格朗日定理的条件 ,
f ( x) f (0) f ( )(x 0), (0 x)
f (0) 0, f ( x) 1 , 由上式得 1 x
ln(1 x) x ,
(2) 若 M m. f (a) f (b),
所以最大值和最小值不可能同时在端点取得。
设 M f (a), 则 M f (b),
(a,b)，使 f ( ) M. 由费马引理, 条件有一个不满足，则定理的结 论就可能不成立。
y
y
y
B
A
B
A
B
A
f ( x) 是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1, 2) 及 (2, 3) 内。
思考： f ( x) 的零点呢？
11
例4 证明：可导函数 f ( x) 的两个零点之间必有 f ( x) f ( x) 的零点. 证 对 g( x) ex f ( x) 使用罗尔定理,
g( x) ex[ f ( x) f ( x)]，
C2
该点处的切线平
A
行 于 弦 AB.
O a
hbx
证明 作辅助函数 F(x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a)， ba
F(x) 在 [a, b]上连续，在 (a, b)内可导，
F(a) F(b) 0， 由罗尔定理， (a, b) ,使
F ( ) f ( ) f (b) f (a) 0 ，
ba
即
f ( ) f (b) f (a) .
ba
17
例7 f (x) ln x ,在[1,e] 上满足拉格朗日定理的条件,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
微积分期末复习重点纲要z h a o s h u y u a n文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]09-10年微积分 (高数(三)) （下）期末复习指导第六章定积分一．本章重点定积分的基本性质，定积分的计算，变上限定积分的求导法。
二．复习要求1. 理解定积分的概念，知道定积分与不定积分的区别。
函数()f x的不定积分是求导和求微分运算的逆运算。
函数()f x在[],a b上的定积分是一个和式的极限，是一个确定的数，这个数只与被积函数()f x及积分区间[],a b有关。
2. 理解并记住定积分的基本性质。
3. 理解变上限定积分的概念，熟练掌握求变上限定积分的导数的方法：4. 熟练掌握用牛顿—莱布尼兹公式求定积分的方法。
牛—莱公式将定积分与不定积分这两个截然不同的概念联系起来，求定积分的值，只需求出被积函数()f x的一个原函数()F x，再应用牛—莱公式即可。
因而计算定积分也与求不定积分类似，有直接积分法，换元积分法，分部积分法。
5. 熟练掌握定积分的换元积分法，分部积分法。
注意：用换元法求定积分时，换元必换限，无需还元；若是凑微分而不显示“换元”，则积分限不作变换。
定积分适用分部积分的类型及u、dv的选择都与不定积分类似，唯一的区别是定积分的分部积分公式中每一项都带着积分上、下限，而且为了减少出错，要及时计算出auvb的值。
6. 熟记奇偶函数在对称区间上的积分的性质。
7．熟练掌握用定积分求平面图形的面积及平面图形绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积。
三．例题选解例1.求极限limx+→46arcsinxx⎰解: 这是00型不定式，应用罗彼塔法则及变上限定积分求导法，有原式＝350(arcsin lim 6x x x +→＝235024lim 6x x x x +→⋅ （无穷小代换） ＝43 例2. 求定积分：⑴11x -⎰ ⑵dx x x ⎰+411（3）21exdx ⎰.解: ⑴ 根据奇函数在对称区间积分的性质，有：110x -=⎰⑵．本题被积函数含一次函数的根式，且不能用直接积分法和凑微分求解，适用第二类换元法。
令t =则2,2x t dx tdt ==；当1=x 时，1=t ，当4x =时2t =.dx x x ⎰+411=tdt t t 21212⋅+⎰=dt t t ⎰+212212 =dt t t ⎰+-+21221222=dt t ⎰+-212122 =21)arctan 22(t t -（3）显然本题积分21e xdx ⎰ 属适用分步积分的类型.,根据)11(1++=αααx d dx x ，可得25552444(41)525251e e x e =-=+. 例3. 求1y x -=、y x =、2x =围成的平面图形的面积以及该平面图形绕X 轴旋转一周形成的旋转体的体积。
解：由所给曲线方程解得交点：（1，1）， （2，12），(2，2) .画出平面图形如下: （1）求平面图形的面积.视平面图形为X 形区域，得平面图形面积为：＝223(ln )ln 2122x x -=-（2）求旋转体的体积. 视平面图形为X 形区域，有： 四．练习题及参考答案1、求极限34limx x x→⎰2、求积分⑴35-⎰⑵3⎰（3）4cos 2x xdx π⎰.3、求由曲线sin y x =，直线2y x =以及2x π=围成的平面区域D 的面积，及区域D 绕X 轴旋转一周而成的旋转体的体积。
参考答案：1、3.42、⑴ 0；⑵ 11615；（3）1.84π-3、⑴21;4π-⑵4264ππ-.自我复习习题六 (A) 4. (3)、(5). 5.(3)、（6）、(8)、(10) .6.（1）、(3) . 12.(1) 、(3)、 (5) . 14.(1)、(2) .21. (2)、(5). 25.(1)、(2).第七章 无穷级数一．本章重点数项级数收敛性的判定(包括正项级数的收敛性判定；交错级数的绝对收敛与条件收敛的判定)。
幂级数的收敛域的确定。
利用幂级数的性质求幂级数的和函数。
二．复习要求1. 理解级数的基本概念； 记住级数的基本性质，特别是：若级数1n n u ∞=∑收敛，则必有lim 0n n u →∞=，但lim 0n n u →∞=时，级数1nn u∞=∑未必收敛。
2. 熟记等比级数 1n n aq ∞=∑ 的敛散性：当|q|<1时，等比级数1n n aq ∞=∑收敛到1aqq-； 当|q|≥1时，等比级数1n n aq ∞=∑发散。
3. 熟记p 级数 11pn n∞=∑的敛散性： 当p>1时，p 级数11p n n ∞=∑收敛； 当p ≤1时，p 级数11pn n∞=∑发散。
4. 熟练掌握正项级数收敛性的判定。
(1)首先考察是否有lim 0n n u →∞≠，若有则1nn u∞=∑必发散；(2)通常可先考虑用比值判别法判定正项级数的1nn u∞=∑收敛性，特别是n u 中含!n 或na 的情形。
(3)考虑用比较判别法时，应先对通项n u 作初步估计，再用适合的p 级数的通项与之比较作出判定。
5.熟练掌握交错级数1(1)(0)nnn n u u ∞=->∑绝对收敛还是条件收敛的判定。
(1)先考查1n n u ∞=∑是否收敛，若1n n u ∞=∑收敛，则1(1)n n n u ∞=-∑ 是绝对收敛； (2)若1nn u∞=∑ 发散，则用莱布尼兹判别法判定1(1)nn n u ∞=-∑ 是否收敛，若收敛，则为条件收敛。
6. 会求幂级数的收敛域。
(1) 对不缺项的幂级数0n n n a x ∞=∑（允许缺有限项），取其后项与前项系数之比的绝对值取极限：1lim n n na l a +→∞= 确定收敛半径1R l=及收敛区间(,)R R -。
对有缺项的幂级数（指缺无限多项），则直接取其后项与前项之比的绝对值取极限：1()lim()n n n u x l u x +→∞=然后根据定理确定收敛半径R 及收敛区间(,)R R -。
(2) 讨论(-R , R )的端点x R =- 及x R =处级数0n n n a x ∞=∑的收敛性，并写出收敛域(收敛区间加收敛的端点)。
7. 熟记幂级数的性质，特别是幂级数在收敛区间内可以逐项微分、逐项积分的性质，并能应用它们及如下公式求幂级数的和函数。
(1)01111n n x x x∞==-<<-∑(2) 101(1)111n n n x x x∞-=-=-<<+∑三.例题选讲例1．判定下列级数的敛散性，对交错级数需说明是绝对收敛还是条件收敛 (1). 11(1cos )n n∞=-∑(2) 11(1)n n ∞-=-∑(3) 1(1)(1)3nnn n n ∞=+-∑ 解：(1)令11cos n u n =-当n →+∞时，2)1(21~nu n ，显然 2112n n∞=∑收敛，故原级数收敛。
小结：利用p 级数作比较标准，用比较判别法来判别正项级数的敛散性时，用等价无穷小代换是一个简便实用的方法，常用的等价无穷小代换还有：n →+∞时， n n 1~1sin，nn 1~)11ln(+ ……（参见教材P79）。
(2) 132132)1(111+∑=+-∑∞=-∞=n n n n n ，事实上 ，根据正项级数的比较判别法的极限形式， 因为1233lim 233lim 32232lim=+=+=+∞→∞→∞→n n n n nn n n n 又因为nnn n 1323211∞=∞=∑=∑=发散，所以11(1)n n ∞-=-∑发散；但有:记132+=n u n1n n u u +=>=，lim 0n n u →∞=，所以交错级数1(1)n n ∞-=-∑条件收敛。
(3). nn n n n n n n n 3)1(3)1()1(111+∑=+-∑∞=-∞=， 根据正项级数的比值判别法，由13132lim 3)1(3)2)(1(lim1<=+=+++∞→+∞→n n n n n n n nn n nn n n 3)1(1+∑∴∞=收敛 ∴1(1)(1)3n nn n n ∞=+-∑绝对收敛。
例2 求幂级数 21112n nn x ∞-=∑ 的收敛半径和收敛区间.解：所给幂级数为缺项情形,由2(1)1121211()12lim lim 1()22n n n n n n n nx u x x u x x+-++→∞→∞-== 根据定理7-12,当2112x <即x <,所给幂级数绝对收敛; 当2112x >即x >时,所给幂级数发散.所以幂级数的收敛半径R =(. 例3.求0(2)n n n x ∞=+∑的收敛半径,收敛区间及和函数,解: 记2n a n =+,则幂级数收敛半径为:12limlim 13n n n n a n R a n →∞→∞++===+,收敛区间为 (1,1)-.且当1x =±时,幂级数为(2)(1)nn n ∞=+±∑,其通项求极限∴幂级数的收敛域也是(1,1).-记幂级数和函数为()f x .即 (1) 当0x ≠时,=)1(1)(1)(122020'-='∑='∑+∞=+∞=xx x x x x x n n n n =222)1(2)1(21x x x x x x --=--⋅ （2）当0=x 时，=)(x f 2综上: 22()11(1)xf x x x -=-<<-四．练习题及参考答案 1. 判定下列级数的敛散性。
(1) 111(1)3n n n n ∞--=-∑(2)111(1))n n n ∞-=-+∑(3) 11(1)31n n n -∞=-+∑(4) 111(1)41n n n n ∞-=--+∑ 2. 求幂级数21(1)5nnn n x ∞=-∑的收敛半径和收敛区间. 3. 求21n n nx∞+=∑的收敛半径,收敛区间及和函数。
参考答案：1.(1).绝对收敛 ；(2).绝对收敛；(3)条件收敛 ; (4) 发散.2.(R =收敛区间 332(1,1),()(1)x f x x -=-. 自我复习： 习题七(A)4. (7) ,(8) ；5,(4); 7.(1),(3); 8. (1),(3); 9. (5),(12); 10. (2).第八章 多元函数一．本章重点多元函数的偏导数及全微分；多元函数的极值与条件极值；二重积分在直角坐标系下的计算。
二．复习要求1.理解多元函数的概念，会求二元函数的定义域；2.熟练掌握二元函数一阶及二阶偏导数的计算，会求二元函数的全微分；3.熟练掌握多元复合函数的链式求导法，特别是抽象复合函数的偏导数求导法；4.熟练掌握利用多元复合函数求导法导出的隐函数求导公式：若(,,)0F x y z =可确定隐函数(,)z f x y =则 ,y x z z F F zz x F y F ''∂∂=-=-''∂∂ 求 ,,x y z F F F ''' 时，均视,,x y z 为地位平等的自变量。