雨中行走问题(数学问题解决)

关于人在雨中行走的数学模型摘要本题在给定的降雨条件下，分别建立相应的数学模型，分析人体在雨中行走时淋雨多少与行走速度、降雨方向等因素的关系。

其中题中所涉及到的降雨量是指从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水面上积聚的水层深度，它可以直观地表示降雨的多少。

淋雨量，是指人在雨中行走时全身所接收的雨的体积，可表示为单位时间单位面积上淋雨的多少与接收雨的面积和淋雨时间的乘积。

利用MATLAB软件对各个问题进行求解。

对于问题一，设降雨淋遍全身不考虑雨的方向，经简化假设人淋雨面积为前后左右及头顶面积之和。

对于问题二，雨迎面吹来，雨线方向与行走方向在同一平面，人淋雨面积为前方和头顶面积之和。

因各个方向上降雨速度分量不同，故分别计算头顶和前方的淋雨量后相加即为总的淋雨量。

据此可列出总淋雨量w与行走速度v之间的函数关系。

分析表明当行走速度为v时，淋雨量最少。

m对于问题三，雨从背面吹来，雨线与行走在同一平面内，人淋雨量于人和雨相对速度有关，列出函数关系式分析并求解。

关键词：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度，雨滴下落的速度，角度，降雨强度问题重述要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。

将人体简化成一个长方体，高a =1.5m （颈部以下），宽b =0.5m ，厚c =0.2m .设跑步距离d =1000m ，跑步最大速度m v =5s m /，雨速u =4s m /，降雨量w =2h cm /，记跑步速度为v .按以下步骤进行讨论：（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量。

（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为θ，如图1.建立总淋雨量与速度v及参数θ,,,,,,wa之间的关系，问速度v多大，bucdθ,0ο30时的总淋雨量。

总淋雨量最少。

计算==θ（3）雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数α,dca之间的关系，问速度v多ub,,w,,,大，总淋雨量最少。

题目：一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。

假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。

一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。

但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。

试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。

1 建模准备建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最小。

主要因素：淋雨量， 降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度 2 模型假设及符号说明1）把人体视为长方体，身高h 米，宽度w 米，厚度d 米。

淋雨总量用C 升来记。

2）降雨大小用降雨强度I 厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。

在这里可视其为一常量。

3）风速保持不变。

4）你一定常的速度v 米/秒跑完全程D 米。

3 模型建立与计算1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。

淋雨的面积 )( 222米wd dh wh S ++=雨中行走的时间 )(秒vD t = 降雨强度 )/()3600/01.0()/(01.0)/(s m I I I ==时米时厘米（升）米S I v D S I t C ⨯⨯=⨯⨯⨯=3600/)/(10)(01.0)3600/(3 模型中为变量。

为参数，而v S I D ,,结论，淋雨量与速度成反比。

这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量。

米即米米米小时厘米米若取参数22.2,20.0,50.0,50.1,/2,1000======S d w h I D 秒。

分秒，即你在雨中行走了每秒，则计算得米度你在雨中行走的最大速472167/6=v从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。

经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。

人在雨中行走时的淋雨量问题人在雨中行走时的淋雨量问题一．模型假设 1.把人看做一个长方体；2.雨滴下落的速度，方向保持不变；3.人行走一段距离的速度，方向保持不变。

4.假设主要淋雨量集中在正面，背面和头部，忽略两侧淋雨量。

即考虑总淋雨量时只考虑（正面+头部）或者（背面+头部）二．符号说明1.V 为雨速（m/s ），方向定义为朝着人正面为正。

2.D 为人在雨中行走距离。

3.R 为人在雨中行走速度3.θ为雨滴下落方向与地平面的所成角，0°≤θ≤90°。

4. h1，h2，h3分别为视人体为一个长方体时人的身高(m)、身宽(m)、厚度(m)；5.总淋雨量为W （R)单位为m 3。

三．模型建立本模型是在上诉理想条件下分析人在行走时的淋雨量的大小，而淋雨量的大小取决与降雨量的大小，方向，还有人行走的速度，行走的路程。

我们的目标是求出使得人在雨中行走时淋雨量最小的条件。

即最佳行走速度。

以人为Z 轴，人行走的方向为X 轴，左边为y 轴建立空间坐标系。

则雨的降落速度可以按这个坐标系分解到x 轴，y 轴，z 轴。

得到θθθsin ,cos ,cos V Vz V Vy V Vx ===。

进一步得到θcos V R V +=相.人的头部，正面或背面的淋雨面积为h1h2，h2h3，淋雨时间为D/V.则可得到人正面或背面的淋雨量为θcos 21V R h h R D +；人头部淋雨量为θsin 32V h h RD ；进一步得总淋雨量W(R ）=()θθsin 33cos 21V h h V R h h RD ++。

分析：1）当雨从人正面降落，即V 方向取正，V>0,由此得到}sin 32)cos (21{)(θθV h h V R h h R D R W ++=；对W （R)进行单调性分析可知，其一阶导数0)(<'R W 。

所以W(V)单调递减。

无最小值。

2）当雨从人后面降落，即V 方向取负，V<0，由此得到()θθsin 33cos 21)(V h h V R h h RD R W ++= =21)cos 21sin 32(h Dh RV h h V h h D --θθ，θcos 0V R -<<----------------① =θθθcos ,21)sin 32cos 21(V R h Dh RV h h V h h D -≥++；------------------② 分别讨论上诉两种情况下的一阶导数可得：2)cos 21sin 32()(R V h h V h h D R W θθ+-=' 下面对其进行极值分析：其 a ）当θcos 0R R -<<时，当θθcos 21sin 32V h h V h h +>0时，。

数学建模之雨中行走问题模型摘要：由于降雨方向的变化，在跑步过程中尽力快跑不一定是最好的策略。

就淋雨量与跑步快慢这个问题，我们通过建立数学模型来探讨在雨中如何行走才能使淋雨量最少。

在不考虑雨的方向时，当然是跑的越快淋得越少；考虑雨的方向时，那么再分情况讨论，若雨是迎着你前进的方向落下，这时以最大的速度向前跑可使淋雨量最少；若雨是从你的背后落下，那么你应控制在雨中行走的速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。

关键词：淋雨量，数学模型，降雨的方向。

正文1.问题的提出要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少。

将人体简化成一个长方形，高a=1.5（颈部以下），宽b=0.5m，厚c=0.2m，设跑步的距离d=1000m，跑步的最大速度v m=5m/s，雨速u=4m/s，降雨量ω=2cm/h，及跑步速度为v，按以下步骤进行讨论（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步估计跑完全程的淋雨量；（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为 ，问跑步速度v 为多大时可使淋雨量最少。

（3）雨从背面吹来，雨线方向跑步方向在同一平面内，且与人体的夹角为α，如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a，b，c，d，u，ω，α之间的关系，问速度v多大，总淋雨量最小。

计算α=30°的总淋雨量.（说明：题目中所涉及的图形为网上提供）2.问题的分析总的淋雨量等于人体的各个面上的淋雨量之和。

每个面上的淋雨量等于单位面积、单位时间的淋雨量与面积以及时间的乘积。

面积由已知各边长乘积得出，时间为总路程与人前行速度的比值。

再由速度分解，合成，相对速度等知识确定各面淋雨量公式，列出总的方程，根据各变量关系，得出最优解。

淋雨量（V ）=降雨量（ω）×人体淋雨面积（S ）×淋浴时间（t ） ①时间（t ）=跑步距离（d ）÷人跑步速度（v ） ②由①② 得： 淋雨量（V ）=ω×S ×d/v3.合理假设3.1模型的假设（1）人身体的表面非常复杂，为了使问题简单化，假设将人视为一个长方体，并设其高1.5m(颈部以下)，宽0.5m,厚0.2m.其前、侧、顶的面积之比为1:b:c, （2）假设降雨量到一定时间时，应为定值； （3）此人在雨中跑步应为直线跑步；（4）、问题中涉及的降雨量应指天空降落到地面的雨，而不是人工，或者流失的水量，因为它可以直观的表示降雨量的多少；（5）设雨速为常速且方向不变，选择适当的空间直角坐标系，使人行走的速度为(u,0,0）设雨的速度为(,,)x y z v v v v =,人行走的距离为d=100米。

雨中行走问题的研究
人们外出行走，途中遇雨，未带雨伞势必淋雨，自然就会想到，走多快才会少淋雨呢？一个简单的情形是只考虑人在雨中沿直线从一处向另一处行进,雨的速度(大小和方向)已知，问行人走的速度多大才能使淋雨量最少。

参与这问题的因素：
降雨的大小；风(降雨)的方向；路程的远近和人跑的快慢。

分析：
淋雨量在数学上如何表示？
假设
1. 人行走的路线为直线，行走距离为L
选择适当的直角坐标系，使人行走速度为：v1=(u,0,0),则行走的时间为L/u.
2. 雨的速度不变，记为：v2=(vx,vy,vz)
相对速度：v= v2- v1 =(vx-u,vy,vz)
3. 人体为长方体，其前、侧、顶的面积之比为1:b:c
单位时间内的淋雨量: | vx －u|＋| vy |b＋| vz |c
从而总淋雨量:
R(u)=(| vx －u|＋| vy |b＋| vz |c)T (行走的时间为L/u)
=(| vx －u| +a)L/u (a=| vy |b+| vz |c >0)
于是雨中行走问题抽象成如下数学问题：
已知L,Vx,a,求u为何值时R(u)最小？
1. Vx > 0
vx >a的情形（有最小值）vx a时, u=vx才使取最小值Rmin=La/Vx
当vx a>0时，取u=Vx可使前后不淋雨，其淋雨总量最小，其它情况下，都应使u尽可能大，才能使淋雨量尽可能小，这比较符合人们生活的常识。

雨中行走问题提出：人们外出行走，途中遇雨，未带雨伞势必淋雨，自然就会想知道：走多快才会少淋雨呢？模型假设：1.只考虑人在雨中沿直线从一处向另一处行进；2.视人体为一个长方体，其身高为h 米，身宽为w 米，厚度为d 米；3.人在雨中行走的速度为v 米/秒，行走距离为D 米；4.雨以速度r 米/秒，沿降雨角度θ（雨滴下落方向与人行走方向的角度）下落；5.降雨强度系数（单位时间内的降雨深度占竖直降雨速度的比例）为ρ，因而降雨强度（单位时间内单位面积上的降雨量，即单位时间内的降雨深度）为：⋅ρ竖直降雨速度.问题分析：如果不考虑降雨角度的影响，即人在行走过程中身体的前后、左右、上方都被雨水淋到，那么，淋雨面积为wd hd hw S ++=22，又淋雨时间为vD t =，故总淋雨量为v wd hd hw rD t S r C )22(++=⋅⋅=. 此式表明，淋雨量与行进速度成反比. 因此，人应尽可能快跑以能减少淋雨量.这种情形过于简单，下面来讨论考虑降雨角度影响的情形.模型建立： 分情况讨论：淋雨时间为v D t =1.20πθ≤<（0=θ不合乎实际）此时，雨迎面而来，人的头部和前部被淋（见下图）.头部的淋雨量：头部的面积为dw ，雨在竖直方向上的分速度为θsin r ，降雨强度为θρsin r ⋅，故淋雨量为θρθρsin sin 1dr vwD v D dw r C =⋅⋅=. 前部的淋雨量：前部的面积为wh ，雨在水平方向上的分速度为θcos r ，相对于人的速度为v r +θcos ，降雨强度为)cos (v r +⋅θρ，故淋雨量为)cos ()cos (2v r h vwD v D wh v r C +=⋅⋅+=θρθρ. 于是，总淋雨量为 [])cos (sin )cos (sin 21v r h dr vwD v r h v wD dr v wD C C C ++=++=+=θθρθρθρ. 特别地，当2πθ=（雨竖直下落）时，总淋雨量为)(hv dr vwD C +=ρ. 2.πθπ<<2（πθ=不合乎实际）此时，雨从背后落下，人的头部、后部（或前部）被淋（见下图）.v令απθ+=2，则20πα<<.头部的淋雨量：头部的面积为dw ，雨在竖直方向上的分速度为αcos r ，降雨强度为αρcos r ⋅，故淋雨量为αραρcos cos 1dr vwD v D dw r C =⋅⋅=. 水平方向上的淋雨量：后部（或前部）的面积为wh ，雨在水平方向上的分速度为αsin r ，相对于人的速度为|sin |v r -α，降雨强度为|sin |v r -⋅αρ，故淋雨量为|sin ||sin |2v r h vwD v D wh v r C -=⋅⋅-=αραρ. 于是，总淋雨量为 []|sin |cos |sin |cos 21v r h dr v wDv r h v wDdr v wDC C C -+=-+=+=ααραραρ.Case （1）：αsin r v ≤此时，人的行进速度不快于雨在水平方向上的分速度（雨从后方赶上人），头部和后部被淋，总淋雨量为[])sin (cos v r h dr v wDC -+=ααρ.特别地，当αsin r v =时，人的行进速度恰好等于雨在水平方向上的分速度（人刚好跟着雨向前走），仅头部被淋，总淋雨量为αρcos dr v wDC =. Case （2）：αsin r v >此时，人的行进速度快于雨在水平方向上的分速度（人赶上前方的雨），头部和前部被淋，总淋雨量为[])sin (cos ααρr v h dr v wDC -+=.综上，总淋雨量为[][][]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<-+≤<<-+≤<++=απθπααραπθπααρπθθθρsin ,2,)sin (cos sin ,2,)sin (cos 20,)cos (sin r v r v h dr vwD r v v r h dr vwD v r h dr v wD C 由απθ+=2得[][][]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-><<++-≤<<+-≤<++=θπθπθθρθπθπθθρπθθθρcos ,2,)cos (sin cos ,2,)cos (sin 20,)cos (sin r v r v h dr v wD r v v r h dr vwD v r h dr v wD C 即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-><<++-≤<<--≤<++=θπθπρθθρθπθπρθθρπθρθθρcos ,2,)cos sin (cos ,2,)cos sin (20,)cos sin ()(r v wDh v h d wDr r v wDh v h d wDr wDh v h d wDr v C 模型求解： 当20πθ≤<和θπθπcos ,2r v -≤<<时，)(v C 均为v 的减函数，故为使)(v C 最小，应使v 尽可能大；当θπθπcos ,2r v -><<时，)(v C 的单调性取决于θθcos sin h d +的正负，应视情况来判断.结论：要使淋雨量最小，（1）若雨迎面而来，则人应以最大可能的速度向前行进；（2）若雨从背后落下，则人应控制行进速度为雨在水平方向上的分速度.模型讨论：如果视人体为一圆柱，如何？。

队号：第四队成员：刘桂清、徐丽蓉、林雪梅指导老师：刘于江老师雨中行走少淋雨问题真题摘要建一模型说明当你在雨中行走又想少淋雨时，应当如下做：(1)若你行走的方向是顺风且雨的夹角至少为，你应以雨速水平分量的速度行走，以便使雨相对于你是垂直下落的（2）在其他情况下，你都应以最快的速度行走。

关键词：少淋雨；雨速的水平分量；夹角；人速1.问题的重述当下雨时，假如你当时没带雨伞你又不得不从A地走到B地，该如何行走才能少淋到雨呢？针对这个问题，建立合理的数学模型。

讨论一下，人在顺风行走时，你以雨速的水平分量的速度走时，雨的夹角至少是多少？进而近一步讨论，在其他情况下，你都应以最快的速度行走。

2.模型的假设与符号说明2.1模型的假设（1）把人体看作长方体，底边长a米、宽为b米;高为h米；（2）风速保持不变,人速以V（m/s）匀速行走;（3）人从A地行走到B地，路程为L=1000米；2.2符号说明a 人体的宽度 (m)b 人体的厚度 (m)h 人体的身高 (m)V 人的速度（m/s）ν风速（雨速）（m/s）L 人行走的路程 (m)θ下雨的方向与人的夹角t 人在雨中行走的时间 (s)ρ降雨密度3.模型的建立与求解（1）考虑人在顺风行走时，此种情况下，如图：人淋雨的部位有头、背后，则：头顶的淋雨量：C1=VLabθρνcos侧面的淋雨量：C2=VVLbh)sin(θνρ-总淋雨量： C=C1+C2=VVhaLb)]sin(cos[θνθνρ-+结论：可以看出总淋雨量与速度.角度有关，且与人的速度成反比，当V=νsinθ时，即=θarcsinνV,总淋雨量C最小。

所以，上述情况就转化为与θ有关的问题：（1）当0=θ时C=VhV a Lb )(+νρ=ρρνLbh VLab +结论：可以看出总淋雨量与人的行走速度成反比，当速度尽可能大的时候，淋雨量越小。

（2）当4πθ=时C=VV h a Lb )]22(22[ννρ-+=VLab νρ22+h Lb ρ-Vh Lb νρ22=(Vh Lbb a ρ22)1-+h Lb ρ结论：可以看出总淋雨量与人的行走速度成反比，当速度尽可能大的时候，淋雨量越小。

雨中行走问题数学模型案例
一个常见的数学模型案例是“雨中行走”问题。

在这个问题中，假设有一个人需要从一个地方到另一个地方，但是正在下雨。

人可以以一定的速度行走，但是会因为雨水而放慢速度。

问如何确定最快的路线，使得从起点到终点的时间最短。

为了建立这个数学模型，可以采用以下假设和变量：
1. 假设下雨时，人的行走速度是正常时的百分之多少，这个值称为“减速因子”。

假设减速因子为x%，则雨中行走的速度为正常速度的x%。

2. 假设人在雨中行走时的速度是与雨水的强度相关的。

可以假设速度与雨水强度成正比，即速度v与雨水强度I之间存在关系v = kI （其中k为比例常数）。

3. 假设人在雨中行走的路径是直线。

1
根据上述假设和变量，可以建立以下数学模型：
1. 定义起点和终点的坐标（x1，y1）和（x2，y2）。

2. 定义每个点（x，y）处的雨水强度I。

3. 计算人在一段距离（Δx，Δy）内花费的时间t：t = l / (v * x / 100)，其中l是距离，v是速度，x是减速因子。

4. 计算从起点到终点的路线上每个点（x，y）的雨水强度I。

5. 根据模型3计算从起点到终点的每个区间的时间t，并将它们的
和作为总时间T。

6. 通过改变减速因子x，并重新计算总时间T，找到最小的总时间
对应的减速因子x，确定最快的路线。

这样，通过数学模型，可以帮助人们确定在雨中行走时最快的路线。

2。