结构化学习题解答1(北大)知识讲稿

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（完整版）结构化学课后答案第一章

（完整版）结构化学课后答案第⼀章01.量⼦⼒学基础知识【1.1】将锂在⽕焰上燃烧，放出红光，波长λ=670.8nm ，这是Li 原⼦由电⼦组态 (1s)2(2p)1→(1s)2(2s)1跃迁时产⽣的，试计算该红光的频率、波数以及以k J ·mol -1为单位的能量。

解：811412.99810m s 4.46910s 670.8m cνλ--??===? 41711 1.49110cm 670.810cm νλ--===??%3414123-1 -16.62610J s 4.46910 6.602310mol 178.4kJ mol A E h N sν--===?【1.2】实验测定⾦属钠的光电效应数据如下：波长λ/nm 312.5365.0404.7546.1光电⼦最⼤动能E k /10-19J 3.41 2.56 1.95 0.75 作“动能-频率”，从图的斜率和截距计算出Plank 常数(h)值、钠的脱出功(W)和临阈频率(ν0)。

解：将各照射光波长换算成频率v ,并将各频率与对应的光电⼦的最⼤动能E k 列于下表：λ/nm 312.5 365.0 404.7 546.1v /1014s －19.59 8.21 7.41 5.49 E k /10－19J 3.412.561.950.75由表中数据作图，⽰于图1.2中E k /10-19Jν/1014g-1图1.2 ⾦属的k E ν-图由式 0k hv hv E =+ 推知0k kE E h v v v ?==-?即Planck 常数等于k E v -图的斜率。

选取两合适点，将k E 和v 值带⼊上式，即可求出h 。

例如： ()()19341412.70 1.0510 6.60108.5060010J h J s s ---?==?-?g图中直线与横坐标的交点所代表的v 即⾦属的临界频率0v ，由图可知，1410 4.3610v s -=?。

《结构化学》(1-5章)习题答案

目录第一章答案----------------------------------------------------------------------------1 第二章答案---------------------------------------------------------------------------26 第三章答案---------------------------------------------------------------------------47 第四章答案---------------------------------------------------------------------------63 第五章答案---------------------------------------------------------------------------711《结构化学》第一章习题答案1001 (D) 1002 E =h ν p =h /λ 1003,mvh p h ==λ 小 1004 电子概率密度 1005 1-241-9--34s kg m 10626.6s kg m 100.1106.626⋅⋅⨯=⋅⋅⨯⨯==-λhp T = m p 22 = 3123410109.92)10626.6(--⨯⨯⨯ J = 2.410×10-17J 1006 T = h ν- h ν0=λhc -0λhcT = (1/2) mv 2 v =)11(20λλ-m hc = 6.03×105 m ·s -11007 (1/2)mv 2= h ν - W 0 = hc /λ - W 0 = 2.06×10-19 J v = 6.73×105 m/s 1008 λ = 1.226×10-9ｍ/10000= 1.226×10-11 m 1009 (B) 1010 A,B 两步都是对的, A 中v 是自由粒子的运动速率, 它不等于实物波的传播速率u , C 中用了λ= v /ν,这就错了。

结构化学习题解答

∧ ∧
< p >= ψ ( x ) p ψ ( x )dx
x
∫
l
l
∗
∧
n
x
n
0
2 nπx ih d 2 nπx =∫ sin sin dx − 0 l l 2π dx l l ih l nπx nπx nπ = − ∫ sin cos ⋅ dx l πl 0 l l nih l nπx nπx = − 2 ∫ sin cos dx l l l 0 =0
E =
∫
ψ * H ψ dτ
∧
∫
ψ *ψ d τ
进行计算，所得结果是上述能级表达式计算所得结果的进行计算，所得结果是上述能级表达式计算所得结果的1.0132 倍。
② 根据受一定势能场束缚的微粒所具有的量子效应和箱 ψ 中粒子的边界条件 [ n (0 ) = ψ n (l ) = 0] ，箱长应该等于半波长的整数倍，波长的整数倍，即：
2 n
即
2 px
n2h2 = 4l 2
将此式代入粒子的能量表达式，得：
1 1 n 2h 2 2 E = T +V = T = px = × 2m 2m 4l 2 n 2h 2 = 8 ml 2
若不知道粒子的波函数，则可采用下列两种方法求算能量：若不知道粒子的波函数，则可采用下列两种方法求算能量：解箱中粒子的Schrodinger方程，在求解过程中会自然方程， ① 解箱中粒子的方程得到与上述结果相同的能级表达式（参见周公度、得到与上述结果相同的能级表达式（参见周公度、段连云编著《结构化学基础》第二版，北京大学出版社）编著《结构化学基础》第二版，p27，北京大学出版社）。若只求粒子最低能量（零点能）的近似值，若只求粒子最低能量（零点能）的近似值，则亦可根据变 2 分法的思路，为变分函数，用式：分法的思路，选 ψ = xl − x 为变分函数，用式：

北师大版结构化学习题答案

第一章思考题和习题1 什么是物质波和它的统计解释？2 如何理解合格波函数的基本条件？3 如何理解态叠加原理？4 测不准原理的根源是什么？5 铝的逸出功是4.2eV ，用2000Å的光照射时，问（a ）产生的光电子动能是多少？(b)与其相联系的德布罗依波波长是多少？(c)如果电子位置不确定量与德布罗依波波长相当，其动量不确定量如何？6 波函数e -x (0≤x ≤∞)是否是合格波函数，它归一化了吗？如未归一化，求归一化常数。

7 一个量子数为n ，宽度为l 的一维势箱中的粒子，①在0~1/4 区域内的几率是多少？②n 取何值时几率最大？③当n →∞时，这个几率的极限是多少？ 8 函数x ll x l l x ππψ2sin 22sin 23)(+=是不是一维势箱中粒子的可能状态？如果是，其能量有无确定值？如果有，是多少？如果能量没有确定值，其平均值是多少？ 9 在算符∑，错误！未定义书签。

, exp, 错误！未定义书签。

中，那些是线性算符？10 下列函数, 那些是错误！未定义书签。

的本征函数? 并求出相应的本征值。

(a) e imx (b) sin x (c) x 2+ y 2 (d) (a -x )e -x11 有算符,ˆ,ˆX X dx d D== 求D X X D ˆˆˆˆ-。

参考答案1 象电子等实物粒子具有波动性被称作物质波。

物质波的波动性是和微粒行为的统计性联系在一起的。

对大量粒子而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，粒子出现的数目就多，而衍射强度小的地方，粒子出现的数目就少。

对一个粒子而言，通过晶体到达底片的位置不能准确预测。

若将相同速度的粒子，在相同的条件下重复多次相同的实验，一定会在衍射强度大的地方出现的机会多，在衍射强度小的地方出现的机会少。

因此按照波恩物质波的统计解释，对于单个粒子，ψψ=ψ*2代表粒子的几率密度，在时刻t ，空间q 点附近体积元τd 内粒子的几率应为τd 2ψ；在整个空间找到一个粒子的几率应为 12=ψ⎰τd 。

结构化学习题解答1

7.08 10 11 m
[1.7]子弹（质量为0.01kg，速度为1000ms-1）、尘埃（质量10-9kg，速度10ms-1）、作布朗运动的花粉（质量1013kg，速度1ms-1 ）、原子中电子（速度1000ms-1）等，速度的不确定度均为速度的10%，判断在确定这些质点位置时，不确定度关系是否有实际意义。
2
将动量平方的算符 p x 作用于波函数，所得常数即为：
h2 d 2 2 n x p x n ( x) 2 sin 2 l 4 dx l
2
n2h2 n ( x) 2 4l
即
n2h2 2 px 4l 2
将此式代入粒子的能量表达式，得：
d H n ( x) 8 2 m dx 2
h2
2

h
l l cos l 8 m dx h2
2 nx sin l l d 2 n n x
2 n n n x 2 sin l l l l 8 m n 2 2 2 n x 2 sin 2 l l 8 m l 2 2 2 2 n h n h 即 En n ( x) 2 8ml 8ml 2 h2
[19]若在下一离子中运动的π电子可用一维势箱近似表示其运动特征：
估计这一势箱的长度l=1.3nm，根据能级公式En=n2h2/8ml2 估算π电子跃迁时所吸收的波长，并与实验值5100nm比较。
解：该离子共有10个π电子，跃迁所需最低能量为第五和第六两个分子轨道的能级差。
6 2 h 2 52 h 2 11h 2 E E6 E5 8ml 2 8ml 2 8ml 2 8mcl 2 11h hc

北大结构化学习题与答案01

已知角动量算符 = z=-i 。
10352，动能为M2/2I，
2= 。Schrödinger方程 =E 变成 =E 。解此方程，并确定允许的能级。
1036电子自旋存在的实验根据是：--------------------------------------------------------------- ( )
(1)哪些是的本征函数；--------------------------------------------------------------- ( )
(2)哪些是的本征函数；------------------------------------------------------------- ( )
1014 “根据测不准原理，任一微观粒子的动量都不能精确测定，因而只能求其平均值”。对否？
1015写出一个合格的波函数所应具有的条件。
1016 “波函数平方有物理意义，但波函数本身是没有物理意义的”。对否. --------------( )
1017一组正交、归一的波函数 1， 2， 3，…。正交性的数学表达式为，归一性的表达式为。
(A) (B)
(C) (D) A，B，C都可以
1010对一个运动速率v<<c的自由粒子，有人作了如下推导：
A B C D E
结果得出的结论。问错在何处？说明理由。
1011测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。
1013测不准原理的另一种形式为ΔE·Δt≥h/2π。当一个电子从高能级向低能级跃迁时，发射一个能量子h ，若激发态的寿命为10-9？s，试问的偏差是多少？由此引起谱线宽度是多少(单位cm-1)？

北大结构化学习题及答案01解读

《结构化学》第一章习题1001 首先提出能量量子化假定的科学家是：---------------------------( )(A) Einstein (B) Bohr(C) Schrodinger (D) Planck1002 光波粒二象性的关系式为_______________________________________。

1003 德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。

1004 在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。

1005 求德布罗意波长为0.1 nm 的电子的动量和动能。

1006 波长λ=400 nm 的光照射到金属铯上，计算金属铯所放出的光电子的速率。

已知铯的临阈波长为600 nm 。

1007 光电池阴极钾表面的功函数是2.26 eV 。

当波长为350 nm 的光照到电池时，发射的电子最大速率是多少？(1 eV=1.602×10-19J ，电子质量m e =9.109×10-31 kg)1008 计算电子在10 kV 电压加速下运动的波长。

1009 任一自由的实物粒子，其波长为λ，今欲求其能量，须用下列哪个公式---------------( )(A) λch E = (B) 222λm h E = (C) 2) 25.12 (λe E = (D) A ，B ，C 都可以 1010 对一个运动速率v<<c 的自由粒子，有人作了如下推导： mv v E v h hp mv 21=====νλ A B C D E结果得出211=的结论。

问错在何处？说明理由。

1011 测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。

1013 测不准原理的另一种形式为ΔE ·Δt ≥h /2π。

结构化学课后习题答案

结构化学课后习题答案结构化化学课后习题答案一、化学键与分子结构1. 选择题a) 正确答案：D解析：选择题中，选项D提到了共价键的形成是通过电子的共享，符合共价键的定义。

b) 正确答案：B解析：选择题中，选项B提到了离子键的形成是通过电子的转移，符合离子键的定义。

c) 正确答案：C解析：选择题中，选项C提到了金属键的形成是通过金属原子之间的电子云重叠，符合金属键的定义。

d) 正确答案：A解析：选择题中，选项A提到了氢键的形成是通过氢原子与高电负性原子之间的吸引力，符合氢键的定义。

2. 填空题a) 正确答案：共价键解析：填空题中，根据问题描述，两个非金属原子之间的键称为共价键。

b) 正确答案：离子键解析：填空题中，根据问题描述，一个金属原子将电子转移到一个非金属原子上形成的键称为离子键。

c) 正确答案：金属键解析：填空题中，根据问题描述，金属原子之间的电子云重叠形成的键称为金属键。

d) 正确答案：氢键解析：填空题中，根据问题描述，氢原子与高电负性原子之间的吸引力形成的键称为氢键。

二、有机化学1. 选择题a) 正确答案：C解析：选择题中，选项C提到了烷烃是由碳和氢组成的，符合烷烃的定义。

b) 正确答案：D解析：选择题中，选项D提到了烯烃是由含有一个或多个双键的碳原子组成的，符合烯烃的定义。

c) 正确答案：B解析：选择题中，选项B提到了炔烃是由含有一个或多个三键的碳原子组成的，符合炔烃的定义。

d) 正确答案：A解析：选择题中，选项A提到了芳香烃是由芳香环结构组成的，符合芳香烃的定义。

2. 填空题a) 正确答案：醇解析：填空题中，根据问题描述，含有羟基（-OH）的有机化合物称为醇。

b) 正确答案：醚解析：填空题中，根据问题描述，含有氧原子连接两个碳原子的有机化合物称为醚。

c) 正确答案：酮解析：填空题中，根据问题描述，含有羰基（C=O）的有机化合物称为酮。

d) 正确答案：酯解析：填空题中，根据问题描述，含有羧基（-COO）的有机化合物称为酯。

北大结构化学习题及答案01

1003 德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。

1004 在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。

1005 求德布罗意波长为0.1 nm 的电子的动量和动能。

1006 波长λ=400 nm 的光照射到金属铯上，计算金属铯所放出的光电子的速率。

已知铯的临阈波长为600 nm 。

1007 光电池阴极钾表面的功函数是2.26 eV 。

当波长为350 nm 的光照到电池时，发射的电子最大速率是多少？(1 eV=1.602×10-19J ，电子质量m e =9.109×10-31 kg)1008 计算电子在10 kV 电压加速下运动的波长。

问错在何处？说明理由。

1011 测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。

1013 测不准原理的另一种形式为ΔE ·Δt ≥h /2π。

北大结构化学题库1答案

《结构化学》第一章习题答案1001 (D) 1002 E =h ν p =h /λ 1003 ,mvh p h ==λ 小 1004 电子概率密度1005 1-241-9--34s kg m 10626.6s kg m 100.1106.626⋅⋅⨯=⋅⋅⨯⨯==-λhp T = m p 22 = 3123410109.92)10626.6(--⨯⨯⨯ J = 2.410×10-17 J 1006 T = h ν- h ν0=λhc -0λhcT = (1/2) mv 2 v =)11(20λλ-m hc = 6.03×105 m ·s -1 1007 (1/2)mv 2= h ν - W 0 = hc /λ - W 0 = 2.06×10-19 Jv = 6.73×105 m/s1008 λ = 1.226×10-9ｍ/10000= 1.226×10-11 m 1009 (B) 1010 A,B 两步都是对的, A 中v 是自由粒子的运动速率, 它不等于实物波的传播速率u , C中用了λ= v /ν, 这就错了。

因为λ= u /ν。

又D 中E =h ν是粒子的总能量, E 中E =21mv 2仅为v <<c 时粒子的动能部分,两个能量是不等的。

所以 C, E 都错。

1011 ∆x ·∆p x ≥π2h微观物体的坐标和动量不能同时测准, 其不确定度的乘积不小于π2h。

1013 ∆E =π2h/∆t = ∆(h ν) = h ∆ν∆ν = 1/(2π∆t ) = 1/(2π×10-9) = 1.59×108 s -1∆ν~ = ∆ν/c = 1.59×108 s -1/3×1010 cm ·s -1= 5.3×10-3 cm -1 1014 不对1015 (1) 单值的。

结构化学第一章习题及答案

结构化学第一章习题及答案结构化学第一章习题及答案结构化学是化学中的一个重要分支，它研究的是物质的分子结构以及分子间的相互作用。

在学习结构化学的过程中，习题是一个非常重要的学习工具。

通过解答习题，我们可以巩固所学的知识，培养分析问题和解决问题的能力。

下面是结构化学第一章的一些习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。

1. 什么是结构化学？答：结构化学是研究物质的分子结构以及分子间相互作用的化学分支。

它通过研究分子的结构，揭示物质的性质和反应机理，为化学的发展提供了重要的理论基础。

2. 什么是原子核？答：原子核是原子的中心部分，由质子和中子组成。

质子带正电荷，中子没有电荷，它们共同构成了原子核的基本组成部分。

3. 什么是原子？答：原子是物质的基本单位，由原子核和围绕核运动的电子组成。

原子中的质子和中子集中在原子核中，电子则分布在核外的电子壳层中。

4. 什么是分子？答：分子是由两个或更多原子通过化学键结合而成的粒子。

分子可以是同种元素的原子组成的，也可以是不同元素的原子组成的。

5. 什么是化学键？答：化学键是原子之间的相互作用力，它将原子结合在一起形成分子。

常见的化学键包括共价键、离子键和金属键等。

6. 什么是共价键？答：共价键是一种通过原子间电子的共享而形成的化学键。

共价键的形成需要原子之间的电子互相吸引力，使得它们能够共享电子，从而形成稳定的分子。

7. 什么是离子键？答：离子键是一种通过正负电荷之间的相互吸引力而形成的化学键。

在离子键中，正离子和负离子通过电荷吸引力结合在一起。

8. 什么是金属键？答：金属键是一种通过金属原子之间的电子互相流动而形成的化学键。

金属键的形成使得金属具有良好的导电性和热导性。

9. 什么是分子式？答：分子式是用元素符号表示分子中各种原子的种类和数量的化学式。

它可以简洁地表示分子的组成。

10. 什么是结构式？答：结构式是用化学键和原子间的关系表示分子结构的化学式。

它可以更详细地描述分子的结构。

北师大版结构化学习题答案

第一章
思考题和习题
1 什么是物质波和它的统计解释？
2 如何理解合格波函数的基本条件？
3 如何理解态叠加原理？
4 测不准原理的根源是什么？
5 铝的逸出功是4.2eV，用2000?的光照射时，问（a）产生的光电子动能是多少？(b)与其相联系的德布罗依波波长是多少？(c)如果电子位置不确定量与德布罗依波波长相当，其动量不确定量如何？
6 波函数e-x(0≤x≤?)是否是合格波函数，它归一化了吗？如未归一化，求归一化常数。

7 一个量子数为n，宽度为l的一维势箱中的粒子，①在0~1/4 区域内的几率是多少？②n 取何值时几率最大？③当n→∞时，这个几率的极限是多少？8 函数?(x)?32?22?sinx?2sinx是不是一维势箱中粒子的可能状态？llll
如果是，其能量有无确定值？如果有，是多少？如果能量没有确定值，其平均值是多少？
9 在算符?，错误！未定义书签。

, exp, 错误！未定义书签。

中，那些是线性算符？
10 下列函数, 那些是错误！未定义书签。

的本征函数? 并求出相应的本征值。

imx22-x(a) e (b) sinx (c) x+ y (d) (a-x)e
XXD。

??ddx,X??X, 求D11 有算符D
参考答案
1 象电子等实物粒子具有波动性被称作物质波。

物质波的波动性是和微粒行为的统计性联系在一起的。

对大量粒子而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，粒子出现的数目就多，而衍射强度小的地方，粒子出现的数目就少。

对一个粒子而言，通过晶体到达底片的位置不能
准确预测。

若将相同速度的粒子，在相同的 1。

结构化学习题解答

= 2 2sin πx cos πx cos πx = 2 sin 2πx cos πx
a aaaaa a
的箱体长度）。
解：一维箱粒子的Shrödinger方程、能量本征值En和本征函数ψ n ( x) − 2 d 2ψ ( x) = Eψ ( x)(1) 2m dx 2
En
=
h2 8ma 2
n2 (2)
ψ n(x) =
2 sin nπx (3)
aa
由ψ ( x) 和ψ n ( x)的表达式可知，① ψ ( x)是一品优函数，故ψ ( x)
dx
∂x
设体系的粒子数为1，则有
[ x, Hˆ ] = [ x,{−
2 ∂2 2m ( ∂x 2
+
∂2 ∂y 2
+
∂2 ∂z 2
) +V (x,
y, z)}]
=
[ x,{−
2 2m
∂
[x,( ∂ ∂x
)2
]
2
∂∂ ∂ ∂
= − {[ x, ] + [ x, ]}
2m ∂x ∂x ∂x ∂x
若是，则对应的本征值为何（结合一维箱粒子的势能设置思考
一下）？
3. 证明一维粒子动量算符
pˆ x
=
−i
d dx
是Hermite算符。
4. 若 Fˆ 和 Gˆ 均为Hermite算符，则 c1Fˆ + c2Gˆ 和 cFˆGˆ 是否亦为
Hermite算符？
5. 证明 [ Aˆ , Bˆ Cˆ ] = [ Aˆ , Bˆ ]Cˆ + Bˆ[ Aˆ , Cˆ ] [ Aˆ Bˆ , Cˆ ] = Aˆ[Bˆ , Cˆ ] + [ Aˆ , Cˆ ]Bˆ

北师大_结构化学课后习题答案

北师大结构化学课后习题第一章量子理论基础习题答案1 什么是物质波和它的统计解释？参考答案:象电子等实物粒子具有波动性被称作物质波。

物质波的波动性是和微粒行为的统计性联系在一起的。

对大量粒子而言，衍射强度（即波的强度）大的地方，粒子出现的数目就多，而衍射强度小的地方，粒子出现的数目就少。

对一个粒子而言，通过晶体到达底片的位置不能准确预测。

若将相同速度的粒子，在相同的条件下重复多次相同的实验，一定会在衍射强度大的地方出现的机会多，在衍射强度小的地方出现的机会少。

表示波函数具有归一性。

2 如何理解合格波函数的基本条件？参考答案合格波函数的基本条件是单值，连续和平方可积。

由于波函数2ψ代表概率密度的物理意义，所以就要求描述微观粒子运动状态的波函数首先必须是单值的，因为只有当波函数ψ在空间每一点只有一个值时，才能保证概率密度的单值性；至于连续的要求是由于粒子运动状态要符合Schrödinger 方程，该方程是二阶方程，就要求波函数具有连续性的特点；平方可积的是因为在整个空间中发现粒子的概率一定是100%，所以积分⎰τψψd *必为一个有限数。

3 如何理解态叠加原理？参考答案在经典理论中，一个波可由若干个波叠加组成。

这个合成的波含有原来若干波的各种成份（如各种不同的波长和频率）。

而在量子力学中，按波函数的统计解释，态叠加原理有更深刻的含义。

某一物理量Q 的对应不同本征值的本征态的叠加，使粒子部分地处于Q 1状态，部分地处于Q 2态，……。

各种态都有自己的权重（即成份）。

这就导致了在态叠加下测量结果的不确定性。

但量子力学可以计算出测量的平均值。

4 测不准原理的根源是什么？参考答案根源就在于微观粒子的波粒二象性。

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[解]： iddeim ieim immiem
所以eim是算符 i d 的本征函数，本征 m值。为
d 而i d cosm i(sinm)mimsinm ccosm
d 所以cosm不是算i符d 的本征函数。
d
[1.16] 已知一维势箱中粒子的归一化波函数为：
n(x)
2sinnx
ll
n1,2,3,...
d e ax 2 2 ax 2 e ax 2 4 a 2 x 3 e ax 2 dx
2 axe ax 2 4 axe ax 2 4 a 2 x 3 e ax 2 4 a 2 x 3 e ax 2
6 axe ax 2
6a
因此，本征值为 6a 。
[1.13] 下列函数哪几个是算符 d 2 的本征函数？若是，
式中，等号左边的物理量体现了粒性，等号右边的物理量体现了波性，而联系波性和粒性的纽带是Planck
常数。根据上述两式及力学公式： pmv
知，1，2和4三步都是正确的。
微粒波的波长服从下式： u/v
u 式中，是微粒的传播速度，它不等于微粒的运动
速度，但3式中用了 /v ，显然是错的。
在4式中， Ehv 无疑是正确的，这里的E
8 2m
d2 dx2
2 l
sin
nx
l
h2
8 2 m
d dx
2 l
n l
cos
nx l
h2 8 2 m
2 n n sin n x
l ll
l
h 2 n 2 2 8 2 m l 2
n 2h 2 8ml 2
n(x)
2 sin n x ll
即
En
n2h2 8ml 2
将动量平方的算符
l 0
2 l
sinnl x
x
2 l
sin
nl xdx
2 l xsin2 nxdx 2 l x1cos2nxdx
l0
l l0
2
1x2 l l xsin2nxl l
[1.12]
xeax2
是算符
d2 dx2
4a2 x2
的本征函数，求本征值。
[解]：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）Ⅲ（本征函数，本征值和本征方程），得：
d2 (
4 a 2 x 2 ) ( d 2
4 a 2 x 2 ) xe ax 2
dx 2
dx 2
d 2 xe ax 2 4 a 2 x 2 ( xe ax 2 ) dx 2
2
p x 作用于波函数，所得常数即为
p
2 x
：
p 2 xn(x)4h 22dd22x 2 lsin nlxLeabharlann n2h2 4l 2n
(x)
即
p
2 x
n2h2 4l 2
将此式代入粒子的能量表达式，得：
ETV T
1 2m
px2
1 n2h2 2m 4l 2
n2h2 8ml 2
若不知道粒子的波函数，则可采用下列两种方法求算能量： ① 解箱中粒子的Schrodinger方程，在求解过程中会自然得到与上述结果相同的能级表达式（参见周公度、段连云编著《结构化学基础》第二版，p27，北京大学出版社）。若只求粒子最低能量（零点能）的近似值，则亦可根据变
分法的思路，选 xlx2 为变分函数，用式：
E * H d *d
进行计算，所得结果是上述能级表达式计算所得结果的1.0132 倍。
② 根据受一定势能场束缚的微粒所具有的量子效应和箱
中波粒长子的的整边数界倍条，件即：n0 nl0 ，箱长应该等于半
l n 2
将此式代入de
Broglie
关系式，得：
是微粒的总能量，但5式中 E 1 mv2 仅仅是微粒 2
的动能部分，两个能量是不等的，因此5式中也是错的（若将E视为动能，则5式对，4式错）。
[1.9] 电视机显像管中运动的电子，假定加速电压为
1000V，电子运动速度的不确v定度△ 为速度的10%，判
断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？
2 cos
x,2 cos
x是
d2 dx 2
的本征函数，本征值为
1；
d2 dx 2
x 3 6 x cx 3 , x 3不是
d 2 的本征函数； dx 2
d2 dx 2
(sin
x cos
x)
(sin
x cos
x ),
sin
x
cos
x是
d2 dx 2
的本征函数，本征值为
1。
若[是1.1，4]求e出im其和本c征o值m s。对算i符 dd是否为本征函数？
求出本征值。
dx 2
e x ,six , n 2 co x ,x s 3 ,six n co xs
[解]：
d2 dx 2
ex
1
e x , ex是
d2 dx 2
的本征函数，本征值为
1；
d2 dx 2
sin
x
1 sin
x, sin
x是
d2 dx 2
的本征函数，本征值为
1；
d2 dx 2
2 cos
x
式中 l是势箱的长度，x是粒子的坐标（0﹤x﹤ l ）。计算：
（a）粒子的能量；（b）粒子坐标的平均值；（c）粒子动量的平均值。
[解]：(a) 由于已经有了箱中粒子的归一化波函数，可采用下列两种方法计算粒子的能量：
①将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能
量：
Hn (x)
h2
[解]：在给定加速电压下，由测不准关系所决定的电子坐标的不确定度为：
x h
h
h
m m 2eV/m10% 2meV10%
6.6261034Js10
29.1091031kg1.6021019C103V
3.881010m
这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略。人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响。
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---《结构化学基础》北京大学出版社
[1.7] 对一个运动速度（光速）的自由粒子，有人作了如下推导：
1 2 h3hv 4 E51
m vp mv v2
结果得出的结论。错在何处？说明理由。
[解]：微观粒子具有波性和粒性，两者的对立统一和相互制约可由下列关系式表达：
Ehv ph/
p
h
nh
2l
将此式代入粒子能量的一般表达式，得：
ETVT21mp221mn2lh28nm 2h22l
可根据一维箱中粒子的能级表达式，分析En及△En随n,m及 l 等
的变化关系，从而加深对束缚态微观粒子的量子特征的理解。
（b）由于 xn(x)cn(x),x 无本征值，
x 0ln*xxnxdx
只能求粒子坐标的平均值：

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