陕西省西安一中2014_2015学年高二数学上学期期末试卷文(含解析) (1)

2014-2015学年某某省某某一中高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共36分，只有一个选项符合题意）1．（3分）下列直线中，与直线x+y﹣1=0相交的是（）A．2x+2y=6 B．x+y=0 C．y=﹣x﹣3 D．y=x﹣1【考点】：方程组解的个数与两直线的位置关系．【专题】：计算题．【分析】：由题意知直线x+y﹣1=0的斜率是﹣1，要找与已知直线相交的直线，需要观察四个选项中选择斜率不是﹣1的直线，斜率是﹣1的直线与已知直线是平行关系，得到结果．【解析】：解：直线x+y﹣1=0的斜率是﹣1，观察四个选项中选择斜率不是﹣1的直线，斜率是﹣1的直线与已知直线是平行关系，在四个选项中，只有D中直线的斜率不是﹣1，故选D．【点评】：本题考查两条直线的位置关系，考查两条直线相交和平行的判断，是一个基础题，题目不用计算，只要观察四个选项，就可以得到要求的结果，是一个送分题目．2．（3分）点P（x，y）在直线x+y﹣4=0上，O是原点，则|OP|的最小值是（）A．B．2C．D．2【考点】：点到直线的距离公式．【专题】：计算题．【分析】：过O作已知直线的垂线，垂足为P，此时|OP|最小，所以|OP|最小即为原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出即可．【解析】：解：由题意可知：过O作已知直线的垂线，垂足为P，此时|OP|最小，则原点（0，0）到直线x+y﹣4=0的距离d==2，即|OP|的最小值为2．故选B．【点评】：此题考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题．解答本题的关键是找到|OP|的最小时即OP垂直与已知直线．3．（3分）下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个公共点【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：阅读型；空间位置关系与距离．【分析】：由公理3知：不共线的三个点确定一个平面，即可判断A；四边形有平面四边形和空间四边形两种，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，即可判断B；在同一平面内，只有一组对边平行的四边形为梯形，即可判断C；由公理3得不同在一条直线上的三个公共点确定一个平面，即可判断D．【解析】：解：A．由公理3知：不共线的三个点确定一个平面，故A错；B．四边形有平面四边形和空间四边形两种，由不共面的四个点构成的四边形为空间四边形，故B错；C．在同一平面内，只有一组对边平行的四边形为梯形，故C对；D．由公理3得不同在一条直线上的三个公共点确定一个平面，故D错．故选C．【点评】：本题考查空间确定平面的条件，掌握三个公理和三个推论，是迅速解题的关键，本题属于基础题．4．（3分）垂直于同一条直线的两条直线一定（）A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能【考点】：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】：分类讨论．【分析】：根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断．【解析】：解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．故选D【点评】：本题主要考查在空间内两条直线的位置关系．5．（3分）以下关于几何体的三视图的讨论中，正确的是（）A．球的三视图总是三个全等的圆B．正方体的三视图总是三个全等的正方形C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆【考点】：简单空间图形的三视图．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：球的三视图总是三个全等的圆；正方体、水平放置的正四面体的三视图跟摆放有关；水平放置的圆台的俯视图是两个同心圆．【解析】：解：球的三视图总是三个全等的圆，正确；正方体的三视图总是三个全等的正方形，不一定，跟摆放有关，故不正确；水平放置的正四面体的三视图都是正三角形，不一定，跟摆放有关，故不正确；水平放置的圆台的俯视图是两个同心圆，故不正确．故选：A．【点评】：本题考查简单空间图形的三视图，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．6．（3分）在空间四边形ABCD的各边AB，BC，CD，DA上依次取点E，F，G，H，若EH、FG 所在直线相交于点P，则（）A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC外D．点P必在平面ABC内【考点】：平面的基本性质及推论．【专题】：证明题．【分析】：由题意连接EH、FG、BD，则P∈EH且P∈FG，再根据两直线分别在平面ABD和BCD内，根据公理3则点P一定在两个平面的交线BD上．【解析】：解：如图：连接EH、FG、BD，∵EH、FG所在直线相交于点P，∴P∈EH且P∈FG，∵EH⊂平面ABD，FG⊂平面BCD，∴P∈平面ABD，且P∈平面BCD，由∵平面ABD∩平面BCD=BD，∴P∈BD，故选B．【点评】：本题的考点是公理3的应用，即根据此公理证明线共点或点共线问题，必须证明此点是两个平面的公共点，可有点在线上，而线在面上进行证明．7．（3分）已知直线a⊂α，给出以下三个命题：①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β．其中正确的命题是（）A．②B．③C．①②D．①③【考点】：平面与平面平行的性质；平面与平面平行的判定．【专题】：分析法．【分析】：对于①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；由面面平行显然推出线面平行，故正确．对于②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；因为一个线面平行推不出面面平行．故错误．对于③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β，因为线面不平面必面面不平行．故正确．即可得到答案．【解析】：解①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；因为直线a⊂α，平面α∥平面β，则α内的每一条直线都平行平面β．显然正确．②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；因为当平面α与平面β相加时候，仍然可以存在直线a⊂α使直线a∥平面β．故错误．③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β，平面内有一条直线不平行与令一个平面，两平面就不会平行．故显然正确．故选D．【点评】：此题主要考查平面与平面平行的性质及判定的问题，属于概念性质理解的问题，题目较简单，几乎无计算量，属于基础题目．8．（3分）已知直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a的值是（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1【考点】：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】：直线与圆．【分析】：利用直线垂直的性质求解．【解析】：解：∵直线l1：ax﹣y+2a=0，l2：（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，∴a（2a﹣1）﹣a=0，解得a=0或a=1．故选：C．【点评】：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线的位置关系的合理运用．9．（3分）平行于直线x+y﹣1=0且与圆x2+y2﹣2=0相切的直线的方程是（）A．x+y+2=0 B．x+y﹣2=0C．x+y+2=0 或x+y﹣2=0 D．x+y+2=0或x+y﹣2=0【考点】：圆的切线方程；直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】：直线与圆．【分析】：设出所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出直线方程中的变量，1求出直线方程．【解析】：解：设所求直线方程为x+y+b=0，平行于直线x+y﹣1=0且与圆x2+y2=2相切，所以，所以b=±2，所以所求直线方程为：x+y+2=0或x+y﹣2=0．故选：D．【点评】：本题考查两条直线平行的判定，圆的切线方程，考查计算能力，是基础题．10．（3分）若P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A．x﹣y﹣3=0 B．2x+y﹣3=0 C．x+y﹣1=0 D．2x﹣y﹣5=0【考点】：直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质．【专题】：计算题．【分析】：由圆心为O（1，0），由点P为弦的中点，则该点与圆心的连线垂直于直线AB求解其斜率，再由点斜式求得其方程．【解析】：解：已知圆心为O（1，0）根据题意：Kop=kABkOP=﹣1kAB=1，又直线AB过点P（2，﹣1），∴直线AB的方程是x﹣y﹣3=0故选A【点评】：本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直．11．（3分）若直线ax+by+c=0（a，b，c都是正数）与圆x2+y2=1相切，则以a，b，c为边长的三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【考点】：直线与圆的位置关系．【专题】：直线与圆．【分析】：根据直线和圆相切的性质可得=1，化简可得a2+b2=c2，故以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．【解析】：解：由直线ax+by+c=0（a，b，c都是正数）与圆x2+y2=1相切，可得=1．化简可得a2+b2=c2，故以a，b，c为边长的三角形是直角三角形，故选B．【点评】：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．12．（3分）已知点A（1，3），B（﹣2，﹣1）．若直线l：y=k（x﹣2）+1与线段AB相交，则k的取值X围是（）A．[，+∞）B．（﹣∞，﹣2] C．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）D．[﹣2，]【考点】：直线的斜率．【专题】：直线与圆．【分析】：由直线系方程求出直线l所过定点，由两点求斜率公式求得连接定点与线段AB上点的斜率的最小值和最大值得答案．【解析】：解：∵直线l：y=k（x﹣2）+1过点P（2，1），连接P与线段AB上的点A（1，3）时直线l的斜率最小，为，连接P与线段AB上的点B（﹣2，﹣1）时直线l的斜率最大，为．∴k的取值X围是．故选：D．【点评】：本题考查了直线的斜率，考查了直线系方程，是基础题．二．填空题（每小题4分，共16分）13．（4分）过两点A（4，y），B（﹣2，﹣3）的直线的倾斜角是45°，则y=3．【考点】：直线的倾斜角．【专题】：直线与圆．【分析】：由两点的坐标得到直线AB的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求得y．【解析】：解：由题意可知，，解得：y=3．故答案为：3．【点评】：本题考查了直线的倾斜角，考查了倾斜角与斜率的关系，是基础题．14．（4分）圆O1：x2+y2+6x﹣7=0与圆O2：x2+y2+6y﹣27=0的位置关系是相交．【考点】：圆与圆的位置关系及其判定．【专题】：计算题；直线与圆．【分析】：将圆的方程化为标准方程，求出圆心与半径，可得圆心距，即可得出结论．【解析】：解：圆O1：x2+y2+6x﹣7=0，化为标准方程为（x+3）2+y2=16，圆心为（﹣3，0），半径为4，圆O2：x2+y2+6y﹣27=0，化为标准方程为x2+（y+3）2=36，圆心为（0，﹣3），半径为6，圆心距为3∵6﹣4＜3＜6+4，∴两圆相交，故答案为：相交．【点评】：本题考查圆与圆的位置关系及其判定，考查学生的计算能力，比较基础．15．（4分）如图所示，是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则直线AB与直线CD 的位置关系是异面．【考点】：空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】：作图题．【分析】：正方体的展开图，若将它还原为正方体，如图所示，显然，直线AB与直线CD为异面直线．【解析】：解：把正方体的展开图还原为正方体为由图可知，直线AB与直线CD为异面直线．故直线AB与直线CD的位置关系是异面故答案为：异面【点评】：此题考查学生的空间想象能力及由展开图还原几何体的能力．然后判断两直线的位置关系．16．（4分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，左视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为64．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题．【分析】：将几何体复原，它是一个矩形的四棱锥，求出底面面积和高，可求体积．【解析】：解：由题意几何体复原是一个底面边长为8，6的距离，高为4，且顶点在底面的射影是底面矩形的中心的四棱锥．底面矩形的面积是48所以几何体的体积是：故答案为：64．【点评】：本题考查由三视图求几何体的体积，考查空间想象能力，是基础题．三、解答题（共48分）17．（10分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：（1）C1O∥面AB1D1；（2）A1C⊥面AB1D1．【考点】：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】：证明题．【分析】：（1）欲证C1O∥面AB1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证C1O与面AB1D1内一直线平行，连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1，连接AO1，易得C1O∥AO1，AO1⊂面AB1D1，C1O⊄面AB1D1，满足定理所需条件；（2）欲证A1C⊥面AB1D1，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A1C与面AB1D1内两相交直线垂直根据线面垂直的性质可知A1C⊥B1D1，同理可证A1C⊥AB1，又D1B1∩AB1=B1，满足定理所需条件．【解析】：证明：（1）连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1，连接AO1，∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，∴A1ACC1是平行四边形，∴A1C1∥AC且A1C1=AC，又O1，O分别是A1C1，AC的中点，∴O1C1∥AO且O1C1=AO，∴AOC1O1是平行四边形，∴C1O∥AO1，AO1⊂面AB1D1，C1O⊄面AB1D1，∴C1O∥面AB1D1；（2）∵CC1⊥面A1B1C1D1∴CC1⊥B1D!，又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥面A1C1C，即A1C⊥B1D1，∵A1B⊥AB1，BC⊥AB1，又A1B∩BC=B，A1B⊥平面A1BC，又A1C⊂平面A1BC，∴A1C⊥AB1，又D1B1∩AB1=B1，∴A1C⊥面AB1D1【点评】：本题主要考查了线面平行、线面垂直的判定定理，考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．18．（12分）如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面△ABC中AC=3，AB=5，BC=4，点D是AB的中点，求证：（1）AC⊥BC1；（2）AC1∥平面CDB1．【考点】：直线与平面平行的判定；棱柱的结构特征．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：运用线面垂直的判定定理和性质定理以及线面平行的判定定理，进行分别证明．【解析】：证明：（1）在△ABC中，由AC=3，AB=5，BC=4，∴32+42=52，∴△ABC为直角三角形，∴AC⊥BC，又∵CC1⊥面ABC，∴CC1⊥AC，CC1∩BC=C，∴AC⊥面BCC1，∴AC⊥BC1；（2）连结B1C交BC1于点E，则E为BC1的中点，连结DE，则在△ABC1中，DE∥AC1，又DE⊂面CDB1，AC1⊄面B1CD则AC1∥面B1CD．【点评】：本题考查了线面垂直的判定定理和性质定理的运用以及线面平行的判定定理的运用．19．（16分）（1）求过点P（2，3），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；（2）已知直线l平行于直线4x+3y﹣7=0，直线l与两坐标轴围成的三角形的周长是15，求直线l的方程．【考点】：直线的截距式方程．【专题】：直线与圆．【分析】：（1）根据直线的截距关系即可求出直线方程；（2）利用直线平行的关系，结合三角形的周长即可得到结论．【解析】：解：（1）当直线过原点时，过点（2，3）的直线为当直线不过原点时，设直线方程为（a≠0），直线过点（2，3），代入解得a=5∴直线方程为∴过P（2，3），且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为3x﹣2y=0和x+y﹣5=0．（2）∵直线l与直线4x+3y﹣7=0平行，∴．设直线l的方程为，则直线l与x轴的交点为A，与y轴的交点为B（0，b），∴．∵直线l与两坐标轴围成的三角形周长是15，∴．∴|b|=5，∴b=±5．∴直线l的方程是，即4x+3y±15=0．【点评】：本题主要考查直线方程的求解和应用，要求熟练掌握常见求直线方程的几种方法．20．（10分）求圆心在直线y=﹣2x上，并且经过点A（0，1），与直线x+y=1相切的圆的标准方程．【考点】：圆的标准方程．【专题】：直线与圆．【分析】：根据条件确定圆心和半径，即可求出圆的标准方程．【解析】：解：∵圆心在直线y=﹣2x上，设圆心坐标为（a，﹣2a）则圆的方程为（x﹣a）2+（y+2a）2=r2圆经过点A（0，1）和直线x+y=1相切所以有word解得，∴圆的方程为【点评】：本题主要考查圆的标准方程的求解，根据条件确定圆心和半径是解决本题的关键．- 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2014-2015学年陕西省西安一中高二（上）期末数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tan α≠1B．若α=，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠D．若tan α≠1，则α=2．（3分）抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．B．（﹣1，0）C．D．3．（3分）下列运算正确的是（）A．（ax2﹣bx+c）′=a（x2）′+b（﹣x）′B．（cosx•sinx）′=（sinx）′•cosx+（cosx）′•cosxC．（sinx﹣2x2）′=（sinx）′﹣（2）′（x2）′D．[（3+x2）（2﹣x3）]′=2x（2﹣x3）+3x2（3+x2）4．（3分）下列说法中，正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件5．（3分）若△ABC顶点B，C的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），AC，AB边上的中线长之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为（）A．=1（y≠0）B．=1（x≠0）C．=1（x≠0）D．=1（y≠0）6．（3分）直线y=kx+b与曲线y=ax2+2+lnx相切于点P（1，4），则b的值为（）A．3B．1C．﹣1D．﹣37．（3分）已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p 是（）A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜08．（3分）已知，则双曲线C1：与C2：的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等9．（3分）已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，则曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．y=2x﹣1B．y=x C．y=3x﹣2D．y=﹣2x+3 10．（3分）”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．（3分）已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的倾斜角，则a的取值范围是（）A．[0，）B．[，）C．（，]D．[，π）12．（3分）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则||+||+||=（）A．6B．4C．3D．2二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填写在题中的横线上）13．（4分）已知命题p：∃x∈R，x2+2ax+a≤0．若命题p是假命题，则实数a 的取值范围是．14．（4分）过点（1，0）作曲线y=e x的切线，则切线方程为．15．（4分）如果双曲线的焦距、虚轴长、实轴长成等比数列，则离心率e为．16．（4分）已知f1（x）=sin x+cos x，f n+1（x）是f n（x）的导函数，即f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），n∈N*，则f2014（x）=．17．（4分）设F为圆锥曲线的焦点，P是圆锥曲线上任意一点，则定义PF为圆锥曲线的焦半径．下列几个命题①平面内与两个定点F1，F2的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆②平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线③平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线④以椭圆的焦半径为直径的圆和以长轴为直径的圆相切⑤以抛物线的焦半径为直径的圆和y轴相切⑥以双曲线的焦半径为直径的圆和以实轴为直径的圆相切其中正确命题的序号是．三．解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（10分）已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上单调递减；q：函数f （x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．19．（10分）已知函数f（x）=，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．20．（10分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的一条直线和此抛物线相交，设两个交点的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）求证：（1）y1y2=﹣p2（2）x1x2=．21．（14分）已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．①若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；②若向量与向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈[，]时，求椭圆的长轴长的最大值．2014-2015学年陕西省西安一中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tan α≠1B．若α=，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠D．若tan α≠1，则α=【解答】解：命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．故选：C．2．（3分）抛物线y=﹣2x2的焦点坐标是（）A．B．（﹣1，0）C．D．【解答】解：∵在抛物线y=﹣2x2，即x2=﹣y，∴p=，=，∴焦点坐标是（0，﹣），故选：D．3．（3分）下列运算正确的是（）A．（ax2﹣bx+c）′=a（x2）′+b（﹣x）′B．（cosx•sinx）′=（sinx）′•cosx+（cosx）′•cosxC．（sinx﹣2x2）′=（sinx）′﹣（2）′（x2）′D．[（3+x2）（2﹣x3）]′=2x（2﹣x3）+3x2（3+x2）【解答】解：（ax2﹣bx+c）′=a（x2）′+b（﹣x）′，故正确；（cosx•sinx）′=（sinx）′•cosx+（cosx）′•sinx，故错误；（sinx﹣2x2）′=（sinx）′﹣2（x2）′，故错误；[（3+x2）（2﹣x3）]′=2x（2﹣x3）﹣3x2（3+x2），故错误；故选：A．4．（3分）下列说法中，正确的是（）A．命题“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是真命题B．命题“∃x∈R，x2﹣x＞0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≤0”C．命题“p∨q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知x∈R，则“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件【解答】A“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题是“若a＜b，则am2＜bm2”，m=0时不正确；B中“∃x∈R，x2﹣x＞0”为特称命题，否定时为全称命题，结论正确；C命题“p∨q”为真命题指命题“p”或命题“q”为真命题，只要有一个为真即可，错误；D应为必要不充分条件．故选：B．5．（3分）若△ABC顶点B，C的坐标分别为（﹣4，0），（4，0），AC，AB边上的中线长之和为30，则△ABC的重心G的轨迹方程为（）A．=1（y≠0）B．=1（x≠0）C．=1（x≠0）D．=1（y≠0）【解答】解：设AC、AB边上的中线分别为CD、BE∵BG=BE，CG=CD∴BG+CG=（BE+CD）=20（定值）因此，G的轨迹为以B、C为焦点的椭圆，2a=20，c=4∴a=10，b==，可得椭圆的方程为∵当G点在x轴上时，A、B、C三点共线，不能构成△ABC∴G的纵坐标不能是0，可得△ABC的重心G的轨迹方程为=1（y≠0）故选：D．6．（3分）直线y=kx+b与曲线y=ax2+2+lnx相切于点P（1，4），则b的值为（）A．3B．1C．﹣1D．﹣3【解答】解：∵点P（1，4）在曲线y=ax2+2+lnx上，∴a+2=4，解得a=2，由题意得，=，∴在点P（1，4）处的切线斜率k=5，把P（1，4）代入y=kx+b，得b=﹣1，故选：C．7．（3分）已知命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p 是（）A．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0B．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0D．∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0【解答】解：命题p：∀x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题，故¬p：∃x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．故选：C．8．（3分）已知，则双曲线C1：与C2：的（）A．实轴长相等B．虚轴长相等C．离心率相等D．焦距相等【解答】解：双曲线C1：可知a=sinθ，b=cosθ，2c=2（sin2θ+cos2θ）=2；双曲线C2：可知，a=cosθ，b=sinθ，2c=2（sin2θ+cos2θ）=2；所以两条双曲线的焦距相等．故选：D．9．（3分）已知函数f（x）在R上满足f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，则曲线y=f （x）在点（1，f（1））处的切线方程是（）A．y=2x﹣1B．y=x C．y=3x﹣2D．y=﹣2x+3【解答】解：∵f（x）=2f（2﹣x）﹣x2+8x﹣8，∴f（1）=2f（1）﹣1∴f（1）=1∵f′（x）=﹣2f′（2﹣x）﹣2x+8∴f′（1）=﹣2f′（1）+6∴f′（1）=2根据导数的几何意义可得，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=2∴过（1，1）的切线方程为：y﹣1=2（x﹣1）即y=2x﹣1故选：A．10．（3分）”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：将方程mx2+ny2=1转化为，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足，且，即m＞n＞0反之，当m＞n＞0，可得出＞0，此时方程对应的轨迹是椭圆综上证之，”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件故选：C．11．（3分）已知点P在曲线y=上，a为曲线在点P处的倾斜角，则a的取值范围是（）A．[0，）B．[，）C．（，]D．[，π）【解答】解：因为y=上的导数为y′=﹣=﹣，∵e x+e﹣x≥2=2，∴e x+e﹣x+2≥4，∴y′∈[﹣1，0）即tanα∈[﹣1，0），∵0≤α＜π∴π≤α＜π．即α的取值范围是[π，π）．故选：D．12．（3分）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则||+||+||=（）A．6B．4C．3D．2【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x=﹣1，∵++=，∴点F是△ABC重心，则x1+x2+x3=3y1+y2+y3=0而|FA|=x1﹣（﹣1）=x1+1|FB|=x2﹣（﹣1）=x2+1|FC|=x3﹣（﹣1）=x3+1∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=（x1+x2+x3）+3=3+3=6，故选：A．二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填写在题中的横线上）13．（4分）已知命题p：∃x∈R，x2+2ax+a≤0．若命题p是假命题，则实数a 的取值范围是（0，1）．【解答】解：命题p：∃x∈R，x2+2ax+a≤0的否定为命题p：∀x∈R，x2+2ax+a＞0∵命题p为假命题∴命题￢p为真命题即x2+2ax+a＞0恒成立∴△=4a2﹣4a＜0解得0＜a＜1故答案为：（0，1）14．（4分）过点（1，0）作曲线y=e x的切线，则切线方程为e2x﹣y﹣e2=0．【解答】解：由线y=e x，得y′=e x，设切点为（），则，∴切线方程为，∵切线过点（1，0），∴，解得：x0=2．∴切线方程为y﹣e2=e2（x﹣2），整理得：e2x﹣y﹣e2=0．故答案为：e2x﹣y﹣e2=0．15．（4分）如果双曲线的焦距、虚轴长、实轴长成等比数列，则离心率e为．【解答】解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距、虚轴长、实轴长成等比数列，∴（2b）2=（2a）•（2c）∴b2=ac，又∵b2=c2﹣a2∴c2﹣a2=ac∴e2﹣e﹣1=0∴e=，又在双曲线中e＞1∴e=．故答案为：．16．（4分）已知f1（x）=sin x+cos x，f n+1（x）是f n（x）的导函数，即f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，f n+1（x）=f n′（x），n∈N*，则f2014（x）=cosx﹣sinx．【解答】解：∵f1（x）=sin x+cos x，∴f2（x）=（sin x+cos x）′=cosx﹣sinx，∴f3（x）=﹣sin x﹣cos x，∴f4（x）=sin x﹣cos x，∴f5（x）=sin x+cos x；故f2014（x）=f2012（x）+2=f2（x）=cosx﹣sinx，故答案为：cosx﹣sinx．17．（4分）设F为圆锥曲线的焦点，P是圆锥曲线上任意一点，则定义PF为圆锥曲线的焦半径．下列几个命题①平面内与两个定点F1，F2的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆②平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线③平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线④以椭圆的焦半径为直径的圆和以长轴为直径的圆相切⑤以抛物线的焦半径为直径的圆和y轴相切⑥以双曲线的焦半径为直径的圆和以实轴为直径的圆相切其中正确命题的序号是④⑤⑥．【解答】解：①平面内与两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆，如果距离之和对于零点的距离，轨迹表示的是线段，不表示椭圆，所以①不正确；②平面内与两定点距离之差绝对值为常数的点的轨迹是双曲线，这个常数必须小于两点的距离，此时是双曲线，否则不正确，所以②不正确；③当定点位于定直线时，此时的点到轨迹为垂直于直线且以定点为垂足的直线，只有当点不在直线时，轨迹才是抛物线，所以③错误；④设椭圆的方程为（a＞b＞0），F、F'分别是椭圆的左右焦点，作出以线段PF为直径的圆和以长轴为直径的圆x2+y2=a2，如图所示．设PF中点为M，连结PF′，∴OM是△PFF′的中位线，可得|OM|=|PF′|，即两圆的圆心距为|PF′|根据椭圆定义，可得|PF|+|PF′|=2a，∴圆心距|OM|=|PF′|=（2a﹣|PF|）=a﹣|PF|，即两圆的圆心距等于它们半径之差，因此，以PF为直径的圆与以长半轴为直径的圆x2+y2=a2相内切．即④正确；⑤抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的坐标为（，0），设点P点坐标为（x1，y1），则以PF为直径的圆的圆心是（，），根据抛物线的定义|PF|与P到直线x=﹣是等距离的，所以PF为直径的圆的半径为，因此以PF为直径的圆与y轴的位置关系相切，即⑤正确；⑥设以实轴|F1F2|为直径的圆的圆心为O1，其半径r1=a，线段PF2为直径的圆的圆心为O2，其半径为r2=，当P在双曲线左支上时，|O1O2|=，∵|O1O2|﹣r2=﹣=a=r1，∴两圆内切．当P在双曲线右支上时，|O1O2|=，∵|O1O2|﹣r2=﹣=a=r1，∴r1+r2=|O1O2|∴两圆外切．故⑥正确故答案为：④⑤⑥．三．解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（10分）已知c＞0，且c≠1，设p：函数y=c x在R上单调递减；q：函数f （x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．【解答】解∵函数y=c x在R上单调递减，∴0＜c＜1．（2分）即p：0＜c＜1，∵c＞0且c≠1，∴￢p：c＞1．（3分）又∵f（x）=x2﹣2cx+1在（，+∞）上为增函数，∴c≤．即q：0＜c≤，∵c＞0且c≠1，∴￢q：c＞且c≠1．（5分）又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p真q假，或p假q真．（6分）①当p真，q假时，{c|0＜c＜1}∩{c|c＞，且c≠1}={c|}．（8分）②当p假，q真时，{c|c＞1}∩{c|0＜c}=∅．[（10分）]综上所述，实数c的取值范围是{c|}．（12分）19．（10分）已知函数f（x）=，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．【解答】解：∵函数f（x）=，g（x）=alnx，a∈R．∴f′（x）=，g′（x）=（x＞0），由已知曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在交点处有相同的切线，故有=alnx且=，解得a=，x=e2，∵两条曲线交点的坐标为（e2，e）切线的斜率为k=f′（e2）=，∴切线的方程为y﹣e=（x﹣e2）．20．（10分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的一条直线和此抛物线相交，设两个交点的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）求证：（1）y1y2=﹣p2（2）x1x2=．【解答】证明：（1）设直线方程为x=my+，代入y2=2px，可得y2﹣2mpy﹣p2=0，∴y1y2=﹣p2（2）x1•x2=•=．21．（14分）已知直线y=﹣x+1与椭圆+=1（a＞b＞0）相交于A、B两点．①若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；②若向量与向量互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率e∈[，]时，求椭圆的长轴长的最大值．【解答】解：（1）∵，2c=2，∴a=，b=，∴椭圆的方程为．…（2分）联立，消去y得：5x2﹣6x﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴|AB|==•=．…（5分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴，即x1x2+y1y2=0，由，消去y得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）=0，由△=（﹣2a2）2﹣4a2（a2+b2）（1﹣b2）＞0，整理得a2+b2＞1…（7分）∵，，∴y1y2=（﹣x1+1）（﹣x2+1）=x1x2﹣（x1+x2）+1，∴x1x2+y1y2=0，得：2x1x2﹣（x1+x2）+1=0，∴，整理得：a2+b2﹣2a2b2=0．…（9分）∴b2=a2﹣c2=a2﹣a2e2，代入上式得2a2=1+，∴，…（10分）∵，∴，∴，∴，∴，∴适合条件a2+b2＞1．由此得，∴，故长轴长的最大值为．…（12分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x=，令()u g x=，若()y f u=为增，()u g x=为增，则[()]y f g x=为增；若()y f u=为减，()u g x=为减，则[()]y f g x=为增；若()y f u=为增，()u g x=为减，则[()]y f g x=为减；若()y f u=为减，()u g x=为增，则[()]y f g x=为减．（2）打“√”函数()(0)af x x ax=+>的图象与性质()f x分别在(,-∞、)+∞上为增函数，分别在[、上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x=的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x I∈，都有()f x M≤；yxo（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

山西省大同市第一中学 2014—2015学年度上学期期末考试高二数学理试题第Ⅰ卷 客观卷（共36分）一、选择题（每空3分，共36 分） 1．在△中，“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．已知抛物线经过点M （3，－2），则抛物线的标准方程为（ ）A ．或B ．或C ．或D ．或3．已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1= E 为CC 1的中点，则直线 AC 1 与平面BED 的距离为( )A ．2B ．C ．D ．14．过点（2，－2）与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为（ ） A ． B ．C ． D． 5．命题：“若，则”的逆否命题是（ ） A ．若，则2，若 B ． 若，则 C ．若，或，则 D ．若，或，则6． 椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点F 1，F 2，点M 在椭圆上，且，，，则离心率等于（ ）A ．B ．C ．D ．7． 设，，则的最小值是（ ） A ． B ． C ． D ．8．已知命题：实数m 满足，命题：函数是增函数。

若为真命题，为假命题，则实数m 的取值范围为（ ） A ．（1，2） B ．（0，1） C ．[1，2] D ．[0，1] 9．如图1，正方体中，PQ 是异面直线与AC 的公垂线，则直线PQ 与的位置关系为（ ） A ．平行 B ．异面 C ．相交 D ．无法判断 10．设、分别是椭圆的左、右焦点，若Q 是该椭圆上的一个动点，则的最大值和最小值分别为（ ）A ．1与－2B ．2与－2C ．1与－1D ．2与－111．设，常数，定义运算“*”：22121212()()x x x x x x *=+--，若，则动点P （）的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分12．设离心率为e 的双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，直线过点F 且斜率为，则直线与双曲线C 的左、右两支相交的充要条件是（ ）A ．B ．C ．D ．第II 卷 主观卷（共64分）二、填空题：(3×4=12)13．已知定点A,B ，且=4,动点P 满足,则的最小值为 。

17. 设 F 为圆锥曲线的焦点， P 是圆锥曲线上任意一点，则定义 PF 为圆锥曲线的焦半径 下列几个命题
①．平面内与两个定点 F 1， F2 的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆 ②．平面内与两个定点 F 1， F 2 的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是
2
双曲线 . ③．平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹是抛物线
2a 2 (1 b 2 ) a2 b2
2a2 a2 b2
1
0 ，整理得： a 2
b2
2a 2 b 2
0
b2
a2
c2
a2
a 2e2 代入上式得： 2a 2
1 1 1 e2 ，
a2
1
1
(1 2
1
e2 )
1 e
21 ,
e2
1 ,
1
1 e2
3
2
24
22
4
4 3
1 1 e2
2,
7 3
1
1 1 e2
3, 7 6
设 A( x1, y1 ), B(x2, y 2)
∴ AB
1 ( 1)2 ( x1 x2) 2 4 x1x2
2 ( 6)2 12 8 3 555
（2）（ 8 分）设 A( x1, y1), B( x2 , y2 ) , OA OB OA OB 0 ，即 x1x2 y1y2 0
x2 y2 由 a 2 b 2 1 ，消去 y 得： (a 2 b2 ) x2 2a 2 x a 2 (1 b2 ) 0
又∵ f(x)＝ x2－ 2cx＋1 在 1，＋ ∞ 上为增函数，∴ 2
c≤12.
即 q： 0< c≤12，∵ c>0 且 c≠１，∴非 q：c>12且 c≠1.[4分 ]