解析几何
1.椭圆2226x y +=到直线4x y +=的最大和最小距离。 解
2226x y +=上点(,
)x y 到4x y +=的距离1
d (,)4
2
x y x y =+-，()2
21d (,)42
x y x y =
+-。 令()()2
2214262
F x y x y λ=
+-++-， ()()''
'22420440260x y F x y x F x y x F x y λ
λλ⎧=+-+=⎪⎪=+-+=⎨⎪=+-=⎪⎩ 解得2
1
x y =±⎧⎨
=±⎩
17d(2,1),d(2,1),22=
--=所以71maxd ,mind 22
==。
2.已知两平面曲线(,)0,(,)0f x y x y ϕ==，又(,)αβ和(,)ζη分别为两曲线上点，试证如果这两点是这两条曲线上相距最近或最远的点，则下列关系式必成立：
(,)(,)
(,)(,)
x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==
-。 证 问题为求2
2201212()()u d x x y y ==-+-在条件11(,)0f x y =及22(,)0x y ϕ=下的最
值。
20111222(,)(,)F d f x y x y λλϕ=++，
则由111122221211211221222()0
2()02()02()0
x x y y x x y y F x x f F y y f F x x F y y λλλϕλϕ⎧=-+=⎪=-+=⎪⎪⎨=--+=⎪⎪=--+=⎪⎩
得
1212112212121122(,)(,)(,)(,)
x x y y f x y x y x x y y f x y x y ϕϕ-==
-，若2
0u d =在1122,,,x y x y αβζη====处达到最
值，其中(,)0,(,)f αβϕζη==，则必有
1
2
1
2
(,)(,)
(,)(,)
x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==
-，即(,
)(,)(,)(,)
x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==
-，证毕。
3.椭球面1S 是椭圆22
143x y +=绕x 轴旋转而成，圆锥面2S 是由过点(4,0)且与椭圆22
143
x y +=相切的直线绕x 轴旋转而成。求 （1）1S 及2S 的方程； （2）1S 与2S 之间的立体体积
解 （1）椭圆22
:143
x y Γ+=绕x 轴旋转而成的椭球面1S 的方程为 222
143
x y z ++= 为求2S 的方程，先求Γ上过点(4,0)的切线L 。
Γ上任意点00(,)x y 的切线的斜率是0
'0
(,)0
34x y x y y =-
，相应的切线方程是 00
000
3()4x x y x x y y =
-- 将4,0x y ==代入上式得22
00043
x y x +=。 又因为00(,)x y 在Γ上，故满足Γ的方程22
00143
x y +=， 总和以上条件有003
1,2
x y ==±
。 只需考虑00y >，于是得到切线L 的方程为1
(4)2
y x =--。 于是2S 的方程为2
2
21
(4)4
y z x +=
-。 （2）1S 与2S 之间的区域Ω的体积为V ，它由椎体的一部分1Ω除去椭球体的一部分2Ω组
成，而与x 轴垂直的2Ω的截面区域()D x 为22
2
214x y z ⎛⎫
+≤- ⎪⎝
⎭。于是2Ω的体积为22
2
21
1()
5
3144D x x V dx dydz dx ππ⎛⎫==⋅-= ⎪⎝⎭⎰
⎰⎰⎰。
按锥体的体积公式，得1Ω的体积2
1139
3324
V ππ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭。
因此，12V V V π=-=。
4.可微函数(,)f x y 满足0(,)(,),(1,2,2)
f tx ty tf x y P =-是曲面(,)Z f x y =上一点，且'(1,2)4x f -=，求曲面(,)Z f x y =在0P 处的切平面方程。
解 ''12(,)(,)(,)f tx ty x f tx ty y f x y += 令1t =，则
''12(,)(,)(,)f tx ty x f tx ty y f x y += ''12(1,2)(1,2)(2)(1,2)f f f -+--=-，
'2(1,2)1f -=
{4,1,1}n =-
切平面：4(1)(2)(2)0x y z -++--=。
5.在第一卦限内做椭球面222
2221x y z a b c
++=的切平面，使得切平面与坐标平面所围城的四面
体的体积最小，并求切点坐标。 解 用拉格朗日乘数法。切点,,333a b c ⎛⎫
⎪
⎝⎭
。切平面1333x y z a b c ++=。
6.将边长为6的正方形ABCD 用平行于AB 的线段,EF GH 分成三等分，沿,EF GH 将正方形（如图61）折成三棱柱（如图62），使,BA CD 与Oz 轴重合，点,B C 与原点O 重合，
EF 在zOx 坐标面上，HG 在第一卦限，此时正方形的对角线BD 被折成空间折线
BP PQ QA --。
（1）求线段PQ 在直角坐标系中绕Oz 轴旋转所形成的旋转曲面的方程。
