2020全国3卷高考数学试题解析
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2020全国1卷高考数学试题解析
1．已知集合{(,)|Axyx，*yN，}yx，{(,)|8}Bxyxy，则AB中元素的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
【思路分析】利用交集定义求出{(7,1)AB，(6,2)，(5,3)，(4,4)}．由此能求出AB中元素的个数．
【解析】：集合{(,)|Axyx，*yN，}yx，{(,)|8}Bxyxy，
{(ABx，*)|,}{(7,1)8,yxyxyNxy，(6,2)，(5,3)，(4,4)}．
AB中元素的个数为4．故选：C．
【总结与归纳】本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．复数113i的虚部是( )
A．310 B．110 C．110 D．310
【思路分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解析】：1131313(13)(13)1010iiiii，复数113i的虚部是310．故选：D．
【总结与归纳】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3．在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1p，2p，3p，4p，且411iip，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( )
A．140.1pp，230.4pp B．140.4pp，230.1pp
C．140.2pp，230.3pp D．140.3pp，230.2pp
【思路分析】根据题意，求出各组数据的方差，方差大的对应的标准差也大．
【解析】：选项:()10.120.430.440.12.5AEx，所以2222()(12.5)0.1(22.5)0.4(32.5)0.4(42.5)0.10.65Dx；
同理选项:()2.5BEx，()1.85Dx；
选项:()2.5CEx，()1.05Dx；
选项:()2.5DEx，()1.45Dx；故选：B．
法二：标准差是反映数据波动的大小，波动越大，则方差越大，根据四个选项概率分布可知B偏离平均值较大，所以标准差最大.
【总结与归纳】本题考查了方差和标准差的问题，记住方差、标准差的公式是解题的关键．
4．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()(Itt的单位：天）的Logistic模型：0.23(53)()1tKIte，其中K为最大确诊病例数．当*()0.95ItK时，标志着已初步遏制疫情，则*t约为( )(193)ln
A．60 B．63 C．66 D．69
【思路分析】根据所给材料的公式列出方程0.23(53)0.951tKKe，解出t即可．
【解析】：由已知可得0.23(53)0.951tKKe，解得0.23(53)119te，
两边取对数有0.23(53)19tln，解得66t，故选：C．
【总结与归纳】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于中档题
5．设O为坐标原点，直线2x与抛物线2:2(0)Cypxp交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为( )
A．1(4，0) B．1(2，0) C．(1,0) D．(2,0)
【思路分析】利用已知条件转化求解E、D坐标，通过1ODOEkk，求解抛物线方程，即可得到抛物线的焦点坐标．
【解析】：法一：将2x代入抛物线22ypx，可得2yp，ODOE，可得1ODOEkk，
即22122pp，解得1p，所以抛物线方程为：22yx，它的焦点坐标1(2，0)．
故选：B．
法二：抛物线过顶点O垂直的两条弦ODOE，则DE直线过定点(2,0)p，则可知221pp，所以焦点坐标为1(,0)2
【总结与归纳】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
6．已知向量a，b满足||5a，||6b，6ab，则cosa，(ab )
A．3135 B．1935 C．1735 D．1935
【思路分析】利用已知条件求出||ab，然后利用向量的数量积求解即可．
【解析】：向量a，b满足||5a，||6b，6ab，
可得22||22512367abaabb，
cosa，2()25619575735||||aabaababaab．故选：D．
【总结与归纳】本题考查平面向量的数量积的应用，数量积的运算以及向量的夹角的求法，是中档题．
7．在ABC中，2cos3C，4AC，3BC，则cos(B )
A．19 B．13 C．12 D．23
【思路分析】先根据余弦定理求出AB，再代入余弦定理求出结论．
【解析】：在ABC中，2cos3C，4AC，3BC，
由余弦定理可得2222222cos4324393ABACBCACBCC；
故3AB；2222223341cos22339ABBCACBABBC，故选：A．
【总结与归纳】本题主要考查了余弦定理的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
8．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )
A．642
B．442 C．623 D．423
【思路分析】先由三视图画出几何体的直观图，利用三视图的数据，利用三棱锥的表面积公式计算即可．
【解析】：由三视图可知几何体的直观图如图：几何体是正方体的一个角，
2PAABAC，PA、AB、AC两两垂直，故22PBBCPC，
几何体的表面积为：213322(22)62324故选：C．
【总结与归纳】本题考查多面体的表面积的求法，几何体的三视图与直观图的应用，考查空间想象能力，
计算能力．
9．已知2tantan()74，则tan( )
A．2 B．1 C．1 D．2
【思路分析】利用两角和差的正切公式进行展开化简，结合一元二次方程的解法进行求解即可．
【解析】：由2tantan()74，得tan12tan71tan，
即22tan2tantan177tan，得22tan8tan80，
即2tan4tan40，即2(tan2)0，则tan2，故选：D．
【总结与归纳】本题主要考查三角函数值的化简和求解，结合两角和差的正切公式以及配方法是解决本题的关键．难度中等．
10．若直线l与曲线yx和圆2215xy都相切，则l的方程为( )
A．21yx B．122yx C．112yx D．1122yx
【思路分析】根据直线l与圆2215xy相切，利用选项到圆心的距离等于半径，在将直线与曲线yx求一解可得答案；
【解析】：法一：直线l与圆2215xy相切，那么直线到圆心(0,0)的距离等于半径55，
四个选项中，只有A，D满足题意；
对于A选项：21yx与yx联立可得：210xx，此时：无解；
对于D选项：1122yx与yx联立可得：11022xx，此时解得1x；
直线l与曲线yx和圆2215xy都相切，方程为1122yx，故选：D．
法二：设直线l为ykxb，则2||551bk（1）
设直线与曲线yx切点为00(,)xx，则01201'|2xxyxk，（2）
00xkxb(3)
根据（2）（3）可得：012bx，代入（1）得01x或015x（舍去）
所以12kb
【总结与归纳】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题，采用选项检验，排除思想做题，有时事半功倍．
11．设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，离心率为5．P是C上一点，且12FPFP．若△12PFF的面积为4，则(a )
A．1 B．2 C．4 D．8
【思路分析】利用双曲线的定义，三角形的面积以及双曲线的离心率，转化求解a即可．
【解析】：法一：由题意，设2PFm，1PFn，可得2mna，142mn，2224mnc，5cea，可得224164ca，可得2254aa，解得1a．故选：A．
法二：1222044tan45PFFbSb，根据离心率有225ca，又因为222cba，所以1a
【总结与归纳】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义以及勾股定理的应用，考查转化思想以及计算能力．
12．已知5458，45138．设5log3a，8log5b，13log8c，则( )
A．abc B．bac C．bca D．cab
【思路分析】根据ab，可得ab，然后由8log50.8b和13log80.8c，得到cb，再确定a，b，c的大小关系．
【解析】： 法一：因为45884log8,log5,5b，因为45455(8)85，所以4585，所以45884log8log55b，即45b
因为4513134log13,log8,5c，因为45455(13)138，所以45138，所以4513134log13log85c，即45c
因为45554log5,log3,5a，因为45455(5)56252433，所以4553，所以
45554log5log3,5a，即45a，
又因为752187353125，所以75lg3lg5，所以7lg35lg5，所以lg35lg57
，所以lg354lg575a
而5785，所以5lg87lg5，所以lg55lg87，所以lg55lg87b，所以cba
法二 ：2255555583(38)24log3log8()1542loglogloglogablog，ab；
5458，554log8，5log81.25，8log50.8b；
45138，1345log8，13log80.8c，cb，综上，cba．故选：A．
【总结与归纳】本题考查了三个数大小的判断，指数对数的运算和基本不等式的应用，考查了转化思想，是基础题．
13．若x，y满足约束条件0,20,1,xyxyx则32zxy的最大值为 7 ．
【思路分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，32zxy表示直线在y轴上的截距的一半，只需求出可行域内直线在y轴上的截距最大值即可．
【解析】：先根据约束条件画出可行域，由120xxy解得(1,2)A，
