一次函数知识点总结
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一次函数知识点总结
一、 定义
一般地，形如 y=kx+b（k,b 是常数，k≠0）的函数叫做一次函数。其中 x 是自变量，
y 是因变量，k 为一次项系数，y 是 x 的函数。其图象为一条直线。特别的，当b=0
时，y 是 x 的正比例函数。即：y=kx （k 为常量，但 K≠0）正比例函数图像经过原点。
二、表达方法
①ax+by+c=0[一般式]
②y=kx+b[斜截式]
（k 为直线斜率，b 为直线纵截距，正比例函数 b=0）
③y-𝑦1=k(x-𝑥1)[点斜式]
（k 为直线斜率,( 𝑥1, 𝑦1)为该直线所过的一个点）
④（y-𝑦1）/(𝑦2-𝑦1)=(x-𝑥1)/(𝑥2 -𝑥1)[两点式]
（（𝑥1,𝑦1）与（𝑥2, 𝑦2）为直线上的两点）
⑤x/a+y/b=1[截距式]
（a、b 分别为直线在 x、y 轴上的截距）
解析式表达局限性：
①所需条件较多（3 个）；
②不能表达没有斜率的直线（平行于 x 轴的直线）；
③参数较多，计算过于烦琐；
三、 基本性质
1.y 的变化值与对应的 x 的变化值成正比例，比值为 k
即：y=kx+b（k≠0) （k 不等于 0，且 k，b 为常数）
2.当 x=0 时，b 为函数在 y 轴上的交点,坐标为(0,b).
当 y=0 时，该函数图象在 x 轴上的交点坐标为（-b/k，0）
3.k 为一次函数 y=kx+b 的斜率,k=tanα(角α 为一次函数图象与x
轴正方向夹角, α≠90°)
4.函数图象性质：当 k 相同，且 b 不相等，图像平行；
当 k 不同，且 b 相等，图象相交于 Y 轴；
当 k 互为负倒数时，两直线垂直；
6. 图像变换：口诀：左加右减，上加下减。要点：左右针对自变量，上下针对因变量
7. 函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。8 . k，b 与函数图像所在象限：
y=kx+b 时：
当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，三象限。当 k>0,b<0, 这时此函数的图象经过一，三，四象限。当 k<0,b>0, 这时此函数的图象经过一，二，四象限。当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过二，三，四象限。当 b＞0 时，直线必通过一、二象限；
当 b＜0 时，直线必通过三、四象限。
四、确定一次函数的表达式
已知点 A（𝑥1，𝑦1）；B（𝑥2，𝑦2），请确定过点 A、B 的一次函数的表达式。
（1） 设一次函数的表达式（也叫解析式） 为 y=kx+b。
（2） 因为在一次函数上的任意一点 P（x，y），都满足等式 y=kx+b。所以可以列出 2 个方程：𝑦1=k𝑥1+b ……① 和𝑦2=k𝑥2+b ……②
（3） 解这个二元一次方程，得到 k，b 的值。
（4） 最后得到了一次函数的表达式。
五、作法与图形
通过如下３个步骤
（1） 列表：根据自变量的取值范围,选取一定量的自变量的值,计算出其对应的函数值；
（2） 描点：将列表中的一组对应的值,转化成坐标,取自变量的值为横坐标,函数值为纵坐标,进而根据坐标在平面直角坐标系里描出其对应的点。
（3） 连线：将描出的点用恰当的线连接起来。
由于一次函数的图像是一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道２点，两个点并连成直线即可。（通常找函数图像与 x 轴和 y 轴的交点）
六、常用公式
1.求函数图象的 k 值：(𝑦1-𝑦2)/( 𝑥1-𝑥2)，即 k=tanα（α 为直线与 x 轴正方向的夹角）
2.求与 x 轴平行线段的中点：(𝑥1+𝑥2)/2
3.求与 y 轴平行线段的中点：(𝑦1+𝑦2)/2
4. 求任意线段的长：
5. 求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式
两个一次函数 𝑦1=𝑘1x+𝑏1，𝑦2=𝑘2x+𝑏2，令𝑦1=𝑦2，得𝑘1x+𝑏1=x+𝑏2。将解得的 x=x0
值代回 𝑦1=𝑘1x+𝑏1，𝑦2=𝑘2x+𝑏2两式的任一式，得到 y=y0，则(x0, y0)即为𝑦1
=𝑘1x+𝑏1与𝑦2=𝑘2x+𝑏2之交点坐标。 x x + y y 2 2
1 2 1 2
6.求任意 2 点所连线段的中点坐标：( (𝑥1+𝑥2)/2, (𝑦1+𝑦2)/2 )
7.求任意 2 点的连线的一次函数解析式：(x-𝑥1)/( 𝑥1 -𝑥2)=(y-𝑦1)/( 𝑦1-𝑦2)（若分母为 0，则分子为 0）
(x,y)的正负性为 +，+（正，正）时该点在第一象限(x,y)的正负性为 -，+（负，正）时该点在第二象限(x,y)的正负性为 - ，-（负，负）时该点在第三象限(x,y)的正负性为 +，-（正，负）时该点在第四象限
8.若两条直线𝑦1=𝑘1x+𝑏1，𝑦2=𝑘2x+互相平行，则𝑘1=𝑘2，𝑏1≠𝑏2
9.如两条直线𝑦1=𝑘1x+𝑏1，𝑦2=𝑘2x+𝑏2互相垂直，则𝑘1×𝑘2=-1
10.设原直线为 y=f(x)=kx+b
y=f(x-n)=k(x-n)+b 就是直线向右平移 n 个单位y=f(x+n)=k(x+n)+b 就是直线向左平移 n 个单位y=f(x)+n=kx+b+n 就是向上平移 n 个单位y=f(x)-n=kx+b-n 就是向下平移 n 个单位
口诀：左加右减相对于 X，上加下减相对于 b。
11.直线 y=kx+b 与 x 轴的交点：(，0)，与 y 轴的交点：(0,b)
七：生活中的应用
1. 当时间 t 一定，距离 s 是速度 v 的一次函数。s=vt。
2. 当水池抽水速度 f 一定，水池中水量 g 是抽水时间 t 的一次函数。设水池中原有水量 S。g=S-ft。
3. 当弹簧原长度 b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度 y 是重物重量 x 的一次函数，即 y=kx+b（k 为任意正数）
一次函数应用在生活中的各个方面,上述只是举了几个例子而已.但必须着重注意的是,一次函数在生活中应用时,要注意自变量的取值要求,必须与生活实际相符合.
