数学建模房价预测

1 一、问题重述

1.1背景分析

自1998年我国实行住房改革以来，房地产行业已经逐渐成长为拉动中国经济增长的龙头产业。近几年在国家积极的财政政策刺激下，我国房地产市场处于不断发展阶段。然而，与美国等发达国家住房市场进入成熟期不同，我国正处在城市化和工业化进程加速阶段，住房水平低和需求比较旺盛，这是我国住房市场快速发展的重要基础。

中国房地产一方面在快速发展之时，在总体上对经济社会的发展确实起到了促进作用；另一方面由于不规范的房的销售价格行为、地价的上升造成放的开发成本提高等因素造成房价不断上涨，严重超出了普通居民的购买能力，给其造成了巨大的购房压力。

1.2问题重述

根据近几年中国沈阳房地产市场现状，解决以下四个问题：

(1)结合对房地产的了解，收集近几年沈阳房地产的价格走势，预测未来沈阳房价的状况。

(2)结合对上海市近几年来房价的了解，分析并建立合理的数学模型，得出“国五条”具体怎样影响房价。

二、问题分析

2.1对于问题一的分析

问题一要求根据近几年上海房地产的价格走势，来预测未来三年上海房价的情况。

首先，通过在《沈阳统计年鉴》找到上海近几年的房价, 为得到较为准确的预测，我们选取了最近十年上海的房价，因为长时间的数据能反映更多更合理的问题，不会太过片面对结果造成较大偏差。历时十年，期间政府的宏观调控或制定的稳定物价等等措施必然会对房价造成影响，如果考虑政策措施和其他因素的影响，问题将变得非常复杂。反而，我们可以将这些因素看作市场经济的调控，房价因受到这些因素影响而产生变化。那么，实际呈现出来的房价变化就应该是有效的房价变化。我们在模型的假设部分阐述了不考虑政府的政策措施对近几年房价的影响。

综合了以上分析，我们将搜集到的数据整理制成表格，绘制出年份-房价变化折线图，可以发现随着年份的增长，上海房价也在不断增长，且在一条直线周围上下波动，因此我们建立一元线性回归模型，来寻求上海房价与年份的线性关系。然后根据最小二乘法来确定其中参数（一次项系数和常数项）的值，最终确定此回归方程。然后通过求判定系数2R的值，来判断模型对数据的拟合程度，确定该方程的合理性。最终对x进行赋值，得到相应的房价。

2.2 对于问题二的分析

问题二要求找出“国五条”具体如何影响房价的，就是求“国五条”五项措施对房价影响的比重,即某项措施的影响大小，从而反应出“国五条”是如何影响房价的增长问题。

首先，根据题目信息，运用层次分析法，建立层次分析模型。以调控房价为目标层，以不规范房的销售价格行为和地价上升致开发成本提高作为准则层，以五项措施作为措施层。这里准则层在选择时，在参考了题目给定的房价上涨的两个原因外，通过查阅资

2 料发现，土地增值税也对房价产生不少影响，所以准则层有三个因素。然后求各层中各个指标的重要程度，即权重。

第一步，根据实际情况和经验，比较得出不规范房的销售价格行为和地价上升致开发成本提高对房价上涨影响程度大小，总结成它们的判断矩阵，通过Matlab求出各项的权向量。接着对准则层进行误差分析，确定层次建立的合理性，继而总结出不规范房的销售价格行为和地价上升致开发成本提高对房价变化导致怎样的影响。

第二步，仍根据经验和实际情况，比较完善稳定房价工作责任制，坚决抑制投机投资性购房，增加普通商品住房及用地供应，加快保障性安居工程规划建设和加强市场监管这五个调控措施在不规范的销售价格行为和地价上涨两个准则下的相对重要程度，建立它们之间的判矩阵，计算措施层五项措施的权向量，即是反应重要程度的权重。比较各个权重大小，将各个措施重要程度排序，进一步分析出各措施具体是如何影响房价的。

三、模型假设

结合本题的实际，为了确保模型求解的准确性和合理性，我们排除了一些因素的干扰，提出以下几点假设：

1、考虑到上海市各个地区的房价各有不同，并且受到多种因素影响，因此在搜集资料时，我们选择性搜集了从2003年2012年上海每年的总体房价，即每年的房价直接由官方统计数据给出，不再自己结合影响因素统计；

2、在问题已的求解时，暂不考虑任何政府措施；

3 3、在不改变题意的情况下，我们将问题四总结出一个较为清楚的问题；

4、不考虑CPI各项指标之间的关联性；

5、不考虑投资时存在的风险。

五、模型的建立与求解

4 经过以上的分析和准备，我们将逐步建立以下数学模型，进一步阐述模型的实际建立过程。

5.1问题一的建立与求解

5.1.1 对数据的定量分析

通过查阅上海统计年鉴的房地产相关资料，我们得到上海近十年来房地产的价格情况，统计整理后制成如下表格，见表1：

表1 2003-2012年上海房产价格表

年份 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012

房价 5119.276 6688.352 6842.004 7196.007 8360.984 8255.013 12839.98 14399.89 14502.29

16537..52

由上表不难发现，上海房价从03年到07年一直呈增长之势，不过在07年到08年出现小幅度下降，但在08年以后一直处于持续增长阶段，并在09年突破一万元，创历史新高，总的来说呈上升之势。但为进一步清楚反映出房价的总体走势，我们将表1绘制成折线图，如下所示：

年份-房价图0200040006000800010000120001400016000180002003200420052006200720082009201020112012年份房价年份-房价散点图02000400060008000100001200014000160001800020002002200420062008201020122014年份房价

图1 2002-2012年房价变化折线图 图2 2002-2012年房价变化散点图

由图1可以清楚地得到，由于各种可变动因素的影响，近十年来上海房价总体上呈波动上升的趋势，但仍然有些年份变化趋于平缓或略有下降。因此，为进一步得出房价随年份变化的关系，在下面建立模型求解。

5.1.2建立一元线性回归模型

(1) 模型建立

我们进一步将表1的数据绘成散点图，如图2 。描出散点图可发现，随着年份的增长，房价也在不断增加，且房价的值总是在一条正斜率的直线上上下波动，散点的趋势

5 很符合一元线性直线，即年份与房价之间可能存在线性关系，故基于对散点图的观察和相关问题分析，我们建立一元线性回归方程求解。

首先，我们建立一元线性回归模型。假设房价y与年份x存在关系：

2, ~(0,)yabxN

其中a、b及2都是不依赖于x的未知参数，b称为回归系数，因变量y由两部分组成，一部分是x的线性函数abx，另一部分是随机误差，是人不可控制的。

(2) 最小二乘法估计a、b值

然而要使误差达到最小，即样本观测值与估计值的差最小，但由于差值的符号不确定等因素的影响，然要使结果最优化，最终确定求差值的方差，使之更具有说服力。即求：

2211(,)()nniiiiiQabyabx

达到最小为原则，对未知参数a和b的估计称为未知参数a和b的最小二乘估计，估计值记为ˆa和ˆb。这时称

ˆˆˆyabx

为y关于x的经验回归方程，简称为回归方程。其图像为直线。

根据公式

111122211111()()()()ˆ()()ˆ1ˆˆnnnniiiiiiiiiinnniiiiiinniiiinxyxyxxyybnxxxxbayxybxnn

求得ˆa，ˆb的值。其中ˆ1285.32a，；

因此，可得出y关于x的回归方程：ˆ2570197b

y=1285.322570197x

(3) 拟合优度检验

以上y关于x的回归方程是否可以作为反映近十年来房价的变化还有待检验。而一元线性回归方程的检验，可以通过判定系数2R来判别。其判别条件为：可决系数则越靠近1，模型对数据的拟合程度越好。通常有这样的判别系数关系式：

222ˆˆ()()()iiiiYYYYYY

和判别系数求法：

222ˆ()1()iiiYYRYY

可求出判定系数为：

20.926R

这可以解释为，该线性回归方程可以反映出表1中92.6%的数据，即数据具有很好的符合性，因此可以采用此方程。

与此同时，我们利用Excel作回归分析得到回归统计表，方差分析表，残差和标准误差的数表（见附录一），发现其与所求出的回归方程及判别系数基本吻合，由此可见此模型建立的合理性。

6 5.1.3确定以后三年房价

通过上一问的求解，我们得到房价y关于年份x的回归方程，因此便可对x赋值，令2013,2014,2015x，便可求出对应年份的上海房价，其结果见下表：

表2 相关年份的上海房价值

x（年） 2013 2014 2015

y（元/平米） 17152.2 18437.5 19722.8

所以我们给出未来三年，上海总体房价水平为17152.2元/平米，18437.5元/平米，19722.8元/平米。

5.2 问题二的建立与求解

5.2.1 建立递阶层次结构

由问题一可知，上海近几年来房价处于不断增长之中；国家为了继续做好房地产市场调控工作，颁布了五项加强房地产市场调控的政策措施，即“国五条”，确保房地产市场能够平稳健康发展，最终实现调控房价的终极目标。

然而，由题目可知，造成房价持续上涨的原因主要包括两方面：第一，不规范的房的销售价格行为；第二，地价的上升导致房的开发成本提高。这里准则层在选择时，在参考了题目给定的房价上涨的两个原因外，通过查阅资料发现，消费心理也对房价产生不少影响，所以准则层有三个因素。因此，我们可以将这些因素分别划分到措施层、目标层和准则层中，构建出一个层次分析模型，如下图所示：

图3 层次结构分析模型

5.2.2构造判断矩阵并赋值

由图3可反映出各个因素之间的联系，但准层中的各因素在目标准则中的比重并不一定相同，它们各自占有一定比例；由于各比重不定量化，所以首先通过各因素两两比较来确定比较判断矩阵。比较的标度值引用数字1—9及其倒数，1—9及其倒数具体含义不同，我们参照下表对各层判断矩阵分别赋值，确定判断矩阵，1—9及其倒数的具体含义参照下表，表3：

表3 1-9标度的具体含义