工程数学：复变函数

- 1 - 复变函数复习重点

(一)复数的概念

1.复数的概念：zxiy，,xy是实数, Re,Imxzyz.21i.

注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小.

2.复数的表示

1）模：22zxy；

2）幅角：在0z时，矢量与x轴正向的夹角，记为Argz（多值函数）；主值argz是位于(,]中的幅角。

3）argz与arctanyx之间的关系如下：

当0,x argarctanyzx；

当0,argarctan0,0,argarctanyyzxxyyzx；

4）三角表示：cossinzzi，其中argz；注：中间一定是“+”

5）指数表示：izze，其中argz。

(二) 复数的运算

1.加减法：若111222,zxiyzxiy，则121212zzxxiyy

2.乘除法：

1）若111222,zxiyzxiy，则

1212122112zzxxyyixyxy；

112211112121221222222222222222xiyxiyzxiyxxyyyxyxizxiyxiyxiyxyxy。

2）若121122,iizzezze, 则121212izzzze；121122izzezz - 2 - 3.乘幂与方根

1）若(cossin)izzize，则(cossin)nnninzzninze。

2）若(cossin)izzize，则

122cossin(0,1,21)nnkkzziknnn（有n个相异的值）

（三）复变函数

1．复变函数：wfz，在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射.

数学分析与复变函数的比较

姓名:*** 学号:***

复变函数在数学分析中的教学中具有非常重要的意义,复变函数与数学分析具有很多共同点,但是也有较多的不同,虽有不同,但复变函数中的很多知识点都是数学分析的推广,是数学分析的加深.

数学分析与复变函数的相同点:

1. 二者的定义相同，都是由一个对应法则从一个区域到另一个区域映射；实数域上的函数与复变函数在进行加、减、乘、除及复合时具有相同的性质；都具的基本初等函数，如指数函数，对数函数，幂函数等；

2. 二者都具有极限和连续性 ，对数学分析中的一些比较重要的定理，如维尔斯特拉斯定理，区间套定理，有限覆盖定理在复数集也成立 ；

3. 二者都具有积分，并且积分定义形式类似，都可用类似黎曼积分定义的形式来表述，在此就不详细说明了，实函数与复变函数中积分都有相同的运算法则；

4. 二者都有数项级数和函数项级数，并且结构类似 ，函数项级数的收敛性都可用柯西一致收敛原理，魏尔斯特拉斯判别法来判断，函数都可以有泰勒展式，并且形式一致。

数学分析与复变函数的不同点:

数学分析和复变函数研究的是定义在数域上的函数，数学分析研究实数上的函数，复变函数研究复数领域的函数。由于定义域的不同，而导致了数学分析和复变函数有很多的差异。

1. 极限

复变函数研究定义域上自变量趋近于其一个聚点的极限，数学分析中可研究自变量趋近于某一点的极限，也可研究趋近于无穷大的极限，也可以研究单侧极限，研究范围比复变函数要广。

2. 求导与微分

数学分析中求导与求微分是非常重要的一部分，可以算作是积分学的逆运算，在现实生活中有举足轻重的作用，而复变函数中虽提到导数与微分，但并未展开来讲。数学分析中的微分学提出了微分中值定理，函数的升降、凸性及极值理论，还提出了待定型求极限的方法。

《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解

吉林大学数学学院 （主编：王忠仁 张静）

高等教育出版社

习题一（P12）

1.1 对任何z，22zz是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对哪些z值才成立？

解：设zxiy，则2222zxyxyi，222zxy；

若22zz成立，则有22222xyxyixy，即222220xyxyxy，解得0y，即zx。

所以，对任何z，22zz不成立，只对z为实数时才成立。

1.2 求下列各式的值：

（1）5(3)i； （2）6(1)i； （3）61 ； （4）13(1)i。

解：（1）因为632iie，所以

5555566631(3)223232()16(3)22iiiieeeii

（2）因为412iie，所以

63663442(1)2288iiieeei

（3）因为1cossini，所以

166221cossincossin66kkkwii，其中0,1k；

即031cossin6622wii，1cossin22wii，

25531cossin6622wii，37731cossin6622wii， 433cossin22wii，5111131cossin6622wii。

（4）因为12cos()sin()44ii，所以

11362244(1)2cossin33kkkwii，其中0,1,2k；

即1602cos()sin()1212wi，161772cossin1212wi，162552cossin44wi。

《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解

大学数学学院 （主编：王忠仁 静）

高等教育

习题一（P12）

1.1 对任何z，22zz是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对哪些z值才成立？

解：设zxiy，则2222zxyxyi，222zxy；

若22zz成立，则有22222xyxyixy，即222220xyxyxy，解得0y，即zx。

所以，对任何z，22zz不成立，只对z为实数时才成立。

1.2 求下列各式的值：

（1）5(3)i； （2）6(1)i； （3）61 ； （4）13(1)i。

解：（1）因为632iie，所以

5555566631(3)223232()16(3)22iiiieeeii

（2）因为412iie，所以

63663442(1)2288iiieeei

（3）因为1cossini，所以

166221cossincossin66kkkwii，其中0,1,2,3,4,5k；

即031cossin6622wii，1cossin22wii，

25531cossin6622wii，37731cossin6622wii， 433cossin22wii，5111131cossin6622wii。

（4）因为12cos()sin()44ii，所以

11362244(1)2cossin33kkkwii，其中0,1,2k；

即1602cos()sin()1212wi，161772cossin1212wi，162552cossin44wi。